صيغة الحد n من التقدم الهندسي بسيطة للغاية. سواء في المعنى أو في المظهر العام. ولكن هناك جميع أنواع المسائل المتعلقة بصيغة الحد n - من البدائية جدًا إلى الخطيرة جدًا. وفي عملية تعارفنا، سننظر بالتأكيد في كليهما. حسنا، دعونا نتعرف؟)
لذا، في البداية، في الواقع معادلةن
ها هي:
ب ن = ب 1 · Qn -1
الصيغة مجرد صيغة، لا شيء خارق للطبيعة. تبدو أبسط وأكثر إحكاما من صيغة مماثلة ل. معنى الصيغة بسيط أيضًا مثل الأحذية المصنوعة من اللباد.
تتيح لك هذه الصيغة العثور على أي عضو في التقدم الهندسي من خلال رقمه " ن".
وكما ترى فإن المعنى هو تشبيه كامل للمتتابعة الحسابية. نحن نعرف الرقم n - ويمكننا أيضًا أن نحسب الحد تحت هذا الرقم. أيهما نريد. دون تكرار الضرب بـ "q" عدة مرات. هذا هو بيت القصيد.)
أفهم أنه في هذا المستوى من العمل مع التقدم، يجب أن تكون جميع الكميات المدرجة في الصيغة واضحة لك بالفعل، لكنني ما زلت أعتبر أنه من واجبي فك تشفير كل منها. فقط في حالة.
حسنا هيا بنا:
ب 1 – أولاًمصطلح التقدم الهندسي.
س – ;
ن- رقم عضوية؛
ب ن – ن (نذ)مصطلح التقدم الهندسي.
تربط هذه الصيغة بين المعلمات الأربعة الرئيسية لأي تقدم هندسي - بن, ب 1 , سو ن. وكل مشاكل التقدم تدور حول هذه الشخصيات الأربعة الرئيسية.
"كيف تتم إزالته؟"- أسمع سؤالاً فضولياً... ابتدائي! ينظر!
ما يساوي ثانيةعضو في التقدم؟ لا مشكلة! نكتب مباشرة:
ب 2 = ب 1 ·ف
ماذا عن العضو الثالث؟ ليست مشكلة سواء! نضرب الحد الثاني مرة أخرى علىس.
مثله:
ب 3 = ب 2 ف
دعونا نتذكر الآن أن الحد الثاني بدوره يساوي b 1 ·q ونعوض بهذا التعبير في مساواتنا:
ب 3 = ب 2 ف = (ب 1 ف) ف = ب 1 ف ف = ب 1 ف 2
نحن نحصل:
ب 3 = ب 1 · ف 2
الآن دعونا نقرأ مدخلتنا باللغة الروسية: ثالثالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثانيةدرجات. هل حصلت عليه؟ ليس بعد؟ حسنًا، خطوة أخرى.
ما هو الحد الرابع؟ كل نفس! تتضاعف سابق(أي الحد الثالث) على ف:
ب 4 = ب 3 ف = (ب 1 ف 2) ف = ب 1 ف 2 ف = ب 1 ف 3
المجموع:
ب 4 = ب 1 · ف 3
ومرة أخرى نترجم إلى اللغة الروسية: الرابعالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثالثدرجات.
وما إلى ذلك وهلم جرا. اذا كيف كانت؟ هل قبض على النمط؟ نعم! بالنسبة لأي حد بأي رقم، فإن عدد العوامل المتطابقة q (أي درجة المقام) سيكون دائمًا واحد أقل من عدد العضو المطلوبن.
لذلك ستكون صيغتنا بدون خيارات:
ب ن =ب 1 · Qn -1
هذا كل شئ.)
حسنًا، دعونا نحل المشاكل، على ما أعتقد؟)
حل مشاكل الصيغةنالحد الرابع من التقدم الهندسي.
لنبدأ كالعادة بالتطبيق المباشر للصيغة. إليك مشكلة نموذجية:
ومن المعروف أن في المتوالية الهندسية ب 1 = 512 و س = -1/2. أوجد الحد العاشر للتقدم.
وبطبيعة الحال، يمكن حل هذه المشكلة دون أي صيغ على الإطلاق. مباشرة بمعنى التقدم الهندسي. لكن علينا أن نستعد لصيغة الحد النوني، أليس كذلك؟ نحن هنا نقوم بالإحماء.
بياناتنا لتطبيق الصيغة هي كما يلي.
العضو الأول معروف. هذا هو 512.
ب 1 = 512.
قاسم التقدم معروف أيضًا: س = -1/2.
كل ما تبقى هو معرفة عدد الأعضاء n. لا مشكلة! هل نحن مهتمون بالفصل العاشر؟ لذلك نعوض بعشرة بدلاً من n في الصيغة العامة.
واحسب الحساب بعناية:
الجواب: -1
كما ترون، تبين أن الفصل العاشر من التقدم كان ناقصا. لا شيء مفاجئ: مقام التقدم لدينا هو -1/2، أي. سلبيرقم. وهذا يخبرنا أن علامات تقدمنا تتناوب، نعم.)
كل شيء بسيط هنا. هنا مشكلة مماثلة، ولكنها أكثر تعقيدا قليلا من حيث الحسابات.
ومن المعروف في المتوالية الهندسية أن:
ب 1 = 3
أوجد الحد الثالث عشر من التقدم.
كل شيء هو نفسه، هذه المرة فقط هو قاسم التقدم غير منطقي. جذر اثنين. حسنًا، لا بأس. الصيغة شيء عالمي، يمكنها التعامل مع أي أرقام.
نحن نعمل مباشرة وفقا للصيغة:
الصيغة، بالطبع، عملت كما ينبغي، ولكن... هذا هو المكان الذي يتعثر فيه بعض الناس. ماذا تفعل بعد ذلك مع الجذر؟ كيفية رفع الجذر إلى القوة الثانية عشرة؟
كيف كيف... يجب أن تفهم أن أي صيغة هي بالطبع شيء جيد، ولكن لا يتم إلغاء المعرفة بجميع الرياضيات السابقة! كيف تقوم بالبناء؟ نعم، تذكر خصائص الدرجات! دعونا نحول الجذر إلى درجة كسريةو- حسب صيغة رفع درجة إلى درجة.
مثله:
الجواب: 192
و هذا كل شيء.)
ما هي الصعوبة الرئيسية في تطبيق صيغة الفصل التاسع مباشرة؟ نعم! الصعوبة الرئيسية هي العمل بالدرجات!وهي رفع الأعداد السالبة والكسور والجذور والإنشاءات المماثلة إلى القوى. لذا من لديه مشاكل في ذلك، يرجى تكرار الدرجات وخصائصها! وإلا ستبطئ هذا الموضوع أيضًا، نعم...)
الآن دعونا نحل مشاكل البحث النموذجية أحد عناصر الصيغة، إذا تم إعطاء جميع الآخرين. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تكون الوصفة موحدة وبسيطة للغاية - اكتب الصيغةن-العضو بشكل عام!الحق في دفتر بجانب الشرط. وبعد ذلك من الحالة نكتشف ما يُعطى لنا وما هو مفقود. ونعبر عن القيمة المطلوبة من الصيغة. الجميع!
على سبيل المثال، مثل هذه المشكلة غير ضارة.
الحد الخامس لمتتالية هندسية مقامها 3 هو 567. أوجد الحد الأول لهذه المتوالية.
لا شيء معقد. نحن نعمل مباشرة وفقا للتهجئة.
دعونا نكتب صيغة الحد النوني!
ب ن = ب 1 · Qn -1
ماذا أعطينا؟ أولاً ، يتم إعطاء قاسم التقدم: س = 3.
علاوة على ذلك، لقد تم منحنا العضو الخامس: ب 5 = 567 .
الجميع؟ لا! لقد حصلنا أيضًا على الرقم n! هذا خمسة: ن = 5.
أتمنى أن تكون قد فهمت بالفعل ما هو موجود في التسجيل ب 5 = 567 تم إخفاء معلمتين في وقت واحد - هذا هو الحد الخامس نفسه (567) ورقمه (5). لقد تحدثت بالفعل عن هذا في درس مماثل، ولكن أعتقد أنه من الجدير بالذكر هنا أيضًا.)
الآن نستبدل بياناتنا في الصيغة:
567 = ب 1 ·3 5-1
نقوم بالحساب ونبسط ونحصل على معادلة خطية بسيطة:
81 ب 1 = 567
نحن نحل ونحصل على:
ب 1 = 7
كما ترون، لا توجد مشاكل في العثور على الفصل الأول. ولكن عند البحث عن القاسم سوالأرقام نوقد تكون هناك مفاجآت أيضًا. وعليك أيضًا أن تكون مستعدًا لها (المفاجآت)، نعم.)
على سبيل المثال هذه المشكلة:
الحد الخامس لمتتالية هندسية ذات مقام موجب هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.
هذه المرة حصلنا على الحدين الأول والخامس، ويطلب منا إيجاد مقام التقدم. ها نحن.
نكتب الصيغةنالعضو الرابع!
ب ن = ب 1 · Qn -1
ستكون بياناتنا الأولية كما يلي:
ب 5 = 162
ب 1 = 2
ن = 5
قيمة مفقودة س. لا مشكلة! فلنجدها الآن.) نعوض بكل ما نعرفه في الصيغة.
نحن نحصل:
162 = 2س 5-1
2 س 4 = 162
س 4 = 81
معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة. و الأن - بحرص!في هذه المرحلة من الحل، يقوم العديد من الطلاب على الفور باستخراج الجذر (من الدرجة الرابعة) بكل سرور ويحصلون على الإجابة س=3 .
مثله:
س4 = 81
س = 3
ولكن في الواقع، هذه إجابة غير مكتملة. بتعبير أدق، غير مكتملة. لماذا؟ النقطة هي أن الجواب س = -3 مناسب أيضًا: (-3) 4 سيكون أيضًا 81!
وذلك لأن معادلة القوة س ن = أدائما جذرين متقابلينفي حتىن . مع زائد وناقص:
كلاهما مناسب.
على سبيل المثال، عند اتخاذ القرار (أي. ثانيةدرجات)
× 2 = 9
لسبب ما، لا تتفاجأ بالمظهر اثنينالجذور س=±3؟ إنه نفس الشيء هنا. ومع أي شيء آخر حتىالدرجة (الرابعة، السادسة، العاشرة، الخ) ستكون هي نفسها. التفاصيل في الموضوع حول
ولذلك فإن الحل الصحيح سيكون:
س 4 = 81
س= ±3
حسنًا، لقد قمنا بفرز العلامات. أيهما صحيح - زائد أم ناقص؟ حسنًا، لنقرأ بيان المشكلة مرة أخرى بحثًا عن معلومات إضافية.بالطبع، قد لا يكون موجودا، ولكن في هذه المشكلة مثل هذه المعلومات متاح.تنص حالتنا في نص عادي على أنه يتم تقديم التقدم القاسم الإيجابي.
ولذلك فإن الجواب واضح:
س = 3
كل شيء بسيط هنا. ماذا تعتقد أنه سيحدث إذا كان بيان المشكلة كما يلي:
الحد الخامس من المتوالية الهندسية هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.
ماهو الفرق؟ نعم! في حالة لا شئولم يتم ذكر علامة المقام. لا بشكل مباشر ولا غير مباشر. وهنا ستكون المشكلة بالفعل حلين!
س = 3 و س = -3
نعم نعم! مع وجود علامة زائد وعلامة ناقص.) رياضيًا، هذه الحقيقة تعني وجودها تقدمينوالتي تتناسب مع ظروف المشكلة. ولكل منها قاسم خاص بها. للمتعة فقط، تدرب واكتب الحدود الخمسة الأولى من كل منها.)
الآن دعونا نتدرب على العثور على رقم العضو. هذه المشكلة هي الأصعب، نعم. ولكن أيضًا أكثر إبداعًا.)
بالنظر إلى التقدم الهندسي:
3; 6; 12; 24; …
ما الرقم في هذه المتوالية هو الرقم 768؟
الخطوة الأولى لا تزال هي نفسها: اكتب الصيغةنالعضو الرابع!
ب ن = ب 1 · Qn -1
والآن، كالعادة، نعوض بالبيانات التي نعرفها. حسنًا... إنه لا يعمل! أين الحد الأول، أين المقام، أين كل شيء آخر؟!
أين وأين... لماذا نحتاج إلى عيون؟ ترفرف رموشك؟ هذه المرة يتم تقديم التقدم لنا مباشرة في النموذج تسلسلات.هل يمكننا رؤية العضو الأول؟ نحن نرى! وهذا ثلاثي (ب1=3). ماذا عن القاسم؟ نحن لا نراها بعد، ولكن من السهل جدًا عدها. إذا فهمت بالطبع..
لذلك نحن نحسب. مباشرة حسب معنى المتتابعة الهندسية: نأخذ أي حد من حدودها (ما عدا الأول) ونقسمها على الذي قبله.
على الأقل مثل هذا:
س = 24/12 = 2
ماذا نعرف؟ نحن نعرف أيضًا حدًا ما لهذا التقدم، يساوي 768. تحت رقم ما n:
ب ن = 768
نحن لا نعرف رقمه، لكن مهمتنا هي العثور عليه بالتحديد.) لذلك نحن نبحث. لقد قمنا بالفعل بتنزيل جميع البيانات اللازمة للاستبدال في الصيغة. دون علم نفسك.)
هنا نستبدل:
768 = 3 2ن -1
لنقم بالمبادئ الأولية - نقسم كلا الطرفين على ثلاثة ونعيد كتابة المعادلة بالشكل المعتاد: المجهول على اليسار، والمعروف على اليمين.
نحن نحصل:
2 ن -1 = 256
هذه معادلة مثيرة للاهتمام. نحن بحاجة إلى العثور على "ن". ماذا، غير عادي؟ نعم، أنا لا أجادل. في الواقع، هذا هو أبسط شيء. وسمي بذلك لأن المجهول (في هذه الحالة هو الرقم ن) التكاليف في مؤشردرجات.
في مرحلة تعلم المتوالية الهندسية (هذا الصف التاسع)، لا يعلمونك كيفية حل المعادلات الأسية، نعم... هذا موضوع للمدرسة الثانوية. ولكن لا يوجد شيء مخيف. حتى إذا كنت لا تعرف كيفية حل هذه المعادلات، فلنحاول إيجادها ن، مسترشدة بالمنطق البسيط والفطرة السليمة.
دعونا نبدأ الحديث. على اليسار لدينا شيطان إلى درجة معينه. لا نعرف حتى الآن ما هي هذه الدرجة بالضبط، لكن هذا ليس مخيفًا. لكننا نعلم يقينًا أن هذه الدرجة تساوي 256! إذن، نتذكر إلى أي مدى يعطينا العدد اثنين العدد 256. هل تتذكر؟ نعم! في ثامندرجات!
256 = 2 8
إذا كنت لا تتذكر أو تواجه مشاكل في التعرف على الدرجات، فلا بأس بذلك أيضًا: ما عليك سوى ترتيب المربع الثاني، والمكعب، والرابع، والخامس، وهكذا. الاختيار، في الواقع، ولكن على هذا المستوى سوف يعمل بشكل جيد.
بطريقة أو بأخرى نحصل على:
2 ن -1 = 2 8
ن-1 = 8
ن = 9
إذن 768 هو تاسععضو في تقدمنا. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.)
الجواب: 9
ماذا؟ ممل؟ تعبت من الاشياء الابتدائية؟ يوافق. وأنا أيضا. دعنا ننتقل إلى المستوى التالي.)
مهام أكثر تعقيدا.
الآن دعونا نحل المشاكل الأكثر صعوبة. ليست رائعة تمامًا، ولكنها تتطلب القليل من العمل للوصول إلى الإجابة.
على سبيل المثال، هذا واحد.
أوجد الحد الثاني لمتتالية هندسية إذا كان حدها الرابع هو -24 وحدها السابع هو 192.
هذا هو كلاسيكي من هذا النوع. هناك مصطلحان مختلفان للتقدم معروفان، ولكن يجب العثور على مصطلح آخر. علاوة على ذلك، فإن جميع الأعضاء ليسوا متجاورين. وهو أمر محير في البداية، نعم...
كما هو الحال في حل مثل هذه المشاكل سننظر في طريقتين. الطريقة الأولى عالمية. جبري. يعمل بشكل لا تشوبه شائبة مع أي بيانات المصدر. ومن هنا سنبدأ.)
نحن نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!
كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال مع التقدم الحسابي. هذه المرة فقط نحن نعمل مع آخرصيغة عامة. هذا كل شيء.) ولكن الجوهر هو نفسه: نحن نأخذ و واحدا تلو الآخرنعوض بالبيانات الأولية في صيغة الحد n. لكل عضو - خاصة بهم.
للفصل الرابع نكتب:
ب 4 = ب 1 · س 3
-24 = ب 1 · س 3
يأكل. معادلة واحدة جاهزة.
للفصل السابع نكتب:
ب 7 = ب 1 · س 6
192 = ب 1 · س 6
في المجموع، حصلنا على معادلتين ل نفس التقدم .
نقوم بتجميع نظام منهم:
على الرغم من مظهره الخطير، فإن النظام بسيط للغاية. الحل الأكثر وضوحا هو الاستبدال البسيط. نحن نعرب ب 1 من المعادلة العلوية وتعويضها في المعادلة السفلى:
بعد العبث بالمعادلة السفلية قليلاً (تقليل القوى والقسمة على -24)، نحصل على:
س 3 = -8
وبالمناسبة، يمكن التوصل إلى هذه المعادلة نفسها بطريقة أبسط! أيها؟ الآن سأعرض لك سرًا آخر، ولكنه طريقة جميلة جدًا وقوية ومفيدة لحل مثل هذه الأنظمة. مثل هذه الأنظمة التي تشمل معادلاتها يعمل فقط.على الأقل في واحدة. مُسَمًّى طريقة التقسيممعادلة إلى أخرى.
إذن، أمامنا نظام:
في كلتا المعادلتين على اليسار - عمل، وعلى اليمين مجرد رقم. هذه علامة جيدة جدًا.) لنأخذها و... نقسم، على سبيل المثال، المعادلة السفلية على المعادلة العليا! ماذا يعني، دعونا نقسم معادلة على أخرى؟بسيط جدا. دعونا أعتبر الجهه اليسرىمعادلة واحدة (أقل) و يقسملها على الجهه اليسرىمعادلة أخرى (العلوية). الجانب الأيمن مشابه: الجانب الأيمنمعادلة واحدة يقسمعلى الجانب الأيمنآخر.
تبدو عملية التقسيم بأكملها كما يلي:
الآن، بعد تقليل كل ما يمكن تقليله، نحصل على:
س 3 = -8
ما الجيد في هذه الطريقة؟ نعم، لأنه في عملية هذا التقسيم، يمكن تقليل كل شيء سيء وغير مريح بأمان وتبقى معادلة غير ضارة تمامًا! هذا هو السبب في أنه من المهم جدًا أن يكون لديك الضرب فقطفي واحدة على الأقل من معادلات النظام. لا يوجد ضرب - لا يوجد شيء يمكن تقليله، نعم...
بشكل عام، هذه الطريقة (مثل العديد من الطرق الأخرى غير التافهة لحل الأنظمة) تستحق درسًا منفصلاً. بالتأكيد سأنظر في الأمر بمزيد من التفصيل. في يوم ما…
ومع ذلك، لا يهم مدى دقة حل النظام، على أي حال، نحن الآن بحاجة إلى حل المعادلة الناتجة:
س 3 = -8
لا مشكلة: استخرج الجذر التكعيبي وبذلك تكون قد انتهيت!
يرجى ملاحظة أنه ليست هناك حاجة لوضع علامة زائد/ناقص هنا عند الاستخراج. جذرنا من الدرجة الفردية (الثالثة). والجواب أيضًا هو نفسه، نعم.)
لذلك، تم العثور على قاسم التقدم. ناقص اثنين. عظيم! العملية مستمرة.)
بالنسبة للحد الأول (على سبيل المثال، من المعادلة العليا) نحصل على:
عظيم! نحن نعرف الحد الأول، ونعرف المقام. والآن لدينا الفرصة للعثور على أي عضو في التقدم. بما في ذلك الثاني.)
بالنسبة للفصل الثاني، كل شيء بسيط للغاية:
ب 2 = ب 1 · س= 3·(-2) = -6
الجواب: -6
لذلك، قمنا بتحليل الطريقة الجبرية لحل المشكلة. صعب؟ ليس حقا، أنا أوافق. طويلة ومملة؟ نعم بالتأكيد. لكن في بعض الأحيان يمكنك تقليل حجم العمل بشكل كبير. لهذا هناك طريقة الرسم.جيد قديم ومألوف بالنسبة لنا.)
دعونا نرسم مشكلة!
نعم! بالضبط. مرة أخرى، نصور تقدمنا على محور الأعداد. ليس من الضروري اتباع المسطرة، وليس من الضروري الحفاظ على فترات متساوية بين الحدود (والتي، بالمناسبة، لن تكون هي نفسها، لأن التقدم هندسي!)، ولكن ببساطة تخطيطيادعونا نرسم تسلسلنا.
حصلت عليه مثل هذا:
الآن انظر إلى الصورة واكتشفها. كم عدد العوامل المتطابقة "q" المنفصلة الرابعو السابعأعضاء؟ هذا صحيح، ثلاثة!
ولذلك، لدينا كل الحق في أن نكتب:
-24·س 3 = 192
من هنا أصبح من السهل الآن العثور على س:
س 3 = -8
س = -2
هذا عظيم، لدينا بالفعل القاسم في جيوبنا. والآن دعونا نلقي نظرة على الصورة مرة أخرى: كم عدد هذه المقامات الموجودة بينهما؟ ثانيةو الرابعأعضاء؟ اثنين! لذلك، لتسجيل العلاقة بين هذه الحدود، سنقوم ببناء المقام تربيع.
لذلك نكتب:
ب 2 · س 2 = -24 ، أين ب 2 = -24/ س 2
نعوض بالمقام الذي وجدناه في التعبير b 2، ونعد ونحصل على:
الجواب: -6
كما ترون، كل شيء أبسط بكثير وأسرع من خلال النظام. علاوة على ذلك، لم نكن بحاجة إلى حساب الحد الأول على الإطلاق! على الاطلاق.)
هذه طريقة بسيطة ومرئية للضوء. ولكن لديها أيضا عيب خطير. هل خمنت ذلك؟ نعم! إنه جيد فقط للأجزاء القصيرة جدًا من التقدم. تلك التي تكون فيها المسافات بين الأعضاء الذين نهتم بهم ليست كبيرة جدًا. لكن في جميع الحالات الأخرى، من الصعب بالفعل رسم صورة، نعم... ثم نحل المشكلة تحليليًا، من خلال النظام.) والأنظمة أشياء عالمية. يمكنهم التعامل مع أي أرقام.
تحدي ملحمي آخر:
الحد الثاني من المتوالية الهندسية يزيد بمقدار 10 عن الأول، والحد الثالث يزيد بمقدار 30 عن الثاني. العثور على قاسم التقدم.
ما بارد؟ مُطْلَقاً! كل نفس. مرة أخرى نترجم بيان المشكلة إلى جبر خالص.
1) نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!
الحد الثاني: ب 2 = ب 1 ف
الحد الثالث: ب 3 = ب 1 ف 2
2) نكتب العلاقة بين الأعضاء من بيان المشكلة.
نقرأ الشرط: "الحد الثاني من المتتابعة الهندسية أكبر بـ 10 من الأول."توقف، هذا ذو قيمة!
لذلك نكتب:
ب 2 = ب 1 +10
ونترجم هذه العبارة إلى رياضيات بحتة:
ب 3 = ب 2 +30
لقد حصلنا على معادلتين. دعونا ندمجهم في نظام:
النظام يبدو بسيطا. ولكن هناك الكثير من المؤشرات المختلفة للحروف. دعونا نعوض بدلا من الحدين الثاني والثالث تعبيراتهما من خلال الحد الأول والمقام! هل عبثا رسمناهم؟
نحن نحصل:
لكن مثل هذا النظام لم يعد هدية، نعم... كيف نحل هذا؟ لسوء الحظ، لا توجد تعويذة سرية عالمية لحل المشاكل المعقدة غير خطيةلا توجد أنظمة في الرياضيات ولا يمكن أن تكون موجودة. أنه أمر رائع! لكن أول ما يجب أن يتبادر إلى ذهنك عند محاولة كسر مثل هذا الجوز القاسي هو معرفة ذلك لكن ألا يتم اختزال إحدى معادلات النظام إلى شكل جميل يسمح، على سبيل المثال، بالتعبير بسهولة عن أحد المتغيرات بدلالة متغير آخر؟
دعونا معرفة ذلك. من الواضح أن المعادلة الأولى للنظام أبسط من الثانية. سنعذبه.) ألا ينبغي أن نحاول من المعادلة الأولى شئ ماأعرب من خلال شئ ما؟بما أننا نريد إيجاد المقام س، فسيكون من المفيد لنا التعبير ب 1 خلال س.
لذلك دعونا نحاول تنفيذ هذا الإجراء بالمعادلة الأولى، باستخدام المعادلات القديمة الجيدة:
ب 1 ف = ب 1 +10
ب 1 ف – ب 1 = 10
ب 1 (ف-1) = 10
الجميع! لذلك أعربنا غير ضروريأعطونا المتغير (ب1) من خلال ضروري(ف). نعم، هذا ليس أبسط تعبير حصلنا عليه. نوع من الكسر... لكن نظامنا ذو مستوى لائق، نعم.)
عادي. نحن نعرف ما يجب القيام به.
نكتب ODZ (بالضرورة!) :
ف ≠ 1
نضرب كل شيء في المقام (q-1) ونلغي جميع الكسور:
10 س 2 = 10 س + 30(س-1)
نقسم كل شيء على عشرة ونفتح الأقواس ونجمع كل شيء من اليسار:
س 2 – 4 س + 3 = 0
نحل النتيجة ونحصل على جذرين:
س 1 = 1
س 2 = 3
ليس هناك سوى إجابة واحدة نهائية: س = 3 .
الجواب: 3
كما ترون، فإن الطريق إلى حل معظم المسائل التي تتضمن صيغة الحد النوني للمتتالية الهندسية هو نفسه دائمًا: اقرأ بانتباهحالة المشكلة وباستخدام صيغة الحد n نترجم جميع المعلومات المفيدة إلى جبر خالص.
يسمى:
1) نصف بشكل منفصل كل حد مذكور في المشكلة وفقًا للصيغةنالعضو ال.
2) من شروط المشكلة نترجم الارتباط بين الأعضاء إلى شكل رياضي. نحن نؤلف معادلة أو نظام المعادلات.
3) نحل المعادلة أو نظام المعادلات الناتج، ونجد المعلمات غير المعروفة للتقدم.
4) في حالة وجود إجابة غامضة، اقرأ شروط المهمة بعناية بحثًا عن معلومات إضافية (إن وجدت). نقوم أيضًا بالتحقق من الاستجابة المستلمة وفقًا لشروط DL (إن وجدت).
الآن دعونا ندرج المشكلات الرئيسية التي تؤدي غالبًا إلى حدوث أخطاء في عملية حل مشكلات التقدم الهندسي.
1. الحساب الابتدائي. العمليات مع الكسور والأرقام السالبة.
2. إذا كانت هناك مشاكل في واحدة على الأقل من هذه النقاط الثلاث، فسوف ترتكب أخطاء لا محالة في هذا الموضوع. للأسف... فلا تتكاسل وتكرر ما ذكر أعلاه. واتبع الروابط - انطلق. في بعض الأحيان يساعد.)
الصيغ المعدلة والمتكررة.
الآن دعونا نلقي نظرة على اثنين من مشاكل الاختبار النموذجية مع عرض أقل شيوعًا للحالة. نعم، نعم، لقد خمنت ذلك! هذا معدلو متكررصيغ المصطلح n. لقد واجهنا بالفعل مثل هذه الصيغ وعملنا على التقدم الحسابي. كل شيء مشابه هنا. الجوهر هو نفسه.
على سبيل المثال، هذه المشكلة من OGE:
يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 3 2 ن . أوجد مجموع حديه الأول والرابع.
هذه المرة التقدم ليس كالمعتاد بالنسبة لنا. في شكل نوع من الصيغة. وماذا في ذلك؟ هذه الصيغة هي أيضا صيغةنالعضو الرابع!أنا وأنت نعلم أنه يمكن كتابة صيغة الحد n بشكل عام باستخدام الحروف و تقدم محدد. مع محددالحد الأول والمقام.
في حالتنا، حصلنا في الواقع على صيغة مصطلح عام للتقدم الهندسي مع المعلمات التالية:
ب 1 = 6
س = 2
دعونا نتحقق؟) دعونا نكتب صيغة الحد n في الصورة العامة ونعوض بها ب 1 و س. نحن نحصل:
ب ن = ب 1 · Qn -1
ب ن= 6 2ن -1
نقوم بتبسيط استخدام التحليل وخصائص القوى، ونحصل على:
ب ن= 6 2ن -1 = 3·2·2ن -1 = 3 2ن -1+1 = 3 2ن
كما ترون، كل شيء عادل. لكن هدفنا ليس إثبات اشتقاق صيغة محددة. هذا هو الاستطراد الغنائي. للفهم فقط.) هدفنا هو حل المشكلة وفقًا للصيغة المعطاة لنا في الحالة. هل فهمت ذلك؟) لذلك نحن نعمل مع الصيغة المعدلة مباشرة.
نحن نحسب الفصل الأول. دعونا نستبدل ن=1 في الصيغة العامة:
ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
مثله. وبالمناسبة، لن أتكاسل وألفت انتباهكم مرة أخرى إلى خطأ نموذجي في حساب الحد الأول. لا تفعل ذلك، بالنظر إلى الصيغة ب ن= 3 2ن، سارع على الفور إلى كتابة أن الحد الأول هو ثلاثة! وهذا خطأ فادح، نعم ...)
فلنكمل. دعونا نستبدل ن=4 وأحسب الحد الرابع :
ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
وأخيرا نحسب المبلغ المطلوب:
ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54
الجواب: 54
مشكلة اخرى.
يتم تحديد التقدم الهندسي بالشروط:
ب 1 = -7;
ب ن +1 = 3 ب ن
أوجد الحد الرابع للتقدم.
هنا يتم إعطاء التقدم من خلال صيغة متكررة. حسنًا حسنًا.) كيفية العمل مع هذه الصيغة – ونحن نعلم أيضا.
لذلك نحن نتصرف. خطوة بخطوة.
1) عد اثنين متتابععضو في التقدم .
لقد تم بالفعل إعطاء الفصل الأول لنا. ناقص سبعة. لكن الحد الثاني التالي يمكن حسابه بسهولة باستخدام صيغة التكرار. إذا فهمت مبدأ عملها بالطبع.)
إذن نحسب الحد الثاني على قول الأول المشهور:
ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21
2) احسب مقام التقدم
لا مشكلة سواء. مباشرة، دعونا نقسم ثانيةديك على أولاً.
نحن نحصل:
س = -21/(-7) = 3
3) اكتب الصيغةنالعضو الرابع بالشكل المعتاد واحتساب العضو المطلوب .
إذن، نحن نعرف الحد الأول، وكذلك المقام. لذلك نكتب:
ب ن= -7·3ن -1
ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189
الجواب: -189
كما ترون، فإن العمل باستخدام هذه الصيغ للتقدم الهندسي لا يختلف بشكل أساسي عن ذلك الخاص بالتقدم الحسابي. من المهم فقط فهم الجوهر العام ومعنى هذه الصيغ. حسنًا، أنت أيضًا بحاجة إلى فهم معنى التقدم الهندسي، نعم.) وبعد ذلك لن تكون هناك أخطاء غبية.
حسنًا ، دعونا نقرر بأنفسنا؟)
المهام الأساسية جدًا للإحماء:
1. نظرا للتقدم الهندسي الذي ب 1 = 243، أ س = -2/3. أوجد الحد السادس من التقدم.
2. يتم إعطاء المصطلح العام للتقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 5∙2 ن +1 . أوجد رقم الحد الأخير المكون من ثلاثة أرقام من هذا التقدم.
3. يتم إعطاء التقدم الهندسي بالشروط:
ب 1 = -3;
ب ن +1 = 6 ب ن
أوجد الحد الخامس للتقدم.
أكثر تعقيدًا بعض الشيء:
4. بالنظر إلى التقدم الهندسي:
ب 1 =2048; س =-0,5
ما هو الحد السلبي السادس يساوي؟
ما الذي يبدو صعبًا للغاية؟ مُطْلَقاً. المنطق وفهم معنى التقدم الهندسي سيوفر لك. حسنًا، صيغة الحد النوني، بالطبع.
5. الحد الثالث من المتتابعة الهندسية هو -14، والحد الثامن هو 112. أوجد مقام المتتابعة.
6. مجموع الحدين الأول والثاني من المتتابعة الهندسية هو 75، ومجموع الحدين الثاني والثالث هو 150. أوجد الحد السادس من المتتابعة.
الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ -3888؛ -1؛ 800؛ -32؛ 448.
هذا كل شيء تقريبًا. كل ما علينا فعله هو أن نتعلم العد مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسينعم اكتشف تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائيومبلغها. بالمناسبة، شيء مثير للاهتمام وغير عادي! المزيد عن هذا في الدروس القادمة.)
>>الرياضيات: التقدم الهندسي
ولتسهيل على القارئ، تم بناء هذه الفقرة بالضبط وفق نفس الخطة التي اتبعناها في الفقرة السابقة.
1. المفاهيم الأساسية.
تعريف.التسلسل العددي الذي تختلف جميع أعضائه عن 0 ويتم الحصول على كل عضو منه ابتداء من الثاني من العضو السابق بضربه في نفس الرقم يسمى متوالية هندسية. في هذه الحالة، يسمى الرقم 5 مقام التقدم الهندسي.
وبالتالي، فإن التقدم الهندسي هو تسلسل عددي (b n) يتم تحديده بشكل متكرر من خلال العلاقات
هل من الممكن النظر إلى تسلسل رقمي وتحديد ما إذا كان تقدمًا هندسيًا؟ يستطيع. إذا كنت مقتنعًا بأن نسبة أي عضو في المتتابعة إلى العضو السابق ثابتة، فهذا يعني أن لديك تقدمًا هندسيًا.
مثال 1.
1, 3, 9, 27, 81,... .
ب 1 = 1، ف = 3.
مثال 2.
هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 3.
هذا هو التقدم الهندسي الذي
مثال 4.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
هذا متوالية هندسية حيث b 1 - 8، q = 1.
لاحظ أن هذا التسلسل هو أيضًا تقدم حسابي (انظر المثال 3 من الفقرة 15).
مثال 5.
2,-2,2,-2,2,-2.....
هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1.
من الواضح أن المتوالية الهندسية تكون تسلسلاً متزايدًا إذا كان b 1 > 0، q > 1 (انظر المثال 1)، ويكون تسلسلًا تنازليًا إذا كان b 1 > 0، 0< q < 1 (см. пример 2).
للإشارة إلى أن التسلسل (b n) عبارة عن تقدم هندسي، يكون الترميز التالي مناسبًا في بعض الأحيان:
يحل الرمز محل عبارة "التقدم الهندسي".
دعونا نلاحظ خاصية غريبة وفي نفس الوقت واضحة تمامًا للتقدم الهندسي:
إذا كان التسلسل 
هو متوالية هندسية، ثم تسلسل المربعات، أي. 
هو تقدم هندسي.
وفي المتوالية الهندسية الثانية، الحد الأول يساوي ويساوي q 2.
إذا تجاهلنا في متوالية هندسية كل الحدود التي تلي b n، فسنحصل على متوالية هندسية محدودة 
وفي فقرات أخرى من هذا القسم سننظر في أهم خصائص التقدم الهندسي.
2. صيغة الحد التاسع من المتوالية الهندسية.
النظر في التقدم الهندسي 
القاسم ف. لدينا:
ليس من الصعب تخمين أن المساواة صحيحة لأي رقم
هذه هي صيغة الحد n من المتوالية الهندسية.
تعليق.
إذا كنت قد قرأت الملاحظة المهمة من الفقرة السابقة وفهمتها، فحاول إثبات الصيغة (1) باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي، تمامًا كما حدث مع صيغة الحد النوني من المتوالية الحسابية.
دعونا نعيد كتابة صيغة الحد n من المتتابعة الهندسية
وأدخل الترميز: نحصل على y = mq 2، أو بمزيد من التفصيل، 
الوسيطة x موجودة في الأس، لذلك تسمى هذه الدالة بالدالة الأسية. هذا يعني أنه يمكن اعتبار المتتابعة الهندسية بمثابة دالة أسية محددة في المجموعة N من الأعداد الطبيعية. في التين. يوضح 96 أ الرسم البياني للوظيفة في الشكل. 966 - الرسم البياني الوظيفي 
في كلتا الحالتين، لدينا نقاط معزولة (مع الإحداثيات x = 1، x = 2، x = 3، وما إلى ذلك) تقع على منحنى معين (كلا الشكلين يظهران نفس المنحنى، ولكن موقعهما مختلفان ومصوران بمقاييس مختلفة). ويسمى هذا المنحنى المنحنى الأسي. ستتم مناقشة المزيد من التفاصيل حول الدالة الأسية ورسمها البياني في دورة الجبر للصف الحادي عشر.
دعنا نعود إلى الأمثلة 1-5 من الفقرة السابقة.
1) 1، 3، 9، 27، 81،... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 1، q = 3. لننشئ صيغة الحد n 
2) 
هذا هو التقدم الهندسي الذي دعونا ننشئ له صيغة للحد n 
هذا هو التقدم الهندسي الذي 
دعونا ننشئ صيغة الحد n 
4) 8، 8، 8، ...، 8، ... . هذه متوالية هندسية حيث b 1 = 8، q = 1. لننشئ صيغة الحد n 
5) 2، -2، 2، -2، 2، -2،.... هذه متوالية هندسية يكون فيها b 1 = 2، q = -1. دعونا ننشئ صيغة الحد n 
مثال 6.
نظرا للتقدم الهندسي
وفي جميع الأحوال يعتمد الحل على صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية
أ) بوضع n = 6 في صيغة الحد n من المتوالية الهندسية نحصل على ذلك
ب) لدينا
بما أن 512 = 2 9، نحصل على n - 1 = 9، n = 10.
د) لدينا
مثال 7.
الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 48، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو أيضًا 48. أوجد الحد الثاني عشر من هذه المتتابعة.
المرحلة الأولى.رسم نموذج رياضي .
ويمكن كتابة شروط المشكلة بإيجاز على النحو التالي:
باستخدام صيغة الحد النوني للمتتابعة الهندسية نحصل على:
ثم يمكن كتابة الشرط الثاني للمسألة (ب 7 - ب 5 = 48) بالشكل
يمكن كتابة الشرط الثالث للمسألة (ب5 + ب6=48) بالشكل
ونتيجة لذلك، نحصل على نظام من معادلتين مع متغيرين ب 1 و ف:
والذي، بالإضافة إلى الشرط 1) المكتوب أعلاه، يمثل نموذجًا رياضيًا للمشكلة.
المرحلة الثانية.
العمل مع النموذج المترجم. وبمساواة الطرفين الأيسرين لمعادلتي النظام نحصل على:
(قسمنا طرفي المعادلة على التعبير غير الصفري ب 1 ف 4).
من المعادلة ف 2 - ف - 2 = 0 نجد ف 1 = 2، ف 2 = -1. بتعويض القيمة q = 2 في المعادلة الثانية للنظام نحصل على 
بتعويض القيمة q = -1 في المعادلة الثانية للنظام، نحصل على b 1 1 0 = 48؛ هذه المعادلة ليس لها حلول.
إذن، b 1 =1، q = 2 - هذا الزوج هو الحل لنظام المعادلات المترجم.
الآن يمكننا كتابة المتوالية الهندسية التي تمت مناقشتها في المسألة: 1، 2، 4، 8، 16، 32، ... .
المرحلة الثالثة.
الإجابة على سؤال المشكلة. تحتاج إلى حساب ب 12. لدينا
الجواب: ب 12 = 2048.
3. صيغة لمجموع حدود التقدم الهندسي المحدود.
دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا
دعونا نشير بـ S n إلى مجموع مصطلحاته، أي.
دعونا نشتق صيغة للعثور على هذا المبلغ.
لنبدأ بأبسط حالة، عندما q = 1. ثم التقدم الهندسي b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn يتكون من أرقام n تساوي b 1 ، أي. يبدو التقدم مثل ب 1، ب 2، ب 3، ...، ب 4. مجموع هذه الأرقام هو ملحوظة 1.
دعونا الآن q = 1 للعثور على S n، نطبق تقنية مصطنعة: نقوم بإجراء بعض التحويلات للتعبير S n q. لدينا:
عند إجراء التحويلات، استخدمنا أولاً تعريف التقدم الهندسي، والذي بموجبه (انظر السطر الثالث من الاستدلال)؛ ثانياً: أضافوا وطرحوا، ولهذا لم يتغير معنى التعبير بالطبع (انظر السطر الرابع من الاستدلال)؛ ثالثًا، استخدمنا صيغة الحد النوني من المتوالية الهندسية:
من الصيغة (1) نجد:
هذه هي صيغة مجموع الحدود n للتقدم الهندسي (في الحالة التي تكون فيها q = 1).
مثال 8.
نظرا لتقدم هندسي محدود
أ) مجموع شروط التقدم؛ ب) مجموع مربعات حدوده.
ب) أعلاه (انظر ص 132) سبق أن لاحظنا أنه إذا تم تربيع جميع حدود المتوالية الهندسية، فإننا نحصل على متوالية هندسية مع الحد الأول b 2 والمقام q 2. ثم سيتم حساب مجموع الحدود الستة للتقدم الجديد بواسطة
مثال 9.
أوجد الحد الثامن من المتوالية الهندسية التي لها
في الواقع، لقد أثبتنا النظرية التالية.
المتوالية الرقمية هي متوالية هندسية إذا وفقط إذا كان مربع كل حد من حدودها، باستثناء النظرية الأولى (والأخيرة، في حالة المتتابعة المحدودة)، يساوي حاصل ضرب الحدين السابق واللاحق ( خاصية مميزة للتقدم الهندسي).
ويسمى هذا الرقم مقام المتوالية الهندسية، أي أن كل حد يختلف عن الذي قبله بمقدار q مرات. (سنفترض أن q ≠ 1، وإلا فكل شيء تافه للغاية). من السهل أن نرى أن الصيغة العامة للحد النوني من المتوالية الهندسية هي b n = b 1 q n – 1 ; المصطلحات ذات الأرقام b n و b m تختلف باختلاف q n – m مرات.بالفعل في مصر القديمة، لم يعرفوا الحساب فقط، ولكن أيضا التقدم الهندسي. هنا، على سبيل المثال، مشكلة من بردية ريند: “سبعة وجوه لها سبع قطط؛ يأكل كل قط سبعة فئران، ويأكل كل فأر سبع سنابل، ويمكن أن تنمو كل سنبلة من الشعير سبعة أكيال من الشعير. ما حجم الأعداد في هذه المتسلسلة ومجموعها؟
 |
|
أرز. 1. مسألة التقدم الهندسي عند المصريين القدماء |
وقد تكررت هذه المهمة عدة مرات مع اختلافات مختلفة بين الشعوب الأخرى في أوقات أخرى. على سبيل المثال، مكتوب في القرن الثالث عشر. "كتاب العداد" لليوناردو البيزا (فيبوناتشي) فيه مشكلة تظهر فيها 7 نساء عجوز في طريقهن إلى روما (من الواضح الحجاج)، كل واحدة منهن لديها 7 بغال، كل منها لديه 7 أكياس، كل منها تحتوي على 7 أرغفة، كل منها به 7 سكاكين، كل منها به 7 أغلفة. تسأل المشكلة عن عدد الكائنات الموجودة.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . يمكن إثبات هذه الصيغة، على سبيل المثال، على النحو التالي: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.
أضف الرقم b 1 q n إلى S n واحصل على:
|
من هنا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1)، ونحصل على الصيغة اللازمة.
موجود بالفعل على أحد الألواح الطينية لبابل القديمة، والتي يعود تاريخها إلى القرن السادس. قبل الميلاد على سبيل المثال، يحتوي على المجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. صحيح، كما هو الحال في عدد من الحالات الأخرى، لا نعرف كيف عرف البابليون هذه الحقيقة .
يتم استخدام الزيادة السريعة في التقدم الهندسي في عدد من الثقافات، وخاصة في الثقافة الهندية، بشكل متكرر كرمز مرئي لاتساع الكون. وفي الأسطورة الشهيرة عن ظهور لعبة الشطرنج، يمنح الحاكم مخترعها الفرصة لاختيار المكافأة بنفسه، ويسأل عن عدد حبات القمح التي سيتم الحصول عليها إذا تم وضع واحدة على المربع الأول من رقعة الشطرنج، واثنتان على الثاني، وأربعة في الثالث، وثمانية في الرابع، وما إلى ذلك، في كل مرة يتضاعف العدد. اعتقد فلاديكا أننا نتحدث على الأكثر عن بضعة أكياس، لكنه أخطأ في الحساب. من السهل أن نرى أنه بالنسبة لجميع مربعات رقعة الشطرنج البالغ عددها 64، يجب على المخترع أن يحصل على (2 64 - 1) حبة، والتي يتم التعبير عنها كرقم مكون من 20 رقمًا؛ حتى لو تم زرع كامل سطح الأرض، فسيستغرق الأمر 8 سنوات على الأقل لجمع الكمية المطلوبة من الحبوب. يتم تفسير هذه الأسطورة أحيانًا على أنها تشير إلى الإمكانيات غير المحدودة تقريبًا المخفية في لعبة الشطرنج.
من السهل أن نرى أن هذا الرقم يتكون بالفعل من 20 رقمًا:
2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (الحساب الأكثر دقة يعطي 1.84∙10 19). لكني أتساءل عما إذا كان بإمكانك معرفة الرقم الذي ينتهي به هذا الرقم؟
يمكن أن يكون التقدم الهندسي متزايدًا إذا كان المقام أكبر من 1، أو يتناقص إذا كان أقل من واحد. في الحالة الأخيرة، يمكن أن يصبح الرقم q n لـ n الكبير بدرجة كافية صغيرًا بشكل تعسفي. في حين أن التقدم الهندسي المتزايد يزداد بسرعة غير متوقعة، فإن التقدم الهندسي المتناقص يتناقص بنفس السرعة.
كلما زاد n، كلما كان الرقم أضعف q n يختلف عن الصفر، وكلما اقترب مجموع حدود n للتقدم الهندسي S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) من الرقم S = b 1 / ( 1 – ف). (على سبيل المثال، مسبب F. Viet بهذه الطريقة). يُطلق على الرقم S مجموع المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي. ومع ذلك، لقرون عديدة، لم يكن السؤال حول معنى جمع المتوالية الهندسية بأكملها، بعدد لا حصر له من المصطلحات، واضحًا بدرجة كافية لعلماء الرياضيات.
يمكن رؤية تقدم هندسي متناقص، على سبيل المثال، في مفارقات زينون "نصف القسم" و"أخيل والسلحفاة". في الحالة الأولى، يتبين بوضوح أن الطريق بأكمله (بافتراض الطول 1) هو مجموع عدد لا نهائي من الأجزاء 1/2، 1/4، 1/8، إلخ. وهذا بالطبع هو الحال من وجهة نظر الأفكار حول مجموع محدود من التقدم الهندسي اللانهائي. وحتى الآن - كيف يمكن أن يكون هذا؟
|
أرز. 2. التقدم بمعامل 1/2 |
في aporia حول أخيل، الوضع أكثر تعقيدا قليلا، لأن مقام التقدم هنا ليس 1/2، ولكن بعض الأرقام الأخرى. لنفترض، على سبيل المثال، أن أخيل يركض بسرعة v، والسلحفاة تتحرك بسرعة u، والمسافة الابتدائية بينهما هي l. سيقطع أخيل هذه المسافة في الزمن l/v، وخلال هذا الوقت ستتحرك السلحفاة مسافة lu/v. عندما يدير أخيل هذا المقطع، فإن المسافة بينه وبين السلحفاة ستصبح مساوية ل (u /v) 2، إلخ. وتبين أن اللحاق بالسلحفاة يعني إيجاد مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي مع الحد الأول l والمقام u /v. هذا المجموع - القطعة التي سيركضها أخيل في النهاية إلى مكان اللقاء مع السلحفاة - يساوي l / (1 – u /v) = lv / (v – u). ولكن مرة أخرى، لم تكن الكيفية التي ينبغي بها تفسير هذه النتيجة ولماذا تبدو منطقية على الإطلاق واضحة لفترة طويلة.
|
أرز. 3. التقدم الهندسي بمعامل 2/3 |
استخدم أرخميدس مجموع التقدم الهندسي لتحديد مساحة قطعة القطع المكافئ. اجعل هذا الجزء من القطع المكافئ محددًا بالوتر AB، ودع المماس عند النقطة D من القطع المكافئ يكون موازيًا لـ AB. لتكن C نقطة منتصف AB، وE نقطة منتصف AC، وF نقطة منتصف CB. دعونا نرسم خطوطًا موازية للـ DC من خلال النقاط A، E، F، B؛ دع المماس المرسوم عند النقطة D يتقاطع مع هذه الخطوط عند النقاط K، L، M، N. لنرسم أيضًا المقطعين AD وDB. دع الخط EL يتقاطع مع الخط AD عند النقطة G، والقطع المكافئ عند النقطة H؛ يتقاطع الخط FM مع الخط DB عند النقطة Q، والقطع المكافئ عند النقطة R. وفقًا للنظرية العامة للمقاطع المخروطية، فإن DC هو قطر القطع المكافئ (أي القطعة الموازية لمحورها)؛ يمكن أن يكون هو والمماس عند النقطة D بمثابة محوري الإحداثيات x وy، حيث يتم كتابة معادلة القطع المكافئ كـ y 2 = 2px (x هي المسافة من D إلى أي نقطة بقطر معين، y هو طول قطعة موازية لمماس معين من نقطة القطر هذه إلى نقطة ما على القطع المكافئ نفسه).
بموجب معادلة القطع المكافئ، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، وبما أن DK = 2DL، فإن KA = 4LH. لأن KA = 2LG، LH = HG. مساحة القطعة ADB للقطع المكافئ تساوي مساحة المثلث ΔADB ومساحات القطع AHD وDRB مجتمعة. في المقابل، فإن مساحة المقطع AHD تساوي بالمثل مساحة المثلث AHD والقطاعات المتبقية AH وHD، حيث يمكنك إجراء نفس العملية مع كل منها - تقسيمها إلى مثلث (Δ) و المقطعين المتبقيين ()، وما إلى ذلك:
مساحة المثلث ΔAHD تساوي نصف مساحة المثلث ΔALD (لهما قاعدة مشتركة AD، وتختلف الارتفاعات مرتين)، والتي بدورها تساوي نصف مساحة المثلث ΔAKD، وبالتالي نصف مساحة المثلث ΔACD. وبذلك فإن مساحة المثلث ΔAHD تساوي ربع مساحة المثلث ΔACD. وبالمثل فإن مساحة المثلث ΔDRB تساوي ربع مساحة المثلث ΔDFB. لذا فإن مساحة المثلثين ΔAHD و ΔDRB مجتمعتين تساوي ربع مساحة المثلث ΔADB. سيؤدي تكرار هذه العملية عند تطبيقها على الأجزاء AH و HD و DR و RB إلى تحديد مثلثات منها، والتي ستكون مساحتها مجتمعة 4 مرات أقل من مساحة المثلثات ΔAHD و ΔDRB مجتمعة، و وبالتالي أقل بـ 16 مرة من مساحة المثلث ΔADB. وما إلى ذلك وهلم جرا:
وهكذا أثبت أرخميدس أن «كل قطعة تقع بين خط مستقيم والقطع المكافئ تشكل أربعة ثلثي مثلث له نفس القاعدة والارتفاع المتساوي».
درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية
يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.
المتوالية الهندسية
تعريف. التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى متوالية هندسية.دعونا نحدد التسلسل بشكل متكرر: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
حيث b و q عبارة عن أرقام محددة. الرقم q يسمى مقام التقدم.
مثال. 1,2,4,8,16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$.
مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية،
و $س=1$.
مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة،
و $س=-1$.
التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.
تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتوالية تسمى متوالية هندسية منتهية.
$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.
صيغة الحد n من التقدم الهندسي
يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
نلاحظ بسهولة النمط: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
صيغتنا تسمى "صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي".
دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا.
مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحد،
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و$q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
مثال. 8,8,8,8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.
حل.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة.
حل.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
مجموع التقدم الهندسي المحدود
دعونا نحصل على تقدم هندسي محدود. دعونا، كما هو الحال في المتوالية الحسابية، نحسب مجموع حدودها.دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.
مثال.
أوجد مجموع الحدود السبعة الأولى لمتتالية هندسية حدها الأول 4 ومقامها 3.
حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
مثال.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.
حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
خاصية مميزة للتقدم الهندسي
يا رفاق، تم إعطاء تقدم هندسي. دعونا نلقي نظرة على أعضائها الثلاثة المتتاليين: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.نحن نعرف ذلك:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ثم:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ما هو شكل التسلسل، ولكن من المعروف أن: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ومن ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم هندسي.
التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير.
دعونا نلقي نظرة على هذه الهوية: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ يسمى الوسط الهندسي للرقمين a وb.
معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط الهندسي للحدين المتجاورين.
مثال.
ابحث عن x بحيث يكون $x+2; 2x+2; 3x+3$ عبارة عن ثلاث فترات متتالية من التقدم الهندسي.
حل.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$
مشاكل لحلها بشكل مستقل
1. أوجد الحد الأول الثامن من المتتابعة الهندسية 16;-8;4;-2….2. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية 11،22،44….
3. من المعروف أن $b_(1)=5, q=3$. ابحث عن $b_(7)$.
4. من المعروف أن $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول 11 حدًا من المتوالية الهندسية 3;12;48….
6. ابحث عن x بحيث يكون $3x+4; 2x+4; x+5$ عبارة عن ثلاثة فترات متتالية من المتوالية الهندسية.