الحل العام للمعادلة من الدرجة n. التفاضل الخطي

ن- الترتيب

نظرية. لو ص 0- حل معادلة متجانسة ل[ص]=0, ذ 1- حل المعادلة غير المتجانسة المقابلة ل[ص] = و(خ)، ثم المبلغ ص 0 + ص 1هو الحل لهذه المعادلة غير المتجانسة.

يتم تحديد بنية الحل العام للمعادلة غير المتجانسة من خلال النظرية التالية.

نظرية. لو ي- حل خاص للمعادلة ل[ص] = و(خ)مع المعاملات المستمرة، - الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة ل[ص] = 0، ثم يتم تحديد الحل العام لهذه المعادلة غير المتجانسة بواسطة الصيغة

تعليق. لكتابة الحل العام لمعادلة خطية غير متجانسة، من الضروري إيجاد حل خاص لهذه المعادلة وحل عام للمعادلة المتجانسة المقابلة.

المعادلات الخطية غير المتجانسة ن

النظر في المعادلة الخطية غير المتجانسة ن-الترتيب مع معاملات ثابتة

أين أ 1, 2, …, ن- أرقام حقيقية. دعونا نكتب المعادلة المتجانسة المقابلة

يتم تحديد الحل العام للمعادلة غير المتجانسة بواسطة الصيغة

الحل العام لمعادلة متجانسة ص 0يمكننا إيجاد حل معين ييمكن إيجادها بطريقة المعاملات غير المحددة في الحالات البسيطة التالية:

في الحالة العامة، يتم استخدام طريقة تغيير الثوابت التعسفية.

طريقة اختلاف الثوابت التعسفية

النظر في المعادلة الخطية غير المتجانسة ن-الترتيب مع معاملات متغيرة

إذا تبين أن إيجاد حل معين لهذه المعادلة أمر صعب، ولكن الحل العام للمعادلة المتجانسة المقابلة معروف، فيمكن إيجاد الحل العام للمعادلة غير المتجانسة طريقة تغيير الثوابت التعسفية.

دع المعادلة المتجانسة المقابلة

لديه حل عام

سنبحث عن حل عام للمعادلة غير المتجانسة في الصورة

أين ص 1 = ذ 1 (س), ص 2 = ذ 2 (س), …, ص ن = ذ ن (س)هي حلول مستقلة خطيا لمعادلة متجانسة مدرجة في حلها العام، و ج 1 (خ), C2(خ), …, CN(x)- وظائف غير معروفة. للعثور على هذه الوظائف، دعونا نخضعها لبعض الشروط.

دعونا نجد المشتقة

نحن نشترط أن يكون المجموع في القوس الثاني يساوي صفرًا، أي

دعونا نجد المشتق الثاني

وسوف نطالب بذلك

مواصلة عملية مماثلة، نحصل عليها

في هذه الحالة، لا يمكنك أن تطلب اختفاء المجموع الموجود في القوس الثاني، نظرًا لأن الوظائف ج 1 (خ), C2(خ), …, CN(x)خاضعة بالفعل ن-1الشروط، ولكن لا تزال بحاجة إلى تلبية المعادلة الأصلية غير المتجانسة.

المعادلات التي تم حلها عن طريق التكامل المباشر

النظر في المعادلة التفاضلية التالية:
.
نحن ندمج n مرات.
;
;
وهكذا. يمكنك أيضًا استخدام الصيغة:
.
انظر المعادلات التفاضلية التي يمكن حلها مباشرة التكامل > > >

المعادلات التي لا تحتوي بشكل صريح على المتغير التابع y

يؤدي الاستبدال إلى تقليل ترتيب المعادلة بمقدار واحد. هنا وظيفة من .
راجع المعادلات التفاضلية ذات الرتب الأعلى التي لا تحتوي على دالة بشكل صريح > > >

المعادلات التي لا تتضمن بشكل صريح المتغير المستقل x

.
نحن نفترض أن هذه هي وظيفة .
.
ثم
وكذلك الأمر بالنسبة للمشتقات الأخرى. ونتيجة لذلك، يتم تقليل ترتيب المعادلة بمقدار واحد.

راجع المعادلات التفاضلية ذات الرتب الأعلى التي لا تحتوي على متغير صريح > > >

المعادلات المتجانسة فيما يتعلق بـ y، y'، y''، ...
,
لحل هذه المعادلة نقوم بالتعويض
.
أين هي وظيفة .
ثم

نقوم بالمثل بتحويل المشتقات، وما إلى ذلك. ونتيجة لذلك، يتم تقليل ترتيب المعادلة بمقدار واحد.

راجع المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى المتجانسة فيما يتعلق بالدالة ومشتقاتها > > > المعادلات التفاضلية الخطية ذات الرتب العليا:
(1) ,
دعونا نفكر
(2) ,
معادلة تفاضلية خطية متجانسة من الرتبة n
أين هي وظائف المتغير المستقل.يجب أن يكون هناك n حلول مستقلة خطيا لهذه المعادلة. ثم الحل العام للمعادلة (1) له الشكل:

راجع المعادلات التفاضلية ذات الترتيب الأعلى المتجانسة فيما يتعلق بالدالة ومشتقاتها > > > أين الثوابت التعسفية. تشكل الوظائف نفسها نظامًا أساسيًا للحلول.:
.
نظام الحل الأساسي
,
لمعادلة خطية متجانسة من الرتبة ن هي حلول مستقلة خطيا لهذه المعادلة.

معادلة تفاضلية خطية غير متجانسة من الرتبة n

يجب أن يكون هناك حل معين (أي) لهذه المعادلة. ثم الحل العام له الشكل:

أين هو الحل العام للمعادلة المتجانسة (1).
(3) .
المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة والقابلة للاختزال إليها
(2) .

المعادلات الخطية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة هذه معادلات من الشكل::
(4) .

هنا أرقام حقيقية. لإيجاد حل عام لهذه المعادلة، علينا إيجاد حلول مستقلة خطيًا n تشكل نظامًا أساسيًا من الحلول. ثم يتم تحديد الحل العام بالصيغة (2): نحن نبحث عن حل في النموذج .نحصل على
.

معادلة مميزة إذا كانت هذه المعادلة
,
جذور مختلفة

، فإن نظام الحلول الأساسي له الشكل:تتوافق التعددات مع الحلول المستقلة خطيًا: .

مضاعفات الجذور المعقدةتتوافق التعددية وقيمها المترافقة المعقدة مع الحلول المستقلة خطيًا:
.

المعادلات الخطية غير المتجانسة ذات الجزء الخاص غير المتجانس

النظر في معادلة النموذج
,
أين كثيرات الحدود من الدرجات s 1 و ق 2 ;

- دائم. أولاً نبحث عن حل عام للمعادلة المتجانسة (3). إذا كانت المعادلة المميزة (4)لا يحتوي على الجذر
,
، ثم نبحث عن حل معين في النموذج:
;
;
أين 1 و ق 2 .

ق - أعظم من ق إذا كانت المعادلة المميزة (4)له جذر
.

التعدد، ثم نبحث عن حل معين في الصورة:
.

بعد ذلك نحصل على الحل العام:

المعادلات الخطية غير المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

1) هناك ثلاثة حلول ممكنة هنا..
طريقة برنولي
.
أولًا، نجد أي حل غير صفري للمعادلة المتجانسة
,
ثم نقوم بالاستبدال - 1 أين هي دالة المتغير x .

2) نحصل على معادلة تفاضلية لـ u، والتي تحتوي فقط على مشتقات u بالنسبة إلى x..
بإجراء الاستبدال نحصل على المعادلة ن
,
- الترتيب الرابع.

3) طريقة الاستبدال الخطي.
دعونا نجعل الاستبدال
(2) .
حيث هو أحد جذور المعادلة المميزة (4). ونتيجة لذلك، حصلنا على معادلة خطية غير متجانسة ذات معاملات ترتيب ثابتة.
,
وبتطبيق هذا التعويض باستمرار، فإننا نختصر المعادلة الأصلية إلى معادلة من الدرجة الأولى.

طريقة تغيير ثوابت لاغرانج

في هذه الطريقة نقوم أولا بحل المعادلة المتجانسة (3). يبدو حله كما يلي:
.
ونفترض أيضًا أن الثوابت هي دوال للمتغير x.
.
ثم حل المعادلة الأصلية له الشكل:

حيث وظائف غير معروفة. بالتعويض في المعادلة الأصلية وفرض بعض القيود، نحصل على معادلات يمكننا من خلالها العثور على نوع الوظائف.
معادلة أويلر
يتم اختزاله إلى معادلة خطية ذات معاملات ثابتة عن طريق الاستبدال:

ومع ذلك، لحل معادلة أويلر، ليست هناك حاجة لإجراء مثل هذا الاستبدال. يمكنك البحث على الفور عن حل للمعادلة المتجانسة في النموذجنونتيجة لذلك، نحصل على نفس القواعد كما هو الحال في المعادلة ذات المعاملات الثابتة، والتي بدلاً من المتغير تحتاج إلى استبدال .

الأدب المستخدم:

(3)

بالنسبة للمعادلة من الرتبة n، يتم استيفاء شروط نظرية الوجود والتفرد للنظام منذ (1)~(2)~(3).

أبسط حالات تخفيض الطلب.

المعادلة لا تحتوي على الدالة المطلوبة ومشتقتها حتى الترتيب ك -1 شامل ، إنه

في هذه الحالة يمكن تخفيض الطلب إلى
استبدال. إذا عبرنا عن هذه المعادلة، فيمكن تحديد الحل y بواسطة الدالة القابلة للتكامل k-fold ص.

مثال.
.

معادلة لا تحتوي على متغير غير معروف

(5)

في هذه الحالة، يمكن تخفيض الترتيب بمقدار واحد عن طريق الاستبدال.

مثال.
.

الجانب الأيسر من المعادلة

(6)

هو مشتق من بعض التعبير التفاضلي ( ن -1) الترتيب .
. لو
- إذن يوجد حل للمعادلة الأخيرة. لقد حصلنا على التكامل الأول للمعادلة (6) وخفضنا درجة حل المعادلة بمقدار واحد.

تعليق.في بعض الأحيان يصبح الجانب الأيسر من (6) مشتقًا لمعادلة تفاضلية من الرتبة (n-1) فقط عند ضربها في
لذلك قد تظهر هنا حلول غير ضرورية (reversing إلى الصفر) أو قد نفقد الحل إذا وظيفة متقطعة.

مثال.

معادلة

(7)

متجانسة نسبيا ومشتقاته .

أو أين هو المؤشر
يتم تحديده من شروط التجانس.

يمكن تخفيض ترتيب هذه المعادلة بمقدار واحد بالاستبدال: .

إذا عوضنا بهذه العلاقات في (7) وأخذنا في الاعتبار تجانس الدالة ف ، ثم في النهاية نحصل على: .

مثال.
.

المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية،

السماح لخفض النظام.

الاستبدال
.

إذا كان من الممكن حل المعادلة (8) فيما يتعلق بالمشتق الأعلى، فإن المعادلة (8).
تم التكامل مرتين على المتغير س.

يمكنك إدخال معلمة واستبدال المعادلة (8) بتمثيلها البارامترى:
. استخدام العلاقة للتفاضلات:
، نحصل على: و

ثانيا .
(9)

دعونا نستخدم التمثيل البارامترى:

ثالثا.
. (10)

يمكنك خفض الترتيب عن طريق استبدال:
.

إذا كانت المعادلة (10) قابلة للحل بالنسبة للمشتقة الأعلى
، ثم اضرب الجانبين الأيمن والأيسر في
. نحصل على: هذه معادلة ذات متغيرات قابلة للفصل:
.

يمكن استبدال المعادلة (10) بتمثيلها البارامترى: . دعونا نستخدم خصائص التفاضل:.

مثال.
.

المعادلات التفاضلية الخطيةنونتيجة لذلك، نحصل على نفس القواعد كما هو الحال في المعادلة ذات المعاملات الثابتة، والتي بدلاً من المتغير تحتاج إلى استبدال .

تعريف. المعادلات التفاضلية الخطية ن - الترتيب تسمى معادلات النموذج:
. (1)

إذا كانت الاحتمالات مستمر ل
، ثم في جوار أي قيم أولية للنموذج:، أين ينتمي إلى الفاصل الزمني، ثم في جوار هذه القيم الأولية تكون الشروط مستوفاة نظريات الوجود والتفرد. يتم الحفاظ على الخطية والتجانس للمعادلة (1) تحت أي تحويل
، أين هي وظيفة تعسفية قابلة للتمييز ntimes. علاوة على ذلك
. يتم الحفاظ على الخطية والتجانس عندما يتم تحويل الدالة المجهولة خطيًا ومتجانسًا.

دعونا نقدم عامل تفاضلي خطي: ​​فيمكن كتابة (1) على النحو التالي:
. محدد رونسكي لـ
سوف تبدو مثل:

، أين - الحلول المستقلة خطيا للمعادلة (1).

نظرية 1. إذا كانت وظائف مستقلة خطيا
هو حل لمعادلة متجانسة خطية (1) ذات استمرارية
معاملات
، ثم محدد Wronski
لا تختفي في أي نقطة على هذا الجزء
.

نظرية 2. الحل العام للمعادلة الخطية المتجانسة (1) مع المستمر
معاملات
سيكون هناك مجموعة خطية من الحلول ، إنه
(٢)، حيث
مستقلة خطيا على الجزء
الحلول الخاصة (١).

(ثبت بشكل مشابه لحالة نظام المعادلات التفاضلية الخطية)

عاقبة.الحد الأقصى لعدد الحلول المستقلة خطيًا لـ (1) يساوي ترتيبها.

معرفة حل معين غير تافه للمعادلة (1) -
، يمكنك إجراء الاستبدال
وخفض ترتيب المعادلة مع الحفاظ على خطيتها وعدم تجانسها. عادة ما يتم تقسيم هذا الاستبدال إلى قسمين. وبما أن هذا تمثيل متجانس خطيًا، فإنه يحافظ على خطية وتجانس (1)، مما يعني أنه يجب اختزال (1) إلى الشكل. القرار
بالقوة
يتوافق مع الحل
، وبالتالي
. بعد أن قدمت بديلا
، نحصل على معادلة بالترتيب
.

ليما. (3)

معادلتان من الصيغة (3) و (4)، حيث Q i و P i هما دالتان مستمرتان لهما نظام أساسي مشترك للحلول، متطابقان، أي. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

بناءً على الليما، يمكننا أن نستنتج أن النظام الأساسي للحلول y 1 y 2 …y n يحدد تمامًا المعادلة الخطية المتجانسة (3).

دعونا نجد صيغة المعادلة (3) التي لها نظام أساسي من الحلول y 1 y 2 …y n . أي حل ذ(س) المعادلة (3) تعتمد خطياً على نظام الحلول الأساسي، مما يعني أن W=0. دعونا نوسع محدد Wronski W فوق العمود الأخير.

المعادلة (5) هي المعادلة التفاضلية الخطية المطلوبة التي لها نظام معين من الحلول الأساسية. يمكننا قسمة (5) على W، لأن فهو لا يساوي صفر  x.

(*)

ثم:

وفقًا لقاعدة تفاضل المحدد، فإن مشتق المحدد يساوي مجموع i=1,2...n المحددات، والصف i لكل منها يساوي مشتق i- الصف العاشر من المحدد الأصلي. في هذا المجموع، جميع المحددات باستثناء المحدد الأخير تساوي صفرًا (لأن لديهم خطين متطابقين)، والأخير يساوي (*). وهكذا نحصل على:
(6)

(7)

تعريف. ، ثم: يتم استدعاء الصيغ (6) و (7).

نستخدم (7) لتكامل معادلة متجانسة خطية من الدرجة الثانية. ودعونا نعرف أحد حلول ذ1 للمعادلة (8).

ووفقاً للرقم (7)، فإن أي حل (8) يجب أن يحقق العلاقة التالية:

(9)

دعونا نستخدم طريقة عامل التكامل.

المعادلات الخطية المتجانسة مع

معاملات ثابتة.

إذا كانت جميع المعاملات في معادلة خطية متجانسة ثابتة،

أ 0 ذ (ن) +أ 1 ذ (ن-1) +….+أ ن ص=0، (1)

ثم يمكن تعريف حلول معينة (1) على النحو التالي: y=e kx، حيث k ثابت.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

تعريف. (3) - معادلة مميزة.

يتم تحديد نوع الحل (1) من خلال جذور المعادلة المميزة (3).

1). جميع الجذور حقيقية ومتميزة ، ثم:

2). إذا كانت جميع المعاملات حقيقية، فيمكن أن تكون الجذور مترافقة بشكل معقد .

ك 1 =+i ك 2 =-i

ثم الحلول لها الشكل:

وفقًا للنظرية: إذا كان العامل ذو المعاملات الحقيقية لديه حلول مترافقة معقدة، فإن أجزائه الحقيقية والتخيلية هي أيضًا حلول. ثم:

مثال.

دعونا نقدم الحل في النموذج
، فإن المعادلة المميزة لها الشكل:

، نحصل على حلين:

ثم الوظيفة المطلوبة هي:

3). هناك جذور متعددة: ك أنا مع التعدد  أنا . في هذه الحالة، عدد من الحلول المختلفة
سيكون أصغر، لذلك، تحتاج إلى البحث عن الحلول المستقلة خطيًا المفقودة بشكل مختلف. على سبيل المثال:

دليل:

لنفترض أن k i = 0، إذا عوضنا به في (3) نحصل على ذلك، ثم:

- حلول خاصة (3).

دع k i 0، فلنقم بالاستبدال
(6)

باستبدال (6) في (1)، نحصل بالنسبة إلى z على معادلة خطية متجانسة من الرتبة n مع معاملات ثابتة (7).

تختلف الجذور (3) عن جذور المعادلة المميزة (7) بالمصطلح k i .

(8)

إذا كانت k=k i، فإن هذه k تتوافق مع حل المعادلة (7) ذات الجذر p=0، أي. تتوافق مع حلول النموذج z=
، فإن y= هو حل المعادلة (1). والحل العام يبدو كالتالي:

حل ل ك ط



معادلة أويلر.

تعريف. معادلة النموذج:

أنا معاملات ثابتة، تسمى معادلة أويلر.

يتم تقليل معادلة أويلر عن طريق استبدال x=e t إلى معادلة خطية متجانسة ذات معاملات ثابتة.

يمكنك البحث عن الحلول بالصيغة y=x k، فتجدها بالصيغة:

المعادلات الخطية غير المتجانسة.

إذا كانت 0 (x)0، فعند قسمة المعادلة (1) على هذا المعامل، نحصل على:

.

إذا كان i وf متصلين على b، فإن (2) لديه حل فريد يلبي الشروط الأولية المقابلة. فإذا عبرنا عن أعلى المشتقات من (2) صراحة، نحصل على معادلة يحقق طرفها الأيمن نظرية الوجود والتفرد. بما أن العامل L خطي، فهذا يعني أنه بالنسبة لـ (2) يتم الاحتفاظ بما يلي:

1).
- الحل (2)، إذا - حل المعادلة غير المتجانسة (2)، و - حل المعادلة المتجانسة المقابلة.

2). لو - الحلول
، الذي - التي
حل المعادلة
.

الخاصية 2 هي مبدأ التراكب، وهي صالحة عندما
، إذا كانت السلسلة
- يتقارب ويعترف م- التمايز المتعدد لكل مصطلح.

3) دع معادلة المشغل تعطى
، حيث L عامل ذو معاملات ، الجميع - حقيقي. الدالتان U وV حقيقيتان أيضًا. ثم، إذا كان لهذه المعادلة حل
فإن حل المعادلة نفسها سيكون الجزأين التخيلي والحقيقي:
و
. علاوة على ذلك، كل واحد منهم يتوافق مع الحل.

نظرية. الحل العام للمعادلة غير المتجانسةن- عن
على المقطع [أ, ب] بشرط أن تكون جميع المعاملات
والجانب الأيمن
- يمكن تمثيل الدوال المستمرة كمجموع الحل العام المقابل لنظام متجانس
وحل خاص للغير متجانسة -
.

أولئك. حل
.

إذا كان من المستحيل تحديد حلول معينة بشكل واضح لنظام غير متجانس، فيمكنك استخدام هذه الطريقة اختلافات ثابتة . سنبحث عن الحل في النموذج:

(3)

أين
حلول لنظام متجانس
- وظائف غير معروفة.

إجمالي الوظائف غير المعروفة
- ن.

يجب أن يحققوا المعادلة الأصلية (2).
باستبدال التعبير y(x) في المعادلة (2)، نحصل على شروط لتحديد دالة مجهولة واحدة فقط. لتحديد الوظائف المتبقية (n-1) جيدًا، هناك شرط آخر (n-1) - ولكن يمكن اختيارها بشكل تعسفي؛ دعونا نختارها بحيث يكون الحل (2) - y(x) بنفس الصورة كما لو

,

كانت ثوابت.
لأن
تتصرف مثل الثوابت، ثم
.

مما يعني
.

الذي - التي. نحصل على الشرط (n-1)-لكن بالإضافة إلى المعادلة (1). إذا عوضنا بالتعبير الخاص بالمشتقات في المعادلة (1) وأخذنا في الاعتبار جميع الشروط التي تم الحصول عليها وحقيقة أن y i هو حل النظام المتجانس المقابل، فإننا نحصل على الشرط الأخير لـ

(3)

لننتقل إلى النظام: محدد النظام (3) هو (W) محدد فرونسكي ولأن y أنا حلول لنظام متجانس، إذن

W0 على .

مثال. معادلة غير متجانسة

، المعادلة المتجانسة المقابلةذ= نحن نبحث عن حل في النموذج ه kxك 2 . معادلة مميزةك 1,2 =  أنا

ذ= نحن نبحث عن حل في النموذج +1=0، أي = تاسعا س + أنا كوس سخطيئة

، الحل العام هو

لنستخدم طريقة التغير الثابت:
:

شروط ل

وهو ما يعادل الكتابة:

الأنظمة التفاضلية الخطية المعادلات.

يسمى نظام المعادلات التفاضلية خطي،إذا كانت خطية بالنسبة إلى الدوال المجهولة ومشتقاتها. نظام ن-المعادلات الخطية من الدرجة الأولى تكتب على الشكل:

معاملات النظام ثابتة.

من الملائم كتابة هذا النظام في شكل مصفوفة: ,

أين يوجد متجه عمود لوظائف غير معروفة اعتمادًا على وسيطة واحدة.

ناقل العمود لمشتقات هذه الوظائف.

ناقل العمود للمصطلحات المجانية.

مصفوفة المعاملات.

النظرية 1:إذا كانت جميع معاملات المصفوفة أتكون متواصلة على فترات معينة، ثم في بعض الأحياء من كل م. استيفاء شروط TS&E. وبالتالي، يمر عبر كل نقطة من هذه النقاط منحنى متكامل واحد.

في الواقع، في هذه الحالة، تكون الأطراف اليمنى للنظام متصلة بالنسبة لمجموعة الحجج ومشتقاتها الجزئية بالنسبة (تساوي معاملات المصفوفة A) محدودة، بسبب الاتصال على فترة مغلقة.

طرق حل SLDs

1. يمكن اختزال نظام المعادلات التفاضلية إلى معادلة واحدة عن طريق حذف المجهولات.

مثال:حل نظام المعادلات: (1)

حل:استبعاد ضمن هذه المعادلات من المعادلة الأولى لدينا . بالتعويض في المعادلة الثانية وبعد التبسيط نحصل على: .

هذا النظام من المعادلات (1) تم تخفيضها إلى معادلة واحدة من الدرجة الثانية. بعد العثور على هذه المعادلة ذ، ينبغي العثور عليها ضباستخدام المساواة.

2. عند حل نظام من المعادلات عن طريق حذف المجهولات، عادة ما يتم الحصول على معادلة ذات ترتيب أعلى، لذلك في كثير من الحالات يكون حل النظام من خلال إيجادها أكثر ملاءمة مجموعات متكاملة.

تابع 27 ب

مثال:حل النظام

حل:

دعونا نحل هذا النظام باستخدام طريقة أويلر. دعونا نكتب المحدد لإيجاد الخاصية

المعادلة: ، (بما أن النظام متجانس، لكي يكون له حل غير تافه، يجب أن يكون هذا المحدد مساوياً للصفر). نحصل على معادلة مميزة ونجد جذورها:

الحل العام هو : ;

- المتجهات الذاتية.

نكتب الحل من أجل: ;

- المتجهات الذاتية.

نكتب الحل من أجل: ;

نحصل على الحل العام: .

دعونا نتحقق:

فلنجد : ونعوض به في المعادلة الأولى لهذا النظام، أي: .

نحصل على:

- المساواة الحقيقية.

الفرق الخطي معادلات من الدرجة n. نظرية الحل العام لمعادلة خطية غير متجانسة من الرتبة ن.

المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة n هي معادلة من الشكل: (1)

إذا كان لهذه المعادلة معامل، فبالقسمة عليه نصل إلى المعادلة: (2) .

عادة المعادلات من النوع (2). لنفترض أنه في اور ط (2) كل الاحتمالات، وكذلك و (خ)مستمرة على فترة ما (أ، ب).ثم، وفقا لTS&E، المعادلة (2) لديه حل فريد يلبي الشروط الأولية: , , ..., لـ . هنا - أي نقطة من الفاصل الزمني (أ، ب)،وجميع - أي أرقام معينة. معادلة (2) يرضي TC&E , وبالتالي لا يملك حلول خاصة.

تعريف: خاصالنقاط هي تلك التي عندها =0.

خصائص المعادلة الخطية:

1. تبقى المعادلة الخطية خطية مهما تغير المتغير المستقل.
2. تظل المعادلة الخطية كذلك بالنسبة لأي تغيير خطي للدالة المطلوبة.

مواطن:إذا في المعادلة (2) يضع و(س)=0، فنحصل على معادلة من الشكل: (3) ، والذي يسمى معادلة متجانسةنسبة إلى المعادلة غير المتجانسة (2).

دعونا نقدم العامل التفاضلي الخطي: (4). باستخدام هذا العامل، يمكنك إعادة كتابة المعادلة بشكل مختصر (2) و (3): L(y)=f(x), L(y)=0.المشغل (4) لديه الخصائص البسيطة التالية:

ومن هاتين الخاصيتين يمكن استنتاج نتيجة طبيعية: .

وظيفة ص = ص (س)هو حل للمعادلة غير المتجانسة (2), لو ل(ص(س))=و(س)، ثم و (خ)يسمى حل المعادلة إذن حل المعادلة (3) تسمى الوظيفة ص (خ)، لو ل(ص(س))=0على الفترات المدروسة.

يعتبر معادلة خطية غير متجانسة: , ل(ص)=و(خ).

لنفترض أننا وجدنا حلاً معينًا بطريقة ما.

دعونا نقدم وظيفة جديدة غير معروفة ضحسب الصيغة: أين يوجد حل معين.

لنعوض بها في المعادلة: ، افتح القوسين واحصل على: .

يمكن إعادة كتابة المعادلة الناتجة على النحو التالي:

بما أنه حل معين للمعادلة الأصلية، إذن، إذن.

وهكذا حصلنا على معادلة متجانسة فيما يتعلق ض. الحل العام لهذه المعادلة المتجانسة هو مزيج خطي: ​​حيث تشكل الوظائف - النظام الأساسي للحلول للمعادلة المتجانسة. استبدال ضفي صيغة الاستبدال نحصل على: (*) للوظيفة ذ- دالة غير معروفة للمعادلة الأصلية. سيتم تضمين جميع حلول المعادلة الأصلية في (*).

وبالتالي الحل العام للخط غير المتجانس. يتم تمثيل المعادلة كمجموع حل عام لمعادلة خطية متجانسة وبعض الحلول الخاصة لمعادلة غير متجانسة.

(يتبع على الجانب الآخر)

30. نظرية الوجود والتفرد لحل التفاضل. المعادلات

نظرية:إذا كان الطرف الأيمن من المعادلة مستمرا في المستطيل ومحدود، ويحقق أيضًا شرط Lipschitz: , N=const، إذًا هناك حل فريد يحقق الشروط الأولية ويتم تحديده على المقطع ، أين .

دليل:

خذ بعين الاعتبار المساحة المترية الكاملة مع،نقاطها هي جميع الدوال المستمرة الممكنة y(x) المحددة في الفاصل الزمني ، والتي تقع رسومها البيانية داخل المستطيل، ويتم تحديد المسافة بالمساواة: . غالبًا ما تستخدم هذه المساحة في التحليل الرياضي وتسمى مساحة التقارب المنتظملأن التقارب في متري هذا الفضاء موحد.

دعونا نستبدل التفاضل. معادلة ذات شروط أولية معينة لمعادلة تكاملية مكافئة: والنظر في المشغل أ(ص)، يساوي الجانب الأيمن من هذه المعادلة: . يعين هذا المشغل لكل وظيفة مستمرة

باستخدام متباينة ليبشيتز، يمكننا كتابة المسافة. الآن دعونا نختار واحدًا ينطبق عليه المتباين التالي: .

وينبغي أن يتم اختياره بحيث , ثم . وهكذا أظهرنا ذلك.

وفقًا لمبدأ التعيينات الانكماشية، هناك نقطة واحدة، أو ما شابه ذلك، دالة واحدة - حل لمعادلة تفاضلية تلبي الشروط الأولية المحددة.