Ghi chú. Tài liệu này chứa định lý và cách chứng minh nó, cũng như một số bài toán minh họa ứng dụng của định lý trên tổng các góc của một đa giác lồi bằng các ví dụ thực tế..

Định lý về tổng các góc của đa giác lồi

.

Bằng chứng.

Để chứng minh định lý về tổng các góc của một đa giác lồi, chúng ta sử dụng định lý đã được chứng minh rằng tổng các góc của một tam giác bằng 180 độ.

Cho A 1 A 2... An là một đa giác lồi cho trước và n > 3. Vẽ tất cả các đường chéo của đa giác từ đỉnh của A 1. Người ta chia đa giác đó thành n – 2 hình tam giác: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Tổng các góc của một đa giác bằng tổng các góc của tất cả các tam giác đó. Tổng các góc của mỗi tam giác là 180° và số lượng tam giác là (n – 2). Do đó, tổng các góc của một n-giác lồi A 1 A 2... An bằng 180° (n – 2).

Nhiệm vụ.

Một đa giác lồi có ba góc bằng 80 độ và các góc còn lại bằng 150 độ. Có bao nhiêu góc trong một đa giác lồi?

Giải pháp.

Định lý nêu rõ: Đối với một n-giác lồi, tổng các góc là 180°(n-2) .

Vì vậy, đối với trường hợp của chúng tôi:

180(n-2)=3*80+x*150, trong đó

3 góc 80 độ được cung cấp cho chúng ta theo điều kiện của bài toán và chúng ta vẫn chưa biết số góc còn lại nên chúng ta ký hiệu số của chúng là x.

Tuy nhiên, từ mục nhập ở phía bên trái, chúng ta đã xác định được số góc của đa giác là n, vì từ đó chúng ta biết giá trị của ba góc từ các điều kiện của bài toán, rõ ràng là x = n-3.

Vì vậy, phương trình sẽ trông như thế này:

180(n-2)=240+150(n-3)

Chúng tôi giải phương trình kết quả

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Trả lời: 5 đỉnh

Nhiệm vụ.

Một đa giác có thể có bao nhiêu đỉnh nếu mỗi góc nhỏ hơn 120 độ?

Giải pháp.

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý về tổng các góc của một đa giác lồi.

Định lý nêu rõ: Đối với một n-giác lồi, tổng các góc là 180°(n-2) .

Điều này có nghĩa là đối với trường hợp của chúng ta, trước tiên cần phải ước lượng các điều kiện biên của bài toán. Nghĩa là, giả sử rằng mỗi góc bằng 120 độ. Chúng tôi nhận được:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (chúng tôi sẽ xem xét biểu thức này một cách riêng biệt bên dưới)

Dựa vào phương trình thu được, chúng ta kết luận: nếu các góc nhỏ hơn 120 độ thì số góc của đa giác nhỏ hơn sáu.

Giải thích:

Dựa vào biểu thức 180n - 120n = 360, với điều kiện phần trừ của vế phải nhỏ hơn 120n thì hiệu phải lớn hơn 60n. Như vậy, thương của phép chia sẽ luôn nhỏ hơn sáu.

Trả lời: số đỉnh của đa giác sẽ ít hơn sáu.

Nhiệm vụ

Trong một đa giác, ba góc có số đo là 113 độ, các góc còn lại bằng nhau và số đo độ của chúng là số nguyên. Tìm số đỉnh của đa giác.

Giải pháp.

Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý về tổng các góc ngoài của một đa giác lồi.

Định lý nêu rõ: Đối với một n-giác lồi, tổng các góc ngoài là 360° .

Như vậy,

3*(180-113)+(n-3)x=360

phía bên phải của biểu thức là tổng các góc ngoài, ở phía bên trái tổng của ba góc được biết theo điều kiện và số đo của các góc còn lại (số của chúng tương ứng là n-3, vì ba góc được biết) được ký hiệu là x.

159 chỉ bị phân tích thành hai thừa số 53 và 3, trong đó 53 là số nguyên tố. Nghĩa là không có cặp yếu tố nào khác.

Như vậy, n-3 = 3, n=6, tức là số góc của đa giác là sáu.

Trả lời: sáu góc

Nhiệm vụ

Chứng minh rằng một đa giác lồi có thể có nhiều nhất ba góc nhọn.

Giải pháp

Như bạn đã biết, tổng các góc ngoài của một đa giác lồi là 360 0. Hãy tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Nếu một đa giác lồi có ít nhất bốn góc trong nhọn thì trong số các góc ngoài của nó có ít nhất bốn góc tù, nghĩa là tổng tất cả các góc ngoài của đa giác lớn hơn 4 * 90 0 = 360 0 . Chúng tôi có một sự mâu thuẫn. Tuyên bố đã được chứng minh.

Trong khóa học hình học cơ bản, người ta đã chứng minh rằng tổng các góc của một n-giác lồi là 180° (n-2). Hóa ra tuyên bố này cũng đúng với đa giác không lồi.

Định lý 3. Tổng các góc của một n-giác tùy ý là 180° (n - 2).

Bằng chứng. Hãy chia đa giác thành các hình tam giác bằng cách vẽ các đường chéo (Hình 11). Số lượng các tam giác như vậy là n-2, và trong mỗi tam giác tổng các góc là 180°. Vì các góc của hình tam giác tạo thành các góc của đa giác nên tổng các góc của đa giác là 180° (n - 2).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các đường đứt đoạn khép kín tùy ý, có thể có các giao điểm tự A1A2…AnA1 (Hình 12, a). Chúng ta sẽ gọi những đường đứt đoạn tự giao nhau như vậy là đa giác sao (Hình 12, b-d).

Hãy xác định hướng đếm góc ngược chiều kim đồng hồ. Lưu ý rằng các góc được hình thành bởi một đường đa tuyến khép kín phụ thuộc vào hướng mà nó đi qua. Nếu hướng đi ngang của đa giác bị đảo ngược thì các góc của đa giác sẽ là các góc bổ sung cho các góc của đa giác ban đầu lên tới 360°.

Nếu M là một đa giác được hình thành bởi một đường gãy khép kín đơn giản, có thể đi ngang theo chiều kim đồng hồ (Hình 13, a), thì tổng các góc của đa giác này sẽ bằng 180° (n - 2). Nếu đường đứt nét chạy ngược chiều kim đồng hồ (Hình 13, b), thì tổng các góc sẽ bằng 180° (n + 2).

Như vậy, công thức tổng quát tính tổng các góc của một đa giác tạo bởi một đường đứt nét đơn giản có dạng = 180° (n 2), trong đó là tổng các góc, n là số góc của đa giác, “+” hoặc “-” được lấy tùy thuộc vào hướng đi qua đường đứt nét.

Nhiệm vụ của chúng ta là suy ra công thức tính tổng các góc của một đa giác tùy ý được hình thành bởi một đường đứt đoạn khép kín (có thể tự cắt nhau). Để làm điều này, chúng tôi giới thiệu khái niệm về mức độ của đa giác.

Bậc của một đa giác là số vòng quay mà một điểm thực hiện khi đi qua các cạnh của nó một cách tuần tự. Ngoài ra, số vòng quay theo hướng ngược chiều kim đồng hồ được tính bằng dấu “+”, và số vòng quay theo chiều kim đồng hồ được tính bằng dấu “-”.

Rõ ràng là một đa giác được hình thành bởi một đường đa tuyến khép kín đơn giản có bậc +1 hoặc -1 tùy thuộc vào hướng truyền tải. Mức độ của đường đứt nét trong Hình 12a bằng hai. Bậc của các hình bảy cạnh hình ngôi sao (Hình 12, c, d) lần lượt bằng hai và ba.

Khái niệm bậc được định nghĩa tương tự đối với các đường cong khép kín trên mặt phẳng. Ví dụ: bậc của đường cong thể hiện trong Hình 14 là hai.

Để tìm mức độ của đa giác hoặc đường cong, bạn có thể tiến hành như sau. Giả sử rằng, khi di chuyển dọc theo đường cong (Hình 15, a), chúng ta bắt đầu từ một vị trí A1 nào đó, thực hiện một vòng quay hoàn toàn và kết thúc ở cùng một điểm A1. Hãy xóa phần tương ứng khỏi đường cong và tiếp tục di chuyển dọc theo đường cong còn lại (Hình 15,b). Nếu bắt đầu từ vị trí A2 nào đó, chúng ta lại thực hiện một vòng hoàn chỉnh và chạm vào cùng một điểm, thì chúng ta xóa phần tương ứng của đường cong và tiếp tục di chuyển (Hình 15, c). Bằng cách đếm số lượng các đoạn ở xa có dấu “+” hoặc “-”, tùy thuộc vào hướng di chuyển của chúng, chúng ta thu được độ đường cong cần thiết.

Định lý 4. Đối với đa giác tùy ý, công thức đúng

180° (n +2m),

trong đó là tổng các góc, n là số góc, m là bậc của đa giác.

Bằng chứng. Cho đa giác M có độ m và được mô tả theo quy ước trong Hình 16. M1, ..., Mk là những đường đứt đoạn khép kín đơn giản, đi qua đó điểm sẽ quay hoàn toàn. A1, …, Ak là các điểm tự giao nhau tương ứng của đường đứt nét, không phải là đỉnh của nó. Ta ký hiệu số đỉnh của đa giác M thuộc các đa giác M1, …, Mk lần lượt là n1, …, nk. Vì ngoài các đỉnh của đa giác M, các đỉnh A1, ..., Ak được cộng vào các đa giác này thì số đỉnh của đa giác M1, ..., Mk sẽ bằng n1+1, . .., nk+1 tương ứng. Khi đó tổng các góc của chúng sẽ bằng 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Cộng hoặc trừ được lấy tùy theo hướng đi qua các đường nét đứt. Tổng các góc của đa giác M0 còn lại từ đa giác M sau khi loại bỏ các đa giác M1, ..., Mk bằng 180° (n-n1- ...-nk+k2). Tổng các góc của đa giác M0, M1, ..., Mk cho ta tổng các góc của đa giác M và tại mỗi đỉnh A1, ..., Ak ta cũng thu được 360°. Do đó ta có đẳng thức

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

trong đó m là bậc của đa giác M.

Ví dụ, hãy xem xét việc tính tổng các góc của một ngôi sao năm cánh (Hình 17, a). Mức độ của đường gãy đóng tương ứng là -2. Do đó, tổng các góc cần thiết là 180.

Tổng các góc của một Định lý n-giác. Tổng các góc của một n-giác lồi là 180 o (n-2). Bằng chứng. Từ một đỉnh nào đó của n-giác lồi chúng ta vẽ tất cả các đường chéo của nó. Khi đó n-giác sẽ được chia thành n-2 hình tam giác. Trong mỗi tam giác, tổng các góc là 180° và các góc này tạo thành các góc của n-giác. Do đó, tổng các góc của một n-giác là 180 o (n-2).

Cách thứ hai chứng minh định lý. Tổng các góc của một n-giác lồi là 180 o (n-2). Chứng minh 2. Cho O là một điểm trong nào đó của n-giác lồi A 1 ...A n. Hãy kết nối nó với các đỉnh của đa giác này. Khi đó n-giác sẽ được chia thành n hình tam giác. Trong mỗi tam giác, tổng các góc là 180 độ. Các góc này tạo thành các góc của n-gon và 360 độ khác. Do đó, tổng các góc của một n-giác là 180 o (n-2).

Bài tập 3 Chứng minh rằng tổng các góc ngoài của một n-giác lồi bằng 360 độ. Bằng chứng. Góc ngoài của đa giác lồi bằng 180° trừ đi góc trong tương ứng. Do đó, tổng các góc ngoài của một n-giác lồi bằng 180 o n trừ đi tổng các góc trong. Vì tổng các góc trong của một n-giác lồi bằng 180 o (n-2) nên tổng các góc ngoài sẽ bằng 180 o n o (n-2) = 360 o.

Bài tập 4 Các góc của hình đều là: a) tam giác; b) hình tứ giác; c) ngũ giác; d) hình lục giác; e) hình bát giác; f) hình thập giác; g) mười hai cạnh? Đáp án: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; đ) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.

Bài tập 12* Một n-giác lồi có số góc nhọn lớn nhất là bao nhiêu? Giải pháp. Vì tổng các góc ngoài của một đa giác lồi bằng 360 độ nên một đa giác lồi không thể có nhiều hơn ba góc tù nên nó không thể có nhiều hơn ba góc nhọn trong. Trả lời. 3.

Năm lớp 8, trong giờ học hình học ở trường, học sinh lần đầu tiên được làm quen với khái niệm đa giác lồi. Họ sẽ sớm biết rằng hình này có một đặc tính rất thú vị. Cho dù nó có phức tạp đến đâu, tổng tất cả các góc trong và ngoài của một đa giác lồi đều có một giá trị được xác định chặt chẽ. Trong bài viết này, một gia sư toán và vật lý nói về tổng các góc của một đa giác lồi bằng bao nhiêu.

Tổng các góc trong của đa giác lồi

Làm thế nào để chứng minh công thức này?

Trước khi chuyển sang chứng minh khẳng định này, chúng ta hãy nhớ lại đa giác nào được gọi là lồi. Đa giác lồi là đa giác nằm hoàn toàn trên một cạnh của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. Ví dụ: cái được hiển thị trong hình này:

Nếu đa giác không thỏa mãn điều kiện đã cho thì gọi là đa giác không lồi. Ví dụ như thế này:

Tổng các góc trong của một đa giác lồi bằng , trong đó là số cạnh của đa giác đó.

Bằng chứng của thực tế này dựa trên định lý về tổng các góc trong một tam giác, được tất cả học sinh biết đến. Tôi chắc chắn rằng định lý này cũng quen thuộc với bạn. Tổng các góc trong của một tam giác là .

Ý tưởng là chia một đa giác lồi thành nhiều hình tam giác. Điều này có thể được thực hiện theo những cách khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp chúng ta chọn, bằng chứng sẽ hơi khác một chút.

1. Chia đa giác lồi thành các hình tam giác bằng cách sử dụng tất cả các đường chéo có thể có được vẽ từ một đỉnh nào đó. Dễ hiểu là khi đó n-gon của chúng ta sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác thu được bằng tổng các góc của n-giác của chúng ta. Xét cho cùng, mỗi góc trong các tam giác thu được là một góc riêng trong đa giác lồi của chúng ta. Nghĩa là, số tiền cần thiết bằng .

2. Bạn cũng có thể chọn một điểm bên trong đa giác lồi và nối nó với tất cả các đỉnh. Khi đó n-gon của chúng ta sẽ được chia thành các hình tam giác:

Hơn nữa, tổng các góc của đa giác của chúng ta trong trường hợp này sẽ bằng tổng tất cả các góc của tất cả các tam giác này trừ đi góc ở tâm, bằng . Nghĩa là, số tiền cần thiết lại bằng .

Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi

Bây giờ chúng ta đặt câu hỏi: “Tổng các góc ngoài của một đa giác lồi là bao nhiêu?” Câu hỏi này có thể được trả lời như sau. Mỗi góc bên ngoài liền kề với góc bên trong tương ứng. Vì vậy nó bằng:

Khi đó tổng các góc ngoài bằng . Tức là nó ngang bằng.

Tức là thu được một kết quả rất buồn cười. Nếu chúng ta vẽ lần lượt tất cả các góc ngoài của bất kỳ n-giác lồi nào, thì kết quả sẽ chính xác là toàn bộ mặt phẳng.

Sự thật thú vị này có thể được minh họa như sau. Hãy giảm tỷ lệ tất cả các cạnh của một số đa giác lồi cho đến khi nó hợp nhất thành một điểm. Sau khi điều này xảy ra, tất cả các góc bên ngoài sẽ được đặt cách xa nhau và do đó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng.

Sự thật thú vị phải không? Và có rất nhiều sự thật như vậy trong hình học. Vì vậy hãy học hình học nhé các em học sinh thân mến!

Tài liệu về tổng các góc của một đa giác lồi bằng nhau đã được biên soạn bởi Sergey Valerievich

Vỡ

Sự định nghĩa

đường gãy, hay nói ngắn gọn là đường gãy, là một chuỗi hữu hạn các đoạn sao cho một trong các đầu của đoạn thứ nhất đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ hai, đầu kia của đoạn thứ hai đóng vai trò là điểm cuối của đoạn thứ ba, v.v. Trong trường hợp này, các đoạn liền kề không nằm trên cùng một đường thẳng. Những đoạn này được gọi là liên kết của đường gãy.

Các loại đa tuyến

Đường đứt nét được gọi là đóng cửa, nếu phần đầu của đoạn đầu trùng với phần cuối của đoạn cuối.

Một đường đứt đoạn có thể cắt ngang, chạm vào chính nó hoặc chồng lên chính nó. Nếu không có điểm kỳ dị như vậy thì đường đứt nét đó được gọi là đơn giản.

Đa giác

Sự định nghĩa

Một đường gãy khép kín đơn giản cùng với một phần mặt phẳng giới hạn bởi nó được gọi là đa giác.

Bình luận

Tại mỗi đỉnh của đa giác, các cạnh của nó xác định một góc nhất định của đa giác. Nó có thể được mở rộng ít hơn hoặc mở rộng hơn.

Tài sản

Mọi đa giác đều có một góc nhỏ hơn $180^\circ$.

Bằng chứng

Cho một đa giác $P$.

Hãy vẽ một số đường thẳng không cắt nhau. Chúng ta sẽ di chuyển nó song song với đa giác. Tại một thời điểm nào đó, lần đầu tiên chúng ta sẽ có được một đường thẳng $a$ có ít nhất một điểm chung với đa giác $P$. Đa giác nằm trên một phía của đường này (một số điểm của nó nằm trên đường $a$).

Dòng $a$ chứa ít nhất một đỉnh của đa giác. Hai cạnh của nó, nằm ở một phía của đường thẳng $a$, hội tụ trong đó (kể cả trường hợp một trong số chúng nằm trên đường thẳng này). Điều này có nghĩa là tại đỉnh này góc mở nhỏ hơn góc mở ra.

Sự định nghĩa

Đa giác được gọi là lồi, nếu nó nằm trên một phía của mỗi đường chứa cạnh của nó. Nếu một đa giác không lồi thì nó được gọi là không lồi.

Bình luận

Đa giác lồi là giao điểm của các nửa mặt phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng chứa các cạnh của đa giác.

Tính chất của đa giác lồi

Một đa giác lồi có tất cả các góc nhỏ hơn $180^\circ$.

Một đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của đa giác lồi (cụ thể là bất kỳ đường chéo nào của nó) đều nằm trong đa giác này.

Bằng chứng

Hãy chứng minh tính chất đầu tiên

Lấy bất kỳ góc $A$ nào của đa giác lồi $P$ và cạnh $a$ của nó tính từ đỉnh $A$. Cho $l$ là một đường thẳng chứa cạnh $a$. Vì đa giác $P$ là lồi nên nó nằm về một phía của đường thẳng $l$. Do đó, góc $A$ của nó cũng nằm về một phía của đường thẳng này. Điều này có nghĩa là góc $A$ nhỏ hơn góc khai triển, tức là nhỏ hơn $180^\circ$.

Hãy chứng minh tính chất thứ hai

Lấy hai điểm bất kỳ $A$ và $B$ của đa giác lồi $P$. Đa giác $P$ là giao điểm của nhiều nửa mặt phẳng. Đoạn $AB$ được chứa trong mỗi nửa mặt phẳng này. Do đó, nó cũng nằm trong đa giác $P$.

Sự định nghĩa

Đường chéo của đa giácđược gọi là đoạn nối các đỉnh không liền kề của nó.

Định lý (về số đường chéo của n-giác)

Số đường chéo của một $n$-giác lồi được tính theo công thức $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Bằng chứng

Từ mỗi đỉnh của n-giác có thể vẽ các đường chéo $n-3$ (bạn không thể vẽ đường chéo tới các đỉnh lân cận hoặc tới chính đỉnh này). Nếu chúng ta đếm tất cả các phân đoạn có thể như vậy thì sẽ có $n\cdot(n-3)$ trong số chúng, vì có $n$ đỉnh. Nhưng mỗi đường chéo sẽ được tính hai lần. Do đó, số đường chéo của n-giác bằng $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Định lý (về tổng các góc của một n-giác)

Tổng các góc của một $n$-giác lồi là $180^\circ(n-2)$.

Bằng chứng

Xét $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Hãy lấy một điểm tùy ý $O$ bên trong đa giác này.

Tổng các góc của tất cả các tam giác $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ bằng $180^\circ\cdot n$.

Mặt khác, tổng này là tổng của tất cả các góc trong của đa giác và tổng góc $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Khi đó tổng các góc của $n$-giác đang xét sẽ bằng $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Kết quả

Tổng các góc của một $n$-giác không lồi là $180^\circ(n-2)$.

Bằng chứng

Xét đa giác $A_1A_2\ldots A_n$, có góc duy nhất $\angle A_2$ là không lồi, tức là $\angle A_2>180^\circ$.

Chúng ta hãy biểu thị tổng sản lượng đánh bắt được của anh ta là $S$.

Hãy nối các điểm $A_1A_3$ và xét đa giác $A_1A_3\ldots A_n$.

Tổng các góc của đa giác này là:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\góc A_2+\góc 1+\góc 2=S-\góc A_2+180^\circ-\góc A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Do đó, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Nếu đa giác ban đầu có nhiều hơn một góc không lồi thì phép toán được mô tả ở trên có thể được thực hiện với mỗi góc như vậy, điều này sẽ dẫn đến khẳng định được chứng minh.

Định lý (về tổng các góc ngoài của n-giác lồi)

Tổng các góc ngoài của một $n$-giác lồi là $360^\circ$.

Bằng chứng

Góc ngoài tại đỉnh $A_1$ bằng $180^\circ-\góc A_1$.

Tổng các góc ngoài bằng:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.