صيغة جيبية x. جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام: تعريفات في علم المثلثات، والأمثلة، والصيغ

يتم إعطاء العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. بعض الصيغ تتصل الدوال المثلثية نفس الزاوية، والبعض الآخر عبارة عن دوال لزوايا متعددة، والبعض الآخر يسمح لك بتقليل الدرجة، والبعض الآخر يسمح لك بالتعبير عن جميع الوظائف بدلالة الظل نصف زاوية، إلخ.

في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج كل ما هو رئيسي بالترتيب الصيغ المثلثيةوهي كافية لحل الغالبية العظمى من مسائل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.

التنقل في الصفحة.

الهويات المثلثية الأساسية

أساسي الهويات المثلثية تحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.

للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.

صيغ التخفيض

صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بواسطة زاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.

الأساس المنطقي لهذه الصيغ هو قاعدة ذاكريلتذكرها ويمكن دراسة أمثلة على استخدامها في المقال.

صيغ الإضافة

صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية

صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. ويستند اشتقاقها على صيغ الجمع.

يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية

صيغ نصف الزاوية

صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.

يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.

صيغ تخفيض الدرجة

الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتهدف إلى تسهيل الانتقال من درجات طبيعيةالدوال المثلثية لجيب التمام وجيب التمام من الدرجة الأولى، ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.

صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثية

الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى منتج الوظائف، وهو أمر مفيد جدًا عند التبسيط التعبيرات المثلثية. وتستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حلها المعادلات المثلثية، لأنها تسمح لك بتحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.

صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام

يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.

باشماكوف م.الجبر وبدايات التحليل: كتاب مدرسي. للصفوف 10-11. متوسط مدرسة - الطبعة الثالثة. - م: التربية، 1993. - 351 ص: مريض. -ردمك 5-09-004617-4.

الجبروبداية التحليل: بروك. للصفوف 10-11. تعليم عام المؤسسات / A. N. Kolmogorov، A. M. Abramov، P. Dudnitsyn وآخرون؛ إد. أ.ن.كولموجوروف – الطبعة الرابعة عشرة – م: التعليم، 2004. – 384 صفحة: مريض – ISBN 5-09-013651-3.

غوسيف ف.أ.، موردكوفيتش أ.ج.الرياضيات (دليل للملتحقين بالمدارس الفنية): بروك. بدل.- م. أعلى المدرسة، 1984.-351 ص، مريض.

حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents

كل الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.

إذا قمنا ببناء دائرة وحدة مركزها عند نقطة الأصل، وقمنا بتعيينها قيمة تعسفيةدعوى × 0والعد من المحور ثورركن س 0, فإن هذه الزاوية على دائرة الوحدة تقابل نقطة معينة أ(رسم بياني 1) وإسقاطه على المحور أوهستكون هناك نقطة م. طول القسم أوميساوي قيمه مطلقهالنقاط الإحداثية أ. نظرا لقيمة الوسيطة × 0تم تعيين قيمة الوظيفة ذ=cos س 0 مثل النقاط الإحداثية أ. وبناء على ذلك، نقطة في(س 0 ;في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة في=cos X(الصورة 2). إذا كانت النقطة أيقع على يمين المحور الوحدة التنظيمية, سيكون الجيب الحالي موجبًا، لكن إذا كان إلى اليسار فسيكون سالبًا. ولكن على أية حال، الفترة ألا يستطيع مغادرة الدائرة لذلك، يقع جيب التمام في النطاق من -1 إلى 1:

-1 = كوس س = 1.

دوران إضافي في أي زاوية، مضاعفات 2 ص، نقطة الإرجاع أإلى نفس المكان. ولذلك الوظيفة ص =كوس سص:

كوس( س+ 2ص) = كوس س.

إذا أخذنا قيمتين للوسيطة، متساويتين في القيمة المطلقة، ولكنهما متعارضتان في الإشارة، سو - س, العثور على النقاط المقابلة على الدائرة فأسو فأس. كما يمكن أن يرى في التين. 3 إسقاطهم على المحور أوههي نفس النقطة م. لهذا

كوس(- س) = كوس ( س),

أولئك. جيب التمام – دالة زوجية, F(–س) = F(س).

هذا يعني أنه يمكننا استكشاف خصائص الوظيفة ذ=cos Xعلى الجزء , ومن ثم تأخذ في الاعتبار التكافؤ ودوريتها.

في X= 0 نقطة أتقع على المحور أوه, الإحداثي الإحداثي هو 1، وبالتالي cos 0 = 1. مع الزيادة Xنقطة أيتحرك حول الدائرة لأعلى وإلى اليسار، ويكون إسقاطها بطبيعة الحال إلى اليسار فقط، وعند x = ص/2 جيب التمام يصبح يساوي 0. نقطة أفي هذه اللحظة يرتفع إلى أقصى ارتفاع، ثم يستمر في التحرك إلى اليسار، ولكنه تنازلي بالفعل. يستمر الإحداثي في التناقص حتى يصل أدنى قيمة، يساوي -1 في X= ص. وهكذا، على الفاصل الزمني الدالة في=cos Xيتناقص بشكل رتيب من 1 إلى –1 (الشكل 4، 5).

من تكافؤ جيب التمام يترتب على ذلك في الفاصل الزمني [- ص، 0] تزداد الدالة بشكل رتيب من -1 إلى 1، مع قيمة صفر عند س =–ص/2. إذا أخذت عدة فترات، فستحصل على منحنى متموج (الشكل 6).

وبالتالي فإن الوظيفة ذ=cos سيأخذ قيم صفر عند النقاط X= ص/2 + kp, أين ك -أي عدد صحيح. يتم تحقيق الحد الأقصى الذي يساوي 1 عند النقاط X= 2kp، أي. في خطوات 2 ص، والحد الأدنى يساوي –1 عند النقاط X= ص + 2kp.

الدالة ذ = الخطيئة س.

على زاوية دائرة الوحدة س 0 يتوافق مع نقطة أ(الشكل 7)، وإسقاطه على المحور الوحدة التنظيميةستكون هناك نقطة ن.زقيمة الوظيفة ص 0 =خطيئة × 0يتم تعريفها على أنها إحداثية نقطة أ. نقطة في(ركن س 0 ,في 0) ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة ذ= خطيئة س(الشكل 8). ومن الواضح أن الوظيفة ص=خطيئة سدورية، دورتها هي 2 ص:

الخطيئة( س+ 2ص) = الخطيئة ( س).

بالنسبة لقيمتين للوسيطة، Xو - ، إسقاطات النقاط المقابلة لها فأسو فأسلكل محور الوحدة التنظيميةتقع بشكل متناظر بالنسبة للنقطة عن. لهذا

الخطيئة(- س) = -الخطيئة ( س),

أولئك. جيب الجيب هو دالة غريبة، f(- س) = -و( س) (الشكل 9).

إذا كانت النقطة أتدور نسبة إلى نقطة عنبزاوية ص/2 عكس اتجاه عقارب الساعة (وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية Xزيادة بنسبة ص/2)، فإن إحداثيته في الموضع الجديد سيكون مساويًا للإحداثي الإحداثي في الموضع القديم. مما يعني

الخطيئة( س+ ص/2) = كوس س.

خلاف ذلك، جيب التمام هو جيب التمام "متأخرا" بواسطة ص/2، نظرًا لأن أي قيمة جيب التمام سوف "تتكرر" في جيب التمام عندما تزيد الوسيطة بمقدار ص/2. ولإنشاء رسم بياني جيبي، يكفي إزاحة رسم بياني جيب التمام ص/2 إلى اليمين (الشكل 10). لأقصى حد خاصية مهمةيتم التعبير عن الجيب بالمساواة

يمكن رؤية المعنى الهندسي للمساواة من الشكل. 11. هنا X -هذا نصف قوس أ.ب, خطيئة X -نصف الوتر المقابل. ومن الواضح أنه مع اقتراب النقاط أو فييقترب طول الوتر بشكل متزايد من طول القوس. من نفس الرقم من السهل استخلاص عدم المساواة

|sin س| x|، صحيح لأي X.

يسمي علماء الرياضيات الصيغة (*) حد ملحوظ. ومنه، على وجه الخصوص، يتبع تلك الخطيئة X» Xفي صغيرة X.

المهام في= تيراغرام س، ص=ctg X. يمكن تعريف الوظيفتين المثلثيتين الأخريين، الظل وظل التمام، بسهولة على أنهما نسب الجيب وجيب التمام المعروفين لنا بالفعل:

مثل الجيب وجيب التمام، فإن الظل وظل التمام هما دالتان دوريتان، لكن فتراتهما متساوية ص، أي. هم نصف حجم الجيب وجيب التمام. والسبب في ذلك واضح: إذا تغيرت علامات الجيب وجيب التمام، فلن تتغير النسبة بينهما.

نظرًا لأن مقام الظل يحتوي على جيب التمام، فلا يتم تعريف الظل في تلك النقاط التي يكون فيها جيب التمام 0 - عندما X= ص/2 +ك.ب. وفي جميع النقاط الأخرى فإنه يزيد بشكل رتيب. مباشر X= ص/2 + kpللظل هي الخطوط المقاربة الرأسية. في نقاط kpالظل و ميلهما 0 و1 على التوالي (الشكل 12).

لم يتم تعريف ظل التمام حيث يكون جيب التمام 0 (متى س = ك.ب). وفي نقاط أخرى يتناقص بشكل رتيب، وخطوط مستقيمة س = ك.ب – له الخطوط المقاربة الرأسية. في نقاط س = ص/2 +ك.بيصبح ظل التمام 0، والميل عند هذه النقاط يساوي -1 (الشكل 13).

التكافؤ والدورية.

يتم استدعاء الدالة حتى لو F(–س) = F(س). دوال جيب التمام والقاطع زوجية، ودوال الجيب والظل وظل التمام وقاطع التمام فردية:

الخطيئة (–α) = – الخطيئة α	تان (–α) = – تان α
كوس (–α) = كوس α	CTG (–α) = – CTG α
ثانية (–α) = ثانية α	كوسيك (–α) = – كوسيك α

خصائص التكافؤ تتبع من تماثل النقاط صأ و ر-أ (الشكل 14) بالنسبة للمحور X. مع هذا التماثل، يتغير إحداثي النقطة (( X;في) يذهب إلى ( X; -و)). جميع الوظائف - الدورية، وجيب الجيب، وجيب التمام، والقاطع، وقاطع التمام لها فترة 2 ص, و الظل و ظل التمام - ص:

الخطيئة (α + 2 كπ) = الخطيئة α	كوس(α+2 كπ) = كوس α
تيراغرام(α+ كπ) = تان α	سرير أطفال(α+ كπ) = cotg α
ثانية (α + 2 كπ) = ثانية α	كوسيك(α+2 كπ) = كوسيك α

تتكرر دورية الجيب وجيب التمام من حقيقة أن جميع النقاط صأ+2 kp، أين ك= 0، ±1، ±2،…، تتزامن، ودورية الظل وظل التمام ترجع إلى حقيقة أن النقاط صأ+ kpتقع بالتناوب إلى قسمين قطريا نقاط متقابلةالدوائر التي تعطي نفس النقطة على محور الظل.

يمكن تلخيص الخصائص الرئيسية للدوال المثلثية في جدول:

وظيفة	اِختِصاص	معاني متعددة	التكافؤ	مجالات الرتابة ( ك= 0، ± 1، ± 2،…)
خطيئة س	– А × А	[–1, +1]	غريب	يزيد مع سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)
كوس س	– А × А	[–1, +1]	حتى	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص, 2kp)، يتناقص عند سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)
tg س	س № ص/2 + ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يزيد مع سيا ((2 ك – 1) ص /2, (2ك + 1) ص /2)
ctg س	س № ص ك	(–Ґ , +Ґ )	غريب	يتناقص عند سعن ( kp, (ك + 1) ص)
ثانية س	س № ص/2 + ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	حتى	يزيد مع سيا (2 kp, (2ك + 1) ص)، يتناقص عند سيا ((2 ك– 1) ص ، 2 kp)
com.cosec س	س № ص ك	(–А، -1] و [+1، +А )	غريب	يزيد مع سيا((4 ك + 1) ص /2, (4ك + 3) ص/2)، يتناقص عند سيا((4 ك – 1) ص /2, (4ك + 1) ص /2)

صيغ التخفيض.

وفقا لهذه الصيغ، قيمة الدالة المثلثية للوسيطة أ، أين ص/2 a p ، يمكن اختزاله إلى قيمة الدالة الوسيطة a ، حيث 0 a p /2، إما هي نفسها أو مكملة لها.

حجة ب	-أ	+أ	ص-أ	ص+أ	+أ	+أ	2ص-أ
الخطيئة ب	كوس أ	كوس أ	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ
كوس ب	الخطيئة أ	-خطيئة أ	-كوس أ	-كوس أ	-خطيئة أ	الخطيئة أ	كوس أ

ولذلك، في جداول الدوال المثلثية يتم إعطاء القيم فقط ل زوايا حادة، ويكفي أن نقتصر، على سبيل المثال، على الجيب والظل. يعرض الجدول فقط الصيغ الأكثر استخدامًا للجيب وجيب التمام. من خلال هذه، من السهل الحصول على صيغ الظل وظل التمام. عند إرسال دالة من وسيطة النموذج kp/2 ± أ، حيث ك- عدد صحيح لدالة الوسيطة a:

1) يتم حفظ اسم الوظيفة إذا كحتى، والتغييرات إلى "مكملة" إذا كغريب؛

2) الإشارة الموجودة على الجانب الأيمن تتطابق مع إشارة الدالة القابلة للاختزال عند النقطة kp/2 ± أ إذا كانت الزاوية أ حادة.

على سبيل المثال، عند إرسال ctg (a – ص/2) نتأكد من أن - ص/2 عند 0 a p /2 يقع في الربع الرابع، حيث يكون ظل التمام سالبًا، ووفقًا للقاعدة 1، نقوم بتغيير اسم الدالة: ctg (a – ص/2) = –tg أ .

صيغ الإضافة.

صيغ للزوايا المتعددة.

هذه الصيغ مشتقة مباشرة من صيغ الجمع:

الخطيئة 2أ = 2 الخطيئة أ كوس أ ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

الخطيئة 3أ = 3 الخطيئة أ – 4 الخطيئة 3 أ ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

تم استخدام صيغة cos 3a بواسطة François Viète عند الحل معادلة مكعبة. وكان أول من وجد تعبيرات عن جتا نا والخطيئة نأ، والتي تم الحصول عليها لاحقًا أكثر بطريقة بسيطةمن صيغة Moivre.

إذا في الصيغ حجة مزدوجةاستبدل a بـ /2، ويمكن تحويلها إلى صيغ نصف زاوية:

صيغ الاستبدال العالمية.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن إعادة كتابة تعبير يتضمن دوال مثلثية مختلفة لنفس الوسيطة تعبير عقلانيمن دالة واحدة tg (a /2)، يمكن أن يكون ذلك مفيدًا عند حل بعض المعادلات:

صيغ لتحويل المبالغ إلى منتجات والمنتجات إلى مبالغ.

قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر، تم استخدام هذه الصيغ لتبسيط العمليات الحسابية. تم إجراء الحسابات باستخدام الجداول اللوغاريتمية، وفي وقت لاحق - قاعدة الشريحة، لأن اللوغاريتمات هي الأنسب لضرب الأرقام، لذلك تم إحضار جميع التعبيرات الأصلية إلى نموذج مناسب للوغاريثمية، أي. للأعمال، على سبيل المثال:

2 خطيئة أالخطيئة ب = كوس ( أ-ب) - كوس ( أ + ب);

2cos أكوس ب=كوس( أ-ب) + كوس ( أ + ب);

2 خطيئة أكوس ب= الخطيئة ( أ-ب) + الخطيئة ( أ + ب).

يمكن الحصول على صيغ وظائف الظل وظل التمام مما سبق.

صيغ تخفيض الدرجة.

من صيغ الوسائط المتعددة يتم اشتقاق الصيغ التالية:

الخطيئة 2 أ = (1 - كوس 2أ)/2؛	كوس 2 أ = (1 + كوس 2أ )/2؛
الخطيئة 3 أ = (3 الخطيئة أ - الخطيئة 3أ)/4؛	كوس 3 أ = (3 كوس أ + كوس 3أ)/4.

باستخدام هذه الصيغ، يمكن اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات ذات درجات أقل. وبنفس الطريقة، يمكننا استخلاص صيغ التخفيض للمزيد درجات عاليةجيب وجيب التمام.

مشتقات وتكاملات الدوال المثلثية
(الخطيئة س)` = كوس س;	(كوس س)` = -الخطيئة س;
(تيراغرام س)` = ;	(ctg س)` = – ;
ر الخطيئة × دي إكس= -كوس س + ج;	ر كوس × دي إكس= خطيئة س + ج;
ر تيراغرام × دي إكس= -ln\|cos س\| + ج;	تي سي تي جي س دكس = ln\|الخطيئة س\| + ج;

كل دالة مثلثية في كل نقطة من مجال تعريفها تكون مستمرة وقابلة للاشتقاق بشكل لا نهائي. علاوة على ذلك، فإن مشتقات الدوال المثلثية هي دوال مثلثية، وعند تكاملها يتم الحصول أيضًا على الدوال المثلثية أو لوغاريتماتها. إن تكاملات المجموعات العقلانية للدوال المثلثية هي دائمًا دوال أولية.

تمثيل الدوال المثلثية على شكل متسلسلة قوى وحواصل لا نهائية.

يمكن توسيع جميع الدوال المثلثية سلسلة الطاقة. في هذه الحالة، وظائف الخطيئة س bcos سيتم عرضها في صفوف. متقاربة لجميع القيم س:

يمكن استخدام هذه السلسلة للحصول على تعبيرات تقريبية للخطيئة سوكوس سبقيم صغيرة س:

في | س|ص/2؛

عند 0x| ص

(بن – أرقام برنولي).

وظائف الخطيئة سوكوس سيمكن تمثيلها كمنتجات لا حصر لها:

النظام المثلثي 1، كوس سالخطيئة س، كوس 2 س، الخطيئة 2 س,¼,كوس nxالخطيئة nx، ¼، أشكال على القطعة [- ص, ص] نظام متعامدالدوال، مما يجعل من الممكن تمثيل الدوال في شكل سلسلة مثلثية.

يتم تعريفها على أنها استمرارات تحليلية للوظائف المثلثية المقابلة للوسيطة الحقيقية في المستوى المعقد. نعم خطيئة ضوكوس ضيمكن تعريفها باستخدام سلسلة للخطيئة سوكوس س, إذا بدلا من ذلك سيضع ض:

وتتقارب هذه المتسلسلة على المستوى بأكمله، لذا فهي خطيئة ضوكوس ض- وظائف كاملة.

يتم تحديد الظل وظل التمام بواسطة الصيغ:

وظائف تيراغرام ضو CTG ض– وظائف ميرومورفيكية. أقطاب tg ضوثانية ض- بسيط (الترتيب الأول) ويقع في نقاط ض = ص/2 + ن,أقطاب CTG ضوكوزيك ض- بسيطة أيضًا وتقع في نقاط ض = ص ن، ن = 0، ±1، ±2،…

جميع الصيغ الصالحة للدوال المثلثية للوسيطة الحقيقية صالحة أيضًا للدالة المعقدة. بخاصة،

الخطيئة(- ض) = -الخطيئة ض,

كوس(- ض) = كوس ض,

تيراغرام(- ض) = –تغ ض,

سي تي جي(- ض) = –ctg ض،

أولئك. يتم الحفاظ على التكافؤ الزوجي والفردي. يتم أيضًا حفظ الصيغ

الخطيئة( ض + 2ص) = خطيئة ض, (ض + 2ص) = كوس ض, (ض + ص) = تيراغرام ض, (ض + ص) =ctg ض,

أولئك. يتم أيضًا الحفاظ على الدورية، والفترات هي نفسها بالنسبة لوظائف الوسيطة الحقيقية.

يمكن التعبير عن الدوال المثلثية بدلالة دالة أسية لحجة خيالية بحتة:

خلف، ه إيزأعرب من حيث كوس ضوالخطيئة ضوفقا للصيغة:

ه إيز=cos ض + أناخطيئة ض

تسمى هذه الصيغ صيغ أويلر. قام ليونارد أويلر بتطويرها في عام 1743.

يمكن أيضًا التعبير عن الدوال المثلثية من حيث وظائف زائدية:

ض = –أناش IZ، cos z = ch iz، z = –i th iz.

حيث sh وch وth هي الجيب الزائدي وجيب التمام والظل.

الدوال المثلثية للحجة المعقدة ض = س + أنا، أين سو ذ – أرقام حقيقية، يمكن التعبير عنها من خلال الدوال المثلثية والزائدة للوسائط الحقيقية، على سبيل المثال:

الخطيئة( س + إيي) = خطيئة سالفصل ذ + أناكوس سش ذ;

كوس( س + إيي) = كوس سالفصل ذ + أناخطيئة سش ذ.

يمكن أن يستغرق جيب التمام وجيب التمام للوسيطة المعقدة القيم الحقيقية، تتجاوز 1 في القيمة المطلقة. على سبيل المثال:

إذا دخلت زاوية مجهولة في معادلة كوسيطة للدوال المثلثية، فإن المعادلة تسمى مثلثية. مثل هذه المعادلات شائعة جدًا لدرجة أن طرقها الحلول مفصلة للغاية وتم تطويرها بعناية. معمع مساعدة تقنيات مختلفةوالصيغ تقلل المعادلات المثلثية إلى معادلات من النموذج F(س)=أ، أين F- أي من أبسط الدوال المثلثية: جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام. ثم أعرب الحجة سهذه الوظيفة من خلال قيمتها المعروفة أ.

بما أن الدوال المثلثية دورية، فهي نفسها أمن نطاق القيم هناك عدد لا نهائي من قيم الوسيطة، ولا يمكن كتابة حلول المعادلة كدالة واحدة لـ أ. لذلك، في مجال تعريف كل من الدوال المثلثية الرئيسية، يتم اختيار قسم يأخذ فيه جميع قيمه، كل منها مرة واحدة فقط، والدالة العكسية لها موجودة في هذا القسم. يتم الإشارة إلى مثل هذه الدوال بإضافة البادئة قوس (قوس) إلى اسم الدالة الأصلية، وتسمى الدوال المثلثية العكسية وظائف أو ببساطة وظائف القوس.

الدوال المثلثية العكسية.

للخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xيمكن تحديده وظائف عكسية. يتم الإشارة إليها وفقًا لذلك بواسطة arcsin X(اقرأ "أركسين" س")، أركوس س، أركان سو arcctg س. حسب التعريف، أركسين Xهناك مثل هذا العدد ذ،ماذا

خطيئة في = X.

وبالمثل بالنسبة للدوال المثلثية العكسية الأخرى. لكن هذا التعريف يعاني من بعض عدم الدقة.

إذا عكست الخطيئة X, كوس X, tg Xو CTG Xنسبة إلى منصف الربعين الأول والثالث خطة تنسيق، فإن الوظائف، بسبب دوريتها، تصبح غامضة: نفس الجيب (جيب التمام، الظل، ظل التمام) يتوافق مع عدد لا حصر لهزوايا

للتخلص من الغموض، قسم من المنحنى بعرض ص، في هذه الحالة من الضروري الحفاظ على المراسلات الفردية بين الوسيطة وقيمة الوظيفة. يتم تحديد المناطق القريبة من أصل الإحداثيات. لجيب في باعتبارها "فاصل زمني واحد لواحد" نأخذ المقطع [- ص/2, ص/2]، حيث يزيد الجيب بشكل رتيب من -1 إلى 1، بالنسبة لجيب التمام - الجزء، بالنسبة للظل وظل التمام، على التوالي، الفواصل الزمنية (- ص/2, ص/2) و (0، ص). ينعكس كل منحنى في الفترة بالنسبة للمنصف ويمكن الآن تحديد الدوال المثلثية العكسية. على سبيل المثال، دع قيمة الوسيطة تعطى × 0،بحيث 0 ج س 0 Ј 1. ثم قيمة الدالة ذ 0 = أرسين س 0 سيكون هناك معنى واحد فقط في 0 , مثل ذلك - ص/2 ج في 0 Ј ص/2 و س 0 = خطيئة ذ 0 .

وبالتالي، أركسين هو وظيفة أركسين أ, محددة على الفاصل الزمني [-1، 1] ومتساوية لكل منها أإلى هذه القيمة أ ، - ص/2 أ ع /2 أن الخطيئة أ = أ.من السهل جدًا تمثيلها باستخدام دائرة الوحدة (الشكل 15). متى | أ| 1 على الدائرة هناك نقطتان مع الإحداثيات أ، متناظرة حول المحور ش.واحد منهم يتوافق مع الزاوية أ= أرسين أ, والآخر هو الزاوية ص - أ. معمع الأخذ بعين الاعتبار دورية الجيب، الحل معادلات الخطيئة س= أتم تسجيله بالطريقة الآتية:

س =(–1)نأركسين أ + 2ص ن,

أين ن= 0، ±1، ±2،...

يمكن حل المعادلات المثلثية البسيطة الأخرى بنفس الطريقة:

كوس س = أ, –1 =أ= 1;

س =± أركوس أ + 2ص ن,

أين ص= 0، ±1، ±2،... (الشكل 16)؛

tg X = أ;

س= أركانتان أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 17)؛

ctg X= أ;

X= arcctg أ + صن،

أين ن = 0، ±1، ±2،... (الشكل 18).

الخصائص الأساسية للدوال المثلثية العكسية:

أركسين X(الشكل 19): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - [- ص/2, ص/2]، وظيفة متزايدة رتابة؛

أركوس X(الشكل 20): مجال التعريف - الجزء [-1، 1]؛ يتراوح - ؛ وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛

com.arctg X(الشكل 21): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (- ص/2, ص/2); وظيفة متزايدة رتابة. مستقيم في= –ص/2 و ص = ص /2 -الخطوط المقاربة الأفقية.

com.arcctg X(الشكل 22): مجال التعريف – جميع الأعداد الحقيقية؛ نطاق القيم - الفاصل الزمني (0، ص); وظيفة متناقصة بشكل رتيب؛ مستقيم ذ= 0 و ص = ص- الخطوط المقاربة الأفقية.

لأي احد ض = س + إيي، أين سو ذهي أرقام حقيقية، تنطبق عدم المساواة

½| ه\ه ذ–e-y| ≥|الخطيئة ض|≤½( ه ذ +ه-ص)،

½| ه ذ–e-y| ≥|كوس ض|≤½( ه ص +ه -y),

منها في ذ® А تتبع الصيغ المقاربة (بشكل موحد فيما يتعلق بـ س)

|sin ض| » 1/2 ه |ذ| ,

|cos ض| » 1/2 ه |ذ| .

ظهرت الدوال المثلثية لأول مرة فيما يتعلق بالبحث في علم الفلك والهندسة. تم العثور على نسب الأجزاء في المثلث والدائرة، والتي هي في الأساس وظائف مثلثية، بالفعل في القرن الثالث. قبل الميلاد ه. في أعمال علماء الرياضيات في اليونان القديمة – إقليدس وأرشميدس وأبولونيوس البيرجي وآخرون، ومع ذلك، لم تكن هذه العلاقات موضوعًا مستقلاً للدراسة، لذلك لم يدرسوا الدوال المثلثية في حد ذاتها. تم اعتبارها في البداية كأجزاء وفي هذا الشكل تم استخدامها من قبل أريستارخوس (أواخر النصف الرابع إلى الثاني من القرن الثالث قبل الميلاد)، وهيبارخوس (القرن الثاني قبل الميلاد)، ومينيلوس (القرن الأول الميلادي) وبطليموس (القرن الثاني الميلادي). حل المثلثات الكروية. قام بطليموس بتجميع أول جدول للأوتار للزوايا الحادة كل 30 بوصة بدقة 10–6. وكان هذا أول جدول للجيب. وكنسبة، فإن الدالة sin a موجودة بالفعل في أريابهاتا (نهاية القرن الخامس). تم العثور على الدالتين tg a وctg a في البتاني (النصف الثاني من القرن التاسع - أوائل القرن العاشر) وأبو الوفا (القرن العاشر)، الذي يستخدم أيضًا sec a وcosec a Aryabhata يعرف بالفعل الصيغة (sin 2 a + cos 2 a) = 1، وكذلك صيغ الخطيئةوجيب تمام نصف الزاوية، والذي بمساعدته قمت ببناء جداول الجيب للزوايا كل 3°45"؛ بناءً على القيم المعروفةالدوال المثلثية لأبسط الحجج. أعطى باسكارا (القرن الثاني عشر) طريقة لبناء الجداول بدلالة 1 باستخدام صيغ الجمع. تم اشتقاق صيغ تحويل مجموع واختلاف الدوال المثلثية للحجج المختلفة إلى منتج بواسطة ريجيومونتانوس (القرن الخامس عشر) وج. نابير فيما يتعلق باختراع الأخير للوغاريتمات (1614). أعطى Regiomontan جدولًا لقيم الجيب في 1". تم الحصول على توسيع الدوال المثلثية في سلسلة القوى بواسطة I. Newton (1669). في الشكل الحديثتم تقديم نظرية الدوال المثلثية بواسطة L. Euler (القرن الثامن عشر). إنه يمتلك تعريفهم للحجج الحقيقية والمعقدة، والرمزية المقبولة حاليا، وإنشاء اتصالات معها وظيفة الأسيةوالتعامد لنظام الجيب وجيب التمام.

جدول قيم الدوال المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ للإشارة الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات، جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع العمود sin (sine) والصف 60 درجة نجد قيمة الخطيئة 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

الجدول أدناه لجيب التمام والجيب والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط عليه قياس درجةركن. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. جيب بي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة يساوي الصفر.

2. جيب التمام بي.
كوس π = كوس 180 = -1
وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

3. الظل بي
تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)

قيمة الزاوية α (درجات)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (التجويف)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة لا يملك قيمة معينة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل بعد القيمة المطلوبة. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
(القيم الرقمية "حسب جداول براديس")

قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321

	7π/18

ترتبط مفاهيم الجيب ()، وجيب التمام ()، والظل ()، وظل التمام () ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الزاوية. لفهم هذه الأمور جيدًا، للوهلة الأولى، مفاهيم معقدة(والتي تسبب حالة من الرعب لدى كثير من تلاميذ المدارس)، وللتأكد من أن "الشيطان ليس مخيفا كما هو مرسوم"، دعونا نبدأ من البداية ونفهم مفهوم الزاوية.

مفهوم الزاوية: راديان، درجة

دعونا ننظر إلى الصورة. لقد "تحول" المتجه بالنسبة إلى النقطة بمقدار معين. إذن، سيكون قياس هذا الدوران بالنسبة إلى الموضع الأولي ركن.

ماذا تريد أن تعرف أيضًا عن مفهوم الزاوية؟ حسنا، بالطبع، وحدات الزاوية!

يمكن قياس الزاوية، في كل من الهندسة وعلم المثلثات، بالدرجات والراديان.

تسمى الزاوية (درجة واحدة). الزاوية المركزيةفي دائرة، مبنية على قوس دائري يساوي جزء من الدائرة. وهكذا فإن الدائرة بأكملها تتكون من “قطع” من الأقواس الدائرية، أو أن الزاوية الموصوفة بالدائرة متساوية.

أي أن الشكل أعلاه يوضح زاوية مساوية، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري بحجم محيطه.

الزاوية بالراديان هي الزاوية المركزية في دائرة يقابلها قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة. حسنًا، هل اكتشفت ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك من الرسم.

إذن، يوضح الشكل زاوية تساوي الراديان، أي أن هذه الزاوية ترتكز على قوس دائري طوله يساوي نصف قطر الدائرة (الطول يساوي الطول أو نصف القطر يساوي الطولأقواس). وبالتالي، يتم حساب طول القوس بالصيغة:

أين الزاوية المركزية بالراديان؟

حسنًا، بمعرفة ذلك، هل يمكنك الإجابة عن عدد الراديان الموجود في الزاوية التي تصفها الدائرة؟ نعم، لهذا عليك أن تتذكر صيغة المحيط. ها هي:

حسنًا، لنربط الآن بين هاتين الصيغتين ونجد أن الزاوية التي تصفها الدائرة متساوية. وهذا يعني أنه من خلال ربط القيمة بالدرجات والراديان، نحصل على ذلك. على التوالى، . كما ترون، على عكس "الدرجات"، تم حذف كلمة "راديان"، لأن وحدة القياس عادة ما تكون واضحة من السياق.

كم عدد الراديان هناك؟ صحيح!

فهمتها؟ ثم المضي قدما وإصلاحه:

تواجه صعوبات؟ ثم ابحث إجابات:

المثلث الأيمن: الجيب، جيب التمام، الظل، ظل التمام للزاوية

لذلك، توصلنا إلى مفهوم الزاوية. ولكن ما هو جيب التمام، وجيب التمام، والظل، وظل التمام للزاوية؟ دعونا معرفة ذلك. لهذا سوف يساعدنا مثلث قائم.

ماذا تسمى أضلاع المثلث القائم الزاوية؟ هذا صحيح، الوتر والساقان: الوتر هو الضلع الذي يقع مقابل الزاوية القائمة (في مثالنا هذا هو الضلع)؛ والساقان هما الضلعان المتبقيان و(المجاورتان لهما). زاوية مستقيمة)، وإذا نظرنا إلى الساقين بالنسبة إلى الزاوية، فإن الساق هي الساق المجاورةوالساق عكس ذلك. والآن، دعونا نجيب على السؤال: ما المقصود بجيب الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟

جيب الزاوية- هذه هي نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

جيب تمام الزاوية- هذه هي نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

في مثلثنا.

ظل الزاوية- هذه هي نسبة الضلع المقابل (البعيد) إلى الضلع المجاور (القريب).

في مثلثنا.

ظل التمام للزاوية- هذه هي نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

في مثلثنا.

هذه التعريفات ضرورية يتذكر! لتسهيل تذكر أي ساق يجب تقسيمها إلى ماذا، عليك أن تفهم ذلك بوضوح الظلو ظل التمامتجلس الأرجل فقط، ويظهر الوتر فقط في الداخل التجويفو جيب التمام. وبعد ذلك يمكنك التوصل إلى سلسلة من الارتباطات. على سبيل المثال، هذا:

جيب التمام → اللمس → اللمس → المجاورة؛

ظل التمام → اللمس → اللمس → المجاور.

بادئ ذي بدء، عليك أن تتذكر أن جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام لأن نسب جوانب المثلث لا تعتمد على أطوال هذه الجوانب (في نفس الزاوية). لا تصدق؟ ثم تأكد من خلال النظر إلى الصورة:

خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، جيب تمام الزاوية. بحكم التعريف، من مثلث: ولكن يمكننا حساب جيب التمام لزاوية من مثلث: . كما ترون، أطوال الجوانب مختلفة، ولكن قيمة جيب التمام لزاوية واحدة هي نفسها. وبالتالي، فإن قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام تعتمد فقط على حجم الزاوية.

إذا فهمت التعريفات، فقم بالمضي قدمًا ودمجها!

بالنسبة للمثلث الموضح في الشكل أدناه نجد.

حسنا، هل حصلت عليه؟ ثم جرب ذلك بنفسك: احسب نفس الشيء بالنسبة للزاوية.

دائرة الوحدة (المثلثية).

من خلال فهم مفاهيم الدرجات والراديان، اعتبرنا دائرة نصف قطرها يساوي. تسمى هذه الدائرة أعزب. سيكون مفيدًا جدًا عند دراسة علم المثلثات. لذلك، دعونا ننظر إليها بمزيد من التفصيل.

كما ترون، دائرة معينةبنيت في النظام الديكارتيالإحداثيات نصف قطر الدائرة يساوي واحد، بينما يقع مركز الدائرة عند نقطة الأصل، موقف البدايةيتم تثبيت ناقل نصف القطر على طول الاتجاه الموجب للمحور (في مثالنا، هذا هو نصف القطر).

كل نقطة على الدائرة تقابل رقمين: إحداثي المحور وإحداثي المحور. ما هي هذه الأرقام الإحداثية؟ وبشكل عام ما علاقتهم بالموضوع المطروح؟ للقيام بذلك، علينا أن نتذكر المثلث القائم الزاوية. في الشكل أعلاه، يمكنك رؤية مثلثين قائمين بالكامل. النظر في مثلث. وهو مستطيل لأنه عمودي على المحور.

ما هو المثلث يساوي؟ صحيح. بالإضافة إلى ذلك، نحن نعلم أن هذا هو نصف قطر دائرة الوحدة، وهو ما يعني . لنعوض بهذه القيمة في صيغة جيب التمام. إليك ما يحدث:

ما هو المثلث يساوي؟ حسنا بالطبع، ! استبدل قيمة نصف القطر في هذه الصيغة واحصل على:

إذًا، هل يمكنك معرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى دائرة؟ حسنا، بأي حال من الأحوال؟ ماذا لو أدركت ذلك وما هي إلا أرقام؟ ما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ حسنا، بالطبع، الإحداثيات! وما الإحداثيات التي تتوافق معها؟ هذا صحيح، الإحداثيات! وهكذا الفترة.

ما هي إذن وتساوي؟ هذا صحيح، دعونا نستخدم التعريفات المقابلة للظل وظل التمام ونحصل على ذلك، أ.

ماذا لو كانت الزاوية أكبر؟ على سبيل المثال، كما في هذه الصورة:

ما الذي تغير في في هذا المثال؟ دعونا معرفة ذلك. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأيمن. خذ بعين الاعتبار مثلثًا قائمًا: الزاوية (المجاورة للزاوية). ما هي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزاوية؟ هذا صحيح، نحن نلتزم بالتعريفات المقابلة للدوال المثلثية:

حسنًا، كما ترون، فإن قيمة جيب الزاوية لا تزال تتوافق مع الإحداثيات؛ قيمة جيب التمام للزاوية - الإحداثيات؛ وقيم الظل وظل التمام للنسب المقابلة. وبالتالي، تنطبق هذه العلاقات على أي دوران لمتجه نصف القطر.

لقد ذكرنا بالفعل أن الموضع الأولي لمتجه نصف القطر يقع على طول الاتجاه الموجب للمحور. لقد قمنا حتى الآن بتدوير هذا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة، لكن ماذا يحدث إذا قمنا بتدويره في اتجاه عقارب الساعة؟ لا شيء غير عادي، سوف تحصل أيضًا على زاوية ذات قيمة معينة، لكنها فقط ستكون سلبية. وبالتالي، عند تدوير ناقل نصف القطر عكس اتجاه عقارب الساعة، نحصل على زوايا إيجابية، وعند الدوران في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

إذن، نحن نعلم أن الدورة الكاملة لمتجه نصف القطر حول الدائرة هي أو. هل من الممكن تدوير ناقل نصف القطر إلى أو إلى؟ حسنا بالطبع يمكنك! في الحالة الأولى، فإن متجه نصف القطر سيقوم بدورة كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

في الحالة الثانية، أي أن متجه نصف القطر سيقوم بثلاث دورات كاملة ويتوقف عند الموضع أو.

وبالتالي، من الأمثلة المذكورة أعلاه يمكننا أن نستنتج أن الزوايا التي تختلف بـ أو (حيث يوجد أي عدد صحيح) تتوافق مع نفس موضع متجه نصف القطر.

الشكل أدناه يوضح زاوية. نفس الصورة تتوافق مع الزاوية، الخ. هذه القائمة يمكن أن تستمر إلى أجل غير مسمى. يمكن كتابة كل هذه الزوايا بالصيغة العامة أو (أين يوجد أي عدد صحيح)

الآن، بعد معرفة تعريفات الدوال المثلثية الأساسية واستخدام دائرة الوحدة، حاول الإجابة على ما هي القيم:

إليك دائرة الوحدة لمساعدتك:

تواجه صعوبات؟ ثم دعونا معرفة ذلك. لذلك نحن نعرف أن:

ومن هنا، نحدد إحداثيات النقاط المقابلة لقياسات زوايا معينة. حسنًا، لنبدأ بالترتيب: الزاوية عند تتوافق مع نقطة ذات إحداثيات، وبالتالي:

غير موجود؛

علاوة على ذلك، فإن الالتزام بنفس المنطق، نكتشف أن الزوايا تتوافق مع النقاط ذات الإحداثيات، على التوالي. بمعرفة ذلك، من السهل تحديد قيم الدوال المثلثية فيها النقاط المقابلة. جربه بنفسك أولاً، ثم تحقق من الإجابات.

الإجابات:

غير موجود

وبذلك يمكننا عمل الجدول التالي:

ليست هناك حاجة لتذكر كل هذه القيم. يكفي أن نتذكر المراسلات بين إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة وقيم الدوال المثلثية:

لكن قيم الدوال المثلثية للزوايا في و، الواردة في الجدول أدناه، يجب أن نتذكر:

لا تخف، الآن سنعرض لك مثالاً واحدًا من السهل جدًا تذكر القيم المقابلة:

لاستخدام هذه الطريقة، من المهم أن نتذكر قيم جيب الجيب لجميع قياسات الزاوية الثلاثة ()، وكذلك قيمة ظل الزاوية. بمعرفة هذه القيم، من السهل جدًا استعادة الجدول بأكمله - يتم نقل قيم جيب التمام وفقًا للأسهم، أي:

مع العلم بذلك، يمكنك استعادة القيم ل. سوف يتطابق البسط " " وسيتطابق المقام " ". يتم نقل قيم ظل التمام وفقًا للأسهم الموضحة في الشكل. إذا فهمت هذا وتذكرت الرسم التخطيطي بالأسهم، فسيكون ذلك كافيًا لتذكر جميع القيم من الجدول.

إحداثيات نقطة على الدائرة

هل من الممكن العثور على نقطة (إحداثياتها) على الدائرة، معرفة إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها وزاوية الدوران?

حسنا بالطبع يمكنك! دعونا نخرجها صيغة عامةللعثور على إحداثيات نقطة.

على سبيل المثال، هذه دائرة أمامنا:

لقد علمنا أن النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات نقطة تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة بالدرجات.

كما يتبين من الشكل، فإن إحداثيات النقطة تتوافق مع طول القطعة. طول القطعة يتوافق مع إحداثيات مركز الدائرة، أي أنها متساوية. يمكن التعبير عن طول المقطع باستخدام تعريف جيب التمام:

ثم لدينا ذلك لإحداثي النقطة.

وباستخدام نفس المنطق، نجد قيمة الإحداثيات y للنقطة. هكذا،

لذلك، في منظر عاميتم تحديد إحداثيات النقاط بواسطة الصيغ:

إحداثيات مركز الدائرة،

نصف قطر الدائرة,

زاوية دوران نصف قطر المتجه.

كما ترون، بالنسبة لدائرة الوحدة التي ندرسها، تم تقليل هذه الصيغ بشكل كبير، حيث أن إحداثيات المركز تساوي الصفر ونصف القطر يساوي واحدًا:

حسنًا، دعونا نجرب هذه الصيغ من خلال التدرب على إيجاد النقاط على الدائرة؟

1. ابحث عن إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

2. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

3. أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير النقطة.

4. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

5. النقطة هي مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة متساوي. من الضروري العثور على إحداثيات النقطة التي تم الحصول عليها عن طريق تدوير متجه نصف القطر الأولي.

هل تواجه صعوبة في العثور على إحداثيات نقطة على الدائرة؟

قم بحل هذه الأمثلة الخمسة (أو كن جيدًا في حلها) وسوف تتعلم كيفية العثور عليها!

يمكنك ملاحظة ذلك. لكننا نعرف ما يقابل الثورة الكاملة لنقطة البداية. هكذا، النقطة المطلوبةسيكون في نفس الوضع عند التشغيل. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

2. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. نحن نعرف ما يتوافق مع اثنين السرعة الكاملةنقطة البداية. وبالتالي فإن النقطة المطلوبة ستكون في نفس الوضع الذي كانت عليه عند التحول إليها. وبمعرفة ذلك نجد الإحداثيات المطلوبة للنقطة:

الجيب وجيب التمام هما قيمتان في الجدول. ونتذكر معانيها ونحصل على:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

3. تتمركز دائرة الوحدة عند نقطة، مما يعني أنه يمكننا استخدام صيغ مبسطة:

يمكنك ملاحظة ذلك. دعونا نصور المثال المعني في الشكل:

نصف القطر يجعل الزوايا متساوية مع المحور ومعه. مع العلم أن القيم الجدولية لجيب التمام والجيب متساوية، وبعد تحديد أن جيب التمام هنا يأخذ معنى سلبي، وجيب الزاوية موجب، لدينا:

المزيد من التفاصيل أمثلة مماثلةيتم فهمها عند دراسة صيغ تقليل الدوال المثلثية في الموضوع.

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة)

لتحديد العلامات المقابلة للجيب وجيب التمام، نقوم ببناء دائرة الوحدة والزاوية:

كما ترون، القيمة، أي موجبة، والقيمة، أي، سلبية. وبمعرفة القيم الجدولية للدوال المثلثية المقابلة نحصل على ما يلي:

دعنا نستبدل القيم التي تم الحصول عليها في صيغتنا ونجد الإحداثيات:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

5. لحل هذه المشكلة، نستخدم الصيغ في الصورة العامة، حيث

إحداثيات مركز الدائرة (في مثالنا،

نصف قطر الدائرة (حسب الحالة)

زاوية دوران نصف قطر المتجه (حسب الحالة).

دعنا نستبدل جميع القيم في الصيغة ونحصل على:

و - قيم الجدول. دعونا نتذكرها ونستبدلها في الصيغة:

وبالتالي، فإن النقطة المطلوبة لها إحداثيات.

الملخص والصيغ الأساسية

جيب الزاوية هو نسبة الساق المقابلة (البعيدة) إلى الوتر.

جيب تمام الزاوية هو نسبة الساق المجاورة (المقربة) إلى الوتر.

ظل الزاوية هو نسبة الجانب المقابل (البعيد) إلى الجانب المجاور (القريب).

ظل التمام للزاوية هو نسبة الضلع المجاور (القريب) إلى الضلع المقابل (البعيد).

حل المعادلات المثلثية البسيطة.

إن حل المعادلات المثلثية بأي مستوى من التعقيد يؤدي في النهاية إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. وفي هذا أفضل مساعدمرة أخرى يتبين أنها دائرة مثلثية.

دعونا نتذكر تعريفات جيب التمام والجيب.

جيب تمام الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

جيب الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

الاتجاه الموجب للحركة على الدائرة المثلثية هو عكس اتجاه عقارب الساعة. دوران 0 درجة (أو 0 راديان) يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات (1;0)

نستخدم هذه التعريفات لحل المعادلات المثلثية البسيطة.

1. حل المعادلة

يتم تلبية هذه المعادلة بجميع قيم زاوية الدوران المقابلة لنقاط على الدائرة التي يساوي إحداثيتها .

لنضع علامة على نقطة بإحداثيات على المحور الإحداثي:

دعونا ننفذ خط أفقيموازياً للمحور x حتى يتقاطع مع الدائرة. نحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولها إحداثية. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان:

إذا تركنا النقطة المقابلة لزاوية الدوران بالراديان، فانتقلنا دائرة كاملة، سنصل بعد ذلك إلى نقطة تقابل زاوية الدوران لكل راديان ولها نفس الإحداثيات. وهذا يعني أن زاوية الدوران هذه تحقق أيضًا المعادلة التي لدينا. يمكننا القيام بأي عدد نريده من الثورات "الخاملة"، والعودة إلى نفس النقطة، وكل قيم الزوايا هذه سوف تلبي معادلتنا. سيتم الإشارة إلى عدد الثورات "الخاملة" بالحرف (أو). حيث أنه يمكننا إجراء هذه الثورات في الاتجاهين الموجب والسالب، (أو) يمكننا أن نأخذ أي قيم صحيحة.

أي أن السلسلة الأولى من الحلول للمعادلة الأصلية لها الشكل:

, , - مجموعة الأعداد الصحيحة (1)

وبالمثل، فإن السلسلة الثانية من الحلول لها الشكل:

، أين ، . (2)

كما كنت قد خمنت، فإن سلسلة الحلول هذه تعتمد على النقطة الموجودة على الدائرة المقابلة لزاوية الدوران بمقدار .

يمكن دمج هاتين السلسلتين من الحلول في إدخال واحد:

إذا كنا في هذا دعونا نأخذ الملاحظات(أي حتى)، ثم نحصل على السلسلة الأولى من الحلول.

إذا أخذنا (أي فرديًا) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الثانية من الحلول.

2. الآن دعونا نحل المعادلة

نظرًا لأن هذا هو الإحداثي المحوري لنقطة على دائرة الوحدة تم الحصول عليه عن طريق الدوران بزاوية، فإننا نحدد النقطة بالإحداثي المحوري على المحور:

دعونا ننفذ خط عموديموازيا للمحور حتى يتقاطع مع الدائرة . سنحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولدينا حافة. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان. تذكر أنه عند التحرك في اتجاه عقارب الساعة نحصل على زاوية دوران سلبية:

دعونا نكتب سلسلتين من الحلول:

(نصل إلى النقطة المطلوبة بالانتقال من الدائرة الرئيسية الكاملة، أي.

دعونا ندمج هاتين السلسلتين في مدخل واحد:

3. حل المعادلة

يمر خط المماس بالنقطة ذات الإحداثيات (1,0) لدائرة الوحدة الموازية لمحور OY

لنضع علامة عليها بإحداثيات تساوي 1 (نحن نبحث عن ظل الزوايا الذي يساوي 1):

لنربط هذه النقطة بأصل الإحداثيات بخط مستقيم ونحدد نقاط تقاطع الخط مع دائرة الوحدة. نقاط تقاطع الخط المستقيم والدائرة تتوافق مع زوايا الدوران على و :

بما أن النقاط المقابلة لزوايا الدوران التي تحقق المعادلة لدينا تقع على مسافة راديان من بعضها البعض، فيمكننا كتابة الحل بهذه الطريقة:

4. حل المعادلة

يمر خط ظل التمام بالنقطة التي إحداثيات دائرة الوحدة موازية للمحور.

لنضع علامة على نقطة باستخدام الإحداثي السيني -1 على خط ظل التمام:

لنربط هذه النقطة بأصل الخط المستقيم ونواصل ذلك حتى يتقاطع مع الدائرة. سيتقاطع هذا الخط المستقيم مع الدائرة عند نقاط تتوافق مع زوايا الدوران بالراديان: