وهذا يعني إيجاد أصغر قيمة للدالة. كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة في منطقة مغلقة محدودة؟ أسئلة الاختبار الذاتي

بيان المشكلة 2:

إعطاء دالة محددة ومستمرة في فترة زمنية معينة. تحتاج إلى العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذه الفترة.

اساس نظرى.
نظرية (نظرية فايرستراس الثانية):

إذا كانت الدالة محددة ومستمرة في فترة مغلقة، فإنها تصل إلى قيمها القصوى والدنيا في هذه الفترة.

يمكن للدالة أن تصل إلى أكبر وأصغر قيمها إما عن طريق النقاط الداخليةالفجوة أو عند حدودها. دعونا نوضح جميع الخيارات الممكنة.

توضيح:
1) تصل الدالة إلى قيمتها الكبرى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة ، وإلى قيمتها الدنيا على الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة .
2) تصل الدالة إلى أكبر قيمة لها عند النقطة (هذه هي النقطة القصوى)، وأصغر قيمة لها عند الحد الأيمن للفاصل الزمني عند النقطة.
3) تصل الدالة إلى قيمتها القصوى على الحد الأيسر للفاصل الزمني عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (هذه هي النقطة الدنيا).
4) الدالة ثابتة على الفترة، أي. حيث تصل إلى قيمها الدنيا والقصوى عند أي نقطة في الفترة، وتكون القيم الدنيا والقصوى متساوية مع بعضها البعض.
5) تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند النقطة، وإلى قيمتها الدنيا عند النقطة (على الرغم من أن الدالة لها قيمة عظمى وأدنى في هذه الفترة).
6) تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند نقطة ما (هذه هي النقطة القصوى)، وإلى قيمتها الدنيا عند نقطة ما (هذه هي النقطة الدنيا).
تعليق:

"الأقصى" و" القيمة القصوى" - أشياء مختلفة. وينبع هذا من تعريف الحد الأقصى والفهم البديهي لعبارة "القيمة القصوى".

خوارزمية لحل المشكلة 2.



4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

مثال 4:

تحديد أعظم و أصغر قيمةالمهام على الجزء.
حل:
1) أوجد مشتقة الدالة.

2) أوجد النقاط الثابتة (والنقاط المشتبه في وجودها في أقصى الحدود) من خلال حل المعادلة. انتبه إلى النقاط التي لا يوجد فيها مشتق محدود ذو وجهين.

3) احسب قيم الدالة عند النقاط الثابتة وعند حدود الفاصل الزمني.

4) اختر الأكبر (الأصغر) من القيم التي تم الحصول عليها واكتب الإجابة.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أكبر قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

تصل الدالة في هذا المقطع إلى أدنى قيمة لها عند النقطة ذات الإحداثيات.

يمكنك التحقق من صحة الحسابات من خلال النظر إلى الرسم البياني للدالة قيد الدراسة.


تعليق:تصل الدالة إلى قيمتها العظمى عند النقطة القصوى، وإلى قيمتها الدنيا عند حدود القطعة.

حالة خاصة.

لنفترض أننا بحاجة إلى العثور على الحد الأقصى و الحد الأدنى للقيمةبعض الوظائف على فترة زمنية. بعد الانتهاء من النقطة الأولى من الخوارزمية، أي. حساب المشتقة، يصبح من الواضح أنه، على سبيل المثال، يستغرق الأمر فقط القيم السلبيةعلى كامل الجزء قيد النظر. تذكر أنه إذا كانت المشتقة سالبة، فإن الدالة تتناقص. لقد وجدنا أن الدالة تتناقص على المقطع بأكمله. ويوضح هذا الوضع الرسم البياني رقم 1 في بداية المقال.

الدالة تتناقص على القطعة، أي. ليس لديها نقاط متطرفة. يتضح من الصورة أن الدالة ستأخذ أصغر قيمة لها على الحد الأيمن للمقطع، و أعلى قيمة- على اليسار. إذا كانت مشتقة القطعة موجبة في كل مكان، فإن الدالة تزداد. أصغر قيمة موجودة على الحد الأيسر للمقطع، والقيمة الأكبر موجودة على اليمين.

دراسة مثل هذا الكائن التحليل الرياضيكوظيفة عظيمة معنىوفي مجالات العلوم الأخرى. على سبيل المثال، في تحليل إقتصاديمطلوب تقييم السلوك باستمرار المهامالربح، أي تحديد أعظمه معنىووضع استراتيجية لتحقيق ذلك.

تعليمات

يجب أن تبدأ دراسة أي سلوك دائمًا بالبحث عن مجال التعريف. عادة حسب الحالة مهمة محددةفمن الضروري تحديد أعظم معنى المهامإما على هذه المنطقة بأكملها، أو على فترة محددة منها بحدود مفتوحة أو مغلقة.

على أساس أن الأكبر هو معنى المهام y(x0)، حيث يوجد عدم المساواة لأي نقطة في مجال التعريف y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). بيانياً، ستكون هذه النقطة هي الأعلى إذا تم وضع قيم الوسيطة على طول محور الإحداثي، والدالة نفسها على طول المحور الإحداثي.

لتحديد أعظم معنى المهام، اتبع الخوارزمية المكونة من ثلاث خطوات. يرجى ملاحظة أنه يجب أن تكون قادرًا على العمل مع المشتق من جانب واحد وكذلك حساب المشتق. لذا، دع بعض الوظائف y(x) تعطى وتحتاج إلى العثور على أعظمها معنىعلى فترة زمنية معينة مع القيم الحدودية A و B.

اكتشف ما إذا كانت هذه الفترة ضمن نطاق التعريف المهام. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور عليه من خلال النظر في جميع القيود الممكنة: وجود كسر في التعبير، الجذر التربيعيإلخ. مجال التعريف هو مجموعة قيم الوسيطات التي تكون الوظيفة منطقية لها. تحديد ما إذا كانت الفترة المحددة هي مجموعة فرعية منه. إذا كانت الإجابة بنعم، فانتقل إلى المرحلة القادمة.

أوجد المشتقة المهاموحل المعادلة الناتجة بمساواة المشتقة بالصفر. بهذه الطريقة سوف تحصل على قيم ما يسمى بالنقاط الثابتة. قم بتقييم ما إذا كان واحد منهم على الأقل ينتمي إلى المجال A، B.

في المرحلة الثالثة، خذ بعين الاعتبار هذه النقاط واستبدل قيمها في الدالة. اعتمادًا على نوع الفاصل الزمني، قم بتنفيذ الخطوات الإضافية التالية. إذا كان هناك جزء من النموذج [A، B]، يتم تضمين نقاط الحدود في الفاصل الزمني؛ ويشار إلى ذلك بين قوسين. حساب القيم المهاملـ x = A وx = B. إذا الفاصل الزمني المفتوح(أ، ب)، يتم ثقب القيم الحدودية، أي. لا يتم تضمينها في ذلك. حل الحدود من جانب واحد لـ x→A وx→B. فاصل مشترك من النموذج [A، B) أو (A، B)، ينتمي أحد حدوده إليه، ولا ينتمي الآخر إليه. أوجد النهاية أحادية الجانب حيث أن x تميل إلى القيمة المثقوبة، واستبدل الآخر بها الدالة. فاصل زمني لا نهائي من جانبين (-∞، +∞) أو ​​فترات لا نهائية من جانب واحد بالشكل: , (-∞, B). بالنسبة للحدود الحقيقية A وB، تابع وفقًا للمبادئ الموصوفة بالفعل، و تلك التي لا نهاية لها، ابحث عن حدود x→-∞ وx→+∞، على التوالي.

المهمة في هذه المرحلة

كيفية العثور على أكبر وأصغر قيم للدالة على القطعة؟

لهذا نحن نتبع خوارزمية معروفة:

1 . نجد وظائف ODZ.

2 . إيجاد مشتقة الدالة

3 . معادلة المشتقة بالصفر

4 . نجد الفترات التي يحتفظ خلالها المشتق بإشارته، ومنها نحدد فترات الزيادة والنقصان للدالة:

إذا كان مشتق الدالة في الفترة I هو 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} يزيد خلال هذه الفترة.

إذا كنت مشتقًا للدالة في الفترة، فستكون الدالة يتناقص خلال هذه الفترة.

5 . نجد الحد الأقصى والحد الأدنى من نقاط الوظيفة.

في عند النقطة القصوى للدالة، تشير تغييرات المشتقة من "+" إلى "-".

في النقطة الدنيا للوظيفةعلامة التغييرات المشتقة من "-" إلى "+".

6 . نجد قيمة الدالة في نهايات القطعة،

• ثم نقارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي النقاط القصوى و اختر أكبرها إذا كنت تريد العثور على أكبر قيمة للدالة
• أو قارن قيمة الدالة في نهايات المقطع وفي الحد الأدنى من النقاط و اختر أصغرها إذا كنت تريد العثور على أصغر قيمة للدالة

ومع ذلك، اعتمادًا على كيفية تصرف الوظيفة على المقطع، يمكن تقليل هذه الخوارزمية بشكل كبير.

النظر في الوظيفة . يبدو الرسم البياني لهذه الوظيفة كما يلي:

دعونا نلقي نظرة على عدة أمثلة لحل المشكلات من افتح البنكالمهام ل

1 . المهمة ب15 (رقم 26695)

على الجزء.

1. الوظيفة محددة للجميع القيم الحقيقية X

من الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول، والمشتقة موجبة لجميع قيم x. وبالتالي، تزيد الدالة وتأخذ القيمة الأكبر عند الطرف الأيمن من الفترة، أي عند x=0.

الجواب: 5.

2 . المهمة ب15 (رقم 26702)

أوجد أكبر قيمة للدالة على الجزء.

1. وظائف ODZ عنوان = "x(pi)/2+(pi)k، k(in)(bbZ)">!}

المشتق يساوي الصفر عند ، ومع ذلك، عند هذه النقاط لا يتغير الإشارة:

لذلك، العنوان = "3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} يزيد ويأخذ القيمة الأكبر في الطرف الأيمن من الفاصل الزمني، عند .

لتوضيح سبب عدم تغير إشارة المشتقة، نقوم بتحويل التعبير الخاص بالمشتقة كما يلي:

Title="y^(رئيسي)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

الجواب: 5.

3. المهمة ب15 (رقم 26708)

أوجد أصغر قيمة للدالة في القطعة.

1. وظائف ODZ: العنوان = "x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

لنضع جذور هذه المعادلة على الدائرة المثلثية.

يحتوي الفاصل الزمني على رقمين: و

دعونا نضع لافتات. للقيام بذلك، نحدد إشارة المشتقة عند النقطة x=0: . عند المرور عبر النقاط و، علامة التغييرات المشتقة.

دعونا نصور التغير في علامات مشتق الدالة على خط الإحداثيات:

من الواضح أن النقطة هي نقطة الحد الأدنى (التي تشير عندها التغييرات المشتقة من "-" إلى "+")، وللعثور على أصغر قيمة للدالة على المقطع، تحتاج إلى مقارنة قيم الدالة عند الحد الأدنى للنقطة وفي الطرف الأيسر من المقطع، .

دع الدالة $z=f(x,y)$ محددة ومستمرة في بعض الحدود منطقة مغلقة$د$. افترض أن الوظيفة المعطاة في هذه المنطقة لها مشتقات جزئية محدودة من الدرجة الأولى (باستثناء، ربما، عدد محدود من النقاط). للعثور على أكبر وأصغر قيم دالة لمتغيرين في منطقة مغلقة معينة، يلزم ثلاث خطوات من خوارزمية بسيطة.

خوارزمية للعثور على أكبر وأصغر قيم للدالة $z=f(x,y)$ في مجال مغلق $D$.

1. أوجد النقاط الحرجة للدالة $z=f(x,y)$ التي تنتمي إلى المجال $D$. حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة.
2. التحقق من سلوك الدالة $z=f(x,y)$ على حدود المنطقة $D$، وإيجاد نقاط القيم القصوى والدنيا الممكنة. احسب قيم الوظيفة عند النقاط التي تم الحصول عليها.
3. من قيم الدالة التي تم الحصول عليها في الفقرتين السابقتين، حدد الأكبر والأصغر.

ما هي النقاط الحرجة؟ اظهر المخفي

تحت نقاط حرجةتشير إلى نقاط تكون عندها المشتقتان الجزئيتان من الدرجة الأولى مساوية للصفر (أي $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ و$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) أو على الأقل لا يوجد مشتق جزئي واحد.

غالبًا ما يتم استدعاء النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى مساوية للصفر نقاط ثابتة. وبالتالي، فإن النقاط الثابتة هي مجموعة فرعية نقاط حرجة.

المثال رقم 1

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+2xy-y^2-4x$ في منطقة مغلقة، محدودة بالخطوط$x=3$، $y=0$ و $y=x+1$.

سوف نتبع ما ورد أعلاه، ولكن دعونا أولا نلقي نظرة على الرسم منطقة معينةوالتي نرمز لها بالحرف $D$. لقد تم إعطاؤنا معادلات من ثلاثةالخطوط المستقيمة التي تحد هذه المنطقة. يمر الخط المستقيم $x=3$ عبر النقطة $(3;0)$ بالتوازي مع المحور الإحداثي (محور Oy). الخط المستقيم $y=0$ هو معادلة محور الإحداثي السيني (محور الثور). حسنًا، لبناء الخط $y=x+1$، سنجد نقطتين سنرسم من خلالهما هذا الخط. يمكنك بالطبع استبدال $x$ بالزوجين القيم التعسفية. على سبيل المثال، بالتعويض $x=10$، نحصل على: $y=x+1=10+1=11$. لقد وجدنا النقطة $(10;11)$ الواقعة على السطر $y=x+1$. ومع ذلك، فمن الأفضل العثور على تلك النقاط التي يتقاطع عندها الخط المستقيم $y=x+1$ مع الخطين $x=3$ و$y=0$. لماذا هذا أفضل؟ لأننا سنقتل عصفورين بحجر واحد: سنحصل على نقطتين لبناء الخط المستقيم $y=x+1$ وفي نفس الوقت نكتشف عند أي نقاط يتقاطع هذا الخط المستقيم مع الخطوط الأخرى التي تحد المنطقة المحددة. يتقاطع السطر $y=x+1$ مع السطر $x=3$ عند النقطة $(3;4)$، ويتقاطع السطر $y=0$ عند النقطة $(-1;0)$. وحتى لا تشوش سير الحل بالتفسيرات المساعدة، سأضع مسألة الحصول على هاتين النقطتين في ملاحظة.

كيف تم الحصول على النقاط $(3;4)$ و$(-1;0)$؟ اظهر المخفي

لنبدأ من نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$x=3$. تنتمي إحداثيات النقطة المطلوبة إلى كل من الخطين المستقيمين الأول والثاني، لذلك للعثور على الإحداثيات المجهولة، عليك حل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

الحل لمثل هذا النظام تافه: بالتعويض $x=3$ في المعادلة الأولى التي سنحصل عليها: $y=3+1=4$. النقطة $(3;4)$ هي النقطة المطلوبةتقاطعات الخطوط $y=x+1$ و $x=3$.

الآن دعونا نجد نقطة تقاطع الخطين $y=x+1$ و$y=0$. دعونا مرة أخرى نؤلف ونحل نظام المعادلات:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

بالتعويض $y=0$ في المعادلة الأولى، نحصل على: $0=x+1$، $x=-1$. النقطة $(-1;0)$ هي نقطة التقاطع المطلوبة للخطين $y=x+1$ و$y=0$ (المحور x).

كل شيء جاهز لبناء رسم سيبدو كما يلي:

يبدو سؤال المذكرة واضحا، لأنه يمكن رؤية كل شيء من الصورة. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن الرسم لا يمكن أن يكون بمثابة دليل. الرسم لأغراض توضيحية فقط.

تم تعريف منطقتنا باستخدام معادلات الخطوط التي تربطها. من الواضح أن هذه الخطوط تحدد المثلث، أليس كذلك؟ أم أنها ليست واضحة تماما؟ أو ربما تم إعطاؤنا مساحة مختلفة، يحدها نفس الخطوط:

طبعا الشرط يقول أن المنطقة مغلقة وبالتالي الصورة المعروضة غير صحيحة. ولكن لتجنب مثل هذا الغموض، فمن الأفضل تعريف المناطق على أساس عدم المساواة. هل نحن مهتمون بجزء المستوى الواقع تحت الخط المستقيم $y=x+1$؟ حسنًا، $y ≥ x+1$. هل يجب أن تقع منطقتنا فوق الخط $y=0$؟ عظيم، وهذا يعني $y ≥ 0$. بالمناسبة، يمكن بسهولة دمج المتباينتين الأخيرتين في متباينة واحدة: $0 ≥ y ≥ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≥ y ≥ x+1;\\ & x ≥ 3. \end(aligned) \right. $$

تحدد أوجه عدم المساواة هذه المنطقة $D$، وتحددها بشكل لا لبس فيه، دون السماح بأي غموض. ولكن كيف يساعدنا هذا في الإجابة على السؤال المذكور في بداية المذكرة؟ سيساعد ذلك أيضًا :) نحتاج إلى التحقق مما إذا كانت النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$. دعونا نستبدل $x=1$ و$y=1$ في نظام المتباينات الذي يحدد هذه المنطقة. إذا تحققت المتباينتان، فإن النقطة تقع داخل المنطقة. إذا لم يتم استيفاء إحدى المتباينات على الأقل، فإن النقطة لا تنتمي إلى المنطقة. لذا:

$$ \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 1+1;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right. \;\; \left \( \begin(محاذاة) & 0 ≥ 1 ≥ 2;\\ & 1 ≥ 3. \end(محاذاة) \right $$.

كلا عدم المساواة صحيحة. النقطة $M_1(1;1)$ تنتمي إلى المنطقة $D$.

والآن جاء دور دراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة، أي. لنذهب إلى . لنبدأ بالخط المستقيم $y=0$.

يحد الخط المستقيم $y=0$ (المحور x) المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. لنستبدل $y=0$ بـ $y=0$ وظيفة معينة$z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. نشير إلى دالة متغير واحد $x$ تم الحصول عليه نتيجة الاستبدال كـ $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

الآن بالنسبة للدالة $f_1(x)$، نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

تنتمي القيمة $x=2$ إلى المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، لذلك سنضيف أيضًا $M_2(2;0)$ إلى قائمة النقاط. بالإضافة إلى ذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. عند النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_4(3;0)$. بالمناسبة، إذا كانت النقطة $M_2$ لا تنتمي إلى المقطع قيد النظر، فلن تكون هناك حاجة بالطبع لحساب قيمة الدالة $z$ فيها.

لذلك، دعونا نحسب قيم الدالة $z$ عند النقاط $M_2$، $M_3$، $M_4$. يمكنك بالطبع استبدال إحداثيات هذه النقاط في التعبير الأصلي $z=x^2+2xy-y^2-4x$. على سبيل المثال، بالنسبة للنقطة $M_2$ نحصل على:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

ومع ذلك، يمكن تبسيط الحسابات قليلا. للقيام بذلك، يجدر بنا أن نتذكر أنه في المقطع $M_3M_4$ لدينا $z(x,y)=f_1(x)$. سأكتبها بالتفصيل:

\begin(محاذاة) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(محاذاة)

بالطبع، عادة لا تكون هناك حاجة لمثل هذه السجلات التفصيلية، وفي المستقبل سنكتب جميع الحسابات بإيجاز:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

الآن دعونا ننتقل إلى الخط المستقيم $x=3$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $0 ≥ y ≥ 4$. لنستبدل $x=3$ في الدالة المعطاة $z$. نتيجة لهذا الاستبدال نحصل على الدالة $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

بالنسبة للدالة $f_2(y)$ نحتاج إلى العثور على أكبر وأصغر القيم في الفاصل الزمني $0 ≥ y ≥ 4$. لنجد مشتقة هذه الدالة ونساويها بالصفر:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

تنتمي القيمة $y=3$ إلى المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، لذلك سنضيف أيضًا $M_5(3;3)$ إلى النقاط التي تم العثور عليها مسبقًا. بالإضافة إلى ذلك، من الضروري حساب قيمة الدالة $z$ عند النقاط الموجودة في نهايات المقطع $0 ≥ y ≥ 4$، أي. عند النقطتين $M_4(3;0)$ و$M_6(3;4)$. عند النقطة $M_4(3;0)$ قمنا بالفعل بحساب قيمة $z$. دعونا نحسب قيمة الدالة $z$ عند النقطتين $M_5$ و$M_6$. اسمحوا لي أن أذكرك أنه في المقطع $M_4M_6$ لدينا $z(x,y)=f_2(y)$، وبالتالي:

\begin(محاذاة) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(محاذاة)

وأخيرًا، ضع في اعتبارك الحد الأخير للمنطقة $D$، أي. خط مستقيم $y=x+1$. يحد هذا الخط المستقيم المنطقة $D$ تحت الشرط $-1 ≥ x ≥ 3$. بالتعويض $y=x+1$ في الدالة $z$، سيكون لدينا:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

مرة أخرى لدينا دالة ذات متغير واحد $x$. ومرة أخرى نحتاج إلى إيجاد أكبر وأصغر قيم لهذه الدالة على الفترة $-1 ≥ x ≥ 3$. دعونا نوجد مشتقة الدالة $f_(3)(x)$ ونساويها بالصفر:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

تنتمي القيمة $x=1$ إلى الفاصل الزمني $-1 ≥ x ≥ 3$. إذا كان $x=1$، فإن $y=x+1=2$. دعونا نضيف $M_7(1;2)$ إلى قائمة النقاط ونكتشف قيمة الدالة $z$ في هذه المرحلة. النقاط في نهايات المقطع $-1 ≥ x ≥ 3$، أي. تم أخذ النقطتين $M_3(-1;0)$ و$M_6(3;4)$ في الاعتبار سابقًا، وقد وجدنا بالفعل قيمة الدالة فيهما.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

اكتملت الخطوة الثانية من الحل. لقد حصلنا على سبع قيم:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

دعونا ننتقل إلى . باختيار القيم الأكبر والأصغر من الأرقام التي تم الحصول عليها في الفقرة الثالثة سيكون لدينا:

$$z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6.$$

تم حل المشكلة، كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إجابة: $z_(دقيقة)=-4; \; z_(الحد الأقصى)=6$.

المثال رقم 2

ابحث عن القيم الأكبر والأصغر للدالة $z=x^2+y^2-12x+16y$ في المنطقة $x^2+y^2 ≥ 25$.

أولا، دعونا نبني الرسم. تحدد المعادلة $x^2+y^2=25$ (هذا هو الخط الحدودي لمنطقة معينة) دائرة مركزها عند نقطة الأصل (أي عند النقطة $(0;0)$) ونصف قطرها 5. إن المتراجحة $x^2 +y^2 ≥ $25 تحقق جميع النقاط الموجودة داخل الدائرة المذكورة وعلى متنها.

سوف نتصرف وفقا لذلك. دعونا نجد المشتقات الجزئية ونكتشف النقاط الحرجة.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

لا توجد نقاط لا توجد فيها المشتقات الجزئية الموجودة. دعونا نتعرف على النقاط التي تساوي فيها المشتقتان الجزئيتان الصفر في نفس الوقت، أي. دعونا نجد النقاط الثابتة.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(محاذاة) \right $$.

حصلنا نقطة ثابتة$(6;-8)$. ومع ذلك، فإن النقطة التي تم العثور عليها لا تنتمي إلى المنطقة $D$. من السهل إظهار ذلك دون اللجوء إلى الرسم. دعونا نتحقق مما إذا كانت المتباينة $x^2+y^2 ≥ 25$ صامدة، والتي تحدد منطقتنا $D$. إذا كان $x=6$، $y=-8$، فإن $x^2+y^2=36+64=100$، أي. عدم المساواة $x^2+y^2 ≥ 25$ لا تصمد. الخلاصة: النقطة $(6;-8)$ لا تنتمي إلى المنطقة $D$.

لذلك، لا توجد نقاط حرجة داخل المنطقة $D$. دعنا ننتقل إلى... نحن بحاجة إلى دراسة سلوك وظيفة على حدود منطقة معينة، أي. على الدائرة $x^2+y^2=25$. يمكننا بالطبع التعبير عن $y$ بدلالة $x$، ثم استبدال التعبير الناتج في الدالة $z$. من معادلة الدائرة نحصل على: $y=\sqrt(25-x^2)$ أو $y=-\sqrt(25-x^2)$. بالتعويض، على سبيل المثال، $y=\sqrt(25-x^2)$ في الدالة المحددة، سيكون لدينا:

$$ ض=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2)؛ \;\; -5×× ≥ 5.$$

وسيكون الحل الإضافي مطابقا تماما لدراسة سلوك الدالة عند حدود المنطقة في المثال السابق رقم 1. ومع ذلك، يبدو لي أكثر منطقية لتطبيق طريقة لاغرانج في هذه الحالة. سنكون مهتمين فقط بالجزء الأول من هذه الطريقة. بعد تطبيق الجزء الأول من طريقة لاغرانج، سنحصل على النقاط التي سنقوم عندها بفحص الدالة $z$ لمعرفة القيم الدنيا والقصوى.

نحن نؤلف وظيفة لاغرانج:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

نجد المشتقات الجزئية لدالة لاغرانج ونؤلف نظام المعادلات المقابل:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (محاذاة) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(محاذاة)\right.$ $

لحل هذا النظام، دعونا نشير على الفور إلى أن $\lambda\neq -1$. لماذا $\lambda\neq -1$؟ دعونا نحاول التعويض $\lambda=-1$ في المعادلة الأولى:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; س-س=6; \; 0=6. $$

يشير التناقض الناتج $0=6$ إلى أن القيمة $\lambda=-1$ غير مقبولة. الإخراج: $\lambda\neq -1$. لنعبر عن $x$ و $y$ بدلالة $\lambda$:

\begin(محاذاة) & x+\lambda x=6;\; x(1+\لامدا)=6;\; س=\فارك(6)(1+\لامدا). \\ & y+\lambda y=-8;\; ذ(1+\لامدا)=-8;\; ص=\فارك(-8)(1+\لامدا). \end(محاذاة)

أعتقد أنه أصبح من الواضح هنا سبب اشتراطنا الشرط $\lambda\neq -1$ على وجه التحديد. وقد تم ذلك لملاءمة التعبير $1+\lambda$ في المقامات دون أي تدخل. أي للتأكد من أن المقام $1+\lambda\neq 0$.

دعونا نستبدل التعبيرات الناتجة عن $x$ و $y$ في المعادلة الثالثة للنظام، أي. في $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\لامدا)^2)+\فارك(64)((1+\لامدا)^2)=25;\\ \فارك(100)((1+\لامدا)^2)=25 ; \; (1+\لامدا)^2=4. $$

ويترتب على المساواة الناتجة أن $1+\lambda=2$ أو $1+\lambda=-2$. وبالتالي لدينا قيمتان للمعلمة $\lambda$، وهما: $\lambda_1=1$، $\lambda_2=-3$. وبناء على ذلك، نحصل على زوجين من القيم $x$ و $y$:

\begin(محاذاة) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(محاذاة)

إذن، حصلنا على نقطتين محتملتين أقصى مشروط، أي. $M_1(3;-4)$ و $M_2(-3;4)$. لنجد قيم الدالة $z$ عند النقطتين $M_1$ و $M_2$:

\begin(محاذاة) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(محاذاة)

يجب أن نختار القيم الأكبر والأصغر من تلك التي حصلنا عليها في الخطوتين الأولى والثانية. ولكن في في هذه الحالةالاختيار صغير :) لدينا:

$$ z_(دقيقة)=-75; \; ض_(الحد الأقصى)=125. $$

إجابة: $z_(دقيقة)=-75; \; z_(الحد الأقصى)=125 دولارًا.

تتضمن الخوارزمية القياسية لحل مثل هذه المشكلات، بعد العثور على أصفار الدالة، تحديد علامات المشتق على الفواصل الزمنية. ثم يتم حساب القيم عند النقاط القصوى (أو الدنيا) الموجودة وعند حدود الفاصل الزمني، اعتمادًا على السؤال الموجود في الحالة.

أنصحك أن تفعل الأشياء بشكل مختلف قليلاً. لماذا؟ لقد كتبت عن هذا.

أقترح حل مثل هذه المشاكل على النحو التالي:

1. أوجد المشتقة.
2. أوجد أصفار المشتقة.
3. تحديد أي منهم ينتمي الفاصل الزمني المحدد.
4. نحسب قيم الدالة عند حدود الفاصل ونقاط الخطوة 3.
5. نستنتج (الإجابة على السؤال المطروح).

أثناء حل الأمثلة المقدمة، لم يتم النظر في الحل بالتفصيل المعادلات التربيعية، يجب أن تكون قادرًا على القيام بذلك. وينبغي أن يعرفوا أيضا.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

77422. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 –3x+4 على المقطع [–2;0].

لنجد أصفار المشتقة:

تنتمي النقطة x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط -2 و -1 و0:

أكبر قيمة للدالة هي 6.

الجواب: 6

77425. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 3x 2 + 2 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على النقطة x = 2.

نحسب قيم الدالة عند النقاط 1 و 2 و 4:

أصغر قيمة للدالة هي -2.

الجواب: -2

77426. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 – 6x 2 على القطعة [–3;3].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

لنجد أصفار المشتقة:

النقطة x = 0 تنتمي إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نحسب قيم الدالة عند النقاط –3 و0 و3:

أصغر قيمة للدالة هي 0.

الجواب: 0

77429. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – 2x 2 + x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

3س 2 – 4س + 1 = 0

نحصل على الجذور: × 1 = 1 × 1 = 1/3.

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي فقط على x = 1.

لنجد قيم الوظيفة عند النقطتين 1 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77430. أوجد أكبر قيمة للدالة y = x 3 + 2x 2 + x + 3 في القطعة [- 4; -1].

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س 2 + 4س + 1 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

ينتمي الجذر x = –1 إلى الفاصل الزمني المحدد في الشرط.

نجد قيم الدالة عند النقاط –4، –1، –1/3، و1:

لقد وجدنا أن أكبر قيمة للدالة هي 3.

الجواب: 3

77433. أوجد أصغر قيمة للدالة y = x 3 – x 2 – 40x +3 على القطعة.

لنجد مشتقة الدالة المعطاة:

دعونا نجد أصفار المشتقة ونحل المعادلة التربيعية:

3س2 – 2س – 40 = 0

دعونا نحصل على الجذور:

الفاصل الزمني المحدد في الشرط يحتوي على الجذر x = 4.

ابحث عن قيم الوظيفة عند النقطتين 0 و 4:

لقد وجدنا أن أصغر قيمة للدالة هي -109.

الجواب: -109

دعونا نفكر في طريقة لتحديد أكبر وأصغر قيم للوظائف بدون مشتق. يمكن استخدام هذا النهج إذا كان لديك مشاكل كبيرة. المبدأ بسيط - نحن نستبدل جميع القيم الصحيحة من الفاصل الزمني في الدالة (الحقيقة هي أن الإجابة في جميع هذه النماذج الأولية هي عدد صحيح).

77437. أوجد أصغر قيمة للدالة y=7+12x–x 3 على القطعة [–2;2].

استبدال النقاط من -2 إلى 2: عرض الحل

77434. أوجد أكبر قيمة للدالة y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 في القطعة [–2;0].

هذا كل شئ. كل التوفيق لك!

مع خالص التقدير، الكسندر كروتيتسكيخ.

ملاحظة: سأكون ممتنًا لو أخبرتني عن الموقع على الشبكات الاجتماعية.