Назад напред
Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Ако си заинтересиран оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.
Тип на лекција: Лекција за совладување и консолидирање на примарното знаење.
Целта на лекцијата:
- Запознајте ги учениците со концептот на корени на полином и научете ги како да ги најдат. Подобрете ги вештините за користење на Хорнеровата шема за проширување на полином по моќи и делење на полином со бином.
- Научете да ги најдете корените на равенката користејќи го Хорнеровиот дијаграм.
- Развијте апстрактно размислување.
- Негувајте компјутерска култура.
- Развој на интердисциплинарни врски.
За време на часовите
1. Организациски момент.
Информирајте ја темата на лекцијата, формулирајте цели.
2. Проверка на домашната задача.
3. Проучување на нов материјал.
Нека Fn(x) = a n x n +a n-1 x n-1 +...+ a 1 x +a 0 - полином за x од степен n, каде a 0 , a 1 ,...,a n се дадени броеви, а 0 не е еднаков на 0. Ако полиномот F n (x) се подели со остатокот со бином x-a, тогаш количникот (нецелосен количник) е полином Q n-1 (x) од степен n-1, остатокот R е број, а еднаквоста е точно F n (x)=(x-a) Q n-1 (x) +R.Полиномот F n (x) е делив со биномот (x-a) само во случај R=0.
Теорема на Безут: Остатокот R од делењето на полиномот F n (x) со биномот (x-a) е еднаков на вредноста на полиномот F n (x) при x=a, т.е. R=Pn(a).
Малку историја. Теоремата на Безут, и покрај нејзината очигледна едноставност и очигледност, е една од фундаментални теоремиполиномна теорија. Оваа теорема ги поврзува алгебарските својства на полиномите (кои ни овозможуваат да работиме со полиноми како цели броеви) со нивните функционални својства(кои овозможуваат полиномите да се третираат како функции). Еден начин да се решат равенките со повисок степен е да се множи полиномот од левата страна на равенката. Пресметувањето на коефициентите на полиномот и остатокот се пишува во форма на табела наречена Хорнерова шема.
Хорнеровата шема е алгоритам за делење полиноми, напишан за специјалниот случај кога количникот е еднаков на бином x–a.
Хорнер Вилијам Џорџ (1786 - 1837), англиски математичар. Основните истражувања се однесуваат на теоријата алгебарски равенки. Развиен метод за приближно решавање на равенки од кој било степен. Во 1819 година тој вовел важен метод за алгебра за делење на полином со бином x - a (Хорнерова шема).
Изведување на општата формула за Хорнеровата шема.
Поделбата на полином f(x) со остаток со бином (x-c) значи наоѓање полином q(x) и број r така што f(x)=(x-c)q(x)+r
Да ја напишеме оваа еднаквост детално:
f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n =(x-c) (q 0 x n-1 + q 1 x n-2 + q 2 x n-3 +...+ q n-2 x + q n-1)+r
Да ги изедначиме коефициентите на исти степени:
xn: f 0 = q 0 => q 0 = f 0 xn-1: f 1 = q 1 - c q 0 => q 1 = f 1 + c q 0 xn-2: f 2 = q 2 - c q 1 => q 2 = f 2 + c q 1 ... ... x0: f n = q n - c q n-1 => q n = f n + c q n-1.
Демонстрација на колото Хорнер со помош на пример.
Вежба 1.Користејќи ја Хорнеровата шема, полиномот f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 со остаток го делиме со биномот x-2.
| 1 | -5 | 0 | 8 | |
| 2 | 1 | 2*1+(-5)=-3 | 2*(-3)+0=-6 | 2*(-6)+8=-4 |
f(x) = x 3 - 5x 2 + 8 =(x-2) (x 2 -3x-6)-4, каде што g(x)= (x 2 -3x-6), r = -4 остаток.
Проширување на полином во моќи на бином.
Користејќи ја шемата на Хорнер, го прошируваме полиномот f(x)=x 3 +3x 2 -2x+4 во моќи на биномот (x+2).
Како резултат на тоа, треба да го добиеме проширувањето f(x) = x 3 +3x 2 -2x+4 = (x+2)(x 2 +x-4)+12 = (x+2)((x-1 )(x+ 2)-2)+12 = ((1*(x+2)-3)(x+2)-2)(x+2))+12 = (x+2) 3 -3( x+2 ) 2 -2 (x+2)+12
Хорнеровата шема често се користи при решавање на равенки од третиот, четвртиот и повисоките степени, кога е погодно да се прошири полиномот во бином x-a. Број аповикани корен на полиномот F n (x) = f 0 x n + f 1 x n-1 + f 2 x n-2 + ...+f n-1 x + f n, ако на x=aвредноста на полиномот F n (x) е еднаква на нула: F n (a)=0, т.е. ако полиномот е делив со биномот x-a.
На пример, бројот 2 е коренот на полиномот F 3 (x)=3x 3 -2x-20, бидејќи F 3 (2)=0. тоа значи. Дека факторизацијата на овој полином содржи фактор x-2.
F 3 (x)=3x 3 -2x-20=(x-2)(3x 2 +6x+10).
Било кој полином F n (x) степен n 1 не може да има повеќе n вистински корени.
Било кој цел коренравенката со целобројни коефициенти е делител на нејзиниот слободен член.
Ако водечкиот коефициент на равенката е 1, тогаш сите рационални корениравенките, доколку постојат, се цели броеви.
Консолидација на изучениот материјал.
За да се консолидира новиот материјал, учениците се покануваат да пополнат броеви од учебникот 2.41 и 2.42 (стр. 65).
(2 ученици решаваат на табла, а останатите, откако одлучиле, ги проверуваат задачите во тетратката со одговорите на таблата).
Сумирајќи.
Откако ја разбравме структурата и принципот на работа на шемата Хорнер, може да се користи и на часови по компјутерски науки, кога се разгледува прашањето за претворање на цели броеви од декаден броен систем во бинарен систем и обратно. Основа за пренесување од еден броен систем во друг е следнава општа теорема
Теорема.За да конвертирате цел број Апод стр-ариен броен систем до основен броен систем гнеопходно Апсеквенцијално дели со остаток по број г, напишано во истиот стр-ари систем додека добиениот количник не стане еднаков на нула. Остатоците од поделбата ќе бидат г-нумерички цифри Ад, почнувајќи од најмладата категорија до највозрасната. Сите активности мора да се извршат во стр-ариен броен систем. За една личност, ова правило е погодно само кога стр= 10, т.е. при преведување оддецимален систем. Што се однесува до компјутерот, напротив, „поудобно“ е да врши пресметки бинарен систем. Затоа, за претворање на „2 во 10“, се користи секвенцијално делење со десет во бинарниот систем, а „10 до 2“ е собирање на моќи од десет. За да се оптимизираат пресметките на процедурата „10 во 2“, компјутерот ја користи економичната пресметковна шема на Хорнер.
Домашна работа. Се предлага да се завршат две задачи.
1-ви. Користејќи ја шемата на Хорнер, поделете го полиномот f(x)=2x 5 -x 4 -3x 3 +x-3 со биномот (x-3).
2. Најди ги целобројните корени на полиномот f(x)=x 4 -2x 3 +2x 2 -x-6 (со оглед на тоа дека секој целоброен корен на равенката со целобројни коефициенти е делител на неговиот слободен член)
Литература.
- Курош А.Г. „Курс за виша алгебра“.
- Николски С.М., Потапов М.К. и други 10 одделение „Алгебра и почетоците на математичката анализа“.
- http://inf.1september.ru/article.php?ID=200600907.
Веб-страницата „Професионален тутор по математика“ ја продолжува серијата методолошки написи за наставата. Објавувам описи на методите на мојата работа со најкомплексните и проблематични темиучилишна наставна програма. Овој материјалќе биде корисно за наставниците и туторите по математика кои работат со ученици од 8-11 одделение редовна програма, а според програмата на часовите по математика.
Учител по математика не може секогаш да објасни материјал што е слабо претставен во учебникот. За жал, ваквите теми стануваат сè побројни, а масовно се прават и презентациски грешки следејќи ги авторите на прирачниците. Ова се однесува не само за почетните тутори по математика и за вонредните тутори (тутори се студенти и универзитетски тутори), туку и за искусни наставници, професионални тутори, тутори со искуство и квалификации. Не сите учители по математика имаат талент компетентно да ги поправаат грубите рабови во училишните учебници. Не секој исто така разбира дека овие корекции (или дополнувања) се неопходни. Малку деца се вклучени во прилагодувањето на материјалот за неговата квалитативна перцепција од децата. За жал, помина времето кога наставниците по математика, заедно со методолозите и авторите на публикации, масовно дискутираа за секоја буква од учебникот. Претходно, пред објавувањето на учебникот во училиштата, беа направени сериозни анализи и студии за резултатите од учењето. Дојде време за аматери кои се стремат да ги направат учебниците универзални, приспособувајќи ги на стандардите на силните часови по математика.
Трката за зголемување на количината на информации води само до намалување на квалитетот на нејзината асимилација и, како последица на тоа, намалување на нивото на вистинско знаењематематика. Но, никој не обрнува внимание на ова. И нашите деца се принудени, веќе во 8-мо одделение, да го учат она што го учевме на институтот: теорија на веројатност, решавање равенки високи степении уште нешто. Прилагодувањето на материјалот во книгите за целосна перцепција на детето остава многу да се посакува, а учителот по математика е принуден некако да се справи со ова.
Ајде да зборуваме за методологијата за предавање на таква специфична тема како „поделба на полином со полином со агол“, попозната во математиката за возрасни како „теорема на Безоут и шема на Хорнер“. Пред само неколку години, прашањето не беше толку итно за тутор по математика, бидејќи не беше дел од главната училишна наставна програма. Сега почитуваните автори на учебникот, уреден од Телјаковски, направија измени во најновото издание на, според мене, најдобриот учебник и, откако целосно го расипаа, само му додадоа непотребни грижи на учителот. Наставниците од училиштата и одделенијата кои немаат статус на математика, фокусирајќи се на иновациите на авторите, почнаа почесто да вклучуваат дополнителни параграфи во часовите, а љубопитните деца, гледајќи ги убавите страници од нивниот учебник по математика, сè почесто ги прашуваат учител: „Каква е оваа поделба со агол? Дали ќе поминеме низ ова? Како да споделите катче? Од вакви директни прашања веќе нема криење. Воспитувачот ќе мора да му каже на детето нешто.
Но како? Веројатно немаше да го опишам начинот на работа со темата доколку таа беше компетентно претставена во учебниците. Како оди се кај нас? Учебниците треба да се печатат и продаваат. И за ова тие треба редовно да се ажурираат. Дали универзитетските професори се жалат дека децата им доаѓаат празноглави, без знаење и вештини? Барања за математичко знаењерастење? Одлично! Ајде да отстраниме некои вежби и наместо тоа да вметнеме теми што се изучуваат во други програми. Зошто ни е полош учебникот? Ајде да вклучиме некои дополнителни поглавја. Учениците не го знаат правилото за делење со агол? Ова е основна математика. Овој став треба да биде изборен, со наслов „за оние кои сакаат да знаат повеќе“. Дали туторите се против тоа? Зошто воопшто се грижиме за туторите? Против се и методолозите и училишните наставници? Ние нема да го комплицираме материјалот и ќе го разгледаме неговиот наједноставен дел.
И тука почнува. Едноставноста на темата и квалитетот на нејзината асимилација лежи, пред сè, во разбирањето на нејзината логика, а не во извршувањето, во согласност со упатствата на авторите на учебниците, одреден сет операции кои не се јасно поврзани една со друга. . Во спротивно, ќе има магла во главата на ученикот. Доколку пресметките на авторите се засноваат на релативно силни студенти(но студирајќи во редовната програма), тогаш не треба да ја презентирате темата во командна форма. Што гледаме во учебникот? Деца, мора да се делиме според ова правило. Добијте го полиномот под аголот. Така, оригиналниот полином ќе биде факторизиран. Сепак, не е јасно да се разбере зошто термините под аголот се избрани токму на овој начин, зошто тие мора да се помножат со полиномот над аголот, а потоа да се одземат од тековниот остаток. И што е најважно, не е јасно зошто на крајот мора да се додадат избраните мономи и зошто добиените загради ќе бидат проширување на оригиналниот полином. Секој компетентен математичар ќе стави задебелен знакпрашање околу објаснувањата дадени во учебникот.
На туторите и професорите по математика им го ставам на вниманието на моето решение на проблемот, кое практично на ученикот му прави очигледно сè што е наведено во учебникот. Всушност, ќе ја докажеме теоремата на Безут: ако бројот a е корен на полином, тогаш овој полином може да се разложи на фактори, од кои едниот е x-a, а вториот се добива од оригиналниот на еден од трите начини: со изолирање на линеарен фактор преку трансформации, со делење со агол или со шемата на Хорнер. Токму со оваа формулација на тутор по математика ќе му биде полесно да работи.
Што е наставна методологија? Пред сè, ова е јасен редослед во низата објаснувања и примери врз основа на кои се извлекуваат математички заклучоци. Оваа темане е исклучок. Многу е важно учителот по математика да го запознае детето со теоремата на Безут пред да се подели со агол. Тоа е многу важно! Најдобар начин да се постигне разбирање е да конкретен пример. Да земеме неколку полиноми со избран корен и да ја прикажеме техниката на негово множење во фактори со метод кој им е познат на учениците од 7-мо одделение идентитетски трансформации. Со соодветни придружни објаснувања, акцент и совети од тутор по математика, сосема е можно да се пренесе материјалот без никакви општи математички пресметки, произволни коефициенти и степени.
Важен совет за учител по математика- следете ги упатствата од почеток до крај и не ја менувајте оваа низа.
Значи, да речеме дека имаме полином. Ако го замениме бројот 1 наместо неговиот X, тогаш вредноста на полиномот ќе биде еднаква на нула. Затоа x=1 е неговиот корен. Ајде да се обидеме да се разложиме на два члена, така што еден од нив е производот линеарен изрази некој моном, а вториот би имал степен еден помал од . Односно, да го претставиме во форма
Го избираме мономот за црвеното поле така што кога ќе се помножи со водечкиот член, тој целосно се совпаѓа со водечкиот член на оригиналниот полином. Ако ученикот не е најслаб, тогаш тој ќе биде сосема способен да му го каже на учителот по математика бараниот израз: . Веднаш треба да се побара од учителот да го вметне во црвеното поле и да покаже што ќе се случи кога ќе се отворат. Најдобро е да го потпишете овој виртуелен привремен полином под стрелките (под малата фотографија), истакнувајќи го со некоја боја, на пример, сина. Ова ќе ви помогне да изберете термин за црвеното поле, наречено остаток од изборот. Тука би ги советувал туторите да посочат дека овој остаток може да се најде со одземање. Извршувајќи ја оваа операција добиваме:
Наставникот по математика треба да го привлече вниманието на ученикот на фактот дека со замена на еден во оваа еднаквост, гарантирано ни е да добиеме нула на неговата лева страна (бидејќи 1 е коренот на оригиналниот полином), а на десната страна, очигледно, ние ќе го нула и првиот член. Ова значи дека без никаква верификација можеме да кажеме дека еден е коренот на „зелениот остаток“.
Ајде да се справиме со него на ист начин како што направивме со оригиналниот полином, изолирајќи го од него истиот линеарен фактор. Наставникот по математика црта две рамки пред ученикот и бара од него да пополнат од лево кон десно.
Ученикот избира за учителот моном за црвеното поле така што, кога ќе се помножи со водечкиот член на линеарниот израз, ќе го даде водечкиот член на полиномот што се шири. Го ставаме во рамката, веднаш ја отвораме заградата и со сино го означуваме изразот што треба да се одземе од преклопниот. Извршувајќи ја оваа операција добиваме
И конечно, правејќи го истото со последниот остаток
конечно ќе го добиеме
Сега да го извадиме изразот од заградата и ќе видиме распаѓање на оригиналниот полином на фактори, од кои еден е „x минус избраниот корен“.
За да се спречи ученикот да мисли дека последниот „зелен остаток“ случајно бил разложен на потребните фактори, учителот по математика треба да посочи важен имотод сите зелени остатоци - секој од нив има корен 1. Бидејќи степените на овие остатоци се намалуваат, тогаш каков и да ни се даде степенот на почетниот полином, порано или подоцна, ќе добиеме линеарен „зелен остаток“ со коренот 1, и затоа нужно ќе разложи во производот некој број и израз.
По ова подготвителна работаНема да биде тешко за учител по математика да му објасни на ученикот што се случува кога се дели со агол. Ова е истиот процес, само во пократка и покомпактна форма, без еднакви знаци и без препишување на истите истакнати термини. Полиномот од кој е извлечен линеарниот фактор е запишан лево од аголот, избраните црвени мономи се собираат под агол (сега станува јасно зошто треба да се соберат), за да се добијат „сините полиноми“, „црвените ” мора да се помножат со x-1, а потоа да се одземат од моментално избраното како се прави тоа кога обична поделбаброеви во колона (еве аналогија со она што беше претходно проучувано). Добиените „зелени остатоци“ се предмет на нова изолација и избор на „црвени мономи“. И така натаму додека не добиете нула „зелен биланс“. Најважно е ученикот да разбере понатамошна судбинанапишани полиноми над и под аголот. Очигледно, ова се загради чиј производ е еднаков на оригиналниот полином.
Следната фаза од работата на учител по математика е формулирањето на теоремата на Безут. Всушност, неговата формулација со овој пристап на учителот станува очигледна: ако бројот a е корен на полином, тогаш тој може да се факторизира, од кои едниот е , а другиот се добива од оригиналниот на еден од трите начини. :
- директно распаѓање (аналогно на методот на групирање)
- делење со агол (во колона)
- преку колото на Хорнер
Мора да се каже дека не сите тутори по математика им го покажуваат дијаграмот Хорнер на учениците, а не сите училишни наставници(за среќа на самите тутори) тие навлегуваат толку длабоко во темата за време на часовите. Меѓутоа, за ученикот математикаНе гледам причина да застанам на долгата поделба. Покрај тоа, најзгодно и брзоТехниката на распаѓање се заснова токму на шемата на Хорнер. За да му се објасни на детето од каде доаѓа, доволно е да се следи, користејќи го примерот на делење со агол, појавата на повисоки коефициенти во зелените остатоци. Станува јасно дека водечкиот коефициент на почетниот полином се носи во коефициентот на првиот „црвен моном“, а подалеку од вториот коефициент на тековниот горен полином се одземарезултатот од множење на тековниот коефициент на „црвениот моном“ со . Затоа е можно додадетерезултатот од множење со . Откако ќе го фокусира вниманието на ученикот на спецификите на дејствата со коефициенти, учителот по математика може да покаже како овие дејства обично се изведуваат без да се запишуваат самите променливи. За да го направите ова, погодно е да се внесат коренот и коефициентите на оригиналниот полином по редослед на приоритет во следната табела:
Ако некој степен недостасува во полиномот, неговиот нулти коефициент се внесува во табелата. Коефициентите на „црвените полиноми“ се запишуваат за возврат во долната линија според правилото „кука“: 
Коренот се множи со последниот црвен коефициент, се додава на следниот коефициент во горната линија, а резултатот се запишува до крајната линија. Во последната колона гарантирано ќе го добиеме највисокиот коефициент на последниот „зелен остаток“, односно нула. По завршувањето на процесот, броевите сместена помеѓу соодветниот корен и нултиот остатокиспаѓаат коефициенти на вториот (нелинеарен) фактор.
Бидејќи коренот a дава нула на крајот од крајната линија, шемата на Хорнер може да се користи за проверка на броевите за насловот на коренот на полиномот. Ако посебна теорема за избор на рационален корен. Сите кандидати за оваа титула добиени со негова помош едноставно се вметнуваат за возврат од лево во дијаграмот на Хорнер. Штом добиеме нула, тестираниот број ќе биде корен, а во исто време ќе ги добиеме коефициентите на размножување на оригиналниот полином на неговата права. Многу удобно.
Како заклучок, би сакал да забележам дека за точно да се воведе шемата на Хорнер, како и практично да се консолидира темата, учител по математика мора да има доволен број часови на располагање. Воспитувачот кој работи со режимот „еднаш неделно“ не треба да се занимава со поделба на аголот. На Единствениот државен испит по математика и на Државната академија по математика по математика, тешко дека во првиот дел некогаш ќе наидете на равенка од трет степен што може да се реши со такви средства. Ако учител подготвува дете за математички испит на Московскиот државен универзитет, проучувањето на темата станува задолжително. Универзитетските наставници, за разлика од составувачите на Единствениот државен испит, навистина сакаат да ја тестираат длабочината на знаењето на апликантот.
Колпаков Александар Николаевич, учител по математика Москва, Строгино
Слајд 3
Хорнер Вилијамс Џорџ (1786-22.9.1837) — англиски математичар. Роден во Бристол. Студирал и работел таму, а потоа во училиштата во Бат. Основни работи на алгебра. Во 1819 г објави метод за приближно пресметување на вистинските корени на полином, кој сега се нарекува метод Руфини-Хорнер (овој метод им бил познат на Кинезите уште во 13 век. Шемата за делење на полином со бином x-a е именувана). по Хорнер.
Слајд 4
ХОРНЕР ШЕМА
Метод на поделба n-ти полиномстепен на линеарен бином - а, врз основа на фактот дека коефициентите на нецелосниот количник и остатокот се поврзани со коефициентите на деливиот полином и со формулите:
Слајд 5
Пресметките според шемата на Хорнер се ставени во табелата:
Пример 1. Делење Делумниот количник е x3-x2+3x - 13, а остатокот е 42=f(-3).
Слајд 6
Главната предност на овој метод е компактноста на снимањето и способноста брза поделбаполином до бином. Всушност, шемата на Хорнер е уште една форма на снимање на методот на групирање, иако, за разлика од вториот, тој е целосно невизуелен. Одговорот (факторизација) овде се добива сам по себе, а ние не го гледаме процесот на негово добивање. Нема да се вклучиме во строго поткрепување на шемата на Хорнер, туку само ќе покажеме како функционира.
Слајд 7
Пример 2.
Да докажеме дека полиномот P(x)=x4-6x3+7x-392 е делив со x-7 и да го најдеме количникот на делењето. Решение. Користејќи ја Хорнеровата шема, наоѓаме P(7): Од тука добиваме P(7)=0, т.е. остаток при делење на полином со x-7 еднаква на нулаи, според тоа, полиномот P(x) е множител на (x-7). затоа P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).
Слајд 8
Факторирајте го полиномот x3 – 5x2 – 2x + 16.
Овој полином има целобројни коефициенти. Ако цел број е коренот на овој полином, тогаш тој е делител на 16. Така, ако y даден полиномима цели корени, тогаш тие можат да бидат само броеви ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Со директна проверка сме убедени дека бројот 2 е коренот на овој полином, односно x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), каде што Q(x) е полином од втор степен
Слајд 9
Добиените броеви 1, −3, −8 се коефициентите на полиномот, кој се добива со делење на првобитниот полином со x – 2. Тоа значи дека резултатот од делењето е: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Степенот на полиномот што произлегува од делењето е секогаш за 1 помал од степенот на првобитниот. Значи: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).
итн. е од општообразовен карактер и има големо значењеда го изучуваат ЦЕЛИОТ курс по виша математика. Денес ќе ги повториме „училишните“ равенки, но не само „училишните“ - туку оние што се наоѓаат насекаде во различни задачи vyshmat. Како и обично, приказната ќе се раскаже на применет начин, т.е. Нема да се фокусирам на дефиниции и класификации, туку точно ќе споделам со вас лично искустворешенија. Информациите се наменети првенствено за почетници, но и понапредните читатели ќе најдат многу за себе. интересни моменти. И секако дека ќе има нов материјал, оди подалеку средно школо.
Значи равенката…. Многумина се сеќаваат на овој збор со морници. Какви вредат „софистицираните“ равенки со корени... ...заборавете на нив! Затоа што тогаш ќе ги сретнете најбезопасните „претставници“ на овој вид. Или досадно тригонометриски равенкисо десетици методи на решение. Да бидам искрен, јас самиот не ги сакав... Не паничете! – тогаш најмногу ве очекуваат „глуварчиња“ со очигледно решение во 1-2 чекори. Иако „burdock“ сигурно се прилепува, тука треба да бидете објективни.
Доволно чудно, во вишата математика е многу повообичаено да се работи со многу примитивни равенки како линеарнаравенки
Што значи да се реши оваа равенка? Ова значи да се најде ТАКВА вредност на „x“ (корен) што го претвора во вистинска еднаквост. Ајде да ги фрлиме „трите“ надесно со промена на знакот:
и спуштете ги „двете“ на десната страна (или, истото - помножете ги двете страни со)
:
За да провериме, да го замениме освоениот трофеј во оригиналната равенка: 
Се добива точната еднаквост, што значи дека пронајдената вредност е навистина корен дадена равенка. Или, како што исто така велат, ја задоволува оваа равенка.
Ве молиме имајте предвид дека коренот може да се напише и во форма децимална:
И обидете се да не се држите до овој лош стил! Ја повторив причината повеќе од еднаш, особено на првата лекција за повисока алгебра.
Патем, равенката може да се реши и „на арапски“:
И што е најинтересно - овој записцелосно легално! Но, ако не сте учител, тогаш подобро е да не го правите ова, бидејќи оригиналноста овде е казнива =)
И сега малку за
метод на графичко решение
Равенката има форма и нејзиниот корен е Координата „Х“. пресечни точки график на линеарна функцијасо распоред линеарна функција (оска x):
Се чини дека примерот е толку елементарен што нема што повеќе да се анализира овде, но од него може да се „исцеди“ уште една неочекувана нијанса: да ја претставиме истата равенка во форма и да конструираме графикони на функциите: 
при што, те молам не ги мешај двата концепта: равенка е равенка, и функција– ова е функција! Функции само помошнајдете ги корените на равенката. Од кои може да има два, три, четири, па дури и бескрајно многу. Најблискиот пример во оваа смисла е добро познатиот квадратна равенка, алгоритам за решение за кој доби посебен став „жешки“ училишни формули. И ова не е случајно! Ако можеш да решиш квадратна равенка и знаеш Питагорова теорема, тогаш, може да се каже, „половина од вишата математика е веќе во џеб“ =) Претерано, се разбира, но не толку далеку од вистината!
Затоа, да не бидеме мрзливи и да решиме некоја квадратна равенка користејќи стандарден алгоритам:
, што значи дека равенката има две различни валиденкорен: 
Лесно е да се потврди дека двете пронајдени вредности всушност ја задоволуваат оваа равенка: 
Што да направите ако наеднаш сте го заборавиле алгоритмот за решение, а нема при рака средства/раки за помош? Оваа ситуација може да се појави, на пример, за време на тест или испит. Ние користиме графички метод! И има два начина: можеш градете точка по точкапарабола 
, со што се открива каде ја пресекува оската (ако воопшто премине). Но, подобро е да направите нешто полукаво: замислете ја равенката во форма, нацртајте графикони повеќе едноставни функции- И „Х“ координатинивните точки на вкрстување се јасно видливи! 
Ако се покаже дека правата линија ја допира параболата, тогаш равенката има два соодветни (повеќе) корени. Ако се покаже дека правата линија не ја пресекува параболата, тогаш нема вистински корени.
За да го направите ова, се разбира, треба да бидете во можност да изградите графикони на елементарни функции, но од друга страна, дури и ученик може да ги прави овие вештини.
И повторно - равенката е равенка, а функциите се функции кои само помогнареши ја равенката!
И тука, патем, би било соодветно да се запамети уште една работа: ако сите коефициенти на равенката се помножат со број што не е нула, тогаш неговите корени нема да се променат.
Така, на пример, равенката 
ги има истите корени. Како едноставен „доказ“, ќе ја извадам константата од загради: 
и безболно ќе го отстранам (Ќе ги поделам двата дела со „минус два“):
НО!Ако ја земеме предвид функцијата 
, тогаш не можете да се ослободите од константата овде! Дозволено е само да се извади мултипликаторот од загради: 
.
Многу луѓе го потценуваат методот на графичко решение, сметајќи го за нешто „недостоинствено“, а некои дури и целосно забораваат на оваа можност. И ова е фундаментално погрешно, бидејќи исцртувањето графикони понекогаш само ја спасува ситуацијата!
Друг пример: да претпоставиме дека не се сеќавате на корените на наједноставната тригонометриска равенка: . Општа формулае во училишни учебници, во сите референтни книги на елементарна математика, но тие не ви се достапни. Сепак, решавањето на равенката е критично (познато како „два“). Има излез! - да изгради графикони на функции: 
по што мирно ги запишуваме „Х“ координатите на нивните пресечни точки: 
Има бесконечно многу корени, а во алгебрата нивната кондензирана нотација е прифатена:
, Каде ( – множество од цели броеви)
.
И, без да „одиме“, неколку зборови за графичкиот метод за решавање на неравенки со една променлива. Принципот е ист. Така, на пример, решението на неравенството е кое било „x“, бидејќи Синусоидот лежи речиси целосно под права линија. Решението на нееднаквоста е збир на интервали во кои деловите од синусоидот лежат строго над правата линија (х-оска):
или накратко:
Но, тука се многуте решенија за нееднаквоста: празен, бидејќи ниту една точка на синусоидот не лежи над правата линија.
Дали има нешто што не го разбирате? Итно проучете ги лекциите за множестваИ графикони на функции!
Ајде да се загрееме:
Вежба 1
Решете ги графички следните тригонометриски равенки:
Одговори на крајот од лекцијата
Како што можете да видите, да студирате точни наукиВоопшто не е неопходно да се натрупаат формули и референтни книги! Покрај тоа, ова е фундаментално погрешен пристап.
Како што веќе ве уверив на самиот почеток на лекцијата, сложените тригонометриски равенки во стандарден курс по повисока математика треба да се решаваат исклучително ретко. Целата сложеност, по правило, завршува со равенки како , чие решение се две групи корени кои потекнуваат од наједноставните равенки и 
. Не грижете се премногу за решавање на второто - побарајте во книга или најдете ја на Интернет =)
Методот на графичко решение може да помогне и во помалку тривијални случаи. Размислете, на пример, следнава равенка „рагтаг“:
Изгледите за негово решение изгледаат... воопшто не личат на ништо, но само треба да ја замислите равенката во форма, изградете графикони на функциии сè ќе испадне неверојатно едноставно. Во средината на статијата има цртеж за бесконечно мали функции (ќе се отвори во следниот таб).
Исто графички методможете да дознаете дека равенката веќе има два корени, а еден од нив е еднаков на нула, а другиот, очигледно, ирационалени припаѓа на сегментот . Даден коренможе да се пресмета приближно, на пример, тангентен метод. Патем, во некои проблеми, се случува да не треба да ги пронајдете корените, туку да дознаете дали воопшто постојат?. И тука, исто така, цртежот може да помогне - ако графиконите не се сечат, тогаш нема корени.
Рационални корени на полиноми со целобројни коефициенти.
Хорнер шема
И сега ве повикувам да го свртите погледот кон средниот век и да ја почувствувате уникатната атмосфера на класичната алгебра. За подобро разбирање на материјалот ви препорачувам да прочитате барем малку сложени броеви.
Тие се најдобри. Полиноми.
Предмет на нашиот интерес ќе бидат најчестите полиноми од формата со целинакоефициенти Природен бројповикани степен на полином, број – коефициент на виша диплома (или само највисок коефициент), а коефициентот е слободен член.
Овој полином накратко ќе го означам со .
Корени на полиномповикајте ги корените на равенката
Ја сакам железната логика =)
На пример, одете на самиот почеток на статијата: 
Нема проблеми со наоѓање на корените на полиномите од 1-ви и 2-ри степени, но како што се зголемувате оваа задача станува сè потешка. Иако од друга страна, се е поинтересно! И токму на ова ќе биде посветен вториот дел од лекцијата.
Прво, буквално половина екран на теоријата:
1) Според заклучокот фундаментална теорема на алгебра, полиномот степен има точно комплекскорени Некои корени (или дури и сите) може да бидат особено валиден. Покрај тоа, меѓу вистинските корени може да има идентични (повеќе) корени (минимум две, максимум парчиња).
Ако некој комплексен број е корен на полином, тогаш конјугираатнеговиот број е исто така нужно коренот на овој полином (коњугирана комплексни корениизгледа како ).
Наједноставниот примере квадратна равенка која првпат се појавила во 8 (допаѓа)час, и кој конечно го „завршивме“ во темата сложени броеви. Дозволете ми да ве потсетам: квадратната равенка има или два различни реални корени, или повеќе корени, или конјугирани сложени корени.
2) Од Теорема на Безутследува дека ако некој број е корен на равенка, тогаш соодветниот полином може да се факторизира:
, каде што е полином на степен .
И повторно нашите стар пример: бидејќи е коренот на равенката, тогаш . После тоа не е тешко да се добие добро познатото „училиште“ проширување.
Последица на теоремата на Безут има голема практична вредност: ако го знаеме коренот на равенката од 3 степен, тогаш можеме да го претставиме во форма 
и од квадратна равенкалесно е да се препознаат преостанатите корени. Ако го знаеме коренот на равенката од 4 степен, тогаш е можно да се прошири левата страна во производ итн.
И тука има две прашања:
Прашање еден. Како да го пронајдете овој корен? Пред сè, да ја дефинираме неговата природа: во многу проблеми од вишата математика потребно е да се најде рационален, особено целинакорени на полиноми, а во овој поглед, понатаму главно ќе не интересираат.... ...толку се добри, толку меки, што само сакате да ги најдете! =)
Првото нешто што ми паѓа на ум е методот на селекција. Размислете, на пример, равенката . Уловот овде е во слободниот термин - ако беше еднаков на нула, тогаш сè ќе беше во ред - го вадиме „x“ од заградите и самите корени „испаѓаат“ на површината: 
Но, нашиот слободен член е еднаков на „три“, и затоа почнуваме да се заменуваме во равенката различни броеви, тврдејќи дека е „коренот“. Како прво, замената се сугерира сама по себе единечни вредности. Ајде да замениме: 
Примено погрешноеднаквост, така што единицата „не одговараше“. Па, во ред, ајде да го замениме: 
Примено вистинаеднаквост! Тоа е, вредноста е коренот на оваа равенка.
За да се најдат корените на полином од 3 степен, постојат аналитички метод (т.н. Кардано формули), но сега сме заинтересирани за малку поинаква задача.
Бидејќи - е коренот на нашиот полином, полиномот може да се претстави во форма и произлегува Второ прашање: како да се најде „помлад брат“?
Наједноставните алгебарски размислувања сугерираат дека за да го направиме ова треба да се делиме со . Како да се подели полином со полином? Исто училишен методсподелени обични броеви- „во колумна“! Овој методДетално разговарав за тоа во првите примери на лекцијата Комплексни граници, и сега ќе разгледаме друг метод, кој се нарекува Хорнер шема.
Прво го пишуваме „највисокиот“ полином со сите
, вклучувајќи нула коефициенти:
, по што ги внесуваме овие коефициенти (строго по редослед) во горниот ред од табелата:
Коренот го пишуваме лево:
Веднаш ќе направам резервација дека шемата на Хорнер исто така функционира ако е „црвениот“ број Нее коренот на полиномот. Сепак, да не брзаме со работите.
Го отстрануваме водечкиот коефициент одозгора:
Процесот на пополнување на долните ќелии донекаде потсетува на вез, каде што „минус еден“ е еден вид „игла“ што продира во следните чекори. Го множиме бројот „пренесен“ со (–1) и го додаваме бројот од горната ќелија на производот:
Пронајдената вредност ја множиме со „црвената игла“ и на производот го додаваме следниов коефициент на равенка:
И, конечно, добиената вредност повторно се „обработува“ со „иглата“ и горниот коефициент:
Нулата во последната ќелија ни кажува дека полиномот е поделен на без трага (како што треба да биде), додека коефициентите на проширување се „отстранети“ директно од долната линија на табелата:
Така, од равенката на која се преселивме еквивалентна равенкаа со двата преостанати корени се е јасно (В во овој случајдобиваме конјугирани сложени корени).
Равенката, инаку, може да се реши и графички: заплет "молња" 
и види дека графикот ја преминува оската x ()
во точка. Или истиот „лукав“ трик - ја препишуваме равенката во форма, цртаме елементарна графикаи детектирајте ја „X“ координатата на нивната пресечна точка.
Патем, графикот на која било полиномна функција од трет степен ја пресекува оската барем еднаш, што значи дека соодветната равенка има баремеден валиденкорен. Овој фактвалидна за која било полиномна функција со непарен степен.
И тука би сакал да се задржам важна точка што се однесува на терминологијата: полиномИ полиномна функција – не е иста работа! Но, во пракса тие често зборуваат, на пример, за „графикот на полином“, што, се разбира, е небрежност.
Сепак, да се вратиме на шемата на Хорнер. Како што споменав неодамна, оваа шема работи за други броеви, но ако бројот Нее коренот на равенката, тогаш во нашата формула се појавува собирање кое не е нула (остаток):
Ајде да ја „изведеме“ „неуспешната“ вредност според шемата на Хорнер. Во овој случај, погодно е да се користи истата табела - напишете нова „игла“ лево, поместете го водечкиот коефициент одозгора (лева зелена стрелка), и тргнуваме: 
За да провериме, да ги отвориме заградите и да презентираме слични термини:
, ДОБРО.
Лесно е да се забележи дека остатокот („шест“) е точно вредноста на полиномот на . А всушност - како е: 
, и уште поубаво - вака:
Од горенаведените пресметки, лесно е да се разбере дека шемата на Хорнер овозможува не само да се факторизира полиномот, туку и да се изврши „цивилизиран“ избор на коренот. Ви предлагам сами да го консолидирате алгоритмот за пресметка со мала задача:
Задача 2
Користејќи ја шемата на Хорнер, пронајдете го целобројниот корен на равенката и пресметајте го соодветниот полином
Со други зборови, овде треба последователно да ги проверите броевите 1, –1, 2, –2, ... – додека не се „извлече“ нулта остаток во последната колона. Ова ќе значи дека „иглата“ на оваа линија е коренот на полиномот
Удобно е да се подредат пресметките во една табела. Детално решение и одговор на крајот од часот.
Начинот на избор на корени е добар за релативно едноставни случаи, но ако коефициентите и/или степенот на полиномот се големи, тогаш процесот може да трае долго. Или можеби има некои вредности од истата листа 1, -1, 2, -2 и нема смисла да се размислува? И, покрај тоа, корените може да испаднат фракционо, што ќе доведе до целосно ненаучно ѕиркање.
За среќа, постојат две моќни теореми кои можат значително да го намалат пребарувањето за „кандидатски“ вредности за рационални корени:
Теорема 1Ајде да размислиме ненамалувањедропка , каде . Ако бројот е коренот на равенката, тогаш слободниот член се дели со, а водечкиот коефициент се дели со.
Особено, ако водечкиот коефициент е , тогаш овој рационален корен е цел број:
И ние почнуваме да ја користиме теоремата само со овој вкусен детал:
Да се вратиме на равенката. Бидејќи неговиот водечки коефициент е , тогаш хипотетичките рационални корени можат да бидат исклучиво цел број, а слободниот член нужно мора да се подели на овие корени без остаток. И „три“ може да се поделат само на 1, -1, 3 и -3. Односно, имаме само 4 „корен кандидати“. И, според Теорема 1, друго рационални броевине може ВО ПРИНЦИП да бидат корените на оваа равенка.
Има малку повеќе „претенденти“ во равенката: слободниот член е поделен на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.
Ве молиме имајте предвид дека броевите 1, -1 се „редовни“ на списокот на можни корени (очигледна последица на теоремата)и повеќето најдобар изборза проверка на приоритет.
Ајде да преминеме на позначајни примери:
Проблем 3
Решение: бидејќи водечкиот коефициент е , тогаш хипотетичките рационални корени можат да бидат само цел број, и тие нужно мора да бидат делители на слободниот член. „Минус четириесет“ е поделен на следните парови на броеви:
– вкупно 16 „кандидати“.
И тука веднаш се појавува примамлива мисла: дали е можно да се исчистат сите негативни или сите позитивни корени? Во некои случаи тоа е можно! Ќе формулирам два знака:
1) Ако СитеАко коефициентите на полиномот се ненегативни, тогаш тој не може да има позитивни корени. За жал, тоа не е нашиот случај (Сега, ако ни беше дадена равенка - тогаш да, при замена на која било вредност на полиномот, вредноста на полиномот е строго позитивна, што значи дека сè позитивни бројки (и ирационалните исто така)не може да бидат корени на равенката.
2) Ако коефициентите за непарните сили се ненегативни, а за сите парни сили (вклучувајќи бесплатен член)се негативни, тогаш полиномот не може да има негативни корени. Ова е нашиот случај! Гледајќи малку поблиску, можете да видите дека кога ќе замените негативен „x“ во равенката лева странаќе биде строго негативно, што значи негативни корениисчезне
Така, остануваат 8 бројки за истражување:
Ние постојано ги „наплаќаме“ според шемата на Хорнер. Се надевам дека веќе сте совладале ментални пресметки:
Среќата не чекаше при тестирањето на „двајцата“. Така, е коренот на равенката што се разгледува, и
Останува да се проучи равенката 
. Ова е лесно да се направи преку дискриминаторот, но јас ќе спроведам индикативен тест користејќи ја истата шема. Прво, да забележиме дека слободниот член е еднаков на 20, што значи Теорема 1Броевите 8 и 40 испаѓаат од списокот на можни корени, оставајќи ги вредностите за истражување (еден беше елиминиран според шемата на Хорнер).
Коефициентите на триномот ги запишуваме во горната линија нова масаИ Почнуваме да проверуваме со истите „два“. Зошто? И бидејќи корените можат да бидат множители, ве молиме: - оваа равенка има 10 идентични корени. Но, да не се расејуваме: 
И тука, се разбира, малку се излажав, знаејќи дека корените се рационални. На крајот на краиштата, ако тие беа ирационални или сложени, тогаш би се соочил со неуспешна проверка на сите преостанати бројки. Затоа, во пракса, водете се од дискриминаторот.
Одговори: рационални корени: 2, 4, 5
Имавме среќа во проблемот што го анализиравме, бидејќи: а) веднаш паднаа негативни вредности, и б) го најдовме коренот многу брзо (и теоретски можевме да ја провериме целата листа).
Но, во реалноста ситуацијата е многу полоша. Ве поканувам да гледате возбудлива играсо наслов " Последниот херој»:
Проблем 4
Најдете ги рационалните корени на равенката
Решение: Од страна Теорема 1броителите на хипотетички рационални коренимора да го исполни условот (читаме „дванаесет се делат со ел“), а именителот одговара на условот . Врз основа на ова, добиваме две списоци:
"листа ел":
и „листа ем“: (за среќа, бројките овде се природни).
Сега да направиме листа на сите можни корени. Прво, ја делиме „ел листата“ со . Апсолутно е јасно дека ќе се добијат истите бројки. За погодност, да ги ставиме во табела:
Многу фракции се намалени, што резултира со вредности кои веќе се во „листата на херои“. Додаваме само „новичоки“: 
Слично на тоа, ние ја делиме истата „листа“ со: 
и конечно на
Така, тимот на учесници во нашата игра е комплетиран: 
За жал, полиномот во овој проблем не го задоволува критериумот „позитивен“ или „негативен“ и затоа не можеме да го отфрлиме горниот или долниот ред. Ќе мора да работите со сите бројки.
Како се чувствуваш? Ајде, кренете ја главата - има уште една теорема што фигуративно може да се нарече „теорема на убиецот“…. ...„кандидати“, се разбира =)
Но, прво треба да се движите низ дијаграмот на Хорнер барем за еден целотоброеви. Традиционално, да земеме еден. Во горниот ред ги пишуваме коефициентите на полиномот и сè е како и обично:
Бидејќи четири очигледно не е нула, вредноста не е коренот на полиномот за кој станува збор. Но, таа многу ќе ни помогне.
Теорема 2Ако за некои генералновредноста на полиномот е ненула: , тогаш неговите рационални корени (ако се)го задоволуваат условот
Во нашиот случај и затоа сите можни корени мора да го задоволат условот (да го наречеме Состојба бр. 1). Оваа четворка ќе биде „убиец“ на многу „кандидати“. Како демонстрација, ќе погледнам неколку проверки:
Да го провериме „кандидатот“. За да го направите ова, вештачки да го претставиме во форма на дропка, од која јасно се гледа дека . Да ја пресметаме разликата во тестот: . Четири се делат со „минус два“: , што значи дека можниот корен го поминал тестот.
Ајде да ја провериме вредноста. Еве ја разликата во тестот: 
. Се разбира, и затоа вториот „предмет“ исто така останува на списокот.
Користејќи го ова математичка програмаможете да ги делите полиномите по колони.
Програмата за делење полином со полином не го дава само одговорот на проблемот, туку дава детално решениесо објаснувања, т.е. го прикажува процесот на решение за тестирање на знаењата по математика и/или алгебра.
Оваа програма може да биде корисна за средношколците средни училиштаво подготовка за тестовии испити, при проверка на знаењето пред обединет државен испит, за родителите да го контролираат решавањето на многу проблеми по математика и алгебра. Или можеби е премногу скапо за вас да ангажирате учител или да купите нови учебници? Или само сакате да го завршите што е можно побрзо? домашна работапо математика или алгебра? Во овој случај, можете да ги користите и нашите програми со детални решенија.
На овој начин можете да спроведете сопствена обука и/или ваша обука. помлади браќаили сестри, додека нивото на образование во областа на проблемите што се решаваат се зголемува.
Ако ви треба или поедностави полиномили множи полиноми, тогаш за ова имаме посебна програма Поедноставување (множење) на полином
Поделете ги полиномите Откриено е дека некои скрипти неопходни за решавање на овој проблем не се вчитани, а програмата може да не работи.
Можеби имате овозможено AdBlock.
Во овој случај, оневозможете го и освежете ја страницата.
За да се појави решението, треба да овозможите JavaScript.
Еве инструкции за тоа како да овозможите JavaScript во вашиот прелистувач.
Бидејќи Има многу луѓе кои се подготвени да го решат проблемот, вашето барање е на ред.
За неколку секунди решението ќе се појави подолу.
Ве молам почекајте сек...
Ако ти забележал грешка во решението, тогаш можете да напишете за ова во Формуларот за повратни информации.
Не заборавај посочете која задачавие одлучувате што внесете во полињата.
Нашите игри, загатки, емулатори:
Малку теорија.
Поделба на полином на полином (бином) со колона (агол)
Во алгебра делење полиноми со колона (агол)- алгоритам за делење на полином f(x) со полином (бином) g(x), чиј степен е помал или еднаков на степенот на полиномот f(x).
Алгоритмот за делење полином по полином е генерализирана форма на делење на броеви во колона што може лесно да се имплементира рачно.
За сите полиноми \(f(x) \) и \(g(x) \), \(g(x) \neq 0 \), постојат единствени полиноми \(q(x) \) и \(r( x ) \), така што
\(\frac(f(x))(g(x)) = q(x)+\frac(r(x))(g(x)) \)
и \(r(x)\) има понизок степен од \(g(x)\).
Целта на алгоритмот за делење на полиноми во колона (агол) е да се најде количникот \(q(x) \) и остатокот \(r(x) \) за дадена дивиденда \(f(x) \) и ненулти делител \(g(x) \)
Пример
Ајде да поделиме еден полином со друг полином (бином) користејќи колона (агол):
\(\голем \frac(x^3-12x^2-42)(x-3) \)
Количникот и остатокот од овие полиноми може да се најдат со извршување на следните чекори:
1. Поделете го првиот елемент од дивидендата со највисокиот елемент на делителот, ставете го резултатот под линијата \((x^3/x = x^2)\)
|
3. Од дивидендата одземете го полиномот добиен по множење, резултатот запишете го под правата \((x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x- 42) \)
|
|
4. Повторете ги претходните 3 чекори, користејќи го полиномот напишан под линијата како дивиденда.
|
|
5. Повторете го чекор 4.
|
|
6. Крај на алгоритмот.
Така, полиномот \(q(x)=x^2-9x-27\) е количник на делењето на полиномите, а \(r(x)=-123\) е остатокот од делењето на полиномите.
Резултатот од делењето полиноми може да се запише во форма на две еднаквости:
\(x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123\)
или
\(\large(\frac(x^3-12x^2-42)(x-3)) = x^2-9x-27 + \large(\frac(-123)(x-3)) \)