Ví dụ về các hình có tâm đối xứng. Tính đồng nhất và tương tự, đối xứng trung tâm và gương

Cuộc sống của con người tràn ngập sự đối xứng. Thật tiện lợi, đẹp đẽ và không cần phải phát minh ra những tiêu chuẩn mới. Nhưng nó thực sự là gì và nó có đẹp về bản chất như người ta thường tin không?

tính đối xứng

Từ xa xưa, con người đã tìm cách tổ chức thế giới xung quanh mình. Vì vậy, có thứ được cho là đẹp, có thứ lại không được đẹp lắm. Từ quan điểm thẩm mỹ, tỷ lệ vàng và bạc được coi là hấp dẫn và tất nhiên là tính đối xứng. Thuật ngữ này có nguồn gốc Hy Lạp và theo nghĩa đen có nghĩa là “sự cân xứng”. Tất nhiên rồi chúng ta đang nói về không chỉ về sự trùng hợp trên cơ sở này mà còn về một số cơ sở khác. TRONG theo nghĩa chung tính đối xứng là một thuộc tính của một đối tượng khi do kết quả của một số hình thức nhất định, kết quả sẽ bằng với dữ liệu gốc. Điều này xảy ra cả trong cuộc sống và trong bản chất vô tri, cũng như trong các đồ vật do con người tạo ra.

Trước hết, thuật ngữ “đối xứng” được sử dụng trong hình học, nhưng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và ý nghĩa của nó nhìn chung không thay đổi. Hiện tượng này xảy ra khá thường xuyên và được coi là thú vị, vì một số loại cũng như các yếu tố của nó khác nhau. Việc sử dụng tính đối xứng cũng rất thú vị, bởi nó không chỉ được tìm thấy trong tự nhiên mà còn trong các hoa văn trên vải, đường viền của các tòa nhà và nhiều đồ vật nhân tạo khác. Cần xem xét hiện tượng này chi tiết hơn vì nó cực kỳ hấp dẫn.

Sử dụng thuật ngữ này trong các lĩnh vực khoa học khác

Trong phần tiếp theo, tính đối xứng sẽ được xem xét từ quan điểm hình học, nhưng điều đáng nói là từ đã chođược sử dụng không chỉ ở đây. Sinh học, virus học, hóa học, vật lý, tinh thể học - tất cả những điều này là một danh sách không đầy đủ các lĩnh vực trong đó hiện tượng này học với nhiều mặt khác nhau và trong điều kiện khác nhau. Ví dụ, việc phân loại phụ thuộc vào lĩnh vực khoa học mà thuật ngữ này đề cập đến. Do đó, việc phân chia thành các loại rất khác nhau, mặc dù có lẽ một số loại cơ bản vẫn không thay đổi xuyên suốt.

Phân loại

Có một số loại đối xứng chính, trong đó có ba loại phổ biến nhất:


Ngoài ra, trong hình học còn có các loại sau, chúng ít phổ biến hơn nhưng không kém phần thú vị:

  • trượt;
  • luân phiên;
  • điểm;
  • tiến bộ;
  • vít;
  • phân dạng;
  • vân vân.

Trong sinh học, tất cả các loài được gọi hơi khác nhau, mặc dù về bản chất chúng có thể giống nhau. Sự phân chia thành các nhóm nhất định xảy ra trên cơ sở sự hiện diện hay vắng mặt, cũng như số lượng của các yếu tố nhất định, chẳng hạn như tâm, mặt phẳng và trục đối xứng. Chúng nên được xem xét riêng biệt và chi tiết hơn.

Yếu tố cơ bản

Hiện tượng này có những đặc điểm nhất định, một trong số đó nhất thiết phải có. Cái gọi là yếu tố cơ bản bao gồm các mặt phẳng, tâm và trục đối xứng. Loại được xác định tùy theo sự hiện diện, vắng mặt và số lượng của chúng.

Tâm đối xứng là điểm bên trong một hình hoặc tinh thể mà tại đó các đường nối mọi thứ theo cặp hội tụ người bạn song song sang phía bên kia. Tất nhiên, nó không phải lúc nào cũng tồn tại. Nếu có những mặt không có cặp song song, thì không thể tìm được điểm như vậy vì nó không tồn tại. Theo định nghĩa, rõ ràng tâm đối xứng là điểm mà qua đó một hình có thể được phản chiếu lên chính nó. Ví dụ: một vòng tròn và một điểm ở giữa nó. Phần tử này thường được ký hiệu là C.

Tất nhiên, mặt phẳng đối xứng là tưởng tượng, nhưng chính nó đã chia hình thành hai phần bằng nhau. Nó có thể đi qua một hoặc nhiều cạnh, song song với nó hoặc chia cắt chúng. Với cùng một hình, nhiều mặt phẳng có thể tồn tại cùng một lúc. Những phần tử này thường được ký hiệu là P.

Nhưng có lẽ phổ biến nhất là cái được gọi là “trục đối xứng”. Đây là một hiện tượng phổ biến có thể thấy cả trong hình học và trong tự nhiên. Và nó đáng được xem xét riêng.

Trục

Thông thường yếu tố liên quan đến một hình có thể được gọi là đối xứng là


một đường thẳng hoặc đoạn thẳng xuất hiện. Trong mọi trường hợp, chúng ta không nói về một điểm hay một mặt phẳng. Sau đó, các số liệu được xem xét. Có thể có rất nhiều trong số chúng, và chúng có thể được đặt theo bất kỳ cách nào: chia các cạnh hoặc song song với chúng, cũng như các góc giao nhau hoặc không làm như vậy. Trục đối xứng thường được ký hiệu là L.

Ví dụ bao gồm cân và Trong trường hợp đầu tiên sẽ có trục tung sự đối xứng, ở cả hai phía của nó khuôn mặt bằng nhau và trong giây thứ hai, các đường thẳng sẽ cắt từng góc và trùng với tất cả các đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao. Hình tam giác thông thường không có điều này.

Nhân tiện, tổng thể của tất cả các yếu tố trên trong tinh thể học và phép đo lập thể được gọi là mức độ đối xứng. Chỉ báo này phụ thuộc vào số lượng trục, mặt phẳng và tâm.

Ví dụ trong hình học

Thông thường, chúng ta có thể chia toàn bộ tập hợp đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học thành các hình có trục đối xứng và những hình không có trục đối xứng. Tất cả các hình tròn, hình bầu dục, cũng như một số trường hợp đặc biệt đều tự động rơi vào loại đầu tiên, trong khi những trường hợp còn lại rơi vào nhóm thứ hai.

Như trong trường hợp nói về trục đối xứng của một tam giác, phần tử này vì một tứ giác không phải lúc nào cũng tồn tại. Đối với hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi hoặc hình bình hành thì như vậy và đối với hình không đều, theo đó, không. Đối với hình tròn, trục đối xứng là tập hợp các đường thẳng đi qua tâm của hình tròn.

Ngoài ra, thật thú vị khi xem xét số liệu thể tích từ quan điểm này. Ít nhất một trục đối xứng ngoài tất cả đa giác đều và quả bóng sẽ có một số hình nón, cũng như hình chóp, hình bình hành và một số hình khác. Mỗi trường hợp phải được xem xét riêng biệt.

Ví dụ trong tự nhiên

Trong cuộc sống người ta gọi là song phương, nó xảy ra nhiều nhất
thường. Bất kỳ người nào và nhiều loài động vật đều là một ví dụ về điều này. Trục được gọi là xuyên tâm và ít phổ biến hơn nhiều, thường là ở hệ thực vật. Thế nhưng chúng vẫn tồn tại. Ví dụ, điều đáng suy nghĩ là một ngôi sao có bao nhiêu trục đối xứng và liệu nó có trục đối xứng nào không? Tất nhiên, chúng ta đang nói về sinh vật biển chứ không phải về chủ đề nghiên cứu của các nhà thiên văn học. Và câu trả lời đúng sẽ là: nó phụ thuộc vào số lượng tia sáng của ngôi sao, ví dụ như năm tia nếu nó là ngôi sao năm cánh.

Ngoài ra, tính đối xứng xuyên tâm được quan sát thấy ở nhiều loài hoa: hoa cúc, hoa ngô, hoa hướng dương, v.v. Có một số lượng lớn các ví dụ, chúng thực sự ở khắp mọi nơi xung quanh.


Rối loạn nhịp tim

Thuật ngữ này, trước hết, gợi nhớ hầu hết về y học và tim mạch, nhưng ban đầu nó có ý nghĩa hơi khác một chút. TRONG trong trường hợp này một từ đồng nghĩa sẽ là “sự bất đối xứng”, tức là sự vắng mặt hoặc vi phạm tính quy luật ở dạng này hay dạng khác. Nó có thể được coi là một sự ngẫu nhiên và đôi khi nó có thể trở thành một kỹ thuật tuyệt vời, chẳng hạn như trong quần áo hoặc kiến ​​trúc. Xét cho cùng, có rất nhiều tòa nhà đối xứng, nhưng tòa nhà nổi tiếng hơi nghiêng, và mặc dù không phải là tòa nhà duy nhất nhưng nó là tòa nhà đẹp nhất. ví dụ nổi tiếng. Được biết, điều này xảy ra một cách tình cờ nhưng điều này lại có sức hấp dẫn riêng.

Ngoài ra, rõ ràng khuôn mặt và cơ thể của con người và động vật cũng không hoàn toàn đối xứng. Thậm chí đã có những nghiên cứu cho thấy khuôn mặt “chuẩn chỉnh” bị đánh giá là thiếu sức sống hoặc đơn giản là kém hấp dẫn. Tuy nhiên, bản thân nhận thức về tính đối xứng và hiện tượng này đã rất đáng kinh ngạc và vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ, do đó cực kỳ thú vị.

CHƯƠNG BA

đa diện

V. KHÁI NIỆM VỀ ĐỐI XƯỢNG CỦA HÌNH KHÔNG GIAN

99. Đối xứng trung tâm. Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua một điểm O bất kỳ trong không gian nếu mỗi điểm A của hình này tương ứng trong hình kia với điểm A”, nằm trên đường thẳng OA ở phía bên kia của điểm O, cách một khoảng bằng khoảng cáchđiểm A từ điểm O (Hình 114). Điểm O được gọi là tâm đối xứng số liệu.

Chúng ta đã thấy một ví dụ về các hình đối xứng như vậy trong không gian (§ 53), khi bằng cách tiếp tục các cạnh và mặt của một góc đa diện vượt ra ngoài đỉnh, chúng ta thu được một góc đa diện đối xứng với góc đã cho. Các đoạn và góc tương ứng tạo nên hai hình đối xứng thì bằng nhau. Tuy nhiên, các hình nói chung không thể được gọi là bằng nhau: chúng không thể kết hợp với nhau do thứ tự của các phần trong hình này khác với hình kia, như chúng ta đã thấy trong ví dụ về các góc đa diện đối xứng.

Trong một số trường hợp, các hình đối xứng có thể được kết hợp nhưng những phần không phù hợp của chúng sẽ trùng nhau. Ví dụ: lấy một góc tam giác vuông (Hình 115) có đỉnh tại điểm O và các cạnh OX, OY, OZ.

Hãy xây dựng anh ấy góc đối xứng OX"Y"Z". Góc OXYZ có thể kết hợp với OX"Y"Z" sao cho cạnh OX trùng với OY", và cạnh OY trùng với OX". Nếu chúng ta kết hợp các cạnh tương ứng OX với OX" và OY với OY", thì các cạnh OZ và OZ" sẽ có hướng ngược nhau.

Nếu các hình đối xứng cùng nhau tạo thành một vật thể hình học thì vật thể hình học này được cho là có tâm đối xứng. Do đó, nếu một vật thể cho trước có tâm đối xứng thì mọi điểm thuộc vật thể này tương ứng với một điểm đối xứng cũng thuộc về cơ thể nhất định. Trong số những cái chúng tôi đã xem xét cơ thể hình học có tâm đối xứng, ví dụ: 1) hình bình hành, 2) lăng kính có đa giác đều ở đáy số chẵn bên

Tứ diện đều không có tâm đối xứng.

100. Tính đối xứng so với mặt phẳng. Hai hình không gian được gọi là đối xứng nhau qua mặt phẳng P nếu mỗi điểm A của hình này ứng với điểm A của hình kia và đoạn AA” vuông góc với mặt phẳng P và được chia làm đôi tại giao điểm với chiếc máy bay này.

Định lý. Hai đoạn thẳng tương ứng bất kỳ của hai hình đối xứng đều bằng nhau.

Cho hai hình đối xứng nhau qua mặt phẳng P. Chọn hai điểm A và B của hình thứ nhất, gọi A” và B” là các điểm tương ứng của hình thứ hai (Hình 116, các hình không phải là thể hiện trong hình vẽ).

Gọi C là giao điểm của đoạn AA" với mặt phẳng P, D là giao điểm của đoạn BB" với cùng một mặt phẳng. Nối hai điểm C và D bằng một đường thẳng ta được hai hình tứ giác ABDC và A"B"DC. Vì AC = A"C, BD = B"D và
/ ACD = / A.C.D. / BDC = / Trong "DC, là góc vuông, thì các tứ giác này bằng nhau (dễ dàng xác minh bằng sự xếp chồng). Do đó, AB = A"B". Định lý này ngay lập tức suy ra rằng mặt phẳng tương ứng và góc nhị diện hai hình đối xứng nhau trong một mặt phẳng thì bằng nhau. Tuy nhiên, không thể kết hợp hai hình này với nhau sao cho các phần tương ứng của chúng khớp với nhau, vì thứ tự của các phần trong một hình là điều ngược lại với điều đó, diễn ra ở một nơi khác (điều này sẽ được chứng minh dưới đây, § 102). Ví dụ đơn giản nhất về hai hình đối xứng với một mặt phẳng là: bất kỳ vật thể nào và hình ảnh phản chiếu của nó trong gương phẳng; mọi hình đều đối xứng với nó hình ảnh phản chiếu so với mặt phẳng của gương.

Nếu bất kỳ vật thể hình học nào có thể được chia thành hai phần đối xứng với một mặt phẳng nhất định thì mặt phẳng này được gọi là mặt phẳng đối xứng của vật thể đó.

Các vật thể hình học có mặt phẳng đối xứng là cực kỳ phổ biến trong tự nhiên và trong cuộc sống hàng ngày. Cơ thể con người và động vật có một mặt phẳng đối xứng, chia thành hai phần bên phải và bên trái.

Ví dụ này đặc biệt làm rõ rằng các hình đối xứng không thể kết hợp được. Như vậy, tay của tay phải và tay trái đối xứng nhau nhưng không thể kết hợp với nhau, điều này ít nhất có thể thấy qua thực tế là cùng một chiếc găng tay không thể vừa với cả tay phải và tay trái. Số lượng lớnđồ gia dụng có mặt phẳng đối xứng: ghế, bàn ăn, tủ sách, ghế sofa, v.v. Một số, chẳng hạn như bàn ăn, thậm chí không có một mà là hai mặt phẳng đối xứng (Hình 117).

Thông thường, khi xem xét một vật thể có mặt phẳng đối xứng, chúng ta cố gắng đảm bảo một vị trí so với nó sao cho mặt phẳng đối xứng của cơ thể chúng ta, hoặc ít nhất là đầu của chúng ta, trùng với mặt phẳng đối xứng của chính vật thể đó. Trong trường hợp này. hình dạng đối xứng chủ đề trở nên đặc biệt đáng chú ý.

101. Tính đối xứng về trục. Trục đối xứng bậc hai. Hai hình được gọi là đối xứng nhau qua trục l (trục là đường thẳng) nếu mỗi điểm A của hình thứ nhất ứng với điểm A” của hình thứ hai sao cho đoạn AA” vuông góc với trục l, giao nhau với nó và được chia làm đôi tại giao điểm. Trục l được gọi là trục đối xứng bậc hai.

Từ định nghĩa này, ngay lập tức suy ra rằng nếu hai vật thể hình học, đối xứng qua một trục bất kỳ, cắt nhau bởi một mặt phẳng vuông góc với trục này thì mặt cắt ngang sẽ tạo ra hai hình phẳng, đối xứng tại giao điểm của mặt phẳng với trục đối xứng của các vật.

Từ đây dễ dàng suy ra rằng hai vật đối xứng quanh một trục có thể kết hợp với nhau bằng cách quay một trong chúng 180° quanh trục đối xứng. Trong thực tế, chúng ta hãy tưởng tượng tất cả các mặt phẳng có thể vuông góc với trục đối xứng.

Mỗi mặt phẳng như vậy giao nhau với cả hai vật thể chứa các hình đối xứng tại điểm mà mặt phẳng gặp trục đối xứng của các vật thể. Nếu bạn buộc mặt phẳng cắt tự trượt, xoay nó quanh trục đối xứng của vật thể 180° thì hình đầu tiên trùng với hình thứ hai.

Điều này đúng với bất kỳ mặt phẳng cắt nào. Việc quay tất cả các phần của cơ thể một góc 180° tương đương với việc quay toàn bộ cơ thể một góc 180° quanh trục đối xứng. Đây là nơi tính hợp lệ của tuyên bố của chúng tôi theo sau.

Nếu sau khi quay hình không gian xung quanh một đường thẳng nhất định, nó trùng khớp 180° với chính nó, khi đó người ta nói rằng hình này có đường thẳng này là trục đối xứng bậc hai.

Cái tên “trục đối xứng bậc hai” được giải thích là do trong quá trình quay hết một vòng quanh trục này, vật trong quá trình quay sẽ hai lần chiếm một vị trí trùng với vị trí ban đầu (bao gồm cả vị trí ban đầu). Ví dụ về các vật thể hình học có trục đối xứng bậc hai là:
1) kim tự tháp đều đặn với số mặt bên chẵn; trục đối xứng của nó là chiều cao của nó;
2) hình khối; nó có ba trục đối xứng: các đường thẳng nối tâm của các mặt đối diện của nó;
3) lăng kính đúng với số mặt bên chẵn. Trục đối xứng của nó là mỗi đường thẳng nối tâm của bất kỳ cặp mặt đối diện nào của nó (các mặt bên và hai đáy của lăng kính). Nếu số mặt bên của lăng kính là 2 k, thì số trục đối xứng như vậy sẽ là k+ 1. Ngoài ra, trục đối xứng của lăng kính đó là từng đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện của nó. Lăng kính có trục đối xứng A.

Vậy số đúng là 2 k- lăng kính hai mặt có 2 k Trục +1, tính đối xứng.

102. Sự phụ thuộc giữa nhiều loại sự đối xứng trong không gian. Có một mối quan hệ giữa các loại đối xứng khác nhau trong không gian - trục, phẳng và tâm - được thể hiện bằng định lý sau.

Định lý. Nếu hình F đối xứng với hình F” so với mặt phẳng P, đồng thời đối xứng với hình F” so với điểm O nằm trong mặt phẳng P thì hai hình F” và F” đối xứng với trục đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng R.

Hãy lấy một số điểm A của hình F (Hình 118). Nó tương ứng với điểm A" của hình F" và điểm A" của hình F" (bản thân các hình F, F" và F" không được thể hiện trên hình vẽ).

Gọi B là giao điểm của đoạn AA" với mặt phẳng P. Vẽ mặt phẳng đi qua các điểm A, A" và O. Mặt phẳng này sẽ vuông góc với mặt phẳng P vì nó đi qua đường thẳng AA" , vuông góc với mặt phẳng này, trong mặt phẳng AA”O vẽ đường thẳng OH vuông góc với OB. Đường thẳng OH này cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng P. Tiếp theo, gọi C là giao điểm của hai đường thẳng AA và OH.

Trong tam giác AA"A"", đoạn BO nối trung điểm của các cạnh AA" và AA", do đó BO || A"A", nhưng BO_|_OH, có nghĩa là AA"_|_OH hơn nữa. O là trung điểm AA", còn CO || AA", rồi A"C = A"C. Từ đây chúng ta kết luận rằng các điểm A" và A" đối xứng qua trục OH. Điều này cũng đúng với tất cả các điểm khác của hình. Điều này có nghĩa là định lý của chúng ta là Từ định lý này đã chứng minh ngay rằng hai hình đối xứng với mặt phẳng không thể kết hợp sao cho các phần tương ứng của chúng được kết hợp với nhau. Trên thực tế, hình F" được kết hợp với F" bằng cách quay quanh trục OH một góc 180. ° Nhưng các hình F" và F" không thể kết hợp được. Vì đối xứng qua một điểm nên hình F và F" cũng không thể kết hợp được.

103. Trục đối xứng bậc cao hơn. Một hình có trục đối xứng sẽ thẳng hàng với chính nó sau khi quay quanh trục đối xứng một góc 180°. Nhưng có thể có trường hợp hình này thẳng hàng với vị trí bắt đầu sau khi quay quanh một trục nhất định một góc nhỏ hơn 180°. Vì vậy, nếu cơ thể làm lượt đầy đủ quanh trục này thì trong quá trình quay nó sẽ căn chỉnh về vị trí ban đầu nhiều lần. Trục quay này gọi là trục đối xứng thứ tự cao hơn, và số vị trí của vật trùng với vị trí ban đầu được gọi là thứ tự của trục đối xứng. Trục này có thể không trùng với trục đối xứng bậc hai. Do đó, một hình chóp tam giác đều không có trục đối xứng bậc hai, nhưng chiều cao của nó đóng vai trò là trục đối xứng bậc ba cho nó. Trên thực tế, sau khi xoay kim tự tháp này quanh độ cao một góc 120°, nó sẽ thẳng hàng với chính nó (Hình 119).

Khi kim tự tháp quay quanh một độ cao, nó có thể chiếm ba vị trí trùng với vị trí ban đầu, bao gồm cả vị trí ban đầu. Dễ dàng nhận thấy rằng mọi trục đối xứng cấp chẵn đồng thời là trục đối xứng cấp hai.

Ví dụ về trục đối xứng bậc cao:

1) Đúng N- Kim tự tháp cacbon có trục đối xứng N-thứ tự. Trục này là chiều cao của kim tự tháp.

2) Đúng N- lăng kính cacbon có trục đối xứng N-thứ tự. Trục này là một đường thẳng nối tâm của các đáy của lăng kính.

104. Tính đối xứng của hình lập phương.Đối với bất kỳ hình bình hành nào, giao điểm của các đường chéo của hình lập phương là tâm đối xứng của nó.

Hình lập phương có chín mặt phẳng đối xứng: sáu mặt phẳng chéo và ba mặt phẳng đi qua trung điểm của bốn cạnh song song của nó.

Hình lập phương có chín trục đối xứng bậc hai: sáu đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của nó và ba đường thẳng nối tâm của các mặt đối diện (Hình 120).

Những đường thẳng cuối cùng này là trục đối xứng bậc bốn. Ngoài ra, hình lập phương còn có bốn trục đối xứng bậc ba, đó là các đường chéo của nó. Trên thực tế, đường chéo của khối lập phương AG (Hình 120) rõ ràng nghiêng bằng nhau với các cạnh AB, AD và AE, và các cạnh này cũng nghiêng với nhau như nhau. Nếu nối các điểm B, D và E, chúng ta sẽ có kết quả đúng kim tự tháp hình tam giác ADBE, trong đó đường chéo của khối AG đóng vai trò là chiều cao của nó. Khi kim tự tháp này thẳng hàng với chính nó khi xoay quanh chiều cao, toàn bộ khối lập phương sẽ thẳng hàng với vị trí ban đầu. Dễ dàng nhận thấy, khối lập phương không có trục đối xứng nào khác. Hãy xem có bao nhiêu theo nhiều cách khác nhau khối lập phương có thể được kết hợp với chính nó. Xoay quanh trục đối xứng thông thường sẽ tạo ra một vị trí của khối lập phương, khác với vị trí ban đầu, trong đó toàn bộ khối lập phương thẳng hàng với chính nó.

Xoay quanh trục bậc ba tạo ra hai vị trí như vậy và quay quanh trục bậc bốn tạo ra ba vị trí như vậy. Vì hình lập phương có sáu trục cấp hai (đây là những trục đối xứng thông thường), bốn trục cấp ba và ba trục cấp bốn nên có 6 1 + 4 2 + 3 3 = 23 vị trí của hình lập phương, khác với cái ban đầu, lúc đó nó được kết hợp với chính nó.

Thật dễ dàng để xác minh trực tiếp rằng tất cả các vị trí này đều khác nhau và cũng khác với vị trí ban đầu của khối. Cùng với vị trí bắt đầu, chúng tạo nên 24 cách kết hợp khối lập phương với chính nó.



Định nghĩa tính đối xứng;

  • Định nghĩa tính đối xứng;

  • đối xứng trung tâm;

  • Đối xứng trục;

  • Sự đối xứng so với mặt phẳng;

  • Đối xứng xoay;

  • Đối xứng gương;

  • Sự đối xứng của sự tương đồng;

  • đối xứng thực vật;

  • đối xứng động vật;

  • Tính đối xứng trong kiến ​​trúc;

  • Con người có phải là một sinh vật đối xứng?

  • Sự đối xứng của từ và số;


ĐỐI XỨNG

  • ĐỐI XỨNG- sự cân xứng, sự giống nhau trong việc sắp xếp các bộ phận của vật ở các phía đối diện của một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng.

  • (Từ điển giải thích của Ozhegov)

  • Vì vậy, một đối tượng hình học được coi là đối xứng nếu có thể thực hiện điều gì đó với nó, sau đó nó sẽ vẫn giữ nguyên không thay đổi.


VỀ VỀ VỀ gọi điện tâm đối xứng của hình.

  • Ta gọi hình đó là đối xứng qua một điểm VỀ, nếu tại mỗi điểm của hình có một điểm đối xứng với nó so với điểm đó VỀ cũng thuộc về nhân vật này. chấm VỀ gọi điện tâm đối xứng của hình.



hình tròn và hình bình hành tâm của vòng tròn ). Lịch trình Không hàm số chẵn

    Ví dụ về các hình có tâm đối xứng là hình tròn và hình bình hành. Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của vòng tròn, và tâm đối xứng của hình bình hành là giao điểm của các đường chéo của nó. Mọi đường thẳng đều có tâm đối xứng ( bất kỳ điểm nào trên một đường thẳng đều là tâm đối xứng của nó). Lịch trình hàm lẻ đối xứng về gốc tọa độ.

  • Ví dụ về hình không có tâm đối xứng là tam giác tùy ý.


MỘT MỘT Một gọi điện trục đối xứng của hình.

  • Người ta cho rằng hình đó đối xứng qua một đường thẳng MỘT, nếu tại mỗi điểm của hình có một điểm đối xứng với nó so với đường thẳng MỘT cũng thuộc về nhân vật này. Thẳng Một gọi điện trục đối xứng của hình.



Ở một góc không lộn ngược một trục đối xứng đường phân giác của góc một trục đối xứng ba trục đối xứng hai trục đối xứng, và hình vuông là bốn trục đối xứng so với trục y.

    Ở một góc không lộn ngược một trục đối xứng- đường thẳng nơi nó nằm đường phân giác của góc. Tam giác cân cũng có một trục đối xứng, và một tam giác đều là ba trục đối xứng. Một hình chữ nhật và một hình thoi không phải hình vuông có hai trục đối xứng, và hình vuông là bốn trục đối xứng. Một vòng tròn có vô số chúng. Đồ thị của hàm chẵn có tính chất đối xứng khi dựng so với trục y.

  • Có những hình không có một trục đối xứng. Những số liệu như vậy bao gồm hình bình hành, không phải là hình chữ nhật, tam giác cân.



Điểm MỘT Và A1 MỘT MỘT AA1 Và vuông góc MỘTđếm đối xứng với chính nó

    Điểm MỘT Và A1được gọi là đối xứng so với mặt phẳng MỘT(mặt phẳng đối xứng), nếu mặt phẳng MỘT đi qua giữa đoạn AA1 Và vuông góc tới phân khúc này. Mỗi điểm của mặt phẳng MỘTđếm đối xứng với chính nó. Hai hình được gọi là đối xứng so với mặt phẳng (hoặc đối xứng gương) nếu chúng bao gồm các điểm đối xứng theo cặp. Điều này có nghĩa là đối với mỗi điểm của một hình, một điểm đối xứng (tương đối) với nó nằm trong một hình khác.


Cơ thể (hoặc hình dáng) có sự đối xứng quay, nếu khi quay một góc 360°/n, trong đó n là số nguyên hoàn toàn tương thích

  • Cơ thể (hoặc hình dáng) có sự đối xứng quay, nếu khi quay một góc 360°/n, trong đó n là số nguyên, gần một đường thẳng AB (trục đối xứng) thì hoàn toàn tương thích với vị trí ban đầu của nó.

  • đối xứng xuyên tâm- một dạng đối xứng được bảo toàn khi một vật quay quanh một điểm hoặc đường cụ thể. Thông thường điểm này trùng với trọng tâm của vật, tức là điểm mà tại đó giao nhau vô số trục đối xứng. Các đối tượng tương tự có thể vòng tròn, quả bóng, hình trụ hoặc hình nón.



Đối xứng gương ràng buộc bất cứ ai

    Đối xứng gương ràng buộc bất cứ ai một vật và ảnh phản chiếu của nó lên gương phẳng. Một hình (hoặc cơ thể) được cho là đối xứng qua gương với hình khác nếu chúng cùng nhau tạo thành một hình ảnh phản chiếu hình đối xứng(hoặc cơ thể). Các hình được phản chiếu đối xứng, vì tất cả những điểm tương đồng của chúng, có sự khác biệt đáng kể với nhau. Hai hình phẳng đối xứng gương luôn có thể được đặt chồng lên nhau. Tuy nhiên, để làm được điều này cần phải loại bỏ một trong số chúng (hoặc cả hai) khỏi mặt phẳng chung của chúng.


Sự đối xứng của sự tương đồng búp bê làm tổ.

  • Sự đối xứng của sự tương đồng là những điểm tương tự đặc biệt của các phép đối xứng trước đó với điểm khác biệt duy nhất là chúng được liên kết với giảm hoặc tăng đồng thời các phần tương tự của hình và khoảng cách giữa chúng. Ví dụ đơn giản nhất về sự đối xứng như vậy là búp bê làm tổ.

  • Đôi khi các hình có thể có các kiểu đối xứng khác nhau. Ví dụ: một số chữ cái có tính đối xứng quay và đối xứng gương: VÀ, N, M, VỀ, MỘT.


  • Có nhiều loại đối xứng khác có tính chất trừu tượng. Ví dụ:

  • Đối xứng giao hoán, bao gồm thực tế là nếu các hạt giống hệt nhau được hoán đổi vị trí thì không có thay đổi nào xảy ra;

  • đo đối xứngđã kết nối với sự thay đổi thu phóng. Trong thiên nhiên vô tri, tính đối xứng chủ yếu phát sinh trong một hiện tượng tự nhiên như tinh thể, từ đó hầu hết các chất rắn được cấu thành. Chính điều này quyết định tính chất của chúng. Ví dụ rõ ràng nhất về vẻ đẹp và sự hoàn hảo của pha lê là ví dụ nổi tiếng. bông tuyết.



    Chúng ta gặp sự đối xứng ở mọi nơi: trong tự nhiên, công nghệ, nghệ thuật, khoa học. Khái niệm đối xứng trải qua nhiều thế kỷ lịch sử sự sáng tạo của con người. Nguyên tắc chơi đối xứng vai trò quan trọng về vật lý và toán học, hóa học và sinh học, công nghệ và kiến ​​trúc, hội họa và điêu khắc, thơ ca và âm nhạc. Các quy luật tự nhiên cũng tuân theo nguyên tắc đối xứng.


trục đối xứng.

  • Nhiều bông hoa có một đặc tính thú vị: chúng có thể xoay để mỗi cánh hoa đảm nhận vị trí của cánh hoa lân cận và bông hoa thẳng hàng với chính nó. Loài hoa này có trục đối xứng.

  • đối xứng xoắn ốc quan sát thấy ở sự sắp xếp của lá trên thân của hầu hết các loại cây. Xếp thành hình xoắn ốc dọc theo thân cây, những chiếc lá dường như xòe ra mọi hướng và không cản ánh sáng vào nhau, điều này vô cùng cần thiết cho đời sống thực vật.

  • đối xứng song phương Các cơ quan thực vật cũng có mặt, ví dụ như thân của nhiều cây xương rồng. Thường thấy ở thực vật học triệt để hoa sắp xếp đối xứng.


đường phân chia.

  • Sự đối xứng ở động vật có nghĩa là sự tương ứng về kích thước, hình dạng và đường nét cũng như sự sắp xếp tương đối của các bộ phận cơ thể nằm ở hai phía đối diện. đường phân chia.

  • Các kiểu đối xứng chính là xuyên tâm(xuyên tâm) – nó được sở hữu bởi động vật da gai, động vật có ruột, sứa, v.v.; hoặc song phương(hai mặt) - chúng ta có thể nói rằng mọi động vật (có thể là côn trùng, cá hoặc chim) đều bao gồm của hai nửa- phải và trái.

  • Đối xứng hình cầu xảy ra ở các loài cá phóng xạ và cá thái dương. Bất kỳ mặt phẳng nào vẽ qua tâm đều chia con vật thành hai nửa bằng nhau.


  • Tính đối xứng của một cấu trúc gắn liền với việc tổ chức các chức năng của nó. Hình chiếu của mặt phẳng đối xứng - trục của tòa nhà - thường xác định vị trí của lối vào chính và điểm bắt đầu của các luồng giao thông chính.

  • Mọi chi tiết trong một hệ thống đối xứng đều tồn tại giống như một cú đúp cho cặp đôi bắt buộc của bạn, nằm ở phía bên kia của trục và do đó nó chỉ có thể được coi là một phần của tổng thể.

  • Phổ biến nhất trong kiến ​​trúc đối xứng gương. Các tòa nhà của Ai Cập cổ đại và các ngôi đền của Hy Lạp cổ đại, nhà hát vòng tròn, nhà tắm, vương cung thánh đường và khải hoàn môn của người La Mã, cung điện và nhà thờ thời Phục hưng, cũng như nhiều tòa nhà kiến ​​​​trúc hiện đại đều phụ thuộc vào nó.


dấu trọng âm

  • Để phản ánh tính đối xứng tốt hơn, các tòa nhà được đặt dấu trọng âm- các yếu tố đặc biệt quan trọng (mái vòm, ngọn tháp, lều, lối vào chính và cầu thang, ban công và cửa sổ lồi).

  • Để thiết kế trang trí kiến ​​​​trúc, một vật trang trí được sử dụng - một mẫu lặp lại nhịp nhàng dựa trên thành phần đối xứng của các yếu tố của nó và được thể hiện bằng đường nét, màu sắc hoặc phù điêu. Trong lịch sử, một số loại đồ trang trí đã phát triển dựa trên hai nguồn - dạng tự nhiên và hình hình học.

  • Nhưng kiến ​​trúc sư trước hết phải là một nghệ sĩ. Và do đó, ngay cả những phong cách “cổ điển” nhất cũng được sử dụng thường xuyên hơn sự bất đối xứng– độ lệch sắc thái so với tính đối xứng thuần túy hoặc sự bất đối xứng- xây dựng không đối xứng có chủ ý.


  • Sẽ không ai nghi ngờ rằng bề ngoài một người có cấu tạo cân đối: tay trái luôn tương ứng với tay phải và cả hai tay đều giống hệt nhau. Nhưng những điểm tương đồng giữa tay, tai, mắt và các bộ phận khác trên cơ thể chúng ta đều giống nhau giữa một vật và hình ảnh phản chiếu của nó trong gương.



Phải của anh ấy một nửa đặc điểm thô, vốn có nam giới. Nửa trái

    Nhiều phép đo các thông số trên khuôn mặt ở nam giới và phụ nữ đã chỉ ra rằng Phải của anh ấy một nửa so với bên trái, nó có kích thước ngang rõ ràng hơn, giúp khuôn mặt trông thon gọn hơn. đặc điểm thôđặc trưng của giới tính nam. Nửa trái khuôn mặt có kích thước theo chiều dọc rõ ràng hơn, điều này mang lại cho nó đường nét mượt mà và nữ tính. Thực tế này giải thích mong muốn chủ yếu của phụ nữ là tạo dáng trước các nghệ sĩ với khuôn mặt bên trái và nam giới ở bên phải.


Xuôi ngược đều giống nhau

  • Xuôi ngược đều giống nhau(từ gr. Palindromos - chạy ngược) là một đối tượng trong đó tính đối xứng của các thành phần của nó được xác định từ đầu đến cuối và từ đầu đến đầu. Ví dụ: một cụm từ hoặc văn bản.

  • Văn bản thẳng của bảng màu, đọc theo hướng đọc thông thường của một chữ viết cho trước (thường từ trái sang phải), được gọi là ngay thẳng, đảo ngược - bởi rover hoặc đảo ngược(từ phải sang trái). Một số số cũng có tính đối xứng.


Coi đối xứng trục và đối xứng trung tâm là tính chất của một số hình dạng hình học; Coi đối xứng trục và đối xứng tâm là tính chất của một số hình hình học; Biết cách xây dựng điểm đối xứng và có thể nhận biết các hình đối xứng qua một điểm hoặc đường thẳng; Có khả năng xây dựng các điểm đối xứng và có thể nhận biết các hình đối xứng qua một điểm hoặc đường thẳng; Cải thiện kỹ năng giải quyết vấn đề; Cải thiện kỹ năng giải quyết vấn đề; Tiếp tục ghi chép chính xác và hoàn thiện các bản vẽ hình học; Tiếp tục ghi chép chính xác và hoàn thiện các bản vẽ hình học;


Công việc truyền miệng“Hỏi nhẹ nhàng” Bài nói “Hỏi nhẹ nhàng” Điểm nào được gọi là giữa đoạn? Tam giác nào được gọi là cân? Các đường chéo của hình thoi có những tính chất gì? Nêu tính chất phân giác của một tam giác cân. Những đường thẳng nào được gọi là vuông góc? Tam giác nào được gọi là tam giác đều? Các đường chéo của hình vuông có những tính chất gì? Những số liệu nào được gọi là bằng nhau?

























Những khái niệm mới nào bạn đã học được trong lớp? Những khái niệm mới nào bạn đã học được trong lớp? Bạn đã học được điều gì mới về hình dạng hình học? Bạn đã học được điều gì mới về hình dạng hình học? Cho ví dụ về các hình hình học có trục đối xứng. Cho ví dụ về các hình hình học có trục đối xứng. Cho ví dụ về các hình có tâm đối xứng. Cho ví dụ về các hình có tâm đối xứng. Cho ví dụ về các mục từ cuộc sống xung quanh có một hoặc hai loại đối xứng. Cho ví dụ về các vật thể trong cuộc sống xung quanh có một hoặc hai kiểu đối xứng.

Sự đối xứng gắn liền với sự hài hòa và trật tự. Và vì lý do tốt. Bởi vì câu hỏi đối xứng là gì nên đã có câu trả lời dưới dạng dịch nghĩa đen từ tiếng Hy Lạp cổ. Và hóa ra nó có nghĩa là sự cân xứng và bất biến. Và điều gì có thể trật tự hơn một định nghĩa chặt chẽ về vị trí? Và điều gì có thể được gọi là hài hòa hơn một thứ tương ứng hoàn toàn với kích thước?

Đối xứng có ý nghĩa gì trong các ngành khoa học khác nhau?

Sinh vật học. Một thành phần quan trọng của tính đối xứng trong đó là động vật và thực vật có các bộ phận được sắp xếp đều đặn. Hơn nữa, không có sự đối xứng chặt chẽ trong khoa học này. Luôn luôn có một số sự bất đối xứng. Nó thừa nhận rằng các bộ phận của tổng thể không trùng khớp với độ chính xác tuyệt đối.

Hoá học. Các phân tử của một chất có một kiểu sắp xếp nhất định. Chính tính đối xứng của chúng giải thích nhiều tính chất của vật liệu trong tinh thể học và các ngành hóa học khác.

Vật lý. Một hệ các vật thể và những thay đổi trong nó được mô tả bằng các phương trình. Chúng chứa các thành phần đối xứng, giúp đơn giản hóa toàn bộ giải pháp. Điều này được thực hiện bằng cách tìm kiếm số lượng được bảo toàn.

Toán học.Ở đó giải thích cơ bản tính đối xứng là gì. Hơn thế nữa giá trị cao hơn nó được chú ý trong hình học. Ở đây, tính đối xứng là khả năng hiển thị dưới dạng hình và vật thể. TRONG theo nghĩa hẹp nó chỉ đơn giản là một hình ảnh phản chiếu.

Các từ điển khác nhau định nghĩa tính đối xứng như thế nào?

Bất kể chúng ta nhìn vào cái nào trong số chúng, từ “tỷ lệ” sẽ xuất hiện ở khắp mọi nơi. Ở Dahl, người ta cũng có thể coi cách giải thích như vậy là tính đồng nhất và bình đẳng. Nói cách khác, đối xứng có nghĩa giống nhau. Nó cũng nói rằng nó nhàm chán; cái gì không có nó trông thú vị hơn.

Khi được hỏi đối xứng là gì, từ điển của Ozhegov đã nói về sự giống nhau về vị trí của các bộ phận so với một điểm, đường thẳng hoặc mặt phẳng.

Từ điển của Ushakov cũng đề cập đến tính tương xứng, cũng như sự tương ứng hoàn toàn giữa hai phần của tổng thể với nhau.

Khi nào chúng ta nói về sự bất đối xứng?

Tiền tố “a” phủ nhận ý nghĩa của danh từ chính. Do đó, sự bất đối xứng có nghĩa là sự sắp xếp của các phần tử không theo một khuôn mẫu nhất định. Không có sự bất biến trong đó.

Thuật ngữ này được sử dụng trong trường hợp hai nửa của một vật phẩm không hoàn toàn giống nhau. Thông thường chúng không giống nhau chút nào.

Trong tự nhiên sống, sự bất đối xứng đóng một vai trò quan trọng. Hơn nữa, nó có thể vừa hữu ích vừa có hại. Ví dụ, trái tim được đặt ở nửa bên trái của lồng ngực. Do đó, phổi trái nhỏ hơn đáng kể. Nhưng nó là cần thiết.

Về sự đối xứng tâm và trục

Trong toán học, các loại sau được phân biệt:

  • trung tâm, nghĩa là được thực hiện tương đối với một điểm;
  • trục, được quan sát gần một đường thẳng;
  • mang tính phản chiếu, nó dựa trên những phản ánh;
  • chuyển đối xứng.

Trục và tâm đối xứng là gì? Đây là một điểm hoặc đường tương đối mà bất kỳ điểm nào trên cơ thể đều có thể tìm thấy một điểm khác. Hơn nữa, sao cho khoảng cách từ ảnh ban đầu đến ảnh thu được được chia đôi cho trục hoặc tâm đối xứng. Khi những điểm này di chuyển, chúng mô tả những quỹ đạo giống hệt nhau.


Cách dễ nhất để hiểu tính đối xứng của một trục là bằng một ví dụ. Tờ vở cần được gấp làm đôi. Đường gấp sẽ là trục đối xứng. Nếu bạn vẽ một đường vuông góc với nó thì tất cả các điểm trên đó sẽ có các điểm nằm cách nhau một khoảng ở phía bên kia của trục.

Trong những trường hợp cần tìm tâm đối xứng, bạn cần thực hiện như sau. Nếu có hai hình, hãy tìm các điểm giống nhau của chúng và nối chúng với một đoạn thẳng. Sau đó chia đôi. Khi chỉ có một hình, kiến ​​thức về các đặc tính của nó có thể hữu ích. Thường thì tâm này trùng với điểm giao nhau của các đường chéo hoặc đường cao.

Những hình dạng nào là đối xứng?

Hình hình học có thể có đối xứng trục hoặc trung tâm. Nhưng nó không phải điều kiện tiên quyết, có rất nhiều đồ vật hoàn toàn không sở hữu nó. Ví dụ, một hình bình hành có hình ở tâm nhưng không có trục. Nhưng các hình thang và hình tam giác không cân không có sự đối xứng nào cả.

Nếu xét đến tính đối xứng trung tâm thì có khá nhiều hình có được nó. Đây là một đoạn thẳng và một hình tròn, một hình bình hành và tất cả các đa giác đều có số cạnh chia hết cho hai.

Tâm đối xứng của một đoạn (cũng là hình tròn) là tâm của nó và đối với hình bình hành, nó trùng với giao điểm của các đường chéo. Trong khi đối với đa giác đều, điểm này cũng trùng với tâm của hình.

Nếu một đường thẳng có thể được vẽ trong một hình, dọc theo đó nó có thể được gấp lại và hai nửa trùng nhau, thì nó (đường thẳng) sẽ là một trục đối xứng. Điều thú vị là có bao nhiêu trục đối xứng mà các hình dạng khác nhau có.

Ví dụ như cay hoặc góc tù chỉ có một trục là đường phân giác của nó.

Nếu bạn cần tìm trục trong tam giác cân, thì bạn cần vẽ chiều cao đến đáy của nó. Đường thẳng sẽ là trục đối xứng. Và chỉ một. Và trong một hình đều sẽ có ba cái cùng một lúc. Ngoài ra, tam giác còn có tâm đối xứng so với giao điểm của các đường cao.

Vòng tròn có thể có số vô hạn các trục đối xứng. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua tâm của nó đều có thể hoàn thành vai trò này.

Hình chữ nhật và hình thoi có hai trục đối xứng. Ở cái đầu tiên, chúng đi qua phần giữa của các cạnh, và ở cái thứ hai, chúng trùng với các đường chéo.

Hình vuông kết hợp hai hình trước và có 4 trục đối xứng cùng một lúc. Chúng giống như hình thoi và hình chữ nhật.