الحد الأدنى لقيمة الدالة هو. كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة

إن عملية البحث عن أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع ما تذكرنا برحلة رائعة حول جسم ما (رسم بياني للدالة) في طائرة هليكوبتر، وإطلاق النار في نقاط معينة من مدفع بعيد المدى واختيار غاية نقاط خاصة من هذه النقاط للتحكم في اللقطات. يتم اختيار النقاط بطريقة معينة ووفقا ل قواعد معينة. بأي قواعد؟ سنتحدث عن هذا أكثر.

إذا كانت الوظيفة ذ = F(س) مستمرة على الفترة [ أ, ب]، ثم يصل إلى هذا الجزء الأقل و أعلى القيم . يمكن أن يحدث هذا إما في النقاط القصوىأو في نهاية المقطع. لذلك، للعثور على الأقل و أكبر قيم الوظيفة ، مستمر على الفاصل الزمني [ أ, ب] ، تحتاج إلى حساب قيمه في الكل نقاط حرجةوفي نهايات القطعة، ثم اختر منها الأصغر والأكبر.

دعونا، على سبيل المثال، تحتاج إلى تحديد أعلى قيمةالمهام F(س) على الجزء [ أ, ب] . للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على جميع النقاط الحرجة ملقاة على [ أ, ب] .

نقطة حرجة تسمى النقطة التي وظيفة محددة، وهي المشتقإما يساوي الصفر أو غير موجود. ثم يجب عليك حساب قيم الوظيفة عند النقاط الحرجة. وأخيرًا، يجب مقارنة قيم الدالة عند النقاط الحرجة وفي نهايات القطعة ( F(أ) و F(ب)). أكبر هذه الأرقام سيكون أكبر قيمة للدالة في المقطع [أ, ب] .

مشاكل في العثور على أصغر قيم الدالة .

نبحث عن أصغر وأكبر قيم الدالة معًا

مثال 1. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 2] .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة. دعونا نساوي المشتقة بالصفر () ونحصل على نقطتين حرجتين: و . للعثور على أصغر وأكبر قيم الدالة خلف هذا الجزءويكفي حساب قيمها عند نهايات المقطع وعند النقطة، حيث أن النقطة لا تنتمي إلى المقطع [-1، 2]. قيم الوظائف هذه هي: , . إنه يتبع هذا أصغر قيمةالمهام(المشار إليها باللون الأحمر على الرسم البياني أدناه)، والتي تساوي -7، يتم تحقيقها في الطرف الأيمن من المقطع - عند النقطة ، و أعظم(باللون الأحمر أيضًا على الرسم البياني)، يساوي 9، - عند النقطة الحرجة.

إذا كانت الدالة متصلة في فترة زمنية معينة وهذه الفترة ليست قطعة (ولكنها، على سبيل المثال، فترة؛ الفرق بين الفترة والقطعة: لا يتم تضمين النقاط الحدودية للفاصل في الفترة، ولكن يتم تضمين نقاط حدود المقطع في المقطع)، فمن بين قيم الدالة قد لا تكون الأصغر والأكبر. على سبيل المثال، الدالة الموضحة في الشكل أدناه متصلة على ]-∞، +∞[ وليس لها القيمة الأكبر.

ومع ذلك، بالنسبة لأي فترة زمنية (مغلقة أو مفتوحة أو لا نهائية)، تكون الخاصية التالية للدوال المستمرة صحيحة.

مثال 4. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء [-1, 3] .

حل. نجد مشتق هذه الدالة كمشتق حاصل القسمة:

نحن نساوي المشتقة بالصفر، مما يعطينا نقطة حرجة واحدة: . إنه ينتمي إلى الجزء [-1، 3] . للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

دعونا نقارن هذه القيم. الاستنتاج: يساوي -5/13 عند النقطة و أعلى قيمةيساوي 1 عند النقطة .

نواصل البحث عن القيم الأصغر والأكبر للدالة معًا

هناك مدرسون، فيما يتعلق بموضوع إيجاد أصغر وأكبر قيم للدالة، لا يعطوا الطلاب أمثلة لحلها تكون أكثر تعقيدًا من تلك التي تمت مناقشتها للتو، أي تلك التي تكون فيها الدالة كثيرة الحدود أو دالة الكسر الذي بسطه ومقامه كثيرات الحدود. لكننا لن نقتصر على مثل هذه الأمثلة، لأنه من بين المعلمين هناك من يحب إجبار الطلاب على التفكير بالكامل (جدول المشتقات). ولذلك، سيتم استخدام الدالة اللوغاريتمية والدالة المثلثية.

مثال 6. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. نجد مشتقة هذه الوظيفة كما مشتق من المنتج :

نحن نساوي المشتقة بالصفر، وهو ما يعطي نقطة حرجة واحدة: . إنه ينتمي إلى هذا الجزء. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

نتيجة جميع الإجراءات: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي 0، عند النقطة وعند النقطة و أعلى قيمة، متساوي ه²، عند هذه النقطة.

مثال 7. ابحث عن أصغر وأكبر قيم للدالة على الجزء .

حل. أوجد مشتقة هذه الدالة:

نحن نساوي المشتقة بالصفر:

النقطة الحرجة الوحيدة تنتمي إلى هذا القطاع. للعثور على أصغر وأكبر قيم دالة على مقطع معين، نجد قيمها في نهايات المقطع وعند النقطة الحرجة التي تم العثور عليها:

خاتمة: تصل الدالة إلى الحد الأدنى من قيمتها، يساوي ، عند النقطة و أعلى قيمة, على قدم المساواة , عند هذه النقطة .

في المسائل المتطرفة المطبقة، عادةً ما يكون العثور على القيم الأصغر (القصوى) للدالة بمثابة إيجاد الحد الأدنى (الحد الأقصى). ولكن ليس الحد الأدنى أو الحد الأقصى في حد ذاته هو الذي له أهمية عملية أكبر، ولكن قيم الحجة التي يتم تحقيقها من خلالها. عند حل المشكلات التطبيقية، ينشأ صعوبة إضافية- تجميع الوظائف التي تصف الظاهرة أو العملية قيد النظر.

مثال 8.خزان بسعة 4، له شكل متوازي السطوح قاعدة مربعةومفتوحة من الأعلى، تحتاج إلى قصديرها. ما ينبغي أن تكون أبعاد الخزان بحيث يستغرق أقل مبلغمادة؟

حل. يترك س- الجانب الأساسي، ح- ارتفاع الخزان، س- مساحة سطحه بدون غطاء، الخامس- حجمه. يتم التعبير عن مساحة سطح الخزان بالصيغة، أي. هي دالة لمتغيرين. للتعبير سكدالة لمتغير واحد، نستخدم حقيقة أنه من أين . استبدال التعبير الموجود حفي الصيغة ل س:

دعونا نفحص هذه الوظيفة إلى أقصى الحدود. يتم تعريفه وتمييزه في كل مكان في ]0 و +∞[ و

نحن نساوي المشتقة بالصفر () ونجد النقطة الحرجة. بالإضافة إلى ذلك، عندما لا يكون المشتق موجودًا، ولكن هذه القيمة لا تدخل في مجال التعريف وبالتالي لا يمكن أن تكون نقطة متطرفة. لذلك، هذه هي النقطة الحرجة الوحيدة. دعونا نتحقق من وجود الحد الأقصى باستخدام علامة الكافية الثانية. دعونا نجد المشتق الثاني. عندما يكون المشتق الثاني أكبر من الصفر (). وهذا يعني أنه عندما تصل الدالة إلى الحد الأدنى . منذ هذا الحد الأدنى هو الحد الأقصى الوحيد لهذه الدالة، وهو أصغر قيمة لها. لذلك يجب أن يكون طول ضلع قاعدة الخزان 2 متر وارتفاعه .

مثال 9.من النقطة أتقع على خط السكة الحديد، إلى هذه النقطة مع، وتقع على مسافة منه ل، يجب نقل البضائع. تكلفة نقل وحدة وزن لكل وحدة مسافة بالسكك الحديدية تساوي وعبر الطريق السريع تساوي . إلى أي نقطة مخطوط سكة حديديةيجب بناء طريق سريع لنقل البضائع منها أالخامس معكان الأكثر اقتصادا (القسم أ.بمن المفترض أن تكون السكك الحديدية مستقيمة)؟

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأصغر للدالة.

المتطلبات المسبقةالحد الأقصى والأدنى (الأقصى) للدالة هما كما يلي: إذا كانت الدالة f(x) لها حد أقصى عند النقطة x = a، عند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا أو لا نهائيًا أو غير موجود.

وهذا الشرط ضروري ولكنه غير كاف. المشتق عند النقطة x = a يمكن أن يصل إلى الصفر أو اللانهاية أو لا يوجد بدون أن يكون للدالة حد أقصى عند هذه النقطة.

ما هو الشرط الكافي لأقصى الدالة (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a موجبًا على يسار a وسالبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) أقصى

إذا كان المشتق f?(x) على مقربة كافية من النقطة x = a سالبًا على يسار a وموجبًا على يمين a، فعند النقطة x = a تكون الدالة f(x) الحد الأدنىبشرط أن تكون الدالة f(x) هنا مستمرة.

بدلا من ذلك، يمكنك استخدام الخيار الثاني شرط كافأقصى الدالة:

دع عند النقطة x = a المشتق الأول f?(x) يختفي؛ إذا كانت المشتقة الثانية f??(a) سالبة، فإن الدالة f(x) لها قيمة عظمى عند النقطة x = a، وإذا كانت موجبة، فإن لها قيمة صغرى.

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

هذه هي قيمة وسيطة الدالة التي يكون للدالة عندها حد أقصى (أي الحد الأقصى أو الحد الأدنى). للعثور عليه تحتاج العثور على المشتقةالدالة f?(x) وتساويها بالصفر، حل المعادلة f?(x) = 0. جذور هذه المعادلة، وكذلك تلك النقاط التي لا يوجد عندها مشتق هذه الوظيفة، هي نقاط حرجة، أي قيم الوسيطة التي يمكن أن يكون هناك حد متطرف. يمكن التعرف عليهم بسهولة من خلال النظر الرسم البياني المشتق: نحن مهتمون بقيم الوسيطة التي يتقاطع عندها الرسم البياني للدالة مع محور الإحداثي السيني (محور الثور) وتلك التي يعاني فيها الرسم البياني من انقطاعات.

على سبيل المثال، دعونا نجد أقصى القطع المكافئ.

الدالة ص(س) = 3x2 + 2x - 50.

مشتقة الدالة: y?(x) = 6x + 2

حل المعادلة: ص؟(س) = 0

6س + 2 = 0، 6س = -2، س = -2/6 = -1/3

في في هذه الحالةالنقطة الحرجة هي x0=-1/3. مع قيمة الوسيطة هذه تمتلك الوظيفة أقصى. له يجد، استبدل الرقم الموجود في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، أي. أكبر وأصغر قيمها؟

إذا تغيرت إشارة المشتقة عند المرور بالنقطة الحرجة x0 من "زائد" إلى "ناقص" فإن x0 تكون النقطة القصوى; إذا تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد، فإن x0 تكون نقطة الحد الأدنى; إذا لم تتغير الإشارة، فعند النقطة x0 لا يوجد حد أقصى ولا حد أدنى.

على سبيل المثال يعتبر:

دعونا أعتبر قيمة تعسفيةحجة على يسار نقطة حرجة: س = -1

عند x = -1، قيمة المشتق ستكون y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي الإشارة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عند x = 1، ستكون قيمة المشتقة y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي الإشارة "زائد").

كما ترون، تغيرت إشارة المشتقة من ناقص إلى زائد عند المرور بالنقطة الحرجة. هذا يعني أنه عند القيمة الحرجة x0 لدينا نقطة دنيا.

أكبر وأصغر قيمة للدالة على الفاصل الزمني(على مقطع ما) تم العثور عليها باستخدام نفس الإجراء، مع الأخذ في الاعتبار فقط حقيقة أنه ربما لن تقع جميع النقاط الحرجة ضمن الفاصل الزمني المحدد. يجب استبعاد تلك النقاط الحرجة التي تقع خارج الفاصل الزمني من الاعتبار. إذا كانت هناك نقطة حرجة واحدة فقط خلال الفاصل الزمني، فسيكون لها حد أقصى أو حد أدنى. في هذه الحالة، لتحديد القيم الأكبر والأصغر للدالة، نأخذ في الاعتبار أيضًا قيم الدالة في نهايات الفترة.

على سبيل المثال، لنجد القيم الأكبر والأصغر للدالة

ص(س) = 3الخطيئة(س) - 0.5س

على فترات:

إذن مشتقة الدالة هي

ص?(س) = 3cos(x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos(x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5/3 = 0.16667

س = ± أركوس (0.16667) + 2πك.

نجد النقاط الحرجة على الفاصل الزمني [-9؛ 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (غير متضمن في الفاصل الزمني)

س = -أركوس(0.16667) – 2π*1 = -7.687

س = أركوس (0.16667) - 2π*1 = -4.88

س = -أركوس(0.16667) + 2π*0 = -1.403

س = أركوس (0.16667) + 2π*0 = 1.403

س = -أركوس (0.16667) + 2π*1 = 4.88

س = قوس (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (غير متضمنة في الفاصل الزمني)

نجد قيم الدالة في القيم الحرجةدعوى:

ص(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

ص(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

ص(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

ص(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

ص(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

ص(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفاصل الزمني [-9؛ 9] الدالة لها أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88، ص = 5.398،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الدالة في نهايات الفترة:

ص(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

ص(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا القيمة الأكبر للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة -

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد الجوانب المحدبة والمقعرة؟

للعثور على جميع نقاط انعطاف الخط y = f(x)، تحتاج إلى العثور على المشتق الثاني، ومساواته بالصفر (حل المعادلة) واختبار جميع قيم x التي يكون المشتق الثاني فيها صفرًا، لانهائي أو غير موجود. إذا تم تغيير المشتق الثاني عند المرور عبر إحدى هذه القيم، فإن الرسم البياني للدالة يكون له انعطاف عند هذه النقطة. إذا لم يتغير فلا يوجد انحناء.

جذور المعادلة و؟ (x) = 0، بالإضافة إلى نقاط انقطاع الدالة المحتملة والمشتق الثاني، يقسم مجال تعريف الدالة إلى عدد من الفواصل الزمنية. يتم تحديد التحدب في كل فترة من فتراتها بواسطة إشارة المشتقة الثانية. إذا كانت المشتقة الثانية عند نقطة ما على الفترة قيد الدراسة موجبة، فإن المستقيم y = f(x) مقعر لأعلى، وإذا كان سالبًا، فهو لأسفل.

كيفية العثور على الحدود القصوى لدالة من متغيرين؟

للعثور على الحدود القصوى للدالة f(x,y)، القابلة للتفاضل في مجال مواصفاتها، تحتاج إلى:

1) العثور على النقاط الحرجة، ولهذا - حل نظام المعادلات

fx؟ (س، ص) = 0، فو؟ (س، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0(a;b) تحقق مما إذا كانت إشارة الفرق تظل دون تغيير

لجميع النقاط (x;y) قريبة بدرجة كافية من P0. إذا ظل الفرق موجبًا، فعند النقطة P0 لدينا حد أدنى، وإذا كان سالبًا، فلدينا حد أقصى. إذا لم يحتفظ الفرق بإشارته، فلا يوجد حد أقصى عند النقطة P0.

يتم تحديد الحدود القصوى للوظيفة بالمثل أكثرالحجج.

ما هو موضوع الرسوم المتحركة "Shrek Forever After"؟
الرسوم المتحركة: "Shrek Forever After" سنة الإصدار: 2010 العرض الأول (الاتحاد الروسي): 20 مايو 2010 الدولة: الولايات المتحدة الأمريكية المخرج: مايكل بيتشل السيناريو: جوش كلاوسنر، دارين ليمكي النوع: كوميديا عائلية، خيال، مغامرة الموقع الرسمي: www.shrekforeverafter .com مؤامرة بغل

هل من الممكن التبرع بالدم أثناء الحيض؟
لا ينصح الأطباء بالتبرع بالدم أثناء فترة الحيض، لأنه... إن فقدان الدم، وإن لم يكن بكميات كبيرة، محفوف بانخفاض مستويات الهيموجلوبين وتدهور صحة المرأة. أثناء إجراء التبرع بالدم، قد تتفاقم الحالة الصحية حتى يحدث النزيف. لذلك يجب على المرأة الامتناع عن التبرع بالدم أثناء فترة الحيض. وبالفعل في اليوم الخامس بعد الانتهاء منها

ما هو عدد السعرات الحرارية/الساعة التي يتم استهلاكها عند غسل الأرضيات؟
أنواع النشاط البدنياستهلاك الطاقة، سعر حراري/ساعة الطبخ 80 ارتداء الملابس 30 القيادة 50 إزالة الغبار 80 الأكل 30 البستنة 135 الكي 45 ترتيب السرير 130 التسوق 80 العمل المستقر 75 تقطيع الخشب 300 غسل الأرضيات 130 الجنس 100-150 الرقص الهوائي منخفض الكثافة

ماذا تعني كلمة "المحتال"؟
المحتال هو لص يقوم بالسرقة البسيطة، أو شخص ماكر عرضة للحيل الاحتيالية. تم تأكيد هذا التعريف في القاموس الاشتقاقيكريلوف ، والتي بموجبها يتم تشكيل كلمة "المحتال" من كلمة "zhal" (لص ، محتال) المرتبطة بالفعل &la

ما اسم آخر قصة منشورة للأخوين ستروغاتسكي؟
قصة قصيرةنُشر كتاب أركادي وبوريس ستروغاتسكي "حول مسألة التدوير" لأول مرة في أبريل 2008 في مختارات روائية "نون. القرن الحادي والعشرون" (ملحق لمجلة "حول العالم" التي نُشرت تحت رئاسة تحرير بوريس ستروغاتسكي). تم توقيت النشر ليتزامن مع الذكرى الخامسة والسبعين لبوريس ستروغاتسكي.

أين يمكنك قراءة القصص من المشاركين في برنامج Work And Travel USA؟
العمل و Travel USA (العمل والسفر في الولايات المتحدة الأمريكية) - برنامج شعبي تبادل الطلابوالتي بموجبها يمكنك قضاء الصيف في أمريكا والعمل بشكل قانوني في قطاع الخدمات والسفر. تم تضمين تاريخ برنامج العمل والسفر في برنامج التبادل الحكومي الدولي تبادل ثقافي برو

أذن. خلفية الطهي والتاريخية لأكثر من قرنين ونصف القرن، تم استخدام كلمة "أوخا" للإشارة إلى الحساء أو مغلي الأسماك الطازجة. ولكن كان هناك وقت تم فيه تفسير هذه الكلمة على نطاق أوسع. كان يعني الحساء - ليس فقط الأسماك، ولكن أيضا اللحوم والبازلاء وحتى الحلو. حتى في وثيقة تاريخية — «

بوابات المعلومات والتوظيف Superjob.ru - بوابة التوظيف Superjob.ru التي تعمل عليها السوق الروسيةالتوظيف عبر الإنترنت منذ عام 2000 وهو رائد بين الموارد التي تقدم البحث عن الوظائف والموظفين. يتم كل يوم إضافة أكثر من 80.000 سيرة ذاتية للمتخصصين وأكثر من 10.000 وظيفة شاغرة إلى قاعدة بيانات الموقع.

ما هو الدافع
تعريف الدافع الدافع (من الحركة اللاتينية - أتحرك) - حافز للعمل؛ عملية فسيولوجية ونفسية ديناميكية تتحكم في سلوك الإنسان، وتحدد اتجاهه وتنظيمه ونشاطه واستقراره؛ قدرة الإنسان على إشباع حاجاته من خلال العمل. موتيفاك

من هو بوب ديلان
بوب ديلان (إنجليزي بوب ديلان، الاسم الحقيقي - روبرت ألين زيمرمان إنجليزي. روبرت ألين زيمرمان؛ من مواليد 24 مايو 1941) هو كاتب أغاني أمريكي، وفقًا لاستطلاع أجرته مجلة رولينج ستون، هو الثاني (

كيفية نقل النباتات الداخلية
بعد شراء النباتات الداخلية، يواجه البستاني مهمة كيفية تسليم الزهور الغريبة المشتراة دون أن يصاب بأذى. معرفة القواعد الأساسية لتعبئة ونقل النباتات الداخلية ستساعد في حل هذه المشكلة. يجب تعبئة النباتات حتى يتم حملها أو نقلها. بغض النظر عن مدى قصر المسافة التي يتم نقل النباتات إليها، فإنها يمكن أن تتضرر، وتجف، وفي الشتاء

في بعض الأحيان توجد في المشكلات B15 وظائف "سيئة" يصعب العثور على مشتق لها. في السابق، كان هذا يحدث فقط أثناء اختبارات العينات، ولكن الآن أصبحت هذه المهام شائعة جدًا بحيث لم يعد من الممكن تجاهلها عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة الحقيقي.

في هذه الحالة، تعمل تقنيات أخرى، واحدة منها روتيني.

يُقال إن الدالة f (x) تتزايد بشكل رتيب على المقطع إذا كان لأي نقطة x 1 و x 2 من هذا المقطع ما يلي:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1) < f (× 2).

يقال إن الدالة f (x) تتناقص بشكل رتيب على المقطع إذا كان لأي نقطة x 1 و x 2 من هذا المقطع ما يلي:

× 1< x 2 ⇒ f (× 1) > و ( × 2).

بمعنى آخر، بالنسبة للدالة المتزايدة، كلما كانت x أكبر، كلما زاد حجم f(x). بالنسبة للدالة التناقصية، فإن العكس هو الصحيح: كلما كانت x أكبر، فإن أقلو (خ).

على سبيل المثال، يزداد اللوغاريتم بشكل رتيب إذا كان الأساس a > 1، ويتناقص بشكل رتيب إذا كان 0< a < 1. Не забывайте про область القيم المقبولةاللوغاريتم: س > 0.

و (س) = سجل أ س (أ > 0؛ أ ≠ 1؛ س > 0)

يزداد الجذر التربيعي الحسابي (وليس المربع فقط) بشكل رتيب على نطاق التعريف بأكمله:

تتصرف الدالة الأسية بشكل مشابه للوغاريتم: فهي تزيد بمقدار > 1 وتتناقص بمقدار 0< a < 1. Но в отличие от логарифма, وظيفة الأسيةمحددة لجميع الأرقام، وليس فقط x > 0:

و (س) = أ س (أ > 0)

وأخيرا درجات مع مؤشر سلبي. يمكنك كتابتها في صورة كسر. لديهم نقطة استراحة حيث يتم كسر الرتابة.

كل هذه الوظائف لم يتم العثور عليها أبدًا شكل نقي. يضيفون كثيرات الحدود والكسور وغيرها من الهراء، مما يجعل من الصعب حساب المشتق. دعونا ننظر إلى ما يحدث في هذه الحالة.

إحداثيات قمة القطع المكافئ

في أغلب الأحيان يتم استبدال وسيطة الوظيفة بـ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةمن النموذج y = ax 2 + bx + c. الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ قياسي يهمنا:

يمكن لفروع القطع المكافئ أن ترتفع (لـ > 0) أو للأسفل (أ< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
قمة القطع المكافئ هي النقطة القصوى للدالة التربيعية التي تأخذ فيها هذه الدالة الحد الأدنى (لـ a > 0) أو الحد الأقصى (a< 0) значение.

أعظم الفائدة هو قمة القطع المكافئ، يتم حساب الإحداثي بالصيغة:

وبذلك نكون قد أوجدنا النقطة القصوى للدالة التربيعية. أما إذا كانت الدالة الأصلية رتيبة، فإن النقطة x 0 ستكون لها أيضًا نقطة متطرفة. وبالتالي، دعونا صياغة القاعدة الأساسية:

النقاط القصوى ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةو وظيفة معقدة، الذي تم تضمينه فيه، يتزامن. لذلك، يمكنك البحث عن x 0 لثلاثية حدود من الدرجة الثانية، ونسيان الدالة.

من المنطق أعلاه، لا يزال من غير الواضح ما هي النقطة التي نحصل عليها: الحد الأقصى أو الحد الأدنى. ومع ذلك، تم تصميم المهام خصيصًا بحيث لا يهم هذا الأمر. أحكم لنفسك:

لا يوجد أي مقطع في بيان المشكلة. ولذلك، ليست هناك حاجة لحساب f(a) وf(b). يبقى أن ننظر فقط إلى النقاط القصوى؛
ولكن هناك نقطة واحدة فقط من هذا القبيل - وهذا هو قمة القطع المكافئ × 0، والتي يتم حساب إحداثياتها حرفيا شفهيا ودون أي مشتقات.

وبالتالي، فإن حل المشكلة يتم تبسيطه إلى حد كبير ويتلخص في خطوتين فقط:

اكتب معادلة القطع المكافئ y = ax 2 + bx + c وأوجد رأسه باستخدام الصيغة: x 0 = −b /2a ;
أوجد قيمة الدالة الأصلية عند هذه النقطة: f (x 0). إذا لا شروط إضافيةلا، هذا سيكون الجواب.

للوهلة الأولى، قد تبدو هذه الخوارزمية ومبررها معقدة. أنا لا أنشر عمدا مخطط حل "عاري"، لأن التطبيق الطائش لهذه القواعد محفوف بالأخطاء.

دعونا نلقي نظرة على المشاكل الحقيقية من امتحان الدولة الموحد التجريبيفي الرياضيات - هناك بالضبط هذه التقنيةيحدث في أغلب الأحيان. وفي الوقت نفسه، سوف نتأكد من أن العديد من مشاكل B15 تصبح بهذه الطريقة شفهية تقريبًا.

تحت الجذر يقف وظيفة من الدرجة الثانية y = x 2 + 6x + 13. الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن المعامل a = 1 > 0.

قمة القطع المكافئ:

x 0 = −ب /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3

بما أن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى، عند النقطة x 0 = −3 فإن الدالة y = x 2 + 6x + 13 تأخذ قيمتها الدنيا.

يزداد الجذر بشكل رتيب، مما يعني أن x 0 هي النقطة الدنيا للدالة بأكملها. لدينا:

مهمة. أوجد أصغر قيمة للدالة:

ص = سجل 2 (س 2 + 2س + 9)

تحت اللوغاريتم توجد مرة أخرى دالة تربيعية: y = x 2 + 2x + 9. الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ مع فروع لأعلى، لأن أ = 1 > 0.

قمة القطع المكافئ:

x 0 = −ب /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1

لذا، عند النقطة x 0 = −1، تأخذ الدالة التربيعية قيمتها الدنيا. لكن الدالة y = log 2 x رتيبة، لذلك:

y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3

يحتوي الأس على الدالة التربيعية y = 1 − 4x − x 2 . لنعيد كتابتها بالشكل الطبيعي: y = −x 2 − 4x + 1.

من الواضح أن الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ متفرع للأسفل (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:

x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2

الدالة الأصلية أسية، وهي رتيبة، وبالتالي فإن القيمة الأكبر ستكون عند النقطة التي تم العثور عليها x 0 = −2:

من المحتمل أن يلاحظ القارئ اليقظ أننا لم نكتب نطاق القيم المسموح بها للجذر واللوغاريتم. لكن هذا لم يكن مطلوبًا: يوجد بالداخل وظائف تكون قيمها إيجابية دائمًا.

النتائج الطبيعية من مجال الوظيفة

في بعض الأحيان، لا يكون مجرد العثور على قمة القطع المكافئ كافيًا لحل المشكلة B15. القيمة التي تبحث عنها قد تكذب في نهاية الجزء، وليس على الإطلاق في أقصى نقطة. إذا كانت المشكلة لا تشير إلى شريحة على الإطلاق، فابحث نطاق القيم المقبولةالوظيفة الأصلية. يسمى:

يرجى ملاحظة مرة أخرى: قد يكون الصفر تحت الجذر، ولكن ليس في لوغاريتم أو مقام الكسر. دعونا نرى كيف يعمل هذا مع أمثلة محددة:

مهمة. أوجد أكبر قيمة للدالة:

تحت الجذر مرة أخرى توجد دالة تربيعية: y = 3 − 2x − x 2 . الرسم البياني الخاص به عبارة عن قطع مكافئ، ولكنه يتفرع للأسفل لأن a = −1< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический الجذر التربيعيمن رقم سلبي غير موجود.

نكتب نطاق القيم المسموح بها (APV):

3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≥ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≥ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]

الآن لنجد رأس القطع المكافئ:

x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1

النقطة x 0 = −1 تنتمي إلى مقطع ODZ - وهذا أمر جيد. الآن نحسب قيمة الدالة عند النقطة x 0، وكذلك عند نهايات ODZ:

ص(−3) = ص(1) = 0

إذن، حصلنا على الرقمين 2 و0. ويُطلب منا إيجاد الرقم الأكبر - وهذا هو الرقم 2.

مهمة. أوجد أصغر قيمة للدالة:

ص = سجل 0.5 (6س - س 2 - 5)

يوجد داخل اللوغاريتم دالة تربيعية y = 6x − x 2 − 5. هذا قطع مكافئ له فروع للأسفل، لكن في اللوغاريتم لا يمكن أن يكون هناك أرقام سلبيةلذلك نكتب ODZ:

6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)

يرجى ملاحظة: عدم المساواة صارمة، وبالتالي فإن الغايات لا تنتمي إلى ODZ. وهذا يختلف اللوغاريتم عن الجذر، حيث تناسبنا نهايات القطعة جيدًا.

نحن نبحث عن قمة القطع المكافئ:

x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3

تتناسب قمة القطع المكافئ وفقًا لـ ODZ: x 0 = 3 ∈ (1; 5). لكن بما أننا لسنا مهتمين بنهايات المقطع، فإننا نحسب قيمة الدالة عند النقطة x 0 فقط:

y min = y (3) = log 0.5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0.5 (18 − 9 − 5) = log 0.5 4 = −2

في كثير من الأحيان في الفيزياء والرياضيات يكون مطلوبا العثور على أصغر قيمة للدالة. سنخبرك الآن بكيفية القيام بذلك.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة: التعليمات

لحساب أصغر قيمة وظيفة مستمرةفي جزء معين، عليك اتباع الخوارزمية التالية:
العثور على مشتق من وظيفة.
أوجد على قطعة معينة النقاط التي يكون عندها المشتق صفرًا، وكذلك جميع النقاط الحرجة. ثم اكتشف قيم الدالة عند هذه النقاط، أي حل المعادلة حيث x تساوي صفراً. تعرف على القيمة الأصغر.
حدد القيمة التي تحملها الدالة نقاط النهاية. حدد أصغر قيمة للدالة عند هذه النقاط.
قارن البيانات التي تم الحصول عليها بأقل قيمة. أصغر الأرقام الناتجة ستكون أصغر قيمة للدالة.

لاحظ أنه إذا لم يكن هناك وظيفة على قطعة أصغر النقاطوهذا يعني أنه في شريحة معينة يزيد أو ينقص. ولذلك، ينبغي حساب أصغر قيمة على الأجزاء المحدودة من الدالة.

وفي جميع الحالات الأخرى، يتم حساب قيمة الدالة وفقًا لخوارزمية معينة. في كل نقطة من الخوارزمية سوف تحتاج إلى حل مشكلة بسيطة معادلة خط مستقيممع جذر واحد. حل المعادلة باستخدام الصورة لتجنب الأخطاء.

كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة في مقطع نصف مفتوح؟ في الفترة نصف المفتوحة أو المفتوحة للدالة، يجب العثور على أصغر قيمة بالطريقة الآتية. عند نقاط نهاية قيمة الدالة، احسب الحد من جانب واحد للدالة. بمعنى آخر، حل معادلة تكون فيها نقاط الميل معطاة بالقيمتين a+0 وb+0، حيث a وb هما اسما النقاط الحرجة.

الآن أنت تعرف كيفية العثور على أصغر قيمة للدالة. الشيء الرئيسي هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح ودقيق وبدون أخطاء.

ما هو الحد الأقصى للدالة وما هو الشرط الضروري لوجود الحد الأقصى؟

الحد الأقصى للدالة هو الحد الأقصى والأصغر للدالة.

الشرط الضروري للحد الأقصى والأدنى (الأقصى) للدالة هو ما يلي: إذا كانت الدالة f(x) لها حد أقصى عند النقطة x = a، عند هذه النقطة يكون المشتق إما صفرًا أو لا نهائيًا، أو لا لا يوجد.

ما هو الشرط الكافي لأقصى الدالة (الحد الأقصى أو الأدنى)؟

الشرط الأول:

بدلًا من ذلك، يمكنك استخدام الشرط الكافي الثاني للحد الأقصى للدالة:

ما هي النقطة الحرجة للدالة وكيفية العثور عليها؟

على سبيل المثال، دعونا نجد أقصى القطع المكافئ.

الدالة ص(س) = 3x2 + 2x - 50.

مشتقة الدالة: y?(x) = 6x + 2

حل المعادلة: ص؟(س) = 0

6س + 2 = 0، 6س = -2، س = -2/6 = -1/3

في هذه الحالة، النقطة الحرجة هي x0=-1/3. مع قيمة الوسيطة هذه تمتلك الوظيفة أقصى. له يجد، استبدل الرقم الموجود في تعبير الدالة بدلاً من "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

كيفية تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، أي. أكبر وأصغر قيمها؟

على سبيل المثال يعتبر:

نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يسار النقطة الحرجة: x = -1

عند x = -1، قيمة المشتق ستكون y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (أي الإشارة "ناقص").

الآن نأخذ قيمة عشوائية للوسيطة الموجودة على يمين النقطة الحرجة: x = 1

عند x = 1، ستكون قيمة المشتقة y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (أي الإشارة "زائد").

على سبيل المثال، لنجد القيم الأكبر والأصغر للدالة

ص(س) = 3الخطيئة(س) - 0.5س

على فترات:

إذن مشتقة الدالة هي

ص?(س) = 3cos(x) - 0.5

نحل المعادلة 3cos(x) - 0.5 = 0

كوس (س) = 0.5/3 = 0.16667

س = ± أركوس (0.16667) + 2πك.

نجد النقاط الحرجة على الفاصل الزمني [-9؛ 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (غير متضمن في الفاصل الزمني)

س = -أركوس(0.16667) – 2π*1 = -7.687

س = أركوس (0.16667) - 2π*1 = -4.88

س = -أركوس(0.16667) + 2π*0 = -1.403

س = أركوس (0.16667) + 2π*0 = 1.403

س = -أركوس (0.16667) + 2π*1 = 4.88

س = قوس (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (غير متضمنة في الفاصل الزمني)

نجد قيم الدالة عند القيم الحرجة للوسيطة:

ص(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

ص(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

ص(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

ص(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

ص(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

ص(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

يمكن ملاحظة ذلك في الفاصل الزمني [-9؛ 9] الدالة لها أكبر قيمة عند x = -4.88:

س = -4.88، ص = 5.398،

والأصغر - عند x = 4.88:

س = 4.88، ص = -5.398.

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا نقطة حرجة واحدة فقط: x = -4.88. قيمة الدالة عند x = -4.88 تساوي y = 5.398.

أوجد قيمة الدالة في نهايات الفترة:

ص(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

ص(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

على الفاصل الزمني [-6؛ -3] لدينا القيمة الأكبر للدالة

ص = 5.398 عند س = -4.88

أصغر قيمة -

ص = 1.077 عند س = -3

كيفية العثور على نقاط انعطاف الرسم البياني للدالة وتحديد الجوانب المحدبة والمقعرة؟

كيفية العثور على الحدود القصوى لدالة من متغيرين؟

للعثور على الحدود القصوى للدالة f(x,y)، القابلة للتفاضل في مجال مواصفاتها، تحتاج إلى:

1) العثور على النقاط الحرجة، ولهذا - حل نظام المعادلات

fx؟ (س، ص) = 0، فو؟ (س، ص) = 0

2) لكل نقطة حرجة P0(a;b) تحقق مما إذا كانت إشارة الفرق تظل دون تغيير

يتم تحديد الحدود القصوى للدالة بشكل مشابه لعدد أكبر من الوسائط.