హలో, ప్రియమైన మిత్రులారా! ఈ రోజు మనం పార్ట్ C నుండి పనిని పరిశీలిస్తాము. ఇది రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థ. సమీకరణాలు చాలా విచిత్రంగా ఉన్నాయి. ఇక్కడ సైన్ మరియు కొసైన్ ఉన్నాయి మరియు మూలాలు కూడా ఉన్నాయి. చతుర్భుజ మరియు సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించే సామర్థ్యం అవసరం. సమర్పించిన పనిలో వారు వివరణాత్మక పరిష్కారాలుప్రదర్శించబడలేదు, మీరు ఇప్పటికే దీన్ని చేయగలగాలి. అందించిన లింక్‌లను ఉపయోగించి, మీరు సంబంధిత సిద్ధాంతం మరియు ఆచరణాత్మక పనులను వీక్షించవచ్చు.

లో ప్రధాన కష్టం ఇలాంటి ఉదాహరణలుకనుగొనబడిన నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌తో పొందిన పరిష్కారాలను సరిపోల్చడం అవసరం; ఇక్కడ అజాగ్రత్త కారణంగా సులభంగా పొరపాటు చేయవచ్చు.

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఎల్లప్పుడూ x మరియు y సంఖ్యల జత(లు)గా ఉంటుంది, ఇది (x;y)గా వ్రాయబడుతుంది.సమాధానం అందుకున్న తర్వాత తప్పకుండా తనిఖీ చేయండి.మీకు మూడు మార్గాలు అందించబడ్డాయి, కాదు, మార్గాలు కాదు, కానీ మీరు తీసుకోగల మూడు మార్గాలు ఉన్నాయి. వ్యక్తిగతంగా, మూడవది నాకు అత్యంత సన్నిహితమైనది. ప్రారంభిద్దాం:

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి:

మొదటి మార్గం!

సమీకరణం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు ప్రతికూల అర్థం లేదని తెలుసు:

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

1. ఇది x = 2 వద్ద లేదా x = 4 వద్ద సున్నాకి సమానం, కానీ 4 రేడియన్‌లు వ్యక్తీకరణ (3) నిర్వచనానికి చెందవు.

* 4 రేడియన్ల కోణం (229.188 0) మూడవ త్రైమాసికంలో ఉంటుంది, దీనిలో సైన్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. అందుకే

x = 2 అనే రూట్ మాత్రమే మిగిలి ఉంది.

x = 2 కోసం రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

x యొక్క ఈ విలువ వద్ద, వ్యక్తీకరణ 2 – y – y 2 తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి, ఎందుకంటే

2 – y – y 2ని పరిష్కరిద్దాం = 0, మనకు y = – 2 లేదా y = 1 వస్తుంది.

y = – 2 కోసం cos y యొక్క మూలానికి పరిష్కారం లేదని గమనించండి.

*–2 రేడియన్‌ల కోణం (– 114.549 0) మూడవ త్రైమాసికంలో ఉంటుంది మరియు దానిలో కొసైన్ విలువ ప్రతికూలంగా ఉంటుంది.

కాబట్టి, y = 1 మాత్రమే మిగిలి ఉంది.

అందువలన, సిస్టమ్కు పరిష్కారం జత (2;1) అవుతుంది.

2. మొదటి సమీకరణం cos y = 0 వద్ద సున్నాకి సమానం, అంటే వద్ద

కానీ నిర్వచనం (2) యొక్క కనుగొనబడిన డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పొందుతాము:

ఈ y కోసం రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి.

y = – Pi/2తో 2 – y – y 2 అనే వ్యక్తీకరణ సున్నాకి సమానం కాదు, అంటే దానికి పరిష్కారం కావాలంటే కింది షరతు తప్పక పాటించాలి:

మేము నిర్ణయిస్తాము:

నిర్వచనం (1) యొక్క కనుగొనబడిన డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము దానిని పొందుతాము

అందువలన, సిస్టమ్కు పరిష్కారం మరొక జత:

రెండవ మార్గం!

వ్యక్తీకరణ కోసం నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి:

మూలం కింద ఉన్న వ్యక్తీకరణకు ప్రతికూల అర్థం లేదని తెలిసింది.
అసమానత 6x – x 2 + 8 ≥ 0ని పరిష్కరిస్తే, మనకు 2 ≤ x ≤ 4 (2 మరియు 4 రేడియన్‌లు) లభిస్తాయి.

కేసు 1ని పరిగణించండి:

x = 2 లేదా x = 4 లెట్.

x = 4 అయితే, పాపం x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

ఆ పాపం x ≠ 0ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, ఈ సందర్భంలో సిస్టమ్ 2 - y - y 2 = 0 యొక్క రెండవ సమీకరణంలో ఇది మారుతుంది.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే y = – 2 లేదా y = 1 అని మనం కనుగొంటాము.

పొందిన విలువలను విశ్లేషిస్తే, x = 4 మరియు y = – 2 మూలాలు కాదని చెప్పవచ్చు, ఎందుకంటే మనకు sin x వస్తుంది.< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌లో x = 2 మరియు y = 1 చేర్చబడిందని చూడవచ్చు.

అందువలన, పరిష్కారం జత (2;1).

కేసు 2ని పరిశీలిద్దాం:

ఇప్పుడు లెట్ 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. దీని ఆధారంగా, మొదటి సమీకరణంలో cos y ఉండాలి అని మనం నిర్ధారించవచ్చు సున్నాకి సమానం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తే, మనకు లభిస్తుంది:

రెండవ సమీకరణంలో, వ్యక్తీకరణ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనేటప్పుడు:

మాకు దొరికింది:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

cos y = 0 సమీకరణానికి సంబంధించిన అన్ని పరిష్కారాలలో, ఈ పరిస్థితి దీని ద్వారా మాత్రమే సంతృప్తి చెందుతుంది:

వద్ద ఇచ్చిన విలువ y, వ్యక్తీకరణ 2 – y – y 2 ≠ 0. కాబట్టి, రెండవ సమీకరణంలో sin x సున్నాకి సమానంగా ఉంటుంది, మనం పొందుతాము:

ఈ సమీకరణానికి అన్ని పరిష్కారాలలో, విరామం 2< х < 4 принадлежит только

సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం మరొక జంటగా ఉంటుందని దీని అర్థం:

* సిస్టమ్‌లోని అన్ని వ్యక్తీకరణల కోసం మేము ఒకేసారి నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనలేదు; మేము మొదటి సమీకరణం (2 సందర్భాలు) నుండి వ్యక్తీకరణను చూశాము, ఆపై మార్గంలో మేము కనుగొన్న పరిష్కారాల అనురూప్యాన్ని నిర్ణయించాము. స్థాపించబడిన ప్రాంతంనిర్వచనాలు. నా అభిప్రాయం ప్రకారం, ఇది చాలా సౌకర్యవంతంగా లేదు, ఇది ఏదో ఒకవిధంగా గందరగోళంగా మారుతుంది.

మూడవ మార్గం!

ఇది మొదటిదానితో సమానంగా ఉంటుంది, కానీ తేడాలు ఉన్నాయి. అలాగే, వ్యక్తీకరణల కోసం నిర్వచన ప్రాంతం మొదట కనుగొనబడింది. అప్పుడు మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలు విడిగా పరిష్కరించబడతాయి, ఆపై వ్యవస్థకు పరిష్కారం కనుగొనబడుతుంది.

నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనండి. రాడికల్ వ్యక్తీకరణకు ప్రతికూల అర్థం లేదని తెలుసు:

అసమానత 6x – x 2 + 8 ≥ 0ని పరిష్కరించడం ద్వారా మనకు 2 ≤ x ≤ 4 (1) వస్తుంది.

2 మరియు 4 విలువలు రేడియన్లు, 1 రేడియన్ మనకు తెలిసినట్లుగా ≈ 57.297 0

డిగ్రీలలో మనం సుమారుగా 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 అని వ్రాయవచ్చు.

అసమానతను పరిష్కరించడం 2 – y – y 2 ≥ 0 మనకు లభిస్తుంది – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

డిగ్రీలలో మనం వ్రాయవచ్చు – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

నిర్ణయించడం అసమానత పాపం x ≥ 0 మేము దానిని పొందుతాము

అసమానత y ≥ 0ని పరిష్కరించడం ద్వారా మనం దానిని పొందుతాము

కారకాల్లో ఒకటి సున్నాకి సమానమైనప్పుడు ఉత్పత్తి సున్నాకి సమానం అని తెలుసు (మరియు ఇతరులు వాటి అర్థాన్ని కోల్పోరు).

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

అర్థం

cos y = 0కి పరిష్కారం:

పరిష్కారం 6x – x 2 + 8 = 0 x = 2 మరియు x = 4.

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి:

అర్థం

sin x = 0కి పరిష్కారం:

సమీకరణం 2 – y – y 2 = 0కి పరిష్కారం y = – 2 లేదా y = 1.

ఇప్పుడు, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుని, విశ్లేషిద్దాం

పొందిన విలువలు:

114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 నుండి, ఆపై ఈ విభాగంసమీకరణానికి ఒకే ఒక పరిష్కారం ఉంది sin x = 0, ఇది x = Pi.

నుండి – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0, అప్పుడు ఈ సెగ్మెంట్ సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది cos y = 0, ఇది

x = 2 మరియు x = 4 మూలాలను పరిగణించండి.

నిజమే!

అందువలన, సిస్టమ్కు పరిష్కారం రెండు జతల సంఖ్యలుగా ఉంటుంది:

*ఇక్కడ, డెఫినిషన్ యొక్క కనుగొనబడిన డొమైన్‌ను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము దానికి చెందని అన్ని పొందిన విలువలను మినహాయించాము మరియు ఆపై సాధ్యమయ్యే జతల కోసం అన్ని ఎంపికల ద్వారా వెళ్ళాము. తరువాత వాటిలో సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం ఏది అని మేము తనిఖీ చేసాము.

సమీకరణాలు, అసమానతలు మరియు వాటి వ్యవస్థలను పరిష్కరించే ప్రారంభంలోనే నేను వెంటనే సిఫార్సు చేస్తున్నాను, మూలాలు, సంవర్గమానాలు, త్రికోణమితి విధులు ఉంటే, నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను ఖచ్చితంగా కనుగొనండి. వాస్తవానికి, తక్షణమే పరిష్కరించడం సులభం మరియు పరిష్కారాన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం అయిన ఉదాహరణలు ఉన్నాయి, కానీ ఇవి సాపేక్షమైన మైనారిటీ.

అంతే. శుభస్య శీగ్రం!

త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థల పరిష్కారం సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాల పరిష్కారంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రాథమిక సూత్రాలను గుర్తుచేసుకుందాం.

రూపం sin(x) = a యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

ఎప్పుడు |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 కోసం పరిష్కారాలు లేవు.

రూపం cos(x) = a యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

ఎప్పుడు |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 కోసం పరిష్కారాలు లేవు.

tg(x) = a రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

x = ఆర్క్టాన్(a) + π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

cotg(x) = a రూపం యొక్క సమీకరణాలను పరిష్కరించడం.

x = arcctg(a)+ π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

కొన్ని సాధారణ సందర్భాలు:

పాపం(x) =1; x = π/2 +2* π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

sin(x) = 0; x = π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

sin(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, ఇక్కడ k అనేది Zకి చెందినది.

కొన్ని ఉదాహరణలను చూద్దాం:

ఉదాహరణ 1. త్రికోణమితి సమీకరణం 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0ని పరిష్కరించండి.

ఈ రకమైన సమీకరణాలు వేరియబుల్‌ని మార్చడం ద్వారా వర్గ సమీకరణానికి తగ్గించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.

y = sin(x) అని అనుకుందాం. అప్పుడు మనకు లభిస్తుంది,

2*y^2 + y - 1 = 0.

మేము తెలిసిన పద్ధతుల్లో ఒకదానిని ఉపయోగించి ఫలితంగా వచ్చే uvadratic సమీకరణాన్ని పరిష్కరిస్తాము.

y1 = 1/2, y2 = -1.

పర్యవసానంగా, పైన సూచించిన సూత్రాలను ఉపయోగించి పరిష్కరించగల రెండు సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాలను మేము పొందుతాము.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, దేనికైనా మొత్తం k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, ఇక్కడ n Zకి చెందినది.

ఉదాహరణ 2. 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి, మేము (sin(x))^2ని 1 - (cos(x))^2తో భర్తీ చేస్తాము

మేము cos(x) కోసం చతుర్భుజ సమీకరణాన్ని పొందుతాము:

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

మేము y=cos(x) భర్తీని పరిచయం చేస్తాము.

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

మేము ఫలిత వర్గ సమీకరణాన్ని y1 = -1/2, y2 = 1(1/3) పరిష్కరిస్తాము.

y = cos(x), మరియు కొసైన్ ఉండకూడదు కాబట్టి ఒకటి కంటే ఎక్కువ, మేము ఒక సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, ఏదైనా పూర్ణాంకం k కోసం.

ఉదాహరణ 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

y = tan(x) వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం. అప్పుడు 1/y = cot(x). మాకు దొరికింది

y కాదుతో గుణించండి సున్నాకి సమానం, మేము ఒక వర్గ సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

దాన్ని పరిష్కరిద్దాం:

tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k, ఏదైనా పూర్ణాంకం k కోసం.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, ఏదైనా పూర్ణాంకం k కోసం.

ఉదాహరణ 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

ఈ సమీకరణాన్ని (cos(x))^2 లేదా (sin(x))^2 ద్వారా విభజించడం ద్వారా వర్గానికి తగ్గించవచ్చు. (cos(x)^2 ద్వారా విభజించినప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, ఏదైనా పూర్ణాంకం n కోసం

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, ఏదైనా పూర్ణాంకం k కోసం.

ఉదాహరణ 4. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి

(పాపం(x) = 2*పాపం(y)

బీ-బ్రెడ్ సమీకరణం నుండి మనం yని వ్యక్తపరుస్తాము,

అప్పుడు మనం పొందుతాము, 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5* pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

పాఠాలు 54-55. త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థలు (ఐచ్ఛికం)

09.07.2015 9098 895

లక్ష్యం: అత్యంత పరిగణించండి సాధారణ వ్యవస్థలుత్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు.

I. పాఠాల అంశం మరియు ఉద్దేశ్యాన్ని తెలియజేయడం

II. కవర్ చేయబడిన పదార్థం యొక్క పునరావృతం మరియు ఏకీకరణ

1. గురించిన ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇంటి పని(పరిష్కారం కాని సమస్యల విశ్లేషణ).

2. పదార్థం యొక్క సమీకరణను పర్యవేక్షించడం (స్వతంత్ర పని).

ఎంపిక 1

అసమానతలను పరిష్కరించండి:

ఎంపిక 2

అసమానతలను పరిష్కరించండి:

III. కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం

పరీక్షలలో, త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థలు త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతల కంటే చాలా తక్కువగా ఉంటాయి. త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థల యొక్క స్పష్టమైన వర్గీకరణ లేదు. అందువల్ల, మేము వాటిని షరతులతో సమూహాలుగా విభజిస్తాము మరియు ఈ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మార్గాలను పరిశీలిస్తాము.

1. సమీకరణాల యొక్క సరళమైన వ్యవస్థలు

వీటిలో సమీకరణాలలో ఒకటి సరళంగా ఉండే వ్యవస్థలు లేదా వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలు ఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా పరిష్కరించబడతాయి.

ఉదాహరణ 1

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

మొదటి సమీకరణం సరళంగా ఉన్నందున, మేము దాని నుండి వేరియబుల్‌ను వ్యక్తపరుస్తాముమరియు రెండవ సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం:మేము తగ్గింపు సూత్రాన్ని మరియు ప్రధాన త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగిస్తాము. మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాములేదా కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం t = పాపము u. మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం 3 ఉంది t 2 - 7 టి + 2 = 0, దీని మూలాలు t 1 = 1/3 మరియు t 2 = 2 (తగదు ఎందుకంటేపాపం y ≤ 1). పాత తెలియని స్థితికి తిరిగి వచ్చి సమీకరణాన్ని పొందండిపాపం = 1/3, దీని పరిష్కారంఇప్పుడు తెలియని వాటిని కనుగొనడం సులభం:కాబట్టి, సమీకరణాల వ్యవస్థ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుందిఇక్కడ n ∈ Z.

ఉదాహరణ 2

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలు స్వతంత్రంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మనం ప్రతి సమీకరణానికి పరిష్కారాలను వ్రాయవచ్చు. మాకు దొరికింది:మేము ఈ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను పదం వారీగా జోడిస్తాము మరియు తీసివేస్తాము మరియు కనుగొనండి:ఎక్కడ

దయచేసి గమనించండి, సమీకరణాల స్వతంత్రత కారణంగా, x - y మరియు x + y లను కనుగొనేటప్పుడు, వేర్వేరు పూర్ణాంకాలు తప్పనిసరిగా పేర్కొనబడాలి n మరియు k. కే బదులుగా ఉంటే కూడా సరఫరా చేయబడింది n , అప్పుడు పరిష్కారాలు ఇలా కనిపిస్తాయి:ఈ సందర్భంలో, అనంతమైన పరిష్కారాలు పోతాయి మరియు అదనంగా, వేరియబుల్స్ మధ్య కనెక్షన్ ఏర్పడుతుంది x మరియు y: x = 3y (వాస్తవానికి ఇది కాదు). ఉదాహరణకు, దాన్ని తనిఖీ చేయడం సులభం ఈ వ్యవస్థ x = 5π మరియు y = n (పొందబడిన సూత్రాలకు అనుగుణంగా) ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇది ఎప్పుడు k = n కనుగొనడం అసాధ్యం. కాబట్టి జాగ్రత్తగా ఉండండి.

2. రకం వ్యవస్థలు

సమీకరణాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ద్వారా ఇటువంటి వ్యవస్థలు సరళమైనవిగా తగ్గించబడతాయి. ఈ సందర్భంలో మేము వ్యవస్థలను పొందుతాములేదా స్పష్టమైన పరిమితిని గమనించండి:మరియు అటువంటి వ్యవస్థల పరిష్కారం ఎటువంటి ఇబ్బందులను అందించదు.

ఉదాహరణ 3

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

మొదట సమానత్వాన్ని ఉపయోగించి సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని మారుద్దాంమాకు దొరికింది: ఈ భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో మొదటి సమీకరణాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:మరియు ఎక్స్ప్రెస్ ఇప్పుడు మనకు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఉందిఈ సమీకరణాలను జోడించి తీసివేద్దాం. మాకు ఉన్నాయి: లేదాఈ సరళమైన వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను వ్రాస్దాం:వీటిని కలపడం మరియు తీసివేయడం సరళ సమీకరణాలు, మేము కనుగొన్నాము:

3. రకం వ్యవస్థలు

ఇటువంటి వ్యవస్థలు సరళమైనవిగా పరిగణించబడతాయి మరియు తదనుగుణంగా పరిష్కరించబడతాయి. అయితే, దాన్ని పరిష్కరించడానికి మరొక మార్గం ఉంది: త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని ఉత్పత్తిగా మార్చండి మరియు మిగిలిన సమీకరణాన్ని ఉపయోగించండి.

ఉదాహరణ 4

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

మొదట, మేము కోణాల సైన్స్ మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మొదటి సమీకరణాన్ని మారుస్తాము. మాకు దొరికింది:రెండవ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:ఎక్కడ ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలను వ్రాద్దాం:ఈ వ్యవస్థ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాముఈ వ్యవస్థ నుండి మనం కనుగొంటాము అటువంటి పరిష్కారాలను మరింత వ్రాయడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది హేతుబద్ధమైన రూపం. ఎగువ సంకేతాల కోసం మేము కలిగి ఉన్నాము:తక్కువ సంకేతాల కోసం -

4. రకం వ్యవస్థలు

అన్నింటిలో మొదటిది, తెలియని ఒకదానిని మాత్రమే కలిగి ఉన్న సమీకరణాన్ని పొందడం అవసరం. దీన్ని చేయడానికి, ఉదాహరణకు, ఒక సమీకరణం నుండి వ్యక్తపరుస్తాము sin y, మరొకరి నుండి - cos u. ఈ నిష్పత్తులను వర్గీకరిద్దాం మరియు వాటిని జతచేద్దాం. అప్పుడు మనకు తెలియని x ఉన్న త్రికోణమితి సమీకరణం వస్తుంది. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం. అప్పుడు, ఈ సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణాన్ని ఉపయోగించి, తెలియని yని కనుగొనడానికి మేము ఒక సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

ఉదాహరణ 5

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

వ్యవస్థను రూపంలో వ్రాస్దాంసిస్టమ్ యొక్క ప్రతి సమీకరణాన్ని వర్గీకరిద్దాం మరియు పొందండి:ఈ వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను జత చేద్దాం:లేదా ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపును ఉపయోగించి, మేము సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్తాములేదా ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు cos x = 1/2 (అప్పుడు ) మరియు cos x = 1/4 (ఎక్కడ నుండి ), ఇక్కడ n, k ∈ Z . తెలియని వారి మధ్య ఉన్న సంబంధాన్ని పరిశీలిస్తే cos y = 1 – 3 cos x, మనకు లభిస్తుంది: cos x = 1/2 cos y = -1/2; cos x = 1/4 cos y కోసం = 1/4. సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, స్క్వేర్ చేయడం జరిగిందని మరియు ఈ ఆపరేషన్ అదనపు మూలాల రూపానికి దారితీస్తుందని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, ఈ వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం అవసరం, దాని నుండి పరిమాణాలుపాపం x మరియు పాపం y తప్పనిసరిగా అదే గుర్తును కలిగి ఉండాలి.

దీన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థకు పరిష్కారాలను పొందుతాముమరియు ఇక్కడ n, m, k, l ∈ Z . ఈ సందర్భంలో, తెలియని x మరియు y కోసం, ఎగువ లేదా దిగువ సంకేతాలు ఏకకాలంలో ఎంపిక చేయబడతాయి.

ఒక ప్రత్యేక సందర్భంలోత్రికోణమితి ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని (లేదా వ్యత్యాసాన్ని) ఉత్పత్తిగా మార్చడం ద్వారా మరియు సమీకరణాల పదాన్ని పదం ద్వారా విభజించడం ద్వారా వ్యవస్థను పరిష్కరించవచ్చు.

ఉదాహరణ 6

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

ప్రతి సమీకరణంలో, మేము ఫంక్షన్ల మొత్తాన్ని మరియు వ్యత్యాసాన్ని ఉత్పత్తిగా మారుస్తాము మరియు ప్రతి సమీకరణాన్ని 2 ద్వారా భాగిస్తాము.సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపున ఉన్న ఒక్క అంశం కూడా సున్నాకి సమానం కానందున, మేము సమీకరణాల పదాన్ని పదం ద్వారా విభజిస్తాము (ఉదాహరణకు, రెండవది మొదటిది). మాకు దొరికింది:ఎక్కడ కనుగొన్న విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాంఉదాహరణకు, మొదటి సమీకరణంలో:దానిని పరిగణలోకి తీసుకుందాం అప్పుడు ఎక్కడ

మేము సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందాముఈ వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ద్వారా, మేము కనుగొంటాముమరియు ఇక్కడ n, k ∈ Z.

5. తెలియని వాటిని భర్తీ చేయడం ద్వారా వ్యవస్థలు పరిష్కరించబడతాయి

సిస్టమ్ కేవలం రెండు త్రికోణమితి ఫంక్షన్లను కలిగి ఉంటే లేదా ఈ ఫారమ్‌కు తగ్గించగలిగితే, అప్పుడు తెలియని వాటి భర్తీని ఉపయోగించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది.

ఉదాహరణ 7

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

ఈ సిస్టమ్ రెండు త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను మాత్రమే కలిగి ఉన్నందున, మేము కొత్త వేరియబుల్స్ a =ని పరిచయం చేస్తాముటాన్ x మరియు బి = పాపం u. మేము బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాముమొదటి సమీకరణం నుండి మనం a = వ్యక్తీకరిస్తాముబి + 3 మరియు రెండవదానికి ప్రత్యామ్నాయం:లేదా ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు b 1 = 1 మరియు b 2 = -4. సంబంధిత విలువలు a1 = 4 మరియు a2 = -1. పాత తెలియని విషయాలకు తిరిగి వెళ్దాం. మేము సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాల యొక్క రెండు వ్యవస్థలను పొందుతాము:

ఎ) ఆమె నిర్ణయం ఇక్కడ n, k ∈ Z.

బి) పరిష్కారాలు లేవు, ఎందుకంటేపాపం y ≥ -1.

ఉదాహరణ 8

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని రూపాంతరం చేద్దాం, తద్వారా అది విధులను మాత్రమే కలిగి ఉంటుంది sin x మరియు cos u. దీన్ని చేయడానికి, మేము తగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగిస్తాము. మాకు దొరికింది:(ఎక్కడ ) మరియు (అప్పుడు ) సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణం రూపాన్ని కలిగి ఉంది:లేదా మేము త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందాముకొత్త వేరియబుల్స్‌ని పరిచయం చేద్దాం a = sin x మరియు b = cos u. మనకు సమీకరణాల సమరూప వ్యవస్థ ఉంది మాత్రమే నిర్ణయంఏది a = బి = 1/2. పాత తెలియని విషయాలకు తిరిగి వెళ్దాం మరియు పొందండి సరళమైన వ్యవస్థత్రికోణమితి సమీకరణాలుదీని పరిష్కారం ఇక్కడ n, k ∈ Z.

6. సమీకరణాల లక్షణాలు ముఖ్యమైన వ్యవస్థలు

దాదాపు ఏదైనా సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించేటప్పుడు, దానిలోని ఒకటి లేదా మరొకటి ఉపయోగించబడుతుంది. ముఖ్యంగా, అత్యంత ఒకటి సాధారణ పద్ధతులువ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారాలు ఒకే విధమైన పరివర్తనలు, ఇవి తెలియని ఒక సమీకరణాన్ని మాత్రమే పొందడం సాధ్యం చేస్తాయి. పరివర్తనల ఎంపిక, వాస్తవానికి, సిస్టమ్ సమీకరణాల ప్రత్యేకతల ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది.

ఉదాహరణ 9

వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

సమీకరణాల యొక్క ఎడమ వైపుకు శ్రద్ధ చూపుదాం, ఉదాహరణకుతగ్గింపు సూత్రాలను ఉపయోగించి, మేము దానిని ఆర్గ్యుమెంట్ π/4 + xతో ఫంక్షన్‌గా చేస్తాము. మాకు దొరికింది:అప్పుడు సమీకరణాల వ్యవస్థ ఇలా కనిపిస్తుంది:వేరియబుల్ xని తొలగించడానికి, మేము సమీకరణాల పదాన్ని పదం ద్వారా గుణించి, పొందండి:లేదా 1 = పాపం 3 2у, ఎక్కడ నుండి పాపం 2у = 1. మేము కనుగొంటాము మరియు సరి మరియు బేసి విలువల కేసులను విడిగా పరిగణించడం సౌకర్యంగా ఉంటుంది n. సరి n కోసం (n = 2 k, ఇక్కడ k ∈ Z) ఈ వ్యవస్థ యొక్క మొదటి సమీకరణం నుండి మనం పొందుతాము:ఇక్కడ m ∈ Z. బేసి కోసం అప్పుడు మొదటి సమీకరణం నుండి మనకు:కాబట్టి, ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి

సమీకరణాల విషయంలో వలె, చాలా తరచుగా సమీకరణాల వ్యవస్థలు ఉన్నాయి, వీటిలో సైన్ మరియు కొసైన్ ఫంక్షన్ల పరిమిత స్వభావం ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తుంది.

ఉదాహరణ 10

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరిద్దాం

అన్నింటిలో మొదటిది, మేము సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని మారుస్తాము:లేదా లేదా లేదా లేదా సైన్ ఫంక్షన్ యొక్క పరిమిత స్వభావాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము దానిని చూస్తాము ఎడమ వైపుసమీకరణం 2 కంటే తక్కువ కాదు, మరియు కుడి వైపు 2 కంటే ఎక్కువ కాదు. కాబట్టి, అటువంటి సమీకరణం షరతులకు సమానం sin 2 2x = 1 మరియు sin 2 y = 1.

మేము సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్తాము sin 2 y = 1 - cos 2 z లేదా sin 2 y = sin 2 z, ఆపై sin 2 z = 1. మేము సాధారణ త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందాముడిగ్రీని తగ్గించడానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, మేము వ్యవస్థను రూపంలో వ్రాస్తాములేదా అప్పుడు

వాస్తవానికి, త్రికోణమితి సమీకరణాల యొక్క ఇతర వ్యవస్థలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఈ సమీకరణాల లక్షణాలకు కూడా శ్రద్ధ చూపడం అవసరం.

మెటీరియల్‌ని డౌన్‌లోడ్ చేయండి

మెటీరియల్ యొక్క పూర్తి టెక్స్ట్ కోసం డౌన్‌లోడ్ చేయగల ఫైల్‌ను చూడండి.
పేజీ మెటీరియల్ యొక్క భాగాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంది.

ట్రాన్స్క్రిప్ట్

1 I. V. యాకోవ్లెవ్ మ్యాథమెటిక్స్‌పై మెటీరియల్స్ MathUs.ru త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థలు ఈ వ్యాసంలో మేము రెండు తెలియని వాటితో రెండు సమీకరణాల త్రికోణమితి వ్యవస్థలను పరిశీలిస్తాము. అటువంటి వ్యవస్థలను మరియు వివిధ ప్రత్యేక పద్ధతులను పరిష్కరించే పద్ధతులను మేము వెంటనే అధ్యయనం చేస్తాము నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు. సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకటి తెలియని x మరియు y యొక్క త్రికోణమితి ఫంక్షన్‌లను కలిగి ఉంటుంది, మరొక సమీకరణం x మరియు y లలో సరళంగా ఉంటుంది. ఈ సందర్భంలో, మేము స్పష్టమైన మార్గంలో వ్యవహరిస్తాము: మేము సరళ సమీకరణం నుండి తెలియని వాటిలో ఒకదాన్ని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని సిస్టమ్ యొక్క మరొక సమీకరణంలోకి మారుస్తాము. సమస్య 1. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: x + y =, sin x + sin y = 1. పరిష్కారం. మొదటి సమీకరణం నుండి మనం x: ద్వారా yని వ్యక్తపరుస్తాము మరియు దానిని రెండవ సమీకరణంలోకి మారుస్తాము: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. ఫలితం x కోసం సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణం. మేము దాని పరిష్కారాలను రెండు సిరీస్ రూపంలో వ్రాస్తాము: x 1 = 6 + n, x = n n Z). y యొక్క సంబంధిత విలువలను కనుగొనడానికి ఇది మిగిలి ఉంది: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. సమీకరణాల వ్యవస్థతో ఎప్పటిలాగే, సమాధానం x జతల జాబితాగా ఇవ్వబడుతుంది; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. పూర్ణాంక పరామితి n ద్వారా x మరియు y ఒకదానికొకటి సంబంధం కలిగి ఉన్నాయని గమనించండి. అవి, x కోసం వ్యక్తీకరణలో +n కనిపిస్తే, n స్వయంచాలకంగా y కోసం వ్యక్తీకరణలో మరియు అదే nతో కనిపిస్తుంది. ఇది x + y = సమీకరణం ద్వారా ఇవ్వబడిన x మరియు y మధ్య "కఠినమైన" సంబంధం యొక్క పరిణామం. టాస్క్. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: cos x + cos y = 1, x y =. పరిష్కారం. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని మార్చడం ఇక్కడ అర్ధమే: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 కాబట్టి, మా సిస్టమ్ కింది సిస్టమ్‌కు సమానం: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. x y = మొదటి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). ఫలితంగా, మేము సిస్టమ్‌కు చేరుకుంటాము: x + y = n, x y =. మేము ఈ సమీకరణాలను జోడిస్తాము, విభజించి xని కనుగొంటాము; మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేయండి, విభజించి yని కనుగొనండి: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. అనేక సందర్భాల్లో, త్రికోణమితి వ్యవస్థను వేరియబుల్స్ యొక్క తగిన మార్పు ద్వారా బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థగా తగ్గించవచ్చు. టాస్క్. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. పరిష్కారం. ప్రత్యామ్నాయం u = sin x, v = cos y u మరియు v కోసం బీజగణిత వ్యవస్థకు దారి తీస్తుంది: u + v = 1, u v = 1. మీరు ఈ వ్యవస్థను సులభంగా పరిష్కరించవచ్చు. పరిష్కారం ప్రత్యేకమైనది: u = 1, v = 0. రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం రెండు సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలకు దారితీస్తుంది: sin x = 1, cos y = 0, ఎక్కడ నుండి + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). ఇప్పుడు ప్రతిస్పందన రికార్డులో k మరియు n అనే రెండు పూర్ణాంకాల పారామితులు ఉన్నాయి. దీనికి విరుద్ధంగా మునుపటి పనులుఈ వ్యవస్థలో x మరియు y మధ్య "దృఢమైన" కనెక్షన్ లేదు, ఉదాహరణకు, సరళ సమీకరణం రూపంలో), కాబట్టి x మరియు y చాలా ఎక్కువ ఎక్కువ మేరకుఒకదానికొకటి స్వతంత్రంగా ఉంటాయి.

3 వి ఈ విషయంలోసమాధానాన్ని + n;) + n అని వ్రాసి, ఒక పూర్ణాంకం పరామితి n మాత్రమే ఉపయోగించడం పొరపాటు. ఇది నష్టానికి దారి తీస్తుంది అనంతమైన సంఖ్య 5 సిస్టమ్ పరిష్కారాలు. ఉదాహరణకు, పరిష్కారం పోతుంది ;) k = 1 మరియు n = 0 వద్ద ఉత్పన్నమవుతుంది. సమస్య 4. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. పరిష్కారం. మొదట మనం రెండవ సమీకరణాన్ని మారుస్తాము: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. ఇప్పుడు మనం భర్తీ చేస్తాము: u = sin x, v = sin y. మేము సిస్టమ్‌ను పొందుతాము: u + v = 1, u + 4v = 1. ఈ సిస్టమ్‌కు పరిష్కారాలు రెండు జతలు: u 1 = 0, v 1 = 1/ మరియు u = /, v = 1/6. రివర్స్ ప్రత్యామ్నాయం చేయడమే మిగిలి ఉంది: sin x = 0, sin x = sin y = 1 లేదా, sin y = 1 6, మరియు సమాధానాన్ని వ్రాయండి. k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. సమస్య 5. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. పరిష్కారం. ఇక్కడ, బీజగణిత వ్యవస్థను పొందడానికి, మీరు మరింత పని చేయాలి. మేము మా సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణాన్ని రూపంలో వ్రాస్తాము: రెండవ సమీకరణంలో మనము కలిగి ఉన్నాము: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 అందువలన, అసలు సిస్టమ్ వ్యవస్థకు సమానం: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 మేము u = cos x y, v = cos x + y భర్తీ చేస్తాము మరియు బీజగణిత వ్యవస్థను పొందుతాము: uv = 1, u v = 4. ఈ వ్యవస్థకు పరిష్కారాలు రెండు జతల: u 1 = 1, v 1 = 1/ మరియు u = 1, v = 1/. మొదటి జత సిస్టమ్‌ను ఇస్తుంది: x y = 1, = k, అందుకే cos x y cos x + y రెండవ జత సిస్టమ్‌ను ఇస్తుంది: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k). x y = + k, x + y = ± + n k, n Z). అందువల్ల x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + n k), ± + n + k); ±) + n k), k, n Z. అయితే, త్రికోణమితి సమీకరణాల వ్యవస్థను బీజగణిత సమీకరణాల వ్యవస్థకు తగ్గించడం ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదు. కొన్ని సందర్భాల్లో, వివిధ ప్రత్యేక పద్ధతులను ఉపయోగించడం అవసరం. కొన్నిసార్లు సమీకరణాలను జోడించడం లేదా తీసివేయడం ద్వారా సిస్టమ్‌ను సరళీకృతం చేయడం సాధ్యపడుతుంది. సమస్య 6. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. పరిష్కారం. ఈ సమీకరణాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం, మేము పొందుతాము సమానమైన వ్యవస్థ: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. మరియు ఈ వ్యవస్థ, రెండు వ్యవస్థల కలయికకు సమానం: x + y = + k, x + y = x y = + k, లేదా 6 + n x y = n k, n Z). 4

5 అందుకే x = + k + n), x = + k + n), y = or + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 కొన్నిసార్లు మీరు సమీకరణాలను ఒకదానితో ఒకటి గుణించడం ద్వారా ఒక పరిష్కారానికి రావచ్చు. సమస్య 7. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: tg x = sin y, ctg x = cos y. పరిష్కారం. వ్యవస్థ యొక్క సమీకరణాలను ఒకదానికొకటి గుణించడం అంటే "ఎడమ వైపుల ఉత్పత్తి కుడి వైపుల ఉత్పత్తికి సమానం" అనే రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని వ్రాయడం అని మనం గుర్తుచేసుకుందాం. ఫలిత సమీకరణం అసలు సిస్టమ్ యొక్క పర్యవసానంగా ఉంటుంది, అంటే, అసలు సిస్టమ్ యొక్క అన్ని పరిష్కారాలు ఫలిత సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయి). ఈ సందర్భంలో, సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలను గుణించడం సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది: 1 = sin y cos y = sin y, ఎక్కడ నుండి y = /4 + n n Z). సిస్టమ్‌లోకి ఈ రూపంలో yని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అసౌకర్యంగా ఉంటుంది; దానిని రెండు సిరీస్‌లుగా విభజించడం మంచిది: y 1 = 4 + n. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో y 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలో y 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం అదే ఫలితానికి దారితీస్తుందని చూడటం సులభం. ఇప్పుడు మేము y ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. కొన్నిసార్లు సమీకరణాలను ఒకదానితో ఒకటి విభజించడం ఫలితానికి దారి తీస్తుంది. సమస్య 8. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. పరిష్కారం. రూపాంతరం చెందుదాం: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 కింది సంజ్ఞామానాన్ని తాత్కాలికంగా పరిచయం చేద్దాం: α = x + y, β = x y. అప్పుడు ఫలిత వ్యవస్థ రూపంలో తిరిగి వ్రాయబడుతుంది: cos α cos β = 1, sin α cos β =. ఇది cos β 0 అని స్పష్టమవుతుంది. అప్పుడు, రెండవ సమీకరణాన్ని మొదటి దానితో భాగిస్తే, మేము tg α = సమీకరణానికి చేరుకుంటాము, ఇది వ్యవస్థ యొక్క పరిణామం. మేము కలిగి ఉన్నాము: α = + n n Z), మరియు మళ్లీ, సిస్టమ్‌లోకి తదుపరి ప్రత్యామ్నాయం కోసం), ఫలిత సెట్‌ను రెండు సిరీస్‌లుగా విభజించడం మాకు సౌకర్యంగా ఉంటుంది: α 1 = + n, α = 4 + n. సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణాలలో α 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది: cos β = 1 β 1 = k k Z). అదేవిధంగా, సిస్టమ్ యొక్క ఏదైనా సమీకరణంలోకి αని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం సమీకరణాన్ని ఇస్తుంది: cos β = 1 β = + k k Z). కాబట్టి, మనకు ఉన్నాయి: అంటే, ఇక్కడ α 1 = + n, β 1 = k లేదా α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y లేదా + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = లేదా + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. కొన్ని సందర్భాల్లో, ప్రాథమిక త్రికోణమితి గుర్తింపు రక్షణకు వస్తుంది. సమస్య 9. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. పరిష్కారం. ప్రతి సమీకరణానికి రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేద్దాం: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 ఫలిత సమీకరణాలను జోడిద్దాం: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, ఎక్కడ నుండి sin y = 0 మరియు y = n n Z). ఇది అసలైన వ్యవస్థ యొక్క పరిణామం; అంటే, ఏదైనా జత x కోసం; y), ఇది సిస్టమ్‌కు పరిష్కారం, ఈ జత యొక్క రెండవ సంఖ్య కొంత పూర్ణాంకం nతో n రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము y ని రెండు సిరీస్‌లుగా విభజిస్తాము: y 1 = n, y = + n. మేము అసలు సిస్టమ్‌లో y 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 ఈ సిస్టమ్‌కి పరిష్కారం sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ) దయచేసి ఇప్పుడు సిస్టమ్ యొక్క సమీకరణాలలో ఒకదానిలో y 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం సరిపోదని గమనించండి. సిస్టమ్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణాలలో y 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయడం రెండు వ్యవస్థలకు దారి తీస్తుంది వివిధ సమీకరణాలు x కు సంబంధించి n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. కొన్నిసార్లు, పరివర్తనల సమయంలో, తెలియని వ్యక్తుల మధ్య సాధారణ సంబంధాన్ని పొందడం మరియు ఈ సంబంధం నుండి తెలియని ఒకదానిని మరొక పరంగా వ్యక్తీకరించడం సాధ్యమవుతుంది. సమస్య 10. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. పరిష్కారం. సిస్టమ్ యొక్క రెండవ సమీకరణంలో, మేము సైన్స్ యొక్క డబుల్ ఉత్పత్తిని కొసైన్‌ల వ్యత్యాసంగా మారుస్తాము: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). ఇక్కడ నుండి మనం y ని x పరంగా వ్యక్తీకరిస్తాము: y = x + n, 7

8 మరియు సిస్టమ్ యొక్క మొదటి సమీకరణంలో ప్రత్యామ్నాయం: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. మిగిలినవి అల్పమైనవి. మేము పొందుతాము: cos x = 1, ఎక్కడ నుండి x = ± ఇది పైన పొందిన సంబంధం నుండి y ని కనుగొనడానికి మిగిలి ఉంది: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. వాస్తవానికి, పరిగణించబడిన సమస్యలు త్రికోణమితి సమీకరణాల యొక్క మొత్తం వివిధ వ్యవస్థలను కవర్ చేయవు. ఎప్పుడైనా క్లిష్ట పరిస్థితిచాతుర్యం అవసరం, ఇది పరిష్కరించే అభ్యాసం ద్వారా మాత్రమే అభివృద్ధి చెందుతుంది వివిధ పనులు. అన్ని సమాధానాలు k, n Z. సమస్యలు 1. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); బి) n; n). సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. ఆర్క్టాన్ 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arctg 1 n); బి) + n; 6 + n). వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n); బి) 6 + n; 6 n) 8

9 4. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + k; ± + n), 1) k k; ± + n); బి) 1) k 4 + k; + n) 5. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; బి) ఆర్క్టాన్ 5 + కె; ఆర్క్టాన్ 1 + ఎన్), ఆర్క్టాన్ 1 + కె; arctan 5 + n) 6. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + k; ± + n); బి) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1)k k n 1)) 8. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)) ; బి) ± + k + n); ± + k n)) 9. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. బి) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k 1 + n + k)) ; బి)) 4 + కె ; 4 + k + n 9

10 10. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి:) టాన్ 4 + x = cos y,) టాన్ 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. సిస్టమ్‌ను పరిష్కరించండి: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; ఆర్కోస్ n), ఆర్కోస్ 4 + కె; arccos n) 16. వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. బి) cot x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; n); బి)) 4 + కె ; n, + k; + n) 10

11 17. “Fiztekh”, 010) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ, కాపీ. విదేశీయుల కోసం gr-n, 01) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) సిస్టమ్ యొక్క అన్ని పరిష్కారాలను కనుగొనండి పాప సమీకరణాలు x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, ఇక్కడ xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ, భౌగోళిక. f-t, 005) 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y = సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. 1) n n, k), k, n Z 1. మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ, రాష్ట్ర ఫ్యాకల్టీ. నియంత్రణ, 005) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x పాపం వై. ఆర్కోస్ + n, 1)k ఆర్క్సిన్ 5); 6 + k ఆర్కోస్ + n, 1)k+1 ఆర్క్సిన్ 5), 6 + k k, n Z 11

12 . MIPT, 199) tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. ఆర్క్టాన్ 4 + ఎన్, ఆర్కోస్ 4 + కె) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k); k, n Z 5. MIPT, 1996) సిన్ x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి. 1) n 1 + n, 4 + 1)k 4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించండి 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Materials on mathematics MathUs.ru త్రికోణమితిలో మినిమాక్స్ సమస్యలు ఈ షీట్ కుడి మరియు ఎడమ వైపుల అంచనాలను ఉపయోగించే పరిష్కారం కోసం సమీకరణాలను చర్చిస్తుంది. మారింది

I. V. యాకోవ్లెవ్ గణితంలో మెటీరియల్స్ MathUs.ru త్రికోణమితి సమీకరణాలుమాడ్యూల్‌తో ఈ కరపత్రం త్రికోణమితి సమీకరణాలకు అంకితం చేయబడింది, దీనిలో తెలియని పరిమాణంలోని త్రికోణమితి విధులు ఉంటాయి

ప్రాక్టికల్ పని: త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వివిధ రకాలడెవలపర్: I. A. కొచెట్కోవా, Zh. I. టిమోష్కో పని యొక్క ఉద్దేశ్యం: 1) త్రికోణమితి సూత్రాలను పునరావృతం చేయండి ద్వంద్వ వాదన, అదనంగా సూత్రాలు,

I V యాకోవ్లెవ్ గణితంపై మెటీరియల్స్ MathUsru త్రికోణమితి అసమానతలు పాఠకుడు సరళమైన వాటిని పరిష్కరించగలరని భావించబడుతుంది త్రికోణమితి అసమానతలుమేము మరింత ముందుకు వెళ్తున్నాము క్లిష్టమైన పనులుటాస్క్

I. V. యాకోవ్లెవ్ గణితంపై మెటీరియల్స్ MathUs.ru త్రికోణమితి రూపాంతరాలు మరియు గణనలు త్రికోణమితి రూపాంతరాలు మరియు గణనలకు సంబంధించిన సమస్యలు, ఒక నియమం వలె, సంక్లిష్టంగా ఉండవు మరియు అందువల్ల అరుదుగా ఉంటాయి

గణితంలోని విషయాలు I V యాకోవ్లెవ్ మెటీరియల్స్ MathUsru అహేతుక సమీకరణాలుమరియు వ్యవస్థలు 1 గృహోపకరణాలకు అకౌంటింగ్ 1 సమానమైన పరివర్తనలు 3 వేరియబుల్ మార్పు 6 4 సంయోగం ద్వారా గుణకారం 7 5 సమీకరణాల వ్యవస్థలు

I. V. యాకోవ్లెవ్ గణితంపై మెటీరియల్స్ MathUs.ru సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు మేము త్రికోణమితి సమీకరణాలను అధ్యయనం చేయడం ప్రారంభిస్తాము కేంద్ర థీమ్మొత్తం త్రికోణమితి విభాగం. లెట్ a

ఎడ్యుకేషన్ అడ్మినిస్ట్రేషన్ ఏజెన్సీ క్రాస్నోయార్స్క్ భూభాగంక్రాస్నోయార్స్క్ రాష్ట్ర విశ్వవిద్యాలయంక్రాస్నోయార్స్క్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ గణితంలోని కరస్పాండెన్స్ నేచురల్ సైన్స్ స్కూల్: గ్రేడ్ 0 కోసం మాడ్యూల్ విద్యా మరియు పద్దతి భాగం/ కాంప్:

G.I. పారామితులతో మార్పులేని మరియు సమస్యలు ఫాలిన్, A.I. ఫాలిన్ లోమోనోసోవ్ మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ http://mech.math.msu.su/ ఫాలిన్ 1 పరిచయం B ఆధునిక గణితం ముఖ్యమైన పాత్రమార్పులేని భావనను పోషిస్తుంది, అనగా. మార్పులేనిది

I. V. యాకోవ్లెవ్ మెటీరియల్స్ ఆన్ మ్యాథమెటిక్స్ MthUs.ru త్రికోణమితి ఫంక్షన్ల అధ్యయనం, నిర్వచన డొమైన్ నుండి ఏదైనా x కోసం T 0 సంఖ్య ఉంటే ఆ ఫంక్షన్ fx) ఆవర్తన అని పిలువబడుతుంది.

అంశం 14 " బీజగణిత సమీకరణాలుమరియు వ్యవస్థలు నాన్ లీనియర్ సమీకరణాలు» డిగ్రీ n యొక్క బహుపది అనేది P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + a n రూపం యొక్క బహుపది, ఇక్కడ a 0, a 1, a n-1, a n ఇచ్చిన సంఖ్యలు, a 0,

I. V. యాకోవ్లెవ్ మ్యాథమెటిక్స్‌పై మెటీరియల్స్ MathUs.ru శిక్షణ సమస్యలు పారామితులతో సమస్యలలో సమరూపత 1. (MSU, సాయిల్ సైన్స్ ఫ్యాకల్టీ, 001) b యొక్క ఏ విలువలకు సమీకరణం ఖచ్చితంగా ఒక మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది? tan b = లాగ్

సైన్స్ మరియు విద్య మంత్రిత్వ శాఖ రష్యన్ ఫెడరేషన్మాస్కో స్టేట్ యూనివర్శిటీ ఆఫ్ జియోడెసీ అండ్ కార్టోగ్రఫీ T. M. కొరోలెవా, E. G. మార్కర్యన్, Yu. M. నీమాన్ దరఖాస్తుదారుల కోసం గణితంలో మాన్యువల్

గ్రేడ్ 10 లో ఆల్జీబ్రా పాఠం పాఠం యొక్క అంశం: త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించే పద్ధతులు పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం: అంశంపై విద్యార్థుల జ్ఞానం యొక్క సాధారణీకరణ మరియు క్రమబద్ధీకరణ. పాఠ్య లక్ష్యాలు: 1) విద్య - విస్తరించండి మరియు లోతుగా చేయండి

L.I ద్వారా పరీక్ష పరిష్కారాల ఉదాహరణలు తెరెఖినా, I.I. 1 పరీక్షను పరిష్కరించండి 1 లీనియర్ బీజగణితంనిర్ణయించుకోండి మాతృక సమీకరణం((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 మనం ముందుగా మాత్రికలను గుణిద్దాం

త్రికోణమితి విధులను ఏకీకృతం చేయడం వివిధ ఆర్గ్యుమెంట్‌ల సైన్స్ మరియు కొసైన్‌ల ఉత్పత్తిని ఏకీకృతం చేయడం త్రికోణమితి సూత్రాలు k m [ (m k (m k ], (k m [ (m k (m k ]), (k m [ (m k (m k))

రష్యన్ ఫెడరేషన్ మాస్కో యొక్క విద్య మరియు విజ్ఞాన మంత్రిత్వ శాఖ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ ఫిజిక్స్ అండ్ టెక్నాలజీ(స్టేట్ యూనివర్సిటీ) పార్ట్ టైమ్ భౌతిక మరియు సాంకేతిక పాఠశాలగణితం గుర్తింపు పరివర్తనలు. పరిష్కారం

అహేతుక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు కంటెంట్ అహేతుక సమీకరణాలు సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా ఒకే శక్తికి పెంచే విధానం అసైన్‌మెంట్ కేటాయింపు అసైన్‌మెంట్ అహేతుక సమీకరణాన్ని మిశ్రమంతో భర్తీ చేయడం

రిపబ్లిక్ ఆఫ్ బెలారస్ మోలోడెచ్నో స్టేట్ యొక్క విద్యా మంత్రిత్వ శాఖ పాలిటెక్నిక్ పాఠశాలఆచరణాత్మక పని: త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం సరళమైనదిగా తగ్గించబడింది. డెవలపర్: I.

మినిస్ట్రీ ఆఫ్ ఎడ్యుకేషన్ అండ్ సైన్స్ ఆఫ్ ది రష్యన్ ఫెడరేషన్ టామ్స్క్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ ఫ్యాకల్టీ ఆఫ్ అప్లైడ్ మ్యాథమెటిక్స్ అండ్ సైబర్‌నెటిక్స్ డిపార్ట్‌మెంట్ ఆఫ్ ప్రాబబిలిటీ థియరీ మరియు గణిత గణాంకాలులిమిట్స్ మెథడాలాజికల్

గ్రేడ్ 10, యొక్క ప్రాథమిక స్థాయిటాస్క్ 1 ఎంపిక 0 (ప్రదర్శన, పరిష్కారాలతో) కరస్పాండెన్స్ గణిత పాఠశాల 009/010 విద్యా సంవత్సరం 1 వ్యక్తీకరణను బహుపది వలె వ్యక్తపరచండి ప్రామాణిక వీక్షణమరియు అతనిని కనుగొనండి

ఉపన్యాసాలు “నిరవధిక సమగ్ర” సంకలనం: VPBelkin ఉపన్యాసం నిరవధిక సమగ్రప్రాథమిక భావనలు నిరవధిక సమగ్ర లక్షణాలు 3 యాంటీడెరివేటివ్‌ల ప్రాథమిక పట్టిక 3 4 విలక్షణ ఉదాహరణలు 3 5 ప్రోటోజోవా

4. త్రికోణమితి ఇప్పుడు త్రికోణమితి ఫంక్షన్లకు ఖచ్చితమైన నిర్వచనాలు ఇవ్వడానికి సిద్ధంగా ఉంది. మొదటి చూపులో వారు బహుశా చాలా వింతగా అనిపించవచ్చు; అయినప్పటికీ, మేము దానిని ఖచ్చితంగా చూపుతాము

విధుల యొక్క టాపిక్ పరిమితులు A సంఖ్యను y = f ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి అని పిలుస్తారు, x అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది, ఏదైనా సంఖ్య ε> ఎంత చిన్నదైనా, అన్ని >S కోసం సానుకూల సంఖ్యలు ఉంటాయి.

ఫెడరల్ ఏజెన్సీవిద్య ద్వారా రాష్ట్రం విద్యా సంస్థఉన్నత వృత్తి విద్యాఉఖ్తా రాష్ట్రం సాంకేతిక విశ్వవిద్యాలయం(USTU) పరిమితి ఫంక్షన్ మెథడాలాజికల్

త్రికోణమితి యొక్క డెమిడోవ్ ఫండమెంటల్స్ కాదు స్టడీ గైడ్ విదేశీ పౌరులురష్యన్ ఫెడరేషన్ ఫెడరల్ స్టేట్ ఎడ్యుకేషనల్ యొక్క విద్య మరియు సైన్స్ మంత్రిత్వ శాఖ రాష్ట్ర-ఆర్థిక సంస్థఉన్నత వృత్తిపరమైన

అంశం 1 వాస్తవ సంఖ్యలుమరియు వాటిపై చర్యలు 4 గంటలు 11 సంఖ్య 1 భావన అభివృద్ధి ప్రారంభంలో, సంఖ్యలు మాత్రమే అర్థం చేసుకోబడ్డాయి పూర్ణాంకాలు, ఇవి లెక్కించడానికి సరిపోతాయి వ్యక్తిగత అంశాలుఒక గుత్తి

త్రికోణమితి సమీకరణాలను పరిష్కరించడం. అప్లికేషన్ నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి

I. V. యాకోవ్లెవ్ మెటీరియల్స్ ఆన్ మ్యాథమెటిక్స్ MathUs.ru పారామితులతో సమస్యలలో సమరూపత ఒకటి కీలక అంశాలుగణితం మరియు భౌతిక శాస్త్రం. నీకు తెలుసా రేఖాగణిత సమరూపతబొమ్మలు మరియు సాధారణంగా వివిధ

పరీక్ష. ఇవ్వబడిన మాత్రికలు A, B మరియు D. ఇలా ఉంటే AB 9Dని కనుగొనండి: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 మాత్రికలు A 3 మరియు B 3. ఫలితం మూలకాలతో కూడిన పరిమాణం 3 3 యొక్క C

లెక్చర్ 13: ఉరల్ ప్లేన్‌లో క్వాడ్రిక్స్ వర్గీకరణ ఫెడరల్ విశ్వవిద్యాలయం, ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ మరియు కంప్యూటర్ సైన్స్, ఆల్జీబ్రా విభాగం మరియు వివిక్త గణిత శాస్త్ర పరిచయ వ్యాఖ్యలు మునుపటి మూడింటిలో

తరగతి. ఏకపక్ష వాస్తవ ఘాతాంకం కలిగిన శక్తి, దాని లక్షణాలు. పవర్ ఫంక్షన్, దాని లక్షణాలు, గ్రాఫ్‌లు.. డిగ్రీ సి లక్షణాలను గుర్తుకు తెచ్చుకోండి హేతుబద్ధమైన సూచిక. సహజ సమయం కోసం a a a a

గ్రేడ్ 8.3, గణితం (పాఠ్యపుస్తకం మకరిచెవ్) 2016-2017 విద్యా సంవత్సరం మాడ్యూల్ 5 యొక్క అంశం " వర్గమూలం. పూర్ణాంక సూచికతో డిగ్రీ” పరీక్ష సైద్ధాంతిక మరియు ఆచరణాత్మక భాగాలను పరీక్షిస్తుంది. TOPIC తెలుసుకోగలగాలి

VSTU-VGASU యొక్క ఉన్నత గణిత విభాగం, అసోక్. సెడేవ్ A.A. 06 ఉత్పత్తి? మీరు కనుగొనవలసిన అవసరం ఎదురైతే

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క విద్య మరియు విజ్ఞాన మంత్రిత్వ శాఖ జాతీయ పరిశోధన మాస్కో స్టేట్ సివిల్ యూనివర్శిటీ విభాగం దరఖాస్తు మెకానిక్స్మరియు గణిత శాస్త్రజ్ఞులు ఆర్డినరీ డిఫరెన్షియల్

అంశం: పరివర్తన త్రికోణమితి వ్యక్తీకరణలుత్రికోణమితి సమీకరణాలలో ODZని పరిగణనలోకి తీసుకోవడం యూనిఫైడ్ స్టేట్ ఎగ్జామ్‌కు ప్రిపరేషన్ (పని 9; ; 8) నిర్వచనం: సమీకరణం f g లేదా ప్రాంతం యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ ఆమోదయోగ్యమైన విలువలు

మాస్కో ఏవియేషన్ ఇన్స్టిట్యూట్(జాతీయ పరిశోధనా విశ్వవిద్యాలయం) శాఖ " ఉన్నత గణితం"అనేక వేరియబుల్స్ యొక్క డెరివేటివ్స్ ఫంక్షన్‌లను పరిమితం చేస్తుంది మార్గదర్శకాలుమరియు నియంత్రణ ఎంపికలు

అధ్యాయం 4 ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి 4 1 ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క కాన్సెప్ట్ ఈ అధ్యాయం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి భావనపై దృష్టి పెడుతుంది. ఇది అనంతం వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఏమిటో నిర్ణయించబడుతుంది, ఆపై ఒక పాయింట్ వద్ద పరిమితి, పరిమితులు

టాపిక్ 7 మ్యాట్రిక్స్ ర్యాంక్ బేసిస్ మైనర్ సిద్ధాంతం మాతృక ర్యాంక్ మరియు దాని పరిణామాలు తెలియని క్రోనెకర్-కాపెల్లి సిద్ధాంతంతో m సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థలు ప్రాథమిక వ్యవస్థపరిష్కారాలు సజాతీయ వ్యవస్థసరళ

అంశం 1-8: సంక్లిష్ట సంఖ్యలు A. Ya. Ovsyannikov ఉరల్ ఫెడరల్ యూనివర్సిటీ ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ మ్యాథమెటిక్స్ అండ్ కంప్యూటర్ సైన్స్ డిపార్ట్‌మెంట్ ఆఫ్ ఆల్జీబ్రా మరియు డిస్క్రీట్ మ్యాథమెటిక్స్ బీజగణితం మరియు మెకానిక్స్ కోసం జ్యామితి (1 సెమిస్టర్)

గణిత విశ్లేషణ భావనల యొక్క ప్రాథమిక భావనలు వర్ణించవచ్చు, కానీ ఖచ్చితంగా నిర్వచించలేము, ఎందుకంటే ఖచ్చితమైన నిర్వచనాన్ని ఇచ్చే ఏ ప్రయత్నం అయినా నిర్వచించిన భావనను దానితో భర్తీ చేయడానికి అనివార్యంగా వస్తుంది.

వేరియబుల్స్ వేరు చేసే విధానం (ఫోరియర్ పద్ధతి) సాధారణ సిద్ధాంతాలువేరియబుల్స్ వేరు చేసే పద్ధతి సరళమైన పాక్షిక అవకలన సమీకరణం కోసం, వేరియబుల్స్ విభజన అనేది tలో మాత్రమే రూపం యొక్క పరిష్కారాల కోసం అన్వేషణ. u(x,t

64 7వ తరగతి బీజగణితం (వారానికి 5 గంటలు, 175 గంటలు) బీజగణిత భాగం (వారానికి 3 గంటలు) 105 గంటలు మరియు రేఖాగణిత భాగం (వారానికి 2 గంటలు) 70 గంటలు ఉపయోగించబడింది టీచింగ్ ఎయిడ్స్: 1. అరేఫీవా, I. G. ఆల్జీబ్రా: పాఠ్య పుస్తకం. భత్యం

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క విద్యా మంత్రిత్వ శాఖ రష్యన్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ ఆఫ్ ఆయిల్ అండ్ గ్యాస్ IM గుబ్కిన్ VI పేరు పెట్టబడిన ఇవనోవ్ “భేదాత్మక సమీకరణాలు” (విద్యార్థుల కోసం) అనే అంశాన్ని అధ్యయనం చేయడానికి మార్గదర్శకాలు

ప్రాక్టికల్ పాఠంఅంశం: ఫంక్షన్ డొమైన్ నిర్వచనం మరియు ఫంక్షన్ యొక్క విలువల సెట్ లక్ష్యం: ఫంక్షన్ల నిర్వచనం యొక్క డొమైన్‌ను కనుగొనడంలో నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయడం మరియు పూర్తి చేయడానికి ఫంక్షన్ల పాక్షిక విలువలను లెక్కించడం

ఎంపిక 0 పనులకు పరిష్కారాలు 0 భాగం నుండి టాస్క్‌లకు పరిష్కారాలు పరీక్ష కోసం సమర్పించబడతాయని మేము మీకు గుర్తు చేద్దాం. భాగాల నుండి పనులకు పరిష్కారాలు చిత్తుప్రతులలో నిర్వహించబడతాయి మరియు మదింపును ఏ విధంగానూ ప్రభావితం చేయవు. భాగం నుండి పనులను పూర్తి చేస్తున్నప్పుడు

57(07) D DG డెమ్యానోవ్ అనిశ్చిత సమగ్రత విద్యా మరియు సూచన మాన్యువల్చెల్యాబిన్స్క్ 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG నిరవధిక సమగ్రం: విద్య మరియు సూచన మాన్యువల్ / SA ఉఫిమ్‌ట్సేవ్ చేల్యాబిన్స్క్ ద్వారా సవరించబడింది: పబ్లిషింగ్ హౌస్

Phystech 0, 0 class, the solutions for the ticket cos x cosx సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి = cos x sin x సమాధానం x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ పరిష్కారం cos x cos అనే రెండు కేసులు ఉన్నాయి x sin x sin x a) cos x 0 అప్పుడు = = tan x = x =

త్రికోణమితి సూత్రాలు త్రికోణమితి సమీకరణాలు మరియు అసమానతలను పరిష్కరించడంలో విజయం, రుజువు త్రికోణమితి గుర్తింపులుమరియు గణన సమస్యలకు పరిష్కారాలు ప్రాథమిక జ్ఞానం ద్వారా ఎక్కువగా నిర్ణయించబడతాయి

పాఠం 14 సంక్లిష్ట సంఖ్యలు. తో LODU స్థిరమైన గుణకాలు. 14.1 సంక్లిష్ట సంఖ్యలు సంక్లిష్ట సంఖ్య z = x+iy రూపం యొక్క వ్యక్తీకరణ అని పిలుస్తారు, ఇక్కడ x R. సెట్ మధ్య ఒకదానికొకటి అనురూప్యం ఉంటుంది

ప్రశ్న: ఏ సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు? జవాబు సహజ సంఖ్యలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలు. సంఖ్యల సంజ్ఞామానంలో తరగతులు మరియు ర్యాంకులు ఏమిటి? జోడించేటప్పుడు సంఖ్యలను ఏమని పిలుస్తారు? హల్లును రూపొందించండి

AA కిర్సనోవ్ కాంప్లెక్స్ సంఖ్యలు PSKOV BBK 57 K45 బీజగణితం మరియు జ్యామితి శాఖ నిర్ణయం ద్వారా ప్రచురించబడింది మరియు SM కిరోవ్ రివ్యూయర్ పేరు మీద PSPI యొక్క ఎడిటోరియల్ మరియు పబ్లిషింగ్ కౌన్సిల్: మెద్వెదేవా IN, ఫిజిక్స్ మరియు మ్యాథమెటిక్స్ అభ్యర్థి, అసోసియేట్

ఉపన్యాసం అవకలన సమీకరణాలు-వ ఆర్డర్ (DU-) సాధారణ రూపంఆర్డర్ n యొక్క అవకలన సమీకరణం వ్రాయబడుతుంది: (n) F, = 0 () వ క్రమం (n =) యొక్క సమీకరణం F(,) = 0 సారూప్య సమీకరణాలను తీసుకుంటుంది

భేదాత్మక సమీకరణాలు ఖబరోవ్స్క్ 01 విద్య కోసం ఫెడరల్ ఏజెన్సీ రాష్ట్ర బడ్జెట్ ఉన్నత వృత్తి విద్యా సంస్థ "పసిఫిక్ రాష్ట్రం

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క విద్య మరియు సైన్స్ మంత్రిత్వ శాఖ సెయింట్ పీటర్స్‌బర్గ్ స్టేట్ యూనివర్శిటీ ఆఫ్ ఆర్కిటెక్చర్ అండ్ సివిల్ ఇంజనీరింగ్ V B స్మిర్నోవా, L E MOROZOVA ఆర్డినరీ డిఫరెన్షియల్ ఈక్వేషన్స్ ఎడ్యుకేషనల్

గణితం, తరగతి సమాధానాలు మరియు ప్రమాణాలు, ఏప్రిల్ ఎంపిక/పనులు సమాధానాలు B B B4 B B7 C 4 7 4 ఆర్కోస్ 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( లాగ్ ;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

సమస్య పరిస్థితులు 1 మున్సిపల్ వేదిక 8వ తరగతి 1. బోర్డుపై రెండు సంఖ్యలు రాసి ఉంటాయి. వాటిలో ఒకటి 6 రెట్లు పెరిగింది, మరియు మరొకటి 2015 కోసం తగ్గించబడింది, అయితే సంఖ్యల మొత్తం మారలేదు. వీటిలో కనీసం ఒక జతని కనుగొనండి

నిరవధిక సమగ్ర పరిచయం డెఫినిషన్ ఒక ఫంక్షన్ F()ని ఇచ్చిన ఫంక్షన్ f() కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు F() f(), లేదా, అదే, df f d ఈ ఫంక్షన్ f() వివిధ యాంటీడెరివేటివ్‌లను కలిగి ఉండవచ్చు,

మాస్కో ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ ఫిజిక్స్ అండ్ టెక్నాలజీ అహేతుక సమీకరణాలు మరియు అసమానతలు టూల్‌కిట్ఒలింపియాడ్స్ కోసం సన్నాహకంగా సంకలనం చేయబడింది: పార్కెవిచ్ ఎగోర్ వాడిమోవిచ్ మాస్కో 04 పరిచయం ఈ పనిలో మనం చూస్తాము

వెక్టర్ కాలిక్యులస్ యొక్క ప్రాథమికాలు వెక్టర్ అంటారు పరిమాణాత్మక లక్షణం, ఇది మాత్రమే కాదు సంఖ్యా విలువ, కానీ దిశ కూడా. కొన్నిసార్లు వారు వెక్టర్ అనేది నిర్దేశిత సెగ్మెంట్ వెక్టర్ సిస్టమ్ అని చెబుతారు

ఘాతాంక సమీకరణాలు. పరిష్కార పద్ధతులు. దుబోవా మరియా ఇగోరెవ్నా 7 78-57 ఘాతాంక సమీకరణం అనేది ఘాతాంకంలో మాత్రమే వేరియబుల్‌ని కలిగి ఉంటుంది. అనేక రకాలను చూద్దాం ఘాతాంక సమీకరణాలు,

MAV(S)OU "TsO 1" గణితం 1వ తరగతి త్రికోణమితి పరీక్ష 1, పట్టికలు, పరీక్ష పేపర్లు, పరీక్షలు టీచర్ నెమోవా N.M. మొదటి అర్హత 15 విద్యా సంవత్సరం వివరణాత్మక గమనిక. ది ఉపదేశ పదార్థంఉద్దేశించబడింది

యాంటీడెరివేటివ్ మరియు నిరవధిక సమగ్ర ప్రాథమిక భావనలు మరియు సూత్రాలు 1. యాంటీడెరివేటివ్ మరియు నిరవధిక సమగ్రం యొక్క నిర్వచనం. నిర్వచనం. F(x) ఫంక్షన్‌ని ఇంటర్వెల్‌లో f(x) ఫంక్షన్ కోసం యాంటీడెరివేటివ్ అంటారు

ప్రాక్టికల్ పాఠం హేతుబద్ధమైన భిన్నాలను సమగ్రపరచడం హేతుబద్ధమైన భిన్నం అనేది P Q రూపంలోని భిన్నం, ఇక్కడ P మరియు Q బహుపదాలు. హేతుబద్ధమైన భిన్నంబహుపది P యొక్క డిగ్రీ డిగ్రీ కంటే తక్కువగా ఉంటే సరైనది అంటారు

I. V. Yakovlev Materials on mathematics MthUs.ru వ్యాసం A. G. మాల్కోవా సహకారంతో వ్రాయబడింది సరళమైన త్రికోణమితి సమీకరణాలు. మునుపటి వ్యాసం సరళమైన త్రికోణమితి సమస్యలను పరిష్కరించే ప్రధాన ఆలోచనకు అంకితం చేయబడింది

అంశం నిరవధిక సమీకృత ప్రాథమిక పద్ధతులు భాగాల వారీగా అనుసంధానం చేయడం u మరియు v ఒకే వాదన యొక్క రెండు భేదాత్మక ఫంక్షన్‌లుగా ఉండనివ్వండి ఇది d(u v) udv vdu (77) రెండింటి నుండి తీసుకోబడుతుంది.

రష్యన్ ఫెడరేషన్ యొక్క విద్య మరియు విజ్ఞాన మంత్రిత్వ శాఖ మాస్కో ఇన్స్టిట్యూట్ ఆఫ్ ఫిజిక్స్ అండ్ టెక్నాలజీ (స్టేట్ యూనివర్శిటీ) కరస్పాండెన్స్ స్కూల్ ఆఫ్ ఫిజిక్స్ అండ్ టెక్నాలజీ మ్యాథమెటిక్స్ చతుర్భుజ సమీకరణాలు 8 కోసం టాస్క్

పూర్ణాంకాలతో ఒక-దశ సమస్యలు (అధికారిక) పేజీ 1 09/06/2012 1) అసమానతను పరిష్కరించండి: x 7 17. 2) 612ని 100000తో గుణించండి. 3) 661 మరియు 752 సంఖ్యల మధ్య తేడా ఏమిటి? 4) వ్యక్తీకరణలను సరిపోల్చండి: 54 6 మరియు 7.

లెక్చర్ N అధిక ఆర్డర్‌ల అవకలన సమీకరణాలు, పరిష్కార పద్ధతులు కౌచీ సమస్య అధిక ఆర్డర్‌ల సరళ అవకలన సమీకరణాలు సజాతీయ సరళ సమీకరణాలు అధిక ఆర్డర్‌ల అవకలన సమీకరణాలు,