يتم تحديد قوس الزاوية المركزية. الزوايا في دائرة مركزية ومنقوشة

\[(\Large(\text(الزوايا المركزية والزوايا المحيطية)))\]

تعريفات

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة.

الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على دائرة.

قياس درجة قوس الدائرة هو قياس درجة الزاوية المركزية المقابلة لها.

نظرية

قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس درجة القوس الذي تقع عليه.

دليل

وسنجري البرهان على مرحلتين: أولا، سنثبت صحة القول في الحالة التي يكون فيها أحد أضلاع الزاوية المحيطية قطرا. لتكن النقطة \(B\) هي رأس الزاوية المحيطية \(ABC\) و \(BC\) هي قطر الدائرة:

المثلث \(AOB\) متساوي الساقين، \(AO = OB\) ، \(\angle AOC\) خارجي، إذن \(\الزاوية AOC = \الزاوية OAB + \الزاوية ABO = 2\الزاوية ABC\)، أين \(\الزاوية ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

الآن فكر في زاوية منقوشة عشوائية \(ABC\) . لنرسم قطر الدائرة \(BD\) من رأس الزاوية المحيطية. هناك نوعان من الحالات الممكنة:

1) يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين \(\angle ABD, \angle CBD\) (لكل منهما النظرية صحيحة كما هو موضح أعلاه، وبالتالي فهي صحيحة أيضًا بالنسبة للزاوية الأصلية، وهي مجموع هذه اثنان وبالتالي يساوي نصف مجموع الأقواس التي ترتكز عليها، أي يساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه). أرز. 1.

2) لم يقطع القطر الزاوية إلى زاويتين، فلدينا زاويتان منقوشتان جديدتان \(\angle ABD، \angle CBD\)، يحتوي جانبهما على القطر، وبالتالي فإن النظرية صحيحة بالنسبة لهما، إذن ينطبق أيضًا على الزاوية الأصلية (التي تساوي الفرق بين هاتين الزاويتين، مما يعني أنها تساوي نصف الفرق بين الأقواس التي ترتكز عليها، أي تساوي نصف القوس الذي ترتكز عليه) . أرز. 2.

عواقب

1. الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

2. الزاوية المحيطية المقابلة لنصف دائرة هي زاوية قائمة.

3. الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المقابلة لنفس القوس.

\[(\Large(\text( مماس الدائرة)))\]

تعريفات

هناك ثلاثة أنواع من المواضع النسبية للخط والدائرة:

1) الخط المستقيم \(أ\) يقطع الدائرة في نقطتين. يسمى هذا الخط بالخط القاطع. في هذه الحالة تكون المسافة \(d\) من مركز الدائرة إلى الخط المستقيم أقل من نصف قطر \(R\) الدائرة (الشكل 3).

2) الخط المستقيم \(ب\) يقطع الدائرة عند نقطة واحدة. يسمى هذا الخط المماس، وتسمى النقطة المشتركة بينهما \(B\) نقطة التماس. في هذه الحالة \(d=R\) (الشكل 4).

نظرية

1. مماس الدائرة يكون عمودياً على نصف القطر المرسوم لنقطة التماس.

2. إذا مر مستقيم بنهاية نصف قطر الدائرة وكان عمودياً على نصف القطر هذا فإنه مماس للدائرة.

عاقبة

قطع المماس المرسومة من نقطة واحدة إلى الدائرة متساوية.

دليل

دعونا نرسم مماسين \(KA\) و \(KB\) للدائرة من النقطة \(K\):

هذا يعني أن \(OA\perp KA, OB\perp KB\) يشبه نصف القطر. المثلثان القائمان \(\triangle KAO\) و \(\triangle KBO\) متساويان في الساق والوتر، وبالتالي \(KA=KB\) .

عاقبة

يقع مركز الدائرة \(O\) على منصف الزاوية \(AKB\) المكونة من مماسين مرسومين من نفس النقطة \(K\) .

\[(\Large(\text(نظريات متعلقة بالزوايا))))\]

نظرية الزاوية بين القاطعات

الزاوية بين قاطعين مرسومين من نفس النقطة تساوي نصف الفرق في درجات الأقواس الأكبر والأصغر التي قطعوها.

دليل

اجعل \(M\) هي النقطة التي يتم رسم قاطعين منها كما هو موضح في الشكل:

دعونا نظهر ذلك \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) هي الزاوية الخارجية للمثلث \(MAD\)، إذن \(\زاوية DAB = \زاوية DMB + \زاوية MDA\)، أين \(\زاوية DMB = \زاوية DAB - \زاوية MDA\)، لكن الزوايا \(\angle DAB\) و \(\angle MDA\) مدرجة، إذن \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\)، وهو ما كان يحتاج إلى إثبات.

نظرية الزاوية بين الأوتار المتقاطعة

الزاوية بين وترين متقاطعين تساوي نصف مجموع درجات الأقواس التي يقطعونها: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

دليل

\(\angle BMA = \angle CMD\) بشكل عمودي.

من المثلث \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

لكن \(\زاوية AMD = 180^\circ - \زاوية CMD\)، ومنه نستنتج ذلك \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ ابتسم\فوق(قرص مضغوط)).\]

نظرية الزاوية بين الوتر والظل

الزاوية بين المماس والوتر المار بنقطة التماس تساوي نصف درجة قياس القوس المقابل للوتر.

دليل

دع الخط المستقيم \(a\) يلامس الدائرة عند النقطة \(A\)، \(AB\) هو وتر هذه الدائرة، \(O\) هو مركزها. دع السطر الذي يحتوي على \(OB\) يتقاطع مع \(a\) عند النقطة \(M\) . دعونا نثبت ذلك \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

دعنا نشير إلى \(\angle OAB = \alpha\) . بما أن \(OA\) و\(OB\) هما أنصاف أقطار، فإن \(OA = OB\) و \(\زاوية OBA = \زاوية OAB = \alpha\). هكذا، \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

نظرًا لأن \(OA\) هو نصف القطر المرسوم إلى نقطة الظل، فإن \(OA\perp a\)، أي \(\angle OAM = 90^\circ\)، لذلك، \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

نظرية الأقواس التي تقابلها أوتار متساوية

الأوتار المتساوية تقابل أقواسًا متساوية أصغر من نصف الدائرة.

والعكس صحيح: الأقواس المتساوية تقابلها أوتار متساوية.

دليل

1) دع \(AB=CD\) . دعونا نثبت أن نصف الدائرة أصغر من القوس .

من ثلاث جهات، \(\angle AOB=\angle COD\) . ولكن \(\angle AOB, \angle COD\) - الزوايا المركزية المدعومة بأقواس \(\buildrel\smile\over(AB)، \buildrel\smile\over(CD)\)وفقا لذلك، ثم \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) إذا \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\)، الذي - التي \(\مثلث AOB=\مثلث COD\)على الجانبين \(AO=BO=CO=DO\) والزاوية بينهما \(\angle AOB=\angle COD\) . لذلك، و \(AB=CD\) .

نظرية

إذا كان نصف القطر ينصف الوتر، فهو عمودي عليه.

والعكس صحيح أيضًا: إذا كان نصف القطر عموديًا على الوتر، فإنه عند نقطة التقاطع ينصفه.

دليل

1) دع \(AN=NB\) . دعونا نثبت أن \(OQ\perp AB\) .

ضع في اعتبارك \(\مثلث AOB\): إنه متساوي الساقين، لأنه \(OA=OB\) – نصف قطر الدائرة. لأن \(ON\) هو الوسيط المرسوم على القاعدة، وهو أيضًا الارتفاع، وبالتالي \(ON\perp AB\) .

2) دع \(OQ\perp AB\) . دعونا نثبت أن \(AN=NB\) .

وبالمثل، \(\triangle AOB\) متساوي الساقين، \(ON\) هو الارتفاع، وبالتالي، \(ON\) هو الوسيط. ولذلك، \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(النظريات المتعلقة بأطوال المقاطع))))\]

نظرية منتج قطع الوتر

إذا تقاطع وتران من دائرة، فإن حاصل ضرب قطعتي الوتر الواحد يساوي حاصل ضرب قطعتي الوتر الآخر.

دليل

دع الوترين \(AB\) و \(CD\) يتقاطعان عند النقطة \(E\) .

خذ بعين الاعتبار المثلثين \(ADE\) و \(CBE\) . في هذه المثلثات، الزاويتان \(1\) و \(2\) متساويتان، حيث أنهما محصورتان وتقعان على نفس القوس \(BD\)، والزاويتان \(3\) و \(4\) متساويتان كعمودي. المثلثان \(ADE\) و \(CBE\) متشابهان (استنادًا إلى المعيار الأول لتشابه المثلثات).

ثم \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\)، منها \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

نظرية الظل والقاطع

مربع قطعة المماس يساوي حاصل ضرب القاطع وجزءه الخارجي.

دليل

دع المماس يمر عبر النقطة \(M\) ثم المس الدائرة عند النقطة \(A\) . دع القاطع يمر عبر النقطة \(M\) ويتقاطع مع الدائرة عند النقطتين \(B\) و \(C\) بحيث يصبح \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

خذ بعين الاعتبار المثلثين \(\MBA\) و\(MCA\) : \(\angle M\) شائعان، \(\زاوية BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). وفقا لنظرية الزاوية بين المماس والقاطع، \(\زاوية BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \زاوية BCA\). وبالتالي فإن المثلثين \(MBA\) و\(MCA\) متشابهان في زاويتين.

من تشابه المثلثين \(MBA\) و \(MCA\) لدينا: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\)، وهو ما يعادل \(MB\cdot MC = MA^2\) .

عاقبة

حاصل ضرب القاطع المرسوم من النقطة \(O\) بجزئه الخارجي لا يعتمد على اختيار القاطع المرسوم من النقطة \(O\) .

اليوم سننظر إلى نوع آخر من المشاكل 6 - هذه المرة بدائرة. كثير من الطلاب لا يحبونها ويجدونها صعبة. وعبثا تماما، حيث يتم حل مثل هذه المشاكل ابتدائي، إذا كنت تعرف بعض النظريات. أو أنهم لا يجرؤون على الإطلاق إذا كنت لا تعرفهم.

قبل الحديث عن الخصائص الرئيسية، اسمحوا لي أن أذكركم بالتعريف:

الزاوية المحيطية هي التي يقع رأسها على الدائرة نفسها، ويقطع ضلعاها وتراً في هذه الدائرة.

الزاوية المركزية هي أي زاوية يقع رأسها في مركز الدائرة. كما تتقاطع جوانبها مع هذه الدائرة وتنحت عليها وترًا.

لذا، فإن مفاهيم الزوايا المنقوشة والمركزية ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالدائرة والأوتار الموجودة بداخلها. والآن البيان الرئيسي:

نظرية. الزاوية المركزية تكون دائمًا ضعف الزاوية المحيطية، بناءً على نفس القوس.

على الرغم من بساطة العبارة، إلا أن هناك فئة كاملة من المسائل 6 التي يمكن حلها باستخدامها - ولا شيء غير ذلك.

مهمة. أوجد زاوية محيطية حادة يقابلها وتر يساوي نصف قطر الدائرة.

ليكن AB هو الوتر المعني، يا مركز الدائرة. بناء إضافي: OA وOB هما نصف قطر الدائرة. نحن نحصل:

النظر في المثلث ABO. فيه AB = OA = OB - جميع الجوانب تساوي نصف قطر الدائرة. وبالتالي فإن المثلث ABO متساوي الأضلاع، وجميع زواياه قياسها 60 درجة.

دع M يكون رأس الزاوية المحيطية. بما أن الزاويتين O وM تقعان على نفس القوس AB، فإن الزاوية المحيطية M أصغر مرتين من الزاوية المركزية O. لدينا:

م = س: 2 = 60: 2 = 30

مهمة. الزاوية المركزية أكبر بمقدار 36 درجة من الزاوية المحيطية المقابلة لنفس قوس الدائرة. أوجد الزاوية المحيطية.

دعونا نقدم التدوين التالي:

1. AB هو وتر الدائرة؛
2. النقطة O هي مركز الدائرة، وبالتالي فإن الزاوية AOB هي الزاوية المركزية؛
3. النقطة C هي رأس الزاوية المحيطية ACB.

وبما أننا نبحث عن الزاوية المحيطية ACB، فلنرمز لها ACB = x. فالزاوية المركزية AOB هي x + 36. ومن ناحية أخرى، الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية. لدينا:

AOB = 2 · ACB ;
س + 36 = 2 س ;
س = 36.

لذلك وجدنا الزاوية المحيطية AOB - وتساوي 36 درجة.

الدائرة هي زاوية قياسها 360 درجة

بعد قراءة العنوان الفرعي، من المحتمل أن يقول القراء المطلعون الآن: "آه!" في الواقع، مقارنة الدائرة بزاوية ليست صحيحة تمامًا. لفهم ما نتحدث عنه، قم بإلقاء نظرة على الدائرة المثلثية الكلاسيكية:

ما هي هذه الصورة ل؟ علاوة على ذلك، فإن الدوران الكامل هو زاوية قياسها 360 درجة. وإذا قمت بتقسيمها، على سبيل المثال، إلى 20 جزءًا متساويًا، فسيكون حجم كل منها 360: 20 = 18 درجة. هذا هو بالضبط ما هو مطلوب لحل المشكلة B8.

تقع النقاط A وB وC على الدائرة وتقسمها إلى ثلاثة أقواس، تكون قياسات درجاتها بنسبة 1: 3: 5. أوجد الزاوية الكبرى للمثلث ABC.

أولاً، دعونا نوجد قياس درجة كل قوس. دع الأصغر يكون x. في الشكل تم تحديد هذا القوس بـ AB. ثم يمكن التعبير عن الأقواس المتبقية - BC وAC - بدلالة AB: arc BC = 3x؛ التيار المتردد = 5x. في المجمل، تعطي هذه الأقواس 360 درجة:

أب + ق + أس = 360؛
س + 3س + 5س = 360؛
9س = 360؛
س = 40.

الآن فكر في قوس AC كبير لا يحتوي على النقطة B. هذا القوس، مثل الزاوية المركزية المقابلة AOC، هو 5x = 5 40 = 200 درجة.

الزاوية ABC هي الأكبر بين جميع زوايا المثلث. وهي زاوية محيطة يقابلها نفس قوس الزاوية المركزية AOC. وهذا يعني أن الزاوية ABC أقل مرتين من الزاوية AOC. لدينا:

ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100

سيكون هذا هو قياس درجة الزاوية الأكبر في المثلث ABC.

دائرة محاطة بمثلث قائم الزاوية

كثير من الناس ينسون هذه النظرية. ولكن عبثا، لأن بعض مشاكل B8 لا يمكن حلها على الإطلاق بدونها. بتعبير أدق، يتم حلها، ولكن مع مثل هذا الحجم من الحسابات التي تفضل النوم بدلا من الوصول إلى الإجابة.

نظرية. يقع مركز الدائرة المحاطة بمثلث قائم الزاوية عند منتصف الوتر.

ما يلي من هذه النظرية؟

1. تكون نقطة منتصف الوتر متساوية البعد عن جميع رؤوس المثلث. هذه نتيجة مباشرة للنظرية؛
2. الوسيط المرسوم على الوتر يقسم المثلث الأصلي إلى مثلثين متساويين الساقين. هذا هو بالضبط ما هو مطلوب لحل المشكلة B8.

في المثلث ABC نرسم القرص المضغوط المتوسط. الزاوية C قياسها 90 درجة والزاوية B قياسها 60 درجة. أوجد الزاوية ACD

بما أن الزاوية C قياسها 90 درجة، فإن المثلث ABC مثلث قائم الزاوية. وتبين أن CD هو الوسيط المرسوم على الوتر. وهذا يعني أن المثلثين ADC وBDC متساوي الساقين.

على وجه الخصوص، النظر في المثلث ADC. فيه م = CD. لكن في المثلث المتساوي الساقين، تكون الزوايا عند القاعدة متساوية - راجع "المشكلة ب8: القطع المستقيمة والزوايا في المثلثات". وبالتالي فإن الزاوية المطلوبة ACD = A.

لذا، يبقى معرفة ما تساويه الزاوية A. للقيام بذلك، دعونا ننتقل مرة أخرى إلى المثلث الأصلي ABC. لنشير إلى الزاوية A = x. بما أن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة، فإننا:

أ + ب + بي سي إيه = 180؛
س + 60 + 90 = 180؛
س = 30.

وبطبيعة الحال، يمكن حل المشكلة الأخيرة بشكل مختلف. على سبيل المثال، من السهل إثبات أن المثلث BCD ليس مجرد متساوي الساقين، بل متساوي الأضلاع. إذن الزاوية BCD هي 60 درجة. ومن ثم فإن الزاوية ACD هي 90 - 60 = 30 درجة. كما ترون، يمكنك استخدام مثلثات مختلفة متساوية الساقين، ولكن الإجابة ستكون هي نفسها دائمًا.

قياس المساحة هو فرع من فروع الهندسة يدرس خصائص الأشكال المستوية. ولا تشمل هذه المثلثات والمربعات والمستطيلات المعروفة فحسب، بل تتضمن أيضًا الخطوط المستقيمة والزوايا. في علم القياس، هناك أيضًا مفاهيم مثل الزوايا في الدائرة: مركزية ومنقوشة. لكن ماذا يقصدون؟

ما هي الزاوية المركزية؟

لكي تفهم ما هي الزاوية المركزية، عليك أن تحدد دائرة. الدائرة هي مجموعة كل النقاط المتساوية البعد عن نقطة معينة (مركز الدائرة).

من المهم جدًا تمييزها عن الدائرة. عليك أن تتذكر أن الدائرة عبارة عن خط مغلق، والدائرة هي جزء من المستوى الذي يحده. يمكن إدراج مضلع أو زاوية في دائرة.

الزاوية المركزية هي الزاوية التي يتطابق رأسها مع مركز الدائرة ويتقاطع ضلعاها مع الدائرة عند نقطتين. القوس الذي تحدده الزاوية بنقاط تقاطعها يسمى القوس الذي تقع عليه الزاوية المعطاة.

لننظر إلى المثال رقم 1.

في الصورة، الزاوية AOB مركزية، لأن رأس الزاوية ومركز الدائرة يقعان في نقطة واحدة O. وهي تقع على القوس AB الذي لا يحتوي على النقطة C.

كيف تختلف الزاوية المحيطية عن الزاوية المركزية؟

ومع ذلك، بالإضافة إلى الزوايا المركزية، هناك أيضًا زوايا محيطة. ما هو الفرق بينهما؟ تمامًا مثل الزاوية المركزية، فإن الزاوية المحيطية في الدائرة تقع على قوس معين. لكن رأسها لا يتطابق مع مركز الدائرة بل يقع عليها.

لنأخذ المثال التالي.

تسمى الزاوية ACB الزاوية المدرج في دائرة ومركزها عند النقطة O. النقطة C تنتمي إلى الدائرة، أي أنها تقع عليها. الزاوية تقع على القوس AB.

من أجل التعامل بنجاح مع المشاكل الهندسية، لا يكفي أن تكون قادرا على التمييز بين الزوايا المنقوشة والمركزية. كقاعدة عامة، لحلها، عليك أن تعرف بالضبط كيفية العثور على الزاوية المركزية في الدائرة وتكون قادرًا على حساب قيمتها بالدرجات.

إذن، الزاوية المركزية تساوي درجة قياس القوس الذي تقع عليه.

في الصورة، الزاوية AOB تقع على قوس AB يساوي 66°. وهذا يعني أن الزاوية AOB هي أيضًا 66 درجة.

وبالتالي، فإن الزوايا المركزية المقابلة لأقواس متساوية متساوية.

في الشكل، القوس DC يساوي القوس AB. وهذا يعني أن الزاوية AOB تساوي الزاوية DOC.

قد يبدو أن الزاوية المحيطية في الدائرة تساوي الزاوية المركزية التي تقع على نفس القوس. ومع ذلك، فهذا خطأ فادح. في الواقع، حتى بمجرد النظر إلى الرسم ومقارنة هذه الزوايا مع بعضها البعض، يمكنك أن ترى أن مقاييس درجاتها سيكون لها قيم مختلفة. إذن ما هي الزاوية المحيطية في الدائرة؟

قياس درجة الزاوية المحيطية يساوي نصف القوس الذي تقع عليه، أو نصف الزاوية المركزية إذا كانت تقع على نفس القوس.

لنلقي نظرة على مثال. تقع الزاوية ASV على قوس يساوي 66 درجة.

وهذا يعني أن الزاوية ACB = 66 درجة: 2 = 33 درجة

دعونا نفكر في بعض النتائج المترتبة على هذه النظرية.

• الزوايا المحيطية، إذا كانت مبنية على نفس القوس أو الوتر أو الأقواس المتساوية، تكون متساوية.
• إذا كانت الزوايا المحيطية تستقر على وتر واحد، ولكن رءوسها تقع على جانبين متقابلين منه، فإن مجموع قياسات درجات هذه الزوايا هو 180 درجة، لأنه في هذه الحالة تقع كلتا الزاويتين على أقواس يبلغ مجموع قياساتها 360 درجة ( الدائرة بأكملها) 360 درجة: 2 = 180 درجة
• إذا كانت الزاوية المحيطية مبنية على قطر دائرة معينة، فإن قياس درجتها هو 90 درجة، حيث أن القطر يقابل قوسًا يساوي 180 درجة، 180 درجة: 2 = 90 درجة
• إذا كانت الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في دائرة تقع على نفس القوس أو الوتر، فإن الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية.

أين يمكن العثور على مشاكل حول هذا الموضوع؟ أنواعها وحلولها

وبما أن الدائرة وخصائصها هي من أهم أقسام الهندسة، وهندسة التخطيط على وجه الخصوص، فإن الزوايا المحيطية والمركزية في الدائرة هي موضوع يتم دراسته على نطاق واسع وبالتفصيل في الدورة المدرسية. تم العثور على المشاكل المخصصة لخصائصها في امتحان الدولة الرئيسي (OGE) واختبار الدولة الموحدة (USE). كقاعدة عامة، لحل هذه المسائل، عليك إيجاد زوايا الدائرة بالدرجات.

زوايا مبنية على قوس واحد

ربما يكون هذا النوع من المسائل من أسهل المسائل، لأنه لحلها تحتاج إلى معرفة خاصيتين بسيطتين فقط: إذا كانت كلتا الزاويتين منقوشتين وتستندان إلى نفس الوتر، فإنهما متساويتان، وإذا كانت إحداهما مركزية، فإن الزاوية المقابلة لها الزاوية المحيطية تساوي نصفها. ومع ذلك، عند حلها، عليك أن تكون حذرا للغاية: في بعض الأحيان يكون من الصعب ملاحظة هذه الخاصية، ويصل الطلاب إلى طريق مسدود عند حل مثل هذه المهام البسيطة. لنلقي نظرة على مثال.

المهمة رقم 1

بالنظر إلى دائرة مركزها النقطة O. زاوية AOB هي 54°. أوجد قياس درجة الزاوية ASV.

تم حل هذه المهمة في إجراء واحد. الشيء الوحيد الذي تحتاج إلى العثور على الإجابة عليه سريعًا هو ملاحظة أن القوس الذي تستقر عليه الزاويتان مشترك. بعد أن رأيت هذا، يمكنك تطبيق خاصية مألوفة بالفعل. الزاوية ACB تساوي نصف الزاوية AOB. وسائل،

1) AOB = 54 درجة: 2 = 27 درجة.

الجواب: 54 درجة.

الزوايا المقابلة لأقواس مختلفة من نفس الدائرة

في بعض الأحيان، لا تحدد ظروف المشكلة بشكل مباشر حجم القوس الذي تقع عليه الزاوية المطلوبة. ولحسابها، عليك تحليل حجم هذه الزوايا ومقارنتها بالخصائص المعروفة للدائرة.

المشكلة 2

في دائرة مركزها النقطة O، زاوية AOC قياسها 120 درجة، والزاوية AOB قياسها 30 درجة. أوجد زاوية أنت.

بادئ ذي بدء، تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن حل هذه المشكلة باستخدام خصائص المثلثات متساوية الساقين، ولكن هذا سيتطلب عددًا أكبر من العمليات الرياضية. لذلك، سنقدم هنا تحليلًا للحل باستخدام خصائص الزوايا المركزية والزوايا المحيطية في الدائرة.

لذا، فإن الزاوية AOS تقع على القوس AC وهي مركزية، مما يعني أن القوس AC يساوي الزاوية AOS.

وبنفس الطريقة، تقع الزاوية AOB على القوس AB.

بمعرفة ذلك وقياس درجة الدائرة بأكملها (360 درجة)، يمكنك بسهولة العثور على حجم القوس BC.

BC = 360° - AC - AB

ق = 360° - 120° - 30° = 210°

يقع رأس الزاوية CAB، النقطة A، على الدائرة. وهذا يعني أن الزاوية CAB هي زاوية محيطية وتساوي نصف القوس NE.

زاوية الكابينة = 210 درجة: 2 = 110 درجة

الجواب: 110 درجة

المشاكل على أساس العلاقة بين الأقواس

بعض المسائل لا تحتوي على بيانات عن قيم الزوايا على الإطلاق، لذا يجب البحث عنها بناءً على النظريات وخصائص الدائرة المعروفة فقط.

المشكلة 1

أوجد الزاوية المحيطية بالدائرة التي لها وتر يساوي نصف قطر الدائرة المعطاة.

إذا قمت برسم خطوط تربط نهايات القطعة بمركز الدائرة عقليًا، فستحصل على مثلث. وبعد فحصها، يمكنك أن ترى أن هذه الخطوط هي نصف قطر الدائرة، مما يعني أن جميع جوانب المثلث متساوية. ومن المعروف أن جميع زوايا المثلث متساوي الأضلاع تساوي 60 درجة. وهذا يعني أن القوس AB الذي يحتوي على رأس المثلث يساوي 60 درجة. ومن هنا نجد القوس AB الذي تقع عليه الزاوية المطلوبة.

AB = 360° - 60° = 300°

الزاوية ABC = 300 درجة: 2 = 150 درجة

الجواب: 150 درجة

المشكلة 2

في الدائرة التي مركزها النقطة O تكون نسبة الأقواس 3:7. أوجد أصغر زاوية محيطية.

لحل المشكلة، دعنا نحدد جزءًا واحدًا بـ X، ثم القوس الواحد يساوي 3X، والثاني على التوالي 7X. بمعرفة أن قياس درجة الدائرة هو 360 درجة، فلنقم بإنشاء معادلة.

3س + 7س = 360 درجة

وفقا للحالة، تحتاج إلى العثور على زاوية أصغر. من الواضح أنه إذا كان حجم الزاوية يتناسب طرديا مع القوس الذي تقع عليه، فإن الزاوية المطلوبة (الأصغر) تتوافق مع قوس يساوي 3X.

وهذا يعني أن الزاوية الأصغر هي (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54°

الجواب: 54 درجة

في دائرة مركزها النقطة O، قياس الزاوية AOB هو 60°، وطول القوس الأصغر هو 50. احسب طول القوس الأكبر.

من أجل حساب طول القوس الأكبر، تحتاج إلى إنشاء نسبة - كيفية ارتباط القوس الأصغر بالقوس الأكبر. للقيام بذلك، نحسب مقدار كلا القوسين بالدرجات. القوس الأصغر يساوي الزاوية التي تقع عليه. سيكون قياس درجتها 60 درجة. القوس الأكبر يساوي الفرق بين قياس درجة الدائرة (وهو يساوي 360 درجة بغض النظر عن البيانات الأخرى) والقوس الأصغر.

القوس الرئيسي هو 360° - 60° = 300°.

بما أن 300°: 60° = 5، فإن القوس الأكبر أكبر بخمس مرات من القوس الأصغر.

القوس الكبير = 50 * 5 = 250

لذلك، بالطبع، هناك طرق أخرى لحل مشاكل مماثلة، ولكن جميعها تعتمد بطريقة أو بأخرى على خصائص الزوايا المركزية والمنقوشة والمثلثات والدوائر. من أجل حلها بنجاح، تحتاج إلى دراسة الرسم بعناية ومقارنته ببيانات المشكلة، وكذلك تكون قادرًا على تطبيق معرفتك النظرية في الممارسة العملية.

الزاوية المركزيةهي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة.
زاوية مكتوبة- الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها.

ويوضح الشكل الزوايا المركزية والزوايا المحيطية وأهم خصائصها.

لذا، مقدار الزاوية المركزية يساوي المقدار الزاوي للقوس الذي تقع عليه. وهذا يعني أن الزاوية المركزية التي قياسها 90 درجة ستستقر على قوس يساوي 90 درجة، أي دائرة. الزاوية المركزية التي قياسها 60 درجة، ترتكز على قوس قياسه 60 درجة، أي على الجزء السادس من الدائرة.

مقدار الزاوية المحيطية أصغر مرتين من الزاوية المركزية المبنية على نفس القوس.

أيضًا لحل المشكلات سنحتاج إلى مفهوم "الوتر".

الزوايا المركزية المتساوية تقابل أوتارًا متساوية.

1. ما هي الزاوية المحيطية المقابلة لقطر الدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

الزاوية المحيطية التي يقابلها القطر هي زاوية قائمة.

2. الزاوية المركزية أكبر بمقدار 36 درجة من الزاوية الحادة المحيطية المقابلة لنفس القوس الدائري. أوجد الزاوية المحيطية. اكتب إجابتك بالدرجات.

دع الزاوية المركزية تكون مساوية لـ x، والزاوية المحيطية المقابلة لنفس القوس تكون مساوية لـ y.

نحن نعلم أن x = 2y.
وبالتالي 2y = 36 + y،
ص = 36.

3. نصف قطر الدائرة يساوي 1. أوجد قيمة الزاوية المنفرجة المحيطية المقابلة للوتر والتي تساوي . اكتب إجابتك بالدرجات.

دع الوتر AB يساوي . سيتم الإشارة إلى الزاوية المنفرجة المبنية على هذا الوتر بالرمز α.
في المثلث AOB، الضلعان AO وOB يساويان 1، والضلع AB يساوي . لقد واجهنا بالفعل مثل هذه المثلثات. من الواضح أن المثلث AOB مستطيل ومتساوي الساقين، أي أن زاوية AOB هي 90 درجة.
ثم القوس ACB يساوي 90 درجة، والقوس AKB يساوي 360 درجة - 90 درجة = 270 درجة.
تقع الزاوية المنقوشة α على القوس AKB وتساوي نصف القيمة الزاوية لهذا القوس، أي 135 درجة.

الجواب: 135.

4. يقسم الوتر AB الدائرة إلى قسمين تكون قيم درجاتهما بنسبة 5:7. ما الزاوية التي يظهر بها هذا الوتر من النقطة C التي تنتمي إلى القوس الأصغر للدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

الشيء الرئيسي في هذه المهمة هو الرسم الصحيح وفهم الشروط. كيف تفهم السؤال: "في أي زاوية يكون الوتر مرئيًا من النقطة C؟"
تخيل أنك تجلس عند النقطة C وتحتاج إلى رؤية كل ما يحدث على الوتر AB. يبدو الأمر كما لو أن الوتر AB عبارة عن شاشة في دار سينما :-)
من الواضح أنك بحاجة إلى العثور على الزاوية ACB.
مجموع القوسين اللذين يقسم إليهما الوتر AB الدائرة يساوي 360 درجة، أي
5س + 7س = 360 درجة
ومن ثم فإن x = 30°، ومن ثم فإن الزاوية المحيطية ACB تقع على قوس يساوي 210°.
مقدار الزاوية المحيطية يساوي نصف المقدار الزاوي للقوس الذي ترتكز عليه، مما يعني أن الزاوية ACB تساوي 105°.

الزاوية المركزية- هي الزاوية التي تتكون من نصفي قطرين دائرة. مثال على الزاوية المركزية هي الزاوية AOB، وBOC، وCOE، وما إلى ذلك.

عن الزاوية المركزيةو قوسويقال إن المبرمة بين طرفيها تطابقبعضها البعض.

1. إذا الزوايا المركزية أقواسمتساوون.

2. إذا الزوايا المركزيةلا يستويان، فأكبرهما يقابل الأكبر منهما قوس.

دع AOB و COD يكونان اثنين الزوايا المركزية،متساوية أو غير متساوية. لنقم بتدوير القطاع AOB حول المركز في الاتجاه المشار إليه بالسهم، بحيث يتطابق نصف القطر OA مع OC، ثم إذا كانت الزوايا المركزية متساوية، فإن نصف القطر OA سيتطابق مع OD والقوس AB مع القوس CD .

وهذا يعني أن هذه الأقواس ستكون متساوية.

لو الزوايا المركزيةغير متساويين، فإن نصف القطر OB لن يسير على طول OD، ولكن في اتجاه آخر، على سبيل المثال، على طول OE أو OF. وفي كلتا الحالتين، من الواضح أن الزاوية الأكبر تتوافق مع قوس أكبر.

النظرية التي أثبتناها لدائرة واحدة تظل صحيحة بالنسبة لها دوائر متساويةلأن هذه الدوائر لا يختلف بعضها عن بعض إلا في موضعها.

العروض العكسيةسيكون صحيحا أيضا . في دائرة واحدة أو في دوائر متساوية:

1. إذا أقواسمتساويان ثم ما يقابلهما الزوايا المركزيةمتساوون.

2. إذا أقواسلا يستويان، فأكبرهما يقابل الأكبر منهما الزاوية المركزية.

في دائرة واحدة أو في دوائر متساوية، ترتبط الزوايا المركزية بالأقواس المقابلة لها. أو إعادة الصياغة نحصل على تلك الزاوية المركزية متناسبالقوس المقابل لها.