نظرية النهايات هي أحد فروع التحليل الرياضي. إن مسألة حل النهايات واسعة جدًا، نظرًا لوجود العشرات من الطرق لحل النهايات بمختلف أنواعها. هناك العشرات من الفروق الدقيقة والحيل التي تسمح لك بحل هذا الحد أو ذاك. ومع ذلك، سنظل نحاول فهم الأنواع الرئيسية من الحدود التي غالبًا ما يتم مواجهتها في الممارسة العملية.
لنبدأ بمفهوم الحد ذاته. لكن أولاً، خلفية تاريخية مختصرة. عاش هناك رجل فرنسي، أوغسطين لويس كوشي، في القرن التاسع عشر، الذي أعطى تعريفات صارمة للعديد من مفاهيم المتان ووضع أسسها. ولا بد من القول إن عالم الرياضيات المحترم هذا كان وما زال وسيظل في كوابيس جميع طلاب أقسام الفيزياء والرياضيات، حيث أثبت عددا هائلا من نظريات التحليل الرياضي، وإحدى النظريات أكثر فتكاً من الأخرى. في هذا الصدد، لن ننظر بعد تحديد حد كوشيولكن دعونا نحاول القيام بأمرين:
1. افهم ما هو الحد.
2. تعلم كيفية حل الأنواع الرئيسية للحدود.
أعتذر عن بعض التفسيرات غير العلمية، فمن المهم أن تكون المادة مفهومة حتى لإبريق الشاي، وهي في الواقع مهمة المشروع.
إذن ما هو الحد؟
ومجرد مثال لماذا الجدة الأشعث ....
أي حد يتكون من ثلاثة أجزاء:
1) أيقونة الحد المعروفة.
2) الإدخالات تحت رمز الحد، في هذه الحالة. يقرأ الإدخال "X يميل إلى واحد." في أغلب الأحيان - بالضبط، على الرغم من وجود متغيرات أخرى بدلاً من "X" في الممارسة العملية. في المهام العملية، يمكن أن يكون مكان واحد على الإطلاق أي رقم، وكذلك اللانهاية ().
3) وظائف تحت علامة الحد، في هذه الحالة.
التسجيل نفسه 
يقرأ مثل هذا: "نهاية الدالة حيث أن x تميل إلى الوحدة."
دعونا نلقي نظرة على السؤال المهم التالي - ماذا يعني التعبير "x"؟ يسعىإلى واحد"؟ وماذا يعني "السعي" أصلاً؟
مفهوم الحد هو مفهوم، إذا جاز التعبير، متحرك. لنقم ببناء تسلسل: أولاً، ثم،، ...، 
, ….
أي أن التعبير "x". يسعىإلى واحد" يجب أن يُفهم على النحو التالي: "x" تأخذ القيم باستمرار التي تقترب من الوحدة بشكل لا نهائي وتتوافق معها عمليا.
كيفية حل المثال أعلاه؟ بناءً على ما سبق، كل ما عليك فعله هو استبدال واحد في الدالة الموجودة أسفل علامة الحد:
إذن القاعدة الأولى: عند إعطاء أي حد، نحاول أولاً توصيل الرقم بالدالة.
لقد تناولنا أبسط الحدود، ولكنها تحدث أيضًا في الممارسة العملية، وليس نادرًا!
مثال مع ما لا نهاية:
دعونا معرفة ما هو؟ وهذا هو الحال إذا زاد بلا حد، أي: أولاً، ثم، ثم، وهكذا إلى ما لا نهاية.
ماذا يحدث للوظيفة في هذا الوقت؟
, , 
, …
إذن: إذا، فإن الدالة تميل إلى سالب ما لا نهاية:
بشكل تقريبي، وفقًا للقاعدة الأولى، بدلًا من "X"، نستبدل اللانهاية في الدالة ونحصل على الإجابة.
مثال آخر مع اللانهاية:
مرة أخرى نبدأ في الزيادة إلى ما لا نهاية وننظر إلى سلوك الوظيفة: 
الاستنتاج: عندما تزيد الدالة بلا حدود:
وسلسلة أخرى من الأمثلة:
من فضلك حاول أن تحلل لنفسك الآتي ذهنيًا وتذكر أبسط أنواع الحدود:
, , , , 
, , , , 
,
إذا كانت لديك أي شكوك، يمكنك التقاط الآلة الحاسبة والتدرب عليها قليلًا.
في هذه الحالة، حاول بناء التسلسل،،. إذا , ثم , .
! ملحوظة: بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا النهج لبناء تسلسل من عدة أرقام غير صحيح، ولكن لفهم أبسط الأمثلة فهو مناسب تماما.
انتبه أيضًا إلى الشيء التالي. حتى لو تم إعطاء حد بعدد كبير في الأعلى، أو حتى بمليون:، فالأمر سواء 
، نظرًا لأن "X" عاجلاً أم آجلاً سيبدأ في اتخاذ مثل هذه القيم الهائلة بحيث يصبح المليون بالمقارنة ميكروبًا حقيقيًا.
ما الذي تحتاج إلى تذكره وفهمه مما سبق؟
1) عند إعطاء أي نهاية، نحاول أولاً استبدال الرقم في الدالة.
2) يجب عليك فهم أبسط الحدود وحلها على الفور، مثل 
. . . إلخ.
علاوة على ذلك، فإن الحد له معنى هندسي جيد جدًا. لفهم أفضل للموضوع، أوصي بقراءة المواد التعليمية الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الأولية. بعد قراءة هذه المقالة، لن تفهم أخيرًا ما هو الحد فحسب، بل ستتعرف أيضًا على حالات مثيرة للاهتمام عندما يكون حد الدالة بشكل عام غير موجود!
في الممارسة العملية، لسوء الحظ، هناك عدد قليل من الهدايا. ومن ثم ننتقل إلى النظر في النهايات الأكثر تعقيدًا. بالمناسبة، حول هذا الموضوع هناك دورة مكثفةبتنسيق pdf، وهو أمر مفيد بشكل خاص إذا كان لديك القليل من الوقت للتحضير. لكن مواد الموقع بالطبع ليست أسوأ:
سننظر الآن إلى مجموعة النهايات، والدالة عبارة عن كسر يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود
مثال:
حساب الحد 
وفقًا لقاعدتنا، سنحاول التعويض بما لا نهاية في الدالة. ماذا نحصل في الأعلى؟ إنفينيتي. وماذا يحدث أدناه؟ أيضا اللانهاية. وهكذا، لدينا ما يسمى عدم اليقين الأنواع. قد يظن المرء ذلك، والإجابة جاهزة، ولكن في الحالة العامة هذا ليس هو الحال على الإطلاق، ومن الضروري تطبيق بعض تقنيات الحل، والتي سننظر فيها الآن.
كيفية حل الحدود من هذا النوع؟
أولاً ننظر إلى البسط ونجد القوة الأعلى: 
القوة الرائدة في البسط هي اثنان.
الآن ننظر إلى المقام ونجده أيضًا بأعلى قوة: 
أعلى درجة للمقام هي اثنان.
ثم نختار أعلى قوة للبسط والمقام: في هذا المثال، هما متساويان ويساويان اثنين.
لذلك، طريقة الحل هي كما يلي: من أجل الكشف عن عدم اليقين، من الضروري تقسيم البسط والمقام على أعلى قوة.
ها هو الجواب، وليس اللانهاية على الإطلاق.
ما هو المهم بشكل أساسي في تصميم القرار؟
أولا، نشير إلى عدم اليقين، إن وجد.
ثانيًا: يُنصح بمقاطعة الحل للتفسيرات الوسيطة. عادةً ما أستخدم العلامة، فهي ليس لها أي معنى رياضي، ولكنها تعني مقاطعة الحل لتفسير وسيط.
ثالثا، في الحد من المستحسن وضع علامة على ما يجري وأين. عندما يتم رسم العمل يدويًا، فمن الملائم القيام بذلك بهذه الطريقة: 
من الأفضل استخدام قلم رصاص بسيط لتدوين الملاحظات.
بالطبع، لا يتعين عليك القيام بأي من هذا، ولكن بعد ذلك، ربما سيشير المعلم إلى أوجه القصور في الحل أو يبدأ في طرح أسئلة إضافية حول المهمة. هل تحتاجها؟
مثال 2
العثور على الحد 
مرة أخرى في البسط والمقام نجد في أعلى درجة: 
الدرجة القصوى في البسط: 3
الحد الأقصى لدرجة المقام: 4
يختار أعظمالقيمة، في هذه الحالة أربعة.
وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا، للكشف عن عدم اليقين، نقسم البسط والمقام على .
قد تبدو المهمة الكاملة كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
مثال 3
العثور على الحد 
الحد الأقصى لدرجة "X" في البسط: 2
الحد الأقصى لدرجة "X" في المقام: 1 (يمكن كتابتها كـ)
للكشف عن عدم اليقين، فمن الضروري قسمة البسط والمقام على . قد يبدو الحل النهائي كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
التدوين لا يعني القسمة على صفر (لا يمكنك القسمة على صفر)، بل يعني القسمة على عدد متناهٍ في الصغر.
وهكذا، من خلال الكشف عن عدم اليقين بشأن الأنواع، قد نتمكن من ذلك الرقم النهائيأو صفر أو ما لا نهاية.
حدود عدم التأكد من نوعها وطريقة حلها
المجموعة التالية من النهايات تشبه إلى حد ما النهايات التي تناولناها للتو: يحتوي البسط والمقام على متعددات الحدود، لكن "x" لم تعد تميل إلى اللانهاية، بل إلى عدد محدود.
مثال 4
حل الحد 
أولًا، دعونا نحاول التعويض بـ -1 في الكسر: 
في هذه الحالة يتم الحصول على ما يسمى بعدم اليقين.
القاعدة العامة: إذا كان البسط والمقام يحتويان على كثيرات الحدود، وهناك شك في الشكل، فيجب الكشف عنها تحتاج إلى تحليل البسط والمقام.
للقيام بذلك، غالبًا ما تحتاج إلى حل معادلة تربيعية و/أو استخدام صيغ الضرب المختصرة. إذا تم نسيان هذه الأشياء، قم بزيارة الصفحة الصيغ والجداول الرياضيةوقراءة المواد التعليمية الصيغ الساخنة لدورة الرياضيات المدرسية. بالمناسبة، من الأفضل طباعتها؛ فهي مطلوبة في كثير من الأحيان، ويتم امتصاص المعلومات بشكل أفضل من الورق.
إذن، دعونا نحل النهاية 
عامل البسط والمقام
من أجل تحليل البسط، عليك حل المعادلة التربيعية: 
أولا نجد التمييز:
والجذر التربيعي له : .
إذا كان المميز كبيراً، مثلاً 361، نستخدم الآلة الحاسبة؛ ووظيفة استخراج الجذر التربيعي تكون على أبسط آلة حاسبة.
! إذا لم يتم استخراج الجذر بالكامل (يتم الحصول على رقم كسري بفاصلة)، فمن المحتمل جدًا أنه تم حساب المميز بشكل غير صحيح أو كان هناك خطأ مطبعي في المهمة.
بعد ذلك نجد الجذور: 
هكذا:
الجميع. تم تحليل البسط.
القاسم. المقام هو بالفعل أبسط عامل، ولا توجد طريقة لتبسيطه.
ومن الواضح أنه يمكن اختصارها إلى:
الآن نعوض بـ -1 في التعبير الذي يبقى تحت علامة الحد:
وبطبيعة الحال، في الاختبار أو الاختبار أو الامتحان، لا يتم كتابة الحل أبدًا بمثل هذه التفاصيل. في النسخة النهائية، يجب أن يبدو التصميم كما يلي:
دعونا نحلل البسط. 
مثال 5
حساب الحد 
أولاً، النسخة "النهائية" من الحل
دعونا نحلل البسط والمقام.
البسط:
القاسم: 
, 
ما هو المهم في هذا المثال؟
أولاً، يجب أن يكون لديك فهم جيد لكيفية ظهور البسط، أولاً أخرجنا 2 من الأقواس، ثم استخدمنا صيغة الفرق بين المربعات. هذه هي الصيغة التي تحتاج إلى معرفتها ورؤيتها.
توصية: إذا كان من الممكن في أي حد (من أي نوع تقريبًا) إخراج رقم من الأقواس، فإننا نفعل ذلك دائمًا.
علاوة على ذلك، يُنصح بنقل هذه الأرقام إلى ما هو أبعد من رمز الحد. لماذا؟ نعم، فقط حتى لا يعيقوا الطريق. الشيء الرئيسي هو عدم فقدان هذه الأرقام لاحقًا أثناء الحل.
يرجى ملاحظة أنه في المرحلة النهائية من الحل، قمت بإزالة الاثنين من أيقونة الحد، ثم الطرح.
! مهم
أثناء الحل، يحدث جزء من النوع في كثير من الأحيان. تقليل هذا الكسرإنه ممنوع
. تحتاج أولاً إلى تغيير إشارة البسط أو المقام (ضع -1 بين قوسين).
أي تظهر علامة الطرح التي تؤخذ في الاعتبار عند حساب الحد ولا داعي لفقدها على الإطلاق.
بشكل عام، لاحظت أنه في أغلب الأحيان، عند العثور على حدود من هذا النوع، يتعين عليك حل معادلتين من الدرجة الثانية، أي أن كلا من البسط والمقام يحتويان على ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية.
طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق
نواصل النظر في عدم اليقين في النموذج
النوع التالي من الحدود مشابه للنوع السابق. الشيء الوحيد، بالإضافة إلى كثيرات الحدود، سنضيف الجذور.
مثال 6
العثور على الحد 
لنبدأ في اتخاذ القرار.
نحاول أولًا التعويض بـ 3 في التعبير الموجود أسفل علامة الحد
أكرر مرة أخرى - هذا هو أول شيء عليك القيام به لأي حد. عادة ما يتم تنفيذ هذا الإجراء عقليًا أو في شكل مسودة.
تم الحصول على عدم اليقين في النموذج الذي يجب إزالته. 
كما لاحظت على الأرجح، يحتوي البسط على الفرق بين الجذور. ومن المعتاد في الرياضيات التخلص من الجذور إن أمكن. لماذا؟ والحياة أسهل بدونهم.
لقد اكتشفنا الوظائف الأولية الأساسية.
عند الانتقال إلى وظائف من نوع أكثر تعقيدًا، سنواجه بالتأكيد ظهور تعبيرات لم يتم تعريف معناها. تسمى هذه التعبيرات عدم اليقين.
دعونا قائمة كل شيء الأنواع الرئيسية من عدم اليقين: صفر مقسوم على صفر (0 على 0)، ما لا نهاية مقسوم على ما لا نهاية، صفر مضروب في ما لا نهاية، ما لا نهاية ناقص ما لا نهاية، واحد أس ما لا نهاية، صفر أس صفر، ما لا نهاية أس صفر.
جميع التعبيرات الأخرى عن عدم اليقين ليست كذلك وتأخذ قيمة محددة أو لا نهائية محددة تمامًا.
كشف عدم اليقينيسمح:
- تبسيط نوع الوظيفة (تحويل التعبيرات باستخدام صيغ الضرب المختصرة، والصيغ المثلثية، والضرب بالتعبيرات المترافقة متبوعًا بالتخفيض، وما إلى ذلك)؛
- استخدام الحدود الملحوظة؛
- تطبيق قاعدة لوبيتال.
- باستخدام استبدال تعبير متناهية الصغر بما يعادله (باستخدام جدول متناهية الصغر المكافئة).
دعونا تجميع الشكوك في جدول عدم اليقين. لكل نوع من أنواع عدم اليقين نربط طريقة للإفصاح عنه (طريقة إيجاد الحد).
سيكون هذا الجدول، بالإضافة إلى جدول حدود الوظائف الأولية الأساسية، أدواتك الرئيسية للعثور على أي حدود.
دعونا نعطي بضعة أمثلة عندما يعمل كل شيء مباشرة بعد استبدال القيمة ولا ينشأ عدم اليقين.
مثال.
حساب الحد 
حل.
استبدل القيمة: 
وقد تلقينا إجابة على الفور.
إجابة:
مثال.
حساب الحد 
حل.
نعوض بالقيمة x=0 في أساس دالة القوة الأسية: 
وهذا يعني أنه يمكن إعادة كتابة الحد كـ 
الآن دعونا نلقي نظرة على المؤشر. هذه هي وظيفة السلطة. دعونا ننتقل إلى جدول النهايات لدوال الطاقة ذات الأس السالب. من هناك لدينا 
و 
لذلك يمكننا أن نكتب 
.
وبناء على ذلك، سيتم كتابة الحد لدينا على النحو التالي: 
ننتقل مرة أخرى إلى جدول النهايات، ولكن بالنسبة للدوال الأسية ذات الأساس الأكبر من الواحد، والتي لدينا منها:
إجابة:
دعونا نلقي نظرة على الأمثلة مع الحلول التفصيلية كشف الشكوك عن طريق تحويل التعبيرات.
في كثير من الأحيان يحتاج التعبير الموجود أسفل علامة الحد إلى تحويل طفيف للتخلص من الشكوك.
مثال.
حساب الحد
حل.
استبدل القيمة: 
لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. نحن ننظر إلى جدول عدم اليقين لتحديد طريقة الحل. دعونا نحاول تبسيط التعبير. 
إجابة:
مثال.
حساب الحد 
حل.
استبدل القيمة: 
وصلنا إلى عدم اليقين (0 إلى 0). ننظر إلى جدول الشك لاختيار طريقة الحل ومحاولة تبسيط التعبير. دعونا نضرب كلاً من البسط والمقام في التعبير المرافق للمقام.
بالنسبة للمقام سيكون التعبير المترافق 
لقد قمنا بضرب المقام حتى نتمكن من تطبيق صيغة الضرب المختصرة - فرق المربعات ثم تقليل التعبير الناتج. 
وبعد سلسلة من التحولات، اختفت حالة عدم اليقين.
إجابة:
تعليق:بالنسبة للحدود من هذا النوع، تعتبر طريقة الضرب بالتعبيرات المترافقة نموذجية، لذا لا تتردد في استخدامها.
مثال.
حساب الحد 
حل.
استبدل القيمة: 
لقد وصلنا إلى حالة من عدم اليقين. ننظر إلى جدول الشك لاختيار طريقة الحل ومحاولة تبسيط التعبير. بما أن كلا من البسط والمقام يختفيان عند x = 1، فإذا كان من الممكن تقليل هذه التعبيرات (x-1) فسوف تختفي حالة عدم اليقين.
دعونا نحلل البسط: 
دعونا نحلل المقام: 
الحد الخاص بنا سوف يأخذ الشكل: 
بعد التحول، تم الكشف عن عدم اليقين.
إجابة:
دعونا نفكر في الحدود عند اللانهاية من تعبيرات القوة. إذا كانت أسس تعبير القوة موجبة، فإن النهاية عند اللانهاية تكون لا نهائية. علاوة على ذلك، فإن الدرجة الأكبر لها أهمية أساسية؛ ويمكن التخلص من الباقي.
مثال.
مثال.
إذا كان التعبير الموجود تحت علامة النهاية عبارة عن كسر، وكان كل من البسط والمقام عبارة عن تعبيرات قوة (m هي قوة البسط، و n هي قوة المقام)، فعندئذ عند عدم اليقين من الشكل ما لا نهاية إلى ما لا نهاية ينشأ، في هذه الحالة تم الكشف عن عدم اليقينبتقسيم كل من البسط والمقام
مثال.
حساب الحد 
الوظائف الأولية والرسوم البيانية الخاصة بها.
الدوال الأولية الرئيسية هي: دالة القوة، والدالة الأسية، والدالة اللوغاريتمية، والدوال المثلثية، والدوال المثلثية العكسية، بالإضافة إلى دالة كثيرة الحدود والدالة العقلانية، وهي النسبة بين كثيرتي الحدود.
تشمل الوظائف الأولية أيضًا تلك الوظائف التي يتم الحصول عليها من الوظائف الأولية من خلال تطبيق العمليات الحسابية الأربع الأساسية وتشكيل دالة معقدة.
الرسوم البيانية للوظائف الأولية
| خط مستقيم- رسم بياني لوظيفة خطية ص = الفأس + ب. تزيد الدالة y بشكل رتيب لـ a > 0 وتتناقص لـ a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность) | |
| القطع المكافئ- الرسم البياني للدالة الثلاثية التربيعية ص = الفأس 2 + ب س + ج. لديها محور التماثل العمودي. إذا كان a> 0، فإن لديه الحد الأدنى إذا كان a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения الفأس 2 + ب س + ج = 0 | |
 | القطع الزائد- الرسم البياني للوظيفة. عندما يكون a > O يقع في الربعين الأول والثالث، عندما يكون a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) أو ص - - س (أ< 0). |
 | الدالة الأسية. عارض(الدالة الأسية للقاعدة e) ص = ه س. (إملاء آخر ص = إكسب (خ)). الخط المقارب هو محور الإحداثي. |
 | الدالة اللوغاريتمية y = log a x(أ > 0) |
 | ص = سينكس. موجة جيبية- دالة دورية بالدورة T = 2π |
حد الوظيفة.
تحتوي الدالة y=f(x) على الرقم A كحد حيث يميل x إلى a، إذا كان لأي رقم ε › 0 رقم δ › 0 بحيث | ذ – أ | ‹ ε إذا |x - a| ‹ δ،
أو ليم ص = أ
استمرارية الوظيفة.
الدالة y=f(x) متصلة عند النقطة x = a if lim f(x) = f(a)، أي.
نهاية الدالة عند نقطة x = a تساوي قيمة الدالة عند نقطة معينة.
العثور على حدود الوظائف.
النظريات الأساسية حول حدود الوظائف.
1. نهاية القيمة الثابتة تساوي هذه القيمة الثابتة:
2. نهاية المجموع الجبري تساوي المجموع الجبري لحدود هذه الدوال:
ليم (f + g - h) = lim f + lim g - lim h
3. حد حاصل ضرب عدة دوال يساوي حاصل ضرب حدود هذه الدوال:
ليم (f * g* h) = lim f * lim g * lim h
4. نهاية خارج قسمة دالتين يساوي خارج قسمة حدود هذه الوظائف إذا كانت نهاية المقام لا تساوي 0:
ليم------- = ----------
الحد الملحوظ الأول: lim --------- = 1
الحد الملحوظ الثاني: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)
أمثلة على إيجاد حدود الدوال
5.1. مثال:
يتكون أي حد من ثلاثة أجزاء:
1) أيقونة الحد المعروفة.
2) الإدخالات تحت رمز الحد. يقرأ الإدخال "X يميل إلى واحد". غالبًا ما يكون x، على الرغم من أنه بدلاً من "x" يمكن أن يكون هناك أي متغير آخر. بدلاً من الواحد يمكن أن يكون هناك أي رقم على الإطلاق، بالإضافة إلى اللانهاية 0 أو .
3) وظائف تحت علامة الحد، في هذه الحالة.
التسجيل نفسه يقرأ مثل هذا: "نهاية الدالة حيث أن x تميل إلى الوحدة."
سؤال مهم جداً - ماذا تعني عبارة "x"؟ يسعىإلى واحد"؟ التعبير "x" يسعىإلى واحد" يجب أن يُفهم على النحو التالي: "x" تأخذ القيم باستمرار التي تقترب من الوحدة بشكل لا نهائي وتتوافق معها عمليا.
كيفية حل المثال أعلاه؟ بناءً على ما سبق، كل ما عليك فعله هو استبدال واحد في الدالة الموجودة أسفل علامة الحد:
لذا فإن القاعدة الأولى : عند إعطاء حد، ما عليك سوى إدخال الرقم في الوظيفة أولاً.
5.2. مثال مع ما لا نهاية:
دعونا معرفة ما هو؟ وهذا هو الحال عندما يزيد بلا حدود.
إذن: إذا ، ثم الدالة يميل إلى ناقص اللانهاية:
وفقًا للقاعدة الأولى، بدلًا من "X" نعوض في الدالة اللانهاية ونحصل على الجواب.
5.3. مثال آخر مع اللانهاية:
مرة أخرى نبدأ في الزيادة إلى ما لا نهاية، وننظر إلى سلوك الوظيفة.
الخلاصة: الدالة تزداد بشكل غير محدود
5.4. سلسلة من الأمثلة:
حاول أن تحلل الأمثلة التالية ذهنياً بنفسك وتحل أبسط أنواع الحدود:
, , , , 
, , , , 
,
ما الذي تحتاج إلى تذكره وفهمه مما سبق؟
عند إعطاء أي حد، قم أولاً بتوصيل الرقم في الوظيفة. وفي الوقت نفسه، يجب عليك فهم أبسط الحدود وحلها على الفور، مثل , , إلخ.
6. حدود عدم التأكد من النوع وطريقة حلها.
الآن سننظر في مجموعة النهايات، والدالة عبارة عن كسر يحتوي بسطه ومقامه على كثيرات الحدود.
6.1. مثال:
حساب الحد 
وفقًا لقاعدتنا، نحاول التعويض بما لا نهاية في الدالة. ماذا نحصل في الأعلى؟ إنفينيتي. وماذا يحدث أدناه؟ أيضا اللانهاية. وهكذا، لدينا ما يسمى عدم اليقين الأنواع. قد يعتقد المرء أن = 1، والإجابة جاهزة، ولكن في الحالة العامة ليس هذا هو الحال على الإطلاق، وتحتاج إلى تطبيق بعض تقنيات الحل، والتي سننظر فيها الآن.
كيفية حل الحدود من هذا النوع؟
أولاً ننظر إلى البسط ونجد القوة الأعلى: 
القوة الرائدة في البسط هي اثنان.
الآن ننظر إلى المقام ونجده أيضًا بأعلى قوة: 
أعلى درجة للمقام هي اثنان.
ثم نختار أعلى قوة للبسط والمقام: في هذا المثال، هما متساويان ويساويان اثنين.
لذا فإن طريقة الحل هي كما يلي: للكشف عن عدم اليقين تحتاج إلى تقسيم البسط والمقام في الدرجة العليا.
وبالتالي فإن الجواب ليس 1.
مثال
العثور على الحد 
مرة أخرى في البسط والمقام نجد في أعلى درجة:
الدرجة القصوى في البسط: 3
الحد الأقصى لدرجة المقام: 4
يختار أعظمالقيمة، في هذه الحالة أربعة.
وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا، للكشف عن عدم اليقين، نقسم البسط والمقام على .
مثال
العثور على الحد 
الحد الأقصى لدرجة "X" في البسط: 2
الحد الأقصى لدرجة "X" في المقام: 1 (يمكن كتابتها كـ)
للكشف عن عدم اليقين، فمن الضروري قسمة البسط والمقام على . قد يبدو الحل النهائي كما يلي:
قسمة البسط والمقام على
تحتاج إلى تحليل البسط والمقام
الآن نعوض بـ -1 في التعبير الذي يبقى تحت علامة الحد:
مثال
حساب الحد 
أولًا، النسخة "البلوطية" من الحل، لنعوض بـ x=2:
دعونا نحلل البسط والمقام.
البسط:
القاسم: 
, 
عند حساب الحدود، ينبغي للمرء أن يأخذ في الاعتبار القواعد الأساسية التالية:
1. نهاية مجموع (فرق) الدوال يساوي مجموع (فرق) حدود الحدود:
2. نهاية منتج الدوال يساوي منتج حدود العوامل:
3. حد النسبة بين دالتين يساوي نسبة حدود هذه الدوال:
.
4. يمكن أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد:
.
5. نهاية الثابت تساوي الثابت نفسه:
6. بالنسبة للوظائف المستمرة، يمكن تبديل رموز الحد والوظيفة:
.
يجب أن يبدأ العثور على نهاية الدالة عن طريق استبدال القيمة في تعبير الدالة. علاوة على ذلك، إذا تم الحصول على القيمة العددية 0 أو ¥، فقد تم العثور على الحد المطلوب.
مثال 2.1.احسب الحد.
حل.
.
تسمى التعبيرات من النموذج , , , عدم اليقين.
إذا حصلت على عدم يقين في النموذج، للعثور على النهاية التي تحتاجها لتحويل الدالة للكشف عن عدم اليقين هذا.
عادةً ما يتم الحصول على عدم اليقين في الشكل عند تحديد حد النسبة بين كثيرتي الحدود. في هذه الحالة، لحساب النهاية، يوصى بتحليل كثيرات الحدود وتقليلها بعامل مشترك. هذا المضاعف هو صفر عند القيمة الحدية X .
مثال 2.2.احسب الحد.
حل.
بالتعويض نحصل على عدم اليقين:
.
دعونا نحلل البسط والمقام:
;
دعونا نختصر بعامل مشترك ونحصل على
يتم الحصول على عدم اليقين في النموذج عندما يتم إعطاء حد نسبة اثنين من كثيرات الحدود عند . في هذه الحالة، لحسابها، يوصى بتقسيم كل من كثيرات الحدود على X في الدرجة العليا.
مثال 2.3.احسب الحد.
حل.عند التعويض بـ ∞، نحصل على عدم يقين في الشكل، لذلك نقسم جميع حدود التعبير على × 3.
.
ويراعى هنا أن .
عند حساب حدود دالة تحتوي على جذور، يوصى بضرب الدالة وتقسيمها على مرافقها.
مثال 2.4.حساب الحد
حل.
عند حساب النهايات للكشف عن عدم اليقين في الشكل أو (1) ∞، غالباً ما يتم استخدام الحدين الملحوظين الأول والثاني:
العديد من المشاكل المرتبطة بالنمو المستمر لبعض الكمية تؤدي إلى الحد الثاني الملحوظ.
دعونا نفكر في مثال Ya. I. Perelman، مع إعطاء تفسير للرقم هفي مسألة الفائدة المركبة. في بنوك الادخار، يتم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت سنويا. إذا تم الانضمام في كثير من الأحيان، فإن رأس المال ينمو بشكل أسرع، حيث يشارك مبلغ أكبر في تكوين الفائدة. لنأخذ مثالًا نظريًا بحتًا ومبسطًا للغاية.
دع 100 منكر تودع في البنك. وحدات على أساس 100% سنويا. إذا تمت إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت فقط بعد عام، فبحلول هذه الفترة 100 دن. وحدات سوف تتحول إلى 200 وحدة نقدية.
الآن دعونا نرى ما سيتحول إليه 100 إنكار. وحدات، إذا تم إضافة أموال الفائدة إلى رأس المال الثابت كل ستة أشهر. وبعد ستة أشهر 100 دن. وحدات سوف تنمو بمقدار 100 × 1.5 = 150، وبعد ستة أشهر أخرى - بمقدار 150 × 1.5 = 225 (دن. وحدة). إذا تم الانضمام كل ثلث العام، فبعد عام 100 دن. وحدات سوف يتحول إلى 100 × (1 +1/3) 3 "237 (وحدات دن).
سنزيد شروط إضافة أموال الفائدة إلى 0.1 سنة، وحتى 0.01 سنة، وحتى 0.001 سنة، وما إلى ذلك. ثم من أصل 100 دن. وحدات وبعد عام يصبح:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (الوحدات)،
100 × (1+1/100) 100 » 270 (الوحدات)،
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (الوحدات).
ومع التخفيض غير المحدود في شروط إضافة الفائدة، فإن رأس المال المتراكم لا ينمو إلى أجل غير مسمى، بل يقترب من حد معين يساوي 271 تقريبًا. ولا يمكن لرأس المال المودع بنسبة 100% سنويًا أن يزيد بأكثر من 2.71 مرة، حتى لو كانت الفائدة المستحقة تمت إضافتها إلى العاصمة كل ثانية فقط بسبب
مثال 2.5.احسب نهاية الدالة
حل.
مثال 2.6.احسب نهاية الدالة 
.
حل.استبدال نحصل على عدم اليقين:
.
باستخدام الصيغة المثلثية، نحول البسط إلى حاصل الضرب:
ونتيجة لذلك نحصل
وهنا يؤخذ في الاعتبار الحد الثاني الملحوظ.
مثال 2.7.احسب نهاية الدالة
حل.
.
للكشف عن عدم اليقين في النموذج أو، يمكنك استخدام قاعدة L'Hopital، والتي تعتمد على النظرية التالية.
نظرية.نهاية النسبة بين دالتين متناهيتين في الصغر أو كبيرتين بشكل لا نهائي يساوي نهاية النسبة بين مشتقاتهما
لاحظ أنه يمكن تطبيق هذه القاعدة عدة مرات متتالية.
مثال 2.8.يجد
حل.عند الاستبدال، لدينا عدم اليقين في النموذج. وبتطبيق قاعدة لوبيتال نحصل على
استمرارية الوظيفة
خاصية مهمة للوظيفة هي الاستمرارية.
تعريف.تعتبر الوظيفة مستمر، إذا كان التغيير الطفيف في قيمة الوسيطة يستلزم تغييرًا صغيرًا في قيمة الدالة.
رياضيا يتم كتابة هذا على النحو التالي: متى 
ويقصد بـ و زيادة المتغيرات، أي الفرق بين القيم اللاحقة والسابقة: ، (الشكل 2.3)
 الشكل 2.3 - زيادة المتغيرات |
من تعريف الدالة المستمرة عند النقطة يتبع ذلك 
. وهذه المساواة تعني توافر ثلاثة شروط: 
حل.للوظيفة النقطة مشبوهة بالنسبة للانقطاع، دعونا نتحقق من ذلك ونجد الحدود من جانب واحد
لذلك، 
، وسائل - نقطة الاستراحة
مشتق من وظيفة