الشريحة 2
ما سوف ندرسه: التعريف. إحداثيات هامة لدائرة الأعداد. كيفية العثور على إحداثيات دائرة الأرقام؟ جدول الإحداثيات الأساسية لدائرة الأعداد. أمثلة على المهام.
الشريحة 3
تعريف. لنضع دائرة الأرقام في المستوى الإحداثي بحيث يتطابق مركز الدائرة مع أصل الإحداثيات، ونأخذ نصف قطرها كقطعة وحدة. تتم محاذاة نقطة البداية لدائرة الأرقام A مع النقطة (1؛0). كل نقطة على دائرة الأرقام لها إحداثياتها الخاصة x وy في المستوى الإحداثي، و: x > 0, y > 0 في الربع الأول؛ × 0 في الربع الثاني؛ × 0، ص
الشريحة 4
من المهم لنا أن نتعلم كيفية إيجاد إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد المبينة في الشكل أدناه:
الشريحة 5
لنجد إحداثيات النقطة π/4: النقطة M(π/4) هي منتصف الربع الأول. دعونا نسقط MR المتعامد من النقطة M إلى الخط المستقيم OA ونأخذ في الاعتبار المثلث OMP بما أن القوس AM هو نصف القوس AB، فإن ∡MOP=45° وهذا يعني أن المثلث OMP هو مثلث قائم الزاوية و OP=MP، أي. عند النقطة M يكون الإحداثي والإحداثي متساويين: x = y نظرًا لأن إحداثيات النقطة M(x;y) تلبي معادلة دائرة الأعداد، فللعثور عليها تحتاج إلى حل نظام من المعادلات: بعد حل هذا النظام نحصل على: وجدنا أن إحداثيات النقطة M المقابلة للرقم π /4 سيتم حساب إحداثيات النقاط المعروضة في الشريحة السابقة بطريقة مماثلة.
الشريحة 6
الشريحة 7
إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد.
الشريحة 8
مثال أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: Р(45π/4) الحل: لأن. الأرقام t و t+2π k (k-عدد صحيح) تتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد: 45π/4 = (10 + 5/4) π = 10π +5π/4 = 5π/4 + 2π 5 لذا ، الرقم 45π/4 يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام مثل الرقم 5π/4. وبالنظر إلى قيمة النقطة 5π/4 في الجدول نحصل على:
الشريحة 9
مثال أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: Р(-37π/3) الحل: لأن. الأرقام t و t+2π k (k-عدد صحيح) تتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأرقام ثم: -37π/3 = -(12 + 1/3) π = -12π –π/3 = -π/3 + 2π (-6) هذا يعني أن الرقم -37π/3 يتوافق مع نفس النقطة على دائرة الأعداد مثل الرقم -π/3، والرقم -π/3 يتوافق مع نفس النقطة مثل 5π/3. وبالنظر إلى قيمة النقطة 5π/3 في الجدول نحصل على:
الشريحة 10
ابحث عن النقاط في دائرة الأعداد ذات الإحداثي y = 1/2 واكتب الأرقام التي تتوافق معها. مثال: الخط المستقيم y = 1/2 يتقاطع مع دائرة الأرقام عند النقطتين M وP. النقطة M تقابل الرقم π/6 (من بيانات الجدول)، وهو ما يعني، وأي رقم على الشكل π/6+2π k . النقطة P تتوافق مع الرقم 5π/6، وبالتالي أي رقم على الشكل 5π/6+2 π k. لقد حصلنا، كما يقال غالبًا في مثل هذه الحالات، على سلسلتين من القيم: π/6+2 π k و 5π/6+2 π k الإجابة: t= π/6+2 π k وt= 5π/6+2 π k دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي.
الشريحة 11
مثال: ابحث عن النقاط الموجودة على دائرة الأعداد التي تحتوي على الإحداثي السيني x≥ واكتب الأرقام التي تتوافق معها. الخط المستقيم x= 1/2 يتقاطع مع دائرة الأرقام عند النقطتين M و P. عدم المساواة x ≥ يتوافق مع نقاط القوس PM. النقطة M تقابل الرقم 3π/4 (من بيانات الجدول)، مما يعني، وأي رقم على الشكل -3π/4+2π k. النقطة P تقابل الرقم -3π/4، وبالتالي لأي رقم بالشكل – -3π/4+2 π k ثم نحصل على -3π/4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k الإجابة : -3π/ 4+2 π k≤t≤3π/4+2 π k دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي.
الشريحة 12
دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي.
مشاكل للحل المستقل. 1) أوجد إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: P(61π/6)؟ 2) ابحث عن إحداثيات نقطة على دائرة الأعداد: P(-52π/3) 3) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثيات y = -1/2 واكتب الأرقام التي تتوافق معها. 4) ابحث عن النقاط على دائرة الأعداد ذات الإحداثي y ≥-1/2 واكتب الأرقام التي تتوافق معها. 5) ابحث عن النقاط الموجودة على دائرة الأرقام التي تحتوي على الإحداثي السيني x≥ واكتب الأرقام التي تتوافق معها.
عرض كافة الشرائح
المؤسسة التعليمية البلدية المدرسة الثانوية رقم 1
خماو-يوجرا
تطوير الدرس
في الصف العاشر
في الجبر ومبادئ التحليل
ناديجدا ميخائيلوفنا
مدرس رياضيات
سوفيتسكي
الموضوع: علم المثلثات
الدوال المثلثية
المعادلات المثلثية
التحولات المثلثية
دائرة الرقم على
خطة تنسيق
يتم تدريس الموضوع باستخدام تقنية الكتلة المعيارية.
هذا الدرس هو أحد الدروس لتعلم مواد جديدة. لذلك، يتم تخصيص الوقت الرئيسي للدرس لتعلم مواد جديدة، ويقوم الطلاب بمعظم هذا العمل بشكل مستقل.
أنواع أنشطة الطلاب في الدرس: العمل الأمامي والمستقل والفردي.
نظرًا لأنه يتعين القيام بالكثير من العمل في الدرس ويجب مراقبة نتائج أنشطة الطلاب، يتم استخدام السبورة التفاعلية في مراحل تحديث المعرفة وتعلم مواد جديدة. للحصول على تمثيل أكثر وضوحًا لتراكب دائرة الأرقام على المستوى الإحداثي وللتفكير في محتوى المادة التعليمية في نهاية الجلسة التدريبية، يتم أيضًا استخدام عروض Power Point التقديمية.
التعليمية
تعلم كيفية اكتساب المعرفة بشكل مستقل
رعاية
زراعة رباطة الجأش والمسؤولية والاجتهاد
النامية
تعلم التحليل والمقارنة وبناء القياسات
خطة الدرس:
1) اللحظة التنظيمية، الموضوع، الغرض من الدرس 2 دقيقة.
2) تحديث المعرفة 4 دقيقة.
3) تعلم مواد جديدة 30 دقيقة.
4) التأمل 3 دقيقة.
5) ملخص الدرس 1 دقيقة.
تنظيم الوقت
دائرة الأرقام
خطة تنسيق
النظر في دائرة الأعداد على المستوى الإحداثي؛ العثور معًا على إحداثيات نقطتين. ثم قم بتجميع جداول القيم الإحداثية للنقاط الرئيسية الأخرى في الدائرة بشكل مستقل؛
اختبر قدرتك على إيجاد إحداثيات النقاط على دائرة الأعداد.
تحديث المعرفة
درسنا في مقرر الهندسة للصف التاسع ما يلي
مادة:
على نصف دائرة الوحدة (R = 1)، اعتبرنا النقطة M ذات الإحداثيات Xو في
مقتطفات من كتاب الهندسة
بعد أن تعلمت كيفية العثور على إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة،
دعنا ننتقل بسهولة إلى أسمائهم الأخرى: الجيوب وجيب التمام، أي.
إلى الموضوع الرئيسي - علم المثلثات
يتم إعطاء المهمة الأولى على السبورة التفاعلية، حيث يحتاج الطلاب إلى وضع النقاط والأرقام المقابلة لها في أماكن على دائرة الأرقام عن طريق سحبها بإصبعهم على السبورة.
التمرين 1
لقد حصلنا على النتيجة:
يتم إعطاء المهمة الثانية على السبورة التفاعلية. تُغلق الإجابات بـ "ستار" وتُكشف عند حلها.
المهمة 2
نتيجة المهمة:
تعلم مواد جديدة
لنأخذ نظام إحداثي ونضع عليه دائرة أرقام بحيث تتطابق مراكزها، ويتطابق نصف القطر الأفقي للدائرة مع الاتجاه الموجب لمحور OX (عرض باور بوينت)
ونتيجة لذلك، لدينا نقاط تنتمي إلى كل من دائرة الأعداد والمستوى الإحداثي. لنأخذ بعين الاعتبار إحدى هذه النقاط، على سبيل المثال، النقطة M (عرض Power Point)
م(ر)
دعونا نرسم إحداثيات هذه النقطة
دعونا نوجد إحداثيات النقاط التي تهمنا على دائرة الوحدة، والتي تناولناها سابقًا بالمقامات 4، 3، 6 والبسط π.
ابحث عن إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للرقم وبالتالي الزاوية
المهمة 3
(عرض باور بوينت)
دعونا نصور نصف قطر النقطة وإحداثياتها
وفقا لنظرية فيثاغورس لدينا X 2+ س 2 = 12
لكن زوايا المثلث هي π/4 = 45° , وهذا يعني أن المثلث متساوي الساقين و س = ص
إيجاد إحداثيات نقطة على دائرة الوحدة المقابلة للأرقام (الزوايا)
المهمة 4
(عرض باور بوينت)
وسائل في= 1/2
وفقا لنظرية فيثاغورس
المثلثان متساويان في الوتر
وزاوية حادة، مما يعني أن أرجلهما متساوية
في الدرس السابق، تلقى الطلاب أوراقًا بها فراغات دوائر الأعداد وجداول متنوعة.
املأ الجدول الأول.
المهمة 5
(اللوحة التفاعلية)
أولاً، أدخل نقاط الدائرة التي هي مضاعفات 2 و 4 في الجدول.
التحقق من النتيجة:
(اللوحة التفاعلية)
املأ إحداثيات وإحداثيات هذه النقاط بنفسك في الجدول، مع مراعاة علامات الإحداثيات، اعتمادًا على الربع الذي تقع فيه النقطة، باستخدام أطوال المقاطع التي تم الحصول عليها أعلاه لإحداثيات النقاط.
المهمة 6
يقوم أحد الطلاب بتسمية النتائج التي تم الحصول عليها، والباقي يتحقق من إجاباتهم، ثم لتصحيح النتائج بنجاح (نظرًا لأنه سيتم استخدام هذه الجداول لاحقًا في العمل لتطوير المهارات وتعميق المعرفة حول الموضوع)، يتم عرض جدول مكتمل بشكل صحيح على السبورة التفاعلية.
التحقق من النتيجة:
(اللوحة التفاعلية)
املأ الجدول الثاني.
المهمة 7
(اللوحة التفاعلية)
أولاً، أدخل في الجدول نقاط الدائرة التي هي مضاعفات العددين 3 و6
التحقق من النتيجة:
(اللوحة التفاعلية)
املأ إحداثيات وحواف هذه النقاط بنفسك في الجدول
المهمة 8
التحقق من النتيجة:
(اللوحة التفاعلية)
(عرض باور بوينت)
لنقم بإملاء رياضي قصير متبوعًا بضبط النفس.
1) أوجد إحداثيات نقاط دائرة الوحدة:
الخيار 2
1 خيار
2) أوجد حدود نقاط دائرة الوحدة:
1) أوجد إحداثيات النقاط على دائرة الوحدة
الخيار 2
1 خيار
2) أوجد حدود النقاط الموجودة على دائرة الوحدة
تحقق من نفسك
3) أوجد إحداثيات نقاط دائرة الوحدة:
لنفسك، يمكنك وضع علامة "5" على 4 أمثلة مكتملة،
"4" لثلاثة أمثلة وعلامة "3" لمثالين
تلخيص الدرس
1) في المستقبل، للعثور على قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للنقاط والزوايا، من الضروري أن نتعلم من الجداول المكتملة قيم إحداثيات النقاط التي تنتمي إلى الربع الأول لأن علاوة على ذلك، سوف نتعلم التعبير عن القيم الإحداثية لجميع النقاط الأخرى من خلال قيم نقاط الربع الأول؛
2) إعداد الأسئلة النظرية للاختبار.
العمل في المنزل:
ملخص الدرس
يتم منح الدرجة للطلاب الذين عملوا بشكل أكثر نشاطًا في الدرس. لا يتم تقييم عمل جميع الطلاب، حيث يتم تصحيح الأخطاء على الفور أثناء الدرس. تم إجراء الإملاء من أجل ضبط النفس، ولا يوجد حجم كافٍ للتقييم.
توفر الهندسة التحليلية تقنيات موحدة لحل المشكلات الهندسية. للقيام بذلك، يتم تعيين جميع النقاط والخطوط المعطاة والمطلوبة لنظام إحداثي واحد.
في نظام الإحداثيات، يمكن تمييز كل نقطة بإحداثياتها، وكل سطر - بمعادلة ذات مجهولين، الرسم البياني الذي يوجد به هذا الخط. وبالتالي، يتم تقليل المشكلة الهندسية إلى جبرية، حيث تم تطوير جميع طرق الحساب بشكل جيد.
الدائرة هي موضع هندسي للنقاط لها خاصية واحدة محددة (كل نقطة على الدائرة متساوية البعد عن نقطة واحدة تسمى المركز). يجب أن تعكس معادلة الدائرة هذه الخاصية وتحقق هذا الشرط.
التفسير الهندسي لمعادلة الدائرة هو خط الدائرة.
إذا قمت بوضع دائرة في نظام الإحداثيات، فإن جميع النقاط الموجودة على الدائرة تستوفي شرطًا واحدًا - يجب أن تكون المسافة منها إلى مركز الدائرة هي نفسها وتساوي الدائرة.
دائرة مركزها نقطة أ ونصف القطر ر ضعه في المستوى الإحداثي.
إذا كان المركز ينسق (أ؛ب) وإحداثيات أي نقطة على الدائرة (س؛ص) ، فإن معادلة الدائرة لها الشكل:
إذا كان مربع نصف قطر الدائرة يساوي مجموع مربعات الفروق بين الإحداثيات المقابلة لأي نقطة على الدائرة ومركزها، فإن هذه المعادلة هي معادلة الدائرة في نظام الإحداثيات المستوي.
إذا كان مركز الدائرة يتطابق مع نقطة الأصل، فإن مربع نصف قطر الدائرة يساوي مجموع مربعات إحداثيات أي نقطة على الدائرة. وفي هذه الحالة تأخذ معادلة الدائرة الشكل التالي:
وبالتالي، فإن أي شكل هندسي باعتباره موضعًا للنقاط يتم تحديده بمعادلة تربط إحداثيات نقاطه. وعلى العكس من ذلك، المعادلة المتعلقة بالإحداثيات X و في ، حدد الخط باعتباره الموقع الهندسي للنقاط على المستوى التي تحقق إحداثياتها هذه المعادلة.
أمثلة على حل المسائل المتعلقة بمعادلة الدائرة
مهمة. اكتب معادلة لدائرة معينة
اكتب معادلة لدائرة مركزها النقطة O (2;-3) ونصف قطرها 4.حل.
دعنا ننتقل إلى صيغة معادلة الدائرة:
ر 2 = (س-أ) 2 + (ص-ب) 2
دعونا نستبدل القيم في الصيغة.
نصف قطر الدائرة R = 4
إحداثيات مركز الدائرة (حسب الحالة)
أ = 2
ب = -3
نحن نحصل:
(س - 2 ) 2 + (ص - (-3 )) 2 = 4 2
أو
(س - 2) 2 + (ص + 3) 2 = 16.
مهمة. هل النقطة تنتمي إلى معادلة الدائرة؟
تحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى أ(2;3)معادلة الدائرة (س - 2) 2 +(ص+3) 2 = 16 .حل.
إذا كانت نقطة تنتمي إلى دائرة، فإن إحداثياتها تحقق معادلة الدائرة.
للتحقق مما إذا كانت نقطة ذات إحداثيات معينة تنتمي إلى دائرة، استبدل إحداثيات النقطة في معادلة الدائرة المعطاة.
في المعادلة ( س - 2) 2 + (ذ + 3) 2 = 16
دعونا نعوض، حسب الشرط، بإحداثيات النقطة A(2;3)، أي
س = 2
ص=3
دعونا نتحقق من حقيقة المساواة الناتجة
(س - 2) 2 + (ذ + 3) 2 = 16
(2
- 2) 2 + (3
+ 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 المساواة كاذبة
وبالتالي فإن النقطة المحددة لا ينتميمعادلة دائرة معينة.
إذا قمت بوضع دائرة رقم الوحدة على المستوى الإحداثي، فيمكنك العثور على إحداثيات نقاطها. يتم وضع دائرة الأرقام بحيث يتطابق مركزها مع أصل المستوى، أي النقطة O (0؛ 0).
عادةً ما يتم تحديد النقاط المقابلة لأصل الدائرة على دائرة رقم الوحدة
- الأرباع - 0 أو 2π، π/2، π، (2π)/3،
- الأرباع الوسطى - π/4، (3π)/4، (5π)/4، (7π)/4،
- ثلثي الأرباع - π/6، π/3، (2π)/3، (5π)/6، (7π)/6، (4π)/3، (5π)/3، (11π)/6.
على المستوى الإحداثي، مع موقع دائرة الوحدة أعلاه، يمكنك العثور على الإحداثيات المقابلة لهذه النقاط من الدائرة.
من السهل جدًا العثور على إحداثيات نهايات الأرباع. عند النقطة 0 من الدائرة، يكون الإحداثي x هو 1، والإحداثي y هو 0. يمكننا الإشارة إليه على أنه A (0) = A (1; 0).
ستكون نهاية الربع الأول على المحور الصادي الموجب. ولذلك، ب (π/2) = ب (0؛ 1).
نهاية الربع الثاني تكون على شبه المحور السالب: C (π) = C (-1; 0).
نهاية الربع الثالث: د ((2π)/3) = د (0؛ -1).
ولكن كيف يمكن العثور على إحداثيات منتصف الأرباع؟ للقيام بذلك، قم ببناء مثلث قائم الزاوية. الوتر هو القطعة الممتدة من مركز الدائرة (أو نقطة الأصل) إلى منتصف ربع الدائرة. هذا هو نصف قطر الدائرة. بما أن الدائرة وحدة، فإن الوتر يساوي 1. بعد ذلك، ارسم خطًا عموديًا من نقطة على الدائرة إلى أي محور. فليكن نحو المحور x. والنتيجة هي مثلث قائم الزاوية، أطوال أضلاعه هي إحداثيات x و y للنقطة الموجودة على الدائرة.
ربع الدائرة هو 90 درجة. ونصف الربع هو 45 درجة. وبما أن الوتر مرسوم إلى منتصف الربع، فإن الزاوية بين الوتر والساق الممتدة من نقطة الأصل هي 45 درجة. لكن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة. وبالتالي، تظل الزاوية بين الوتر والساق الأخرى أيضًا 45 درجة. وينتج عن هذا مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين.
من نظرية فيثاغورس نحصل على المعادلة x 2 + y 2 = 1 2. بما أن x = y و1 2 = 1، يتم تبسيط المعادلة إلى x 2 + x 2 = 1. وبحلها نحصل على x = √½ = 1/√2 = √2/2.
وبالتالي، فإن إحداثيات النقطة M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
في إحداثيات نقاط منتصف الأرباع الأخرى، ستتغير العلامات فقط، وستبقى وحدات القيم كما هي، حيث لن يتم قلب المثلث القائم إلا. نحن نحصل:
م 2 ((3π)/4) = م 2 (-√2/2; √2/2)
م 3 ((5π)/4) = م 3 (-√2/2؛ -√2/2)
م 4 ((7π)/4) = م 4 (√2/2; -√2/2)
عند تحديد إحداثيات الأجزاء الثالثة من أرباع الدائرة، يتم أيضًا إنشاء مثلث قائم الزاوية. إذا أخذنا النقطة π/6 ورسمنا خطًا متعامدًا على المحور السيني، فإن الزاوية بين الوتر والساق الواقعة على المحور السيني ستكون 30 درجة. من المعروف أن الساق التي تقع مقابل زاوية 30 درجة تساوي نصف الوتر. هذا يعني أننا وجدنا الإحداثي y، وهو يساوي ½.
بمعرفة طول الوتر وأحد الساقين، باستخدام نظرية فيثاغورس نجد الساق الأخرى:
× 2 + (½) 2 = 1 2
س 2 = 1 - ¼ = ¾
س = √3/2
وهكذا T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
بالنسبة لنقطة الثلث الثاني من الربع الأول (π/3)، فمن الأفضل رسم عمودي على المحور y. ثم ستكون الزاوية عند الأصل أيضًا 30 درجة. هنا سيكون إحداثي x مساويًا لـ ½ وy، على التوالي، √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
بالنسبة لنقاط أخرى من الأرباع الثالثة، ستتغير علامات وترتيب قيم الإحداثيات. جميع النقاط الأقرب إلى المحور x سيكون لها قيمة إحداثية للمعامل x تساوي √3/2. تلك النقاط الأقرب إلى المحور y سيكون لها قيمة معامل y تساوي √3/2.
تي 3 ((2π)/3) = تي 3 (-½; √3/2)
تي 4 ((5π)/6) = تي 4 (-√3/2; ½)
تي 5 ((7π)/6) = تي 5 (-√3/2؛ -½)
ت 6 ((4π)/3) = ت 6 (-½; -√3/2)
تي 7 ((5π)/3) = تي 7 (½; -√3/2)
تي 8 ((11π)/6) = تي 8 (√3/2; -½)