nవ ఆర్డర్ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం. లీనియర్ డిఫరెన్షియల్

n-వ ఆర్డర్

సిద్ధాంతం. ఉంటే y 0- సజాతీయ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం L[y]=0, y 1- సంబంధిత అసమాన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం L[y] = f(x), తర్వాత మొత్తం y 0 +y 1అనేది ఈ అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం.

అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం యొక్క నిర్మాణం క్రింది సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

సిద్ధాంతం. ఉంటే వై- సమీకరణం యొక్క ప్రత్యేక పరిష్కారం L[y] = f(x)నిరంతర గుణకాలతో, - సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం L[y] = 0, అప్పుడు ఈ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

వ్యాఖ్య. సరళ అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారాన్ని వ్రాయడానికి, ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని మరియు సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం అవసరం.

సరళ అసమాన సమీకరణాలు n

సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి nస్థిరమైన గుణకాలతో -వ క్రమం

ఎక్కడ a 1, ఒక 2, …, ఒక ఎన్- వాస్తవ సంఖ్యలు. సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని వ్రాద్దాం

అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది

సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం y 0మేము ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు వైకింది సాధారణ సందర్భాలలో నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ద్వారా కనుగొనవచ్చు:

సాధారణ సందర్భంలో, వివిధ ఏకపక్ష స్థిరాంకాల పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.

ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి

సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి nవేరియబుల్ కోఎఫీషియంట్స్‌తో -వ క్రమం

ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొనడం కష్టంగా మారితే, సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం తెలిసినట్లయితే, అసమాన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు. ఏకపక్ష స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి.

సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణాన్ని తెలియజేయండి

సాధారణ పరిష్కారం ఉంది

మేము రూపంలో అసమాన సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం కోసం చూస్తాము

ఎక్కడ y 1 =y 1 (x), y 2 =y 2 (x), …, y n =y n (x)ఒక సజాతీయ సమీకరణం యొక్క సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు దాని సాధారణ పరిష్కారంలో చేర్చబడ్డాయి మరియు C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)- తెలియని విధులు. ఈ ఫంక్షన్‌లను కనుగొనడానికి, వాటిని కొన్ని షరతులకు లోబడి చూద్దాం.

ఉత్పన్నం కనుక్కోండి

రెండవ బ్రాకెట్‌లోని మొత్తం సున్నాకి సమానం కావాలి, అంటే

రెండవ ఉత్పన్నాన్ని కనుగొనండి

మరియు మేము దానిని డిమాండ్ చేస్తాము

ఇదే విధమైన ప్రక్రియను కొనసాగిస్తూ, మేము పొందుతాము

ఈ సందర్భంలో, ఫంక్షన్‌ల నుండి రెండవ బ్రాకెట్‌లోని మొత్తం అదృశ్యం కావాల్సిన అవసరం లేదు C 1 (x), C2(x), …, Cn(x)ఇప్పటికే అధీనంలో ఉంది n-1పరిస్థితులు, కానీ మీరు ఇప్పటికీ అసలైన అసమాన సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరచాలి.

డైరెక్ట్ ఇంటిగ్రేషన్ ద్వారా పరిష్కరించబడిన సమీకరణాలు

కింది అవకలన సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:
.
మేము n సార్లు ఏకీకృతం చేస్తాము.
;
;
మరియు అందువలన న. మీరు సూత్రాన్ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు:
.
నేరుగా పరిష్కరించగల అవకలన సమీకరణాలను చూడండి ఏకీకరణ >>>

డిపెండెంట్ వేరియబుల్ yని స్పష్టంగా కలిగి లేని సమీకరణాలు

ప్రత్యామ్నాయం సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని ఒకటి తగ్గిస్తుంది. నుండి ఒక ఫంక్షన్ ఇక్కడ ఉంది.
ఒక విధిని స్పష్టంగా కలిగి లేని అధిక ఆర్డర్‌ల యొక్క అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >

స్వతంత్ర వేరియబుల్ xని స్పష్టంగా చేర్చని సమీకరణాలు

.
ఇది ఒక ఫంక్షన్ అని మేము భావిస్తున్నాము. అప్పుడు
.
అదేవిధంగా ఇతర ఉత్పన్నాల కోసం. ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క క్రమం ఒకటి తగ్గింది.
స్పష్టమైన వేరియబుల్ లేని అధిక ఆర్డర్‌ల అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >

y, y′, y′′, ... లకు సంబంధించి సజాతీయ సమీకరణాలు

ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, మేము ప్రత్యామ్నాయాన్ని చేస్తాము
,
యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ ఉంది. అప్పుడు
.
మేము అదే విధంగా ఉత్పన్నాలు మొదలైనవాటిని మారుస్తాము. ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క క్రమం ఒకటి తగ్గింది.
ఒక ఫంక్షన్ మరియు దాని ఉత్పన్నాలకు సంబంధించి సజాతీయంగా ఉండే ఉన్నత-క్రమం అవకలన సమీకరణాలను చూడండి > > >

అధిక ఆర్డర్‌ల సరళ అవకలన సమీకరణాలు

పరిగణలోకి తీసుకుందాం nవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ అవకలన సమీకరణం:
(1) ,
స్వతంత్ర వేరియబుల్ యొక్క విధులు ఎక్కడ ఉన్నాయి. ఈ సమీకరణానికి n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
(2) ,
ఏకపక్ష స్థిరాంకాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి. విధులు స్వయంగా పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి.
ప్రాథమిక పరిష్కార వ్యవస్థ nవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ సమీకరణం ఈ సమీకరణానికి n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు.

పరిగణలోకి తీసుకుందాం nవ క్రమం యొక్క సరళ అసమాన అవకలన సమీకరణం:
.
ఈ సమీకరణానికి నిర్దిష్ట (ఏదైనా) పరిష్కారం ఉండనివ్వండి. అప్పుడు సాధారణ పరిష్కారం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
,
సజాతీయ సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం ఎక్కడ ఉంది.

స్థిరమైన గుణకాలు మరియు వాటికి తగ్గించగల సరళ అవకలన సమీకరణాలు

స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సజాతీయ సమీకరణాలు

ఇవి రూపం యొక్క సమీకరణాలు:
(3) .
ఇక్కడ వాస్తవ సంఖ్యలు ఉన్నాయి. ఈ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారాన్ని కనుగొనడానికి, మేము పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను రూపొందించే n సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలను కనుగొనాలి. అప్పుడు సాధారణ పరిష్కారం సూత్రం (2) ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది:
(2) .

మేము రూపంలో పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నాము. మాకు దొరికింది లక్షణ సమీకరణం:
(4) .

ఈ సమీకరణం ఉంటే వివిధ మూలాలు, అప్పుడు పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
.

అందుబాటులో ఉంటే సంక్లిష్ట మూలం
,
అప్పుడు సంక్లిష్ట సంయోగ మూలం కూడా ఉంది. ఈ రెండు మూలాలు పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి మరియు , సంక్లిష్ట పరిష్కారాలకు బదులుగా మేము ప్రాథమిక వ్యవస్థలో చేర్చాము మరియు .

మూలాల బహుళగుణకాలు సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి: .

సంక్లిష్ట మూలాల బహుళగుణకాలు మరియు వాటి సంక్లిష్ట సంయోగ విలువలు సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటాయి:
.

ప్రత్యేక అసమాన భాగంతో సరళ అసమాన సమీకరణాలు

రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని పరిగణించండి
,
డిగ్రీల బహుపదాలు ఎక్కడ ఉన్నాయి 1 మరియు ఎస్ 2 ; - శాశ్వత.

మొదట మనం సజాతీయ సమీకరణం (3)కి సాధారణ పరిష్కారం కోసం చూస్తాము. లక్షణ సమీకరణం (4) అయితే రూట్ కలిగి ఉండదు, అప్పుడు మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తాము:
,
ఎక్కడ
;
;
s - s లో గొప్పది 1 మరియు ఎస్ 2 .

లక్షణ సమీకరణం (4) అయితే ఒక రూట్ ఉందిగుణకారం, అప్పుడు మేము రూపంలో ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కోసం చూస్తాము:
.

దీని తరువాత మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము:
.

స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అసమాన సమీకరణాలు

ఇక్కడ మూడు సాధ్యమైన పరిష్కారాలు ఉన్నాయి.

1) బెర్నౌలీ పద్ధతి.
మొదట, మేము సజాతీయ సమీకరణానికి ఏదైనా నాన్జీరో పరిష్కారాన్ని కనుగొంటాము
.
అప్పుడు మేము ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము
,
వేరియబుల్ x యొక్క ఫంక్షన్ ఎక్కడ ఉంది. మేము u కోసం అవకలన సమీకరణాన్ని పొందుతాము, ఇది xకి సంబంధించి u యొక్క ఉత్పన్నాలను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది. ప్రత్యామ్నాయాన్ని నిర్వహించడం ద్వారా, మేము n సమీకరణాన్ని పొందుతాము - 1 - వ ఆర్డర్.

2) లీనియర్ ప్రత్యామ్నాయ పద్ధతి.
ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం
,
లక్షణ సమీకరణం యొక్క మూలాలలో ఒకటి ఎక్కడ ఉంది (4). ఫలితంగా, మేము క్రమం యొక్క స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ అసమాన సమీకరణాన్ని పొందుతాము. ఈ ప్రత్యామ్నాయాన్ని స్థిరంగా వర్తింపజేస్తూ, మేము అసలు సమీకరణాన్ని మొదటి-ఆర్డర్ సమీకరణానికి తగ్గిస్తాము.

3) లాగ్రాంజ్ స్థిరాంకాల యొక్క వైవిధ్యం యొక్క పద్ధతి.
ఈ పద్ధతిలో, మేము మొదట సజాతీయ సమీకరణాన్ని (3) పరిష్కరిస్తాము. అతని పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:
(2) .
స్థిరాంకాలు వేరియబుల్ x యొక్క విధులు అని మేము ఇంకా ఊహిస్తాము. అప్పుడు అసలు సమీకరణానికి పరిష్కారం రూపం కలిగి ఉంటుంది:
,
తెలియని విధులు ఎక్కడ ఉన్నాయి. అసలు సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా మరియు కొన్ని పరిమితులను విధించడం ద్వారా, మేము ఫంక్షన్ల రకాన్ని కనుగొనగల సమీకరణాలను పొందుతాము.

ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణం

ఇది ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సమీకరణానికి తగ్గిస్తుంది:
.
అయితే, ఆయిలర్ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి, అటువంటి ప్రత్యామ్నాయం చేయవలసిన అవసరం లేదు. మీరు వెంటనే రూపంలో సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారం కోసం చూడవచ్చు
.
ఫలితంగా, స్థిరమైన గుణకాలతో సమీకరణం కోసం మేము అదే నియమాలను పొందుతాము, దీనిలో మీరు వేరియబుల్‌కు బదులుగా ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి .

ప్రస్తావనలు:
వి.వి. స్టెపనోవ్, అవకలన సమీకరణాల కోర్సు, "LKI", 2015.
ఎన్.ఎం. గుంటర్, ఆర్.ఓ. కుజ్మిన్, ఉన్నత గణితంలో సమస్యల సేకరణ, "లాన్", 2003.

అవకలన సమీకరణాలుn-వ ఆర్డర్.

సమీకరణం అత్యధిక ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించగలిగితే, దానికి రూపం (1) ఉంటుంది. ఒక nవ ఆర్డర్ సమీకరణాన్ని n మొదటి ఆర్డర్ సమీకరణాల వ్యవస్థగా కూడా సూచించవచ్చు.

(3)

n-వ క్రమ సమీకరణం కోసం, సిస్టమ్ యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకతపై సిద్ధాంతం యొక్క షరతులు (1)~(2)~(3) నుండి సంతృప్తి చెందాయి.

ఆర్డర్ తగ్గింపు యొక్క సరళమైన కేసులు.

సమీకరణంలో అవసరమైన ఫంక్షన్ మరియు ఆర్డర్ వరకు దాని ఉత్పన్నం లేదు కె -1 కలుపుకొని , అంటే

ఈ సందర్భంలో ఆర్డర్‌ని తగ్గించవచ్చు
భర్తీ. మేము ఈ సమీకరణాన్ని వ్యక్తపరిచినట్లయితే, k-ఫోల్డ్ ఇంటిగ్రేబుల్ ఫంక్షన్ ద్వారా y పరిష్కారాన్ని నిర్ణయించవచ్చు p.

ఉదాహరణ.
.

తెలియని వేరియబుల్ లేని సమీకరణం

(5)

ఈ సందర్భంలో, ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా ఆర్డర్‌ను ఒకటి తగ్గించవచ్చు.

ఉదాహరణ.
.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు

(6)

కొంత అవకలన వ్యక్తీకరణ యొక్క ఉత్పన్నం ( n -1)వ క్రమం .
. ఉంటే
- కాబట్టి చివరి సమీకరణానికి పరిష్కారం ఉంది. మేము సమీకరణం (6) యొక్క మొదటి సమగ్రతను పొందాము మరియు సమీకరణం యొక్క డిగ్రీని ఒకటి ద్వారా పరిష్కరించాము.

వ్యాఖ్య.కొన్నిసార్లు (6) యొక్క ఎడమ వైపు గుణించినప్పుడు మాత్రమే (n-1)వ క్రమం అవకలన సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం అవుతుంది
కాబట్టి, ఇక్కడ అనవసరమైన పరిష్కారాలు కనిపించవచ్చు (రివర్సింగ్ సున్నాకి) లేదా మనం పరిష్కారాన్ని కోల్పోవచ్చు నిరంతర ఫంక్షన్.

ఉదాహరణ.

సమీకరణం

(7)

సాపేక్షంగా సజాతీయమైనది మరియు దాని ఉత్పన్నాలు .

లేదా సూచిక ఎక్కడ ఉంది
సజాతీయత యొక్క పరిస్థితుల నుండి నిర్ణయించబడుతుంది.

ఈ సమీకరణం యొక్క క్రమాన్ని భర్తీ చేయడం ద్వారా ఒకటి తగ్గించవచ్చు: .

మేము ఈ సంబంధాలను (7)కి ప్రత్యామ్నాయం చేసి, ఫంక్షన్ యొక్క సజాతీయతను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే ఎఫ్ , అప్పుడు చివరికి మనకు లభిస్తుంది: .

ఉదాహరణ.
.

రెండవ ఆర్డర్ అవకలన సమీకరణాలు,

క్రమంలో తగ్గింపును అనుమతిస్తుంది.

ప్రత్యామ్నాయం
.

అత్యధిక ఉత్పన్నానికి సంబంధించి సమీకరణం (8)ని పరిష్కరించగలిగితే, అప్పుడు Eq.
వేరియబుల్ కంటే రెండుసార్లు ఏకీకృతం చేయబడింది x.

మీరు ఒక పరామితిని పరిచయం చేయవచ్చు మరియు సమీకరణం (8)ని దాని పారామితి ప్రాతినిధ్యంతో భర్తీ చేయవచ్చు:
. అవకలనల కోసం సంబంధాన్ని ఉపయోగించడం:
, మనకు లభిస్తుంది: మరియు

II .
(9)

పారామెట్రిక్ ప్రాతినిధ్యాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

III.
. (10)

మీరు భర్తీ చేయడం ద్వారా ఆర్డర్‌ను తగ్గించవచ్చు:
.

సమీకరణం (10) అత్యధిక ఉత్పన్నానికి సంబంధించి పరిష్కరించదగినది అయితే
, ఆపై కుడి మరియు ఎడమ వైపులా గుణించండి
. మనకు లభిస్తుంది: ఇది వేరు చేయగల వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సమీకరణం:
.

సమీకరణం (10) దాని పారామెట్రిక్ ప్రాతినిధ్యం ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది: . అవకలన యొక్క లక్షణాలను ఉపయోగిస్తాము :.

ఉదాహరణ.
.

సరళ అవకలన సమీకరణాలుn-వ ఆర్డర్.

నిర్వచనం. సరళ అవకలన సమీకరణాలు n -వ ఆర్డర్ రూపం యొక్క సమీకరణాలు అంటారు:
. (1)

అసమానత ఉంటే కోసం నిరంతర
, ఆపై ఫారమ్ యొక్క ఏదైనా ప్రారంభ విలువల పరిసరాల్లో :, ఎక్కడ విరామానికి చెందినది, అప్పుడు ఈ ప్రారంభ విలువల పరిసరాల్లో పరిస్థితులు సంతృప్తి చెందుతాయి ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత సిద్ధాంతాలు. సమీకరణం (1) యొక్క సరళత మరియు సజాతీయత ఏదైనా పరివర్తన కింద భద్రపరచబడుతుంది
, ఎక్కడ అనేది ఏకపక్ష ntimes డిఫరెన్సిబుల్ ఫంక్షన్. పైగా
. తెలియని ఫంక్షన్ సరళంగా మరియు సజాతీయంగా రూపాంతరం చెందినప్పుడు సరళత మరియు సజాతీయత సంరక్షించబడతాయి.

లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్‌ని పరిచయం చేద్దాం: , అప్పుడు (1) ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
. వ్రోన్స్కి యొక్క నిర్ణయాధికారి
ఇలా కనిపిస్తుంది:

, ఎక్కడ - సమీకరణానికి సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాలు (1).

సిద్ధాంతం 1. సరళ స్వతంత్ర విధులు అయితే
ఒక సరళ సజాతీయ సమీకరణం (1)కు నిరంతరాయంగా పరిష్కారం
గుణకాలు
, అప్పుడు వ్రోన్స్కి డిటర్మినెంట్
సెగ్మెంట్‌లో ఏ సమయంలోనూ అదృశ్యం కాదు
.

సిద్ధాంతం 2. నిరంతర సజాతీయ సమీకరణం (1) యొక్క సాధారణ పరిష్కారం
గుణకాలు
పరిష్కారాల సరళ కలయిక ఉంటుంది , అంటే
(2), ఎక్కడ
సెగ్మెంట్‌పై సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటుంది
ప్రైవేట్ పరిష్కారాలు (1).

(సరళ అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థ విషయంలో అదే విధంగా నిరూపించబడింది)

పర్యవసానం.(1)కి సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాల గరిష్ట సంఖ్య దాని క్రమానికి సమానం.

సమీకరణం (1)కి ఒక చిన్నవిషయం కాని నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని తెలుసుకోవడం -
, మీరు ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు
మరియు సమీకరణం యొక్క సరళత మరియు వైవిధ్యతను కొనసాగించేటప్పుడు దాని క్రమాన్ని తగ్గించండి. సాధారణంగా ఈ ప్రత్యామ్నాయం రెండుగా విభజించబడింది. ఇది రేఖీయ సజాతీయ ప్రాతినిధ్యం కాబట్టి, ఇది (1) యొక్క సరళత మరియు సజాతీయతను సంరక్షిస్తుంది, అంటే (1) రూపానికి తగ్గించబడాలి. నిర్ణయం
యొక్క ధర్మం ప్రకారం
పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది
, ఇందుమూలంగా
. భర్తీ చేసిన తరువాత
, మేము ఆర్డర్‌తో సమీకరణాన్ని పొందుతాము
.

లేమ్మా. (3)

రూపం (3) మరియు (4) యొక్క రెండు సమీకరణాలు, ఇక్కడ Q i మరియు P i అనేది ఒక సాధారణ ప్రాథమిక పరిష్కార వ్యవస్థను కలిగి ఉండే నిరంతర విధులు, సమానంగా ఉంటాయి, అనగా. Q i (x)= P i (x), i=1,2,…n,  x

లెమ్మా ఆధారంగా, పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థ y 1 y 2 …y n పూర్తిగా సరళ సజాతీయ సమీకరణాన్ని (3) నిర్ణయిస్తుందని మేము నిర్ధారించగలము.

y 1 y 2 …y n పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను కలిగి ఉన్న సమీకరణం (3) రూపాన్ని కనుగొనండి. ఏదైనా పరిష్కారం వై(x) సమీకరణం (3) సరళంగా పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థపై ఆధారపడి ఉంటుంది, అంటే W=0. Wronski డిటర్మినెంట్ Wని చివరి నిలువు వరుసలో విస్తరింపజేద్దాం.

సమీకరణం (5) అనేది ప్రాథమిక పరిష్కారాల యొక్క ఇచ్చిన వ్యవస్థను కలిగి ఉన్న కావలసిన సరళ అవకలన సమీకరణం. మనం (5)ని W ద్వారా విభజించవచ్చు, ఎందుకంటే ఇది సున్నాకి సమానం కాదు  x. అప్పుడు:

(*)

డిటర్మినెంట్ యొక్క భేదం యొక్క నియమం ప్రకారం, డిటర్మినెంట్ యొక్క ఉత్పన్నం i=1,2...n నిర్ణాయకాల మొత్తానికి సమానం, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి i-వ వరుస i- యొక్క ఉత్పన్నానికి సమానం. అసలైన నిర్ణాయకం యొక్క వ వరుస. ఈ మొత్తంలో, చివరిది మినహా అన్ని నిర్ణాయకాలు సున్నాకి సమానం (అవి రెండు ఒకేలా పంక్తులు కలిగి ఉన్నందున), మరియు చివరిది (*)కి సమానం. అందువలన, మేము పొందుతాము:

, అప్పుడు:
(6)

(7)

నిర్వచనం. సూత్రాలు (6) మరియు (7) అంటారు ఆస్ట్రోగ్రాడ్‌స్కీ-లియోవిల్లే సూత్రాలు.

మేము రెండవ-క్రమం సరళ సజాతీయ సమీకరణాన్ని ఏకీకృతం చేయడానికి (7) ఉపయోగిస్తాము. మరియు సమీకరణం (8) యొక్క y 1 పరిష్కారాలలో ఒకదానిని తెలుసుకుందాం.

(7) ప్రకారం, ఏదైనా పరిష్కారం (8) కింది సంబంధాన్ని సంతృప్తి పరచాలి:

(9)

ఇంటిగ్రేటింగ్ ఫ్యాక్టర్ పద్ధతిని ఉపయోగించుకుందాం.

తో సరళ సజాతీయ సమీకరణాలు

స్థిరమైన గుణకాలు.

సరళ సజాతీయ సమీకరణంలో అన్ని గుణకాలు స్థిరంగా ఉంటే,

a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +….+a n y=0, (1)

అప్పుడు నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను (1) ఇలా నిర్వచించవచ్చు: y=e kx, ఇక్కడ k అనేది స్థిరాంకం.

a 0 k n e kx +a 1 k n-1 e kx +….+a n k 0 e kx =0  a 0 k n +a 1 k n-1 +….+a n =0 (3)

నిర్వచనం. (3) - లక్షణ సమీకరణం.

పరిష్కారం రకం (1) లక్షణం సమీకరణం (3) యొక్క మూలాల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

1) అన్ని మూలాలు నిజమైనవి మరియు విభిన్నమైనవి , అప్పుడు:

2) అన్ని గుణకాలు నిజమైనవి అయితే, మూలాలు సంక్లిష్ట సంయోగం కావచ్చు .

k 1 =+i k 2 =-i

అప్పుడు పరిష్కారాలు రూపాన్ని కలిగి ఉంటాయి:

సిద్ధాంతం ప్రకారం: నిజమైన గుణకాలు కలిగిన ఆపరేటర్ సంక్లిష్ట సంయోగ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే, అప్పుడు వారి వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగాలు కూడా పరిష్కారాలు. అప్పుడు:

ఉదాహరణ.

పరిష్కారాన్ని రూపంలో అందజేద్దాం
, అప్పుడు లక్షణ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

, మేము రెండు పరిష్కారాలను పొందుతాము:

అప్పుడు అవసరమైన ఫంక్షన్:

3) అనేక మూలాలు ఉన్నాయి: కె i బహుళత్వంతో  i . ఈ సందర్భంలో, వివిధ పరిష్కారాల సంఖ్య
చిన్నదిగా ఉంటుంది, కాబట్టి, మీరు తప్పిపోయిన సరళ స్వతంత్ర పరిష్కారాల కోసం వేరే రూపంలో వెతకాలి. ఉదాహరణకి:

రుజువు:

k i =0 అనుకుందాం, మనం దానిని (3)కి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే, మనకు అది వస్తుంది , అప్పుడు:

- ప్రత్యేక పరిష్కారాలు (3).

k i 0ని తెలపండి, భర్తీ చేద్దాం
(6)

(6)ని (1)గా మార్చడం ద్వారా, స్థిరమైన కోఎఫీషియంట్స్ (7)తో nవ క్రమం యొక్క సరళ సజాతీయ సమీకరణాన్ని zకి సంబంధించి పొందుతాము.

మూలాలు (3) k i అనే పదం ద్వారా లక్షణ సమీకరణం (7) యొక్క మూలాల నుండి భిన్నంగా ఉంటాయి.

(8)

k=k i అయితే, ఈ k అనేది రూట్ p=0తో సమీకరణం (7) యొక్క పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది, అనగా. z= రూపం యొక్క పరిష్కారాలకు అనుగుణంగా ఉంటుంది
, అప్పుడు y= అనేది సమీకరణం (1)కి పరిష్కారం. మరియు సాధారణ పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:

k i కోసం పరిష్కారం



ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణం.

నిర్వచనం. రూపం యొక్క సమీకరణం:

a i స్థిరమైన గుణకాలు, అంటారు ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణం.

x=e tని భర్తీ చేయడం ద్వారా ఆయిలర్ యొక్క సమీకరణం స్థిరమైన గుణకాలతో సరళ సజాతీయ సమీకరణానికి తగ్గించబడుతుంది.

మీరు y=x k రూపంలో పరిష్కారాల కోసం వెతకవచ్చు, ఆపై వాటికి ఫారమ్ ఉంటుంది:

సరళ అసమాన సమీకరణాలు.

0 (x)0 అయితే, సమీకరణం (1)ని ఈ గుణకం ద్వారా భాగిస్తే, మనం పొందుతాము:

.

bపై i మరియు f నిరంతరంగా ఉంటే, (2) సంబంధిత ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము (2) నుండి అత్యధిక ఉత్పన్నాలను స్పష్టంగా వ్యక్తపరిచినట్లయితే, మేము ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము, దాని కుడి వైపు ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత సిద్ధాంతాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది. ఆపరేటర్ L లీనియర్ అయినందున, దీని అర్థం (2) కోసం క్రింది హోల్డ్‌లు:

1).
- పరిష్కారం (2), అయితే - అసమాన సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం (2), మరియు - సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం.

2) ఉంటే - పరిష్కారాలు
, ఆ
సమీకరణానికి పరిష్కారం
.

ఆస్తి 2 అనేది సూపర్‌పొజిషన్ సూత్రం, ఇది ఎప్పుడు చెల్లుతుంది
, సిరీస్ అయితే
- కలుస్తుంది మరియు అంగీకరిస్తుంది m- బహుళ పదాల వారీ భేదం.

3) ఆపరేటర్ సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి
, ఇక్కడ L అనేది గుణకాలతో కూడిన ఆపరేటర్ , అన్నీ - నిజమైన. U మరియు V ఫంక్షన్‌లు కూడా నిజమైనవి. అప్పుడు, ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారం ఉంటే
, అప్పుడు అదే సమీకరణానికి పరిష్కారం ఊహాత్మక మరియు వాస్తవ భాగాలుగా ఉంటుంది:
మరియు
. అంతేకాక, వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి పరిష్కారానికి అనుగుణంగా ఉంటాయి.

సిద్ధాంతం. అసమాన సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంn- గురించి
విభాగంలో [a, బి] అందించిన అన్ని గుణకాలు
మరియు కుడి వైపు
- నిరంతర విధులు, సజాతీయ వ్యవస్థకు సంబంధించిన సాధారణ పరిష్కారం మొత్తంగా సూచించబడతాయి
మరియు భిన్నమైన వాటికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం -
.

ఆ. పరిష్కారం
.

అసమాన వ్యవస్థ యొక్క నిర్దిష్ట పరిష్కారాలను స్పష్టంగా ఎంచుకోవడం అసాధ్యం అయితే, మీరు పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు స్థిరమైన వైవిధ్యాలు . మేము రూపంలో పరిష్కారం కోసం చూస్తాము:

(3)

ఎక్కడ
సజాతీయ వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు,
- తెలియని విధులు.

మొత్తం తెలియని విధులు
- ఎన్. వారు తప్పనిసరిగా అసలు సమీకరణాన్ని (2) సంతృప్తి పరచాలి.

y(x) వ్యక్తీకరణను సమీకరణం (2)గా మార్చడం ద్వారా, మేము ఒక తెలియని ఫంక్షన్‌ను మాత్రమే నిర్ణయించడానికి షరతులను పొందుతాము. మిగిలిన (n-1)-బాగా ఫంక్షన్‌లను నిర్ణయించడానికి, ఒక (n-1)-కానీ అదనపు షరతు అవసరం; వాటిని ఏకపక్షంగా ఎంచుకోవచ్చు. (2) - y(x) అనే సొల్యూషన్ అదే ఫారమ్‌ను కలిగి ఉండేలా వాటిని ఎంచుకుందాం
స్థిరంగా ఉండేవి.

,

ఎందుకంటే
స్థిరాంకాల వలె ప్రవర్తించండి
, ఏమిటంటే
.

ఆ. మేము (n-1)-కానీ సమీకరణం (1)కి అదనంగా పరిస్థితిని పొందుతాము. మేము ఉత్పన్నాల కోసం వ్యక్తీకరణను సమీకరణం (1)గా మార్చినట్లయితే మరియు పొందిన అన్ని షరతులను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే మరియు y i అనేది సంబంధిత సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం అనే వాస్తవాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము దీని కోసం చివరి షరతును పొందుతాము
.

సిస్టమ్‌కు వెళ్దాం:

(3)

సిస్టమ్ (3) యొక్క నిర్ణాయకం (W) వ్రోన్స్కీ యొక్క నిర్ణయాధికారి, మరియు ఎందుకంటే y i ఒక సజాతీయ వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు, అప్పుడు W0 ఆన్.

ఉదాహరణ. అసమాన సమీకరణం

, సంబంధిత సజాతీయ సమీకరణం

మేము రూపంలో పరిష్కారం కోసం చూస్తున్నామువై= ఇ kx . లక్షణ సమీకరణంకె 2 +1=0, అనగా.కె 1,2 =  i

వై= ఇ ix = కాస్ x + i పాపం x, ఉమ్మడి నిర్ణయం -

స్థిరమైన వైవిధ్య పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము:

కోసం షరతులు
:

, ఇది వ్రాయడానికి సమానం:

ఇక్కడనుంచి:

లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ సిస్టమ్స్ సమీకరణాలు.

అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థను అంటారు సరళ,తెలియని ఫంక్షన్‌లు మరియు వాటి ఉత్పన్నాలకు సంబంధించి అది సరళంగా ఉంటే. వ్యవస్థ n-1 వ ఆర్డర్ యొక్క సరళ సమీకరణాలు రూపంలో వ్రాయబడ్డాయి:

సిస్టమ్ గుణకాలు స్థిరంగా ఉంటాయి.

ఈ వ్యవస్థను మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది: ,

ఒక ఆర్గ్యుమెంట్ ఆధారంగా తెలియని ఫంక్షన్‌ల నిలువు వెక్టర్ ఎక్కడ ఉంది.

ఈ ఫంక్షన్ల ఉత్పన్నాల కాలమ్ వెక్టర్.

ఉచిత నిబంధనల కాలమ్ వెక్టర్.

గుణకం మాతృక.

సిద్ధాంతం 1:అన్ని మాతృక గుణకాలు ఉంటే ఎఒక నిర్దిష్ట వ్యవధిలో నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు ప్రతి m యొక్క నిర్దిష్ట పరిసరాల్లో ఉంటాయి. TS&E షరతులు నెరవేరాయి. పర్యవసానంగా, అటువంటి ప్రతి బిందువు గుండా ఒకే సమగ్ర వక్రరేఖ వెళుతుంది.

నిజానికి, ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ యొక్క కుడి-భుజాలు ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సమితికి సంబంధించి నిరంతరంగా ఉంటాయి మరియు వాటి పాక్షిక ఉత్పన్నాలు (మ్యాట్రిక్స్ A యొక్క కోఎఫీషియంట్‌లకు సమానం) సంవృత విరామంలో కొనసాగింపు కారణంగా పరిమితం చేయబడతాయి.

SLDలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

1. అవకలన సమీకరణాల వ్యవస్థ తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా ఒక సమీకరణానికి తగ్గించవచ్చు.

ఉదాహరణ:సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: (1)

పరిష్కారం:మినహాయించండి zఈ సమీకరణాల నుండి. మేము కలిగి ఉన్న మొదటి సమీకరణం నుండి. రెండవ సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా, సరళీకరణ తర్వాత మనకు లభిస్తుంది: .

ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ (1) ఒకే రెండవ-ఆర్డర్ సమీకరణానికి తగ్గించబడింది. ఈ సమీకరణం నుండి కనుగొన్న తర్వాత వై, కనుక్కోవాలి z, సమానత్వాన్ని ఉపయోగించడం.

2. తెలియని వాటిని తొలగించడం ద్వారా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, అధిక ఆర్డర్ యొక్క సమీకరణం సాధారణంగా పొందబడుతుంది, కాబట్టి చాలా సందర్భాలలో కనుగొనడం ద్వారా వ్యవస్థను పరిష్కరించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. సమీకృత కలయికలు.

27b కొనసాగింది

ఉదాహరణ:వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

పరిష్కారం:

యూలర్ పద్ధతిని ఉపయోగించి ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం. లక్షణాన్ని కనుగొనడానికి డిటర్మినేట్‌ను వ్రాస్దాం

సమీకరణం: , (సిస్టమ్ సజాతీయంగా ఉన్నందున, అది చిన్నవిషయం కాని పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉండాలంటే, ఈ డిటర్మినెంట్ సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి). మేము ఒక లక్షణ సమీకరణాన్ని పొందుతాము మరియు దాని మూలాలను కనుగొంటాము:

సాధారణ పరిష్కారం: ;

- ఈజెన్‌వెక్టర్.

మేము పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము: ;

- ఈజెన్‌వెక్టర్.

మేము పరిష్కారాన్ని వ్రాస్తాము: ;

మేము సాధారణ పరిష్కారాన్ని పొందుతాము: .

తనిఖీ చేద్దాం:

కనుక్కొందాము : మరియు దానిని ఈ సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలోకి మార్చండి, అనగా. .

మాకు దొరికింది:

- నిజమైన సమానత్వం.

సరళ వ్యత్యాసం. n వ ఆర్డర్ సమీకరణాలు. nవ క్రమం యొక్క అసమాన సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారంపై సిద్ధాంతం.

nవ క్రమం యొక్క సరళ అవకలన సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం: (1)

ఈ సమీకరణం గుణకం కలిగి ఉంటే, దాని ద్వారా విభజించడం ద్వారా, మేము సమీకరణానికి చేరుకుంటాము: (2) .

సాధారణంగా రకం సమీకరణాలు (2). అది ur-iలో అనుకుందాం (2) అన్ని అసమానతలు, అలాగే f(x)కొంత విరామంలో నిరంతరంగా (a,b).అప్పుడు, TS&E ప్రకారం, సమీకరణం (2) ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే ప్రత్యేకమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంది: , , ..., కోసం . ఇక్కడ - విరామం నుండి ఏదైనా పాయింట్ (a,b),మరియు అన్నీ - ఏదైనా ఇవ్వబడిన సంఖ్యలు. సమీకరణం (2) TC&Eని సంతృప్తిపరుస్తుంది , అందువలన లేదు ప్రత్యేక పరిష్కారాలు.

డెఫ్.: ప్రత్యేకంపాయింట్లు =0.

సరళ సమీకరణం యొక్క లక్షణాలు:

1. స్వతంత్ర చరరాశిలో ఏదైనా మార్పు కోసం సరళ సమీకరణం అలాగే ఉంటుంది.
2. కావలసిన ఫంక్షన్ యొక్క ఏదైనా సరళ మార్పు కోసం సరళ సమీకరణం అలాగే ఉంటుంది.

డెఫ్:సమీకరణంలో ఉంటే (2) చాలు f(x)=0, అప్పుడు మేము ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పొందుతాము: (3) , అని పిలుస్తారు సజాతీయ సమీకరణంఅసమాన సమీకరణానికి సంబంధించి (2).

లీనియర్ డిఫరెన్షియల్ ఆపరేటర్‌ని పరిచయం చేద్దాం: (4). ఈ ఆపరేటర్‌ని ఉపయోగించి, మీరు సమీకరణాన్ని చిన్న రూపంలో తిరిగి వ్రాయవచ్చు (2) మరియు (3): L(y)=f(x), L(y)=0.ఆపరేటర్ (4) కింది సాధారణ లక్షణాలను కలిగి ఉంది:

ఈ రెండు లక్షణాల నుండి ఒక పరిణామాన్ని తగ్గించవచ్చు: .

ఫంక్షన్ y=y(x)అసమాన సమీకరణానికి పరిష్కారం (2), ఉంటే L(y(x))=f(x), అప్పుడు f(x)సమీకరణానికి పరిష్కారం అంటారు. కాబట్టి సమీకరణానికి పరిష్కారం (3) ఫంక్షన్ అని y(x), ఉంటే L(y(x))=0పరిగణించబడిన విరామాలపై.

పరిగణించండి అసమాన సరళ సమీకరణం: , L(y)=f(x).

మనం ఏదో ఒక విధంగా నిర్దిష్ట పరిష్కారాన్ని కనుగొన్నామని అనుకుందాం, అప్పుడు .

కొత్త తెలియని ఫంక్షన్‌ని పరిచయం చేద్దాం zసూత్రం ప్రకారం: , ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం ఎక్కడ ఉంది.

దానిని సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం: , బ్రాకెట్లను తెరిచి, పొందండి: .

ఫలిత సమీకరణాన్ని ఇలా తిరిగి వ్రాయవచ్చు:

అసలు సమీకరణానికి ఒక నిర్దిష్ట పరిష్కారం కనుక, అప్పుడు .

ఈ విధంగా, మేము సంబంధించి ఒక సజాతీయ సమీకరణాన్ని పొందాము z. ఈ సజాతీయ సమీకరణానికి సాధారణ పరిష్కారం సరళ కలయిక: , ఇక్కడ విధులు - సజాతీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాల యొక్క ప్రాథమిక వ్యవస్థను ఏర్పరుస్తాయి. ప్రత్యామ్నాయం zభర్తీ సూత్రంలో, మేము పొందుతాము: (*) ఫంక్షన్ కోసం వై- అసలు సమీకరణం యొక్క తెలియని ఫంక్షన్. అసలు సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలు (*)లో ఉంటాయి.

అందువలన, అసమాన రేఖ యొక్క సాధారణ పరిష్కారం. సమీకరణం సజాతీయ సరళ సమీకరణం యొక్క సాధారణ పరిష్కారం మరియు అసమాన సమీకరణం యొక్క కొంత నిర్దిష్ట పరిష్కారం యొక్క మొత్తంగా సూచించబడుతుంది.

(మరోవైపు కొనసాగింది)

30. అవకలనకు పరిష్కారం యొక్క ఉనికి మరియు ప్రత్యేకత యొక్క సిద్ధాంతం. సమీకరణాలు

సిద్ధాంతం:సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు దీర్ఘచతురస్రంలో నిరంతరంగా ఉంటే మరియు పరిమితం చేయబడింది మరియు లిప్‌స్చిట్జ్ స్థితిని కూడా సంతృప్తిపరుస్తుంది: , N=const, అప్పుడు ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే మరియు విభాగంలో నిర్వచించబడే ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారం ఉంది , ఎక్కడ .

రుజువు:

పూర్తి మెట్రిక్ స్థలాన్ని పరిగణించండి తో,దీని పాయింట్లు అన్ని సాధ్యం నిరంతర విధులు y(x) విరామంలో నిర్వచించబడ్డాయి , దీర్ఘచతురస్రం లోపల ఉండే గ్రాఫ్‌లు మరియు దూరం సమానత్వం ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: . ఈ స్థలం తరచుగా గణిత విశ్లేషణలో ఉపయోగించబడుతుంది మరియు దీనిని పిలుస్తారు ఏకరీతి కలయిక యొక్క స్థలం, ఈ స్థలం యొక్క మెట్రిక్‌లో కలయిక ఏకరీతిగా ఉన్నందున.

అవకలనను భర్తీ చేద్దాం. సమానమైన సమగ్ర సమీకరణానికి ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులతో సమీకరణం: మరియు ఆపరేటర్‌ను పరిగణించండి A(y), ఈ సమీకరణం యొక్క కుడి వైపుకు సమానం: . ఈ ఆపరేటర్ ప్రతి నిరంతర ఫంక్షన్‌కు కేటాయిస్తుంది

Lipschitz యొక్క అసమానతను ఉపయోగించి, మనం దూరం అని వ్రాయవచ్చు. ఇప్పుడు కింది అసమానతలను కలిగి ఉండే ఒకదాన్ని ఎంచుకుందాం: .

మీరు అలా ఎంచుకోవాలి , అప్పుడు . కాబట్టి మేము దానిని చూపించాము.

సంకోచ మ్యాపింగ్‌ల సూత్రం ప్రకారం, ఒకే పాయింట్ లేదా, అదే, ఒకే ఫంక్షన్ - ఇచ్చిన ప్రారంభ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే అవకలన సమీకరణానికి పరిష్కారం.