يتم استخدام كلمة "المطابقة" في كثير من الأحيان باللغة الروسية، فهي تعني العلاقة بين شيء ما، معربا عن الاتساق والمساواة في بعض النواحي ( القاموس التوضيحيأوزيجوفا).
كثيرًا ما تسمع في الحياة: "يتوافق هذا الكتاب المدرسي مع هذا البرنامج، لكن هذا الكتاب المدرسي لا يتوافق (ولكن قد يتوافق مع برنامج آخر)؛" هذه التفاحة تتوافق مع أعلى درجة، ولكن هذه هي الأولى فقط. " نقول أن هذه الإجابة في الامتحان تتوافق مع درجة "ممتاز"، وهذه الإجابة - "جيد". نقول أن هذا الشخص يناسب (بمعنى الملاءمة) ملابس مقاس 46. وفقا للتعليمات عليك أن تفعل هذا وليس غير ذلك. هناك مراسلة بين الرقم الأيام المشمسةسنويا وإنتاجية المحاصيل.
وإذا حاولت تحليل هذه الأمثلة، فسوف تلاحظ ذلك في جميع الحالات نحن نتحدث عنهحول فئتين من الكائنات، وبين الكائنات من نفس الفئة يتم إنشاؤه بواسطة قواعد معينةبعض الارتباط مع كائنات من فئة أخرى. على سبيل المثال، في حالة الملابس التي تناسب حجمًا معينًا، فإن إحدى فئات الأشياء هي الأشخاص، والفئة الأخرى من الأشياء هي بعض الأعداد الطبيعيةتلعب دور مقاسات الملابس. يمكننا وضع القاعدة التي يتم من خلالها إثبات الامتثال، على سبيل المثال، باستخدام خوارزمية طبيعية - تجربة بدلة معينة أو تحديد مدى ملاءمتها "بالعين".
سننظر في المراسلات التي تم تحديد فئات الكائنات التي تم إنشاء المراسلات بينها وقاعدة إنشاء المراسلات بشكل كامل. تمت دراسة العديد من الأمثلة على هذه المراسلات في المدرسة. بادئ ذي بدء، هذه، بالطبع، وظائف. أي وظيفة هي مثال على المراسلات. في الواقع، خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، الوظيفة في = X+ 3. إذا لم يتم ذكر مجال تعريف الدالة بشكل محدد، فيعتبر أن كل قيمة عددية للوسيطة Xيتوافق قيمة رقمية في، والتي وجدت وفقا للقاعدة: ل Xتحتاج إلى إضافة 3. في هذه الحالة، يتم إنشاء المراسلات بين المجموعات ر و ر أرقام حقيقية.
لاحظ أن إنشاء اتصالات بين مجموعتين Xو يالمرتبطة بالنظر في أزواج من الكائنات المتكونة من عناصر المجموعة Xوالعناصر المقابلة للمجموعة ي.
تعريف. امتثالبين مجموعات Xو ياستدعاء أي مجموعة فرعية غير فارغة من المنتج الديكارتي X ´ ي.
كثير Xمُسَمًّى منطقة المغادرةمباريات، مجموعة ي – منطقة الوصولامتثال.
عادة ما يتم الإشارة إلى المراسلات بين المجموعات بالأحرف الكبيرة الأبجدية اللاتينية، على سبيل المثال، ر، س، ت. لو ر- بعض المراسلات بين المجموعات Xو يثم حسب تعريف المراسلات رÍ X´ يو ر≠ Æ. أوقات المراسلات بين المجموعات Xو يهي كل مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي X ´ ي، أي. عبارة عن مجموعة من الأزواج المرتبة، فإن طرق تحديد المراسلات هي في الأساس نفس طرق تحديد المجموعات. لذلك، مطابقة ربين مجموعات Xو ييمكنك ضبط:
أ) سرد جميع أزواج العناصر ( س، ص) Î ر;
ب) الإشارة خاصية مميزة، والتي تمتلكها جميع الأزواج ( س، ص) مجموعات رولا يمتلكها أي زوج ليس عنصرها.
أمثلة.
1) الامتثال ربين مجموعات X= (20، 25) و ي= (4، 5، 6) يتم تحديدها من خلال الإشارة إلى الخاصية المميزة: " Xعديد في»,
X Î X, في Î ي. ثم كثير ر = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) الامتثال ربين مجموعات X= (2، 4، 6، 8) و
ي= (1، 3، 5) معطى بواسطة مجموعة من الأزواج ر = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
لو ر- المراسلات بين اثنين مجموعات رقمية Xو ي، ثم تصور جميع أزواج الأرقام المقابلة رعلى مستوى الإحداثياتنحصل على شكل يسمى الرسم البياني للمراسلة ر. على العكس من ذلك، تعتبر أي مجموعة فرعية من النقاط على المستوى الإحداثي رسمًا بيانيًا لبعض المراسلات بين المجموعات الرقمية Xو ي.
رسم بياني مطابق
لعرض المراسلات بشكل مرئي بين المجموعات المحدودة، بالإضافة إلى الرسوم البيانية، يتم استخدام الرسوم البيانية. (من كلمة يونانية"grapho" - أكتب، أقارن: رسم بياني، تلغراف).
لبناء رسم بياني للمراسلات بين المجموعات Xو ييتم تصوير عناصر كل مجموعة كنقاط على المستوى، ثم يتم سحب الأسهم منها X Î Xل في Î ي، إذا كان الزوج ( س، ص) ينتمي إلى هذه المراسلات. والنتيجة هي رسم يتكون من النقاط والأسهم.
مثال مراسلة ربين مجموعات X= (2، 3، 4، 5) و ي= (4، 9) يتم الحصول عليه عن طريق سرد الأزواج ر = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
بنفس الطريقة يمكنك كتابة 4 ر 4, 3ر 9. وبشكل عام، إذا كان زوجين
(س، ص) Î ر، ثم يقولون أن العنصر X Î Xيطابق العنصر في Î يواكتب xRу. العنصر 2 أو Xتسمى الصورة العكسية للعنصر
4 د يتخضع للامتثال روتم تعيينه 4 ر-1 2. وبالمثل، يمكنك كتابة 4 ر -1 4, 9ر -1 3.
الخيار 1
№
هناك مراسلات بين المجموعتين X وY _________________________________ __________________________________________________ X x Y.
№2. في الأشكال، يتم تحديد المراسلات بين المجموعات باستخدام الرسوم البيانية. حدد رسمًا بيانيًا مطابقًا لا يتطابق فيه مجال تعريف المطابقة مع مجموعة أصل المطابقة.
№
1
) رسم بياني، 2) رسم بياني، 3) قائمة الأزواج، 4) خاصية مميزة
أ 
) ب) أ<
ب
№4. ما هو الشكل الذي يوضح الرسوم البيانية للمراسلات العكسية؟
أ 
) ب) ج) د)
№5. بين المجموعات M = (A، B، C، D، E) و N = (1، 2، 3، 4، 5) يتم إعطاء المراسلات س: "العنصر م يذهب في الأبجدية الروسية تحت الرقم ن " تحديد تصريحات حقيقية:
مجموعات M و N متساويان في القوة.
يتطابق مجال تعريف المراسلات Q مع مجموعة القيم الخاصة بها.
№6. (مهمة عملية). بين المجموعات A = (1، 2، 3، 4، 5) و B = (2، 4، 6، 8،10) يتم تحديد المراسلات T: " أ أقل ب بمقدار 2"
قائمة الأزواج المتطابقة T
قم بتعيين المراسلات T -1، معكوس المعطى، وقم بإدراج أزواجها
أنشئ رسومًا بيانية للمراسلات بين T وT -1 في نفس نظام الإحداثيات
اختبار حول موضوع "المراسلات بين المجموعات"
الخيار 2
№1. أكمل الكلمات المفقودة في الجملة:
المراسلات بين المجموعتين X و Y هي مجموعة من ______________________________، المكون الأول منها هو _______ إلى المجموعة X، والثاني هو _____.
№2. في الأشكال، يتم تحديد المراسلات بين المجموعات باستخدام الرسوم البيانية. قم بتوفير رسم بياني مطابق تتطابق فيه مجموعة قيمة المطابقة مع مجموعة وصول المطابقة.
№3. مطابقة اسم طريقة المطابقة وصورتها.
1) ، قائمة الأزواج 2) الخاصية المميزة، 3) الرسم البياني، 4) الرسم البياني
أ) ب) أ<
ب
ج) ع = ((2;3), (5;6), (4;5)) د)
№4. ما هو الشكل الذي يوضح الرسم البياني للمراسلات واحد لواحد؟
أ ) ب) ج) د)
№5. بين المجموعتين A = ( 1، 2، 3، 4، ) و B = ( 2، 4، 6، 8، 9) يتم تحديد المراسلات Q: " أ أقل ب ثلاث مرات." يرجى الإشارة إلى العبارات الصحيحة:
المراسلات هي واحد لواحد.
مراسلة " ب أكثر أ 3 مرات" هو عكس ذلك.
لا يتطابق المجال المطابق لـ Q مع مجموعة الأصل الخاصة به.
№6. (مهمة عملية). بين المجموعتين M = (1، 2، 3، 4، 5) و N = (1، 2، 4، 6، 8،10) يتم إعطاء المراسلات T: م 2 = ن
قائمة الأزواج المتطابقة من T.
قم بإدراج أزواج المراسلات T -1 معكوسًا للمعطى المحدد وقم بإنشاء الرسم البياني الخاص بها.
أنشئ رسومًا بيانية للمراسلات بين T وT -1 في نفس نظام الإحداثيات.
اختبار حول موضوع "المراسلات بين المجموعات"
جدول الإجابة.
الخيار 1.
الخيار 2.
مجموعة فرعية؛ المنتج الديكارتي للمجموعات
أزواج مرتبة؛ ينتمي؛ مجموعة Y
1 د، 2 أ، 3 ج، 4 ب
1ج، 2ب، 3د، 4أ
أ، ب
قبل الميلاد
معيار التقييم:
№1 – 2 نقطة
№2 – 1 نقطة
№3 – 1 نقطة
№4 – 1 نقطة
№5 - 3 نقاط
№6 – 4 نقاط
المجموع 12 نقطة.
العلامات:
12-11 نقطة – 5
10 - 9 نقاط - 4
8 – 6 نقاط – 3
أقل من 6 نقاط - 2
الخيار 1
№1. أكمل الكلمات المفقودة في الجملة:
العلاقة على المجموعة X هي أي _________________________________ __________________________________________________ X x X.
№2. في المجموعة أ = (1، 2، 3، 4، 5، 6) معطى علاقات مختلفة:
تحديد الأعمدة:
№
علاقة التكافؤ.
علاقة النظام
علاقة التوازي على مجموعة الخطوط المستقيمة في المستوى
№
أ ) ب) ج) د)
№5. قارن العلاقات المحددة على مجموعة من المنازل وخصائصها:
"لهم نفس عدد الطوابق"
"لديك المزيد من الشقق"
"سيتم بناؤه قبل عامين"
الانعكاسية
التماثل
عدم التماثل
العبور
№Xلا كبار السن في"، محددة على مجموعة من الأطفال. هل هذه العلاقة علاقة نظامية؟
أولغا 7 سنوات
نيكولاي 8 سنوات
فالنتين 9 سنوات
اناتولي 8 سنوات
سفيتلانا 7 سنوات
بيتر 7 سنوات
اختبار حول موضوع "العلاقات بين المجموعات"
الخيار 2
№1. أكمل الكلمات المفقودة في الجملة:
العلاقة على المجموعة X هي مجموعة ______________________________، وكلا مكوناتها _______ إلى المجموعة X.
№2. العلاقات المختلفة معطاة في المجموعة (2، 3، 5، 7، 9):
تحديد الأعمدة:
№
3. باستخدام الرسم البياني، حدد أي العلاقات هي:
علاقة النظام
العلاقة "أقل من أو يساوي" في المجموعة N
№4. ما هو الشكل الذي يوضح الرسم البياني للعلاقات بين المجموعات؟
أ ) ب) ج) د)
№5. قارن العلاقات المحددة على مجموعة الطلاب في الفصل وخصائصهم:
"العيش في نفس الشارع"
"أن تكون أكبر بسنة واحدة"
"العيش بالقرب من المدرسة"
الانعكاسية
التماثل
عدم التماثل
العبور
№6. (مهمة عملية). إنشاء رسم بياني للعلاقة " Xلديه نفس الجنس في"، محددة على مجموعة من الأطفال. فهل هذه العلاقة علاقة تكافؤ؟
أولغا
نيكولاي
عيد الحب
اناتولي
سفيتلانا
بيتر
اختبار حول موضوع "العلاقات بين المجموعات"
جدول الإجابة.
الخيار 1.
الخيار 2.
مجموعة فرعية؛ المنتج الديكارتي للمجموعة (المربع الديكارتي)
أزواج مرتبة؛ ينتمي ل؛ مجموعة X
1أ، 2أ، 3أ،ب، 4ب، 5أ، 6ب، 7ب
1ب، ج، 2ج، 3ب، 4ج، 5ب، 6ج، 7ج
1أ، 2ب، 3أ، د
1أ،ب،2ج
أ - 1، 2، 4؛ ب - 3، 4؛ ج – 3
أ - 1، 2، 4؛ ب – 3، ج – 3، 4
معيار التقييم:
№1 – 2 نقطة
№2 – 7 نقاط
№3 – 3 نقاط
№4 – 1 نقطة
№5 - 3 نقاط
№6 - 2 نقطة
المجموع 18 نقطة.
العلامات:
18-17 نقطة – 5
16 - 13 نقطة - 4
12 - 9 نقاط - 3
أقل من 9 نقاط – 2
يتم تحديد الارتباط الوثيق بين العناصر في النظام من خلال المادية، أو بالأحرى، العلاقات الطبيعيةبينهما، أو غيرها من الخصائص الأساسية للنظام، على سبيل المثال، الاقتصادية والاجتماعية التي تميز تطور المجتمع البشري.
يعتمد عمق هذه الاتصالات على مستوى النظام في التسلسل الهرمي للأنظمة المرتبطة به مجال الموضوعوجود الموضوع قيد الدراسة كائن معقد. تشمل الروابط كلا من العلاقات العامة بين عناصر الطبيعة والمجتمع التي تشكل النظام، والعلاقات الخاصة المتعلقة بمجموعة محدودة معينة من عناصره. فيما يتعلق بما سبق، تسمى هذه الاتصالات إما القوانين العامةطبيعة (أساسي)أو خاص، تتعلق بمجموعة محدودة من الظواهر (القوانين التجريبية)أو إلى الاتجاهات التي تظهر في شكل بعض التكرارات في الظواهر الجماعيةودعا انتظام.
تسمى الروابط الأساسية القوانين. القانون فئة فلسفية لها خصائص العالمية فيما يتعلق بالجميع الأشياء الطبيعية، الظواهر، الأحداث. وفي هذا الصدد يكون تعريف القانون كما يلي: القانون هو علاقة أساسية ومستقرة ومتكررة بين أي ظاهرة.
يعبر القانون عن وجود علاقة معينة بين الأنظمة نفسها، العناصر المكونةجمعيات الأشياء والظواهر، وكذلك داخل الأشياء والظواهر نفسها.
ليس كل اتصال هو القانون. يمكن أن يكون ضروريا أو عرضيا، والقانون هو اتصال ضروري. إنه يعبر عن العلاقة الأساسية بين الأشياء الموجودة في الفضاء (التكوينات المادية بالمعنى العام).
كل ما ذكر أعلاه ينطبق على قوانين التشغيل(وجود البيئة الطبيعيةأو خلقها الإنسان بشكل مصطنع). هناك أيضا قوانين التنمية، معبراً عن اتجاه أو اتجاه أو ترتيب الأحداث في الوقت المناسب. الجميع القوانين الطبيعية- ليست من صنع أيدي البشر، فهي موجودة في العالم بشكل موضوعي وتعبر عن علاقات الأشياء، وتنعكس أيضًا في الوعي الإنساني.
وكما سبق أن ذكرنا فإن القوانين تنقسم حسب درجة العمومية. القوانين العالمية هي قوانين فلسفية. وتنقسم القوانين الأساسية للطبيعة، في عموميتها، أيضًا إلى فئتين كبيرتين. إلى العلوم الأكثر عمومية، التي يدرسها عدد، أو حتى مجموعة متنوعة تمامًا من العلوم (وتشمل هذه، على سبيل المثال، قوانين الحفاظ على الطاقة والمعلومات، وما إلى ذلك). وأقل القوانين العامة، والتي تمتد إلى مناطق محدودة، تدرسها علوم محددة (الفيزياء والكيمياء والأحياء).
وتدرس القوانين التجريبية العلوم الخاصة التي تشمل جميع العلوم التقنية. كمثال، يمكننا أن نأخذ نظام قوة المواد. يدرس المواد والأنظمة التي تنطبق فيها جميع القوانين الأساسية والقوانين التجريبية، وذلك بناءً على البيانات التجريبية التي تتعلق بمواضيع التخصص فقط تلك الهيئات الميكانيكيةوالتي تخضع لقانون هوك: تشوه الجسم يتناسب طرديًا مع القوة المؤثرة على الجسم (والعكس صحيح).
في العلوم التقنيةهناك أقسام تعتمد على أكثر تحديدا اتصالات تجريبية، مقبولة كبديهيات.
تعبر بعض القوانين عن اعتماد كمي صارم وهي ثابتة الصيغ الرياضيةبينما البعض الآخر ليس قابلاً بعد لإضفاء الطابع الرسمي، مما يشير إلى الطبيعة الإلزامية لنوع واحد من الأحداث بسبب وقوع نوع آخر، على سبيل المثال.
بعض القوانين - عازم،أي - أي أنها تثبت على أساس السببية - اتصالات التحقيقالعلاقات الكمية الدقيقة، وغيرها - إحصائية، تحديد احتمال وقوع حدث في ظل ظروف معينة.
في الطبيعة، تعمل القوانين كقوة عفوية. ومع ذلك، بمعرفة القوانين، يمكن استخدامها بشكل هادف الأنشطة العملية(مثل قوة ضغط البخار في المحركات البخارية، مثل قوة الغاز المضغوط في محركات الاحتراق الداخلي).
ولا تختلف القوانين الاجتماعية التاريخية كثيرًا عن قوانين الطبيعة، ولكنها تعمل فيما بينها تفكير الناس. معرفة هذه القوانين يساعد تنظيم أفضلالاقتصاد والمجتمع.
وبالتالي فإن دراسة قوانين الطبيعة والمجتمع هي المهمة الأساسية للإنسانية. فقط معرفة القوانين وتطوير التدابير لاستخدامها الصحيح يمكن أن توفر للإنسانية النامية والمتنامية الغذاء والبيئة التي تم إنشاؤها بشكل مصطنع والتي يمكن أن توجد فيها.
تعتمد سرعة حل المشكلات الجديدة التي تنشأ على مقدار الاحتياطي المعرفة العلميةالناس أنقذوا من أجل في اللحظةوكيف تمت معالجتها وفهمها. فهم المعرفة العلمية يؤدي إلى صياغتها مشكلة علميةوالتي يمكن أن يؤدي حلها إلى إكمال النظرية حول هذه المجموعة من القضايا واستخدام استنتاجات أكثر صرامة في الأمور العملية. مشكلة علمية- ليس فقط فئة فلسفية بالمعنى الموصوف، ولكن أيضًا فئة عملية تعتمد عليها الكيفية العلوم النظريةوكذلك تطبيقها عمليا في حياة الناس.
ومن هذا الجزء التفسيري لأهمية المشكلة العلمية لاكتمال النظرية يأتي تعريفها: المشكلة العلمية هي موقف متناقض يظهر على شكل مواقف متعارضة في تفسير أي ظاهرة أو أشياء أو عمليات ويتطلب تحليلا. نظرية واحدة كافية لحلها.
الشرط الأساسي المهم لحلها الناجح هو تحديد المواقع الصحيح. انظر التناقضات في الواردة المعرفة التجريبيةفالاهتمام بها وطرح مسألة إزالة هذا التناقض يعني البدء في حل مشكلة علمية ودفع العلم نحو التقدم. ليس من قبيل الصدفة أن الأشخاص القادرين على صياغة المشكلات يتم تبجيلهم في العلوم أكثر من الباحثين الذين حلوا المشكلة المصاغة على وجه التحديد. صياغة المشاكل الخاطئة تؤدي إلى ركود كبير في العلوم.
ترتبط فئة "المشكلة العلمية" ارتباطًا مباشرًا بهذه الفئة "فرضية".تُستخدم الفرضيات، في المقام الأول، من أجل القضاء نظريًا على تناقضات المشكلة العلمية. مثل هذه الفرضيات (الافتراضات)، إذا نجحت، فإنها تتحول إلى نظريات أساسية (افتراض نيوتن حول قوة الجذب بين جسمين ماديين).
وتستخدم الفرضيات أيضًا في العلوم التقنية، حيث تكون ذات طبيعة معينة وتمثل وصفًا لطريقة تفاعل العوامل التي تحدد سلوك الكائن محل الدراسة وعناصره. في هذه الحالة، يتم استدعاء الفرضية فرضية العمل، والذي كما في مشكلة علميةيمكن إثباتها أو رفضها على أساس البيانات التجريبية.
لذلك، فإن الفرضية هي افتراض حول نمط محتمل (محتمل) من التغيير في ظاهرة أو كائن أو حدث لم يتم إثباته، ولكنه يبدو محتملاً.
فائدة الفرضية هي أنها تحشد الباحثين لصياغة المشاكل العمل التجريبيوذلك لإثبات صحة الفرضية المذكورة. وإذا تم الحصول على نتيجة مختلفة، فإن المواد المتراكمة ستسمح لنا بتصحيح الفرضية والتخطيط لمزيد من أعمال البحث العلمي.
في صياغة أكثر عمومية، تتكون النمذجة كطريقة للمنهجية العلمية من الانتقال من الأفكار غير الرسمية ذات المعنى حول الكائن قيد الدراسة إلى استخدام النماذج الرياضية.
يتم زيادة المستوى النظري للنماذج التي تم الحصول عليها على أساس البديهيات وقواعد اشتقاق النظريات وقواعد المراسلات على أساس أحكام استنتاجية ناقصة مع صياغة النتائج التي تم الحصول عليها من خلال تحليل الفرضيات المطروحة. إن الجهاز الرياضي المستخدم في هذه الحالة ليس سوى وسيلة للحصول على معرفة جديدة وليس بأي حال من الأحوال الهدف النهائيالتحليل المنهجي.
للتجميع نموذج رياضييتبع استخدامه، والغرض منه هو الحصول على المعلومات التي كانت مفقودة قبل إنشائها، أي. يجب أن يكون النموذج الناتج إرشاديًا. هذا هو الإجراء الذي يحول المنهجية إلى العلوم التجريبية، مما يسمح بالتحقق من استنتاجاتها في الممارسة العملية.
النموذج وخصائصه.
إضفاء الطابع الرسمي المعرفة الموجودةحول النظام قيد الدراسة (مترجم النموذج) يقوم بإنشاء نموذج للحصول على الخصائص الضرورية للنظام: الاتساق؛ اكتمال؛ استقلال النظام البديهي. محتوى. مثال جيدتحقيق هذه الخصائص هو نظريات الهندسة غير الإقليدية لـ Lobachevsky، Gauss، Bolyai في القرن التاسع عشر. أظهر بلترامي الإيطالي أن هناك أجساد حقيقية، على سطحها تكون قوانين هندسة لوباتشيفسكي راضية.
في فجر الفهم النظري للمعرفة الإنسانية، كان تطور النظريات ينطلق دائمًا من الحالات الخاصة إلى الحالات العامة. في الوقت الحالي، ظهرت طرق لنمذجة الأشياء بناءً على هيكلة النموذج الرياضي. تذهب سلسلة تطور هذه المعرفة إلى ترتيب عكسي. أولا، يظهر وصف رياضي بديهي للحدث (الكائن) قيد الدراسة، وعلى أساسه يتم صياغته النموذج المفاهيمي- النموذج. جنبا إلى جنب مع هذا، فإن مبادئ الامتثال تتغير أيضا. العمليات الطبيعيةو المخططات النظرية(نماذج). فبدلاً من المصادفة البسيطة لنتائج الحساب وفقًا للنموذج مع البيانات التجريبية للتجارب، فإننا نعتبرها الخصائص المقارنةهُم الخوارزميات الرياضيةتحقيق النتائج في معلمات أخرى (غير مباشرة). وتشمل هذه المبادئ، على سبيل المثال، المبادئ البساطة والجمال النظريات العلمية . علاوة على ذلك، في هذه الحالة يتم تقديم النموذج بجهاز رياضي جديد مع التفسير، أي. نقطة البداية فيه هي الشكلية الرياضية القادرة على أن تشرح بلغة الرياضيات جوهرًا معينًا يتجلى في التجربة. هذه الخطوة هي التي تجعل التحقق التجريبي صعبًا، حيث أنه ليس فقط معادلة الوصف، ولكن أيضًا تفسيرها يجب التحقق منه بالتجربة.
دخلت جهاز رياضيفهو في هذه الحالة يحتوي على عناصر غير بناءة يمكن أن تؤدي فيما بعد إلى التناقض بين النظرية والتجربة. وتجدر الإشارة إلى أن هذه هي بالتحديد خصوصية الحديث البحث العلمي. ومن ناحية أخرى فإن هذه السمة التي يتميز بها البحث العلمي الحديث تهدد بإمكانية التخلص من الجهاز الواعد المقترح. لمنع حدوث ذلك، من الضروري معالجة هذا الجانب من المسألة بشكل منفصل - إزالة التناقضات على أساس التجربة (على سبيل المثال سيكون فيزياء الكموالديناميكا الكهربائية).
النظام القديم الفيزياء الكلاسيكيةتفسيرات حقائق علميةتحولت إلى "إنشاء" خطوة بخطوة لنظرية تقريبية مشكلة رياضيًا عملية حقيقيةإلى النموذج الأصلي. السؤال الذي يطرح نفسه هو ما الذي يدفع الباحثين إلى مثل هذه الخوارزمية من الإجراءات، أي. ما هي الدوافع لهذه الطريقة في تكوين الصورة النظرية؟ لهذا السبب، تعطي منهجية العلم إجابة محددة للغاية: القيمة الجوهرية للحقيقة؛ قيمة الجدة.
يتم تحقيق كل ما سبق باستخدام مبادئ البحث التالية: أ) حظر الانتحال. ب) مقبولية المراجعة النقدية للأسباب البحث العلمي; ج) المساواة بين الجميع (بما في ذلك العباقرة) في مواجهة الحقيقة؛ د) حظر التزوير والاحتيال
مثال على ذلك هو اتصال آينشتاين-لورنتز. الأول حسب التصنيف غير الرسمي آنذاك كان أقل حجية في ذلك الوقت، لكن عناصره من النظرية النسبية تحولت إلى النظرية الأساسية. .
على الرغم من الأعمال العديدة المتعلقة بالنمذجة الرياضية، فقد ظهرت بعض الصعوبات في صياغة المفهوم الدقيق النمذجة الرياضية. هم (النماذج) ومحتواهم متنوعون للغاية. بشكل عام، من الواضح أن النموذج يتطلب شيئًا أكثر من المقارنة بالواقع: يجب أن يوفر النموذج بالضرورة معلومات حول خصائص الكائنات والظواهر التي تمت محاكاتها. ولذلك، فإن التعريف المقبول للنموذج يجب أن يكون تعريفًا لا يتضمن أوجه عدم يقين جزئية. على سبيل المثال: نموذج كائن معين هو كائن آخر يتم مقارنته بالأصل، وتم تصميمه وتشكيله خصائص معينةالذي يعكس (يحفظ) الخصائص المحددة للكائن بطريقة معينة.
يجب أن يعكس النموذج كل شيء معروف (أحيانًا بعض الخصائص المعروفة) حول كائن والتنبؤ أو الشكل معلومات جديدةعنه في أي ظروف جديدة للوجود. والغرض من النمذجة هو وهكذا - وظيفةالتمثيل (الوصف) إذا كان هناك تفسير للظواهر التي يتناولها النموذج. وفي هذه الحالة يعمل النموذج كنظرية. وعلى الرغم من ذلك، فإن التعارض الحاد بين الجوانب الرياضية (الشكلية) والجوانب الموضوعية للنموذج ككل لا يمكن الدفاع عنه. مع الأخذ في الاعتبار الجانب المحدد لتشكيل النموذج، يمكننا تلخيص أن الرياضيات تعمل كذلك أهم الوسائل- تطوير أفكار ذات معنى حول الظاهرة محل الدراسة طوال فترة الدراسة.
الموضوع 8. العلاقات والمراسلات
مفهوم العلاقة الثنائية بين عناصر المجموعة
في الحياة اليومية، نتحدث باستمرار عن العلاقة بين شيئين. على سبيل المثال، x يعمل للإدارة، x هو الأب، x و y صديقان - هذه علاقات بين الناس. أرقام المزيد من العددم، الرقم قابل للقسمة على y، والأرقام و y عند القسمة على 3 تعطي نفس الباقي - هذه هي العلاقات بين الأرقام.
أي نظرية رياضية تتعامل مع مجموعة من الأشياء أو العناصر. لبناء النظرية الرياضيةفنحن لا نحتاج إلى العناصر نفسها فحسب، بل نحتاج أيضًا إلى العلاقات بينها. بالنسبة للأرقام، يكون مفهوم العلاقات منطقيًا: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
كل هذه العلاقات تتعلق بشيئين. ولهذا السبب يطلق عليها العلاقات الثنائية.
عندما نفكر في علاقات معينة، فإننا نتعامل دائمًا مع أزواج مرتبة مكونة من عناصر مجموعة معينة. على سبيل المثال، بالنسبة للعلاقة "الرقم x أكبر بـ 4 من الرقم y"، والتي يتم أخذها في الاعتبار في المجموعة X = (2، 6، 10، 14)، سيتم ترتيب هذه الأزواج (6،2)، (10) ، 6)، (14، 10). وهي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي X X .
تعريف. العلاقة الثنائية بين عناصر المجموعة X أو العلاقة في المجموعة X هي أي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي X X.
عادة ما يتم الإشارة إلى العلاقات الثنائية بالأحرف الكبيرةالأبجدية اللاتينية: P، T، S، R، Q، إلخ. لذلك، إذا كانت P علاقة على مجموعة X، فإن P X X. تسمى مجموعة جميع العناصر الأولى للأزواج من P مجال تعريف العلاقة P. مجموعة قيم العلاقة P هي مجموعة جميع العناصر الثانية للأزواج من P.
في كثير من الحالات يكون مناسبًا للاستخدام صورة بيانيةعلاقة ثنائية.
يتم تمثيل عناصر المجموعة X بالنقاط، وتقوم الأسهم بتوصيل العناصر المقابلة بحيث إذا حدث (x,y)P(xPy)، يتم رسم السهم من نقاط إلى نقاط. ويسمى الرسم الناتج الرسم البياني للعلاقة P، والنقاط التي تمثل عناصر المجموعة X
رؤوس الرسم البياني.
على سبيل المثال، الرسم البياني للعلاقة P: "الرقم - المقسوم على الرقم"، المحدد في المجموعة X = (5، 10، 20، 30،40)، يظهر في الشكل. 54.
تُسمى أسهم الرسم البياني التي تكون بدايتها ونهايتها هي نفس النقطة بالحلقات. إذا كان على الرسم البياني للعلاقة P، قم بتغيير اتجاهات جميع الأسهم إلى
العكس، سيتم الحصول على علاقة جديدة تسمى معكوس P. ويرمز لها P -1.
لاحظ أن xPy yP -1 x.
طرق تحديد العلاقات الثنائية وخصائصها
بما أن العلاقة R بين عناصر المجموعة X هي مجموعة عناصرها عبارة عن أزواج مرتبة، فيمكن تحديدها بنفس طرق تحديد أي مجموعة. في أغلب الأحيان، يتم تحديد العلاقة R في المجموعة X باستخدام الخاصية المميزة لأزواج العناصر الموجودة في العلاقة R. تمت صياغة هذه الخاصية كجملة ذات متغيرين. على سبيل المثال، من بين العلاقات في المجموعة X = (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) يمكننا أن نعتبر ما يلي: "الرقمعدد أقل
y يساوي مرتين"، "الرقم هو مقسوم على numberu"، وما إلى ذلك. يمكن أيضًا تعريف العلاقة R على المجموعة X من خلال سرد جميع أزواج العناصر المأخوذة من المجموعة X ومرتبطة بالعلاقة
ر.
على سبيل المثال، إذا كتبنا مجموعة من الأزواج (1، 2)، (1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)، (3، | 4) ثم على المجموعة |
X = (1، 2، 3، 4) سوف نقوم بتعيين بعض | |
سلوك | R = ((x، y)| x X، y< y} . |
يمكن تحديد نفس العلاقة R باستخدام الرسم البياني (الشكل). دعونا نسلط الضوء أهم الخصائصالعلاقات الثنائية.
التعريف 1. تسمى العلاقة R على المجموعة X انعكاسية إذا كان كل عنصر من المجموعة X في هذه العلاقة مع نفسه.
تحدث باختصار هذا التعريفيمكن كتابتها على النحو التالي: R انعكاسية على X xRx لأي x X.
من الواضح أنه إذا كانت العلاقة R في المجموعة X انعكاسية، فستكون هناك حلقة عند كل قمة من الرسم البياني للعلاقة. والبيان المعاكس صحيح أيضا.
ومن أمثلة العلاقات الانعكاسية العلاقات: "أن تكون متساوية في مجموعة جميع مثلثات المستوى"، "x ≥ y".
لاحظ أن هناك علاقات لا تمتلك خاصية الانعكاسية، مثل علاقة تعامد الخطوط.
التعريف 2. تسمى العلاقة R في مجموعة X متماثلة إذا تم استيفاء الشرط التالي لأي عنصر من عناصر X: إذا كان x و y مرتبطين بـ R، فإن y موجودان أيضًا في هذه العلاقة.
باختصار: R متماثل على X xRy yRx.
يحتوي الرسم البياني للعلاقات المتماثلة على الخاصية: إذا كان هناك سهم يربط بين زوج من العناصر، فهناك بالضرورة سهم آخر يربط بين نفس العناصر، ولكنه يسير في الاتجاه المعاكس. والعكس صحيح أيضا.
أمثلة على العلاقات المتماثلة هي العلاقات: "أن تكون متعامدة على مجموعة جميع الخطوط المستقيمة للمستوى"، "أن تكون متشابهة على مجموعة جميع مستطيلات المستوى".
التعريف 3. إذا لم يكن هناك أي عناصر وy من المجموعة X، فمن الممكن أن يكون كل من xRy وyRx موجودين في نفس الوقت، ثم تسمى العلاقة R في المجموعة X غير متماثلة. مثال على العلاقة غير المتكافئة: "أن تكون أبًا" (إذا كان أبًا فلا يمكنك أن تكون أبًا).
التعريف 4. تسمى العلاقة R في المجموعة X بـ antisym-
على سبيل المثال، العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الصحيحة غير متماثلة.
يتميز الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة بميزة خاصة: إذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط. والبيان المعاكس صحيح أيضا. خاصية عدم التماثل هي مزيج من خاصية عدم التماثل وعدم الانعكاس.
التعريف 5. تسمى العلاقة R في مجموعة X متعدية إذا تم استيفاء الشرط التالي لأي عناصر x، y، z X: إذا كانت x في العلاقة R و y في العلاقة R cz، فإن العنصر x هو في العلاقة R مع العنصر z.
باختصار: R متعدية على X xRy و yRz xRz.
على سبيل المثال، العلاقة "الخط x موازي للخط"، المحددة على مجموعة الخطوط في المستوى، هي علاقة متعدية.
يتميز الرسم البياني للعلاقات المتعدية بميزة خاصة: مع كل زوج من الأسهم ينتقل من x إلى ky ومن oty إلى z، فإنه يحتوي أيضًا على سهم ينتقل من x إلى z. والعكس صحيح أيضا.
لاحظ أن هناك علاقات لا تمتلك خاصية العبور. على سبيل المثال، العلاقة "الوقوف بجانب بعضهم البعض على الرف" ليست علاقة متعدية.
علاقة التكافؤ
دع X تكون مجموعة من الأشخاص. في هذه المجموعة نحدد العلاقة الثنائية R باستخدام القانون: aRb، إذا ولد a وb في نفس العام.
من السهل التحقق من أن العلاقة R لها خصائص الانعكاسية والتماثل والعبور. يقال أن العلاقة R هي علاقة تكافؤ.
التعريف 1. تسمى العلاقة الثنائية R على المجموعة X علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.
دعونا نعود مرة أخرى إلى العلاقة R، التي يحددها القانون على مجموعة من الأشخاص: aRb، إذا ولد a وb في نفس العام.
مع كل شخص أ، فكر في مجموعة الأشخاص K a الذين ولدوا في نفس العام sa. مجموعتان K a و K b إما لا تملكان العناصر المشتركة، أو تتطابق تماما.
تمثل مجموعة المجموعات K a تقسيمًا لمجموعة جميع الأشخاص إلى طبقات، لأنه يستلزم من بنائها استيفاء شرطين: يتم تضمين كل شخص في فئة ما، ويتم تضمين كل شخص في فئة واحدة فقط. لاحظ أن كل فصل يتكون من أشخاص ولدوا في نفس العام.
وبالتالي، فإن علاقة التكافؤ R تولد قسمًا من المجموعة X إلى فئات (فئات التكافؤ). والعكس صحيح أيضا.
نظرية. تتوافق كل علاقة تكافؤ في المجموعة X مع قسم من المجموعة X إلى فئات (فئات التكافؤ). يتوافق كل قسم من المجموعات مع علاقة تكافؤ في المجموعة X.
نحن نقبل هذه النظرية دون دليل.
ويترتب على النظرية أن كل فئة يتم الحصول عليها نتيجة تقسيم مجموعة إلى فئات يتم تحديدها من قبل أي (واحد) من ممثليها، مما يجعل من الممكن، بدلا من دراسة جميع عناصر مجموعة معينة، دراسة المجموعة فقط الممثلين الفرديينكل فئة.
علاقة النظام
نحن نستخدم علاقات النظام باستمرار في الحياة اليومية. التعريف 1. كل علاقة غير متماثلة ومتعدية R on
تسمى بعض المجموعة X علاقة ترتيبية.
تسمى المجموعة X التي يتم إعطاء علاقة ترتيب عليها بالأمر.
لنأخذ المجموعة X = (2، 4، 10، 24). يتم ترتيبها بالعلاقة "x أكبر" (الشكل 63).
دعونا نفكر الآن في علاقة أخرى بالترتيب "x يقسم".
ذ" (الشكل 64).
قد تبدو نتيجة هذه المراجعة غريبة. العلاقات "x أكبر" و"x تقسم" تنظم المجموعة X بطرق مختلفة. تسمح لك العلاقة x الأكبر بمقارنة أي رقمين من
المجموعة X. أما العلاقة "x تقسم" فلا تحتوي على مثل هذه الخاصية. لذا فإن زوج الأرقام 10 و 24 لا يرتبطان بهذه العلاقة.
التعريف 2. تسمى علاقة الترتيب R في بعض المجموعات X بالعلاقة ترتيب خطي، إذا كان يحتوي على الخاصية التالية: لأي عناصر u
المجموعة X إماxRy أو yRx.
تسمى المجموعة X التي تُعطى عليها علاقة ترتيب خطية مرتبة خطيًا.
المجموعات المرتبة خطيًا لها عدد من الخصائص. دع a، b، c تكون عناصر المجموعة X التي تم تحديد علاقة الترتيب الخطي عليها R. إذا كان aRb وbRc، فإننا نقول أن العنصر b يقع بين العنصرين a و .
تسمى المجموعة X المرتبة خطيًا بالمنفصلة إذا كان يوجد بين أي عنصرين منها مجموعة محدودة من العناصر.
إذا لأي اثنين عناصر مختلفةالمجموعة X المرتبة خطيًا، حيث يوجد عنصر من المجموعة يقع بينهما، ثم تسمى المجموعة X كثيفة.
مفهوم المراسلات بين المجموعات. طرق تحديد المراسلات
دع مجموعتين X و Y تعطى. إذا تم تحديد x X لكل عنصر للعنصر Y الذي يتطابق معه، فيقال أنه تم إنشاء مراسلات بين المجموعتين X وY.
بمعنى آخر، المراسلات بين عناصر المجموعتين X وY هي أي مجموعة فرعية G من المنتج الديكارتي X وY من هذه المجموعات: G X Y .
نظرًا لأن التطابق عبارة عن مجموعة، فيمكن تحديده بنفس الطرق مثل أي مجموعة: من خلال سرد جميع الأزواج (x، y)، حيث
عندما تكون المجموعتان X و Y محدودتين، فيمكن تحديد المراسلات بين العناصر في جدول حيث يتم كتابة عناصر المجموعة X في العمود الأيسر، ويتم كتابة عناصر المجموعة Y في الصف العلوي. ستكون أزواج العناصر التي تطابق G عند تقاطع الأعمدة والصفوف المقابلة.
يمكن أيضًا إظهار المراسلات بين مجموعتين محدودتين باستخدام الرسم البياني. تظهر المجموعتان X وY على شكل أشكال بيضاوية، ويتم تحديد عناصر المجموعتين X وY بالنقاط، ويتم توصيل العناصر المقابلة بواسطة الأسهم بحيث إذا حدث (x,y) G، يتم رسم السهم من النقاط إلى نقاط.
على سبيل المثال، الرسم البياني الموضح في الشكل. 16، يحدد المراسلات "الكاتب x كتب العمل".
عندما تكون المجموعات وY رقمية، فمن الممكن إنشاء رسم بياني لمراسلة G على المستوى الإحداثي.
المراسلات هي عكس واحد معين. المراسلات الفردية
دع R هو المراسلات "الرقم أقل بخمس مرات من العدد" بين عناصر المجموعات X = (1، 2، 4، 5، 6) و
ص = (10، 5، 20، 13، 25).
سيكون الرسم البياني لهذه المراسلات كما في الشكل. 23. إذا قمت بتغيير اتجاه أسهم هذا الرسم البياني إلى
العكس فنحصل على رسم بياني (شكل 22) للمراسلة الجديدة "الرقم y أكبر بخمس مرات من الرقم x"
بين المجموعتين Y وX.
تسمى هذه المراسلات بالمراسلات العكسية
تتوافق مع R، ويشار إليها بـ R -1. | ||
تعريف. يترك | ص - الامتثال | |
عناصر المجموعتين X و Y الامتثال R-1 | ||
تسمى عناصر المجموعتين Y وX بعكس المجموعة المعطاة، |
||
عندما (y, x) R -1 إذا وفقط إذا (x, | ذ) ر. |
|
تسمى المراسلات R و R -1 بالعكس المتبادل. | ||
إذا كانت المجموعتان X وY رقمية، فإن الرسم البياني | ||
المراسلات R -1 ، معكوس المراسلات R، تتكون من | ||
نقاط، نقاط متناظرةرسومات المراسلات R | ||
نسبة إلى المنصف الأول و | ثالث | |
تنسيق الزوايا.
لنتخيل موقفًا: يوجد في القاعة متفرج في كل مقعد ويوجد مكان لكل متفرج. في هذه الحالة يقولون ذلك بين المجموعة
أدت المقاعد في القاعة وعدد كبير من المتفرجين إلى إنشاء مراسلات فردية.
تعريف. دع مجموعتين X و Y تعطى. يُطلق على المراسلات بين عناصر المجموعتين X وY، حيث يتوافق كل عنصر من المجموعة X مع عنصر واحد من المجموعة Y، وكل عنصر من المجموعة Y يتوافق مع عنصر واحد فقط من المجموعة X، واحد لواحد.
دعونا نلقي نظرة على أمثلة المراسلات الفردية. مثال 1. في كل مدرسة، كل فصل
يتوافق مع مجلة باردة. هذه المراسلات هي من واحد إلى واحد.
مثال 2. المثلث ABC (الشكل 25).A 1 C 1 الخط الأوسط للمثلث. لتكن X مجموعة النقاط على القطعة A 1 C 1، Y مجموعة النقاط على AC.
نقوم بتوصيل نقطة عشوائية x من القطعة A 1 C 1 إلى قمة المثلث B بقطعة مستقيمة و
لنواصل الأمر حتى يتقاطع مع التيار المتردد عند نقطة مدببة. دعونا نطابق النقاط مع النقطة التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة. في هذه الحالة، سيتم إنشاء مراسلات فردية بين المجموعتين X وY.
تعريف. تسمى المجموعتان X وY متكافئتين، أو متساويتين في القوة، إذا كان من الممكن إنشاء مراسلات فردية بينهما بطريقة ما. تتم الإشارة إلى تكافؤ مجموعتين على النحو التالي: X ~ Y.
مفهوم القوة هو تعميم لمفهوم الكمية. وهذا امتداد لمفهوم الكمية ليشمل مجموعات لا نهائية.
لبناء نظرية رياضية، لا تحتاج إلى العناصر نفسها فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى العلاقات بينها. بالنسبة للأرقام، فإن مفهوم المساواة منطقي: أ = ب. إذا كان الرقمان a وb مختلفين، هاه؟ ب، فمن الممكن إما أ > ب، أو أ
يمكن أن يكون المستويان المستقيمان متعامدين أو متوازيين أو متقاطعين بزاوية معينة.
كل هذه العلاقات تتعلق بشيئين. ولهذا السبب يطلق عليها العلاقات الثنائية.
لدراسة العلاقات بين الأشياء في الرياضيات، تم إنشاء نظرية العلاقات الثنائية.
عندما نفكر في علاقات معينة، فإننا نتعامل دائمًا مع أزواج مرتبة مكونة من عناصر مجموعة معينة. على سبيل المثال، بالنسبة للعلاقة "أكبر بمقدار 4"، والتي يتم أخذها في الاعتبار في المجموعة X = (2، 6، 10، 14)، سيتم ترتيب هذه الأزواج (2، 6)، (6، 10)، (10، 14)، وبالنسبة للعلاقات "المنقسمة" - (6، 2)، (10، 2)، (14، 2).
ويمكن ملاحظة أن مجموعة الأزواج التي تحدد العلاقات "أكبر من 4"، "القابلة للقسمة"، هي مجموعات فرعية من المنتج الديكارتي
X ´ X = ((2، 2)، (2، 6)، (2، 10)، (2، 14)، (6، 2)، (6، 6)، (6، 10)، (6، 14)، (10، 2)، (10، 6)، (10، 10)، (10، 14)، (14، 2)، (14، 6)، (14، 10)، (14، 24) ).
التعريف 1. العلاقة الثنائية بين عناصر المجموعة X أو العلاقة في المجموعة X هي أي مجموعة فرعية من المنتج الديكارتي X ´ X.
عادة ما يتم الإشارة إلى العلاقات الثنائية بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية: P، T، S، R، Q، إلخ. لذا، إذا كانت P علاقة في المجموعة X، إذن P Ì X ´ X. غالبًا ما يتم استخدام رموز خاصة مختلفة لكتابة العلاقات، على سبيل المثال، =، >، ~، ½½، ^، إلخ. تسمى مجموعة جميع العناصر الأولى للأزواج من P مجال تعريف العلاقة P. مجموعة قيم العلاقة P هي مجموعة جميع العناصر الثانية للأزواج من P.
من أجل الوضوح، يتم تصوير العلاقات الثنائية بيانيا باستخدام رسم بياني خاص. يتم تمثيل عناصر المجموعة X بالنقاط. إذا كانت (x, y) Î Р(khРу) ثابتة، فسيتم رسم سهم من النقطة x إلى النقطة y. يسمى هذا الرسم بالرسم البياني للعلاقة P، والنقاط التي تمثل عناصر المجموعة X هي رؤوس الرسم البياني. الأسهم كحواف الرسم البياني.
مثال. دع العلاقة P: "الرقم x هو مقسوم على الرقم y" المعطاة في المجموعة
X = (5، 10، 20، 30، 40)، موضح في الشكل 25.
تُسمى أسهم الرسم البياني التي تكون بدايتها ونهايتها هي نفس النقطة بالحلقات. إذا قمت بتغيير اتجاهات جميع الأسهم على الرسم البياني للعلاقة P إلى الاتجاه المعاكس، فسوف تحصل على علاقة جديدة، والتي تسمى معكوس P. ويشار إليها بـ P-1. لاحظ أن xРу Û уР–1kh.
طرق تحديد العلاقات الثنائية.
بما أن العلاقة R بين عناصر المجموعة X هي مجموعة عناصرها عبارة عن أزواج مرتبة، فيمكن تحديدها بنفس طرق تحديد أي مجموعة.
1. في أغلب الأحيان، يتم تحديد العلاقة R في المجموعة X باستخدام الخاصية المميزة لأزواج العناصر الموجودة في العلاقة R. ويتم صياغة هذه الخاصية في شكل جملة بمتغيرين.
على سبيل المثال، من بين العلاقات في المجموعة X = (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10)، يمكننا أن نعتبر ما يلي: “الرقم x أقل مرتين من الرقم y"، "الرقم x هو مقسوم على الأرقام y"، "الرقم x أكبر من الرقم y" وغيرها.
2. يمكن أيضًا تعريف العلاقة R في المجموعة X من خلال سرد جميع أزواج عناصر المجموعة X المرتبطة بالعلاقة R.
على سبيل المثال، إذا كتبنا مجموعة من الأزواج (1، 2)، (1، 3)، (1، 4)، (2، 3)، (2، 4)، (3، 4)، ثم على مجموعة X = (1، 2، 3، 4) سوف نحدد بعض العلاقة R. يمكن أيضًا إعطاء نفس العلاقة R
3. باستخدام الرسم البياني (الشكل 26).
خصائص العلاقات الثنائية.
التعريف 2. تسمى العلاقة R على المجموعة X انعكاسية إذا كان كل عنصر من المجموعة X في هذه العلاقة مع نفسه.
باختصار: R انعكاسية على X Û xRx لأي x О X.
أو ما هو نفسه: في كل قمة من الرسم البياني للعلاقة هناك حلقة. والعكس صحيح أيضًا: إذا لم يكن كل قمة في الرسم البياني للعلاقة تحتوي على حلقة، فهي علاقة انعكاسية.
مثال. العلاقات الانعكاسية: "أن تكون متساوية في مجموعة جميع مثلثات المستوى"، "؟" و £ في مجموعة جميع الأعداد الحقيقية."
لاحظ أن هناك علاقات لا تمتلك خاصية الانعكاسية (اعطي مثال "x أكبر من y")
التعريف 3. تسمى العلاقة الثنائية R على مجموعة X بمضادة الانعكاس على X إذا كان لكل x من X (x، x) Ï R، أي. لكل x من X الشرط xRx غير مستوفي.
إذا كانت العلاقة R مضادة للانعكاس، فلا يوجد أي قمة في الرسم البياني لها حلقة. على العكس من ذلك: إذا لم يكن هناك أي قمة في الرسم البياني بها حلقة، فإن الرسم البياني يمثل علاقة مضادة للانعكاس.
أمثلة على العلاقات المضادة للانعكاس: "أن تكون أكبر"، "أن تكون أصغر"، "أن تكون ابنة"، إلخ.
التعريف 4. تسمى العلاقة R على المجموعة X متماثلة إذا كانت لأي عنصر x، 
Î X تم استيفاء الشرط: إذا كان x وy في علاقة R، فإن y وx موجودان أيضًا في هذه العلاقة.
باختصار: R متماثل على X Û xRу Û yRx.
يحتوي الرسم البياني للعلاقات المتماثلة على الخاصية: إذا كان هناك سهم يربط بين زوج من العناصر، فهناك بالضرورة سهم آخر يربط بين نفس العناصر، ولكنه يسير في الاتجاه المعاكس. والعكس صحيح أيضا.
أمثلة على العلاقات المتماثلة هي العلاقات: "أن تكون متعامدة على مجموعة جميع الخطوط المستقيمة للمستوى"، "أن تكون متشابهة على مجموعة جميع مستطيلات المستوى".
التعريف 5. إذا لم يكن هناك عنصران x وy من المجموعة X، فمن الممكن أن يحدث كل من xRy وyRx في وقت واحد، ثم تسمى العلاقة R في المجموعة X غير متماثلة.
مثال على علاقة غير متماثلة: "أن يكون الأب" (إذا كان x هو والد y، فلا يمكن أن يكون y والد x).
التعريف 6. تسمى العلاقة R على المجموعة X غير متماثلة إذا كانت عناصر مختلفة x, y О X من حقيقة أن العنصر x له علاقة R بالعنصر y، يترتب على ذلك أن العنصر y ليس له علاقة R بالعنصر x.
باختصار: R غير متماثل على X Û xRу وx؟ ذ؟ .
على سبيل المثال، العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الصحيحة غير متماثلة.
يتميز الرسم البياني للعلاقات غير المتماثلة بميزة خاصة: إذا كان رأسان من الرسم البياني متصلين بسهم، فسيكون هناك سهم واحد فقط. والبيان المعاكس صحيح أيضا.
لاحظ أن هناك علاقات ليس لها خاصية التماثل ولا خاصية عدم التماثل.
التعريف7. تسمى العلاقة R في مجموعة X متعدية إذا تم استيفاء الشرط التالي لأي عناصر x وy وz О X: إذا كانت x في العلاقة R مع y وy في العلاقة R مع z، فإن العنصر x في العلاقة R مع العنصر z.
باختصار: R متعدية على X Û xRу و уRz؟ xRz.
على سبيل المثال، العلاقة "الخط x موازي للخط y"، المعرفة على مجموعة الخطوط في المستوى، هي علاقة متعدية.
يتميز الرسم البياني للعلاقات المتعدية بخصوصية أنه لكل زوج من الأسهم ينتقل من x إلى y ومن y إلى z، فإنه يحتوي أيضًا على سهم ينتقل من x إلى z. والعكس صحيح أيضا.
لاحظ أن هناك علاقات لا تمتلك خاصية العبور. على سبيل المثال، العلاقة "الوقوف بجانب بعضهم البعض على الرف" ليست علاقة متعدية.
الجميع الخصائص العامةيمكن تقسيم العلاقات إلى ثلاث مجموعات:
الانعكاسية (كل علاقة هي انعكاسية أو مضادة للانعكاس)،
التناظر (العلاقة تكون دائمًا إما متماثلة، أو غير متماثلة، أو غير متماثلة)،
العبور (كل علاقة متعدية أو غير متعدية). العلاقات التي لديها مجموعة معينةيتم إعطاء الخصائص أسماء خاصة.