సంఖ్యా అసమానతలు మరియు వాటి లక్షణాలు. అసమానతలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలు

ప్రకటన నిరూపించబడింది.

నిజానికి, ఉదాహరణకు, 2< 3, но

ఆస్తి 4. a > b మరియు c > d అయితే, a + c > b+ d.

రుజువు. a>b మరియు c>d కాబట్టి, తేడాలు a-b మరియు c-d సానుకూల సంఖ్యలు. అప్పుడు ఈ సంఖ్యల మొత్తం కూడా ధనాత్మక సంఖ్య (a-b)+(c-d). బ్రాకెట్లు మరియు సమూహాన్ని తెరుద్దాం (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+c)-(b+ d). ఈ సమానత్వం దృష్ట్యా, ఫలిత వ్యక్తీకరణ (a+c)-(b+d) ధనాత్మక సంఖ్య అవుతుంది. కాబట్టి, a+ c> b+ d.

రూపం a>b, c >d లేదా a యొక్క అసమానతలు< b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>బి, సి

ఆస్తి 5. a > b, c > d అయితే ac > bd, ఇక్కడ a, b, c, d ధనాత్మక సంఖ్యలు.

రుజువు. a>b మరియు c ధనాత్మక సంఖ్య కాబట్టి, ఆస్తి 3ని ఉపయోగించి, మనకు ac > bc వస్తుంది. c >d మరియు b అనేది ధనాత్మక సంఖ్య కాబట్టి, bc > bd. కాబట్టి, మొదటి ఆస్తి ac > bd ద్వారా. నిరూపితమైన ఆస్తి యొక్క అర్థం ఈ క్రింది విధంగా ఉంది: "మనం ఒకే అర్థం యొక్క పదం అసమానతలను గుణిస్తే, దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా సానుకూల సంఖ్యలు ఉంటాయి, మేము అదే అర్థం యొక్క అసమానతను పొందుతాము."

ఉదాహరణకు, 6< a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

ఆస్తి 6. ఒకవేళ a< b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

రుజువు. మేము n ఇచ్చిన అసమానతలను పదం a ద్వారా గుణిస్తే< b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 లక్షణాల అప్లికేషన్

మేము పరిగణించిన లక్షణాల అప్లికేషన్ యొక్క ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం.

లెట్ 33< a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) a + b మొత్తాన్ని అంచనా వేద్దాం. ఆస్తి 4ని ఉపయోగించి, మనకు 33 + 3 వస్తుంది< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) a - b వ్యత్యాసాన్ని అంచనా వేద్దాం. వ్యవకలన లక్షణం లేనందున, మేము a - b వ్యత్యాసాన్ని మొత్తం a + (-b)తో భర్తీ చేస్తాము. ముందుగా (- బి) అంచనా వేద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, ఆస్తి 3, అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 3< b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) >b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). మనకు -4 లభిస్తుంది< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) ఉత్పత్తిని అంచనా వేద్దాం a ∙ b. ఆస్తి 5 ద్వారా, మేము ఒకే గుర్తు యొక్క అసమానతలను గుణిస్తాము

మేము పాఠశాలలో అసమానతల గురించి తెలుసుకున్నాము, అక్కడ మేము సంఖ్యా అసమానతలను ఉపయోగిస్తాము. ఈ ఆర్టికల్లో మేము సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలను పరిశీలిస్తాము, వాటి నుండి పని చేసే సూత్రాలు నిర్మించబడ్డాయి.

అసమానతల లక్షణాలు సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలకు సమానంగా ఉంటాయి. లక్షణాలు, దాని సమర్థన పరిగణించబడుతుంది మరియు ఉదాహరణలు ఇవ్వబడతాయి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

సంఖ్యా అసమానతలు: నిర్వచనం, ఉదాహరణలు

అసమానతల భావనను పరిచయం చేస్తున్నప్పుడు, వారి నిర్వచనం రికార్డ్ రకం ద్వారా చేయబడుతుంది. సంకేతాలను కలిగి ఉన్న బీజగణిత వ్యక్తీకరణలు ఉన్నాయి ≠,< , >, ≤ , ≥ . ఒక నిర్వచనం ఇద్దాం.

నిర్వచనం 1

సంఖ్యా అసమానతరెండు వైపులా సంఖ్యలు మరియు సంఖ్యా వ్యక్తీకరణలను కలిగి ఉన్న అసమానత అని పిలుస్తారు.

మేము సహజ సంఖ్యలను అధ్యయనం చేసిన తర్వాత పాఠశాలలో సంఖ్యా అసమానతలను పరిశీలిస్తాము. ఇటువంటి పోలిక కార్యకలాపాలు దశలవారీగా అధ్యయనం చేయబడతాయి. మొదటివి 1 లాగా కనిపిస్తాయి< 5 , 5 + 7 >3. దీని తర్వాత నియమాలు అనుబంధంగా ఉంటాయి మరియు అసమానతలు మరింత క్లిష్టంగా మారతాయి, అప్పుడు మేము 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0 రూపంలో అసమానతలను పొందుతాము. 73 - 17 2< 0 .

సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలు

అసమానతలతో సరిగ్గా పనిచేయడానికి, మీరు సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలను తప్పనిసరిగా ఉపయోగించాలి. వారు అసమానత భావన నుండి వచ్చారు. ఈ భావన ఒక ప్రకటనను ఉపయోగించి నిర్వచించబడింది, ఇది "ఎక్కువ" లేదా "తక్కువ"గా సూచించబడుతుంది.

నిర్వచనం 2

• a - b వ్యత్యాసం ధనాత్మక సంఖ్య అయినప్పుడు a సంఖ్య b కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది;
• a - b వ్యత్యాసం ప్రతికూల సంఖ్య అయినప్పుడు సంఖ్య b కంటే తక్కువగా ఉంటుంది;
• a - b తేడా సున్నా అయినప్పుడు a సంఖ్య bకి సమానం.

"తక్కువ లేదా సమానం", "దానికంటే ఎక్కువ లేదా సమానం" సంబంధాలతో అసమానతలను పరిష్కరించేటప్పుడు నిర్వచనం ఉపయోగించబడుతుంది. మేము దానిని పొందుతాము

నిర్వచనం 3

• a - b అనేది ప్రతికూల సంఖ్య అయినప్పుడు b కంటే ఎక్కువ లేదా సమానంగా ఉంటుంది;
• a - b అనేది నాన్-పాజిటివ్ సంఖ్య అయినప్పుడు b కంటే తక్కువ లేదా సమానం.

సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలను నిరూపించడానికి నిర్వచనాలు ఉపయోగించబడతాయి.

ప్రాథమిక లక్షణాలు

3 ప్రధాన అసమానతలను చూద్దాం. సంకేతాల ఉపయోగం< и >కింది లక్షణాల లక్షణం:

నిర్వచనం 4

• వ్యతిరేక రిఫ్లెక్సివిటీ, అసమానతల నుండి ఏదైనా సంఖ్య a అని చెబుతుంది a< a и a >a తప్పుగా పరిగణించబడుతుంది. ఏదైనా a కోసం సమానత్వం a − a = 0 కలిగి ఉంటుందని తెలుసు, కాబట్టి మనం a = a అని పొందుతాము. కాబట్టి ఎ< a и a >a తప్పు. ఉదాహరణకు, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 తప్పు.
• అసమానత. a మరియు b సంఖ్యలు a అయినప్పుడు< b , то b >a, మరియు a > b అయితే, b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. దాని రెండవ భాగం ఇదే విధంగా నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 1

ఉదాహరణకు, అసమానత 5 ఇవ్వబడింది< 11 имеем, что 11 >5, అంటే దాని సంఖ్యా అసమానత - 0, 27 > - 1, 3 − 1, 3గా తిరిగి వ్రాయబడుతుంది< − 0 , 27 .

తదుపరి ఆస్తికి వెళ్లడానికి ముందు, అసమానత సహాయంతో మీరు అసమానతను కుడి నుండి ఎడమకు మరియు వైస్ వెర్సాకు చదవవచ్చని గమనించండి. ఈ విధంగా, సంఖ్యా అసమానతలను సవరించవచ్చు మరియు మార్పిడి చేయవచ్చు.

నిర్వచనం 5

• ట్రాన్సిటివిటీ. a, b, c సంఖ్యలు a షరతును సంతృప్తిపరిచినప్పుడు< b и b < c , тогда a < c , и если a >b మరియు b > c , తర్వాత a > c .

సాక్ష్యం 1

మొదటి ప్రకటన నిరూపించవచ్చు. షరతు ఎ< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

ట్రాన్సిటివిటీ ప్రాపర్టీతో రెండవ భాగం ఇదే విధంగా నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణ 2

మేము అసమానతల ఉదాహరణను ఉపయోగించి విశ్లేషించబడిన ఆస్తిని పరిగణిస్తాము - 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 మరియు 1 8 > 1 32 1 2 > 1 32ని అనుసరిస్తుంది.

బలహీన అసమానత సంకేతాలను ఉపయోగించి వ్రాయబడిన సంఖ్యా అసమానతలు, రిఫ్లెక్సివిటీ యొక్క లక్షణాన్ని కలిగి ఉంటాయి, ఎందుకంటే a ≤ a మరియు a ≥ a సమానత్వం a = a. అవి అసమానత మరియు ట్రాన్సిటివిటీ ద్వారా వర్గీకరించబడతాయి.

నిర్వచనం 6

వారి రచనలో ≤ మరియు ≥ సంకేతాలను కలిగి ఉన్న అసమానతలు క్రింది లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి:

• రిఫ్లెక్సివిటీ a ≥ a మరియు a ≤ a నిజమైన అసమానతలుగా పరిగణించబడతాయి;
• యాంటిసిమెట్రీ, ఎప్పుడు a ≤ b, అప్పుడు b ≥ a, మరియు a ≥ b అయితే, b ≤ a.
• ట్రాన్సిటివిటీ, ఎప్పుడు a ≤ b మరియు b ≤ c, అప్పుడు a ≤ c, అలాగే, a ≥ b మరియు b ≥ c అయితే, అప్పుడు a ≥ c.

రుజువు ఇదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది.

సంఖ్యా అసమానతల ఇతర ముఖ్యమైన లక్షణాలు

అసమానతల యొక్క ప్రాథమిక లక్షణాలను భర్తీ చేయడానికి, ఆచరణాత్మక ప్రాముఖ్యత కలిగిన ఫలితాలు ఉపయోగించబడతాయి. అసమానతలను పరిష్కరించే సూత్రాలు ఆధారపడిన వ్యక్తీకరణల విలువలను అంచనా వేయడానికి పద్ధతి యొక్క సూత్రం ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ పేరా కఠినమైన అసమానత యొక్క ఒక సంకేతం కోసం అసమానతల లక్షణాలను వెల్లడిస్తుంది. నాన్-స్ట్రిక్ట్ వారికి కూడా అదే జరుగుతుంది. అసమానతను సూత్రీకరించడం ద్వారా ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• a > b అయితే, a + c > b + c;
• a ≤ b అయితే, a + c ≤ b + c;
• a ≥ b అయితే, a + c ≥ b + c.

అనుకూలమైన ప్రదర్శన కోసం, మేము సంబంధిత స్టేట్‌మెంట్‌ను ఇస్తాము, ఇది వ్రాసి సాక్ష్యం ఇవ్వబడింది, ఉపయోగం యొక్క ఉదాహరణలు చూపబడతాయి.

నిర్వచనం 7

రెండు వైపులా సంఖ్యను జోడించడం లేదా లెక్కించడం. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a మరియు b అసమానతకు అనుగుణంగా ఉన్నప్పుడు a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

సాక్ష్యం 2

దీనిని నిరూపించడానికి, సమీకరణం షరతును సంతృప్తి పరచాలి a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

ఉదాహరణ 3

ఉదాహరణకు, మనం అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 7 > 3ని 15కి పెంచితే, మనకు 7 + 15 > 3 + 15 వస్తుంది. ఇది 22 > 18కి సమానం.

నిర్వచనం 8

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణించబడినప్పుడు లేదా అదే సంఖ్య c ద్వారా విభజించబడినప్పుడు, మేము నిజమైన అసమానతను పొందుతాము. మీరు ప్రతికూల సంఖ్యను తీసుకుంటే, గుర్తు వ్యతిరేక సంఖ్యకు మారుతుంది. లేకపోతే ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది: a మరియు b కోసం అసమానత a ఉన్నప్పుడు కలిగి ఉంటుంది< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

సాక్ష్యం 3

కేసు c > 0 ఉన్నప్పుడు, అసమానత యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల మధ్య వ్యత్యాసాన్ని నిర్మించడం అవసరం. అప్పుడు మనకు a · c - b · c = (a - b) · c . పరిస్థితి నుండి a< b , то a − b < 0 , а c >0, అప్పుడు ఉత్పత్తి (a - b) c ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఇది a · c - b · c అని అనుసరిస్తుంది< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

నిరూపిస్తున్నప్పుడు, పూర్ణాంకం ద్వారా భాగహారం ఇవ్వబడిన దాని యొక్క విలోమం ద్వారా గుణించడం ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది, అంటే 1 సి. నిర్దిష్ట సంఖ్యలో ఉన్న ఆస్తి యొక్క ఉదాహరణను చూద్దాం.

ఉదాహరణ 4

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా 4 అనుమతించబడతాయి< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

ఇప్పుడు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే క్రింది రెండు ఫలితాలను రూపొందిద్దాం:

• పర్యవసానం 1. సంఖ్యా అసమానత యొక్క భాగాల సంకేతాలను మార్చినప్పుడు, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.< b , как − a >− బి . ఇది రెండు వైపులా - 1 ద్వారా గుణించే నియమాన్ని అనుసరిస్తుంది. ఇది పరివర్తనకు వర్తిస్తుంది. ఉదాహరణకు, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• పర్యవసానం 2. సంఖ్యా అసమానత యొక్క భాగాలను వ్యతిరేక సంఖ్యలతో భర్తీ చేసినప్పుడు, దాని గుర్తు కూడా మారుతుంది మరియు అసమానత నిజం. దీని నుండి మనకు a మరియు b ధనాత్మక సంఖ్యలు, a< b , 1 a >1 బి .

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా విభజించినప్పుడు a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 మనకు 15 ఉంది< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 బి తప్పు కావచ్చు.

ఉదాహరణ 5

ఉదాహరణకు, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ఒక సరికాని సమీకరణం.

అసమానత యొక్క భాగాలపై చర్యలు అవుట్‌పుట్ వద్ద సరైన అసమానతను ఇస్తాయి అనే వాస్తవం ద్వారా అన్ని పాయింట్లు ఏకం చేయబడ్డాయి. ప్రారంభంలో అనేక సంఖ్యా అసమానతలు ఉన్న లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం మరియు దాని భాగాలను జోడించడం లేదా గుణించడం ద్వారా దాని ఫలితం పొందబడుతుంది.

నిర్వచనం 9

సంఖ్యలు a, b, c, d అసమానతలకు చెల్లుబాటు అయినప్పుడు a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

రుజువు 4

(a + c) − (b + d) ప్రతికూల సంఖ్య అని నిరూపిద్దాం, అప్పుడు మనకు a + c వస్తుంది< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

మూడు, నాలుగు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యాపరమైన అసమానతలను పదం వారీగా చేర్చడానికి ఆస్తి ఉపయోగించబడుతుంది. సంఖ్యలు a 1 , a 2 , ... , a n మరియు b 1 , b 2 , ... , b n అసమానతలను సంతృప్తి పరుస్తాయి a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

ఉదాహరణ 6

ఉదాహరణకు, ఒకే గుర్తు − 5 యొక్క మూడు సంఖ్యా అసమానతలు ఇవ్వబడ్డాయి< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

నిర్వచనం 10

రెండు వైపుల టర్మ్‌వైజ్ గుణకారం సానుకూల సంఖ్యకు దారి తీస్తుంది. ఎప్పుడు ఎ< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

సాక్ష్యం 5

దీన్ని నిరూపించడానికి, మనకు అసమానత యొక్క రెండు వైపులా అవసరం a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

అసమానత యొక్క రెండు వైపులా గుణించబడే సంఖ్యల సంఖ్యకు ఈ లక్షణం చెల్లుబాటు అయ్యేదిగా పరిగణించబడుతుంది. అప్పుడు a 1 , a 2 , ... , a nమరియు బి 1, బి 2, ..., బి ఎన్సానుకూల సంఖ్యలు, ఇక్కడ a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

అసమానతలను వ్రాసేటప్పుడు నాన్-పాజిటివ్ సంఖ్యలు ఉన్నాయని గమనించండి, అప్పుడు వాటి పదం వారీగా గుణించడం సరికాని అసమానతలకు దారి తీస్తుంది.

ఉదాహరణ 7

ఉదాహరణకు, అసమానత 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

పర్యవసానం: అసమానతల టర్మ్‌వైజ్ గుణకారం a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

సంఖ్యా అసమానతల లక్షణాలు

సంఖ్యా అసమానతల యొక్క క్రింది లక్షణాలను పరిశీలిద్దాం.

1. a< a , a >a - సరికాని అసమానతలు,
   a ≤ a, a ≥ a నిజమైన అసమానతలు.
2. ఒకవేళ ఎ< b , то b >a - యాంటిసిమెట్రీ.
3. ఒకవేళ ఎ< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. ఒకవేళ ఎ< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. ఒకవేళ ఎ< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   ఒకవేళ ఎ< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

పరిణామం 1: ఒక ఉంటే< b , то - a >-బి.

పరిణామం 2: a మరియు b ధనాత్మక సంఖ్యలు అయితే మరియు a< b , то 1 a >1 బి .

1. ఒక 1 అయితే< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. ఒక 1 , a 2 , అయితే . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n సానుకూల సంఖ్యలు మరియు a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

పరిణామం 1: ఉంటే a< b , a మరియు బి ధనాత్మక సంఖ్యలు, తర్వాత n< b n .

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

అసమానతల యొక్క ప్రధాన రకాలు బెర్నౌలీ, కౌచీ - బున్యాకోవ్స్కీ, మింకోవ్స్కీ, చెబిషెవ్ అసమానతలతో సహా ప్రదర్శించబడ్డాయి. అసమానతల లక్షణాలు మరియు వాటిపై చర్యలు పరిగణించబడతాయి. అసమానతలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక పద్ధతులు ఇవ్వబడ్డాయి.

ప్రాథమిక అసమానతలకు సూత్రాలు

సార్వత్రిక అసమానతలకు సూత్రాలు

సార్వత్రిక అసమానతలు వాటిలో చేర్చబడిన పరిమాణాల యొక్క ఏదైనా విలువలకు సంతృప్తి చెందుతాయి. సార్వత్రిక అసమానతల యొక్క ప్రధాన రకాలు క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి.

1) | a b | ≤ |a| + |బి| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |బి| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |బి| |

3)
a 1 = a 2 = ... = a n అయినప్పుడు మాత్రమే సమానత్వం ఏర్పడుతుంది.

4) కౌచీ-బున్యాకోవ్స్కీ అసమానత

అన్ని k = 1, 2, ..., n మరియు కొన్ని α, β, |α|కి α a k = β b k అయితే మరియు మాత్రమే సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది. + |β| > 0.

5) మింకోవ్స్కీ యొక్క అసమానత, p ≥ 1 కోసం

సంతృప్తికరమైన అసమానతల సూత్రాలు

వాటిలో చేర్చబడిన పరిమాణాల యొక్క నిర్దిష్ట విలువలకు సంతృప్తికరమైన అసమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి.

1) బెర్నౌలీ అసమానత:
.
సాధారణంగా:
,
ఇక్కడ , ఒకే గుర్తు యొక్క సంఖ్యలు మరియు అంతకంటే ఎక్కువ -1 : .
బెర్నౌలీ లెమ్మా:
.
"అసమానతలకు రుజువులు మరియు బెర్నౌలీ లెమ్మా" చూడండి.

2)
a i ≥ 0 కోసం (i = 1, 2, ..., n) .

3) చెబిషెవ్ యొక్క అసమానత
వద్ద 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n మరియు 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
వద్ద 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n మరియు b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) సాధారణీకరించిన చెబిషెవ్ అసమానతలు
వద్ద 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n మరియు 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n మరియు k సహజ
.
వద్ద 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n మరియు b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

అసమానతల లక్షణాలు

అసమానతల లక్షణాలు వాటిని మార్చేటప్పుడు సంతృప్తి చెందే నియమాల సమితి. అసమానతల లక్షణాలు క్రింద ఉన్నాయి. కొంత ముందుగా నిర్ణయించిన విరామానికి చెందిన x i (i = 1, 2, 3, 4) విలువలకు అసలు అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయని అర్థం.

1) భుజాల క్రమం మారినప్పుడు, అసమానత గుర్తు వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
x 1 అయితే< x 2 , то x 2 >x 1 .
x 1 ≤ x 2 అయితే, x 2 ≥ x 1.
x 1 ≥ x 2 అయితే, x 2 ≤ x 1.
x 1 > x 2 అయితే x 2< x 1 .

2) ఒక సమానత్వం అనేది విభిన్న సంకేతాల యొక్క రెండు కఠినమైన అసమానతలకు సమానం.
x 1 = x 2 అయితే, x 1 ≤ x 2 మరియు x 1 ≥ x 2.
x 1 ≤ x 2 మరియు x 1 ≥ x 2 అయితే, x 1 = x 2.

3) ట్రాన్సిటివిటీ ప్రాపర్టీ
x 1 అయితే< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 అయితే< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 ≤ x 2 మరియు x 2 అయితే< x 3 , то x 1 < x 3 .
x 1 ≤ x 2 మరియు x 2 ≤ x 3 అయితే, x 1 ≤ x 3.

4) అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ఒకే సంఖ్యను జోడించవచ్చు (వ్యవకలనం చేయవచ్చు).
x 1 అయితే< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
x 1 ≤ x 2 అయితే, x 1 + A ≤ x 2 + A.
x 1 ≥ x 2 అయితే, x 1 + A ≥ x 2 + A.
x 1 > x 2 అయితే, x 1 + A > x 2 + A.

5) ఒకే దిశ యొక్క గుర్తుతో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అసమానతలు ఉంటే, అప్పుడు వారి ఎడమ మరియు కుడి వైపులా జోడించవచ్చు.
x 1 అయితే< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 అయితే< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 ≤ x 2 , x 3 అయితే< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4 అయితే, x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
≥, > సంకేతాలకు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణలు వర్తిస్తాయి.
అసలైన అసమానతలు కఠినమైన అసమానతల సంకేతాలను మరియు కనీసం ఒక కఠినమైన అసమానతను కలిగి ఉంటే (కానీ అన్ని సంకేతాలు ఒకే దిశను కలిగి ఉంటాయి), అప్పుడు అదనంగా ఖచ్చితమైన అసమానత ఏర్పడుతుంది.

6) అసమానత యొక్క రెండు వైపులా సానుకూల సంఖ్యతో గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది).
x 1 అయితే< x 2 и A >0, ఆపై A x 1< A · x 2 .
x 1 ≤ x 2 మరియు A > 0 అయితే, A x 1 ≤ A x 2.
x 1 ≥ x 2 మరియు A > 0 అయితే, A x 1 ≥ A x 2.
x 1 > x 2 మరియు A > 0 అయితే, A · x 1 > A · x 2.

7) అసమానత యొక్క రెండు వైపులా ప్రతికూల సంఖ్యతో గుణించవచ్చు (భాగించబడుతుంది). ఈ సందర్భంలో, అసమానత యొక్క సంకేతం వ్యతిరేకతకు మారుతుంది.
x 1 అయితే< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >A x 2.
x 1 ≤ x 2 మరియు A అయితే< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
x 1 ≥ x 2 మరియు A అయితే< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
x 1 > x 2 మరియు A అయితే< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) సానుకూల పదాలతో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అసమానతలు ఉన్నట్లయితే, ఒకే దిశ యొక్క చిహ్నంతో, అప్పుడు వారి ఎడమ మరియు కుడి వైపులా ఒకదానికొకటి గుణించవచ్చు.
x 1 అయితే< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ఆపై x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 అయితే< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ఆపై x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 ≤ x 2 , x 3 అయితే< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ఆపై x 1 x 3< x 2 · x 4 .
x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0 అయితే x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
≥, > సంకేతాలకు ఇలాంటి వ్యక్తీకరణలు వర్తిస్తాయి.
అసలు అసమానతలు కఠినమైన అసమానతల సంకేతాలను మరియు కనీసం ఒక కఠినమైన అసమానతను కలిగి ఉంటే (కానీ అన్ని సంకేతాలు ఒకే దిశను కలిగి ఉంటాయి), అప్పుడు గుణకారం కఠినమైన అసమానతకు దారితీస్తుంది.

9) f(x) ఒక మోనోటోనికల్‌గా పెరుగుతున్న ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి. అంటే, ఏదైనా x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). అప్పుడు ఈ ఫంక్షన్ అసమానత యొక్క రెండు వైపులా వర్తించవచ్చు, ఇది అసమానత యొక్క చిహ్నాన్ని మార్చదు.
x 1 అయితే< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
x 1 ≤ x 2 అయితే f(x 1) ≤ f(x 2) .
x 1 ≥ x 2 అయితే f(x 1) ≥ f(x 2) .
x 1 > x 2 అయితే, f(x 1) > f(x 2).

10) f(x) అనేది మోనోటోనికల్‌గా తగ్గే ఫంక్షన్‌గా ఉండనివ్వండి, అంటే ఏదైనా x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
x 1 అయితే< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
x 1 ≤ x 2 అయితే f(x 1) ≥ f(x 2) .
x 1 ≥ x 2 అయితే f(x 1) ≤ f(x 2) .
x 1 > x 2 అయితే f(x 1)< f(x 2) .

అసమానతలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు

ఇంటర్వెల్ పద్ధతిని ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించడం

అసమానత ఒక వేరియబుల్‌ను కలిగి ఉంటే విరామ పద్ధతి వర్తిస్తుంది, దానిని మనం xగా సూచిస్తాము మరియు దానికి రూపం ఉంటుంది:
f(x) > 0
ఇక్కడ f(x) అనేది పరిమిత సంఖ్యలో నిలిపివేత పాయింట్లతో కూడిన నిరంతర ఫంక్షన్. అసమానత గుర్తు ఏదైనా కావచ్చు: >, ≥,<, ≤ .

ఇంటర్వెల్ పద్ధతి క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

1) ఫంక్షన్ f(x) యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొని, సంఖ్య అక్షంపై విరామాలతో దాన్ని గుర్తించండి.

2) f(x) ఫంక్షన్ యొక్క నిలిపివేత పాయింట్లను కనుగొనండి. ఉదాహరణకు, ఇది భిన్నం అయితే, హారం సున్నా అయ్యే పాయింట్లను మనం కనుగొంటాము. మేము ఈ పాయింట్లను సంఖ్య అక్షం మీద గుర్తు చేస్తాము.

3) సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి
f(x) = 0 .
మేము ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను సంఖ్య అక్షంపై గుర్తు చేస్తాము.

4) ఫలితంగా, సంఖ్య అక్షం పాయింట్ల ద్వారా విరామాలు (విభాగాలు)గా విభజించబడుతుంది. డెఫినిషన్ డొమైన్‌లో చేర్చబడిన ప్రతి విరామంలో, మేము ఏదైనా పాయింట్‌ని ఎంచుకుంటాము మరియు ఈ సమయంలో మేము ఫంక్షన్ విలువను గణిస్తాము. ఈ విలువ సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, అప్పుడు మేము సెగ్మెంట్ (విరామం) పైన “+” గుర్తును ఉంచుతాము. ఈ విలువ సున్నా కంటే తక్కువగా ఉంటే, మేము సెగ్మెంట్ (విరామం) పైన “-” గుర్తును ఉంచుతాము.

5) అసమానత ఫారమ్‌ను కలిగి ఉంటే: f(x) > 0, ఆపై “+” గుర్తుతో విరామాలను ఎంచుకోండి. అసమానతకు పరిష్కారం ఈ విరామాలను కలపడం, వాటి సరిహద్దులను కలిగి ఉండదు.
అసమానత రూపాన్ని కలిగి ఉంటే: f(x) ≥ 0, అప్పుడు మేము పరిష్కారానికి f(x) = 0 పాయింట్లను జోడిస్తాము. అంటే, కొన్ని విరామాలు మూసివేయబడిన సరిహద్దులను కలిగి ఉండవచ్చు (సరిహద్దు విరామానికి చెందినది). ఇతర భాగం బహిరంగ సరిహద్దులను కలిగి ఉండవచ్చు (సరిహద్దు విరామానికి చెందినది కాదు).
అదేవిధంగా, అసమానత రూపం కలిగి ఉంటే: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
అసమానత రూపాన్ని కలిగి ఉంటే: f(x) ≤ 0, అప్పుడు మేము పరిష్కారానికి f(x) = 0 పాయింట్లను జోడిస్తాము.

వారి లక్షణాలను ఉపయోగించి అసమానతలను పరిష్కరించడం

ఈ పద్ధతి ఏదైనా సంక్లిష్టత యొక్క అసమానతలకు వర్తిస్తుంది. అసమానతలను సరళమైన రూపానికి తగ్గించడానికి మరియు పరిష్కారాన్ని పొందేందుకు ఇది లక్షణాలను (పైన అందించబడింది) వర్తింపజేస్తుంది. ఇది కేవలం ఒకటి కాదు, అసమానతల వ్యవస్థకు దారితీసే అవకాశం ఉంది. ఇది సార్వత్రిక పద్ధతి. ఇది ఏదైనా అసమానతలకు వర్తిస్తుంది.

ప్రస్తావనలు:
ఐ.ఎన్. బ్రోన్‌స్టెయిన్, K.A. సెమెండ్యావ్, ఇంజనీర్లు మరియు కళాశాల విద్యార్థుల కోసం మ్యాథమెటిక్స్ హ్యాండ్‌బుక్, "లాన్", 2009.