Định lý. Thể tích của một kim tự tháp bằng tích của diện tích đáy và một phần ba chiều cao của nó.
Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý này cho hình chóp tam giác, sau đó cho hình chóp đa giác.
1) Dựa vào hình chóp tam giác SABC (Hình 102), chúng ta sẽ dựng hình lăng trụ SABCDE, có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp và một cạnh bên trùng với cạnh SB. Chúng ta hãy chứng minh rằng thể tích của hình chóp bằng một phần ba thể tích của lăng kính này. Chúng ta hãy tách kim tự tháp này khỏi lăng kính. Những gì còn lại sau đó là hình chóp tứ giác SADEC (được hiển thị riêng cho rõ ràng). Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng cắt trong đó đi qua đỉnh S và đường chéo của đáy DC. Hai hình chóp tam giác thu được có một đỉnh chung S và các đáy DEC và DAC bằng nhau, nằm trong cùng một mặt phẳng; Điều này có nghĩa là theo bổ đề kim tự tháp đã được chứng minh ở trên, chúng có kích thước bằng nhau. Hãy so sánh một trong số chúng, cụ thể là SDEC, với kim tự tháp này. Đáy của kim tự tháp SDEC có thể được lấy là \(\Delta\)SDE; khi đó đỉnh của nó sẽ ở điểm C và chiều cao của nó sẽ bằng chiều cao của hình chóp đã cho. Vì \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, nên theo bổ đề tương tự, các hình chóp SDEC và SABC có kích thước bằng nhau.
Chúng tôi chia lăng kính ABCDES thành ba hình chóp có kích thước bằng nhau: SABC, SDEC và SDAC. (Rõ ràng, bất kỳ lăng kính tam giác nào cũng có thể chịu sự phân chia như vậy. Đây là một trong những tính chất quan trọng của lăng trụ tam giác.) Do đó, tổng thể tích của ba hình chóp có kích thước bằng kim tự tháp này tạo thành thể tích của lăng kính; kể từ đây,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
trong đó H là chiều cao của kim tự tháp.
2) Qua một số đỉnh E (Hình 103) của đáy hình chóp đa giác SABCDE, chúng ta vẽ các đường chéo EB và EC.
Sau đó, chúng ta vẽ các mặt phẳng cắt qua cạnh SE và từng đường chéo này. Khi đó hình chóp đa giác sẽ được chia thành nhiều hình tam giác, có chiều cao chung với hình chóp đã cho. Biểu thị diện tích đáy của hình chóp tam giác bằng b 1 ,b 2 ,b 3 và chiều cao qua H, ta sẽ có:
Khối lượng SABCDE = 1/3 b 1H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3 =
= (diện tích ABCDE) H/3 .
Kết quả. Nếu V, B và H là các số biểu thị theo đơn vị tương ứng là thể tích, diện tích đáy và chiều cao của bất kỳ hình chóp nào thì
Định lý. Thể tích của hình chóp cụt bằng tổng thể tích của ba hình chóp có chiều cao bằng chiều cao của hình chóp cụt và các đáy: một là đáy dưới của kim tự tháp này, cái còn lại là đáy trên, và diện tích đáy của hình chóp thứ ba bằng trung bình hình học của diện tích đáy trên và đáy dưới.
Gọi diện tích đáy của hình chóp cụt (Hình 104) là B và b, chiều cao H và thể tích V (hình chóp cụt có thể là hình tam giác hoặc đa giác - không thành vấn đề).
Cần phải chứng minh rằng
V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
ở đâu √B b là trung bình hình học giữa B và b.
Để chứng minh điều này, chúng ta hãy đặt một kim tự tháp nhỏ trên một đế nhỏ hơn để bổ sung cho hình chóp cụt này thành một kim tự tháp hoàn chỉnh. Khi đó, chúng ta có thể coi thể tích của hình chóp cụt V là sự khác biệt giữa hai tập - hình chóp đầy đủ và hình chóp bổ sung phía trên.
Đã chỉ định chiều cao của kim tự tháp bổ sung bằng chữ cái X, chúng ta sẽ tìm thấy điều đó
V = 1/3 V (H + X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH + (В - b)X].
Để tìm chiều cao X Hãy sử dụng định lý từ , theo đó chúng ta có thể viết phương trình:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Để đơn giản hóa phương trình này, chúng ta lấy căn bậc hai số học của cả hai vế:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Từ phương trình này (có thể coi là tỷ lệ), chúng ta nhận được:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
và do đó
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Thay biểu thức này vào công thức rút ra cho tập V, chúng ta thấy:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
Vì B - b= (√B + √ b) (√B - √ b), sau đó giảm phân số bằng hiệu √B - √ b chúng tôi nhận được:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
tức là ta có công thức cần chứng minh.
Vật liệu khácĐặc điểm chính của bất kỳ hình hình học nào trong không gian là thể tích của nó. Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét hình chóp có hình tam giác ở đáy là gì, đồng thời chúng ta cũng sẽ chỉ ra cách tìm thể tích của hình chóp tam giác - đầy đủ và cắt cụt.
Đây là gì - một kim tự tháp hình tam giác?
Mọi người đều đã nghe nói về kim tự tháp Ai Cập cổ đại, nhưng chúng có hình tứ giác đều chứ không phải hình tam giác. Hãy giải thích làm thế nào để có được một kim tự tháp hình tam giác.
Hãy lấy một tam giác tùy ý và nối tất cả các đỉnh của nó với một số điểm duy nhất nằm bên ngoài mặt phẳng của tam giác này. Hình kết quả sẽ được gọi là hình chóp tam giác. Nó được thể hiện trong hình dưới đây.
Như bạn có thể thấy, hình được đề cập được tạo thành từ bốn hình tam giác, nhìn chung là khác nhau. Mỗi hình tam giác là các cạnh của kim tự tháp hoặc mặt của nó. Kim tự tháp này thường được gọi là hình tứ diện, nghĩa là hình tứ diện ba chiều.
Ngoài các cạnh, kim tự tháp còn có các cạnh (có 6 cạnh) và các đỉnh (trong tổng số 4).
có đáy hình tam giác
Một hình thu được bằng cách sử dụng một tam giác tùy ý và một điểm trong không gian sẽ là một hình chóp nghiêng không đều trong trường hợp chung. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng tam giác ban đầu có các cạnh bằng nhau và một điểm trong không gian nằm chính xác phía trên tâm hình học của nó và cách mặt phẳng của tam giác một khoảng h. Kim tự tháp được xây dựng bằng những dữ liệu ban đầu này sẽ chính xác.
Rõ ràng số cạnh, số cạnh và số đỉnh của một hình chóp tam giác đều sẽ bằng số của một hình chóp được xây dựng từ một hình tam giác tùy ý.
Tuy nhiên, hình đúng có một số đặc điểm khác biệt:
- chiều cao của nó được vẽ từ đỉnh sẽ cắt chính xác đáy ở tâm hình học (điểm giao nhau của các đường trung tuyến);
- bề mặt bên của một kim tự tháp như vậy được hình thành bởi ba hình tam giác giống hệt nhau, là hình cân hoặc đều.
Kim tự tháp hình tam giác đều không chỉ là một vật thể hình học mang tính lý thuyết thuần túy. Một số cấu trúc trong tự nhiên có hình dạng riêng, ví dụ như mạng tinh thể kim cương, trong đó một nguyên tử carbon được kết nối với bốn nguyên tử giống nhau bằng liên kết cộng hóa trị, hoặc phân tử metan, trong đó các đỉnh của kim tự tháp được hình thành bởi các nguyên tử hydro.
Kim tự tháp hình tam giác
Bạn có thể xác định thể tích của bất kỳ hình chóp nào có n-giác tùy ý ở đáy bằng cách sử dụng biểu thức sau:
Ở đây ký hiệu S o biểu thị diện tích của đế, h là chiều cao của hình được vẽ lên đế được đánh dấu tính từ đỉnh kim tự tháp.
Vì diện tích của một tam giác tùy ý bằng một nửa tích của chiều dài cạnh a và trung điểm ha rơi vào cạnh này, nên công thức tính thể tích của hình chóp tam giác có thể được viết dưới dạng sau:
V = 1/6 × a × h a × h
Đối với loại hình thông thường, việc xác định chiều cao không phải là một việc dễ dàng. Để giải, cách dễ nhất là sử dụng công thức tính khoảng cách giữa một điểm (đỉnh) và một mặt phẳng (đế tam giác), được biểu diễn bằng một phương trình tổng quát.
Đối với cái đúng, nó có một diện mạo cụ thể. Diện tích đáy (của một tam giác đều) đối với nó bằng:
Thay nó vào biểu thức tổng quát của V, ta được:
V = √3/12 × a 2 × h
Một trường hợp đặc biệt là trường hợp tất cả các cạnh của một tứ diện đều là các tam giác đều giống nhau. Trong trường hợp này, thể tích của nó chỉ có thể được xác định dựa trên kiến thức về tham số của cạnh a của nó. Biểu thức tương ứng trông giống như:
Kim tự tháp cắt ngắn
Nếu phần trên chứa đỉnh bị cắt khỏi một hình chóp tam giác đều, bạn sẽ có một hình bị cắt cụt. Không giống như hình ban đầu, nó sẽ bao gồm hai đáy tam giác đều và ba hình thang cân.
Bức ảnh dưới đây cho thấy một kim tự tháp hình tam giác cắt ngắn thông thường làm bằng giấy trông như thế nào.
Để xác định thể tích của hình chóp tam giác cụt, bạn cần biết ba đặc điểm tuyến tính của nó: mỗi cạnh của đáy và chiều cao của hình bằng khoảng cách giữa đáy trên và đáy dưới. Công thức tính khối lượng tương ứng được viết như sau:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Ở đây h là chiều cao của hình, A và a lần lượt là độ dài các cạnh của tam giác đều lớn (dưới) và nhỏ (trên).
Giải pháp của vấn đề
Để làm cho thông tin trong bài viết rõ ràng hơn với người đọc, chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ rõ ràng về cách sử dụng một số công thức đã viết.
Gọi thể tích của hình chóp tam giác là 15 cm 3 . Được biết, con số này là chính xác. Bạn sẽ tìm trung điểm a b của cạnh bên nếu biết rằng chiều cao của hình chóp là 4 cm.
Vì thể tích và chiều cao của hình đã biết nên bạn có thể sử dụng công thức thích hợp để tính độ dài cạnh đáy của nó. Chúng ta có:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b = √(h 2 + a 2/12) = √(16 + 25,98 2/12) = 8,5 cm
Chiều dài tính toán của trung điểm của hình hóa ra lớn hơn chiều cao của nó, điều này đúng với bất kỳ loại kim tự tháp nào.
Định lý.
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao.
Bằng chứng:
Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý cho hình chóp tam giác, sau đó cho định lý tùy ý.1. Xét một hình chóp tam giácOABCcó thể tích V, diện tích đáyS và chiều cao h. Hãy vẽ trục ồ (OM2- chiều cao), hãy xem xét phầnA1 B1 C1kim tự tháp có mặt phẳng vuông góc với trụcỒvà do đó song song với mặt phẳng đáy. Hãy ký hiệu bằngXđiểm hoành M1 giao điểm của mặt phẳng này với trục x và quaS(x)- diện tích mặt cắt ngang. Hãy bày tỏ S(x) bởi vì S, h Và X. Lưu ý rằng tam giác A1 TRONG1 VỚI1 Và ABC cũng tương tự. Quả thực A1 TRONG1 II AB nên tam giác viêm khớp 1 TRONG 1 đồng dạng với tam giác OAB. VỚI Vì vậy, MỘT1 TRONG1 : MỘTB= viêm khớp 1: viêm khớp .
Tam giác vuông viêm khớp 1 TRONG 1 và OAV cũng giống nhau (chúng có chung một góc nhọn với đỉnh O). Vì vậy, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Như vậy MỘT 1 TRONG 1 : A B = x: h.Tương tự, người ta chứng minh rằngB1 C1:Mặt trời = X: h Và A1 C1:AC = X: h.Vì vậy, tam giácA1 B1 C1 Và ABCtương tự với hệ số tương tự X: h.Do đó, S(x): S = (x: h)² hoặc S(x) = S x²/ h².
Bây giờ chúng ta hãy áp dụng công thức cơ bản để tính thể tích của các vật thể tạiMột= 0, b =h chúng tôi nhận được
Vậy thể tích của hình chóp ban đầu là 1/3Sh. Định lý đã được chứng minh.
Kết quả:
Tập V của một hình chóp cụt có chiều cao h và diện tích đáy là S và S1 , được tính theo công thức
h - chiều cao của kim tự tháp
Dừng lại - diện tích của đế trên
Chậm hơn - diện tích đáy dưới
Kim tự tháp là một khối đa diện có một đa giác ở đáy. Lần lượt tất cả các mặt tạo thành các hình tam giác hội tụ tại một đỉnh. Kim tự tháp có hình tam giác, hình tứ giác, v.v. Để xác định kim tự tháp nào ở trước mặt bạn, chỉ cần đếm số góc ở đáy của nó là đủ. Định nghĩa “chiều cao của kim tự tháp” rất thường thấy trong các bài toán hình học trong chương trình giảng dạy ở trường. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng xem xét các cách khác nhau để tìm thấy nó.
Các bộ phận của kim tự tháp
Mỗi kim tự tháp bao gồm các yếu tố sau:
- các mặt bên có ba góc và hội tụ ở đỉnh;
- đường trung đoạn biểu thị chiều cao đi xuống từ đỉnh của nó;
- đỉnh kim tự tháp là điểm nối các gân bên nhưng không nằm trong mặt phẳng của đế;
- đáy là một đa giác mà đỉnh không nằm trên đó;
- chiều cao của kim tự tháp là đoạn cắt đỉnh của kim tự tháp và tạo thành một góc vuông với đáy của nó.
Cách tìm chiều cao của kim tự tháp nếu biết thể tích của nó
Qua công thức V = (S*h)/3 (trong công thức V là thể tích, S là diện tích đáy, h là chiều cao của hình chóp) ta thấy h = (3*V)/ S. Để củng cố tài liệu, chúng ta hãy giải quyết ngay vấn đề. đáy hình tam giác là 50 cm 2 , thể tích của nó là 125 cm 3 . Chiều cao của hình chóp tam giác chưa biết, đó chính là điều ta cần tìm. Mọi thứ ở đây đều đơn giản: chúng tôi chèn dữ liệu vào công thức của mình. Ta được h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Cách tìm chiều cao của hình chóp nếu biết chiều dài đường chéo và các cạnh của nó
Như chúng ta nhớ, chiều cao của kim tự tháp tạo thành một góc vuông với đáy của nó. Điều này có nghĩa là chiều cao, cạnh và một nửa đường chéo cùng nhau tạo thành Nhiều người, tất nhiên, hãy nhớ định lý Pythagore. Biết hai chiều, sẽ không khó để tìm được đại lượng thứ ba. Chúng ta hãy nhớ lại định lý nổi tiếng a2 = b2 + c2, trong đó a là cạnh huyền và trong trường hợp của chúng ta là cạnh của hình chóp; b - chân thứ nhất hoặc một nửa đường chéo và c - tương ứng là chân thứ hai hoặc chiều cao của hình chóp. Từ công thức này c2 = a2 - b2.
Bây giờ vấn đề là: trong một hình chóp thông thường, đường chéo là 20 cm, khi chiều dài của cạnh là 30 cm, bạn cần tìm chiều cao. Ta giải: c2 = 302 - 202 = 900-400 = 500. Do đó c = √ 500 = khoảng 22,4.
Làm thế nào để tìm chiều cao của một kim tự tháp bị cắt cụt
Nó là một đa giác có tiết diện song song với đáy của nó. Chiều cao của một hình chóp cụt là đoạn nối hai đáy của nó. Chiều cao có thể được tìm thấy đối với một kim tự tháp thông thường nếu biết độ dài đường chéo của cả hai đáy, cũng như cạnh của kim tự tháp. Gọi đường chéo của đáy lớn là d1, đường chéo của đáy nhỏ là d2 và cạnh có chiều dài l. Để tìm chiều cao, bạn có thể hạ độ cao từ hai điểm đối diện phía trên của sơ đồ xuống đáy của nó. Chúng ta thấy rằng chúng ta có hai hình tam giác vuông; tất cả những gì còn lại là tìm độ dài hai chân của chúng. Để làm điều này, hãy trừ phần nhỏ hơn khỏi đường chéo lớn hơn và chia cho 2. Vì vậy, chúng ta sẽ tìm được một nhánh: a = (d1-d2)/2. Sau đó, theo định lý Pythagore, tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm chân thứ hai, tức là chiều cao của kim tự tháp.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét toàn bộ điều này trong thực tế. Chúng ta có một nhiệm vụ phía trước. Một hình chóp cụt có đáy là hình vuông, độ dài đường chéo của đáy lớn là 10 cm, đáy nhỏ là 6 cm, cạnh là 4 cm, bạn cần tìm chiều cao. Đầu tiên, chúng ta tìm một chân: a = (10-6)/2 = 2 cm, một chân bằng 2 cm, và cạnh huyền là 4 cm, hóa ra chân thứ hai hoặc chiều cao sẽ bằng 16- 4 = 12, tức là h = √12 = khoảng 3,5 cm.
Kim tự thápđược gọi là một khối đa diện, đáy của nó là một đa giác tùy ý và tất cả các mặt đều là những hình tam giác có một đỉnh chung, là đỉnh của hình chóp.
Kim tự tháp là một hình ba chiều. Đó là lý do tại sao thường xuyên không chỉ cần tìm diện tích mà còn cả thể tích của nó. Công thức tính thể tích của kim tự tháp rất đơn giản:
Trong đó S là diện tích đáy và h là chiều cao của hình chóp.
Chiều cao kim tự tháp được gọi là một đường thẳng đi từ đỉnh xuống đáy theo một góc vuông. Theo đó, để tìm thể tích của một kim tự tháp, cần xác định đa giác nào nằm ở đáy, tính diện tích của nó, tìm ra chiều cao của kim tự tháp và tìm thể tích của nó. Hãy xem xét một ví dụ về tính thể tích của kim tự tháp.
Bài toán: Cho một hình chóp tứ giác đều. 
Cạnh đáy là a = 3 cm, tất cả các cạnh bên là b = 4 cm, tính thể tích của hình chóp.
Đầu tiên, hãy nhớ rằng để tính thể tích, bạn sẽ cần chiều cao của kim tự tháp. Chúng ta có thể tìm thấy nó bằng định lý Pythagore. Để làm điều này, chúng ta cần chiều dài của đường chéo, hay đúng hơn là một nửa của nó. Khi biết hai cạnh của một tam giác vuông, chúng ta có thể tìm được chiều cao. Đầu tiên, tìm đường chéo: 
Hãy thay thế các giá trị vào công thức: 
Chúng tôi tìm thấy chiều cao h bằng cách sử dụng d và cạnh b: 
Bây giờ chúng ta hãy tìm