సిస్టమ్‌లోని మూలకాల యొక్క దగ్గరి కనెక్షన్ భౌతిక లేదా బదులుగా, సహజ సంబంధాలువాటి మధ్య, లేదా వ్యవస్థ యొక్క ఇతర ప్రాథమిక లక్షణాలు, ఉదాహరణకు, ఆర్థిక, సామాజిక, మానవ సమాజం యొక్క అభివృద్ధిని వర్గీకరించడం.

అటువంటి కనెక్షన్ల లోతు సంబంధిత వ్యవస్థల సోపానక్రమంలో సిస్టమ్ స్థాయిపై ఆధారపడి ఉంటుంది విషయం ప్రాంతంఅధ్యయనం చేయబడిన విషయం యొక్క ఉనికి సంక్లిష్ట వస్తువు. కనెక్షన్‌లలో వ్యవస్థను రూపొందించే స్వభావం మరియు సమాజం యొక్క మూలకాల మధ్య సాధారణ సంబంధాలు మరియు దాని మూలకాల యొక్క నిర్దిష్ట పరిమిత పరిధికి సంబంధించిన ప్రైవేట్‌లు రెండూ ఉంటాయి. పైన పేర్కొన్న వాటికి సంబంధించి, ఈ కనెక్షన్లను గాని పిలుస్తారు సాధారణ చట్టాలుప్రకృతి (ప్రాథమిక)లేదా ప్రైవేట్, పరిమితమైన దృగ్విషయాలకు సంబంధించినది (అనుభావిక చట్టాలు)లేదా కొన్ని పునరావృతాల రూపంలో తమను తాము వ్యక్తం చేసే ధోరణులకు సామూహిక దృగ్విషయాలుమరియు పిలిచారు క్రమబద్ధతలు.

ప్రాథమిక కనెక్షన్లను చట్టాలు అంటారు. చట్టం అనేది అన్నింటికి సంబంధించి సార్వత్రికత యొక్క లక్షణాలను కలిగి ఉన్న తాత్విక వర్గం సహజ వస్తువులు, దృగ్విషయాలు, సంఘటనలు. ఈ విషయంలో, చట్టం యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంది: చట్టం అనేది ఏదైనా దృగ్విషయం మధ్య ఒక ముఖ్యమైన, స్థిరమైన, పునరావృత సంబంధం.

చట్టం వ్యవస్థల మధ్య ఒక నిర్దిష్ట సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది, రాజ్యాంగ అంశాలువస్తువులు మరియు దృగ్విషయాల అనుబంధాలు, అలాగే వస్తువులు మరియు దృగ్విషయాలలోనే.

ప్రతి కనెక్షన్ చట్టం కాదు. ఇది అవసరం మరియు ప్రమాదవశాత్తు కావచ్చు, చట్టం అనేది అవసరమైన కనెక్షన్. ఇది అంతరిక్షంలో సహజీవనం చేసే వస్తువుల మధ్య ముఖ్యమైన సంబంధాన్ని వ్యక్తపరుస్తుంది (పదార్థ నిర్మాణాలు, సాధారణ అర్థంలో).

పైన చెప్పినవన్నీ వర్తిస్తాయి ఆపరేషన్ చట్టాలు(ఉనికి సహజ పర్యావరణంలేదా మనిషి కృత్రిమంగా సృష్టించాడు). కూడా ఉన్నాయి అభివృద్ధి చట్టాలు, సమయానికి జరిగే సంఘటనల ధోరణి, దిశ లేదా క్రమాన్ని వ్యక్తీకరించడం. అన్నీ సహజ చట్టాలు- మానవ చేతులతో తయారు చేయబడలేదు, అవి ప్రపంచంలో నిష్పాక్షికంగా ఉన్నాయి మరియు విషయాల సంబంధాలను వ్యక్తపరుస్తాయి మరియు మానవ స్పృహలో కూడా ప్రతిబింబిస్తాయి.

ఇప్పటికే చెప్పినట్లుగా, సాధారణత స్థాయికి అనుగుణంగా చట్టాలు విభజించబడ్డాయి. సార్వత్రిక చట్టాలు తాత్విక చట్టాలు. ప్రకృతి యొక్క ప్రాథమిక చట్టాలు, వాటి సాధారణతలో, రెండు పెద్ద తరగతులుగా కూడా విభజించబడ్డాయి. మరింత సాధారణమైన వాటికి, ఒక సంఖ్య లేదా అనేక రకాల శాస్త్రాల ద్వారా కూడా అధ్యయనం చేయబడుతుంది (ఉదాహరణకు, శక్తి మరియు సమాచార పరిరక్షణ చట్టాలు మొదలైనవి). మరియు తక్కువ సాధారణ చట్టాలు, ఇది వరకు విస్తరించింది పరిమిత ప్రాంతాలు, నిర్దిష్ట శాస్త్రాలు (భౌతిక శాస్త్రం, రసాయన శాస్త్రం, జీవశాస్త్రం) ద్వారా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి.

అన్ని సాంకేతిక శాస్త్రాలను కలిగి ఉన్న ప్రత్యేక శాస్త్రాలచే అనుభావిక చట్టాలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. ఉదాహరణగా, మేము పదార్థాల బలం యొక్క క్రమశిక్షణను తీసుకోవచ్చు. ఇది క్రమశిక్షణకు సంబంధించిన అంశాలకు సంబంధించిన ప్రయోగాత్మక డేటా ఆధారంగా అన్ని ప్రాథమిక చట్టాలు మరియు అనుభావిక చట్టాలు వర్తించే విషయాలను మరియు వ్యవస్థలను అధ్యయనం చేస్తుంది. యాంత్రిక శరీరాలు, ఇది హుక్ యొక్క చట్టానికి లోబడి ఉంటుంది: శరీరం యొక్క వైకల్యం శరీరంపై పనిచేసే శక్తికి నేరుగా అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది (మరియు దీనికి విరుద్ధంగా).

IN సాంకేతిక శాస్త్రాలుమరింత నిర్దిష్టమైన వాటిపై ఆధారపడిన విభాగాలు ఉన్నాయి అనుభావిక కనెక్షన్లు, సిద్ధాంతాలుగా అంగీకరించబడ్డాయి.

కొన్ని చట్టాలు ఖచ్చితమైన పరిమాణాత్మక ఆధారపడటాన్ని వ్యక్తపరుస్తాయి మరియు స్థిరంగా ఉంటాయి గణిత సూత్రాలు, ఇతరులు అధికారికీకరణకు ఇంకా అనుకూలంగా లేరు, ఉదాహరణకు, మరొక సంఘటన కారణంగా ఒక రకమైన సంఘటన యొక్క తప్పనిసరి స్వభావాన్ని సూచిస్తుంది.

కొన్ని చట్టాలు - నిర్ణయించబడిన,అంటే - అంటే, అవి కారణవాదం ఆధారంగా స్థాపించబడ్డాయి - పరిశోధనాత్మక కనెక్షన్లుఖచ్చితమైన పరిమాణాత్మక సంబంధాలు, ఇతరులు - గణాంకపరమైన, కొన్ని పరిస్థితులలో ఈవెంట్ సంభవించే సంభావ్యతను స్థాపించడం.

ప్రకృతిలో, చట్టాలు ఆకస్మిక శక్తిగా పనిచేస్తాయి. అయితే, చట్టాలను తెలుసుకోవడం, వాటిని ఉద్దేశపూర్వకంగా ఉపయోగించవచ్చు ఆచరణాత్మక కార్యకలాపాలు(ఆవిరి యంత్రాలలో ఆవిరి పీడనం యొక్క శక్తి వలె, అంతర్గత దహన యంత్రాలలో సంపీడన వాయువు యొక్క శక్తి వలె).

సామాజిక-చారిత్రక చట్టాలు ప్రకృతి నియమాల నుండి చాలా భిన్నంగా లేవు, కానీ అవి వాటి మధ్య పనిచేస్తాయి ఆలోచిస్తున్న వ్యక్తులు. ఈ చట్టాల పరిజ్ఞానం సహాయపడుతుంది మెరుగైన సంస్థఆర్థిక వ్యవస్థ మరియు సమాజం.

అందువలన, ప్రకృతి మరియు సమాజం యొక్క చట్టాల అధ్యయనం మానవత్వం యొక్క ప్రాధమిక పని. చట్టాల పరిజ్ఞానం మరియు వాటి సరైన ఉపయోగం కోసం చర్యల అభివృద్ధి మాత్రమే అభివృద్ధి చెందుతున్న మరియు పెరుగుతున్న మానవాళికి ఆహారం మరియు కృత్రిమంగా సృష్టించబడిన పరిస్థితుల వాతావరణాన్ని అందించగలదు.

తలెత్తే కొత్త సమస్యలను పరిష్కరించే వేగం ఎంత రిజర్వ్‌పై ఆధారపడి ఉంటుంది శాస్త్రీయ జ్ఞానంప్రజలు ఆదా చేశారు ఈ క్షణంమరియు అది ఎలా ప్రాసెస్ చేయబడింది మరియు గ్రహించబడింది. శాస్త్రీయ జ్ఞానాన్ని అర్థం చేసుకోవడం సూత్రీకరణకు దారి తీస్తుంది శాస్త్రీయ సమస్య, దీని పరిష్కారం ఈ సమస్యల శ్రేణిపై సిద్ధాంతాన్ని పూర్తి చేయడానికి మరియు ఆచరణాత్మక విషయాలలో మరింత కఠినమైన ముగింపులను ఉపయోగించేందుకు దారితీస్తుంది. శాస్త్రీయ సమస్య- వివరించిన అర్థంలో తాత్విక వర్గం మాత్రమే కాదు, ఆచరణాత్మకమైనది కూడా, ఇది ఎలా ఆధారపడి ఉంటుంది సైద్ధాంతిక శాస్త్రం, అలాగే ప్రజల జీవితాల్లో దాని ఆచరణాత్మక అమలు.

ఒక సిద్ధాంతం యొక్క పరిపూర్ణత కోసం శాస్త్రీయ సమస్య యొక్క ప్రాముఖ్యత యొక్క ఈ వివరణాత్మక భాగం నుండి, దాని నిర్వచనం కూడా క్రింది విధంగా ఉంది: శాస్త్రీయ సమస్య అనేది ఏదైనా దృగ్విషయం, వస్తువులు, ప్రక్రియలు మరియు అవసరాల యొక్క వివరణలో వ్యతిరేక స్థానాల రూపంలో కనిపించే విరుద్ధమైన పరిస్థితి. దాన్ని పరిష్కరించడానికి తగిన ఏకైక సిద్ధాంతం.

దాని విజయవంతమైన పరిష్కారం కోసం ఒక ముఖ్యమైన అవసరం సరైన స్థానం. స్వీకరించిన వాటిలో వైరుధ్యాలను చూడండి అనుభావిక జ్ఞానం, వాటిపై శ్రద్ధ చూపడం మరియు ఈ వైరుధ్యాన్ని తొలగించడం అనే ప్రశ్నను లేవనెత్తడం అంటే శాస్త్రీయ సమస్యను పరిష్కరించడం మరియు విజ్ఞాన శాస్త్రాన్ని పురోగతి దిశగా ముందుకు తీసుకెళ్లడం. సైన్స్‌లో, సూత్రీకరించబడిన సమస్యను ప్రత్యేకంగా పరిష్కరించిన పరిశోధకుల కంటే సమస్యలను రూపొందించగల వ్యక్తులు ఎక్కువగా గౌరవించబడటం కారణం లేకుండా కాదు. తప్పు సమస్యల సూత్రీకరణ శాస్త్రంలో గొప్ప స్తబ్దతకు దారితీస్తుంది.

"శాస్త్రీయ సమస్య" వర్గం నేరుగా వర్గానికి సంబంధించినది "పరికల్పన".పరికల్పనలు, మొదటగా, శాస్త్రీయ సమస్య యొక్క వైరుధ్యాలను సిద్ధాంతపరంగా తొలగించడానికి ఉపయోగించబడతాయి. ఇటువంటి పరికల్పనలు (ఊహలు), విజయవంతమైతే, ప్రాథమిక సిద్ధాంతాలుగా మారుతాయి (రెండు భౌతిక శరీరాల మధ్య ఆకర్షణ శక్తి గురించి న్యూటన్ యొక్క ఊహ).

పరికల్పనలు సాంకేతిక శాస్త్రాలలో కూడా ఉపయోగించబడతాయి, ఇక్కడ అవి ఒక నిర్దిష్ట స్వభావం కలిగి ఉంటాయి మరియు అధ్యయనం చేయబడిన వస్తువు యొక్క ప్రవర్తన మరియు దాని అంశాలను నిర్ణయించే కారకాల పరస్పర చర్య యొక్క వర్ణనను సూచిస్తాయి. ఈ సందర్భంలో, పరికల్పన అంటారు పని పరికల్పన, ఇది, లో వలె శాస్త్రీయ సమస్య, ప్రయోగాత్మక డేటా ఆధారంగా నిరూపించబడవచ్చు లేదా తిరస్కరించవచ్చు.

అందువల్ల, పరికల్పన అనేది ఒక దృగ్విషయం, వస్తువు, సంఘటనలో మార్పు యొక్క సంభావ్య (సాధ్యం) నమూనా గురించి ఒక ఊహ, ఇది నిరూపించబడలేదు, కానీ సంభావ్యంగా అనిపిస్తుంది.

పరికల్పన యొక్క ప్రయోజనం ఏమిటంటే ఇది సమస్యలను రూపొందించడానికి పరిశోధకులను సమీకరించడం ప్రయోగాత్మక పనిపేర్కొన్న పరికల్పన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని నిరూపించడానికి. మరియు వేరొక ఫలితం పొందినట్లయితే, అప్పుడు సేకరించిన పదార్థం మాకు పరికల్పనను సరిచేయడానికి మరియు తదుపరి శాస్త్రీయ పరిశోధన పనిని ప్లాన్ చేయడానికి అనుమతిస్తుంది.

మరింత సాధారణ సూత్రీకరణలో, సైంటిఫిక్ మెథడాలజీ యొక్క పద్ధతిగా మోడలింగ్ అనేది అధ్యయనం చేయబడిన వస్తువు గురించి అనధికారికంగా అర్ధవంతమైన ఆలోచనల నుండి గణిత నమూనాల వినియోగానికి మారడం.

సిద్ధాంతాల ఆధారంగా పొందిన నమూనాల సైద్ధాంతిక స్థాయి, సిద్ధాంతాలను ఉత్పన్నం చేయడానికి నియమాలు మరియు కరస్పాండెన్స్ నియమాలు ముందుకు తెచ్చిన పరికల్పనలను విశ్లేషించడం ద్వారా పొందిన పరిణామాల సూత్రీకరణతో హైపోటికో-డిడక్టివ్ నిబంధనల ఆధారంగా మరింత పెంచబడతాయి. ఈ సందర్భంలో ఉపయోగించిన గణిత ఉపకరణం కొత్త జ్ఞానాన్ని పొందే సాధనం మరియు ఏ విధంగానూ కాదు చివరి లక్ష్యంపద్దతి విశ్లేషణ.

సంకలనం కోసం గణిత నమూనాదీని ఉపయోగం క్రింది విధంగా ఉంది, దీని ఉద్దేశ్యం దాని సృష్టికి ముందు తప్పిపోయిన సమాచారాన్ని పొందడం, అనగా. ఫలిత నమూనా తప్పనిసరిగా హ్యూరిస్టిక్‌గా ఉండాలి. ఈ చర్యే పద్దతిని మారుస్తుంది ప్రయోగాత్మక శాస్త్రం, ఆచరణలో దాని ముగింపుల ధృవీకరణను అనుమతిస్తుంది.

మోడల్ మరియు దాని లక్షణాలు.

అధికారికీకరణ ఉన్న జ్ఞానంఅధ్యయనంలో ఉన్న సిస్టమ్ గురించి (మోడల్ యొక్క కంపైలర్ ద్వారా) సిస్టమ్ యొక్క అవసరమైన లక్షణాలను పొందేందుకు ఒక నమూనాను సృష్టిస్తుంది: స్థిరత్వం; సంపూర్ణత; సిద్ధాంత వ్యవస్థ యొక్క స్వాతంత్ర్యం; విషయము. ఒక మంచి ఉదాహరణఈ లక్షణాల నెరవేర్పు 19వ శతాబ్దంలో లోబాచెవ్స్కీ, గాస్, బోల్యాయ్ యొక్క నాన్-యూక్లిడియన్ జ్యామితి యొక్క సిద్ధాంతాలు. ఇటాలియన్ Beltrami ఉన్నాయి అని చూపించాడు నిజమైన శరీరాలు, దీని ఉపరితలంపై లోబాచెవ్స్కీ జ్యామితి యొక్క చట్టాలు సంతృప్తి చెందాయి.

మానవ జ్ఞానం యొక్క సైద్ధాంతిక అవగాహన ప్రారంభంలో, సిద్ధాంతాల అభివృద్ధి ఎల్లప్పుడూ నిర్దిష్ట కేసుల నుండి సాధారణం వరకు కొనసాగుతుంది. ప్రస్తుతం, గణిత నమూనా యొక్క నిర్మాణం ఆధారంగా వస్తువులను మోడలింగ్ చేసే పద్ధతులు ఉద్భవించాయి. అటువంటి జ్ఞానం యొక్క అభివృద్ధి గొలుసు వెళుతుంది రివర్స్ ఆర్డర్. మొదట, అధ్యయనం చేయబడిన సంఘటన (వస్తువు) యొక్క అక్షసంబంధ గణిత వివరణ కనిపిస్తుంది మరియు దాని ఆధారంగా రూపొందించబడింది. సంభావిత నమూనా- ఉదాహరణ. దీనితో పాటు, సమ్మతి సూత్రాలు కూడా మారుతున్నాయి. సహజ ప్రక్రియలుమరియు సైద్ధాంతిక పథకాలు(నమూనాలు). ప్రయోగాల ప్రయోగాత్మక డేటాతో మోడల్ ప్రకారం గణన ఫలితాల సాధారణ యాదృచ్చికానికి బదులుగా, మేము పరిశీలిస్తాము తులనాత్మక లక్షణాలువారి గణిత అల్గోరిథంలుఇతర (పరోక్ష) పారామితులలో ఫలితాలను సాధించడం. ఈ సూత్రాలలో, ఉదాహరణకు, సూత్రాలు ఉన్నాయి సరళత మరియు అందం శాస్త్రీయ సిద్ధాంతాలు . అంతేకాకుండా, ఈ సందర్భంలో మోడల్ వివరణతో పాటు కొత్త గణిత ఉపకరణంతో పరిచయం చేయబడింది, అనగా. దానిలోని ప్రారంభ స్థానం గణిత ఫార్మలిజం, ఇది అనుభవంలో వ్యక్తమయ్యే ఒక నిర్దిష్ట సారాంశాన్ని గణిత భాషలో వివరించగలదు. ఈ దశ అనుభావిక ధృవీకరణను కష్టతరం చేస్తుంది, ఎందుకంటే వివరణ సమీకరణం మాత్రమే కాకుండా, దాని వివరణ కూడా అనుభవం ద్వారా ధృవీకరించబడాలి.

ప్రవేశించారు గణిత ఉపకరణంఈ సందర్భంలో, ఇది సిద్ధాంతం మరియు అనుభవం మధ్య వ్యత్యాసానికి దారితీసే నిర్మాణాత్మక అంశాలను కలిగి ఉంటుంది. ఇది ఖచ్చితంగా ఆధునిక ప్రత్యేకత అని గమనించాలి శాస్త్రీయ పరిశోధన. మరోవైపు, ఆధునిక శాస్త్రీయ పరిశోధన యొక్క ఈ లక్షణం ప్రతిపాదిత ఆశాజనక ఉపకరణాన్ని విస్మరించే అవకాశాన్ని బెదిరిస్తుంది. ఇది జరగకుండా నిరోధించడానికి, విషయం యొక్క ఈ వైపు విడిగా పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది - ప్రయోగం ఆధారంగా వ్యత్యాసాలను తొలగించడం (ఒక ఉదాహరణ క్వాంటం భౌతిక శాస్త్రంమరియు ఎలక్ట్రోడైనమిక్స్).

పాత వ్యవస్థ శాస్త్రీయ భౌతిక శాస్త్రంవివరణలు శాస్త్రీయ వాస్తవాలుసుమారుగా గణితశాస్త్రపరంగా ఏర్పడిన సిద్ధాంతం యొక్క దశలవారీ "సృష్టి"గా మార్చబడింది నిజమైన ప్రక్రియఅసలు మోడల్‌కి. ప్రశ్న తలెత్తుతుంది, అటువంటి చర్యల అల్గోరిథంకు పరిశోధకులను ఏది నెట్టివేస్తుంది, అనగా. సైద్ధాంతిక చిత్రాన్ని రూపొందించడానికి ఈ మార్గం కోసం కోరికలు ఏమిటి? దీనికి, సైన్స్ యొక్క పద్దతి చాలా ఖచ్చితమైన సమాధానం ఇస్తుంది: సత్యం యొక్క అంతర్గత విలువ; కొత్తదనం విలువ.

పైవన్నీ కింది పరిశోధన సూత్రాలను ఉపయోగించి సాధించబడతాయి: a) దోపిడీ నిషేధం; బి) మైదానాల యొక్క క్లిష్టమైన పునర్విమర్శ యొక్క ఆమోదం శాస్త్రీయ పరిశోధన; సి) సత్యం ఎదుట అందరి (మేధావులతో సహా) సమానత్వం; d) నకిలీ మరియు మోసంపై నిషేధం

ఐన్స్టీన్-లోరెంట్జ్ కనెక్షన్ దీనికి ఉదాహరణ. అప్పటి అనధికారిక రేటింగ్ ప్రకారం మొదటిది ఆ సమయంలో తక్కువ అధికారాన్ని కలిగి ఉంది, కానీ సాపేక్షత సిద్ధాంతం యొక్క దాని అంశాలు మారాయి ప్రాథమిక సిద్ధాంతం. .

గణిత నమూనాపై అనేక రచనలు ఉన్నప్పటికీ, ఖచ్చితమైన భావనను రూపొందించడంలో కొంత ఇబ్బంది ఏర్పడింది. గణిత నమూనా. అవి (నమూనాలు) మరియు వాటి కంటెంట్ చాలా వైవిధ్యంగా ఉన్నాయి. సాధారణంగా, రియాలిటీతో పోల్చడం కంటే మోడల్ నుండి మరింత ఏదో అవసరం అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది: మోడల్ తప్పనిసరిగా అనుకరణ వస్తువులు మరియు దృగ్విషయాల లక్షణాల గురించి సమాచారాన్ని అందించాలి. అందువల్ల, మోడల్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన నిర్వచనం పాక్షిక అనిశ్చితులను కలిగి ఉండనిదిగా ఉండాలి. ఉదాహరణకు: ఇచ్చిన వస్తువు యొక్క నమూనా అనేది అసలైన, నమూనా మరియు నమూనాతో పోల్చబడిన మరొక వస్తువు కొన్ని లక్షణాలుఇది ఒక నిర్దిష్ట మార్గంలో వస్తువు యొక్క ఎంచుకున్న లక్షణాలను ప్రతిబింబిస్తుంది (సేవ్ చేస్తుంది).

మోడల్ తెలిసిన ప్రతిదాన్ని ప్రతిబింబించాలి (కొన్నిసార్లు కొన్ని తెలిసిన లక్షణాలు) ఒక వస్తువు మరియు అంచనా లేదా ఆకృతి గురించి కొత్త సమాచారంఉనికి యొక్క ఏదైనా కొత్త పరిస్థితులలో అతని గురించి. మోడలింగ్ యొక్క ఉద్దేశ్యం అందువలన, - ఫంక్షన్నమూనా ద్వారా పరిగణించబడే దృగ్విషయం యొక్క వివరణ ఉంటే ప్రాతినిధ్యం (వివరణ). ఈ సందర్భంలోనే మోడల్ ఒక సిద్ధాంతంగా పనిచేస్తుంది. మరియు, ఇది ఉన్నప్పటికీ, మొత్తం మోడల్ యొక్క గణిత (అధికారిక) మరియు ముఖ్యమైన భుజాల మధ్య తీవ్రమైన వ్యతిరేకత భరించలేనిది. మోడల్ నిర్మాణం యొక్క నిర్దిష్ట భాగాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, గణితం ఇలా పనిచేస్తుందని మేము సంగ్రహించవచ్చు అతి ముఖ్యమైన సాధనంఅధ్యయనం అంతటా అధ్యయనం చేయబడిన దృగ్విషయం గురించి అర్ధవంతమైన ఆలోచనలను అభివృద్ధి చేయడం.

నిర్మించడానికి గణిత సిద్ధాంతంమనకు మూలకాలు మాత్రమే కాదు, వాటి మధ్య సంబంధాలు కూడా అవసరం. సంఖ్యల కోసం, సమానత్వం యొక్క భావన అర్ధమే: a = b. a మరియు b సంఖ్యలు భిన్నంగా ఉంటే, అవునా? b, అప్పుడు అది a > b, లేదా a గాని సాధ్యమవుతుంది

రెండు సరళ విమానాలు ఒక నిర్దిష్ట కోణంలో లంబంగా, సమాంతరంగా లేదా కలుస్తాయి.

ఈ సంబంధాలన్నీ రెండు వస్తువులకు సంబంధించినవి. అందుకే వాటిని బైనరీ రిలేషన్స్ అంటారు.

గణితంలో వస్తువుల మధ్య సంబంధాలను అధ్యయనం చేయడానికి, బైనరీ సంబంధాల సిద్ధాంతం సృష్టించబడింది.

మేము నిర్దిష్ట సంబంధాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, మేము ఎల్లప్పుడూ ఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఏర్పడిన ఆర్డర్ జతలతో వ్యవహరిస్తాము. ఉదాహరణకు, X = (2, 6, 10, 14) సెట్‌లో పరిగణించబడే “గ్రేటర్ బై 4” రిలేషన్ కోసం, ఇవి జతలుగా ఆర్డర్ చేయబడతాయి (2, 6), (6, 10), (10, 14), మరియు "విభజించబడిన" సంబంధాల కోసం - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

"4 కంటే ఎక్కువ", "విభజించదగిన" సంబంధాలను నిర్వచించే జంటల సమితి కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క ఉపసమితులు అని గమనించవచ్చు.

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) )

నిర్వచనం 1. ఒక సెట్ X యొక్క మూలకాల మధ్య బైనరీ సంబంధం లేదా సెట్ Xపై ఉన్న సంబంధం అనేది కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి X ´ X యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి.

బైనరీ సంబంధాలు సాధారణంగా సూచించబడతాయి పెద్ద అక్షరాలలో లాటిన్ వర్ణమాల: P, T, S, R, Q, మొదలైనవి కాబట్టి, P అనేది X సెట్‌పై సంబంధం అయితే, P Ì X ´ X. సంబంధాలను వ్రాయడానికి వివిధ ప్రత్యేక చిహ్నాలు తరచుగా ఉపయోగించబడతాయి, ఉదాహరణకు, =, >, ~ , ½½ , ^, మొదలైనవి. P నుండి జతల యొక్క అన్ని మొదటి మూలకాల సమితిని P సంబంధం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అంటారు. సంబంధం P యొక్క విలువల సమితి P నుండి జతల యొక్క అన్ని రెండవ మూలకాల సమితి.

స్పష్టత కోసం, బైనరీ సంబంధాలు ప్రత్యేక గ్రాఫ్ డ్రాయింగ్‌ను ఉపయోగించి గ్రాఫికల్‌గా చిత్రీకరించబడ్డాయి. సెట్ X యొక్క మూలకాలు చుక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి. (x, y) Î Р(хРу) కలిగి ఉంటే, అప్పుడు x నుండి పాయింట్ y వరకు బాణం వేయబడుతుంది. అటువంటి డ్రాయింగ్‌ను రిలేషన్ గ్రాఫ్ P అని పిలుస్తారు మరియు సెట్ X యొక్క మూలకాలను సూచించే పాయింట్లు గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు. గ్రాఫ్ అంచులుగా బాణాలు.

ఉదాహరణ. P సంబంధాన్ని తెలియజేయండి: "x సంఖ్య y సంఖ్య యొక్క భాగహారం" సెట్‌లో ఇవ్వబడింది

X = (5, 10, 20, 30, 40), మూర్తి 25లో చూపబడింది.

ప్రారంభం మరియు ముగింపు ఒకే బిందువుగా ఉండే గ్రాఫ్ యొక్క బాణాలను లూప్‌లు అంటారు. మీరు రిలేషన్ గ్రాఫ్ Pపై ఉన్న అన్ని బాణాల దిశలను వ్యతిరేక దిశకు మార్చినట్లయితే, మీరు కొత్త సంబంధాన్ని పొందుతారు, దీనిని P కోసం విలోమం అంటారు. ఇది P–1గా సూచించబడుతుంది. xРу Û уР–1х అని గమనించండి.

బైనరీ సంబంధాలను పేర్కొనే పద్ధతులు.

సెట్ X యొక్క మూలకాల మధ్య సంబంధం R అనేది ఒక సెట్ అయినందున, మూలకాలు జతగా ఆర్డర్ చేయబడి ఉంటాయి, ఇది ఏదైనా సెట్ వలె అదే మార్గాల్లో పేర్కొనబడుతుంది.

1. చాలా తరచుగా, సెట్ Xలో R సంబంధం ఉపయోగించి పేర్కొనబడుతుంది లక్షణ ఆస్తి R. సంబంధిత మూలకాల జంటలు. ఈ లక్షణం రెండు వేరియబుల్స్‌తో వాక్యంగా రూపొందించబడింది.

ఉదాహరణకు, X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) సెట్‌లోని సంబంధాలలో, మేము ఈ క్రింది వాటిని పరిగణించవచ్చు: “సంఖ్య x తక్కువ సంఖ్య y అనేది 2 రెట్లు", "x సంఖ్య y సంఖ్య యొక్క భాగహారం", "x సంఖ్య y సంఖ్య కంటే ఎక్కువ" మరియు ఇతరులు.

2. X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను X సెట్‌లోని అన్ని జతల ఎలిమెంట్‌లను జాబితా చేయడం ద్వారా కూడా నిర్వచించవచ్చు, సంబంధం ద్వారా కనెక్ట్ చేయబడిందిఆర్.

ఉదాహరణకు, మనం జంటల సమితిని వ్రాస్తే (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), ఆపై సెట్ X = (1, 2, 3, 4) మేము కొంత రిలేషన్ R ని నిర్వచిస్తాము. అదే రిలేషన్ R కూడా ఇవ్వవచ్చు

3. గ్రాఫ్ ఉపయోగించి (Fig. 26).

బైనరీ సంబంధాల లక్షణాలు.

నిర్వచనం 2. X సెట్‌లోని ప్రతి మూలకం దానితో సంబంధం కలిగి ఉన్నట్లయితే, X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను రిఫ్లెక్సివ్ అంటారు.

సంక్షిప్తంగా: R అనేది ఏదైనా x О X కోసం X Û xRxపై రిఫ్లెక్సివ్‌గా ఉంటుంది.

లేదా, అదే ఏమిటి: రిలేషన్ గ్రాఫ్ యొక్క ప్రతి శీర్షం వద్ద ఒక లూప్ ఉంటుంది. సంభాషణ కూడా నిజం: రిలేషన్ గ్రాఫ్‌లోని ప్రతి శీర్షానికి లూప్ లేకపోతే, అది రిఫ్లెక్సివ్ రిలేషన్.

ఉదాహరణ. రిఫ్లెక్సివ్ సంబంధాలు: "విమానం యొక్క అన్ని త్రిభుజాల సెట్లో సమానంగా ఉండాలి", "? మరియు అన్ని వాస్తవ సంఖ్యల సెట్‌లో £."

రిఫ్లెక్సివిటీ యొక్క లక్షణం లేని సంబంధాలు ఉన్నాయని గమనించండి ("x అనేది y కంటే ఎక్కువ" అనే ఉదాహరణ ఇవ్వండి)

నిర్వచనం 3. X (x, x) Ï R నుండి ప్రతి xకి ఉంటే X సెట్‌పై ఉన్న బైనరీ రిలేషన్ Rని Xపై యాంటీ-రిఫ్లెక్సివ్ అంటారు, అనగా. X యొక్క ప్రతి x కోసం షరతు xRx సంతృప్తి చెందలేదు.

R సంబంధం వ్యతిరేక రిఫ్లెక్సివ్ అయితే, దాని గ్రాఫ్ యొక్క ఏ శీర్షానికి లూప్ ఉండదు. దీనికి విరుద్ధంగా: గ్రాఫ్ యొక్క ఏ శీర్షానికి లూప్ లేనట్లయితే, గ్రాఫ్ యాంటీ రిఫ్లెక్సివ్ రిలేషన్‌ను సూచిస్తుంది.

వ్యతిరేక రిఫ్లెక్సివ్ సంబంధాల ఉదాహరణలు: "పెద్దగా ఉండటం", "చిన్నగా ఉండటం", "కూతురుగా ఉండటం" మొదలైనవి.

నిర్వచనం 4. ఏదైనా మూలకాలకు x ఉంటే, సెట్ Xపై R రిలేషన్‌ను సిమెట్రిక్ అంటారు. Î X షరతు సంతృప్తికరంగా ఉంది: x మరియు y సంబంధం Rలో ఉంటే, y మరియు x కూడా ఈ సంబంధంలో ఉంటాయి.

సంక్షిప్తంగా: R అనేది X Û xRу Û yRxపై సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఒక సిమెట్రిక్ రిలేషన్ గ్రాఫ్ ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది: ఒక జత మూలకాలను కలుపుతూ ఒక బాణం ఉన్నట్లయితే, అదే మూలకాలను అనుసంధానించే రెండవది తప్పనిసరిగా ఉంటుంది, కానీ వ్యతిరేక దిశలో వెళుతుంది. సంభాషణ కూడా నిజం.

సుష్ట సంబంధాలకు ఉదాహరణలు సంబంధాలు: "విమానం యొక్క అన్ని సరళ రేఖల సెట్లో పరస్పరం లంబంగా ఉండటం", "విమానం యొక్క అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల సెట్లో సమానంగా ఉండటం".

నిర్వచనం 5. X సెట్ నుండి x మరియు y మూలకాలు లేకుంటే xRy మరియు yRx రెండూ ఏకకాలంలో సంభవించవచ్చు, అప్పుడు X సెట్‌పై R సంబంధాన్ని అసమానత అంటారు.

అసమాన సంబంధానికి ఉదాహరణ: “తండ్రిగా ఉండాలి” (x yకి తండ్రి అయితే, y xకి తండ్రి కాకూడదు).

నిర్వచనం 6. ఒక సెట్ Xపై R రిలేషన్‌ను యాంటిసిమెట్రిక్ అంటారు వివిధ అంశాలు x, y О X మూలకం y మూలకంతో R సంబంధంలో ఉన్నందున, మూలకం xతో R సంబంధంలో లేదని ఇది అనుసరిస్తుంది.

సంక్షిప్తంగా: X Û xRу మరియు xపై R అనేది యాంటిసిమెట్రిక్? y? .

ఉదాహరణకు, పూర్ణాంకాల సమితిలో "తక్కువ" సంబంధం యాంటిసిమెట్రిక్.

యాంటిసిమెట్రిక్ రిలేషన్ గ్రాఫ్ ప్రత్యేక లక్షణాన్ని కలిగి ఉంది: గ్రాఫ్ యొక్క రెండు శీర్షాలు బాణంతో అనుసంధానించబడి ఉంటే, అప్పుడు ఒకే ఒక బాణం ఉంటుంది. వ్యతిరేక ప్రకటన కూడా నిజం.

సమరూపత యొక్క ఆస్తి లేదా యాంటిసిమెట్రీ యొక్క లక్షణం లేని సంబంధాలు ఉన్నాయని గమనించండి.

నిర్వచనం7. X, y, z О X అనే ఏదైనా మూలకాల కోసం క్రింది షరతు సంతృప్తి చెందితే X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను ట్రాన్సిటివ్ అంటారు: x అనేది yతో R సంబంధంలో ఉంటే మరియు y zతో R సంబంధంలో ఉంటే, మూలకం x మూలకం zతో R సంబంధంలో ఉంది.

సంక్షిప్తంగా: X Û xRу మరియు уRzపై R ట్రాన్సిటివ్‌గా ఉందా? xRz.

ఉదాహరణకు, "పంక్తి x అనేది పంక్తి yకి సమాంతరంగా ఉంటుంది," అనేది విమానంలోని పంక్తుల సమితిలో నిర్వచించబడినది, ట్రాన్సిటివ్.

ట్రాన్సిటివ్ రిలేషన్ గ్రాఫ్‌లో x నుండి yకి మరియు y నుండి zకి వెళ్లే ప్రతి జత బాణాల కోసం, ఇది x నుండి zకి వెళ్లే బాణాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది. సంభాషణ కూడా నిజం.

ట్రాన్సిటివిటీ ఆస్తి లేని సంబంధాలు ఉన్నాయని గమనించండి. ఉదాహరణకు, "షెల్ఫ్‌లో ఒకదానికొకటి పక్కన నిలబడటం" అనే సంబంధం ట్రాన్సిటివ్ కాదు.

అన్నీ సాధారణ లక్షణాలుసంబంధాలను మూడు గ్రూపులుగా విభజించవచ్చు:

రిఫ్లెక్సివిటీ (ప్రతి సంబంధం రిఫ్లెక్సివ్ లేదా యాంటీ రిఫ్లెక్సివ్),

సమరూపత (సంబంధం ఎల్లప్పుడూ సుష్టంగా, అసమానంగా లేదా యాంటిసిమెట్రిక్‌గా ఉంటుంది),

ట్రాన్సిటివిటీ (ప్రతి సంబంధం ట్రాన్సిటివ్ లేదా నాన్-ట్రాన్సిటివ్). కలిగి ఉన్న సంబంధాలు ఒక నిర్దిష్ట సెట్ఆస్తులకు ప్రత్యేక పేర్లు పెట్టారు.

"అనుకూలత" అనే పదం చాలా తరచుగా రష్యన్ భాషలో ఉపయోగించబడుతుంది, దీని అర్థం ఏదో ఒకదాని మధ్య సంబంధం, స్థిరత్వం, కొంత విషయంలో సమానత్వం ( నిఘంటువుఓజెగోవా).

జీవితంలో మీరు తరచుగా వింటారు: “ఈ పాఠ్య పుస్తకం ఈ ప్రోగ్రామ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కానీ ఈ పాఠ్యపుస్తకం అనుగుణంగా లేదు (కానీ మరొక ప్రోగ్రామ్‌కు అనుగుణంగా ఉండవచ్చు); ఈ ఆపిల్ అత్యధిక గ్రేడ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కానీ ఇది మొదటిది మాత్రమే. పరీక్షలో ఈ సమాధానం "అద్భుతమైన" గ్రేడ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుందని మేము చెప్తాము, అయితే ఈ సమాధానం "మంచి" గ్రేడ్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యక్తి 46 సైజు దుస్తులకు సరిపోతాడని (ఫిట్స్ అనే అర్థంలో) చెప్పాము. సూచనలకు అనుగుణంగా, మీరు దీన్ని చేయాలి మరియు లేకపోతే కాదు. సంఖ్య మధ్య అనురూప్యం ఉంది ఎండ రోజులుసంవత్సరానికి మరియు పంట దిగుబడి.

మీరు ఈ ఉదాహరణలను విశ్లేషించడానికి ప్రయత్నిస్తే, అన్ని సందర్భాల్లోనూ మీరు గమనించవచ్చు మేము మాట్లాడుతున్నామువస్తువుల యొక్క రెండు తరగతుల గురించి, మరియు అదే తరగతి నుండి వస్తువుల మధ్య ఇది ​​స్థాపించబడింది కొన్ని నియమాలుమరొక తరగతి వస్తువులతో కొంత కనెక్షన్. ఉదాహరణకు, ఒక నిర్దిష్ట పరిమాణానికి సరిపోలే దుస్తుల విషయంలో, ఒక తరగతి వస్తువులు వ్యక్తులు, మరియు మరొక తరగతి వస్తువులు దుస్తులు పరిమాణాల పాత్రను పోషించే కొన్ని సహజ సంఖ్యలు. సమ్మతి ఏర్పాటయ్యే నియమాన్ని మేము సెట్ చేయవచ్చు, ఉదాహరణకు, సహజ అల్గోరిథం ఉపయోగించి - నిర్దిష్ట సూట్‌పై ప్రయత్నించడం లేదా “కంటి ద్వారా” దాని అనుకూలతను నిర్ణయించడం.

కరస్పాండెన్స్ స్థాపించబడిన వస్తువుల తరగతులు మరియు కరస్పాండెన్స్‌ను స్థాపించే నియమం పూర్తిగా నిర్వచించబడిన కరస్పాండెన్స్‌లను మేము పరిశీలిస్తాము. ఇటువంటి కరస్పాండెన్స్‌ల యొక్క అనేక ఉదాహరణలు పాఠశాలలో అధ్యయనం చేయబడ్డాయి. అన్నింటిలో మొదటిది, ఇవి, వాస్తవానికి, విధులు. ఏదైనా ఫంక్షన్ కరస్పాండెన్స్‌కి ఉదాహరణ. నిజానికి, ఉదాహరణకు, ఫంక్షన్ పరిగణించండి వద్ద = X+ 3. ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ గురించి ప్రత్యేకంగా చెప్పనట్లయితే, అది వాదన యొక్క ప్రతి సంఖ్యా విలువగా పరిగణించబడుతుంది Xసంఖ్యా విలువకు అనుగుణంగా ఉంటుంది వద్ద, ఇది నియమం ప్రకారం కనుగొనబడింది: కు Xమీరు 3ని జోడించాలి. ఈ సందర్భంలో, సెట్ల మధ్య సుదూరత ఏర్పడుతుంది ఆర్ మరియు ఆర్ వాస్తవ సంఖ్యలు.

రెండు సెట్ల మధ్య కనెక్షన్‌లను ఏర్పాటు చేయడం గమనించండి Xమరియు వైసెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఏర్పడిన వస్తువుల జతల పరిశీలనతో సంబంధం కలిగి ఉంటుంది Xమరియు సెట్ యొక్క సంబంధిత అంశాలు వై.

నిర్వచనం. వర్తింపుసెట్ల మధ్య Xమరియు వైకార్టీసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క ఏదైనా ఖాళీ కాని ఉపసమితిని కాల్ చేయండి X ´ వై.

ఒక గుత్తి Xఅని పిలిచారు బయలుదేరే ప్రాంతంమ్యాచ్లు, సెట్ వై – రాక ప్రాంతంసమ్మతి.

సెట్ల మధ్య కరస్పాండెన్స్ సాధారణంగా సూచించబడుతుంది పెద్ద అక్షరాలలోలాటిన్ వర్ణమాల, ఉదాహరణకు, ఆర్, ఎస్, టి. ఉంటే ఆర్- సెట్ల మధ్య కొంత అనురూప్యం Xమరియు వై, అప్పుడు, కరస్పాండెన్స్ నిర్వచనం ప్రకారం, ఆర్Í X´ వైమరియు ఆర్≠ Æ. సెట్ల మధ్య టైమ్స్ కరస్పాండెన్స్ Xమరియు వైకార్టేసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క ప్రతి ఉపసమితి X ´ వై, అనగా ఆర్డర్ చేయబడిన జంటల సమితి, అప్పుడు కరస్పాండెన్స్‌లను పేర్కొనే పద్ధతులు తప్పనిసరిగా సెట్‌లను పేర్కొనే పద్ధతులకు సమానంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, సరిపోలడం ఆర్సెట్ల మధ్య Xమరియు వైమీరు సెట్ చేయవచ్చు:

ఎ) అన్ని జతల మూలకాల జాబితా ( x, y) Î ఆర్;

బి) అన్ని జతల కలిగి ఉన్న లక్షణ లక్షణాన్ని సూచిస్తుంది ( x, y) సెట్లు ఆర్మరియు దాని మూలకం లేని ఏ జత దానిని కలిగి ఉండదు.

ఉదాహరణలు.

1) వర్తింపు ఆర్సెట్ల మధ్య X= (20, 25) మరియు వై= (4, 5, 6) లక్షణ లక్షణాన్ని సూచించడం ద్వారా పేర్కొనబడింది: " Xబహుళ వద్ద»,
X Î X, వద్ద Î వై. అప్పుడు చాలా ఆర్ = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) వర్తింపు ఆర్సెట్ల మధ్య X= (2, 4, 6, 8) మరియు

వై= (1, 3, 5) జంటల సమితి ద్వారా ఇవ్వబడింది ఆర్ = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

ఉంటే ఆర్- ఇద్దరి మధ్య ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలు సంఖ్యా సెట్లు Xమరియు వై, ఆపై, సరిపోయే అన్ని జతల సంఖ్యలను వర్ణిస్తుంది ఆర్పై సమన్వయ విమానం, మనకు కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ అనే ఫిగర్ వస్తుంది ఆర్. దీనికి విరుద్ధంగా, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లోని పాయింట్ల ఏదైనా ఉపసమితి సంఖ్యా సెట్ల మధ్య కొంత అనురూప్యం యొక్క గ్రాఫ్‌గా పరిగణించబడుతుంది. Xమరియు వై.

సరిపోలే గ్రాఫ్

పరిమిత సెట్ల మధ్య కరస్పాండెన్స్‌లను దృశ్యమానంగా ప్రదర్శించడానికి, గ్రాఫ్‌లతో పాటు, గ్రాఫ్‌లు ఉపయోగించబడతాయి. (నుండి గ్రీకు పదం"గ్రాఫో" - నేను వ్రాస్తాను, సరిపోల్చండి: గ్రాఫ్, టెలిగ్రాఫ్).

సెట్ల మధ్య కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడానికి Xమరియు వైప్రతి సెట్‌లోని అంశాలు విమానంలో పాయింట్‌లుగా చిత్రీకరించబడతాయి, ఆపై బాణాలు తీయబడతాయి X Î Xకు వద్ద Î వై, జత అయితే ( x, y) ఈ కరస్పాండెన్స్‌కు చెందినది. ఫలితం చుక్కలు మరియు బాణాలతో కూడిన డ్రాయింగ్.

ఉదాహరణ కరస్పాండెన్స్ ఆర్సెట్ల మధ్య X= (2, 3, 4, 5) మరియు వై= (4, 9) జంటలను జాబితా చేయడం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది ఆర్ = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

అదే విధంగా మీరు 4 వ్రాయవచ్చు ఆర్ 4, 3ఆర్ 9. మరియు సాధారణంగా, ఒక జంట ఉంటే
(x, y) Î ఆర్, అప్పుడు వారు మూలకం అని చెప్పారు X Î Xఎలిమెంట్ సరిపోలుతుంది వద్ద Î వైమరియు వ్రాయండి xRу. మూలకం 2 O Xమూలకం యొక్క విలోమ చిత్రం అని పిలుస్తారు
4 Î వైసమ్మతికి లోబడి ఆర్మరియు 4గా నియమించబడింది ఆర్-1 2. అదేవిధంగా, మీరు 4 అని వ్రాయవచ్చు ఆర్ -1 4, 9ఆర్ -1 3.

సమ్మతి భావన. కరస్పాండెన్స్‌లను పేర్కొనే పద్ధతులు

ప్రారంభంలో, బీజగణితం అనేది సమీకరణాలను పరిష్కరించే అధ్యయనం. అనేక శతాబ్దాల అభివృద్ధిలో, బీజగణితం కార్యకలాపాలు మరియు సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే శాస్త్రంగా మారింది వివిధ సెట్లు. అందువల్ల, ఇది ఇప్పటికే యాదృచ్చికం కాదు ప్రాథమిక పాఠశాలపిల్లలు వ్యక్తీకరణ (సంఖ్యా మరియు వేరియబుల్) వంటి బీజగణిత భావనలతో సుపరిచితులయ్యారు సంఖ్యా సమానత్వం, సంఖ్యా అసమానత, సమీకరణం. వారు వివిధ లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు అంకగణిత కార్యకలాపాలుహేతుబద్ధంగా గణనలను నిర్వహించడానికి మిమ్మల్ని అనుమతించే సంఖ్యల కంటే. మరియు, వాస్తవానికి, లో ప్రారంభ కోర్సుగణితం వారితో పరిచయం వివిధ డిపెండెన్సీలు, సంబంధాలు, కానీ వాటిని అభివృద్ధి ప్రయోజనాల కోసం ఉపయోగించడానికి మానసిక చర్యపిల్లలు, ఉపాధ్యాయుడు ఆధునిక బీజగణితం యొక్క కొన్ని సాధారణ భావనలను నేర్చుకోవాలి - కరస్పాండెన్స్, సంబంధం, బీజగణిత ఆపరేషన్మొదలైనవి. అదనంగా, బీజగణితంలో ఉపయోగించే గణిత భాషపై పట్టు సాధించడం ద్వారా, ఉపాధ్యాయుడు గణిత నమూనా యొక్క సారాంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోగలుగుతారు. నిజమైన దృగ్విషయాలుమరియు ప్రక్రియలు.

మన చుట్టూ ఉన్న ప్రపంచాన్ని అధ్యయనం చేయడం ద్వారా, గణితం దాని వస్తువులను మాత్రమే కాకుండా, ప్రధానంగా వాటి మధ్య సంబంధాలను కూడా పరిగణిస్తుంది. ఈ కనెక్షన్లను డిపెండెన్సీలు, కరస్పాండెన్స్‌లు, సంబంధాలు, విధులు అంటారు. ఉదాహరణకు, వస్తువుల పొడవులను లెక్కించేటప్పుడు, వస్తువులు మరియు సంఖ్యల మధ్య అనురూపాలు ఏర్పాటు చేయబడతాయి, అవి వాటి పొడవు యొక్క విలువలు; చలన సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, కదలిక వేగం స్థిరంగా ఉంటే ప్రయాణించిన దూరం మరియు సమయం మధ్య సంబంధం ఏర్పడుతుంది.

గణితశాస్త్రంలో వస్తువుల మధ్య నిర్దిష్ట ఆధారపడటం, కరస్పాండెన్స్‌లు మరియు సంబంధాలు దాని ప్రారంభం నుండి అధ్యయనం చేయబడ్డాయి. కానీ చాలా భిన్నమైన కరస్పాండెన్స్‌లకు ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది, ఏదైనా కరస్పాండెన్స్ యొక్క సారాంశం ఏమిటి అనే ప్రశ్న ఎదురైంది చివరి XIX- 20వ శతాబ్దం ప్రారంభం, మరియు దానికి సమాధానం సమితి సిద్ధాంతం యొక్క చట్రంలో కనుగొనబడింది.

ప్రారంభ గణిత కోర్సులో, ఒకటి, రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సెట్ల మూలకాల మధ్య వివిధ సంబంధాలు అధ్యయనం చేయబడతాయి. అందువల్ల, ఉపాధ్యాయుడు వారి సారాంశాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి, ఇది ఈ సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే పద్దతిలో ఐక్యతను నిర్ధారించడంలో అతనికి సహాయపడుతుంది.

ప్రారంభ గణిత కోర్సులో అధ్యయనం చేసిన కరస్పాండెన్స్‌ల యొక్క మూడు ఉదాహరణలను చూద్దాం.

మొదటి సందర్భంలో, మేము ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణలు మరియు వాటి మధ్య సుదూరతను ఏర్పరుస్తాము సంఖ్యా విలువలు. రెండవదానిలో, ఈ ప్రతి సంఖ్యకు ఏ సంఖ్య అనుగుణంగా ఉందో, దాని ప్రాంతాన్ని వర్గీకరిస్తాము. మూడవదానిలో మనం సమీకరణానికి పరిష్కారంగా ఉన్న సంఖ్య కోసం చూస్తున్నాము.

ఈ కరస్పాండెన్స్‌లకు ఉమ్మడిగా ఏమి ఉంది?

అన్ని సందర్భాల్లో మనకు రెండు సెట్లు ఉన్నాయని మనం చూస్తాము: మొదటిది మూడు సెట్లు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలుమరియు N సెట్ సహజ సంఖ్యలు(ఈ వ్యక్తీకరణల విలువలు అతనికి చెందినవి), రెండవది - ఇది మూడు సమితి రేఖాగణిత ఆకారాలుమరియు సహజ సంఖ్యల సమితి N; మూడవది మూడు సమీకరణాల సమితి మరియు N సహజ సంఖ్యల సమితి.

ప్రతిపాదిత పనులను పూర్తి చేయడం ద్వారా, మేము ఈ సెట్ల మూలకాల మధ్య కనెక్షన్ (కరస్పాండెన్స్) ఏర్పాటు చేస్తాము. ఇది గ్రాఫ్‌లను ఉపయోగించి దృశ్యమానంగా సూచించబడుతుంది (Fig. 1).

మీరు ఇచ్చిన మ్యాచ్‌లో ఉన్న అన్ని జతల ఎలిమెంట్‌లను జాబితా చేయడం ద్వారా ఈ సరిపోలికలను పేర్కొనవచ్చు:

I. ((1, 4లో), (3, 20లో));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

X మరియు Y రెండు సెట్‌ల మధ్య ఏదైనా అనురూప్యాన్ని పరిగణించవచ్చని ఫలిత సెట్‌లు చూపుతాయి ఆర్డర్ చేసిన జతల సెట్ , వాటి మూలకాల నుండి ఏర్పడింది. మరియు ఆర్డర్ చేసిన జంటలు కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క మూలకాలు కాబట్టి, మేము చేరుకుంటాము కింది నిర్వచనం సాధారణ భావనసమ్మతి.

నిర్వచనం. సెట్ X మరియు Y యొక్క మూలకాల మధ్య అనురూప్యం ఈ సెట్ల యొక్క కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి.

కరస్పాండెన్స్‌లు సాధారణంగా P, S, T, R మొదలైన అక్షరాలతో సూచించబడతాయి. S అనేది X మరియు Y సెట్‌ల మూలకాల మధ్య అనురూప్యం అయితే, నిర్వచనం ప్రకారం, S X x Y.

రెండు సెట్ల మధ్య కరస్పాండెన్స్‌లను ఎలా నిర్వచించాలో ఇప్పుడు తెలుసుకుందాం. కరస్పాండెన్స్ అనేది ఉపసమితి కాబట్టి, దానిని ఏదైనా సెట్‌గా పేర్కొనవచ్చు, అనగా. ఇచ్చిన కరస్పాండెన్స్‌లో ఉన్న అన్ని జతల ఎలిమెంట్‌లను జాబితా చేయడం ద్వారా లేదా ఈ ఉపసమితి యొక్క మూలకాల యొక్క లక్షణ లక్షణాన్ని సూచించడం ద్వారా. ఈ విధంగా, X = (1, 2, 4, 6) మరియు Y = (3, 5) సెట్‌ల మధ్య అనురూప్యాన్ని పేర్కొనవచ్చు:

1) రెండు వేరియబుల్స్‌తో వాక్యాన్ని ఉపయోగించడం: a< b при условии, что а X, b Y;

2) కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి XxY యొక్క ఉపసమితికి చెందిన సంఖ్యల జతలను జాబితా చేయడం: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). ఈ అసైన్‌మెంట్ పద్ధతిలో గ్రాఫ్ (Fig. 2) మరియు గ్రాఫ్ (Fig. 3) ఉపయోగించి కరస్పాండెన్స్‌ను కేటాయించడం కూడా ఉంటుంది.

అన్నం. 2 అంజీర్. 3

తరచుగా, X మరియు Y సెట్ల మూలకాల మధ్య కరస్పాండెన్స్‌లను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, దానికి విరుద్ధంగా ఉండే కరస్పాండెన్స్‌ను పరిగణించాలి. ఉదాహరణకు, లెట్,

S - సెట్ల మూలకాల మధ్య "2 కంటే ఎక్కువ" అనురూప్యం

X = (4,5,8, 10) మరియు Y= (2,3,6). అప్పుడు S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) మరియు దాని గ్రాఫ్ మూర్తి 4aలో ఉన్నట్లుగానే ఉంటుంది.

ఇచ్చిన మ్యాచ్ యొక్క విలోమం "2 కంటే తక్కువ" మ్యాచ్. ఇది Y మరియు X సెట్ల మూలకాల మధ్య పరిగణించబడుతుంది మరియు దానిని స్పష్టంగా ప్రదర్శించడానికి, రిలేషన్ గ్రాఫ్ S పై బాణాల దిశను వ్యతిరేక (Fig. 4b)కి మార్చడం సరిపోతుంది. కరస్పాండెన్స్ "2 ద్వారా తక్కువ" S -1 ద్వారా సూచించబడితే, S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

“ఎలిమెంట్ x మూలకం yకి అనుగుణంగా ఉంది” అనే వాక్యాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయడానికి అంగీకరిస్తాం: xSy. ఎంట్రీ xSy నిర్దిష్ట కరస్పాండెన్స్‌ల కోసం ఎంట్రీల సాధారణీకరణగా పరిగణించబడుతుంది: x = 2y; x > 3y+1, మొదలైనవి.

అందించిన దానికి అనురూప్యం విలోమ భావనను నిర్వచించడానికి ప్రవేశపెట్టిన సంజ్ఞామానాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

నిర్వచనం. S X మరియు Y సెట్‌ల మూలకాల మధ్య అనురూప్యంగా ఉండనివ్వండి. Y మరియు X సెట్‌ల మూలకాల మధ్య S -1 అనురూప్యం yS -x అయితే మరియు xSy అయితే మాత్రమే దాని విలోమం అని చెప్పబడుతుంది. .

S మరియు S -1 అనురూపాలను పరస్పర విలోమం అంటారు. వారి గ్రాఫ్‌ల విశేషాలను తెలుసుకుందాం.

కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a)ని నిర్మిస్తాం. కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)ని నిర్మిస్తున్నప్పుడు, మనం Y = (2, 3, 6) సెట్ నుండి మొదటి భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి, మరియు X = (4, 5, 8, 10) సెట్ నుండి రెండవది. ఫలితంగా, కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ S -1 కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ Sతో సమానంగా ఉంటుంది. కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్‌లు S మరియు S -1 మధ్య తేడాను గుర్తించడానికి ,

కరస్పాండెన్స్ జత S -1 యొక్క మొదటి భాగాన్ని అబ్సిస్సాగా మరియు రెండవది ఆర్డినేట్‌గా పరిగణించడానికి అంగీకరించారు. ఉదాహరణకు, (5, 3) S అయితే, (3, 5) S -1. కోఆర్డినేట్‌లతో పాయింట్‌లు (5, 3) మరియు (3, 5), మరియు ఇన్ సాధారణ కేసు(x, y) మరియు (y, x) 1వ మరియు 3వ కోఆర్డినేట్ కోణాల ద్విభాగానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి. పర్యవసానంగా, పరస్పర విలోమ కరస్పాండెన్స్‌ల గ్రాఫ్‌లు S మరియు S -1 1వ మరియు 3వ కోఆర్డినేట్ కోణాల ద్విభాగానికి సంబంధించి సుష్టంగా ఉంటాయి.

కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్ S -1ని నిర్మించడానికి, 1వ మరియు 3వ కోఆర్డినేట్ కోణాల ద్విభాగానికి సంబంధించి గ్రాఫ్ S యొక్క బిందువులకు సుష్టంగా ఉండే కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌పై పాయింట్లను వర్ణించడం సరిపోతుంది.

అంశం 8. సంబంధాలు మరియు కరస్పాండెన్స్‌లు

సమితి యొక్క మూలకాల మధ్య బైనరీ సంబంధం యొక్క భావన

రోజువారీ జీవితంలో, మేము నిరంతరం రెండు వస్తువుల మధ్య సంబంధం గురించి మాట్లాడుతాము. ఉదాహరణకు, x నిర్వహణ కోసం పనిచేస్తుంది, x తండ్రి, x మరియు y స్నేహితులు - ఇవి వ్యక్తుల మధ్య సంబంధాలు. సంఖ్యలు మరింత సంఖ్య m, ఒక సంఖ్య y ద్వారా భాగించబడుతుంది, సంఖ్యలు మరియు y 3 ద్వారా విభజించబడినప్పుడు అదే శేషాన్ని ఇస్తుంది - ఇవి సంఖ్యల మధ్య సంబంధాలు.

ఏదైనా గణిత సిద్ధాంతం కొన్ని వస్తువులు లేదా మూలకాల సమితితో వ్యవహరిస్తుంది. గణిత సిద్ధాంతాన్ని నిర్మించడానికి, మీకు మూలకాలు మాత్రమే కాకుండా, వాటి మధ్య సంబంధాలు కూడా అవసరం. సంఖ్యల కోసం, సంబంధాల భావన అర్ధమే: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

ఈ సంబంధాలన్నీ రెండు వస్తువులకు సంబంధించినవి. అందుకే వాటిని బైనరీ రిలేషన్స్ అంటారు.

మేము నిర్దిష్ట సంబంధాలను పరిగణనలోకి తీసుకున్నప్పుడు, మేము ఎల్లప్పుడూ ఇచ్చిన సెట్ యొక్క మూలకాల నుండి ఏర్పడిన ఆర్డర్ జతలతో వ్యవహరిస్తాము. ఉదాహరణకు, X = (2, 6, 10, 14) సెట్‌లో పరిగణించబడే “y సంఖ్య కంటే x సంఖ్య 4 ఎక్కువ” అనే సంబంధానికి, ఇవి జతలు (6,2), (10) ఆర్డర్ చేయబడతాయి , 6), (14, 10 ). అవి కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి X X యొక్క ఉపసమితి.

నిర్వచనం. X సెట్ యొక్క మూలకాల మధ్య బైనరీ సంబంధం లేదా సెట్ Xపై ఉన్న సంబంధం అనేది కార్టీసియన్ ఉత్పత్తి X X యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి.

బైనరీ సంబంధాలు సాధారణంగా లాటిన్ వర్ణమాల యొక్క పెద్ద అక్షరాలతో సూచించబడతాయి: P, T, S, R, Q, మొదలైనవి. కాబట్టి, P అనేది X సెట్‌పై సంబంధం అయితే, P X X. P నుండి జతల యొక్క అన్ని మొదటి మూలకాల సెట్‌ను సంబంధం P యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ అంటారు. సంబంధం P యొక్క విలువల సమితి P నుండి జతల యొక్క అన్ని రెండవ మూలకాల సమితి.

అనేక సందర్భాల్లో ఇది ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది గ్రాఫిక్ చిత్రంబైనరీ రిలేషన్.

X సెట్ యొక్క మూలకాలు పాయింట్ల ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు బాణాలు సంబంధిత మూలకాలను కలుపుతాయి, తద్వారా (x,y)P(xPy) సంభవించినట్లయితే, అప్పుడు బాణం పాయింట్ల నుండి పాయింట్లకు డ్రా అవుతుంది. ఫలితంగా డ్రాయింగ్‌ను రిలేషన్ గ్రాఫ్ P అని పిలుస్తారు మరియు సెట్ X యొక్క మూలకాలను సూచించే పాయింట్లు

గ్రాఫ్ యొక్క శీర్షాలు.

ఉదాహరణకు, సంబంధం P యొక్క గ్రాఫ్: “సంఖ్య - సంఖ్యల విభజన”, X = (5, 10, 20, 30,40) సెట్‌లో నిర్వచించబడింది, అంజీర్‌లో చూపబడింది. 54.

ప్రారంభం మరియు ముగింపు ఒకే బిందువుగా ఉండే గ్రాఫ్ యొక్క బాణాలను లూప్‌లు అంటారు. రిలేషన్ గ్రాఫ్‌లో P అయితే అన్ని బాణాల దిశలను మార్చండి

ఎదురుగా, అప్పుడు ఒక కొత్త సంబంధం పొందబడుతుంది, దీనిని P కోసం విలోమం అంటారు. ఇది P -1గా సూచించబడుతుంది. xPy yP -1 x అని గమనించండి.

బైనరీ సంబంధాలు, వాటి లక్షణాలను పేర్కొనే పద్ధతులు

సెట్ X యొక్క మూలకాల మధ్య సంబంధం R అనేది ఒక సెట్ అయినందున, మూలకాలు జతగా ఆర్డర్ చేయబడి ఉంటాయి, ఇది ఏదైనా సెట్ వలె అదే మార్గాల్లో పేర్కొనబడుతుంది.

చాలా తరచుగా, R రిలేషన్‌షిప్‌లో ఉన్న మూలకాల జతల లక్షణ లక్షణాన్ని ఉపయోగించి X సెట్‌లోని R సంబంధం పేర్కొనబడుతుంది. ఈ ఆస్తి రెండు వేరియబుల్స్‌తో వాక్యంగా రూపొందించబడింది. ఉదాహరణకు, X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) సెట్‌లోని సంబంధాలలో మనం ఈ క్రింది వాటిని పరిగణించవచ్చు: “సంఖ్య సంఖ్య y కంటే 2 రెట్లు తక్కువ”, “ సంఖ్య సంఖ్య యొక్క భాగహారం", మొదలైనవి.

X సెట్ నుండి తీసుకున్న మరియు రిలేషన్ R కి సంబంధించిన అన్ని జతల ఎలిమెంట్స్‌ని జాబితా చేయడం ద్వారా X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను కూడా నిర్వచించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, మనం జంటల సమితిని వ్రాస్తే (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

4), ఆపై సెట్‌లో	X = (1, 2, 3, 4) మేము కొన్ని సెట్ చేస్తాము
వైఖరి
R = ((x, y)| x X, y	X, x< y} .

అదే రిలేషన్ R గ్రాఫ్ (Fig.) ఉపయోగించి పేర్కొనవచ్చు. హైలైట్ చేద్దాం అత్యంత ముఖ్యమైన లక్షణాలుబైనరీ సంబంధాలు.

నిర్వచనం 1. X సెట్‌లోని ప్రతి మూలకం దానితో సంబంధం కలిగి ఉన్నట్లయితే X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను రిఫ్లెక్సివ్ అంటారు.

క్లుప్తంగా చెప్పాలంటే ఈ నిర్వచనంఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: R అనేది ఏదైనా x Xకి X xRxపై ప్రతిబింబిస్తుంది.

సహజంగానే, X సెట్‌లో R రిలేషన్ రిఫ్లెక్సివ్ అయితే, రిలేషన్ గ్రాఫ్‌లోని ప్రతి శీర్షం వద్ద ఒక లూప్ ఉంటుంది. వ్యతిరేక ప్రకటన కూడా నిజం.

రిఫ్లెక్సివ్ సంబంధాలకు ఉదాహరణలు సంబంధాలు: "విమానం యొక్క అన్ని త్రిభుజాల సెట్లో సమానంగా ఉండాలి", "x ≤ y".

రిఫ్లెక్సివిటీ యొక్క ఆస్తి లేని సంబంధాలు ఉన్నాయని గమనించండి, ఉదాహరణకు, పంక్తుల లంబంగా ఉన్న సంబంధం.

నిర్వచనం 2. Xలోని ఏదైనా మూలకాలకు కింది షరతు సంతృప్తి చెందినట్లయితే, X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను సిమెట్రిక్ అంటారు: x మరియు y సంబంధం Rలో ఉంటే, అప్పుడు y కూడా ఈ సంబంధంలో ఉంటాయి.

సంక్షిప్తంగా: R అనేది X xRy yRxపై సుష్టంగా ఉంటుంది.

ఒక సిమెట్రిక్ రిలేషన్ గ్రాఫ్ ఆస్తిని కలిగి ఉంటుంది: ఒక జత మూలకాలను కలుపుతూ ఒక బాణం ఉన్నట్లయితే, అదే మూలకాలను అనుసంధానించే రెండవది తప్పనిసరిగా ఉంటుంది, కానీ వ్యతిరేక దిశలో వెళుతుంది. సంభాషణ కూడా నిజం.

సుష్ట సంబంధాలకు ఉదాహరణలు సంబంధాలు: "విమానం యొక్క అన్ని సరళ రేఖల సెట్లో పరస్పరం లంబంగా ఉండటం", "విమానం యొక్క అన్ని దీర్ఘచతురస్రాల సెట్లో సమానంగా ఉండటం".

నిర్వచనం 3. X సెట్ నుండి ఎటువంటి మూలకాలు మరియు y కోసం xRy మరియు yRx రెండూ ఒకే సమయంలో ఉన్నట్లయితే, X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను అసమానత అంటారు. అసమాన సంబంధానికి ఉదాహరణ: “తండ్రిగా ఉండటానికి” (ih - తండ్రికి అయితే, మీరు తండ్రి కాలేరు).

నిర్వచనం 4. సెట్ Xపై R సంబంధాన్ని యాంటిసిమ్- అంటారు.

ఉదాహరణకు, పూర్ణాంకాల సమితిలో "తక్కువ" సంబంధం యాంటిసిమెట్రిక్.

యాంటిసిమెట్రిక్ రిలేషన్ గ్రాఫ్ ప్రత్యేక లక్షణాన్ని కలిగి ఉంది: గ్రాఫ్ యొక్క రెండు శీర్షాలు బాణంతో అనుసంధానించబడి ఉంటే, అప్పుడు ఒకే ఒక బాణం ఉంటుంది. వ్యతిరేక ప్రకటన కూడా నిజం. అసమానత యొక్క ఆస్తి యాంటిసిమెట్రీ మరియు రిఫ్లెక్సివిటీ లేకపోవడం యొక్క ఆస్తి కలయిక.

నిర్వచనం 5. ఏదైనా మూలకాలకు x, y, z X కింది షరతు సంతృప్తి చెందితే X సెట్‌లోని R రిలేషన్‌ను ట్రాన్సిటివ్ అంటారు: x సంబంధం R మరియు y రిలేషన్ R czలో ఉంటే, మూలకం x z మూలకంతో R సంబంధంలో.

సంక్షిప్తంగా: R అనేది X xRy మరియు yRz xRzలో ట్రాన్సిటివ్.

ఉదాహరణకు, విమానంలోని పంక్తుల సమితిలో నిర్వచించబడిన “పంక్తి x ఒక పంక్తికి సమాంతరంగా ఉంటుంది” అనే సంబంధం ట్రాన్సిటివ్.

ట్రాన్సిటివ్ రిలేషన్ గ్రాఫ్‌కు ఒక ప్రత్యేక లక్షణం ఉంది: ప్రతి జత బాణాలు x నుండి kyకి మరియు oty నుండి zకి వెళతాయి, ఇది x నుండి zకి వెళ్లే బాణాన్ని కూడా కలిగి ఉంటుంది. సంభాషణ కూడా నిజం.

ట్రాన్సిటివిటీ ఆస్తి లేని సంబంధాలు ఉన్నాయని గమనించండి. ఉదాహరణకు, "షెల్ఫ్‌లో ఒకదానికొకటి పక్కన నిలబడటం" అనే సంబంధం ట్రాన్సిటివ్ కాదు.

సమానత్వ సంబంధం

X వ్యక్తుల సమితిగా ఉండనివ్వండి. ఈ సెట్‌లో మేము చట్టాన్ని ఉపయోగించి బైనరీ రిలేషన్ R ని నిర్వచించాము: aRb, ఒకవేళ a మరియు b ఒకే సంవత్సరంలో జన్మించినట్లయితే.

రిలేషన్ R రిఫ్లెక్సివిటీ, సిమెట్రీ మరియు ట్రాన్సిటివిటీ లక్షణాలను కలిగి ఉందని ధృవీకరించడం సులభం. R సంబంధం సమానత్వ సంబంధంగా చెప్పబడింది.

నిర్వచనం 1. ఒక సెట్ Xపై ఉన్న బైనరీ రిలేషన్ R అది రిఫ్లెక్సివ్, సిమెట్రిక్ మరియు ట్రాన్సిటివ్ అయితే ఈక్వివలెన్స్ రిలేషన్ అంటారు.

చట్టం ప్రకారం వ్యక్తుల సమితిపై నిర్వచించబడిన R సంబంధానికి మళ్లీ తిరిగి వద్దాం: aRb, ఒకవేళ a మరియు b ఒకే సంవత్సరంలో జన్మించినట్లయితే.

ప్రతి వ్యక్తితో కలిసి a, అదే సంవత్సరం sa లో జన్మించిన వ్యక్తుల K aని పరిగణించండి. K a మరియు K b అనే రెండు సెట్లు లేవు సాధారణ అంశాలు, లేదా పూర్తిగా ఏకీభవిస్తాయి.

K a సెట్‌ల సమితి మొత్తం వ్యక్తుల సమితిని తరగతులుగా విభజించడాన్ని సూచిస్తుంది, ఎందుకంటే దాని నిర్మాణం నుండి రెండు షరతులు నెరవేరినట్లు అనుసరిస్తుంది: ప్రతి వ్యక్తి ఏదో ఒక తరగతిలో చేర్చబడ్డాడు మరియు ప్రతి వ్యక్తి ఒక తరగతిలో మాత్రమే చేర్చబడ్డాడు. ప్రతి తరగతి ఒకే సంవత్సరంలో జన్మించిన వ్యక్తులను కలిగి ఉంటుందని గమనించండి.

అందువలన, సమానత్వ సంబంధం R సెట్ X యొక్క విభజనను తరగతులుగా (సమానత తరగతులు) ఉత్పత్తి చేస్తుంది. వ్యతిరేకం కూడా నిజం.

సిద్ధాంతం. X సెట్‌లోని ప్రతి సమానత్వ సంబంధం X సెట్‌ను తరగతులుగా (సమానత తరగతులుగా) విభజించడానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది. సెట్ల యొక్క ప్రతి విభజన X సెట్‌పై సమానత్వ సంబంధానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.

మేము రుజువు లేకుండా ఈ సిద్ధాంతాన్ని అంగీకరిస్తాము.

సమితిని తరగతులుగా విభజించడం వల్ల పొందిన ప్రతి తరగతి దాని ప్రతినిధులలో ఎవరైనా (ఒకరు) నిర్ణయించబడుతుందని సిద్ధాంతం నుండి ఇది అనుసరిస్తుంది, ఇది ఇచ్చిన సెట్‌లోని అన్ని అంశాలను అధ్యయనం చేయడానికి బదులుగా, సేకరణను మాత్రమే అధ్యయనం చేయడం సాధ్యం చేస్తుంది. వ్యక్తిగత ప్రతినిధులుప్రతి తరగతి.

ఆర్డర్ సంబంధం

మేము నిరంతరం ఆర్డర్ సంబంధాలను ఉపయోగిస్తాము రోజువారీ జీవితంలో. నిర్వచనం 1. ప్రతి యాంటిసిమెట్రిక్ మరియు ట్రాన్సిటివ్ రిలేషన్ R ఆన్

కొన్ని సెట్ Xని ఆర్డర్ రిలేషన్ అంటారు.

ఆర్డర్ రిలేషన్ ఇవ్వబడిన సెట్ Xని ఆర్డర్ అంటారు.

X = (2, 4, 10, 24) సమితిని తీసుకుందాం. ఇది సంబంధం "x ఎక్కువ" (Fig. 63) ద్వారా ఆదేశించబడింది.

“x విభజనల క్రమం యొక్క మరొక సంబంధాన్ని ఇప్పుడు మనం పరిశీలిద్దాం

y" (Fig. 64).

ఈ సమీక్ష ఫలితం వింతగా అనిపించవచ్చు. “x ఎక్కువ” మరియు “x విభజించడం” అనే సంబంధాలు X సెట్‌ని వివిధ మార్గాల్లో ఆర్డర్ చేస్తాయి. x-గ్రేటర్ సంబంధం ఏదైనా రెండు సంఖ్యలను పోల్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది

Xని సెట్ చేయండి. "x డివైడ్స్" సంబంధానికి సంబంధించి, దానికి అలాంటి ఆస్తి లేదు. కాబట్టి 10 మరియు 24 సంఖ్యల జత ఈ సంబంధంతో సంబంధం కలిగి ఉండదు.

నిర్వచనం 2. కొన్ని సెట్ Xపై ఆర్డర్ రిలేషన్ R ను రిలేషన్ అంటారు సరళ క్రమం, ఇది క్రింది ఆస్తిని కలిగి ఉంటే: ఏదైనా మూలకాల కోసం u

సెట్ X అనేది xRy లేదా yRx.

లీనియర్ ఆర్డర్ రిలేషన్ ఇవ్వబడిన సెట్ Xని లీనియర్లీ ఆర్డర్ అంటారు.

సరళంగా ఆర్డర్ చేయబడిన సెట్‌లు అనేక లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. a, b, c అనేవి రేఖీయ క్రమం రిలేషన్ R పేర్కొనబడిన X సెట్ యొక్క మూలకాలుగా ఉండనివ్వండి. aRb మరియు bRc అయితే, మూలకం b అనే మూలకం a మరియు .

లీనియర్‌గా ఆర్డర్ చేయబడిన సెట్ X దానిలోని ఏదైనా రెండు మూలకాల మధ్య పరిమిత మూలకాల సెట్ మాత్రమే ఉంటే దానిని వివిక్త అంటారు.

ఏదైనా రెండు కోసం ఉంటే వివిధ అంశాలులీనియర్‌గా ఆర్డర్ చేసిన సెట్ X వాటి మధ్య సెట్ యొక్క ఒక మూలకం ఉంది, అప్పుడు X సెట్‌ను దట్టంగా పిలుస్తారు.

సెట్ల మధ్య అనురూప్యం యొక్క భావన. కరస్పాండెన్స్‌లను పేర్కొనే పద్ధతులు

X మరియు Y అనే రెండు సెట్లను ఇవ్వనివ్వండి. ప్రతి మూలకం కోసం x X అది సరిపోలిన Y మూలకంతో పేర్కొనబడితే, X మరియు Y సెట్‌ల మధ్య ఒక అనురూప్యం ఏర్పడినట్లు చెప్పబడుతుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, X మరియు Y సెట్‌ల మూలకాల మధ్య అనురూప్యం ఈ సెట్‌లలోని కార్టేసియన్ ఉత్పత్తి X మరియు Y యొక్క ఏదైనా ఉపసమితి G: G X Y .

మ్యాచ్ అనేది సెట్ అయినందున, ఇది ఏదైనా సెట్‌ల మాదిరిగానే పేర్కొనవచ్చు: అన్ని జతలను జాబితా చేయడం ద్వారా (x, y), ఇక్కడ

X మరియు Y సెట్‌లు పరిమితమైనప్పుడు, మూలకాల మధ్య అనురూపాన్ని పట్టికలో పేర్కొనవచ్చు, ఇక్కడ X సెట్ యొక్క మూలకాలు ఎడమ నిలువు వరుసలో వ్రాయబడతాయి మరియు Y సెట్ యొక్క మూలకాలు ఎగువ వరుసలో వ్రాయబడతాయి. G కి సరిపోలే మూలకాల జతలు సంబంధిత నిలువు వరుసలు మరియు అడ్డు వరుసల ఖండన వద్ద ఉంటాయి.

రెండు పరిమిత సెట్ల మధ్య అనురూపాన్ని కూడా గ్రాఫ్ ఉపయోగించి చూపవచ్చు. X మరియు Y సెట్‌లు ఓవల్‌లుగా చూపబడతాయి, X మరియు Y సెట్‌ల మూలకాలు చుక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి మరియు సంబంధిత మూలకాలు బాణాల ద్వారా అనుసంధానించబడతాయి, తద్వారా (x,y) G సంభవించినట్లయితే, అప్పుడు బాణం పాయింట్ల నుండి డ్రా చేయబడుతుంది. పాయింట్లు.

ఉదాహరణకు, అంజీర్‌లో చూపిన గ్రాఫ్. 16, "రచయిత x రచనను వ్రాసాడు" అనే కరస్పాండెన్స్‌ను సెట్ చేస్తుంది.

సెట్‌లు మరియు Y సంఖ్యాపరంగా ఉన్నప్పుడు, కోఆర్డినేట్ ప్లేన్‌లో G యొక్క కరస్పాండెన్స్ గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం సాధ్యమవుతుంది.

కరస్పాండెన్స్ అనేది ఇచ్చిన దానికి విలోమం. ఒకరితో ఒకరు ఉత్తరప్రత్యుత్తరాలు

X = (1, 2, 4, 5, 6) మరియు సెట్‌ల మూలకాల మధ్య “సంఖ్య సంఖ్య కంటే ఐదు రెట్లు తక్కువ” అనురూపాన్ని R అనుకొందాము.

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

ఈ కరస్పాండెన్స్ యొక్క గ్రాఫ్ అంజీర్‌లో ఉన్నట్లుగా ఉంటుంది. 23. మీరు ఈ గ్రాఫ్ యొక్క బాణాల దిశను మార్చినట్లయితే

దీనికి విరుద్ధంగా, మేము కొత్త అనురూప్యం యొక్క గ్రాఫ్ (Fig. 22) ను పొందుతాము "y సంఖ్య x సంఖ్య కంటే ఐదు రెట్లు ఎక్కువ", పరిగణించబడుతుంది

Y మరియు X సెట్ల మధ్య.

ఈ అనురూప్యాన్ని విలోమ అనురూప్యం అంటారు

R కు అనురూప్యం, మరియు R -1 ద్వారా సూచించబడుతుంది.
నిర్వచనం. వీలు	R - సమ్మతి
X మరియు Y సెట్ల మూలకాలు. వర్తింపు R-1
Y మరియు X సెట్ల మూలకాలను ఇచ్చిన దాని యొక్క విలోమం అంటారు,
ఎప్పుడు (y, x) R -1 అయితే మరియు మాత్రమే (x,		y) ఆర్.
R మరియు R -1 అనురూపాలను పరస్పర విలోమం అంటారు.
X మరియు Y సెట్‌లు సంఖ్యాపరంగా ఉంటే, గ్రాఫ్
కరస్పాండెన్స్ R -1 , కరస్పాండెన్స్ R యొక్క విలోమం, వీటిని కలిగి ఉంటుంది
పాయింట్లు, సుష్ట బిందువులు R మ్యాచింగ్ గ్రాఫిక్స్
మొదటి మరియు ద్విభాగానికి సంబంధించి	మూడవది

కోఆర్డినేట్ కోణాలు.

ఒక పరిస్థితిని ఊహించుకుందాం: ఆడిటోరియంలో ప్రతి సీటులో ఒక ప్రేక్షకుడు ఉంటాడు మరియు ప్రతి ప్రేక్షకుడికి ఒక స్థలం ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో వారు సెట్ మధ్య చెప్పారు

ఆడిటోరియంలోని సీట్లు మరియు అనేక మంది ప్రేక్షకులు ఒకరితో ఒకరు కరస్పాండెన్స్ ఏర్పాటు చేశారు.

నిర్వచనం. X మరియు Y అనే రెండు సెట్లను ఇవ్వనివ్వండి. X మరియు Y సెట్‌ల మూలకాల మధ్య అనురూప్యం, దీనిలో సెట్ X యొక్క ప్రతి మూలకం Y సెట్ యొక్క ఒకే మూలకానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది మరియు Y సెట్ యొక్క ప్రతి మూలకం X సెట్ నుండి ఒక మూలకానికి మాత్రమే అనుగుణంగా ఉంటుంది, దీనిని ఒకదానికొకటి అంటారు.

వన్-టు-వన్ కరస్పాండెన్స్‌ల ఉదాహరణలను చూద్దాం. ఉదాహరణ 1. ప్రతి పాఠశాలలో, ప్రతి తరగతి

చల్లని పత్రికకు అనుగుణంగా ఉంటుంది. ఈ కరస్పాండెన్స్ ఒకరి నుండి ఒకరు.

ఉదాహరణ 2. ఇచ్చిన త్రిభుజం ABC (Fig. 25).A 1 C 1 త్రిభుజం మధ్య రేఖ. X అనేది సెగ్మెంట్ A 1 C 1పై ఉన్న పాయింట్ల సెట్, Y ACలో పాయింట్ల సెట్.

మేము సెగ్మెంట్ A 1 C 1 యొక్క ఏకపక్ష బిందువు xని త్రిభుజం యొక్క శీర్షం Bకి సరళ రేఖ విభాగంతో కలుపుతాము మరియు

పాయింటీ వద్ద ACతో కలిసే వరకు దాన్ని కొనసాగిద్దాం. ఈ విధంగా నిర్మించిన పాయింట్‌తో పాయింట్లను సరిపోల్చండి. ఈ సందర్భంలో, X మరియు Y సెట్‌ల మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఏర్పాటు చేయబడుతుంది.

నిర్వచనం. X మరియు Y సెట్‌లు ఒకదానికొకటి అనురూప్యాన్ని ఏదో ఒక విధంగా ఏర్పాటు చేయగలిగితే, వాటిని సమానమైనవి లేదా సమానంగా శక్తివంతమైనవి అంటారు. రెండు సెట్ల సమానత్వం క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది: X ~ Y.

శక్తి యొక్క భావన పరిమాణం యొక్క భావన యొక్క సాధారణీకరణ. ఇది అనంతమైన సెట్‌లకు పరిమాణం యొక్క భావన యొక్క పొడిగింపు.