Theo tỷ lệ
nhiệm vụ tìm bất kỳ số nào trong ba số từ hai số đã cho còn lại có thể được đặt. Nếu a và sau đó cho N, chúng được tìm bằng lũy thừa. Nếu N và sau đó a được cho bằng cách lấy căn bậc x (hoặc nâng nó lên lũy thừa). Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi cho a và N, chúng ta cần tìm x.
Cho số N dương: số a dương và không bằng 1: .
Sự định nghĩa. Logarit của số N cơ số a là số mũ mà a phải được nâng lên để thu được số N; logarit được ký hiệu là
Do đó, trong đẳng thức (26.1) số mũ được tìm thấy dưới dạng logarit của N cơ số a. bài viết
có cùng một ý nghĩa. Đẳng thức (26.1) đôi khi được gọi là đồng nhất thức chính của lý thuyết logarit; trong thực tế nó thể hiện định nghĩa của khái niệm logarit. Qua định nghĩa này Cơ số của logarit a luôn dương và khác với đơn vị; số logarit N là dương. Số âm và số 0 không có logarit. Có thể chứng minh rằng bất kỳ số nào có cơ số cho trước đều có logarit được xác định rõ ràng. Do đó đòi hỏi phải có sự bình đẳng. Lưu ý rằng điều kiện thiết yếu ở đây là nếu không thì kết luận sẽ không hợp lý vì đẳng thức đúng với mọi giá trị của x và y.
Ví dụ 1. Tìm
Giải pháp. Để có được một số, bạn phải nâng cơ số 2 lên lũy thừa.
Bạn có thể ghi chú khi giải các ví dụ đó theo mẫu sau:
Ví dụ 2. Tìm .
Giải pháp. Chúng tôi có
Trong ví dụ 1 và 2, chúng ta dễ dàng tìm được logarit mong muốn bằng cách biểu diễn số logarit dưới dạng lũy thừa cơ số với chỉ số hợp lý. TRONG trường hợp chung, ví dụ, v.v., điều này không thể thực hiện được vì logarit có ý nghĩa phi lý. Chúng ta hãy chú ý đến một vấn đề liên quan đến tuyên bố này. Trong đoạn 12 chúng tôi đã đưa ra khái niệm về khả năng xác định bất kỳ bằng cấp thậtđược cho số dương. Điều này là cần thiết cho việc giới thiệu logarit, nói chung, có thể là số vô tỷ.
Hãy xem xét một số tính chất của logarit.
Tính chất 1. Nếu số và cơ số bằng nhau thì logarit bằng một, và ngược lại, nếu logarit bằng 1 thì số và cơ số bằng nhau.
Bằng chứng. Hãy để Theo định nghĩa của logarit chúng ta có và từ đó
Ngược lại, đặt Then theo định nghĩa
Tính chất 2. Logarit của một cơ số bất kỳ đều bằng 0.
Bằng chứng. Theo định nghĩa logarit ( không độ mọi cơ số dương đều bằng một, xem (10.1)). Từ đây
Q.E.D.
Mệnh đề ngược lại cũng đúng: nếu , thì N = 1. Thật vậy, ta có .
Trước khi xây dựng tính chất tiếp theo của logarit, chúng ta hãy đồng ý rằng hai số a và b nằm cùng một phía của số thứ ba c nếu cả hai đều lớn hơn c hoặc nhỏ hơn c. Nếu một trong các số này lớn hơn c và số kia nhỏ hơn c thì chúng ta nói rằng chúng nằm dọc các mặt khác nhau từ làng
Tính chất 3. Nếu số và cơ số nằm cùng một phía thì logarit là dương; Nếu số và cơ số nằm đối diện nhau thì logarit âm.
Chứng minh tính chất 3 dựa trên thực tế là lũy thừa của a lớn hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ dương hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ âm. Một lũy thừa nhỏ hơn một nếu cơ số lớn hơn một và số mũ âm hoặc cơ số nhỏ hơn một và số mũ dương.
Có bốn trường hợp cần xem xét:
Chúng tôi sẽ giới hạn ở việc phân tích phần đầu tiên; người đọc sẽ tự mình xem xét phần còn lại.
Giả sử trong đẳng thức số mũ có thể không âm cũng không thể bằng 0, do đó, nó dương, tức là, như yêu cầu phải chứng minh.
Ví dụ 3. Tìm logarit nào dưới đây dương, logarit nào âm:
Giải: a) Vì số 15 và cơ số 12 nằm cùng một phía;
b) vì 1000 và 2 nằm ở một bên của đơn vị; trong trường hợp này, việc cơ số lớn hơn số logarit không quan trọng;
c) vì 3.1 và 0.8 nằm ở hai phía đối lập nhau của sự thống nhất;
G); Tại sao?
d) ; Tại sao?
Các thuộc tính sau 4-6 thường được gọi là quy tắc logarit: chúng cho phép, khi biết logarit của một số số, tìm logarit của tích, thương, bậc của từng số.
Thuộc tính 4 (quy tắc logarit tích số). Logarit của tích một số số dương bằng cơ sở này bằng tổng logarit của các số này về cùng một cơ số.
Bằng chứng. Giả sử các số đã cho là số dương.
Đối với logarit của tích của chúng, chúng ta viết đẳng thức (26.1) xác định logarit:
Từ đây chúng ta sẽ tìm thấy
So sánh số mũ thứ nhất và số mũ biểu thức cuối cùng, chúng ta thu được đẳng thức cần thiết:
Lưu ý rằng điều kiện là cần thiết; logarit của tích hai số âm có ý nghĩa, nhưng trong trường hợp này chúng tôi nhận được
Nói chung, nếu tích của một số thừa số là dương thì logarit của nó bằng tổng logarit của các giá trị tuyệt đối của các thừa số này.
Tính chất 5 (quy tắc lấy logarit của thương). Logarit của thương số dương bằng hiệu giữa logarit của số bị chia và số chia, lấy về cùng một cơ số. Bằng chứng. Chúng tôi liên tục tìm thấy
Q.E.D.
Thuộc tính 6 (quy tắc logarit lũy thừa). Logarit lũy thừa của một số dương bằng logarit số này nhân với số mũ.
Bằng chứng. Chúng ta hãy viết lại đẳng thức chính (26.1) cho số đó:
Q.E.D.
Kết quả. Logarit của căn của một số dương bằng logarit của căn chia cho số mũ của căn:
Tính giá trị của hệ quả này có thể được chứng minh bằng cách tưởng tượng cách thức và cách sử dụng tính chất 6.
Ví dụ 4. Lấy logarit cơ số a:
a) (giả sử tất cả các giá trị b, c, d, e đều dương);
b) (giả sử rằng ).
Lời giải, a) Thật thuận tiện khi chuyển sang lũy thừa phân số trong biểu thức này:
Dựa trên các đẳng thức (26.5)-(26.7), bây giờ chúng ta có thể viết:
Chúng tôi nhận thấy rằng các phép tính đơn giản hơn được thực hiện trên logarit của các số so với chính các số: khi nhân các số, logarit của chúng được cộng, khi chia, chúng được trừ, v.v.
Đó là lý do tại sao logarit được sử dụng trong thực hành tính toán (xem đoạn 29).
Tác dụng nghịch đảo của logarit được gọi là thế năng, cụ thể là: thế năng là hành động mà chính số đó được tìm thấy từ logarit đã cho của một số. Về cơ bản, tăng cường sức mạnh không phải là bất kỳ hành động đặc biệt nào: nó liên quan đến việc nâng cơ sở lên thành quyền lực ( bằng logarit số). Thuật ngữ "thế năng" có thể được coi là đồng nghĩa với thuật ngữ "lũy thừa".
Khi nhân thế phải sử dụng các quy tắc nghịch đảo với quy tắc logarit: thay tổng logarit bằng logarit của tích, thay logarit bằng logarit thương, v.v. Đặc biệt, nếu có thừa số đứng trước của dấu logarit thì trong quá trình thế năng nó phải được chuyển sang bậc số mũ dưới dấu logarit.
Ví dụ 5. Tìm N nếu biết rằng
Giải pháp. Liên quan đến quy tắc điện thế vừa nêu, chúng ta sẽ chuyển các thừa số 2/3 và 1/3 đứng trước dấu logarit ở vế phải của đẳng thức này thành số mũ dưới dấu của các logarit này; chúng tôi nhận được
Bây giờ chúng ta thay thế hiệu của logarit bằng logarit của thương:
để thu được phân số cuối cùng trong chuỗi đẳng thức này, chúng ta đã loại bỏ phân số trước đó khỏi tính vô tỷ ở mẫu số (mệnh đề 25).
Tính chất 7. Nếu cơ số lớn hơn một thì số lớn hơn có logarit lớn hơn (và số nhỏ hơn có số nhỏ hơn), nếu cơ số nhỏ hơn 1 thì số lớn hơn có logarit nhỏ hơn (và số nhỏ hơn có logarit lớn hơn).
Tính chất này cũng được xây dựng như một quy tắc để tính logarit của bất đẳng thức, cả hai vế của chúng đều dương:
Khi lấy logarit của bất đẳng thức về cơ số, lớn hơn một, dấu của bất đẳng thức được giữ nguyên và khi lấy logarit cơ số nhỏ hơn 1 thì dấu của bất đẳng thức thay đổi theo chiều ngược lại (xem thêm đoạn 80).
Chứng minh dựa trên tính chất 5 và 3. Xét trường hợp If , then và lấy logarit, ta thu được
(a và N/M nằm cùng một phía thống nhất). Từ đây
Trường hợp a sau, bạn đọc tự tìm hiểu.
Họ làm theo định nghĩa của nó. Và logarit của số b dựa trên MỘTđược định nghĩa là số mũ mà một số phải được nâng lên Mộtđể có được số b(logarit chỉ tồn tại với số dương).
Từ công thức này suy ra rằng việc tính toán x=log a b, tương đương với việc giải phương trình a x = b. Ví dụ, log 2 8 = 3 bởi vì 8 = 2 3 . Công thức logarit có thể chứng minh rằng nếu b=a c, thì logarit của số b dựa trên Một bằng Với. Cũng rõ ràng là chủ đề logarit có liên quan mật thiết đến chủ đề quyền hạn của một số.
Với logarit, cũng như với bất kỳ số nào, bạn có thể làm phép cộng, phép trừ và biến đổi theo mọi cách có thể. Nhưng do logarit không hoàn toàn là những con số thông thường nên các quy tắc đặc biệt riêng của chúng được áp dụng ở đây, được gọi là thuộc tính chính.
Cộng và trừ logarit.
Hãy lấy hai logarit với trên cùng một cơ sở: ghi lại x Và đăng nhập một y. Sau đó có thể thực hiện các phép tính cộng và trừ:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
đăng nhập một(x 1 . x 2 . x 3 ... xk) = ghi lại x 1 + ghi lại x 2 + ghi lại x 3 + ... + log a x k.
Từ định lý logarit thương Có thể thu được thêm một tính chất nữa của logarit. Người ta biết rằng nhật ký Một 1= 0, do đó
nhật ký Một 1 /b= nhật ký Một 1 - nhật ký một b= -log một b.
Điều này có nghĩa là có sự bình đẳng:
log a 1 / b = - log a b.
Logarit của hai số nghịch đảo vì lý do tương tự sẽ chỉ khác nhau ở dấu hiệu. Vì thế:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.
Logarit là gì?
Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)
Logarit là gì? Làm thế nào để giải logarit? Những câu hỏi này làm nhiều sinh viên tốt nghiệp bối rối. Theo truyền thống, chủ đề logarit được coi là phức tạp, khó hiểu và đáng sợ. Đặc biệt là các phương trình có logarit.
Điều này hoàn toàn không đúng sự thật. Tuyệt đối! Không tin tôi? Khỏe. Bây giờ, chỉ trong 10 - 20 phút bạn:
1. Bạn sẽ hiểu logarit là gì.
2. Học giải cả lớp phương trình hàm mũ. Ngay cả khi bạn chưa nghe thấy gì về họ.
3. Học cách tính logarit đơn giản.
Hơn nữa, để làm được điều này, bạn chỉ cần biết bảng cửu chương và cách nâng một số lên lũy thừa...
Tôi cảm thấy như bạn đang nghi ngờ... Được rồi, hãy đánh dấu thời gian! Đi thôi!
Đầu tiên, hãy giải phương trình này trong đầu bạn:
Nếu bạn thích trang web này...
Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)
Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)
Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.
Hướng dẫn
Viết ra những điều đã cho biểu thức logarit. Nếu biểu thức sử dụng logarit của 10 thì ký hiệu của nó sẽ được rút ngắn và trông như sau: lg b is logarit thập phân. Nếu logarit có cơ số là e thì viết biểu thức: ln b – logarit tự nhiên. Người ta hiểu rằng kết quả của bất kỳ là lũy thừa mà số cơ sở phải được nâng lên để có được số b.
Khi tìm tổng của hai hàm số, bạn chỉ cần phân tích từng hàm số một rồi cộng kết quả: (u+v)" = u"+v";
Khi tìm đạo hàm của tích hai hàm số, cần nhân đạo hàm của hàm số thứ nhất với hàm số thứ hai rồi cộng đạo hàm của hàm số thứ hai nhân với hàm số thứ nhất: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Để tìm đạo hàm của thương của hai hàm số, cần trừ tích đạo hàm của số bị chia nhân với hàm số chia bằng tích của đạo hàm của số chia nhân với hàm số bị chia và chia tất cả điều này bằng hàm chia bình phương. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Nếu được hàm phức tạp, thì cần phải nhân đạo hàm của chức năng nội bộ và đạo hàm của cái bên ngoài. Đặt y=u(v(x)), sau đó y"(x)=y"(u)*v"(x).
Sử dụng các kết quả thu được ở trên, bạn có thể phân biệt hầu hết mọi chức năng. Vì vậy, hãy xem xét một vài ví dụ:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ngoài ra còn có các vấn đề liên quan đến việc tính đạo hàm tại một điểm. Cho hàm y=e^(x^2+6x+5), bạn cần tìm giá trị của hàm tại điểm x=1.
1) Tìm đạo hàm của hàm số: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Tính giá trị của hàm trong điểm nhất định y"(1)=8*e^0=8
Video về chủ đề
Tìm hiểu bảng đạo hàm cơ bản. Điều này sẽ tiết kiệm đáng kể thời gian.
Nguồn:
- đạo hàm của một hằng số
Vì vậy, sự khác biệt là gì? tôi phương trình hữu tỉ từ lý trí? Nếu biến chưa biết nằm dưới dấu căn bậc hai, thì phương trình được coi là vô tỉ.
Hướng dẫn
Phương pháp chính để giải các phương trình như vậy là phương pháp xây dựng cả hai vế phương trình thành một hình vuông. Tuy nhiên. Điều này là đương nhiên, điều đầu tiên bạn cần làm là loại bỏ biển báo. Phương pháp này không khó về mặt kỹ thuật nhưng đôi khi có thể dẫn đến rắc rối. Ví dụ: phương trình là v(2x-5)=v(4x-7). Bằng cách bình phương cả hai vế, bạn nhận được 2x-5=4x-7. Giải phương trình như vậy không khó; x=1. Nhưng số 1 sẽ không được trao phương trình. Tại sao? Thay thế một vào phương trình thay vì giá trị của x. Và vế phải và trái sẽ chứa các biểu thức vô nghĩa. Giá trị này không hợp lệ cho căn bậc hai. Do đó 1 là một nghiệm ngoại lai, và do đó phương trình đã cho không có rễ.
Vì vậy, một phương trình vô tỷ được giải bằng phương pháp bình phương cả hai cạnh của nó. Và sau khi giải phương trình, cần phải cắt bỏ các rễ ngoại lai. Để làm điều này, thay thế các nghiệm tìm được vào phương trình ban đầu.
Hãy xem xét một cái khác.
2х+vх-3=0
Tất nhiên, phương trình này có thể được giải bằng phương trình tương tự như phương trình trước. Di chuyển hợp chất phương trình, không có căn bậc hai, sang vế phải rồi sử dụng phương pháp bình phương. giải phương trình hữu tỉ và nghiệm. Nhưng cũng có một cái khác, thanh lịch hơn. Nhập một biến mới; vх=y. Theo đó, bạn sẽ nhận được phương trình có dạng 2y2+y-3=0. Tức là thông thường phương trình bậc hai. Tìm nguồn gốc của nó; y1=1 và y2=-3/2. Tiếp theo, giải hai phương trình vх=1; vх=-3/2. Phương trình thứ hai không có nghiệm; từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy x=1. Đừng quên kiểm tra rễ.
Giải quyết danh tính khá đơn giản. Để làm điều này bạn cần phải làm chuyển đổi danh tính cho đến khi đạt được mục tiêu. Vì vậy, với sự trợ giúp đơn giản nhất các phép tính số học nhiệm vụ trước mắt sẽ được giải quyết.
Bạn sẽ cần
- - giấy;
- - cái bút.
Hướng dẫn
Các phép biến đổi đơn giản nhất như vậy là các phép nhân viết tắt đại số (chẳng hạn như bình phương của tổng (chênh lệch), hiệu của bình phương, tổng (chênh lệch), lập phương của tổng (chênh lệch)). Ngoài ra còn có rất nhiều và công thức lượng giác, về cơ bản là giống nhau.
Thật vậy, bình phương của tổng hai số hạng bằng hình vuông số thứ nhất cộng gấp đôi tích của số thứ nhất với số thứ hai và cộng với bình phương của số thứ hai, tức là (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Đơn giản hóa cả hai
Nguyên tắc chung của giải pháp
Lặp lại theo sách giáo khoa phân tích toán học hoặc toán cao hơn, là tích phân xác định. Như đã biết, giải pháp tích phân xác định có một hàm mà đạo hàm của nó cho ra một tích phân. Chức năng nàyđược gọi là phản đạo hàm. Qua nguyên tắc này và xây dựng các tích phân chính.Xác định bằng dạng tích phân mà tích phân trong bảng phù hợp trong trường hợp này. Không phải lúc nào cũng có thể xác định được điều này ngay lập tức. Thông thường, dạng bảng chỉ trở nên đáng chú ý sau một vài phép biến đổi để đơn giản hóa tích phân.
Phương pháp thay thế biến
Nếu hàm tích phân là hàm lượng giác, đối số của nó chứa một số đa thức, thì hãy thử sử dụng phương pháp thay thế biến. Để thực hiện điều này, hãy thay thế đa thức trong đối số của số nguyên bằng một biến mới nào đó. Dựa vào mối quan hệ giữa biến mới và biến cũ, xác định giới hạn tích phân mới. Sự khác biệt biểu thức đã cho tìm một sự khác biệt mới trong . Vì vậy bạn sẽ nhận được diện mạo mới của tích phân trước, gần hoặc thậm chí tương ứng với bất kỳ tích phân nào trong bảng.Giải tích phân loại hai
Nếu tích phân là tích phân loại hai, dạng vectơ của tích phân, thì bạn sẽ cần sử dụng các quy tắc để chuyển từ tích phân này sang tích phân vô hướng. Một quy tắc như vậy là mối quan hệ Ostrogradsky-Gauss. Luật này cho phép bạn đi từ thông lượng rôto của một số hàm vectơ đến tích phân bội ba trên sự phân kỳ của một trường vectơ nhất định.Thay thế giới hạn tích hợp
Sau khi tìm được nguyên hàm cần thay các giới hạn tích phân. Đầu tiên, thay giá trị của giới hạn trên vào biểu thức tính nguyên hàm. Bạn sẽ nhận được một số số. Tiếp theo, trừ từ số kết quả một số khác thu được từ giới hạn dưới vào nguyên hàm. Nếu một trong các giới hạn của tích phân là vô cùng thì khi thay nó vào hàm phản đạo hàm cần phải đi đến giới hạn và tìm ra điều mà biểu thức phấn đấu.Nếu tích phân là hai chiều hoặc ba chiều, thì bạn sẽ phải biểu diễn các giới hạn của tích phân về mặt hình học để hiểu cách tính tích phân. Thật vậy, trong trường hợp tích phân ba chiều, giới hạn của tích phân có thể là toàn bộ mặt phẳng giới hạn thể tích tích phân.