منصف المثلث هو مفهوم هندسي شائع ولا يسبب صعوبة كبيرة في التعلم. من خلال معرفة خصائصه، يمكنك حل العديد من المشكلات دون صعوبة كبيرة. ما هو المنصف؟ سنحاول تعريف القارئ بكل أسرار هذا الخط الرياضي.

في تواصل مع

جوهر المفهوم

يأتي اسم المفهوم من استخدام الكلمات اللاتينية، ومعنى "ثنائي" - اثنان، "قسم" - للقطع. ويشيرون على وجه التحديد إلى معنى هندسيالمفاهيم - تفتيت المسافة بين الأشعة إلى قسمين متساويين.

منصف المثلث هو القطعة التي تبدأ من قمة الشكل، ويتم وضع الطرف الآخر على الجانب الذي يقع مقابله، مع تقسيم المساحة إلى جزأين متطابقين.

العديد من المعلمين بسرعة الحفظ النقابيطلاب المفاهيم الرياضيةاستخدام مصطلحات مختلفة تنعكس في القصائد أو الجمعيات. وبطبيعة الحال، يوصى باستخدام هذا التعريف للأطفال الأكبر سنا.

كيف يتم تحديد هذا الخط؟ نعتمد هنا على قواعد تعيين المقاطع أو الأشعة. لو نحن نتحدث عنفيما يتعلق بتعيين منصف الزاوية للشكل الثلاثي، فإنه عادة ما يتم كتابته كقطعة تنتهي نهاياتها الرأس ونقطة التقاطع مع مقابل قمة الرأسجانب. علاوة على ذلك، فإن بداية التدوين مكتوبة بدقة من قمة الرأس.

انتباه!كم عدد المنصفات التي يمتلكها المثلث؟ الجواب واضح: بقدر القمم - ثلاثة.

ملكيات

بالإضافة إلى التعريف، في الكتاب المدرسيلا يمكنك العثور على الكثير من خصائص هذا مفهوم هندسي. الخاصية الأولى لمنصف المثلث التي يتعرف عليها تلاميذ المدارس هي المركز المنقوش، والثاني، المرتبط به مباشرة، هو تناسب الأجزاء. خلاصة القول هي:

1. مهما كان الخط الفاصل، هناك نقاط عليه على نفس المسافة من الجانبينوالتي تشكل المسافة بين الأشعة.
2. من أجل احتواء دائرة في شكل مثلث، من الضروري تحديد النقطة التي ستتقاطع عندها هذه الأجزاء. هذا ما هو عليه نقطة المركزالدوائر.
3. توجد أجزاء جانب الشكل الهندسي الثلاثي الذي يقسمه إليه الخط الفاصل الخامس الاعتماد النسبيمن الجوانب التي تشكل الزاوية.

سنحاول جلب الميزات المتبقية إلى النظام وتقديمها حقائق إضافيةمما سيساعدك على فهم مزايا هذا المفهوم الهندسي بشكل أفضل.

طول

أحد أنواع المشكلات التي تسبب صعوبة لأطفال المدارس هو إيجاد طول منصف زاوية المثلث. الخيار الأول والذي يحتوي على طوله يحتوي على البيانات التالية:

• مقدار المسافة بين الأشعة التي يخرج منها جزء معين من الرأس؛
• أطوال الأضلاع التي تشكل هذه الزاوية.

لحل المشكلة الصيغة المستخدمة، ومعنى ذلك هو إيجاد نسبة حاصل ضرب قيم الجوانب التي تتكون منها الزاوية، بمقدار مرتين، على جيب تمام نصفها إلى مجموع الجوانب.

دعنا ننظر إلى مثال محدد. لنفترض أن لدينا شكل ABC، حيث يتم رسم قطعة من الزاوية A وتتقاطع مع الجانب BC عند النقطة K. نشير إلى قيمة A بالرمز Y. وبناءً على ذلك، AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

يحتوي الإصدار الثاني من المشكلة، والذي يتم فيه تحديد طول منصف المثلث، على البيانات التالية:

• ومعاني جميع جوانب الشكل معروفة.

عند حل مشكلة من هذا النوع، في البداية تحديد نصف المحيط. للقيام بذلك، تحتاج إلى جمع قيم جميع الجوانب وتقسيمها إلى النصف: p=(AB+BC+AC)/2. بعد ذلك، نطبق الصيغة الحسابية التي تم استخدامها لتحديد الطول من هذا الجزءالخامس المهمة السابقة. من الضروري فقط إجراء بعض التغييرات على جوهر الصيغة وفقًا للمعايير الجديدة. لذلك، من الضروري إيجاد نسبة الجذر المزدوج للقوة الثانية لحاصل ضرب أطوال الأضلاع المجاورة للرأس بنصف المحيط والفرق بين نصف المحيط وطول الرأس الجانب المقابل لها لمجموع الجوانب التي تشكل الزاوية. أي أن AK = (26AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

انتباه!لتسهيل إتقان المادة، يمكنك اللجوء إلى القصص المصورة المتوفرة على الإنترنت والتي تحكي عن "مغامرات" هذا الخط.

اليوم سيكون جدا درس سهل. سننظر في كائن واحد فقط - منصف الزاوية - ونثبت أهم خاصية له، والتي ستكون مفيدة جدًا لنا في المستقبل.

فقط لا تسترخي: في بعض الأحيان الطلاب الذين يريدون الحصول على درجة عاليةفي نفس OGE أو امتحان الدولة الموحدة، في الدرس الأول لا يمكنهم حتى صياغة تعريف المنصف بدقة.

وبدلا من القيام حقا مهام مثيرة للاهتمام، نحن نضيع الوقت في مثل هذه الأشياء البسيطة. لذلك اقرأها وشاهدها واعتمدها :)

أولا قليلا سؤال غريب: ما هي الزاوية؟ هذا صحيح: الزاوية هي ببساطة شعاعان منبعثان من نفس النقطة. على سبيل المثال:

أمثلة على الزوايا: الحادة، المنفرجة، القائمة

كما ترون من الصورة، يمكن أن تكون الزوايا حادة، منفرجة، مستقيمة - لا يهم الآن. في كثير من الأحيان، من أجل الراحة، يتم وضع علامة على نقطة إضافية على كل شعاع ويقولون أن أمامنا الزاوية $AOB$ (مكتوبة كـ $\angle AOB$).

يبدو أن Captain Obviousness يلمح إلى أنه بالإضافة إلى الأشعة $OA$ و$OB$، من الممكن دائمًا رسم مجموعة من الأشعة من النقطة $O$. ولكن من بينهم سيكون هناك واحد خاص - يسمى المنصف.

تعريف. منصف الزاوية هو الشعاع الذي يخرج من رأس تلك الزاوية وينصفها.

بالنسبة للزوايا المذكورة أعلاه، ستبدو المنصفات كما يلي:

أمثلة على منصفات الزوايا الحادة والمنفرجة والقائممة

نظرًا لأنه في الرسومات الحقيقية ليس من الواضح دائمًا أن شعاعًا معينًا (في حالتنا هو شعاع $OM$) يقسم الزاوية الأصلية إلى زاويتين متساويتين، فمن المعتاد في الهندسة تحديد زوايا متساوية بنفس عدد الأقواس ( في رسمنا هذا هو قوس واحد للزاوية الحادة، واثنان للزاوية المنفرجة، وثلاثة للزاوية المستقيمة).

حسنًا، لقد قمنا بفرز التعريف. أنت الآن بحاجة إلى فهم الخصائص التي يمتلكها المنصف.

الخاصية الرئيسية لمنصف الزاوية

في الواقع، المنصف لديه الكثير من الخصائص. وسننظر إليهم بالتأكيد في الدرس التالي. ولكن هناك خدعة واحدة عليك أن تفهمها الآن:

نظرية. منصف الزاوية هو موضعنقاط متساوية البعد من الجانبين زاوية معينة.

إذا ترجمت من الرياضيات إلى اللغة الروسية، فهذا يعني حقيقتين في وقت واحد:

1. أي نقطة تقع على منصف زاوية معينة تكون على مسافة واحدة من ضلعي هذه الزاوية.
2. والعكس صحيح: إذا كانت النقطة تقع على نفس المسافة من جوانب زاوية معينة، فمن المؤكد أنها تقع على منصف هذه الزاوية.

قبل إثبات هذه العبارات، دعونا نوضح نقطة واحدة: ما الذي يسمى بالضبط المسافة من نقطة إلى جانب الزاوية؟ هنا سيساعدنا التحديد القديم الجيد للمسافة من نقطة إلى خط:

تعريف. المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمودي المرسوم من نقطة معينة على هذا الخط.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك السطر $l$ والنقطة $A$ التي لا تقع على هذا الخط. دعونا نرسم عموديًا على $AH$، حيث $H\in l$. إذن سيكون طول هذا العمود هو المسافة من النقطة $A$ إلى الخط المستقيم $l$.

التمثيل الرسوميالمسافة من نقطة إلى خط

وبما أن الزاوية هي مجرد شعاعين، وكل شعاع هو قطعة من خط مستقيم، فمن السهل تحديد المسافة من نقطة إلى جانبي الزاوية. هذان مجرد عمودين متعامدين:

تحديد المسافة من النقطة إلى جانبي الزاوية

هذا كل شئ! الآن نحن نعرف ما هي المسافة وما هو المنصف. لذلك، يمكننا إثبات الخاصية الرئيسية.

وكما وعدناكم سنقسم الإثبات إلى قسمين:

1. المسافات من النقطة على المنصف إلى جوانب الزاوية هي نفسها

النظر في زاوية تعسفية مع قمة الرأس $O$ والمنصف $OM$:

دعونا نثبت أن هذه النقطة $M$ بالذات تقع على نفس المسافة من جانبي الزاوية.

دليل. دعونا نرسم خطوطًا متعامدة من النقطة $M$ إلى أضلاع الزاوية. دعنا نسميهم $M((H)_(1))$ و $M((H)_(2))$:

ارسم خطوطًا متعامدة على جوانب الزاوية

لقد حصلنا على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. لديهم وتر مشترك $OM$ وزوايا متساوية:

1. $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ حسب الشرط (نظرًا لأن $OM$ هو منصف)؛
2. $\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ عن طريق البناء؛
3. $\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$، منذ مجموع زوايا حادة مثلث قائمدائما يساوي 90 درجة.

وبالتالي فإن المثلثين متساويان في أضلاعهما وزاويتين متجاورتين (انظر علامات تساوي المثلثات). ولذلك، على وجه الخصوص، $M((H)_(2))=M((H)_(1))$، أي. المسافات من النقطة $O$ إلى جانبي الزاوية متساوية بالفعل. سؤال وجواب :)

2. إذا كانت المسافات متساوية فإن النقطة تقع على المنصف

الآن الوضع العكسي. دع الزاوية $O$ تعطى ونقطة $M$ متساوية البعد من جانبي هذه الزاوية:

دعونا نثبت أن الشعاع $OM$ منصف، أي. $\زاوية MO((H)_(1))=\زاوية MO((H)_(2))$.

دليل. أولاً، لنرسم هذا الشعاع $OM$، وإلا فلن يكون هناك ما يمكن إثباته:

أجريت شعاع $OM$ داخل الزاوية

مرة أخرى نحصل على مثلثين قائمين: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. ومن الواضح أنهما متساويان للأسباب التالية:

1. الوتر $OM$ - عام؛
2. الأرجل $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ حسب الشرط (بعد كل شيء، النقطة $M$ متساوية البعد من جانبي الزاوية)؛
3. الأرجل المتبقية متساوية أيضًا، لأن بواسطة نظرية فيثاغورس $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

لذلك، المثلثان $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$ من ثلاثة جوانب. على وجه الخصوص، زواياها متساوية: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. وهذا يعني فقط أن $OM$ منصف.

لإتمام الإثبات، نحدد الزوايا المتساوية الناتجة بأقواس حمراء:

يقسم المنصف الزاوية $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ إلى زاويتين متساويتين

كما ترون، لا شيء معقد. لقد أثبتنا أن منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية :).

الآن بعد أن اتخذنا قرارًا أكثر أو أقل بشأن المصطلحات، فقد حان الوقت للانتقال إلى ذلك مستوى جديد. في الدرس القادم سوف ننظر في المزيد خصائص معقدةالمنصفات وتعلم كيفية استخدامها لحل المشكلات الحقيقية.

ما هو منصف زاوية المثلث؟ عند الإجابة على هذا السؤال، يرى بعض الناس أن الفأر المعروف يجري حول الزوايا ويقسم الزاوية إلى نصفين. "إذا كانت الإجابة "روح الدعابة"، فربما تكون صحيحة. ولكن مع نقطة علميةمن وجهة نظر، يجب أن تبدو الإجابة على هذا السؤال كما يلي: البدء من رأس الزاوية وتقسيم الأخير إلى جزأين متساويين." في الهندسة، يُنظر إلى هذا الشكل أيضًا على أنه قطعة من المنصف قبل تقاطعه مع الضلع المقابل للمثلث هذا ليس رأيا خاطئا ولكن ماذا يعرف عن منصف الزاوية غير تعريفه؟

مثل أي موضع هندسي للنقاط، له خصائصه الخاصة. أولها ليس حتى علامة، بل نظرية، والتي يمكن التعبير عنها باختصار على النحو التالي: "إذا كان الجانب المقابل له مقسمًا إلى جزأين بواسطة منصف، فإن نسبتهما سوف تتوافق مع نسبة جوانب مثلث كبير."

الخاصية الثانية: أن نقطة تقاطع منصفات جميع الزوايا تسمى المركز.

العلامة الثالثة: تقاطع منصفات الزاوية الداخلية والزاويتين الخارجيتين للمثلث في مركز إحدى الدوائر الثلاث المنقوشة.

الخاصية الرابعة لمنصفات زوايا المثلث هي أنه إذا كان كل منهما متساويا، فإن الأخير يكون متساوي الساقين.

تنطبق العلامة الخامسة أيضًا مثلث متساوي الساقينوهو المبدأ التوجيهي الرئيسي للتعرف عليه في رسم المنصفات، وهي: في مثلث متساوي الساقين، يعمل في نفس الوقت بمثابة الوسيط والارتفاع.

يمكن إنشاء منصف الزاوية باستخدام البوصلة والمسطرة:

القاعدة السادسة تنص على أنه من المستحيل بناء مثلث باستخدام الأخير فقط بالمنصفات الموجودة، كما أنه من المستحيل بناء بهذه الطريقة مضاعفة المكعب وتربيع الدائرة وتثليث الزاوية. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذه كلها خصائص منصف زاوية المثلث.

إذا قرأت الفقرة السابقة بعناية، فربما كنت مهتما بعبارة واحدة. "ما هو تثليث الزاوية؟" - ربما سوف تسأل. يشبه المثلث إلى حد ما المنصف، ولكن إذا قمت برسم الأخير، فسيتم تقسيم الزاوية إلى جزأين متساويين، وعند إنشاء تثليث، سيتم تقسيمها إلى ثلاثة. وبطبيعة الحال، من الأسهل تذكر منصف الزاوية، لأن التثليث لا يتم تدريسه في المدرسة. ولكن من أجل الاكتمال، سأخبرك بذلك أيضًا.

المثلث، كما قلت سابقًا، لا يمكن بناؤه باستخدام بوصلة ومسطرة فقط، ولكن يمكن إنشاؤه باستخدام قواعد فوجيتا وبعض المنحنيات: حلزونات باسكال، والمربعات، ومحاريات نيكوميديس، المقاطع المخروطية,

يتم حل المشكلات المتعلقة بتثليث الزاوية بكل بساطة باستخدام nevsis.

في الهندسة هناك نظرية حول مثلثات الزوايا. وتسمى نظرية مورلي. وتذكر أن نقاط تقاطع مثلثات كل زاوية تقع في المنتصف ستكون القمم

المثلث الأسود الصغير داخل المثلث الكبير سيكون دائمًا متساوي الأضلاع. اكتشف هذه النظرية العالم البريطاني فرانك مورلي عام 1904.

إليك مقدار ما يمكنك تعلمه حول تقسيم الزاوية: يتطلب المثلث والمنصف للزاوية دائمًا شرحًا تفصيليًا. ولكن هنا أعطيت تعريفات كثيرة لم أفصح عنها بعد: حلزون باسكال، ومحار نيكوميدس، وما إلى ذلك. كن مطمئنا، هناك الكثير للكتابة عنهم.

سوروكينا فيكا

يتم تقديم البراهين على خصائص منصف المثلث ويؤخذ في الاعتبار تطبيق النظرية على حل المشكلات

تحميل:

معاينة:

لجنة التعليم بإدارة ساراتوف، منطقة اوكتيابرسكيالحكم الذاتي البلدي مؤسسة تعليميةصالة حفلات رقم 3 سميت باسمها. إيه إس بوشكين.

البلدية العلمية العملية

مؤتمر

"الخطوات الأولى"

موضوع: المنصف وخصائصه.

تم إنجاز العمل بواسطة: طالب في الصف الثامن

سوروكينا فيكتورياالمشرف العلمي : مدرس رياضيات من الفئة العليابوبوفا نينا فيدوروفنا.

ساراتوف 2011

1. صفحة العنوان ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….1
2. المحتويات ………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2
3. المقدمة والأهداف ………………………………………..3
4. النظر في خصائص المنصف

• موضع النقاط الثالث………………………….3
• النظرية 1 …………………………………………………… 4
• النظرية 2 ………………………………………………… 4
• الخاصية الرئيسية لمنصف المثلث:

1. النظرية 3 ………………………………………………….4
2. المهمة 1 ………………………………………………… ….7
3. المهمة 2 ………………………………………………….8
4. المهمة 3 …………………………………………………..9
5. المهمة 4 ……………………………………………….9-10

• النظرية 4 …………………………………………………………………………………………………… 10-11
• الصيغ لإيجاد المنصف:

1. النظرية 5 ……………………………………………………….11
2. النظرية 6 ……………………………………………………….11
3. النظرية 7 ……………………………………………………….12
4. المهمة 5 ………………………………………………………….12-13

• النظرية 8 ……………………………………………………….13
• المهمة 6 ……………………………………………….14
• المهمة 7 ……………………………………………………………………………………………… 14-15
• تحديد الاتجاهات الأساسية باستخدام المنصف ............... 15

1. الخاتمة والخاتمة ……………………………………………..15
2. قائمة المراجع ……………………………..16

منصف

في درس الهندسة دراسة الموضوع مثلثات متشابهة، واجهت مشكلة في نظرية علاقة المنصف بالضلعين المتقابلين. يبدو أنه قد يكون هناك شيء مثير للاهتمام في موضوع المنصف، لكن هذا الموضوع أثار اهتمامي، وأردت دراسته بشكل أعمق. بعد كل شيء، المنصف غني جدًا به خصائص مذهلة، مما يساعد على حل المشاكل المختلفة.

عند النظر في هذا الموضوع، ستلاحظ أن كتب الهندسة المدرسية تقول القليل جدًا عن خصائص المنصف، ولكن في الامتحانات، بمعرفتها، يمكنك حل المشكلات بشكل أسهل وأسرع. بالإضافة إلى ذلك، لاجتياز امتحان الدولة وامتحان الدولة الموحدة الطلاب الحديثينتحتاج إلى دراستها بنفسك مواد إضافيةل المنهج المدرسي. لهذا السبب قررت دراسة موضوع المنصف بمزيد من التفصيل.

منصف (من اللاتينية ثنائية - "مزدوج" و sectio "القطع") للزاوية هو شعاع يبدأ من رأس الزاوية، ويقسم الزاوية إلى جزأين متساويين. منصف الزاوية (مع امتدادها) هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب الزاوية (أو امتداداتها))

الموضع الثالث للنقاط

الشكل واو هو موضع النقاط (مجموعة النقاط) التي لها خاصية ماأ، إذا تم استيفاء شرطين:

1. من حقيقة أن النقطة تنتمي إلى هذا الرقم F، ويترتب على ذلك أن لديها الممتلكاتأ؛
2. من كون النقطة تفي بالملكيةأ، ويترتب على ذلك أنه ينتمي إلى هذا الرقم F.

أول محل نظر للنقاط في الهندسة هو الدائرة، أي. موضع النقاط المتساوية البعد عن نقطة ثابتة واحدة. والثاني هو المنصف العمودي للقطعة، أي. موضع النقاط المتساوية البعد عن نهاية القطعة. وأخيرًا، الثالث - المنصف - هو الموضع الهندسي للنقاط المتساوية البعد عن جوانب الزاوية

النظرية 1:

نقاط المنصف متباعدة بالتساوي عن الجانبينانه ركن.

دليل:

دع ر - نقطة منصفةأ. دعونا نسقط من هذه النقطةP متعامدينعربة سكن متنقلة و الكمبيوتر على جانبي الزاوية. ثم VAR = SAR بواسطة الوتر والزاوية الحادة. وبالتالي، PB = PC

النظرية 2:

إذا كانت النقطة P على مسافة متساوية من جانبي الزاوية A، فإنها تقع على المنصف.

الدليل: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR منصف.

من بين الرئيسية حقائق هندسيةينبغي أن تعزى إلى النظرية القائلة بأن المنصف يقسم الجانب المقابل بالنسبة للأطراف المقابلة. ظلت هذه الحقيقة في الظل لفترة طويلة، ولكن هناك مشاكل في كل مكان يكون حلها أسهل بكثير إذا كنت تعرف هذه الحقائق وغيرها من الحقائق حول المنصف. لقد أصبحت مهتمًا وقررت استكشاف خاصية المنصف هذه بشكل أكبر.

الخاصية الرئيسية لمنصف زاوية المثلث

النظرية 3. يقسم المنصف الضلع المقابل للمثلث بالنسبة للأضلاع المجاورة.

الدليل 1:

المعطى : آل - منصف المثلث ABC

يثبت:

الدليل: دع الفاء تكون نقطة تقاطع الخطال وخط يمر عبر هذه النقطةفي بالتوازي مع الجانب AC.

ثم منتدى بواو الاسيوى = FAC = BAF. لذلك، ب.أ.ف. متساوي الساقين وأب = فرنك بلجيكي. من تشابه المثلثات ALC وFLB لدينا

نسبة

أين

الدليل 2

لتكن F هي النقطة التي يتقاطع معها الخط AL والخط الذي يمر بالنقطة C الموازية للقاعدة AB. ثم يمكنك تكرار المنطق.

الدليل 3

دع K و M هما أساسات الخطوط العمودية المسقطة على الخط AL من النقطتين B وC على التوالى. المثلثان ABL و ACL متشابهان في زاويتين. لهذا
. ومن التشابه بين BKL وCML لدينا

من هنا

الدليل 4

دعونا نستخدم طريقة المنطقة. دعونا نحسب مساحات المثلثات ABL و ACL بطريقتين.

من هنا.

الدليل 5

دع α= أنت،φ= جيش تحرير بلوشستان. بواسطة نظرية الجيب في المثلث ABL

وفي المثلث ACL.

لأن ،

ثم، بتقسيم طرفي المساواة إلى الأجزاء المقابلة للآخر، نحصل على.

المشكلة 1

منح: في المثلث ABC, VC – المنصف، BC=2، KS=1،

حل:

المشكلة 2

منح:

أوجد منصفات الزوايا الحادة للمثلث القائم الزاوية ذو الأرجل 24 و18

حل:

دع الضلع AC = 18، الضلع BC = 24،

أكون. - منصف المثلث .

وباستخدام نظرية فيثاغورس نجد أن

أن أ ب = 30

منذ ذلك الحين

دعونا نجد بالمثل المنصف الثاني.

إجابة:

المشكلة 3

في المثلث الأيمن ABC مع الزاوية القائمة B زاوية منصفأ يعبر الجانبقبل الميلاد

عند النقطة د. ومن المعروف أن BD = 4، DC = 6.

أوجد مساحة المثلثأدك

حل:

بواسطة خاصية منصف المثلث

دعونا نشير إلى AB = 2 x، AC = 3 x. حسب النظرية

فيثاغورس ق 2 + أ ب 2 = أ 2، أو 100 + 4 × 2 = 9 × 2

ومن هنا نجد ذلكس = ثم AB =، S ABC=

لذلك،

المشكلة 4

منح:

في مثلث متساوي الساقيناي بي سي جانبأ.ب يساوي 10، القاعدةالتيار المتردد هو 12.

منصفات الزواياأ و ج تتقاطع عند نقطة ماد. ابحث عن دينار بحريني.

حل:

وبما أن منصفات المثلث تتقاطع عند

نقطة واحدة، إذن BD هو المنصف لـ B. دعونا نواصل دينار بحريني إلى التقاطع مع AC عند النقطة M. ثم M هي نقطة منتصف AC، BM AC. لهذا

منذ القرص المضغوط - منصف المثلثبي ام سي بعد ذلك

لذلك،.

إجابة:

النظرية 4. تتقاطع منصفات المثلث الثلاثة عند نقطة واحدة.

في الواقع، دعونا نفكر أولاً في نقطة تقاطع منصفين، على سبيل المثال AK 1 و في كيه 2 . هذه النقطة بعيدة بالتساوي عن الجانبين AB وAC، لأنها تقع على المنصفA، ويبعد بشكل متساوٍ عن الجانبين AB وBC، باعتباره ينتمي إلى المنصفب. وهذا يعني أنه بعيد بالتساوي عن الجانبين AC وBC، وبالتالي ينتمي إلى المنصف الثالث SC 3 أي عند النقطة P تتقاطع المنصفات الثلاثة.

الصيغ لإيجاد المنصف
النظرية 5: (الصيغة الأولى للمنصف): إذا كان الجزء AL في المثلث ABC منصفًا A، ثم AL² = AB·AC - LB·LC.

دليل: لتكن M نقطة تقاطع الخط AL مع الدائرة المحيطة بالمثلث ABC (شكل 41). زاوية بام يساوي الزاويةماك حسب الحالة. الزاويتان BMA وBCA متطابقتان كزوايا محيطية تقابلها نفس الوتر. وهذا يعني أن المثلثين BAM و LAC متشابهان في زاويتين. وبالتالي، AL: AC = AB: AM. وهذا يعني AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

النظرية 6 : . (الصيغة الثانية للمنصف): في مثلث ABC مع أضلاعه AB=a، AC=b ويساوي 2α ومنصف l، المساواة تحمل:
ل = (2ab / (أ+ب)) cosα.

دليل : دع ABC يكون المثلث المعطى، AL هو منصفها، a=AB، b=AC، l=AL. ثم س ABC = S ALB + S ALC . وبالتالي، ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 7: إذا كانت a، b هي أضلاع المثلث، فإن Y هي الزاوية بينهما،هو منصف هذه الزاوية. ثم.

من بين المواد العديدة في المدرسة الثانوية هناك موضوع مثل "الهندسة". يُعتقد تقليديًا أن مؤسسي هذا العلم المنهجي هم اليونانيون. اليوم، تسمى الهندسة اليونانية الابتدائية، لأنها كانت هي التي بدأت دراسة أبسط الأشكال: الطائرات والخطوط المستقيمة والمثلثات. سنركز اهتمامنا على الأخير، أو بالأحرى على منصف هذا الشكل. بالنسبة لأولئك الذين نسوا بالفعل، منصف المثلث هو قطعة من منصف إحدى زوايا المثلث، والتي تقسمها إلى نصفين وتربط قمة الرأس بنقطة تقع على الجانب الآخر.

يحتوي منصف المثلث على عدد من الخصائص التي تحتاج إلى معرفتها عند حل بعض المشكلات:

• منصف الزاوية هو موضع النقاط التي يفصل بينها مسافات متساويةمن الجوانب المجاورة للزاوية.
• يقسم المنصف في المثلث الضلع المقابل للزاوية إلى أجزاء تتناسب مع الأضلاع المجاورة. على سبيل المثال، بالنظر إلى مثلث MKB، حيث يخرج منصف من الزاوية K، ويربط قمة هذه الزاوية بالنقطة A على الجانب الآخر MB. وقد تم تحليلها هذا العقاروالمثلث لدينا MA/AB=MK/KB.
• النقطة التي تتقاطع عندها منصفات زوايا المثلث الثلاث هي مركز الدائرة المحصورة في نفس المثلث.
• قاعدة المنصفات واحدة خارجية واثنان زوايا داخليةيقعان على نفس الخط المستقيم بشرط أن يكون المنصف الزاوية الخارجيةلا يوازي الضلع المقابل للمثلث.
• إذا كان هناك منصفان لواحد فهذا

وتجدر الإشارة إلى أنه إذا تم إعطاء ثلاثة منصفات، فإن بناء مثلث منها، حتى بمساعدة البوصلة، أمر مستحيل.

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات، يكون منصف المثلث غير معروف، ولكن من الضروري تحديد طوله. لحل هذه المشكلة عليك معرفة الزاوية التي ينصفها المنصف والأضلاع المجاورة لهذه الزاوية. في هذه الحالة، يتم تعريف الطول المطلوب على أنه نسبة ضعف منتج الجوانب المجاورة للزاوية وجيب تمام الزاوية مقسومًا على النصف إلى مجموع الجوانب المجاورة للزاوية. على سبيل المثال، نظرا لنفس المثلث MKB. يخرج المنصف من الزاوية K ويتقاطع الجانب الآخر MV عند النقطة A. سيتم الإشارة إلى الزاوية التي يخرج منها المنصف بالرمز y. الآن دعونا نكتب كل ما يقال بالكلمات في شكل صيغة: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

إذا كانت قيمة الزاوية التي يخرج منها منصف المثلث مجهولة، ولكن جميع أضلاعه معروفة، فحساب طول المنصف سنستخدم متغيرًا إضافيًا، والذي سنسميه نصف المحيط ونشير إليه بـ الحرف P: P=1/2*(MK+KB+MB). بعد ذلك سنقوم ببعض التغييرات على الصيغة السابقة التي تم من خلالها تحديد طول المنصف، أي أننا في بسط الكسر نضع ضعف حاصل ضرب أطوال الأضلاع المجاورة للزاوية بنصف المحيط والحاصل، حيث يتم طرح طول الضلع الثالث من نصف المحيط. سنترك القاسم دون تغيير. في شكل صيغة، ستبدو كما يلي: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

منصف مثلث متساوي الساقين مع الخصائص العامةلديها العديد من تلقاء نفسها. دعونا نتذكر أي نوع من المثلث هو هذا. مثل هذا المثلث له جانبان متساويان وزوايا متساوية مجاورة للقاعدة. ويترتب على ذلك أن المنصفات التي تنزل إليها الجانبينمثلث متساوي الساقين، متساويان مع بعضهما البعض. بالإضافة إلى ذلك، فإن المنصف الذي تم إنزاله إلى القاعدة هو الارتفاع والوسيط.