Chúng ta hãy vẽ riêng đáy của lăng kính, tức là tam giác ABC (Hình 307, a) và dựng nó thành một hình chữ nhật, trong đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM đi qua đỉnh B || AC và từ các điểm A, C hạ các đường thẳng AF, CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Vẽ chiều cao ВD của tam giác ABC, ta thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn nữa, \(\Delta\)ALL = \(\Delta\)BCD và \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Điều này có nghĩa là diện tích hình chữ nhật ACEF tăng gấp đôi nhiều diện tích hơn tam giác ABC, tức là bằng 2S.
Với lăng kính có đáy ABC này, chúng ta sẽ gắn các lăng kính có đáy ALL và BAF và chiều cao h(Hình 307, b). Chúng ta thu được một hình bình hành hình chữ nhật có đáy ACEF.
Nếu phân tích hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB', chúng ta sẽ thấy hình bình hành hình chữ nhật gồm 4 lăng kính có đáy BCD, ALL, BAD và BAF.
Các lăng kính có đáy BCD và ALL có thể được kết hợp, vì các đáy của chúng bằng nhau (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BCE) và cũng bằng nhau sườn bên, vuông góc với một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là thể tích của các lăng kính này bằng nhau. Thể tích của lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.
Do đó, thể tích của một hình lăng trụ tam giác có đáy ABC bằng một nửa thể tích hình chữ nhật song song với cơ sở ACEF.
Ta biết thể tích của hình chữ nhật có hình bình hành tương đương với sản phẩm diện tích đáy của nó theo chiều cao, tức là trong trong trường hợp này bằng 2S h. Do đó thể tích của lăng trụ tam giác vuông này bằng S h.
Thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
2. Thể tích của lăng trụ đa giác vuông.
Để tìm khối lượng của một dòng lăng kính đa giác, ví dụ như hình ngũ giác, có diện tích đáy S và chiều cao h, hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).
Biểu thị diện tích đáy của các hình lăng trụ tam giác bằng S 1, S 2 và S 3, và thể tích của một hình lăng trụ đa giác đã cho là V, chúng ta thu được:
V = S 1 h+ S2 h+ S3 h, hoặc
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
Và cuối cùng: V = S h.
Theo cách tương tự, công thức tính thể tích của một lăng trụ đứng có đa giác bất kỳ ở đáy được rút ra.
Có nghĩa, Thể tích của bất kỳ lăng kính bên phải nào đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
Khối lượng lăng kính
Định lý. Thể tích của lăng kính bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.
Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý này cho lăng trụ tam giác, sau đó cho lăng trụ đa giác.
1) Vẽ (Hình 95) qua cạnh AA 1 của lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 một mặt phẳng song song với mặt BB 1 C 1 C, và qua cạnh CC 1 - một mặt phẳng song song với mặt AA 1 B 1 B; sau đó chúng ta sẽ tiếp tục các mặt phẳng của cả hai đáy của lăng kính cho đến khi chúng giao nhau với các mặt phẳng đã vẽ.
Khi đó chúng ta có một BD 1 hình song song, được chia bởi mặt phẳng chéo AA 1 C 1 C thành hai lăng trụ tam giác (một trong số đó là lăng trụ này). Hãy chứng minh rằng các lăng kính này có kích thước bằng nhau. Để làm điều này, chúng ta vẽ một phần vuông góc abcd. Mặt cắt ngang sẽ tạo ra một hình bình hành có đường chéo ac chia đôi tam giác bằng nhau. Lăng kính này có kích thước bằng một lăng kính thẳng có đáy \(\Delta\) abc và chiều cao là cạnh AA 1. Một hình lăng trụ tam giác khác có diện tích bằng đường thẳng có đáy \(\Delta\) adc và chiều cao là cạnh AA 1. Nhưng hai lăng trụ thẳng có đáy bằng nhau và chiều cao bằng nhau bằng nhau (vì khi lồng vào nhau chúng được kết hợp), nghĩa là lăng kính ABCA 1 B 1 C 1 và ADCA 1 D 1 C 1 có kích thước bằng nhau. Từ đó thể tích của lăng kính này bằng một nửa thể tích của hình bình hành BD 1; do đó, biểu thị chiều cao của lăng kính bằng H, chúng ta thu được:
$$ V_(\Delta ex.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$
2) Vẽ các mặt phẳng chéo AA 1 C 1 C và AA 1 D 1 D qua cạnh AA 1 của lăng kính đa giác (Hình 96).
Khi đó lăng kính này sẽ được cắt thành nhiều hình lăng trụ tam giác. Tổng thể tích của các lăng kính này tạo thành thể tích cần thiết. Nếu chúng ta biểu thị diện tích các căn cứ của chúng bằng b 1 , b 2 , b 3, và tổng chiều cao qua H, ta được:
thể tích lăng trụ đa giác = b 1H+ b 2H+ b 3H =( b 1 + b 2 + b 3) H =
= (diện tích ABCDE) H.
Kết quả. Nếu V, B và H là các số biểu thị thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ theo đơn vị tương ứng thì theo những gì đã được chứng minh, chúng ta có thể viết:
Vật liệu khácTRONG chương trình giảng dạy ở trường nghiên cứu khóa học lập thể số liệu thể tích thường bắt đầu bằng một khối hình học đơn giản - một khối đa diện lăng kính. Vai trò của các căn cứ của nó được thực hiện bởi 2 đa giác bằng nhau, nằm trong mặt phẳng song song. Trường hợp đặc biệt là lăng trụ tứ giác đều. Đáy của nó là 2 hình tứ giác đều, vuông góc với nhau bên có hình bình hành (hoặc hình chữ nhật nếu lăng kính không nghiêng).
Một lăng kính trông như thế nào?
Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lục giác có đáy là 2 hình vuông và mặt bênđược biểu diễn bằng các hình chữ nhật. Một tên khác cho điều này hình hình học- đường thẳng song song.
Một bản vẽ cho thấy một lăng kính tứ giác được hiển thị dưới đây.
Bạn cũng có thể thấy trong hình yếu tố thiết yếu, trong đó nó bao gồm cơ thể hình học . Chúng bao gồm:
Đôi khi trong các bài toán hình học, bạn có thể gặp khái niệm về mặt cắt. Định nghĩa sẽ như thế này: một phần là tất cả các điểm thể tích, thuộc mặt phẳng cắt. Phần này có thể vuông góc (giao các cạnh của hình một góc 90 độ). Đối với hình lăng trụ chữ nhật, tiết diện đường chéo cũng được xét ( số lượng tối đa các phần có thể dựng được - 2), đi qua 2 cạnh và đường chéo của đế.
Nếu mặt cắt được vẽ theo cách mà mặt phẳng cắt không song song với các đáy hoặc các mặt bên thì kết quả là một lăng kính cụt.
Để tìm các phần tử lăng trụ đã cho, nhiều mối quan hệ và công thức khác nhau được sử dụng. Một số trong số chúng được biết đến từ khóa học đo mặt phẳng (ví dụ, để tìm diện tích đáy của lăng kính, chỉ cần nhớ công thức tính diện tích hình vuông là đủ).
Diện tích bề mặt và thể tích
Để xác định thể tích của lăng kính bằng công thức, bạn cần biết diện tích đáy và chiều cao của nó:
V = Sbas h
Vì đáy của lăng trụ tứ diện đều là hình vuông có cạnh Một, Bạn có thể viết công thức ở dạng chi tiết hơn:
V = a²·h
Nếu chúng ta đang nói về một khối lập phương - một lăng kính đều với chiều dài bằng nhau, chiều rộng và chiều cao thì thể tích được tính như sau:
Để hiểu cách tìm diện tích bề mặt bên của lăng kính, bạn cần tưởng tượng sự phát triển của nó.
Từ hình vẽ cho thấy rõ bề mặt bên gồm có 4 hình chữ nhật bằng nhau. Diện tích của nó được tính bằng tích của chu vi đáy và chiều cao của hình:
Bên = Posn h
Biết chu vi hình vuông bằng P = 4a, công thức có dạng:
Cạnh = 4a h
Đối với hình khối:
Cạnh = 4a2
Để tính tổng diện tích bề mặt của lăng kính, bạn cần cộng 2 diện tích cơ sở vào diện tích xung quanh:
Sfull = Bên + 2Smain
Liên quan đến lăng kính đều tứ giác, công thức có dạng:
Tổng = 4a h + 2a²
Đối với diện tích bề mặt của hình lập phương:
Đầy đủ = 6a²
Biết thể tích hoặc diện tích bề mặt, bạn có thể tính toán các phần tử riêng lẻ của một khối hình học.
Tìm phần tử lăng kính
Thường có những bài toán trong đó thể tích đã cho hoặc giá trị của diện tích bề mặt bên đã biết, khi đó cần xác định độ dài cạnh của đáy hoặc chiều cao. Trong những trường hợp như vậy, các công thức có thể được rút ra:
- chiều dài cạnh đáy: a = Bên / 4h = √(V / h);
- chiều cao hoặc chiều dài sườn bên: h = Cạnh / 4a = V / a²;
- diện tích cơ sở: Sbas = V/h;
- Diện tích mặt bên: Bên gr = Bên / 4.
Để xác định diện tích của phần đường chéo, bạn cần biết chiều dài đường chéo và chiều cao của hình. Đối với một hình vuông d = a√2. Từ đó suy ra:
Sdiag = ah√2
Để tính đường chéo của lăng kính, hãy sử dụng công thức:
giải thưởng = √(2a² + h²)
Để hiểu cách áp dụng các mối quan hệ đã cho, bạn có thể thực hành và giải một số nhiệm vụ đơn giản.
Ví dụ về các vấn đề với giải pháp
Dưới đây là một số nhiệm vụ được tìm thấy trong các kỳ thi cuối cấp tiểu bang về toán học.
Nhiệm vụ 1.
Cát được đổ vào một chiếc hộp có hình lăng trụ tứ giác đều. Chiều cao của mặt phẳng của nó là 10 cm, mặt phẳng cát sẽ như thế nào nếu bạn di chuyển nó vào một thùng chứa có hình dạng tương tự, nhưng có đáy dài gấp đôi?
Người ta nên lý luận như sau. Lượng cát trong thùng thứ nhất và thùng thứ hai không thay đổi, tức là thể tích của chúng trong đó là như nhau. Bạn có thể biểu thị chiều dài của đáy bằng Một. Trong trường hợp này, đối với hộp đầu tiên, thể tích của chất sẽ là:
V₁ = ha 2 = 10a 2
Đối với hộp thứ hai, chiều dài của đáy là 2a, nhưng độ cao của mực cát chưa được biết:
V₂ = h (2a) 2 = 4ha 2
Từ V₁ = V₂, chúng ta có thể đánh đồng các biểu thức:
10a2 = 4ha2
Giảm cả hai vế của phương trình đi a2, ta được:
Kết quả là cấp độ mới cát sẽ h = 10/4 = 2,5 cm.
Nhiệm vụ 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ là lăng kính đúng. Biết rằng BD = AB₁ = 6√2. Tìm tổng diện tích bề mặt của cơ thể.
Để dễ hiểu hơn những phần tử nào đã được biết, bạn có thể vẽ một hình.
Vì chúng ta đang nói về một lăng kính đều, chúng ta có thể kết luận rằng ở đáy có một hình vuông có đường chéo là 6√2. Đường chéo của mặt bên có cùng kích thước nên mặt bên cũng có dạng hình vuông, bằng với cơ sở. Hóa ra cả ba chiều - chiều dài, chiều rộng và chiều cao - đều bằng nhau. Chúng ta có thể kết luận rằng ABCDA₁B₁C₁D₁ là hình lập phương.
Độ dài của bất kỳ cạnh nào được xác định thông qua một đường chéo đã biết:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Tổng diện tích bề mặt được tìm thấy bằng công thức cho hình lập phương:
Đầy đủ = 6a² = 6 6² = 216
Nhiệm vụ 3.
Căn phòng đang được cải tạo. Được biết, tầng của nó có dạng hình vuông với diện tích 9 m2. Chiều cao của căn phòng là 2,5 m. Chi phí dán giấy dán tường cho căn phòng thấp nhất là bao nhiêu nếu 1 mét vuông có giá 50 rúp?
Vì sàn và trần là hình vuông, tức là hình tứ giác đều và các bức tường của nó vuông góc bề mặt ngang, ta có thể kết luận đó là lăng kính đúng. Cần phải xác định diện tích bề mặt bên của nó.
Chiều dài của căn phòng là a = √9 = 3 m.
Khu vực này sẽ được phủ giấy dán tường Cạnh = 4 3 2,5 = 30 m2.
Giá giấy dán tường cho căn phòng này thấp nhất sẽ là 50·30 = 1500 rúp
Vì vậy, để giải quyết vấn đề về lăng kính chữ nhật Chỉ cần có khả năng tính diện tích và chu vi của hình vuông và hình chữ nhật, cũng như biết các công thức tính thể tích và diện tích bề mặt là đủ.
Cách tìm diện tích của hình lập phương
Khối lượng lăng kính. Giải quyết vấn đề
Hình học là phương tiện mạnh mẽ nhất để mài giũa khả năng tư duy của chúng ta và giúp chúng ta suy nghĩ và lý luận một cách chính xác.
G. Galileo
Mục tiêu của bài học:
- dạy giải các bài toán tính thể tích lăng trụ, tóm tắt và hệ thống hóa những thông tin mà học sinh có về lăng kính và các phần tử của nó, phát triển khả năng giải các bài toán có độ phức tạp tăng dần;
- phát triển tư duy logic, khả năng làm việc độc lập, kỹ năng kiểm soát và tự chủ lẫn nhau, khả năng nói và lắng nghe;
- phát triển thói quen thường xuyên thực hiện một số hoạt động hữu ích, bồi dưỡng khả năng phản ứng nhanh, làm việc chăm chỉ và chính xác.
Loại bài học: bài học vận dụng kiến thức, kỹ năng, khả năng.
Thiết bị: thẻ điều khiển, máy chiếu, thuyết trình “Bài học. Khối lượng lăng kính”, máy tính.
Tiến độ bài học
- Các gân bên của lăng kính (Hình 2).
- Bề mặt bên lăng kính (Hình 2, Hình 5).
- Chiều cao của lăng kính (Hình 3, Hình 4).
- Lăng kính thẳng (Hình 2,3,4).
- Một lăng kính nghiêng (Hình 5).
- Lăng kính đúng (Hình 2, Hình 3).
- Mặt cắt chéo lăng kính (Hình 2).
- Đường chéo của lăng kính (Hình 2).
- Mặt cắt vuông góc lăng kính (pi3, fig4).
- Diện tích bề mặt bên của lăng kính.
- Tổng diện tích bề mặt của lăng kính.
- Khối lượng lăng kính.
- KIỂM TRA BÀI TẬP Ở NHÀ (8 phút)
- Sự hợp tác giáo viên với lớp (2-3 phút).
- PHÚT VẬT LÝ (3 phút)
- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (10 phút)
- Làm việc độc lập học sinh làm bài kiểm tra trên máy tính
Trao đổi vở, kiểm tra lời giải trên slide và chấm điểm (điểm 10 nếu bài đã được biên soạn)
Tạo một vấn đề dựa trên hình ảnh và giải quyết nó. Học sinh bảo vệ vấn đề mình đã biên soạn trước bảng. Hình 6 và Hình 7.
Chương 2,§3
Vấn đề.2. Độ dài tất cả các cạnh của một hình lăng trụ tam giác đều bằng nhau. Tính thể tích của lăng kính nếu diện tích bề mặt của nó là cm 2 (Hình 8)
Chương 2,§3
Bài 5. Đáy của lăng trụ thẳng ABCA 1B 1C1 là tam giác vuông ABC (góc ABC=90°), AB=4cm. Tính thể tích của lăng kính nếu bán kính hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC, là 2,5 cm và chiều cao của lăng kính là 10 cm. (Hình 9).
Chương 2,§3
Bài 29. Độ dài cạnh đáy đều lăng kính tứ giác bằng 3cm. Đường chéo của lăng kính tạo thành một góc 30° với mặt phẳng bên. Tính thể tích của lăng trụ (Hình 10).
Mục đích: tổng kết phần khởi động lý thuyết (học sinh cho điểm với nhau), nghiên cứu cách giải các bài toán về một chủ đề.
TRÊN ở giai đoạn này Giáo viên tổ chức công việc trực tiếp về việc lặp lại các phương pháp giải các bài toán phẳng và các công thức phẳng.
Lớp học được chia thành hai nhóm, một số giải quyết vấn đề, một số khác làm việc trên máy tính. Sau đó, họ thay đổi.
Yêu cầu học sinh giải hết bài số 8 (bằng miệng), câu số 9 (bằng miệng). Sau đó các em chia thành các nhóm và tiến hành giải các bài toán số 14, số 30, số 32.
Chương 2, §3, trang 66-67
Bài toán 8. Tất cả các cạnh của một hình lăng trụ tam giác đều bằng nhau. Tìm thể tích của lăng kính nếu diện tích mặt phẳng đi qua cạnh của đáy dưới và giữa cạnh của đáy trên bằng cm (Hình 11). Chương 2,§3, trang 66-67 Bài 9. Đáy của một hình lăng trụ thẳng là hình vuông, các cạnh của nó gấp đôi
Chương 2, §3, trang 66-67
nhiều mặt hơn căn cứ. Tính thể tích của lăng kính nếu bán kính của hình tròn được mô tả gần tiết diện của lăng kính bằng một mặt phẳng đi qua cạnh đáy và tâm của cạnh đối diện bằng cm (Hình 12) Vấn đề 14Đáy của lăng trụ thẳng là hình thoi, có một trong các đường chéo bằng cạnh của nó.
Chương 2, §3, trang 66-67
Tính chu vi của phần đó bởi một mặt phẳng đi quađường chéo lớn
Chương 2, §3, trang 66-67
đáy dưới, nếu thể tích của lăng kính bằng nhau và tất cả các mặt bên đều là hình vuông (Hình 13). Vấn đề 30
ABCA 1 B 1 C 1 là hình lăng trụ tam giác đều, các cạnh bằng nhau, điểm là trung điểm của cạnh BB 1. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp lăng kính bằng mặt phẳng AOS nếu thể tích của lăng kính bằng (Hình 14). Làm việc cá nhân giáo viên với học sinh “khỏe” (10 phút).
1. Cạnh đáy của một hình lăng trụ tam giác đều bằng , và chiều cao là 5. Tìm thể tích của lăng kính.
1) 152) 45 3) 104) 125) 18
2. Chọn phát biểu đúng.
1) Thể tích của một hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.
2) Thể tích của hình lăng trụ tam giác đều được tính theo công thức V = 0,25a 2 h - trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của hình lăng trụ.
3) Thể tích lăng trụ thẳng bằng một nửa tích của diện tích đáy và chiều cao.
4) Thể tích của hình lăng trụ tứ giác đều được tính theo công thức V = a 2 h- trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của hình lăng trụ.
5) Âm lượng chính xác lăng kính lục giác tính theo công thức V = 1,5a 2 h, trong đó a là cạnh đáy, h là chiều cao của lăng trụ.
3. Cạnh đáy của một hình lăng trụ tam giác đều bằng . Thông qua cạnh của đế dưới vàđỉnh đối diện
1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125
Một mặt phẳng được vẽ từ đáy trên, đi một góc 45° so với đáy. Tìm thể tích của lăng kính.
4. Đáy của lăng trụ đứng là hình thoi có cạnh bằng 13 và một đường chéo là 24. Tìm thể tích của lăng kính nếu đường chéo của mặt bên là 14. Khóa học video “Nhận điểm A” bao gồm tất cả các chủ đề bạn cần đạt được hoàn thành thành công Kỳ thi thống nhất cấp bang môn toán đạt 60-65 điểm. Hoàn toàn mọi vấn đề 1-13
Hồ sơ thi thống nhất bang
trong toán học. Cũng thích hợp để vượt qua Kỳ thi Thống nhất Cơ bản về toán học. Nếu bạn muốn vượt qua Kỳ thi Thống nhất với 90-100 điểm, bạn cần phải giải phần 1 trong 30 phút và không mắc lỗi! Khóa luyện thi cấp Nhà nước thống nhất dành cho lớp 10-11 cũng như dành cho giáo viên. Mọi thứ bạn cần để giải Phần 1 của Kỳ thi Thống nhất môn toán (12 bài đầu) và Bài 13 (lượng giác). Và đây là hơn 70 điểm trong Kỳ thi Thống nhất, và cả học sinh 100 điểm lẫn sinh viên nhân văn đều không thể làm được nếu không có chúng.. Tất cả lý thuyết cần thiết
Cách nhanh chóng giải pháp, cạm bẫy và bí mật của Kỳ thi Thống nhất. Tất cả các nhiệm vụ hiện tại của phần 1 từ Ngân hàng nhiệm vụ FIPI đã được phân tích. Khóa học hoàn toàn tuân thủ các yêu cầu của Kỳ thi Thống nhất năm 2018. Khóa học bao gồm 5
chủ đề lớn , mỗi bài 2,5 giờ. Mỗi chủ đề được đưa ra từ đầu, đơn giản và rõ ràng. Hàng trăm nhiệm vụ thi Thống nhất. Vấn đề về từ và lý thuyết xác suất. Các thuật toán đơn giản và dễ nhớ để giải quyết vấn đề. Hình học. Lý thuyết, tài liệu tham khảo, phân tích tất cả các loại nhiệm vụ Kiểm tra Nhà nước Thống nhất. Lập thể. Các giải pháp phức tạp, bảng ghi nhớ hữu ích, phát triển trí tưởng tượng không gian. Đại số. Căn, lũy thừa và logarit, hàm số và đạo hàm. Cơ sở giải quyết nhiệm vụ phức tạp 2 phần của Kỳ thi Thống nhất.
Lăng kính trực tiếp. BỀ MẶT VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT LÓT TRỰC TRỰC TIẾP.
§ 68. KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT LỰA CHỌN TRỰC TIẾP.
1. Thể tích hình lăng trụ tam giác vuông.
Giả sử chúng ta cần tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h= AA" = = BB" = SS" (hình 306).
Chúng ta hãy vẽ riêng đáy của lăng kính, tức là tam giác ABC (Hình 307, a) và dựng nó thành một hình chữ nhật, trong đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM đi qua đỉnh B || AC và từ các điểm A, C hạ các đường thẳng AF, CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Vẽ chiều cao ВD của tam giác ABC, ta thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn thế nữa /\ TẤT CẢ = /\ BCD và /\ VAF = /\ VAD. Điều này có nghĩa là diện tích hình chữ nhật ACEF gấp đôi diện tích tam giác ABC, tức là bằng 2S.
Với lăng kính có đáy ABC này, chúng ta sẽ gắn các lăng kính có đáy ALL và BAF và chiều cao h(Hình 307, b). Ta thu được hình chữ nhật có đáy hình bình hành
ACEF.
Nếu phân tích hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB" ta sẽ thấy hình bình hành hình chữ nhật gồm 4 lăng trụ có đáy
BCD, TẤT CẢ, BAD và BAF.
Các lăng kính có cơ sở BCD và ALL có thể được kết hợp vì cơ sở của chúng bằng nhau ( /\ ВСD = /\ BSE) và các cạnh bên của chúng cũng bằng nhau, vuông góc với cùng một mặt phẳng. Điều này có nghĩa là thể tích của các lăng kính này bằng nhau. Thể tích của lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.
Do đó, hóa ra thể tích của một hình lăng trụ tam giác có đáy
ABC có thể tích bằng nửa thể tích hình hộp chữ nhật đáy ACEF.
Chúng ta biết rằng thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó, tức là trong trường hợp này nó bằng 2S h. Do đó thể tích của lăng trụ tam giác vuông này bằng S h.
Thể tích của một hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
2. Thể tích của lăng trụ đa giác vuông.
Để tìm thể tích của một hình lăng trụ đa giác vuông, ví dụ hình lăng trụ ngũ giác, có diện tích đáy S và chiều cao h, hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).
Biểu thị diện tích đáy của các hình lăng trụ tam giác bằng S 1, S 2 và S 3, và thể tích của một hình lăng trụ đa giác đã cho là V, chúng ta thu được:
V = S 1 h+ S2 h+ S3 h, hoặc
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.
Và cuối cùng: V = S h.
Theo cách tương tự, công thức tính thể tích của một lăng trụ đứng có đa giác bất kỳ ở đáy được rút ra.
Có nghĩa, Thể tích của bất kỳ lăng kính bên phải nào đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao của nó.
Bài tập.
1. Tính thể tích của một hình lăng trụ thẳng có hình bình hành ở đáy bằng cách sử dụng dữ liệu sau:
2. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có hình tam giác ở đáy bằng cách sử dụng dữ liệu sau:
3. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có đáy tam giác đều có cạnh 12 cm (32 cm, 40 cm). Chiều cao lăng kính 60 cm.
4. Tính thể tích của một hình lăng trụ thẳng có đáy là tam giác vuông có hai chân lần lượt là 12 cm và 8 cm (16 cm và 7 cm; 9 m và 6 m). Chiều cao của lăng kính là 0,3 m.
5. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có hình thang ở đáy các cạnh song song 18 cm và 14 cm và chiều cao của lăng kính là 40 cm.
6. Tính khối lượng của bạn lớp học(phòng tập thể dục, phòng của bạn).
7. Toàn bộ bề mặt khối lập phương bằng 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Tính thể tích của khối lập phương này.
8. Chiều dài của viên gạch xây dựng là 25,0 cm, chiều rộng là 12,0 cm, chiều dày là 6,5 cm a) Tính thể tích của nó, b) Xác định trọng lượng của nó nếu 1. centimet khối gạch nặng 1,6 g.
9. Cần bao nhiêu viên gạch xây dựng để xây được một bức tường gạch đặc hình chữ nhật song song dài 12 m, rộng 0,6 m và cao 10 m? (Kích thước gạch từ bài tập 8.)
10. Chiều dài của một tấm ván được cắt sạch là 4,5 m, chiều rộng - 35 cm, độ dày - 6 cm a) Tính thể tích b) Xác định trọng lượng của nó nếu một deximét khối của tấm ván nặng 0,6 kg.
11. Có thể chất bao nhiêu tấn cỏ khô trong một vựa cỏ khô có mái đầu hồi (Hình 309), nếu chiều dài của vựa cỏ khô là 12 m, chiều rộng là 8 m, chiều cao là 3,5 m và chiều cao của sườn mái là 1,5 m? ( Trọng lượng riêng lấy cỏ khô là 0,2.)
12. Phải đào mương dài 0,8 km; Về mặt cắt, mương có dạng hình thang có đáy 0,9 m và 0,4 m, độ sâu của mương là 0,5 m (hình vẽ 310). Cần phải loại bỏ bao nhiêu mét khối đất?