Bằng cách sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của các hình phẳng, vì nhiệm vụ này luôn liên quan đến việc tính diện tích của các hình thang cong.
Diện tích của bất kỳ hình nào trong hệ tọa độ hình chữ nhật có thể bao gồm các diện tích của hình thang cong liền kề với trục Ồ hoặc tới trục Ồ.
Thật thuận tiện khi giải các bài toán tính diện tích các hình phẳng bằng sơ đồ sau:
1. Theo điều kiện của bài toán, hãy vẽ sơ đồ
2. Trình bày diện tích cần tìm dưới dạng tổng hoặc hiệu diện tích các hình thang cong. Từ điều kiện của bài toán và hình vẽ xác định giới hạn tích phân cho từng thành phần của hình thang cong.
3. Viết từng hàm dưới dạng y = f(x).
4. Tính diện tích của mỗi hình thang cong và diện tích của hình mong muốn.
Hãy xem xét một số tùy chọn để sắp xếp các số liệu.
1). Hãy trên đoạn [ Một; b] chức năng f(x) nhận các giá trị không âm. Khi đó đồ thị của hàm y = f(x) nằm phía trên trục Ồ.
S=
2). Hãy trên đoạn [ Một; b] hàm liên tục không dương f(x). Khi đó đồ thị của hàm y = f(x) nằm dưới trục Ồ:
Diện tích của hình như vậy được tính theo công thức: S = -
Diện tích của hình như vậy được tính theo công thức: S= 
4). Hãy trên đoạn [ Một; b] chức năng f(x) nhận cả giá trị dương và giá trị âm. Khi đó đoạn [ Một; b] phải được chia thành các phần mà hàm số không đổi dấu, sau đó sử dụng các công thức trên để tính diện tích tương ứng với các phần đó và cộng các diện tích tìm được.
S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2
Giờ học toán năm thứ nhất của cơ sở giáo dục nghề nghiệp
Chủ thể: “Tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định.”
Giáo viên toán S.B. Baranova
Mục tiêu giáo dục:
đảm bảo sự lặp lại, khái quát hóa và hệ thống hóa tài liệu về chủ đề này;
tạo điều kiện làm chủ (tự chủ) kiến thức, kỹ năng.
Nhiệm vụ phát triển:
thúc đẩy hình thành kỹ năng vận dụng các kỹ thuật so sánh, khái quát hóa, nêu bật nội dung chính;
tiếp tục phát triển các chân trời toán học, tư duy và lời nói, sự chú ý và trí nhớ.
Nhiệm vụ giáo dục:
thúc đẩy sự quan tâm đến toán học;
giáo dục hoạt động, khả năng vận động, kỹ năng giao tiếp.
Loại bài học – một bài học kết hợp với các yếu tố học tập dựa trên vấn đề.
Phương pháp và kỹ thuật giảng dạy – Có vấn đề, trực quan, làm việc độc lập của học sinh, tự kiểm tra.
Thiết bị - Phụ lục bài học, bảng biểu.
Kế hoạch bài học
Thời điểm tổ chức Chuẩn bị cho học sinh làm bài trên lớp.
Chuẩn bị cho học sinh làm việc tích cực (kiểm tra kỹ năng tính toán và bảng tích phân theo nhóm).
Chuẩn bị cho việc học tài liệu mới thông qua việc lặp lại và cập nhật kiến thức cơ bản.
Làm việc với vật liệu mới.
Hiểu sơ cấp và ứng dụng tài liệu đã nghiên cứu, củng cố nó.
Bài tập về nhà.
Ứng dụng kiến thức.
Tóm tắt.
Sự phản xạ.
Tiến độ bài học
1. Thời điểm tổ chức.
Khái niệm tích phân xác định là một trong những khái niệm cơ bản của toán học. Đến cuối thế kỷ 17. Newton và Leibniz đã tạo ra bộ máy tính vi phân và tích phân, tạo thành nền tảng của phân tích toán học.
Trong các bài học trước chúng ta đã học cách “lấy” tích phân không xác định và tính tích phân xác định. Nhưng quan trọng hơn nhiều là việc sử dụng tích phân xác định. Chúng ta biết rằng nó có thể được sử dụng để tính diện tích hình thang cong. Hôm nay chúng ta sẽ trả lời câu hỏi: "Làm thế nào để làm điều này?"
2. Chuẩn bị cho học sinh hoạt động tích cực.
Nhưng trước tiên chúng ta cần kiểm tra kỹ năng tính toán và kiến thức về bảng tích phân. Trước mắt bạn là một nhiệm vụ, kết quả của nó sẽ là một phát biểu của nhà toán học người Pháp S.D. Poisson (Cuộc sống được tô điểm bởi hai điều: làm toán và dạy toán).
Nhiệm vụ được thực hiện theo cặp ().
3. Chuẩn bị học bài mới thông qua việc lặp lại, cập nhật kiến thức cơ bản.
Chúng ta hãy chuyển sang chủ đề của bài học: “Tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định”. Ngoài khả năng tính tích phân xác định, chúng ta cần nhớ tính chất diện tích. Họ là gì?
Các hình bằng nhau thì có diện tích bằng nhau.
Nếu một hình được chia thành hai phần thì diện tích của nó được tính bằng tổng diện tích của các phần riêng lẻ.
Chúng ta cũng cần lặp lại quy tắc tích phân tổng và công thức Newton-Leibniz.
4. Làm việc với tích phân mới
1. Tích phân xác định được sử dụng để tính diện tích các hình thang cong. Nhưng trong thực tế, thường có những hình không phải như vậy và chúng ta cần học cách tìm diện tích của những hình đó.
Thực hiện theo bảng “Các trường hợp cơ bản về cách sắp xếp hình phẳng và các công thức tính diện tích tương ứng” ().
2. Hãy tự kiểm tra.
Làm việc với tác vụ () sau đó xác minh (Bảng số 3).
3. Nhưng khả năng lựa chọn công thức tính diện tích phù hợp thôi là chưa đủ. Trong bảng sau () trong mỗi nhiệm vụ đều có một lý do “bên ngoài” không cho phép tính diện tích của hình. Hãy tìm chúng.
a) Công thức đồ thị hàm số không được chỉ định.
b) không có giới hạn của sự tích hợp.
c) tên của đồ thị không được chỉ định và không có giới hạn duy nhất.
d) công thức của một trong các đồ thị không được chỉ ra.
4. Căn cứ vào công việc đã làm, chúng ta sẽ xây dựng và viết ra thuật toán giải các bài toán theo chủ đề của bài học.
Xây dựng đồ thị của các đường này. Xác định hình dạng mong muốn.
Tìm giới hạn của sự tích hợp.
Viết diện tích của hình mong muốn bằng cách sử dụng tích phân xác định.
Tính tích phân thu được.
5. Hiểu sơ cấp và ứng dụng tài liệu đã học, củng cố nó.
1. Dựa vào thuật toán, hãy hoàn thành nhiệm vụ số 2 từ bảng cuối cùng.
Hình 1
Giải pháp:
Đối với điểm A:
– không thỏa mãn điều kiện nhiệm vụ
Đối với điểm B:
– không thỏa mãn điều kiện của bài toán.
Trả lời: (đơn vị vuông).
2. Nhưng khi thực hiện nhiệm vụ này, thuật toán chưa được áp dụng đầy đủ. Để giải quyết nó, chúng ta hãy hoàn thành nhiệm vụ sau:
Bài tập. Tìm diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng , .
Hình 2
Giải pháp:
– parabol, đỉnh (m,n).
(0;2) – trên cùng
Hãy tìm ra giới hạn của sự hội nhập.
Trả lời: (đơn vị vuông).
6. Bài tập về nhà.
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng (tháo rời nhiệm vụ).
7. Ứng dụng kiến thức.
Công việc độc lập (Phụ lục số 5))
8. Tổng hợp.
đã học cách lập công thức tìm diện tích các hình phẳng;
tìm ra giới hạn của sự hội nhập;
tính diện tích của các hình.
9. Suy ngẫm.
Tờ rơi được phát cho học sinh. Họ phải đánh giá công việc của mình bằng cách chọn một trong các phương án trả lời nhất định.
Đánh giá mức độ khó của bài học.
Trong lớp bạn đã có:
một cách dễ dàng;
thường xuyên;
khó.
Tôi đã nắm bắt đầy đủ và có thể áp dụng nó;
Tôi đã hoàn toàn làm chủ được nó nhưng lại thấy khó sử dụng;
đã học được một phần;
không hiểu được nó.
Sau khi xem xét các câu trả lời, rút ra kết luận về sự chuẩn bị của học sinh cho công việc thực tế.
Văn học sử dụng:
Valutse I.I., Diligulin G.D. Toán dành cho các trường kỹ thuật.
Kramer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M. Toán cao cấp dành cho các nhà kinh tế.
Danko P.E., Popov A.G. Toán cao cấp, phần 1.
Zvanich L.I., Ryazanovsky A.R. M., Trường học mới.
Báo “Toán học”. Nhà xuất bản “Ngày đầu tháng 9”.
Phụ lục số 1
Tính tích phân xác định và bạn sẽ nhận ra một trong những phát biểu của nhà toán học người Pháp S.D.
9
Mạng sống
Ba
Hai
Đồ đạc
Nghề nghiệp
Toán học
số học
Giảng dạy
Cô ấy
trang trí
Bằng cách quên
Phụ lục số 2
CÁC TRƯỜNG HỢP CHÍNH VỊ TRÍ CỦA HÌNH PHẲNG VÀ CÔNG THỨC DIỆN TÍCH TƯƠNG ỨNG
______________________________________
_
__________________________________
______
________________________________
______
___________________________________
Một hình đối xứng qua trục tọa độ hoặc gốc tọa độ.
Phụ lục số 3
Sử dụng tích phân xác định, viết công thức tính diện tích các hình được tô màu trong hình.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
Phụ lục số 4
Tìm một lý do “bên ngoài” không cho phép bạn tính diện tích của hình.
Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
_____________________________
Phụ lục số 5
Làm việc độc lập
Tùy chọn 1
Viết bằng cách sử dụng tích phân diện tích của các hình và tính chúng
Vẽ các hình nhécó diện tích bằng các tích phân sau:
Làm việc độc lập
Tùy chọn 2
Xác định xem các phát biểu sau có đúng hay không:
Ghi lại vớisử dụng tích phân diện tích của các hình và tính chúng
Vẽ các hình có diện tích bằng các tích phân sau:
26. Tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định
Định nghĩa 1.Đường cong hình thang, được tạo bởi đồ thị của hàm không âm f trên một đoạn, hình được giới hạn bởi một đoạn được gọi là 
trục x, đoạn thẳng 
,
và đồ thị của hàm số 
TRÊN 
.
1. Hãy chia đoạn 
điểm thành các đoạn một phần.
2. Trong mỗi phân khúc 
(Ở đâu k=1,2,...,N) chọn một điểm tùy ý 
.
3. Tính diện tích hình chữ nhật có đáy là các đoạn thẳng 
trục x và chiều cao có độ dài 
. Khi đó diện tích của hình bậc thang được tạo bởi các hình chữ nhật này bằng 
.
Lưu ý rằng độ dài của các đoạn một phần càng ngắn thì hình bậc càng gần vị trí với hình thang cong đã cho. Vì vậy, việc đưa ra định nghĩa sau đây là điều đương nhiên.
Định nghĩa 2.Diện tích hình thang cong,được tạo bởi đồ thị của hàm không âm f trên phân khúc 
, được gọi là giới hạn (vì độ dài của tất cả các đoạn một phần có xu hướng bằng 0) của diện tích các hình bậc thang nếu:
1) giới hạn này tồn tại và hữu hạn;
2) không phụ thuộc vào cách chia đoạn 
thành từng phần;
3) không phụ thuộc vào việc chọn điểm 
.
Định lý 1.Nếu chức năng
liên tục và không âm trên khoảng 
, thì đường cong hình thangF,hàm được tạo bởi đồ thịfTRÊN 
, có diện tích được tính theo công thức 
.
Sử dụng tích phân xác định, bạn có thể tính diện tích của các hình phẳng và các hình phức tạp hơn.
Nếu như f Và g- liên tục và không âm trên đoạn
chức năng cho mọi người x từ phân khúc
bất bình đẳng giữ 
, thì diện tích của hình F, giới hạn bởi đường thẳng 
,
và đồ thị hàm số 
,
, được tính theo công thức
.
Bình luận. Nếu ta loại bỏ điều kiện không âm của hàm số f Và g, công thức cuối cùng vẫn đúng.
Chuyên đề 9. Phương trình vi phân
27. Khái niệm phương trình vi phân. Giải pháp chung và giải pháp cụ thể. Vấn đề Cauchy. Bài toán xây dựng mô hình toán học của quá trình nhân khẩu học
Lý thuyết về phương trình vi phân phát sinh vào cuối thế kỷ 17 dưới ảnh hưởng của nhu cầu của cơ học và các ngành khoa học tự nhiên khác, về cơ bản là đồng thời với phép tính tích phân và vi phân.
Định nghĩa 1.N-thứ tự là một phương trình có dạng trong đó 
- chức năng chưa biết.
Định nghĩa 2. Chức năng 
được gọi là nghiệm của phương trình vi phân trên khoảng TÔI, nếu khi thay thế hàm này và các đạo hàm của nó, phương trình vi phân trở thành một đẳng thức.
Giải phương trình vi phân- là tìm ra mọi giải pháp của nó.
Định nghĩa 3.Đồ thị nghiệm của phương trình vi phân được gọi là đường cong tích phân phương trình vi phân.
Định nghĩa 4.Phương trình vi phân thông thường 1-thứ tự gọi là phương trình có dạng 
.
Định nghĩa 5. Phương trình của dạng 
gọi điện phương trình vi phân 1-thứ tự,giải quyết liên quan đến đạo hàm.
Theo quy luật, bất kỳ phương trình vi phân nào cũng có vô số nghiệm. Để chọn ra một giải pháp nào đó trong tổng thể tất cả các giải pháp, cần phải đặt ra các điều kiện bổ sung.
Định nghĩa 6.Điều kiện loại 
chồng lên nghiệm của phương trình vi phân bậc 1 được gọi là điều kiện ban đầu, hoặc tình trạng Cauchy.
Về mặt hình học, điều này có nghĩa là đường cong tích phân tương ứng đi qua điểm 
.
Định nghĩa 7.Giải pháp chung phương trình vi phân bậc 1 
trên một khu vực bằng phẳng Dđược gọi là họ hàm một tham số 
, thỏa mãn điều kiện:
1) cho bất cứ ai 
chức năng 
là nghiệm của phương trình;
2) cho mỗi điểm 
có một giá trị tham số như vậy 
, hàm số tương ứng 
là nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu 
.
Định nghĩa 8. Lời giải thu được từ lời giải tổng quát cho một giá trị nhất định của tham số được gọi là giải pháp riêng phương trình vi phân.
Định nghĩa 9.Bằng quyết định đặc biệt Phương trình vi phân là bất kỳ nghiệm nào không thể thu được từ nghiệm tổng quát với bất kỳ giá trị nào của tham số.
Giải phương trình vi phân là một bài toán rất khó và nói chung, bậc của phương trình càng cao thì việc chỉ ra cách giải phương trình càng khó. Ngay cả đối với các phương trình vi phân bậc nhất, có thể chỉ ra các phương pháp tìm nghiệm tổng quát chỉ trong một số ít trường hợp đặc biệt. Hơn nữa, trong những trường hợp này, lời giải được tìm kiếm không phải lúc nào cũng là một hàm cơ bản.
Một trong những vấn đề chính của lý thuyết phương trình vi phân, được nghiên cứu đầu tiên bởi O. Cauchy, là tìm ra nghiệm của phương trình vi phân thỏa mãn các điều kiện ban đầu cho trước.
Ví dụ, có phải luôn luôn có nghiệm cho phương trình vi phân 
, thỏa mãn điều kiện ban đầu 
, và liệu nó có phải là duy nhất không? Nói chung, câu trả lời là không. Thật vậy, phương trình 
, vế phải của nó liên tục trên toàn mặt phẳng, có nghiệm y= 0 và y=(x+C) 3 ,CR
. Do đó, qua một điểm bất kỳ trên trục O Xđi qua hai đường cong tích phân.
Vì vậy, chức năng phải đáp ứng một số yêu cầu. Định lý sau đây chứa một trong các biến thể của điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân 
, thỏa mãn điều kiện ban đầu 
.
Từ định nghĩa, suy ra rằng đối với hàm không âm f(x), tích phân xác định bằng diện tích của một hình thang cong giới hạn bởi đường cong y = f(x), các đường thẳng x = a, x = b và trục hoành = 0 (Hình 4.1).
Nếu hàm – f(x) không dương thì tích phân xác định 
bằng diện tích hình thang cong tương ứng, lấy dấu trừ (Hình 4.7).
Hình 4.7 – Ý nghĩa hình học của tích phân xác định đối với hàm không dương
Đối với hàm liên tục tùy ý f(x), tích phân xác định 
bằng tổng diện tích các hình thang cong nằm dưới đồ thị của hàm f(x) và phía trên trục hoành, trừ tổng diện tích các hình thang cong nằm phía trên đồ thị của hàm f(x) trở xuống trục hoành (Hình 4.8).
Hình 4.8 – Ý nghĩa hình học của tích phân xác định đối với hàm liên tục tùy ý f(x) (dấu cộng là diện tích được cộng, dấu trừ là diện tích bị trừ).
Khi tính diện tích các hình cong trong thực tế, người ta thường sử dụng công thức sau: 
, trong đó S là diện tích của hình nằm giữa các đường cong y = f 1(x) và y = f 2(x) trên đoạn [a,b], và f 1(x) và f 2(x ) là các hàm liên tục được xác định trên đoạn này, sao cho f 1 (x) ≥ f 2 (x) (xem Hình 4.9, 4.10).
Khi nghiên cứu ý nghĩa kinh tế của đạo hàm, người ta thấy rằng đạo hàm đóng vai trò là tốc độ thay đổi của một đối tượng hoặc quá trình kinh tế nào đó theo thời gian hoặc so với một yếu tố khác đang được nghiên cứu. Để thiết lập ý nghĩa kinh tế của một tích phân nhất định, cần phải coi bản thân tốc độ này là một hàm của thời gian hoặc một yếu tố khác. Sau đó, vì tích phân xác định biểu thị sự thay đổi của nguyên hàm, chúng ta hiểu rằng trong kinh tế học, nó đánh giá sự thay đổi của đối tượng (quá trình) này trong một khoảng thời gian nhất định (hoặc với một sự thay đổi nhất định trong một yếu tố khác).
Ví dụ: nếu hàm q=q(t) mô tả năng suất lao động theo thời gian thì tích phân xác định của hàm này 
đại diện cho khối lượng đầu ra Q trong khoảng thời gian từ t 0 đến t 1.
Phương pháp tính tích phân xác định dựa trên các phương pháp tích hợp đã thảo luận trước đó (chúng tôi sẽ không tiến hành chứng minh).
Khi tìm tích phân không xác định, chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến dựa trên công thức: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, trong đó x =(t) là một hàm số có thể phân biệt được về cái được xem xét ở giữa. Đối với tích phân xác định, công thức biến đổi có dạng 
, Ở đâu 
và cho tất cả mọi người.
Ví dụ 1. Tìm thấy
Đặt t= 2 –x 2. Khi đó dt= -2xdx và xdx= - ½dt.
Tại x = 0 t= 2 – 0 2 = 2. Tại x = 1t= 2 – 1 2 = 1. Khi đó
Ví dụ 2. Tìm thấy
Ví dụ 3. Tìm thấy
Công thức tích phân từng phần của tích phân xác định có dạng: 
, Ở đâu 
.
Ví dụ 1. Tìm thấy
Đặt u=ln(1 +x),dv=dx. Sau đó
Ví dụ 2. Tìm thấy
Tính diện tích các hình phẳng bằng tích phân xác định
Ví dụ 1. Tìm diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 – 2 và y = x.
Đồ thị của hàm số y= x 2 – 2 là một parabol có điểm cực tiểu tại x= 0, y= -2; Trục hoành cắt nhau tại các điểm 
. Đồ thị của hàm số y = x là đường thẳng, là đường phân giác của một phần tư tọa độ không âm.
Tìm tọa độ giao điểm của parabol y = x 2 – 2 và đường thẳng y = x bằng cách giải hệ phương trình:
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 2 hoặc x = -1;y= -1
Vì vậy, hình cần tìm diện tích có thể được biểu diễn trong Hình 4.9.
Hình 4.9 – Hình giới hạn bởi các đường thẳng y = x 2 – 2 và y = x
Trên đoạn [-1, 2] x ≥ x 2 – 2.
Hãy sử dụng công thức 
, đặt f 1(x) = x; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.
Ví dụ 2. Tìm diện tích hình giới hạn bởi các đường thẳng y = 4 - x 2 và y = x 2 – 2x.
Đồ thị của hàm số y = 4 - x 2 là một parabol có điểm cực đại tại x = 0, y = 4; Trục x cắt nhau tại điểm 2 và -2. Đồ thị của hàm số y = x 2 – 2x là một parabol có điểm cực tiểu tại 2x- 2 = 0, x = 1; Trục x cắt nhau tại điểm 0 và 2.
Hãy tìm tọa độ giao điểm của các đường cong:
4 - x 2 = x 2 – 2x
2x 2 – 2x - 4 = 0
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 0 hoặc x = -1;y= 3
Vì vậy, hình cần tìm diện tích có thể được biểu diễn trong Hình 4.10.
Hình 4.10 - Hình giới hạn bởi các đường thẳng y = 4 - x 2 và y = x 2 – 2x
Trên đoạn [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 – 2x.
Hãy sử dụng công thức 
, đặt f 1(x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.
Ví dụ 3. Tìm diện tích của hình được giới hạn bởi các đường thẳng y = 1/x; y= x 2 và y= 4 trong góc phần tư tọa độ không âm.
Đồ thị của hàm số y = 1/x là một hyperbol; với x dương thì nó lồi xuống; các trục tọa độ là các đường tiệm cận. Đồ thị của hàm y = x 2 trong góc phần tư tọa độ không âm là một nhánh của parabol có điểm cực tiểu tại gốc tọa độ. Các đồ thị này cắt nhau tại 1/x = x 2; x 3 = 1; x = 1; y = 1.
Đồ thị hàm số y = 1/x cắt đường thẳng y = 4 tại x = 1/4 và đồ thị hàm số y = x 2 tại x = 2 (hoặc -2).
Vì vậy, hình cần tìm diện tích có thể được biểu diễn trong Hình 4.11.
Hình 4.11 - Hình giới hạn bởi đường thẳng y = 1/x; y= x 2 và y= 4 trong góc phần tư tọa độ không âm
Diện tích cần tìm của hình ABC bằng hiệu giữa diện tích của hình chữ nhật ABHE, bằng 4 * (2 - ¼) = 7 và tổng diện tích của hai hình thang cong ACFE và CBHF. Hãy tính diện tích ACFE:
Hãy tính diện tích SVНF:
.
Vậy diện tích cần tìm là 7 – (ln4 + 7/3) = 14/3 –ln43,28 (đơn vị 2).
Hãy chuyển sang xem xét các ứng dụng của phép tính tích phân. Trong bài học này chúng ta sẽ phân tích nhiệm vụ điển hình và phổ biến nhất tính diện tích hình phẳng bằng tích phân xác định. Cuối cùng, hãy để tất cả những người tìm kiếm ý nghĩa trong toán học cao cấp tìm thấy nó. Bạn không bao giờ biết. Trong cuộc sống thực, bạn sẽ phải tính gần đúng một biểu đồ dacha bằng cách sử dụng các hàm cơ bản và tìm diện tích của nó bằng tích phân xác định.
Để làm chủ thành công tài liệu, bạn phải:
1) Hiểu tích phân không xác định ít nhất ở mức độ trung cấp. Vì vậy, người ngu trước tiên nên đọc bài học Không.
2) Áp dụng được công thức Newton-Leibniz và tính tích phân xác định. Bạn có thể thiết lập mối quan hệ thân thiện nồng nhiệt với một số tích hợp nhất định trên trang Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Nhiệm vụ “tính diện tích bằng tích phân xác định” luôn liên quan đến việc xây dựng một hình vẽ, vì vậy kiến thức và kỹ năng vẽ của bạn cũng sẽ là một vấn đề có liên quan. Tối thiểu, bạn cần có khả năng dựng một đường thẳng, parabol và hyperbol.
Hãy bắt đầu với một hình thang cong. Hình thang cong là một hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số nào đó y = f(x), trục CON BÒ ĐỰC và dòng x = Một; x = b.
Diện tích của hình thang cong bằng số tích phân xác định
Bất kỳ tích phân xác định nào (tồn tại) đều có ý nghĩa hình học rất tốt. trong lớp Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp chúng ta đã nói rằng tích phân xác định là một số. Và bây giờ là lúc để nêu ra một sự thật hữu ích khác. Theo quan điểm hình học, tích phân xác định là DIỆN TÍCH. Đó là, tích phân xác định (nếu nó tồn tại) về mặt hình học tương ứng với diện tích của một hình nhất định. Xét tích phân xác định
tích phân
xác định một đường cong trên mặt phẳng (có thể vẽ nó nếu muốn) và bản thân tích phân xác định bằng diện tích của hình thang cong tương ứng.
Ví dụ 1
, , , .
Đây là một tuyên bố nhiệm vụ điển hình. Điểm quan trọng nhất trong quyết định là việc xây dựng bản vẽ. Hơn nữa, bản vẽ phải được xây dựng PHẢI.
Khi xây dựng một bản vẽ, tôi khuyên bạn nên thực hiện theo trình tự sau: lúc đầu tốt hơn là xây dựng tất cả các đường thẳng (nếu chúng tồn tại) và chỉ Sau đó– parabol, hyperbol, đồ thị của các hàm số khác. Kỹ thuật xây dựng từng điểm có thể được tìm thấy trong tài liệu tham khảo Đồ thị và tính chất của hàm cơ bản. Ở đó bạn cũng có thể tìm thấy tài liệu rất hữu ích cho bài học của chúng ta - cách xây dựng nhanh một hình parabol.
Trong vấn đề này, giải pháp có thể trông như thế này.
Hãy vẽ (lưu ý rằng phương trình y= 0 chỉ định trục CON BÒ ĐỰC):
Chúng ta sẽ không tô bóng hình thang cong; ở đây rõ ràng chúng ta đang nói đến khu vực nào. Giải pháp tiếp tục như thế này:
Trên đoạn [-2; 1] đồ thị hàm số y = x 2 + 2 nằm phía trên trụcCON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:
Trả lời: .
Ai gặp khó khăn khi tính tích phân xác định và áp dụng công thức Newton-Leibniz
,
tham khảo bài giảng Tích phân xác định. Ví dụ về giải pháp. Sau khi hoàn thành nhiệm vụ, việc nhìn vào bức vẽ và tìm hiểu xem câu trả lời có đúng hay không luôn rất hữu ích. Trong trường hợp này, chúng tôi đếm số lượng ô trong bản vẽ "bằng mắt" - à, sẽ có khoảng 9 ô, điều này có vẻ đúng. Hoàn toàn rõ ràng rằng nếu chúng ta nhận được câu trả lời: 20 đơn vị vuông, thì rõ ràng đã xảy ra sai sót ở đâu đó - 20 ô rõ ràng không vừa với hình được đề cập, nhiều nhất là một tá. Nếu câu trả lời là phủ định thì bài toán cũng được giải sai.
Ví dụ 2
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng xy = 4, x = 2, x= 4 và trục CON BÒ ĐỰC.
Đây là ví dụ để bạn tự giải quyết. Đáp án và đáp án đầy đủ ở cuối bài.
Phải làm gì nếu hình thang cong nằm dưới trụcCON BÒ ĐỰC?
Ví dụ 3
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng y = bán tại, x= 1 và trục tọa độ.
Giải: Hãy vẽ hình:
Nếu là hình thang cong nằm hoàn toàn dưới trục CON BÒ ĐỰC , thì diện tích của nó có thể được tìm thấy bằng công thức:
Trong trường hợp này:
.
Chú ý! Không nên nhầm lẫn hai loại nhiệm vụ:
1) Nếu bạn được yêu cầu giải một tích phân xác định đơn giản mà không có bất kỳ ý nghĩa hình học nào, thì nó có thể là số âm.
2) Nếu bạn được yêu cầu tìm diện tích của một hình bằng tích phân xác định thì diện tích đó luôn dương! Đó là lý do tại sao điểm trừ xuất hiện trong công thức vừa thảo luận.
Trong thực tế, hình thường nằm ở cả nửa mặt phẳng trên và nửa dưới, và do đó, từ những bài toán đơn giản nhất ở trường, chúng ta chuyển sang những ví dụ có ý nghĩa hơn.
Ví dụ 4
Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 2x – x 2 , y = -x.
Giải pháp: Đầu tiên bạn cần vẽ một bản vẽ. Khi xây dựng hình vẽ trong bài toán diện tích, chúng ta quan tâm nhất đến giao điểm của các đường thẳng. Hãy tìm giao điểm của parabol y = 2x – x 2 và thẳng y = -x. Điều này có thể được thực hiện theo hai cách. Phương pháp đầu tiên là phân tích. Chúng ta giải phương trình:
Điều này có nghĩa là giới hạn dưới của tích phân Một= 0, giới hạn trên của tích phân b= 3. Việc xây dựng các đường từng điểm một thường có lợi hơn và nhanh hơn và các giới hạn của sự tích hợp “tự chúng” trở nên rõ ràng. Tuy nhiên, phương pháp phân tích để tìm giới hạn đôi khi vẫn phải được sử dụng nếu, ví dụ, đồ thị đủ lớn hoặc việc xây dựng chi tiết không bộc lộ các giới hạn của tích phân (chúng có thể là phân số hoặc vô tỷ). Hãy quay lại nhiệm vụ của chúng ta: sẽ hợp lý hơn nếu trước tiên xây dựng một đường thẳng và sau đó là một parabol. Hãy thực hiện bản vẽ:
Chúng ta hãy nhắc lại rằng khi xây dựng theo chiều điểm, các giới hạn tích phân thường được xác định một cách “tự động”.
Và bây giờ là công thức làm việc:
Nếu trên đoạn [ Một; b] một số hàm liên tục f(x) lớn hơn hoặc bằng một số hàm liên tục g(x), thì có thể tìm diện tích của hình tương ứng bằng công thức:
Ở đây bạn không còn cần phải suy nghĩ về vị trí của hình - phía trên trục hoặc bên dưới trục, mà là điều quan trọng là biểu đồ nào CAO HƠN(so với biểu đồ khác), và cái nào ở DƯỚI.
Trong ví dụ đang xem xét, rõ ràng là trên đoạn thẳng parabol nằm phía trên đường thẳng và do đó từ 2 x – x 2 phải bị trừ – x.
Giải pháp hoàn chỉnh có thể trông như thế này:
Hình mong muốn được giới hạn bởi một parabol y = 2x – x 2 trên cùng và thẳng y = -x dưới.
Trên đoạn 2 x – x 2 ≥ -x. Theo công thức tương ứng:
Trả lời: .
Trong thực tế, công thức trường học tính diện tích hình thang cong trong nửa mặt phẳng dưới (xem ví dụ số 3) là trường hợp đặc biệt của công thức
.
Bởi vì trục CON BÒ ĐỰCđược cho bởi phương trình y= 0 và đồ thị của hàm số g(x) nằm phía dưới trục CON BÒ ĐỰC, Cái đó
.
Và bây giờ là một vài ví dụ cho giải pháp của riêng bạn
Ví dụ 5
Ví dụ 6
Tìm diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Khi giải các bài toán liên quan đến tính diện tích bằng tích phân xác định, đôi khi xảy ra một sự cố hài hước. Bản vẽ đã được thực hiện đúng, tính toán đúng, nhưng do bất cẩn... Khu vực của hình sai đã được tìm thấy.
Ví dụ 7
Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một bức tranh:
Hình có diện tích chúng ta cần tìm được tô màu xanh lam(xem kỹ tình trạng - con số bị giới hạn như thế nào!). Nhưng trong thực tế, do không chú ý nên người ta thường quyết định cần tìm diện tích của hình được tô xanh!
Ví dụ này cũng hữu ích vì nó tính diện tích của một hình bằng cách sử dụng hai tích phân xác định. Thật sự:
1) Trên đoạn [-1; 1] phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị nằm thẳng y = x+1;
2) Trên đoạn phía trên trục CON BÒ ĐỰCđồ thị của một hyperbol nằm y = (2/x).
Rõ ràng là các khu vực có thể (và nên) được thêm vào, do đó:
Trả lời:
Ví dụ 8
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Hãy trình bày các phương trình ở dạng “trường học”
và vẽ từng điểm một:
Từ bản vẽ, rõ ràng giới hạn trên của chúng tôi là “tốt”: b = 1.
Nhưng giới hạn dưới là gì?! Rõ ràng đây không phải là số nguyên, nhưng nó là gì?
Có lẽ, Một=(-1/3)? Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng bản vẽ được thực hiện với độ chính xác hoàn hảo, có thể hóa ra là như vậy Một=(-1/4). Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xây dựng biểu đồ không chính xác?
Trong những trường hợp như vậy, bạn phải dành thêm thời gian và làm rõ các giới hạn của việc tích hợp một cách phân tích.
Hãy tìm giao điểm của đồ thị
Để làm điều này, chúng ta giải phương trình:
.
Kể từ đây, Một=(-1/3).
Giải pháp tiếp theo là tầm thường. Điều chính là không bị nhầm lẫn giữa sự thay thế và dấu hiệu. Các tính toán ở đây không phải là đơn giản nhất. Trên phân khúc
, 
,
theo công thức tương ứng:
Trả lời: 
Để kết thúc bài học, chúng ta hãy xem xét hai nhiệm vụ khó khăn hơn.
Ví dụ 9
Tính diện tích hình được giới hạn bởi đường thẳng
Giải pháp: Hãy mô tả hình này trong bản vẽ.
Để xây dựng một bản vẽ từng điểm, bạn cần biết hình dạng của hình sin. Nói chung, sẽ rất hữu ích khi biết đồ thị của tất cả các hàm cơ bản cũng như một số giá trị sin. Chúng có thể được tìm thấy trong bảng giá trị hàm lượng giác. Trong một số trường hợp (ví dụ, trong trường hợp này), có thể xây dựng một bản vẽ sơ đồ, trên đó các đồ thị và giới hạn tích phân về cơ bản phải được hiển thị chính xác.
Không có vấn đề gì với các giới hạn tích hợp ở đây; chúng tuân theo điều kiện:
– “x” thay đổi từ 0 thành “pi”. Hãy đưa ra quyết định tiếp theo:
Trên một đoạn, đồ thị của hàm số y= tội lỗi 3 x nằm phía trên trục CON BÒ ĐỰC, Đó là lý do tại sao:
(1) Bạn có thể thấy cách tích phân sin và cosin theo lũy thừa lẻ trong bài học Tích phân của hàm lượng giác. Chúng tôi véo một xoang.
(2) Ta sử dụng đẳng thức lượng giác chính ở dạng
(3) Hãy thay đổi biến t= cos x, thì: nằm phía trên trục, do đó:
.
.
Ghi chú: lưu ý cách lấy tích phân của lập phương tiếp tuyến; một hệ quả tất yếu của đồng nhất thức lượng giác cơ bản được sử dụng ở đây;
.