1) Hilsen

2) Leksjonsmotivasjon Læreren sjekker klassens beredskap for timen; motiverer elevene til å formulere et tema.

Les definisjonen på tavlen (emneark) og sett inn det aktuelle konseptet:

Størrelsen på den delen av planet som er okkupert av polygonet er ... (areal)

En firkant hvis motsatte sider er parallelle i par - ....(parallelogram)

En figur som består av tre punkter som ikke ligger på samme linje og tre segmenter som forbinder dem kalles .... (trekant)

En figur der to sider er parallelle og de to andre ikke er parallelle kalles ... (trapes)

Fra de resulterende ordene, prøv å lage emnet for dagens leksjon.

Så, emnet for leksjonen .... Områder av et parallellogram, trekant, trapes.

Områder, hvilke figurer kan vi finne og hvordan?

Regn ut arealene til figurene i fig.

Finnes det andre løsninger?

Hva skjedde?

Hvilke forsøk er gjort for å finne området?

Hvem prøvde å finne arealet til et parallellogram? Fortell meg.

Avledning av formelen for arealet til et parallellogram.

Oppgave.

Hvordan "tegne" et parallellogram for å få et rektangel med samme areal?

Parallellogrammet ble tegnet om til et rektangel. Dette betyr at arealet er lik arealet av rektangelet.

Hva er lengden og bredden på et rektangel for et parallellogram?

Arealet til et parallellogram er lik produktet av basen og høyden.

I et parallellogram kan basen være hvilken som helst side. Og for å bruke formelen for å finne arealet, må høyden tegnes til basen.

La oss beregne arealet til dette parallellogrammet.

Avledning av formelen for arealet av en trekant.

Hvordan kan du tegne om eller fullføre en trekant?

Arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden.

Hva om trekanten er rettvinklet?

Se på fig.

Det kan "tegnes om" til et rektangel.

Og vi finner området ved hjelp av formelen

S =a *b. Lengden på rektangelet er halvparten av benet, og bredden er det andre benet.

Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av produktet av bena.

Avledning av formelen for arealet av en trapes.

Se hvordan treapezium har blitt "tegnet om" - til en trekant. Og vi finner arealet av trekanten ved å bruke formelen:

Basen til trekanten er summen av lengdene til den øvre og nedre basen, og høyden på trekanten er høyden på trapesen.

Arealet til en trapes er lik produktet av halvparten av summen av basene og høyden.

1) Finn S damp. , Hvis EN=5, h =4.

2) Finn S trekant. , Hvis EN=3,5; h =2.

3) Finn S-stige. , Hvis EN=4,5; b = 2,5; h =3.

Fullfør testoppgaver (se vedlegg)

Fagfellevurdering av selvstendig arbeid.

Løse problemer om et nytt emne:

nr. 675(a,d), 676(a,b), 677(a,b)

For svake og underpresterende elever er det utarbeidet individuelt arbeid med kort, som inkluderer oppgaver der det er et eksempel på registrering av løsningen.

Læreren tilbyr å svare på spørsmål om et nytt emne.

Gutter, la oss oppsummere det!

Hva lærte du i klassen i dag?

Hva har du lært å gjøre?

Hva var vanskelig å bestemme?

Læreren kommenterer leksene.

paragraf 23 nr. 675(b,c), 676(c,d), 677(c,d)

Godt gjort alle sammen!

Leksjonen er over. Ha det!

Arealet til en geometrisk figur- en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området er uttrykt ved antall kvadratenheter som det inneholder.

Trekantarealformler

1. Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
   Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
   
2. Formel for arealet til en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
   
3. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
   Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.
   
hvor S er arealet av trekanten,
- lengder på sidene i trekanten,
- høyden på trekanten,
- vinkelen mellom sidene og,
- radius av den innskrevne sirkelen,
R - radius av den omskrevne sirkelen,

Kvadratarealformler

1. Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
   Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
2. Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
   Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
   

   S=	1	2
   	2

hvor S er arealet av kvadratet,
- lengden på siden av firkanten,
- lengden på kvadratets diagonal.

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene

hvor S er arealet av rektangelet,
- lengder på sidene av rektangelet.

Parallelogramarealformler

1. Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
   Arealet av et parallellogram
2. Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
   Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
   

   a b sin α

hvor S er arealet av parallellogrammet,
- lengder på sidene av parallellogrammet,
- lengden på parallellogramhøyden,
- vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.

Formler for området til en rombe

1. Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
   Området til en rombe lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
2. Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
   Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
3. Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
   Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene på diagonalene.
hvor S er arealet av romben,
- lengden på siden av romben,
- lengden på høyden på romben,
- vinkelen mellom sidene av romben,
1, 2 - lengder av diagonaler.

Trapesformler for område

1. Herons formel for trapes

   Hvor S er arealet av trapeset,
   - lengder på basene til trapesen,
   - lengder på sidene av trapesen,
   

Arealet av et parallellogram

Teorem 1

Arealet til et parallellogram er definert som produktet av lengden på siden og høyden trukket til den.

der $a$ er en side av parallellogrammet, er $h$ høyden tegnet til denne siden.

Bevis.

La oss få et parallellogram $ABCD$ med $AD=BC=a$. La oss tegne høydene $DF$ og $AE$ (fig. 1).

Bilde 1.

Tydeligvis er $FDAE$-figuren et rektangel.

\[\vinkel BAE=(90)^0-\vinkel A,\ \] \[\vinkel CDF=\vinkel D-(90)^0=(180)^0-\vinkel A-(90)^0 =(90)^0-\vinkel A=\vinkel BAE\]

Følgelig, siden $CD=AB,\ DF=AE=h$, ved $I$-kriteriet for likheten til trekanter $\triangle BAE=\triangle CDF$. Deretter

Så ifølge teoremet om arealet til et rektangel:

Teoremet er bevist.

Teorem 2

Arealet til et parallellogram er definert som produktet av lengden på de tilstøtende sidene og sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a,\b$ er sidene av parallellogrammet, er $\alpha$ vinkelen mellom dem.

Bevis.

La oss få et parallellogram $ABCD$ med $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. La oss tegne høyden $DF=h$ (fig. 2).

Figur 2.

Per definisjon av sinus får vi

Derfor

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Arealet av en trekant

Teorem 3

Arealet til en trekant er definert som halvparten av produktet av lengden på siden og høyden trukket til den.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a$ er en side av trekanten, er $h$ høyden tegnet til denne siden.

Bevis.

Figur 3.

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Arealet av en trekant er definert som halvparten av produktet av lengden på dens tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a,\b$ er sidene i trekanten, $\alpha$ er vinkelen mellom dem.

Bevis.

La oss få en trekant $ABC$ med $AB=a$. La oss tegne høyden $CH=h$. La oss bygge det opp til et parallellogram $ABCD$ (fig. 3).

Åpenbart, ved $I$-kriteriet for likestilling av trekanter, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Deretter

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Område med trapes

Teorem 5

Arealet til en trapes er definert som halvparten av produktet av summen av lengdene på basene og høyden.

Matematisk kan dette skrives som følger

Bevis.

La oss få en trapesformet $ABCK$, hvor $AK=a,\ BC=b$. La oss tegne inn høydene $BM=h$ og $KP=h$, samt diagonalen $BK$ (fig. 4).

Figur 4.

Ved teorem $3$ får vi

Teoremet er bevist.

Eksempeloppgave

Eksempel 1

Finn arealet av en likesidet trekant hvis sidelengden er $a.$

Løsning.

Siden trekanten er likesidet, er alle vinklene lik $(60)^0$.

Så, ved teorem $4$, har vi

Svar:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Legg merke til at resultatet av dette problemet kan brukes til å finne arealet til en hvilken som helst likesidet trekant med en gitt side.

La oss bli enige om å kalle en av sidene av parallellogrammet basis, og vinkelrett tegnet fra ethvert punkt på motsatt side til linjen som inneholder basen er parallellogram høyde.

Teorem

Bevis

La oss vurdere et parallellogram ABCD med arealet S. La oss ta siden AD som basis og tegne høydene ВН og СК (fig. 182). La oss bevise at S = AD VN.

Ris. 182

La oss først bevise at arealet av rektangelet ABCD også er lik S. Trapeset ABCD er sammensatt av et parallellogram ABCD og en trekant DCK. På den annen side er den sammensatt av et rektangel НВСК og en trekant АВН. Men de rette trekantene DCK og ABH er like i hypotenus og spiss vinkel (hypotenusene AB og CD er like som motsatte sider av et parallellogram, og vinklene 1 og 2 er like som de tilsvarende vinklene i skjæringspunktet mellom parallelle linjer AB og CD med sekant AD), derfor er deres arealer like.

Følgelig er arealene til parallellogrammet ABCD og rektangelet NVSK også like, det vil si at arealet til rektangelet NVSK er lik S. Ved teoremet om rektangelets areal er S = BC BN, og siden BC = AD, så S = AD BN. Teoremet er bevist.

Arealet av en trekant

En av sidene i en trekant kalles det ofte basis. Hvis basen er valgt, betyr ordet "høyde" høyden på trekanten trukket til basen. Teorem

Bevis

La S være arealet av trekanten ABC (fig. 183). La oss ta siden AB som basis for trekanten og tegne høyden CH. La oss bevise det .

Ris. 183

La oss fullføre trekanten ABC til parallellogrammet ABDC som vist i figur 183. Trekantene ABC og DCB er like på tre sider (BC er deres felles side, AB = CD og AC = BD som motsatte sider av parallellogrammet ABDC), så deres arealer er like. Derfor er arealet S av trekanten ABC lik halvparten av arealet av parallellogram ABDC, dvs. . Teoremet er bevist.

Konsekvens 1

Konsekvens 2

La oss bruke konsekvens 2 for å bevise teoremet om forholdet mellom arealer av trekanter som har like vinkler.

Teorem

Bevis

La S og S 1 være arealene til trekantene ABC og A 1 B 1 C 1, hvor ∠A = ∠A 1 (Fig. 184, a). La oss bevise det .

Ris. 184

La oss legge trekant A 1 B 1 C 1 over trekant ABC slik at toppunkt A 1 er på linje med toppunkt A, og sidene A 1 B 1 og A 1 C 1 overlapper strålene AB og AC, henholdsvis (fig. 184, b). Trekanter ABC og AB 1 C har en felles høyde - CH, derfor .

Trekantene AB 1 C og AB 1 C 1 har også en felles høyde - B 1 H 1, derfor . Multipliserer de resulterende likhetene, finner vi:

Teoremet er bevist.

Område med trapes

For å beregne arealet til en vilkårlig polygon, gjør du vanligvis dette: del polygonet i trekanter og finn arealet til hver trekant. Summen av arealene til disse trekantene er lik arealet til den gitte polygonen (fig. 185, a). Ved å bruke denne teknikken vil vi utlede en formel for å beregne arealet til en trapes. La oss bli enige om å kalle høyden til en trapes en vinkelrett trukket fra et hvilket som helst punkt på en av basene til en linje som inneholder den andre basen. I figur 185, b, er segment BH (samt segment DH 1) høyden på trapeset ABCD.

Ris. 185

Teorem

Bevis

Betrakt trapesen ABCD med base AD og BC, høyde BH og areal S (se fig. 185, b).

La oss bevise det

Diagonalen BD deler trapesen i to trekanter ABD og BCD, så S = S ABD + S BCD.

La oss ta segmentene AD og ВН som bunnen og høyden til trekanten ABD, og ​​segmentene ВС og DH 1 som bunnen og høyden til trekanten BCD. Deretter

.

Teoremet er bevist.

Oppgaver

459. La a være grunnflaten, h høyden og S arealet av parallellogrammet. Finn: a) S, hvis a = 15 cm, h = 12 cm; b) a, hvis S = 34 cm2, h = 8,5 cm; c) a, hvis S = 162 cm2, h = 1/2a; d) h, hvis h = 3a, S = 27.

460. Diagonalen til et parallellogram, lik 13 cm, er vinkelrett på siden av parallellogrammet, lik 12 cm Finn arealet av parallellogrammet.

461. De tilstøtende sidene av et parallellogram er 12 cm og 14 cm, og dens spisse vinkel er 30°. Finn arealet av parallellogrammet.

462. Siden av en rombe er 6 cm, og en av vinklene er 150°. Finn området til romben.

463. Siden av et parallellogram er 8,1 cm, og diagonalen, lik 14 cm, danner en vinkel på 30° med den. Finn arealet av parallellogrammet.

464. La a og b være de tilstøtende sidene av parallellogrammet, S arealet, a h 1 og h 2 dets høyder. Finn: a) h 2 hvis a = 18 cm, b = 30 cm, h 1 = 6 cm, h 2 > h 1 ; b) h 1, hvis a = 10 cm, 6 = 15 cm, h 2 = 6 cm, h 2 > h 1 c) h 1 og h 2, hvis S = 54 cm 2, a = 4,5 cm, b = 6 cm.

465. Den spisse vinkelen på parallellogrammet er 30°, og høydene trukket fra toppen av den stumpe vinkelen er 2 cm og 3 cm Finn arealet av parallellogrammet.

466. Diagonalen til et parallellogram er lik siden. Finn arealet til et parallellogram hvis dens lengste side er 15,2 cm og en av vinklene er 45°.

467. En firkant og en rombe som ikke er en firkant har samme omkrets. Sammenlign arealene til disse figurene.

468. La a være grunnflaten, h høyden og S arealet av trekanten. Finn: a) S, hvis a = 7 cm, h = 11 cm; b) S, hvis a = 2√3 cm, h = 5 cm; c) h, hvis S = 37,8 cm2, a - 14 cm; d) a, hvis S = 12 cm 2, h = 3√2 cm.

469. Sidene AB og BC av trekant ABC er lik henholdsvis 16 cm og 22 cm, og høyden tegnet til side AB er lik 11 cm Finn høyden tegnet til side BC.

470. To sider av en trekant er lik 7,5 cm og 3,2 cm. Høyden tegnet til den største siden er 2,4 cm.

471. D Finn arealet av en rettvinklet trekant hvis bena er like: a) 4 cm og 11 cm; b) 1,2 dm og 3 dm.

472. Arealet av en rettvinklet trekant er 168 cm 2. Finn bena hvis forholdet mellom lengdene deres er 7/12.

473. Gjennom toppunktet C i trekanten ABC trekkes en rett linje m parallelt med siden AB. Bevis at alle trekanter med toppunkter på linjen m og grunnflaten AB har like flater.

474. Sammenlign arealene til to trekanter som en gitt trekant er delt inn i med medianen.

475. Tegn trekant ABC. Tegn to rette linjer gjennom toppunktet A slik at de deler denne trekanten i tre trekanter med like store arealer.

476. Bevis at arealet til en rombe er lik halvparten av produktet av diagonalene. Beregn arealet til en rombe hvis diagonalene er lik: a) 3,2 dm og 14 cm; b) 4,6 dm og 2 dm.

477. Finn diagonalene til en rombe hvis en av dem er 1,5 ganger større enn den andre, og arealet av romben er 27 cm 2.

478. I en konveks firkant er diagonalene innbyrdes perpendikulære. Bevis at arealet til en firkant er lik halvparten av produktet av diagonalene.

479. Punktene D og E ligger på sidene AB og AC i trekanten ABC. Finn: a) S ADE, hvis AB = 5 cm, AC = 6 cm, AD = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2; b) AD, hvis AB = 8 cm, AC = 3 cm, AE = 2 cm, S ABC = 10 cm 2, S ADE = 2 cm 2.

480. Finn arealet av trapes ABCD med baser AB og CD hvis:

a) AB = 21 cm, CD = 17 cm, høyde BH er 7 cm;
b) ∠D = 30°, AB = 2 cm, CD = 10 cm, DA = 8 cm;
c) BC ⊥ AB, AB = 5 cm, BC = 8 cm, CD = 13 cm.

481. Finn arealet til en rektangulær trapes hvis to mindre sider er 6 cm og den største vinkelen er 135°.

482. Den stumpe vinkelen til en likebenet trapes er 135°, og høyden trukket fra toppen av denne vinkelen deler den større basen i segmenter på 1,4 cm og 3,4 cm Finn arealet til trapesen.

Svar på problemer

459. a) 180 cm2; b) 4 cm; c) 18 cm; d) 9.

460. 156 cm 2.

461,84 cm 2.

462. 18 cm 2.

463,56,7 cm2.

464. a) 10 cm; b) 4 cm; c) 12 cm og 9 cm.

465. 12 cm 2.

466. 115,52 cm 2.

467. Arealet til en firkant er større.

468. a) 38,5 cm2; b) 5√3 cm2; c) d) 4√2 cm.

470.5.625 cm.

471. a) 22 cm2; b) 1,8 dm 2.

472. 14 cm og 24 cm.

473. Instruksjon. Bruk teorem 38.

474. Arealene til trekantene er like.

475. Instruksjon. Del først side BC i tre like deler.

476. a) 224 cm2; b) 4,6 dm 2. Merk. Husk at diagonalene til en rombe er vinkelrett på hverandre.

477,6 cm og 9 cm.

479. a) 2 cm2; b) 2,4 cm Instruksjon. Bruk det andre teoremet i avsnitt 53.

480. a) 133 cm2; b) 24 cm2; c) 72 cm 2.

481,54 cm 2.

Arealet av et parallellogram

Teorem 1

Arealet til et parallellogram er definert som produktet av lengden på siden og høyden trukket til den.

der $a$ er en side av parallellogrammet, er $h$ høyden tegnet til denne siden.

Bevis.

La oss få et parallellogram $ABCD$ med $AD=BC=a$. La oss tegne høydene $DF$ og $AE$ (fig. 1).

Bilde 1.

Tydeligvis er $FDAE$-figuren et rektangel.

\[\vinkel BAE=(90)^0-\vinkel A,\ \] \[\vinkel CDF=\vinkel D-(90)^0=(180)^0-\vinkel A-(90)^0 =(90)^0-\vinkel A=\vinkel BAE\]

Følgelig, siden $CD=AB,\ DF=AE=h$, ved $I$-kriteriet for likheten til trekanter $\triangle BAE=\triangle CDF$. Deretter

Så ifølge teoremet om arealet til et rektangel:

Teoremet er bevist.

Teorem 2

Arealet til et parallellogram er definert som produktet av lengden på de tilstøtende sidene og sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a,\b$ er sidene av parallellogrammet, er $\alpha$ vinkelen mellom dem.

Bevis.

La oss få et parallellogram $ABCD$ med $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. La oss tegne høyden $DF=h$ (fig. 2).



Figur 2.

Per definisjon av sinus får vi

Derfor

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Arealet av en trekant

Teorem 3

Arealet til en trekant er definert som halvparten av produktet av lengden på siden og høyden trukket til den.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a$ er en side av trekanten, er $h$ høyden tegnet til denne siden.

Bevis.



Figur 3.

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Teorem 4

Arealet av en trekant er definert som halvparten av produktet av lengden på dens tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom disse sidene.

Matematisk kan dette skrives som følger

der $a,\b$ er sidene i trekanten, $\alpha$ er vinkelen mellom dem.

Bevis.

La oss få en trekant $ABC$ med $AB=a$. La oss tegne høyden $CH=h$. La oss bygge det opp til et parallellogram $ABCD$ (fig. 3).

Åpenbart, ved $I$-kriteriet for likestilling av trekanter, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Deretter

Så, ved teorem $1$:

Teoremet er bevist.

Område med trapes

Teorem 5

Arealet til en trapes er definert som halvparten av produktet av summen av lengdene på basene og høyden.

Matematisk kan dette skrives som følger

Bevis.

La oss få en trapesformet $ABCK$, hvor $AK=a,\ BC=b$. La oss tegne inn høydene $BM=h$ og $KP=h$, samt diagonalen $BK$ (fig. 4).



Figur 4.

Ved teorem $3$ får vi

Teoremet er bevist.

Eksempeloppgave

Eksempel 1

Finn arealet av en likesidet trekant hvis sidelengden er $a.$

Løsning.

Siden trekanten er likesidet, er alle vinklene lik $(60)^0$.

Så, ved teorem $4$, har vi

Svar:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Legg merke til at resultatet av dette problemet kan brukes til å finne arealet til en hvilken som helst likesidet trekant med en gitt side.