Các biên tập viên của NNN vô tình tìm thấy tài liệu rất thú vị được trình bày trên blog của người dùng xtsarx, dành riêng cho các yếu tố của lý thuyết fractal và ứng dụng thực tế của nó. Như đã biết, fractal theria đóng một vai trò quan trọng trong vật lý và hóa học của các hệ thống nano. Sau khi đóng góp cho tài liệu hay này, được trình bày bằng ngôn ngữ có thể tiếp cận được với nhiều độc giả và được hỗ trợ bởi vô số tài liệu đồ họa và thậm chí cả video, chúng tôi trình bày nó để bạn chú ý. Chúng tôi hy vọng độc giả của NNN sẽ thấy tài liệu này thú vị.

Thiên nhiên huyền bí đến mức bạn càng nghiên cứu về nó, càng có nhiều câu hỏi xuất hiện... Tia sét đêm - những tia sáng màu xanh lam của những nhánh phóng điện, những hoa văn băng giá trên cửa sổ, những bông tuyết, những ngọn núi, những đám mây, vỏ cây - tất cả những điều này vượt xa những gì bình thường Hình học Euclide. Chúng ta không thể mô tả một tảng đá hoặc ranh giới của một hòn đảo bằng các đường thẳng, hình tròn và hình tam giác. Và ở đây họ đến trợ giúp chúng tôi fractal. Những người lạ quen thuộc này là gì?

“Dưới kính hiển vi, ông phát hiện ra rằng trên bọ chét
Một con bọ chét cắn mạng sống;
Trên con bọ chét đó có một con bọ chét nhỏ,
Một chiếc răng đâm một con bọ chét một cách giận dữ
Bọ chét, và cứ thế đến vô tận.” D. Nhanh.

Một chút lịch sử

Ý tưởng đầu tiên hình học fractal phát sinh vào thế kỷ 19. Cantor, bằng cách sử dụng thủ tục đệ quy (lặp lại) đơn giản, đã biến đường thẳng thành một tập hợp các điểm không được kết nối (được gọi là Cantor Dust). Anh ấy sẽ lấy một dòng và loại bỏ phần trung tâm thứ ba rồi lặp lại tương tự với các phần còn lại.

Cơm. 1. Đường cong Peano 1,2–5 lần lặp.

Peano đã vẽ một loại đường đặc biệt. Peano đã làm như sau:: Ở bước đầu tiên, anh ấy lấy một đoạn thẳng và thay thế nó bằng 9 đoạn ngắn hơn 3 lần so với độ dài của đoạn thẳng ban đầu. Sau đó, anh ấy làm tương tự với từng đoạn của đường kết quả. Và cứ thế đến vô tận. Tính độc đáo của nó là nó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng. Người ta chứng minh rằng với mọi điểm trên mặt phẳng người ta đều có thể tìm được một điểm thuộc đường thẳng Peano. Đường cong Peano và bụi Cantor vượt xa các vật thể hình học thông thường. Họ không có kích thước rõ ràng. Bụi Cantor dường như được xây dựng trên cơ sở đường thẳng một chiều, nhưng bao gồm các điểm (chiều 0). Và đường cong Peano được xây dựng trên cơ sở đường một chiều và kết quả là một mặt phẳng. Trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, xuất hiện các bài toán mà cách giải của chúng dẫn đến những kết quả kỳ lạ tương tự như những gì đã mô tả ở trên (chuyển động Brown, giá cổ phiếu). Mỗi người trong chúng ta đều có thể thực hiện thủ tục này...

Cha đẻ của Fractal

Cho đến thế kỷ 20, dữ liệu về những vật thể kỳ lạ như vậy vẫn được tích lũy mà không cần nỗ lực hệ thống hóa chúng. Đó là cho đến khi tôi tiếp nhận chúng Benoit Mandelbrot – cha đẻ của hình học fractal hiện đại và từ fractal.

Cơm. 2. Benoit Mandelbrot.

Khi làm nhà phân tích toán học tại IBM, ông đã nghiên cứu tiếng ồn trong các mạch điện tử không thể mô tả được bằng thống kê. Dần dần so sánh các sự kiện, ông đã khám phá ra một hướng đi mới trong toán học - hình học fractal.

Thuật ngữ “fractal” được B. Mandelbrot giới thiệu vào năm 1975. Theo Mandelbrot, phân dạng(từ tiếng Latin “fractus” - phân số, gãy, gãy) được gọi là cấu trúc bao gồm các bộ phận tương tự như tổng thể. Đặc tính tự tương tự giúp phân biệt rõ ràng fractal với các đối tượng của hình học cổ điển. Thuật ngữ sự tự tương tự có nghĩa sự hiện diện của một cấu trúc lặp đi lặp lại, cả ở quy mô nhỏ nhất của vật thể và ở quy mô vĩ mô.

Cơm. 3. Hướng tới định nghĩa khái niệm “fractal”.

Ví dụ về sự giống nhau là: Đường cong Koch, Levy, Minkowski, tam giác Sierpinski, bọt biển Menger, cây Pythagore, v.v.

Từ quan điểm toán học, phân dạng- trước hết, đây là được đặt với thứ nguyên phân số (trung bình, “không phải số nguyên”). Trong khi một đường Euclide mượt mà lấp đầy chính xác không gian một chiều, thì đường cong fractal vượt ra ngoài ranh giới của không gian một chiều, xâm nhập vào không gian hai chiều. Do đó, chiều fractal của đường cong Koch sẽ nằm trong khoảng từ 1 đến 2. . Điều này trước hết có nghĩa là Đối với một vật thể fractal, không thể đo chính xác độ dài của nó! Trong số các phân dạng hình học này, phân dạng đầu tiên rất thú vị và khá nổi tiếng - Bông tuyết của Koch.

Cơm. 4. Hướng tới định nghĩa khái niệm “fractal”.

Nó được xây dựng trên cơ sở Tam giác đều. Mỗi dòng được thay thế bằng 4 dòng, mỗi dòng có độ dài bằng 1/3 chiều dài ban đầu. Do đó, với mỗi lần lặp, chiều dài của đường cong tăng thêm một phần ba. Và nếu chúng ta thực hiện vô số lần lặp, chúng ta sẽ có được một fractal - một bông tuyết Koch có chiều dài vô hạn. Hóa ra đường cong vô hạn của chúng ta bao phủ một diện tích giới hạn. Hãy thử làm điều tương tự bằng cách sử dụng các phương pháp và số liệu từ hình học Euclide.
Kích thước bông tuyết Koch(khi một bông tuyết tăng lên 3 lần thì chiều dài của nó tăng lên 4 lần) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Về chính fractal

Fractal ngày càng được ứng dụng nhiều trong khoa học và công nghệ. Lý do chính cho điều này là chúng mô tả thế giới thực đôi khi còn tốt hơn vật lý hoặc toán học truyền thống. Bạn có thể đưa ra vô số ví dụ về các vật thể fractal trong tự nhiên - đó là những đám mây, bông tuyết, những ngọn núi, tia sét và cuối cùng là súp lơ. Fractal với tư cách là một đối tượng tự nhiên là một chuyển động liên tục vĩnh viễn, hình thành và phát triển mới.

Cơm. 5. Phân số trong kinh tế học.

Bên cạnh đó, fractal tìm thấy ứng dụng trong mạng máy tính phi tập trung Và "ăng-ten fractal" . Cái gọi là “phân dạng Brown” rất thú vị và hứa hẹn cho việc mô hình hóa các quá trình “ngẫu nhiên” ngẫu nhiên (không xác định) khác nhau. Trong trường hợp công nghệ nano, fractal cũng đóng một vai trò quan trọng , bởi vì sự tự tổ chức có thứ bậc của chúng nên nhiều hệ thống nano có kích thước không nguyên, nghĩa là chúng là các fractal về bản chất hình học, hóa lý hoặc chức năng. Ví dụ, Một ví dụ nổi bật về hệ thống fractal hóa học là các phân tử “dendrimer” . Ngoài ra, nguyên tắc fractality (cấu trúc chia tỷ lệ, tự tương tự) là sự phản ánh cấu trúc phân cấp của hệ thống và do đó mang tính tổng quát và phổ quát hơn các phương pháp tiêu chuẩn để mô tả cấu trúc và tính chất của hệ thống nano.

Cơm. 6. Phân tử “Dendrimer”.

Cơm. 7. Mô hình đồ họa truyền thông trong quá trình kiến ​​trúc và xây dựng. Mức độ tương tác đầu tiên nhìn từ góc độ vi xử lý.

Cơm. 8. Mô hình đồ họa truyền thông trong quá trình kiến ​​trúc và xây dựng. Mức độ tương tác thứ hai nhìn từ góc độ các quá trình vĩ mô (một phần của mô hình).

Cơm. 9. Mô hình đồ họa truyền thông trong quá trình kiến ​​trúc và xây dựng. Mức độ tương tác thứ hai từ góc độ các quá trình vĩ mô (toàn bộ mô hình)

Cơm. 10. Phát triển phẳng mô hình đồ họa. Trạng thái cân bằng nội môi đầu tiên.

Fractal và tỷ lệ vàng "Fractal" phần 1 "Fractal" phần 2 "Fractal" phần 3 "Fractal" phần 4 "Fractal" phần 5

Thư viện ảnh các fractal đẹp và khác thường

Cơm. mười một.

Cơm. 12.

Cơm. 13.

Cơm. 14.

Cơm. 15.

Cơm. 16.

Cơm. 17.

Cơm. 18.

Cơm. 19.

Cơm. 20.

Cơm. 21.

Cơm. 22.

Cơm. 23.

Cơm. 24.

Cơm. 25.

Cơm. 26.

Cơm. 27.

Cơm. 28.

Cơm. 29.

Cơm. ba mươi.

Cơm. 31.

Cơm. 32.

Cơm. 33.

Cơm. 34.

Cơm. 35.

Đã hoàn tất chỉnh sửa và chỉnh sửa Filippov Yu.P.

phân dạng

Fractal (lat. vết gãy- bị nghiền nát, vỡ, vỡ) là một hình hình học có tính chất tự đồng dạng, tức là gồm nhiều phần, mỗi phần giống với toàn bộ hình. Trong toán học, fractal được hiểu là tập hợp các điểm trong Euclide. không gian có thứ nguyên số liệu phân số (theo nghĩa của Minkowski hoặc Hausdorff) hoặc thứ nguyên số liệu khác với thứ nguyên tôpô. Fractasm là một khoa học chính xác độc lập về nghiên cứu và sáng tác fractal.

Nói cách khác, fractal là các đối tượng hình học có kích thước phân số. Ví dụ: kích thước của một đường là 1, diện tích là 2 và thể tích là 3. Đối với fractal, giá trị thứ nguyên có thể nằm trong khoảng từ 1 đến 2 hoặc từ 2 đến 3. Ví dụ: kích thước fractal của một hình nhàu nát quả bóng giấy là khoảng 2,5. Trong toán học, có một công thức phức tạp đặc biệt để tính kích thước của fractal. Các nhánh của ống khí quản, lá trên cây, gân trên bàn tay, một dòng sông - đây là những hình dạng. Nói một cách đơn giản, fractal là một hình hình học, một phần nhất định được lặp đi lặp lại, thay đổi kích thước - đây là nguyên tắc tự tương tự. Fractals giống với chính chúng, chúng giống với chính chúng ở mọi cấp độ (tức là ở mọi quy mô). Có nhiều loại fractal khác nhau. Về nguyên tắc, có thể lập luận rằng mọi thứ tồn tại trong thế giới thực đều là fractal, có thể là đám mây hoặc phân tử oxy.

Từ “hỗn loạn” khiến người ta liên tưởng đến một điều gì đó khó đoán, nhưng thực tế, hỗn loạn khá trật tự và tuân theo những quy luật nhất định. Mục tiêu của việc nghiên cứu hỗn loạn và fractal là dự đoán các mô hình mà thoạt nhìn có vẻ không thể đoán trước và hoàn toàn hỗn loạn.

Người tiên phong trong lĩnh vực tri thức này là nhà toán học người Mỹ gốc Pháp, Giáo sư Benoit B. Mandelbrot. Vào giữa những năm 1960, ông đã phát triển hình học fractal, mục đích của nó là phân tích các hình dạng bị đứt gãy, nhăn nheo và mờ. Tập hợp Mandelbrot (thể hiện trong hình) là liên tưởng đầu tiên xuất hiện ở một người khi anh ta nghe thấy từ “fractal”. Nhân tiện, Mandelbrot đã xác định rằng kích thước fractal của bờ biển nước Anh là 1,25.

Fractals ngày càng được sử dụng nhiều trong khoa học. Họ mô tả thế giới thực thậm chí còn tốt hơn vật lý hoặc toán học truyền thống. Ví dụ, chuyển động Brown là chuyển động ngẫu nhiên và hỗn loạn của các hạt bụi lơ lửng trong nước. Kiểu chuyển động này có lẽ là khía cạnh của hình học fractal có ứng dụng thực tế nhất. Chuyển động Brown ngẫu nhiên có đáp ứng tần số có thể được sử dụng để dự đoán các hiện tượng liên quan đến lượng lớn dữ liệu và số liệu thống kê. Ví dụ, Mandelbrot dự đoán những thay đổi trong giá len bằng chuyển động Brown.

Từ "fractal" có thể được sử dụng không chỉ như một thuật ngữ toán học. Trong báo chí và tài liệu khoa học đại chúng, fractal có thể được gọi là một hình có bất kỳ tính chất nào sau đây:

Nó có cấu trúc không tầm thường ở mọi quy mô. Điều này trái ngược với các hình thông thường (chẳng hạn như hình tròn, hình elip, đồ thị của hàm số trơn): nếu chúng ta xem xét một đoạn nhỏ của một hình thông thường ở tỷ lệ rất lớn, nó sẽ trông giống như một đoạn của một đường thẳng. Đối với fractal, việc tăng tỷ lệ không dẫn đến việc đơn giản hóa cấu trúc; trên mọi tỷ lệ, chúng ta sẽ thấy một bức tranh phức tạp như nhau.

Tự tương tự hoặc gần giống bản thân.

Nó có thứ nguyên số liệu phân số hoặc thứ nguyên số liệu vượt quá thứ nguyên tôpô.

Việc sử dụng fractal hữu ích nhất trong công nghệ máy tính là nén dữ liệu fractal. Đồng thời, hình ảnh được nén tốt hơn nhiều so với các phương pháp thông thường - lên tới 600:1. Một ưu điểm khác của nén fractal là khi phóng to, không có hiệu ứng pixel, điều này làm hình ảnh xấu đi đáng kể. Hơn nữa, một hình ảnh được nén theo kiểu fractal thậm chí còn trông đẹp hơn sau khi phóng to so với trước đây. Các nhà khoa học máy tính cũng biết rằng các phân dạng có độ phức tạp và vẻ đẹp vô hạn có thể được tạo ra bằng các công thức đơn giản. Ngành công nghiệp điện ảnh sử dụng rộng rãi công nghệ đồ họa fractal để tạo ra các yếu tố cảnh quan chân thực (mây, đá và bóng).

Nghiên cứu về sự nhiễu loạn của dòng chảy rất phù hợp với fractal. Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về động lực học của các dòng chảy phức tạp. Sử dụng fractal bạn cũng có thể mô phỏng ngọn lửa. Vật liệu xốp được thể hiện tốt ở dạng fractal do chúng có hình dạng rất phức tạp. Để truyền dữ liệu qua khoảng cách xa, người ta sử dụng ăng-ten có hình dạng fractal, giúp giảm đáng kể kích thước và trọng lượng của chúng. Fractals được sử dụng để mô tả độ cong của bề mặt. Một bề mặt không bằng phẳng được đặc trưng bởi sự kết hợp của hai fractal khác nhau.

Nhiều vật thể trong tự nhiên có đặc tính fractal, ví dụ như bờ biển, đám mây, tán cây, bông tuyết, hệ tuần hoàn và hệ thống phế nang của con người hoặc động vật.

Fractals, đặc biệt là trên mặt phẳng, rất phổ biến do sự kết hợp giữa vẻ đẹp với sự dễ dàng xây dựng bằng máy tính.

Các ví dụ đầu tiên về các tập hợp tự tương tự có các tính chất khác thường xuất hiện vào thế kỷ 19 (ví dụ: hàm Bolzano, hàm Weierstrass, tập Cantor). Thuật ngữ "fractal" được Benoit Mandelbrot đặt ra vào năm 1975 và trở nên phổ biến rộng rãi khi xuất bản cuốn sách "Hình học Fractal của tự nhiên" vào năm 1977.

Hình ảnh bên trái cho thấy một ví dụ đơn giản về fractal Darer của Lầu Năm Góc, trông giống như một loạt các hình ngũ giác ép lại với nhau. Trên thực tế, nó được hình thành bằng cách sử dụng một hình ngũ giác làm điểm khởi đầu và các tam giác cân, trong đó tỷ lệ giữa cạnh lớn hơn và cạnh nhỏ hơn chính xác bằng cái gọi là tỷ lệ vàng (1,618033989 hoặc 1/(2cos72°)) như một máy phát điện. Những hình tam giác này được cắt từ giữa mỗi hình ngũ giác, tạo thành hình dạng trông giống như 5 hình ngũ giác nhỏ được dán vào một hình ngũ giác lớn.

Lý thuyết hỗn loạn nói rằng các hệ thống phi tuyến phức tạp không thể dự đoán được về mặt di truyền, nhưng đồng thời nó khẳng định rằng cách biểu diễn các hệ thống không thể đoán trước đó hóa ra lại đúng không phải ở các đẳng thức chính xác, mà ở các biểu diễn hành vi của hệ thống - trong các đồ thị kỳ lạ. các chất thu hút có dạng fractal. Do đó, lý thuyết hỗn loạn, mà nhiều người cho là không thể đoán trước, hóa ra lại là khoa học về khả năng dự đoán ngay cả trong những hệ thống không ổn định nhất. Nghiên cứu về hệ động lực cho thấy các phương trình đơn giản có thể làm phát sinh hành vi hỗn loạn trong đó hệ thống không bao giờ trở lại trạng thái ổn định và không có hình mẫu nào xuất hiện. Thông thường, các hệ thống như vậy hoạt động khá bình thường đối với một giá trị nhất định của tham số chính, sau đó trải qua một quá trình chuyển đổi trong đó có hai khả năng để phát triển thêm, sau đó là bốn và cuối cùng là một tập hợp các khả năng hỗn loạn.

Sơ đồ các quá trình xảy ra trong các đối tượng kỹ thuật có cấu trúc fractal được xác định rõ ràng. Cấu trúc của một hệ thống kỹ thuật tối thiểu (TS) ngụ ý sự xuất hiện trong TS của hai loại quy trình - loại chính và loại hỗ trợ, và sự phân chia này có điều kiện và tương đối. Bất kỳ quy trình nào cũng có thể là quy trình chính liên quan đến các quy trình hỗ trợ và bất kỳ quy trình hỗ trợ nào cũng có thể được coi là quy trình chính liên quan đến các quy trình hỗ trợ của “nó”. Các vòng tròn trong sơ đồ biểu thị các hiệu ứng vật lý đảm bảo xảy ra các quá trình mà không cần thiết phải tạo ra các phương tiện “của riêng bạn” một cách đặc biệt. Các quá trình này là kết quả của sự tương tác giữa các chất, trường, chất và trường. Nói chính xác, hiệu ứng vật lý là một phương tiện mà nguyên tắc hoạt động của nó mà chúng ta không thể tác động và chúng ta không muốn hoặc không có cơ hội can thiệp vào thiết kế của nó.

Luồng của quy trình chính được hiển thị trong sơ đồ được đảm bảo bởi sự tồn tại của ba quy trình hỗ trợ, đây là những quy trình chính dành cho TS tạo ra chúng. Công bằng mà nói, chúng tôi lưu ý rằng đối với hoạt động của một TS tối thiểu, ba quy trình rõ ràng là không đủ, tức là. Âm mưu này rất, rất cường điệu.

Mọi thứ không còn đơn giản như thể hiện trong sơ đồ. Một quy trình hữu ích (cần thiết cho một người) không thể được thực hiện với hiệu suất một trăm phần trăm. Năng lượng tiêu tán được sử dụng để tạo ra các quá trình có hại - sưởi ấm, rung động, v.v. Kết quả là những điều có hại phát sinh song song với quá trình có lợi. Không phải lúc nào cũng có thể thay thế quy trình “xấu” bằng quy trình “tốt”, do đó cần tổ chức các quy trình mới nhằm bù đắp những hậu quả có hại cho hệ thống. Một ví dụ điển hình là nhu cầu chống ma sát, buộc người ta phải tổ chức các kế hoạch bôi trơn khéo léo, sử dụng vật liệu chống ma sát đắt tiền hoặc dành thời gian bôi trơn các bộ phận, bộ phận hoặc thay thế định kỳ.

Do ảnh hưởng không thể tránh khỏi của Môi trường có thể thay đổi, một quy trình hữu ích có thể cần được quản lý. Việc kiểm soát có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các thiết bị tự động hoặc trực tiếp bởi một người. Sơ đồ quy trình thực chất là một tập hợp các lệnh đặc biệt, tức là thuật toán. Bản chất (mô tả) của mỗi lệnh là tổng thể của một quy trình hữu ích duy nhất, các quy trình có hại đi kèm với nó và một tập hợp các quy trình kiểm soát cần thiết. Trong thuật toán như vậy, tập hợp các quy trình hỗ trợ là một chương trình con thông thường - và ở đây chúng ta cũng khám phá ra một fractal. Được tạo ra cách đây một phần tư thế kỷ, phương pháp của R. Koller cho phép tạo ra các hệ thống với một bộ khá hạn chế chỉ có 12 cặp chức năng (quy trình).

Các tập hợp tự tương tự có tính chất khác thường trong toán học

Kể từ cuối thế kỷ 19, các ví dụ về các vật thể giống nhau với các đặc tính bệnh lý theo quan điểm phân tích cổ điển đã xuất hiện trong toán học. Chúng bao gồm những điều sau đây:

Tập Cantor là một tập hoàn hảo dày đặc không đếm được. Bằng cách sửa đổi quy trình, người ta cũng có thể thu được một tập hợp độ dài dương dày đặc.

tam giác Sierpinski (“khăn trải bàn”) và tấm thảm Sierpinski là những điểm tương tự của Cantor đặt trên máy bay.

Miếng bọt biển của Menger là một dạng tương tự của Cantor đặt trong không gian ba chiều;

ví dụ về Weierstrass và Van der Waerden về hàm liên tục khả vi.

Đường cong Koch là một đường cong liên tục không tự giao nhau có chiều dài vô hạn và không có tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào;

Đường cong Peano là đường cong liên tục đi qua tất cả các điểm của hình vuông.

quỹ đạo của hạt Brown cũng không khả vi với xác suất 1. Chiều Hausdorff của nó là hai

Thủ tục đệ quy để thu được đường cong fractal

Xây dựng đường cong Koch

Có một thủ tục đệ quy đơn giản để thu được các đường cong fractal trên một mặt phẳng. Chúng ta hãy xác định một đường đứt đoạn tùy ý với số lượng liên kết hữu hạn, được gọi là trình tạo. Tiếp theo, hãy thay thế từng đoạn trong đó bằng một trình tạo (chính xác hơn là một đường đứt nét tương tự như trình tạo). Trong dòng bị hỏng kết quả, chúng tôi lại thay thế từng đoạn bằng một trình tạo. Tiếp tục đến vô cùng, trong giới hạn chúng ta có được một đường cong fractal. Hình bên phải thể hiện bốn bước đầu tiên của quy trình này đối với đường cong Koch.

Ví dụ về các đường cong như vậy là:

đường cong rồng,

Đường cong Koch (bông tuyết Koch),

Đường cong Lewy,

Đường cong Minkowski,

đường cong Hilbert,

Bị gãy (đường cong) của một con rồng (Harter-Haithway Fractal),

Đường cong đậu phộng.

Sử dụng quy trình tương tự sẽ thu được cây Pythagore.

Fractals là điểm cố định của ánh xạ nén

Tính chất tự tương tự có thể được biểu diễn một cách chặt chẽ về mặt toán học như sau. Cho là ánh xạ co của mặt phẳng. Xét ánh xạ sau đây trên tập hợp tất cả các tập con compact (đóng và bị chặn) của mặt phẳng:

Có thể chứng minh rằng ánh xạ là ánh xạ thu gọn trên tập compacta với mêtric Hausdorff. Do đó, theo định lý Banach, ánh xạ này có một điểm cố định duy nhất. Điểm cố định này sẽ là fractal của chúng ta.

Thủ tục đệ quy để thu được các đường cong fractal được mô tả ở trên là một trường hợp đặc biệt của cách xây dựng này. Trong đó, tất cả các ánh xạ đều là ánh xạ tương tự và - số lượng liên kết trình tạo.

Đối với tam giác Sierpinski và bản đồ , , là các đồng đẳng có tâm tại các đỉnh của một tam giác đều và hệ số 1/2. Dễ dàng nhận thấy tam giác Sierpinski biến thành chính nó khi hiển thị.

Trong trường hợp các ánh xạ là các phép biến đổi tương tự với các hệ số, thì kích thước của fractal (trong một số điều kiện kỹ thuật bổ sung) có thể được tính như một nghiệm của phương trình. Do đó, đối với tam giác Sierpinki, chúng ta thu được .

Theo định lý Banach tương tự, bắt đầu với bất kỳ tập hợp compact nào và áp dụng phép lặp của ánh xạ cho nó, chúng ta thu được một chuỗi các tập hợp compact hội tụ (theo nghĩa của thước đo Hausdorff) cho fractal của chúng ta.

Fractal trong động học phức tạp

bộ Julia

Một bộ Julia khác

Fractals phát sinh một cách tự nhiên khi nghiên cứu các hệ động lực phi tuyến. Trường hợp được nghiên cứu nhiều nhất là khi một hệ động lực được xác định bằng phép lặp của hàm đa thức hoặc hàm chỉnh hình của một biến phức trên mặt phẳng. Những nghiên cứu đầu tiên trong lĩnh vực này có từ đầu thế kỷ 20 và gắn liền với tên của Fatou và Julia.

Cho phép F(z) - đa thức, z 0 là số phức Hãy xem xét trình tự sau: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Chúng ta quan tâm đến hành vi của trình tự này vì nó có xu hướng Nđến vô cùng. Trình tự này có thể:

phấn đấu hướng tới vô cực,

phấn đấu đến giới hạn cuối cùng

thể hiện hành vi tuần hoàn trong giới hạn, ví dụ: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

cư xử hỗn loạn, tức là không thể hiện bất kỳ loại hành vi nào trong ba loại hành vi đã nêu.

Bộ giá trị z 0, trong đó chuỗi thể hiện một loại hành vi cụ thể, cũng như nhiều điểm phân nhánh giữa các loại khác nhau, thường có các đặc tính fractal.

Do đó, tập Julia là tập hợp các điểm phân nhánh của đa thức F(z)=z 2 +c(hoặc chức năng tương tự khác), nghĩa là những giá trị đó z 0 mà hành vi của chuỗi ( z N) có thể thay đổi đáng kể với những thay đổi nhỏ tùy ý z 0 .

Một lựa chọn khác để thu được các tập fractal là đưa tham số vào đa thức F(z) và xem xét tập hợp các giá trị tham số mà chuỗi ( z N) thể hiện một hành vi nhất định tại một thời điểm cố định z 0 . Do đó, tập Mandelbrot là tập hợp của tất cả , trong đó ( z N) Vì F(z)=z 2 +c Và z 0 không tiến tới vô cùng.

Một ví dụ nổi tiếng khác của loại này là bể bơi Newton.

Việc tạo ra các hình ảnh đồ họa đẹp dựa trên động lực học phức tạp bằng cách tô màu các điểm mặt phẳng tùy thuộc vào hoạt động của các hệ động lực tương ứng là phổ biến. Ví dụ: để hoàn thành bộ Mandelbrot, bạn có thể tô màu các điểm tùy theo tốc độ hút ( z N) đến vô cùng (được định nghĩa là số nhỏ nhất N, tại đó | z N| sẽ vượt quá một giá trị lớn cố định MỘT.

Biomorphs là các fractal được xây dựng trên cơ sở động lực học phức tạp và gợi nhớ đến các sinh vật sống.

Fractal ngẫu nhiên

Fractal ngẫu nhiên dựa trên bộ Julia

Các vật thể tự nhiên thường có hình dạng fractal. Fractal ngẫu nhiên (ngẫu nhiên) có thể được sử dụng để mô hình hóa chúng. Ví dụ về fractal ngẫu nhiên:

quỹ đạo của chuyển động Brown trên mặt phẳng và trong không gian;

ranh giới quỹ đạo của chuyển động Brown trên mặt phẳng. Năm 2001, Lawler, Schramm và Werner đã chứng minh giả thuyết của Mandelbrot rằng chiều của nó là 4/3.

Sự phát triển của Schramm-Löwner là các đường cong fractal bất biến bảo giác phát sinh trong các mô hình hai chiều quan trọng của cơ học thống kê, ví dụ, trong mô hình Ising và sự thẩm thấu.

nhiều loại fractal ngẫu nhiên khác nhau, nghĩa là các fractal thu được bằng cách sử dụng quy trình đệ quy trong đó một tham số ngẫu nhiên được đưa vào ở mỗi bước. Plasma là một ví dụ về việc sử dụng fractal như vậy trong đồ họa máy tính.

Trong bản chất

Mặt trước của khí quản và phế quản

Cây phế quản

Mạng lưới mạch máu

Ứng dụng

Khoa học tự nhiên

Trong vật lý, fractal phát sinh một cách tự nhiên khi mô hình hóa các quá trình phi tuyến, chẳng hạn như dòng chất lỏng hỗn loạn, các quá trình hấp phụ-khuếch tán phức tạp, ngọn lửa, đám mây, v.v. Fractals được sử dụng khi mô hình hóa các vật liệu xốp, chẳng hạn như trong hóa dầu. Trong sinh học, chúng được sử dụng để mô hình hóa quần thể và mô tả các hệ cơ quan nội tạng (hệ thống mạch máu).

Kỹ thuật vô tuyến

Anten fractal

Việc sử dụng hình học fractal trong thiết kế các thiết bị ăng-ten lần đầu tiên được sử dụng bởi kỹ sư người Mỹ Nathan Cohen, người lúc đó sống ở trung tâm thành phố Boston, nơi việc lắp đặt ăng-ten bên ngoài trên các tòa nhà bị cấm. Nathan cắt hình đường cong Koch từ giấy nhôm và dán nó lên một tờ giấy, sau đó gắn vào đầu thu. Cohen thành lập công ty riêng của mình và bắt đầu sản xuất hàng loạt.

Khoa học máy tính

Nén hình ảnh

Bài chi tiết: Thuật toán nén fractal

Cây phân dạng

Có các thuật toán nén hình ảnh sử dụng fractals. Chúng dựa trên ý tưởng rằng thay vì chính hình ảnh, người ta có thể lưu trữ bản đồ nén mà hình ảnh này (hoặc một số hình ảnh gần đó) là một điểm cố định. Một trong những biến thể của thuật toán này đã được sử dụng [ nguồn không được chỉ định 895 ngày] của Microsoft khi xuất bản bộ bách khoa toàn thư của mình, nhưng những thuật toán này không được sử dụng rộng rãi.

Đô họa may tinh

Một cây fractal khác

Fractals được sử dụng rộng rãi trong đồ họa máy tính để xây dựng hình ảnh của các vật thể tự nhiên, chẳng hạn như cây cối, bụi rậm, phong cảnh núi non, mặt biển, v.v. Có nhiều chương trình được sử dụng để tạo hình ảnh fractal, xem Fractal Generator (chương trình).

Mạng phi tập trung

Hệ thống gán địa chỉ IP trong mạng Netsukuku sử dụng nguyên tắc nén thông tin fractal để lưu trữ thông tin về các nút mạng một cách gọn gàng. Mỗi nút trong mạng Netsukuku chỉ lưu trữ 4 KB thông tin về trạng thái của các nút lân cận, trong khi bất kỳ nút mới nào kết nối với mạng chung mà không cần quy định trung tâm về phân phối địa chỉ IP, ví dụ như điển hình cho Internet. Do đó, nguyên tắc nén thông tin fractal đảm bảo phi tập trung hoàn toàn và do đó đảm bảo hoạt động ổn định nhất của toàn bộ mạng.

Toán học,
nếu bạn nhìn nó một cách chính xác,
không chỉ phản ánh sự thật,
nhưng cũng có vẻ đẹp không gì sánh bằng.
Bertrand Russell.

Tất nhiên là bạn đã nghe nói về fractal. Bạn chắc chắn đã từng xem những bức ảnh ngoạn mục này từ Bryce3d, chân thực hơn cả thực tế. Núi, mây, vỏ cây - tất cả những điều này vượt xa hình học Euclide thông thường. Chúng ta không thể mô tả một tảng đá hoặc ranh giới của một hòn đảo bằng các đường thẳng, hình tròn và hình tam giác. Và ở đây fractal sẽ hỗ trợ chúng ta. Những người lạ quen thuộc này là gì? Chúng xuất hiện khi nào?

Lịch sử xuất hiện.

Những ý tưởng đầu tiên về hình học fractal nảy sinh vào thế kỷ 19. Cantor, bằng cách sử dụng thủ tục đệ quy (lặp lại) đơn giản, đã biến đường thẳng thành một tập hợp các điểm không được kết nối (được gọi là Cantor Dust). Anh ấy sẽ lấy một dòng và loại bỏ phần trung tâm thứ ba rồi lặp lại tương tự với các phần còn lại. Peano đã vẽ một loại đường đặc biệt (Hình số 1). Để vẽ nó, Peano đã sử dụng thuật toán sau.

Bước đầu tiên, anh lấy một đoạn thẳng và thay thế nó bằng 9 đoạn ngắn hơn 3 lần so với độ dài của đoạn thẳng ban đầu (Phần 1 và 2 của Hình 1). Sau đó, anh ấy làm tương tự với từng đoạn của đường kết quả. Và cứ thế đến vô tận. Tính độc đáo của nó là nó lấp đầy toàn bộ mặt phẳng. Người ta chứng minh rằng với mọi điểm trên mặt phẳng người ta đều có thể tìm được một điểm thuộc đường thẳng Peano. Đường cong Peano và bụi Cantor vượt xa các vật thể hình học thông thường. Họ không có một kích thước rõ ràng. Bụi Cantor dường như được xây dựng trên cơ sở đường thẳng một chiều, nhưng bao gồm các điểm (chiều 0). Và đường cong Peano được xây dựng trên cơ sở đường một chiều và kết quả là một mặt phẳng. Trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, xuất hiện các bài toán mà cách giải của chúng dẫn đến những kết quả kỳ lạ tương tự như những gì đã mô tả ở trên (chuyển động Brown, giá cổ phiếu).

Cha đẻ của Fractal

Cho đến thế kỷ 20, dữ liệu về những vật thể kỳ lạ như vậy vẫn được tích lũy mà không cần nỗ lực hệ thống hóa chúng. Đó là cho đến khi Benoit Mandelbrot, cha đẻ của hình học fractal hiện đại và từ fractal, tiếp thu chúng. Khi làm nhà phân tích toán học tại IBM, ông đã nghiên cứu tiếng ồn trong các mạch điện tử không thể mô tả được bằng thống kê. Dần dần so sánh các sự kiện, ông đã khám phá ra một hướng đi mới trong toán học - hình học fractal.

Fractal là gì? Bản thân Mandelbrot bắt nguồn từ fractal từ chữ Fractus trong tiếng Latin, có nghĩa là bị vỡ (chia thành nhiều phần). Và một trong những định nghĩa của fractal là một hình hình học được tạo thành từ các phần và có thể được chia thành nhiều phần, mỗi phần sẽ đại diện cho một bản sao nhỏ hơn của tổng thể (ít nhất là xấp xỉ).

Để hình dung rõ hơn về fractal, chúng ta hãy xem xét một ví dụ được đưa ra trong cuốn sách “Hình học Fractal của tự nhiên” của B. Mandelbrot, cuốn sách đã trở thành kinh điển - “Chiều dài bờ biển nước Anh là bao nhiêu?” Câu trả lời cho câu hỏi này không đơn giản như nó có vẻ. Tất cả phụ thuộc vào độ dài của công cụ chúng ta sẽ sử dụng. Bằng cách đo bờ bằng thước km, chúng ta sẽ có được chiều dài nào đó. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ bỏ lỡ nhiều vịnh và bán đảo nhỏ có kích thước nhỏ hơn nhiều so với tuyến của chúng tôi. Bằng cách giảm kích thước của thước xuống, chẳng hạn như 1 mét, chúng ta sẽ tính đến các chi tiết này của cảnh quan và theo đó, chiều dài của bờ biển sẽ trở nên lớn hơn. Chúng ta hãy đi xa hơn và đo chiều dài bờ bằng thước milimet, chúng ta sẽ tính đến những chi tiết lớn hơn milimet, chiều dài sẽ còn lớn hơn. Kết quả là, câu trả lời cho một câu hỏi tưởng chừng đơn giản như vậy có thể khiến bất cứ ai bối rối - chiều dài bờ biển nước Anh là vô tận.

Một chút về kích thước.

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta liên tục gặp phải các chiều không gian. Chúng tôi ước tính chiều dài của con đường (250 m), tìm diện tích của căn hộ (78 m2) và tìm thể tích của chai bia trên nhãn dán (0,33 dm3). Khái niệm này khá trực quan và có vẻ như không cần làm rõ. Đường này có thứ nguyên 1. Điều này có nghĩa là bằng cách chọn điểm tham chiếu, chúng ta có thể xác định bất kỳ điểm nào trên đường này bằng 1 số - dương hoặc âm. Hơn nữa, điều này áp dụng cho tất cả các đường - hình tròn, hình vuông, hình parabol, v.v.

Thứ nguyên 2 có nghĩa là chúng ta có thể xác định duy nhất bất kỳ điểm nào bằng hai số. Đừng nghĩ rằng hai chiều có nghĩa là phẳng. Bề mặt của hình cầu cũng có hai chiều (nó có thể được xác định bằng hai giá trị - các góc như chiều rộng và kinh độ).

Nếu chúng ta nhìn nó từ quan điểm toán học, thì kích thước được xác định như sau: đối với các vật thể một chiều, việc nhân đôi kích thước tuyến tính của chúng sẽ dẫn đến tăng kích thước (trong trường hợp này là chiều dài) theo hệ số hai (2 ^1).

Đối với các đối tượng hai chiều, việc tăng gấp đôi kích thước tuyến tính sẽ dẫn đến tăng kích thước (ví dụ: diện tích hình chữ nhật) lên bốn lần (2^2).

Đối với các vật thể 3 chiều, việc tăng gấp đôi kích thước tuyến tính sẽ dẫn đến thể tích tăng gấp tám lần (2^3), v.v.

Do đó, kích thước D có thể được tính toán dựa trên sự phụ thuộc của việc tăng “kích thước” của đối tượng S vào việc tăng kích thước tuyến tính L. D=log(S)/log(L). Đối với dòng D=log(2)/log(2)=1. Đối với mặt phẳng D=log(4)/log(2)=2. Đối với tập D=log(8)/log(2)=3. Nó có thể hơi khó hiểu một chút, nhưng nhìn chung nó dễ dàng và dễ hiểu.

Tại sao tôi lại kể tất cả những điều này? Và để hiểu cách tách fractal khỏi xúc xích. Hãy thử tính kích thước của đường cong Peano. Vì vậy, chúng ta có dòng ban đầu, bao gồm ba đoạn có chiều dài X, được thay thế bằng 9 đoạn ngắn hơn ba lần. Do đó, khi đoạn tối thiểu tăng lên 3 lần thì độ dài của toàn bộ đường thẳng tăng lên 9 lần và D=log(9)/log(3)=2 là vật thể hai chiều!!!

Vì vậy, khi kích thước của một hình thu được từ một số đối tượng (đoạn) đơn giản lớn hơn kích thước của các đối tượng này, chúng ta đang xử lý một fractal.

Fractals được chia thành các nhóm. Các nhóm lớn nhất là:

Fractal hình học.

Đây là nơi lịch sử của fractal bắt đầu. Loại fractal này có được thông qua các cấu trúc hình học đơn giản. Thông thường, khi xây dựng các fractal này, họ làm như sau: họ lấy một “hạt giống” - một tiên đề - một tập hợp các phân đoạn trên cơ sở đó fractal sẽ được xây dựng. Tiếp theo, một bộ quy tắc được áp dụng cho “hạt giống” này, biến nó thành một loại hình hình học nào đó. Tiếp theo, bộ quy tắc tương tự được áp dụng lại cho từng phần của hình này. Với mỗi bước, hình sẽ ngày càng trở nên phức tạp hơn và nếu chúng ta thực hiện (ít nhất là trong đầu) vô số phép biến đổi, chúng ta sẽ có được một fractal hình học.

Đường cong Peano được thảo luận ở trên là một fractal hình học. Hình bên dưới hiển thị các ví dụ khác về fractal hình học (từ trái sang phải Bông tuyết của Koch, Liszt, Tam giác Sierpinski).

Bông tuyết Koch

Tờ giấy

Tam giác Sierpinki

Trong số các fractal hình học này, fractal đầu tiên, bông tuyết Koch, rất thú vị và khá nổi tiếng. Nó được xây dựng trên cơ sở của một tam giác đều. Mỗi dòng trong đó ___ được thay thế bằng 4 dòng, mỗi dòng bằng 1/3 độ dài của _/\_ gốc. Do đó, với mỗi lần lặp, chiều dài của đường cong tăng thêm một phần ba. Và nếu chúng ta thực hiện vô số lần lặp, chúng ta sẽ có được một fractal - một bông tuyết Koch có chiều dài vô hạn. Hóa ra đường cong vô hạn của chúng ta bao phủ một diện tích giới hạn. Hãy thử làm điều tương tự bằng cách sử dụng các phương pháp và số liệu từ hình học Euclide.

Kích thước của bông tuyết Koch (khi bông tuyết tăng gấp 3 lần thì chiều dài của nó tăng gấp 4 lần) D=log(4)/log(3)=1.2619...

Cái gọi là Hệ thống L rất phù hợp để xây dựng các fractal hình học. Bản chất của các hệ thống này là có một bộ ký hiệu hệ thống nhất định, mỗi ký hiệu biểu thị một hành động cụ thể và một bộ quy tắc chuyển đổi ký hiệu. Ví dụ: mô tả bông tuyết của Koch bằng L-Systems trong chương trình Fractint

; Adrian Mariano từ Hình học Fractal của Tự nhiên của Mandelbrot Koch1 ( ;đặt góc quay thành 360/6=60 độ Góc 6 ; Bản vẽ thi công ban đầu Tiên đề F--F--F ; Quy tắc chuyển đổi ký tự F=F+F--F+F )

Trong phần mô tả này, ý nghĩa hình học của các ký hiệu như sau:

F nghĩa là kẻ một đường thẳng + xoay theo chiều kim đồng hồ - quay ngược chiều kim đồng hồ

Thuộc tính thứ hai của fractal là tính tự đồng dạng. Lấy ví dụ, tam giác Sierpinski. Để xây dựng nó, chúng ta “cắt” một hình tam giác từ tâm của một tam giác đều. Hãy lặp lại quy trình tương tự cho ba hình tam giác được tạo thành (ngoại trừ hình ở giữa) và cứ như vậy đến vô cùng. Nếu bây giờ chúng ta lấy bất kỳ hình tam giác thu được nào và phóng to nó, chúng ta sẽ có được một bản sao chính xác của toàn bộ. Trong trường hợp này chúng ta đang xử lý sự tự tương tự hoàn toàn.

Hãy để tôi đặt trước ngay rằng hầu hết các bản vẽ fractal trong bài viết này đều được lấy bằng chương trình Fractint. Nếu bạn quan tâm đến fractal thì đây là chương trình phải có dành cho bạn. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể xây dựng hàng trăm fractal khác nhau, nhận thông tin toàn diện về chúng và thậm chí lắng nghe âm thanh của fractal;).

Nói chương trình hay là không nói gì. Thật tuyệt, ngoại trừ một điều - phiên bản 20.0 mới nhất chỉ có trong phiên bản DOS :(. Bạn có thể tìm thấy chương trình này (phiên bản 20.0 mới nhất) tại http://spanky.fractint.org/www/fractint/fractint.html .

để lại bình luận

Bình luận

Chà, đối với những người mới bắt đầu, một ví dụ thú vị từ Microsoft Excel. Ô A2 và B2 có cùng giá trị từ 0 đến 1. Với giá trị 0,5 thì không có hiệu lực.

Xin chào tất cả những người đã thành công trong việc tạo ra một chương trình bằng cách sử dụng một bức tranh Fratal. Ai có thể cho tôi biết phương pháp chu trình nào là tốt nhất để tôi sử dụng để xây dựng một khu rừng dương xỉ fractal với lớp nền tối đa 3d với độ lặp dt là 100.000 trên đá với 2800 mH

Có một mã nguồn với một chương trình vẽ đường cong Rồng, cũng là một fractal.

Bài viết thật tuyệt vời. Và Excel có lẽ là lỗi bộ đồng xử lý (ở các chữ số thứ tự thấp cuối cùng)

Chào mọi người! Tên tôi là, Ribenek Valeria, Ulyanovsk và hôm nay tôi sẽ đăng một số bài báo khoa học của mình trên trang web LCI.

Bài viết khoa học đầu tiên của tôi trong blog này sẽ được dành cho fractal. Tôi sẽ nói ngay rằng các bài viết của tôi được thiết kế cho hầu hết mọi đối tượng. Những thứ kia. Tôi hy vọng chúng sẽ được cả học sinh và sinh viên quan tâm.

Gần đây tôi đã biết về những đối tượng thú vị của thế giới toán học như fractal. Nhưng chúng tồn tại không chỉ trong toán học. Họ bao vây chúng tôi ở khắp mọi nơi. Fractal là tự nhiên. Tôi sẽ nói về fractal là gì, các loại fractal, ví dụ về những đối tượng này và ứng dụng của chúng trong bài viết này. Để bắt đầu, tôi sẽ nói ngắn gọn cho bạn biết fractal là gì.

phân dạng(tiếng Latin fractus - bị nghiền nát, bị vỡ, bị vỡ) là một hình hình học phức tạp có đặc tính tự đồng dạng, nghĩa là bao gồm nhiều phần, mỗi phần giống với toàn bộ hình. Theo nghĩa rộng hơn, fractal được hiểu là tập hợp các điểm trong không gian Euclide có thứ nguyên số liệu phân số (theo nghĩa của Minkowski hoặc Hausdorff) hoặc thứ nguyên số liệu khác với thứ nguyên tôpô. Ví dụ: tôi sẽ chèn một bức ảnh mô tả bốn fractal khác nhau.

Tôi sẽ kể cho bạn nghe một chút về lịch sử của fractal. Các khái niệm về hình học fractal và fractal, xuất hiện vào cuối những năm 70, đã được các nhà toán học và lập trình viên thiết lập vững chắc từ giữa những năm 80. Từ "fractal" được Benoit Mandelbrot đặt ra vào năm 1975 để chỉ những cấu trúc không đều nhưng giống nhau mà ông quan tâm. Sự ra đời của hình học fractal thường gắn liền với việc xuất bản cuốn sách The Fractal Geometry of Nature của Mandelbrot vào năm 1977. Các công trình của ông sử dụng kết quả khoa học của các nhà khoa học khác làm việc trong cùng lĩnh vực trong giai đoạn 1875-1925 (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Nhưng chỉ ở thời đại chúng ta mới có thể kết hợp công việc của họ thành một hệ thống duy nhất.

Có rất nhiều ví dụ về fractal, bởi vì, như tôi đã nói, chúng bao quanh chúng ta ở khắp mọi nơi. Theo tôi, thậm chí toàn bộ Vũ trụ của chúng ta cũng là một fractal khổng lồ. Suy cho cùng, mọi thứ trong đó, từ cấu trúc nguyên tử đến cấu trúc của Vũ trụ, đều lặp lại lẫn nhau một cách chính xác. Nhưng tất nhiên, có những ví dụ cụ thể hơn về fractal từ các khu vực khác nhau. Ví dụ, fractal tồn tại trong động lực học phức tạp. Ở đó chúng xuất hiện một cách tự nhiên trong nghiên cứu phi tuyến hệ thống động. Trường hợp được nghiên cứu nhiều nhất là khi hệ thống động được xác định bằng các phép lặp đa thức hoặc chỉnh hình hàm của một phức các biến trên bề mặt. Một số fractal nổi tiếng nhất thuộc loại này là tập hợp Julia, tập hợp Mandelbrot và nhóm Newton. Dưới đây, theo thứ tự, các hình ảnh mô tả từng fractal trên.

Một ví dụ khác về fractal là các đường cong fractal. Tốt nhất là giải thích cách xây dựng một fractal bằng ví dụ về các đường cong fractal. Một trong những đường cong này được gọi là Bông tuyết Koch. Có một thủ tục đơn giản để thu được các đường cong fractal trên mặt phẳng. Chúng ta hãy xác định một đường đứt đoạn tùy ý với số lượng liên kết hữu hạn, được gọi là trình tạo. Tiếp theo, chúng tôi thay thế từng đoạn trong đó bằng một trình tạo (chính xác hơn là một đường đứt nét tương tự như trình tạo). Trong dòng bị hỏng kết quả, chúng tôi lại thay thế từng đoạn bằng một trình tạo. Tiếp tục đến vô cùng, trong giới hạn chúng ta có được một đường cong fractal. Dưới đây là Bông tuyết Koch (hoặc Đường cong).

Ngoài ra còn có rất nhiều đường cong fractal. Nổi tiếng nhất trong số đó là đường cong Koch Snowflake đã được đề cập, cũng như đường cong Levy, đường cong Minkowski, đường gãy của Rồng, đường cong Piano và cây Pythagore. Tôi nghĩ bạn có thể dễ dàng tìm thấy hình ảnh của những fractal này và lịch sử của chúng trên Wikipedia nếu muốn.

Ví dụ hoặc loại fractal thứ ba là fractal ngẫu nhiên. Các fractal như vậy bao gồm quỹ đạo của chuyển động Brown trên mặt phẳng và trong không gian, quá trình tiến hóa Schramm-Löwner, nhiều loại fractal ngẫu nhiên khác nhau, nghĩa là các fractal thu được bằng cách sử dụng quy trình đệ quy trong đó một tham số ngẫu nhiên được đưa vào ở mỗi bước.

Ngoài ra còn có các fractal toán học thuần túy. Ví dụ, đây là bộ Cantor, miếng bọt biển Menger, Tam giác Sierpinski và những bộ khác.

Nhưng có lẽ fractal thú vị nhất là fractal tự nhiên. Fractal tự nhiên là những vật thể trong tự nhiên có đặc tính fractal. Và ở đây danh sách đã lớn. Tôi sẽ không liệt kê tất cả mọi thứ, vì có lẽ không thể liệt kê hết tất cả, nhưng tôi sẽ kể cho bạn nghe một số điều. Ví dụ, trong tự nhiên sống, các phân dạng như vậy bao gồm hệ tuần hoàn và phổi của chúng ta. Và cả vương miện và lá của cây. Điều này cũng bao gồm sao biển, nhím biển, san hô, vỏ sò biển và một số loại cây như bắp cải hoặc bông cải xanh. Một số fractal tự nhiên như vậy từ thiên nhiên sống được trình bày rõ ràng dưới đây.

Nếu chúng ta xem xét thiên nhiên vô tri, thì ở đó có nhiều ví dụ thú vị hơn so với thiên nhiên sống. Sét, bông tuyết, mây, những thứ quen thuộc với mọi người, hoa văn trên cửa sổ trong những ngày băng giá, pha lê, dãy núi - tất cả đều là ví dụ về các fractal tự nhiên từ thiên nhiên vô tri.

Chúng tôi đã xem xét các ví dụ và loại fractal. Về việc sử dụng fractal, chúng được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kiến ​​thức khác nhau. Trong vật lý, fractal phát sinh một cách tự nhiên khi mô hình hóa các quá trình phi tuyến, chẳng hạn như dòng chất lỏng hỗn loạn, các quá trình hấp phụ-khuếch tán phức tạp, ngọn lửa, đám mây, v.v. Fractals được sử dụng khi mô hình hóa các vật liệu xốp, chẳng hạn như trong hóa dầu. Trong sinh học, chúng được sử dụng để mô hình hóa quần thể và mô tả các hệ cơ quan nội tạng (hệ thống mạch máu). Sau khi tạo ra đường cong Koch, người ta đề xuất sử dụng nó để tính chiều dài bờ biển. Fractals cũng được sử dụng tích cực trong kỹ thuật vô tuyến, khoa học thông tin và công nghệ máy tính, viễn thông và thậm chí cả kinh tế. Và tất nhiên, tầm nhìn fractal được sử dụng tích cực trong nghệ thuật và kiến ​​trúc hiện đại. Đây là một ví dụ về mô hình fractal:

Và vì vậy, với điều này, tôi nghĩ sẽ hoàn thành câu chuyện của mình về một hiện tượng toán học bất thường như fractal. Hôm nay chúng ta đã tìm hiểu về fractal là gì, nó xuất hiện như thế nào, về các loại và ví dụ về fractal. Tôi cũng đã nói về cách sử dụng chúng và trình diễn một số fractal một cách trực quan. Tôi hy vọng bạn thích chuyến du ngoạn nhỏ này vào thế giới của những vật thể fractal tuyệt vời và hấp dẫn.

Ví dụ phân dạng

“Fractal” được các nhà toán học đưa vào sử dụng cách đây chưa đầy nửa thế kỷ và nhanh chóng trở thành, cùng với lực cộng hưởng và lực hút, một trong “ba trụ cột” của Lý thuyết Hỗn loạn Tất định non trẻ, và ngày nay đã được công nhận là một trong những lý thuyết các yếu tố cơ bản của cấu trúc vũ trụ.

VỚI từ Latin fractal được dịch là "bị hỏng", các ngôn ngữ Latinh hiện đại cho nó có nghĩa là "bị rách". Fractal là một cái gì đó giống hệt với tổng thể/lớn hơn mà nó là một phần, đồng thời sao chép từng phần cấu thành của chính nó. Như vậy, “fractality” là sự tương đồng vô hạn của “mọi thứ” với các thành phần của nó, tức là nó có tính tự tương tự ở mọi cấp độ. Mỗi cấp độ của một nhánh fractal được gọi là một “sự lặp lại”; hệ thống được mô tả hoặc mô tả bằng đồ họa càng phát triển thì người quan sát càng nhìn thấy nhiều lần lặp fractal hơn. Trong trường hợp này, điểm xảy ra sự phân chia (ví dụ: thân thành nhánh, sông thành hai dòng, v.v.) được gọi là điểm phân nhánh.

Thuật ngữ Fractusđược nhà toán học Benoit Mandelbrot chọn vào năm 1975 để mô tả một khám phá khoa học và trở nên phổ biến vài năm sau đó sau khi ông phát triển chủ đề này cho nhiều độc giả hơn trong cuốn sách Hình học Fractal của Tự nhiên.

Ngày nay, fractal được biết đến rộng rãi như những mô hình tuyệt vời của cái gọi là “nghệ thuật fractal” được tạo ra bởi các chương trình máy tính. Nhưng với sự trợ giúp của máy tính, bạn không chỉ có thể tạo ra những bức tranh trừu tượng đẹp mà còn cả những cảnh quan thiên nhiên rất đáng tin cậy - núi, sông, rừng. Trên thực tế, đây là điểm chuyển tiếp giữa khoa học và đời thực, hoặc ngược lại, nếu chúng ta cho rằng nhìn chung có thể tách rời chúng.

Sự thật là nguyên lý fractal không chỉ phù hợp để mô tả những khám phá trong các ngành khoa học chính xác. Trước hết đây là nguyên tắc cấu tạo và phát triển của tự nhiên. Mọi thứ xung quanh chúng ta đều là fractal! Nhóm ví dụ rõ ràng nhất là các dòng sông có phụ lưu, hệ thống tĩnh mạch có mao mạch, tia sét, hình dạng sương giá, cây cối... Gần đây hơn, các nhà khoa học, thử nghiệm lý thuyết fractal, đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng, dựa vào sơ đồ của một cây có thể rút ra kết luận về diện tích rừng nơi những cây này sinh trưởng. Các ví dụ khác về nhóm fractal: nguyên tử - phân tử - hệ hành tinh - hệ mặt trời - thiên hà - vũ trụ... Phút - giờ - ngày - tuần - tháng - năm - thế kỷ... Ngay cả một cộng đồng người cũng tự tổ chức theo các nguyên tắc của tính phân dạng: Tôi - gia đình - dòng tộc - dân tộc - dân tộc - chủng tộc... Cá nhân - tập thể - đảng - nhà nước. Nhân viên - bộ phận - phòng ban - doanh nghiệp - quan tâm... Ngay cả các đền thờ thần thánh của các tôn giáo khác nhau cũng được xây dựng trên cùng một nguyên tắc, trong đó có Cơ đốc giáo: Chúa Cha - Ba Ngôi - thánh - nhà thờ - tín đồ, chưa kể đến việc tổ chức các đền thờ thần thánh của tôn giáo ngoại giáo.

Câu chuyện tuyên bố rằng các tập hợp tương tự lần đầu tiên được chú ý vào thế kỷ 19 trong các tác phẩm của các nhà khoa học - Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff, nhưng sự thật là người Slav ngoại giáo đã để lại cho chúng ta bằng chứng rằng con người hiểu sự tồn tại của cá nhân như một chi tiết nhỏ trong vô tận của vũ trụ. Đây là một vật thể văn hóa dân gian được gọi là “con nhện”, được các nhà sử học nghệ thuật của Belarus và Ukraine nghiên cứu. Nó là một loại nguyên mẫu điêu khắc theo phong cách “di động” hiện đại (các bộ phận chuyển động liên tục so với nhau). “Con nhện” thường được làm bằng rơm và bao gồm các phần tử nhỏ, vừa và lớn có cùng hình dạng, lơ lửng với nhau sao cho mỗi phần nhỏ hơn lặp lại chính xác phần lớn hơn và toàn bộ cấu trúc nói chung. Thiết kế này được treo ở góc chính của ngôi nhà, như thể biểu thị ngôi nhà của một người như một phần của cả thế giới.

Lý thuyết về tính phân dạng có tác dụng ở khắp mọi nơi ngày nay, kể cả trong triết học, lý thuyết cho rằng trong mỗi cuộc sống, và bất kỳ và toàn bộ sự sống nói chung đều là phân dạng, có những “điểm phân nhánh” khi sự phát triển có thể đi theo những con đường khác nhau để đạt tới những cấp độ cao hơn và một thời điểm mà một một người “tìm thấy chính mình trước một sự lựa chọn”, là một “điểm bổ sung” thực sự trong những mảnh ghép của cuộc đời anh ta.

Lý thuyết Hỗn loạn xác định cho rằng sự phát triển của mỗi fractal không phải là vô hạn. Các nhà khoa học tin rằng tại một thời điểm nhất định sẽ có một giới hạn mà vượt quá mức tăng trưởng của các lần lặp lại sẽ dừng lại và fractal bắt đầu “thu hẹp”, dần dần đạt đến đơn vị đo ban đầu, và sau đó quá trình lại diễn ra theo vòng tròn - tương tự như hít vào và thở ra, sự thay đổi của sáng và đêm, mùa đông và mùa hè trong tự nhiên.