వియెటా సిద్ధాంతం (మరింత ఖచ్చితంగా, వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం) మీరు వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి సమయాన్ని తగ్గించడానికి అనుమతిస్తుంది. దీన్ని ఎలా ఉపయోగించాలో మీరు తెలుసుకోవాలి. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి చతురస్రాకార సమీకరణాలను పరిష్కరించడం ఎలా నేర్చుకోవాలి? కాస్త ఆలోచిస్తే కష్టం కాదు.
ఇప్పుడు మనం తగ్గిన చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క వియెటా సిద్ధాంతం ద్వారా మాత్రమే పరిష్కారం గురించి మాట్లాడుతాము. వర్గ సమీకరణంఒక సమీకరణం దీనిలో a, అంటే x² యొక్క గుణకం, ఒకరికి సమానం. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఇవ్వని వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడం కూడా సాధ్యమే, కానీ కనీసం ఒక మూలమైనా పూర్ణాంకం కాదు. వారు ఊహించడం మరింత కష్టం.
వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం ఇలా చెబుతోంది: x1 మరియు x2 సంఖ్యలు అలాంటివి అయితే
అప్పుడు x1 మరియు x2 చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు
వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు, 4 ఎంపికలు మాత్రమే సాధ్యమవుతాయి. మీరు తార్కిక రేఖను గుర్తుంచుకుంటే, మీరు చాలా త్వరగా మొత్తం మూలాలను కనుగొనడం నేర్చుకోవచ్చు.
I. q అనేది ధనాత్మక సంఖ్య అయితే,
దీని అర్థం x1 మరియు x2 మూలాలు ఒకే గుర్తు యొక్క సంఖ్యలు (సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు మాత్రమే ఒకే విధమైన సంకేతాలుఅది సానుకూల సంఖ్యగా మారుతుంది).
I.a -p అనేది ధనాత్మక సంఖ్య అయితే, (వరుసగా, p<0), то оба корня x1 и x2 — సానుకూల సంఖ్యలు(మేము ఒకే గుర్తు యొక్క సంఖ్యలను జోడించాము మరియు సానుకూల సంఖ్యను పొందాము కాబట్టి).
ఐ.బి. ఉంటే -p - ప్రతికూల సంఖ్య, (వరుసగా, p>0), అప్పుడు రెండు మూలాలు ప్రతికూల సంఖ్యలు (మేము ఒకే గుర్తు యొక్క సంఖ్యలను జోడించాము మరియు ప్రతికూల సంఖ్యను పొందాము).
II. q అనేది ప్రతికూల సంఖ్య అయితే,
దీనర్థం x1 మరియు x2 మూలాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి (సంఖ్యలను గుణించినప్పుడు, కారకాల సంకేతాలు భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు మాత్రమే ప్రతికూల సంఖ్య పొందబడుతుంది). ఈ సందర్భంలో, x1+x2 ఇకపై మొత్తం కాదు, కానీ తేడా (అన్ని తరువాత, దీనితో సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు వివిధ సంకేతాలుమేము పెద్ద మాడ్యూలో నుండి చిన్నదాన్ని తీసివేస్తాము). కాబట్టి, x1+x2 రూట్‌లు x1 మరియు x2 ఎంత తేడా ఉందో చూపిస్తుంది, అంటే ఒక రూట్ మరొకదాని కంటే ఎంత ఎక్కువగా ఉందో (సంపూర్ణ విలువలో).
II.a -p అనేది ధనాత్మక సంఖ్య అయితే, (అంటే, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b -p ప్రతికూల సంఖ్య అయితే, (p>0), అప్పుడు పెద్ద (మాడ్యులో) రూట్ ప్రతికూల సంఖ్య.
ఉదాహరణలను ఉపయోగించి వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను పరిష్కరించడాన్ని పరిశీలిద్దాం.
వియటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:
ఇక్కడ q=12>0, కాబట్టి x1 మరియు x2 మూలాలు ఒకే గుర్తు యొక్క సంఖ్యలు. వాటి మొత్తం -p=7>0, కాబట్టి రెండు మూలాలు సానుకూల సంఖ్యలు. మేము పూర్ణాంకాల ఉత్పత్తికి సమానమైన పూర్ణాంకాలను ఎంచుకుంటాము. ఇవి 1 మరియు 12, 2 మరియు 6, 3 మరియు 4. జత 3 మరియు 4 కోసం మొత్తం 7. అంటే 3 మరియు 4 సమీకరణం యొక్క మూలాలు.
IN ఈ ఉదాహరణలో q=16>0, అంటే x1 మరియు x2 మూలాలు ఒకే గుర్తుకు సంబంధించిన సంఖ్యలు. వాటి మొత్తం -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
ఇక్కడ q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, అప్పుడు పెద్ద సంఖ్య సానుకూలంగా ఉంటుంది. కాబట్టి మూలాలు 5 మరియు -3.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
చతుర్భుజ సమీకరణాలలో అనేక సంబంధాలు ఉన్నాయి. ప్రధానమైనవి మూలాలు మరియు గుణకాల మధ్య సంబంధాలు. అలాగే చతుర్భుజ సమీకరణాలలో వియెటా సిద్ధాంతం ద్వారా ఇవ్వబడిన అనేక సంబంధాలు ఉన్నాయి.
ఈ అంశంలో, మేము వియెటా సిద్ధాంతాన్ని మరియు చతుర్భుజ సమీకరణానికి దాని రుజువును ప్రదర్శిస్తాము, వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతం మరియు సమస్యలను పరిష్కరించడానికి అనేక ఉదాహరణలను విశ్లేషిస్తాము. మెటీరియల్‌లో, డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణం యొక్క నిజమైన మూలాల మధ్య సంబంధాన్ని నిర్వచించే వియటా సూత్రాల పరిశీలనపై మేము ప్రత్యేక శ్రద్ధ చూపుతాము. nమరియు దాని గుణకాలు.
Yandex.RTB R-A-339285-1
వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క సూత్రీకరణ మరియు రుజువు
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రం a x 2 + b x + c = 0రూపం x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, ఇక్కడ D = b 2 - 4 a c, సంబంధాలను ఏర్పరుస్తుంది x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. ఇది వియెటా సిద్ధాంతం ద్వారా ధృవీకరించబడింది.
సిద్ధాంతం 1
చతుర్భుజ సమీకరణంలో a x 2 + b x + c = 0, ఎక్కడ x 1మరియు x 2- మూలాలు, మూలాల మొత్తం గుణకాల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది బిమరియు a, ఇది వ్యతిరేక గుర్తుతో తీసుకోబడింది మరియు మూలాల ఉత్పత్తి గుణకాల నిష్పత్తికి సమానంగా ఉంటుంది సిమరియు a, అనగా x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
సాక్ష్యం 1
రుజువును అమలు చేయడానికి మేము మీకు ఈ క్రింది పథకాన్ని అందిస్తున్నాము: మూలాల సూత్రాన్ని తీసుకోండి, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తాన్ని మరియు ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేయండి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణలు సమానంగా ఉన్నాయని నిర్ధారించుకోవడానికి వాటిని మార్చండి. - బామరియు సి ఎవరుసగా.
x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a మూలాల మొత్తాన్ని చేద్దాం. భిన్నాలను సాధారణ హారంలోకి తీసుకువద్దాం - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. ఫలిత భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో కుండలీకరణాలను తెరిచి, సారూప్య పదాలను అందిద్దాం: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . భిన్నాన్ని దీని ద్వారా తగ్గిద్దాం: 2 - b a = - b a.
ఈ విధంగా మేము వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క మొదటి సంబంధాన్ని నిరూపించాము, ఇది వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తానికి సంబంధించినది.
ఇప్పుడు రెండవ సంబంధానికి వెళ్దాం.
దీన్ని చేయడానికి, మేము క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉత్పత్తిని కంపోజ్ చేయాలి: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
భిన్నాలను గుణించడం కోసం నియమాన్ని గుర్తుంచుకోండి మరియు చివరి ఉత్పత్తిని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్దాం: - b + D · - b - D 4 · a 2.
భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లోని బ్రాకెట్‌తో బ్రాకెట్‌ను గుణిద్దాం లేదా ఈ ఉత్పత్తిని వేగంగా మార్చడానికి స్క్వేర్‌ల ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించండి: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
కింది పరివర్తనను చేయడానికి వర్గమూలం యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగిస్తాము: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . ఫార్ములా D = b 2 - 4 a cవర్గ సమీకరణం యొక్క వివక్షకు అనుగుణంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, భిన్నానికి బదులుగా డిప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు b 2 - 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
బ్రాకెట్లను తెరిచి, సారూప్య పదాలను జోడించి, పొందండి: 4 · a · c 4 · a 2 . మేము దానిని కుదించినట్లయితే 4 ఎ, అప్పుడు మిగిలేది c a . మూలాల ఉత్పత్తికి వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ సంబంధాన్ని మేము ఈ విధంగా నిరూపించాము.
మేము వివరణలను వదిలివేస్తే వియటా సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు చాలా లాకోనిక్ రూపంలో వ్రాయబడుతుంది:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క వివక్షత సున్నాకి సమానమైనప్పుడు, సమీకరణం ఒకే మూలాన్ని కలిగి ఉంటుంది. అటువంటి సమీకరణానికి వియెటా సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి, సున్నాకి సమానమైన వివక్షతతో సమీకరణం రెండు ఒకే మూలాలను కలిగి ఉంటుందని మనం భావించవచ్చు. నిజానికి, ఎప్పుడు D=0వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలం: - b 2 · a, ఆపై x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a మరియు x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , మరియు D = 0 నుండి, అంటే b 2 - 4 · a · c = 0, ఎక్కడ నుండి b 2 = 4 · a · c, అప్పుడు b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
చాలా తరచుగా ఆచరణలో, వియెటా యొక్క సిద్ధాంతం రూపం యొక్క తగ్గిన వర్గ సమీకరణానికి వర్తించబడుతుంది. x 2 + p x + q = 0, ఇక్కడ ప్రముఖ గుణకం a 1కి సమానం. ఈ విషయంలో, వియెటా యొక్క సిద్ధాంతం ఈ రకమైన సమీకరణాల కోసం ప్రత్యేకంగా రూపొందించబడింది. ఏదైనా చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని సమానమైన సమీకరణం ద్వారా భర్తీ చేయవచ్చు అనే వాస్తవం కారణంగా ఇది సాధారణతను పరిమితం చేయదు. దీన్ని చేయడానికి, మీరు దాని రెండు భాగాలను సున్నాకి భిన్నమైన సంఖ్యతో విభజించాలి.
వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క మరొక సూత్రీకరణను ఇద్దాం.
సిద్ధాంతం 2
ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణంలో మూలాల మొత్తం x 2 + p x + q = 0 x యొక్క గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది, ఇది వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకోబడుతుంది, మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానంగా ఉంటుంది, అనగా. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
సిద్ధాంతం వియెటా సిద్ధాంతానికి విరుద్ధంగా ఉంటుంది
మీరు వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క రెండవ సూత్రీకరణను జాగ్రత్తగా పరిశీలిస్తే, మీరు దానిని మూలాల కోసం చూడవచ్చు x 1మరియు x 2తగ్గిన వర్గ సమీకరణం x 2 + p x + q = 0కింది సంబంధాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి: x 1 + x 2 = - p, x 1 · x 2 = q. ఈ సంబంధాల నుండి x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q ఇది అనుసరిస్తుంది x 1మరియు x 2చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు x 2 + p x + q = 0. కాబట్టి మేము వియటా సిద్ధాంతానికి విరుద్ధంగా ఉన్న ఒక ప్రకటనకు వచ్చాము.
మేము ఇప్పుడు ఈ ప్రకటనను ఒక సిద్ధాంతంగా అధికారికీకరించాలని మరియు దాని రుజువును అమలు చేయాలని ప్రతిపాదిస్తున్నాము.
సిద్ధాంతం 3
సంఖ్యలు ఉంటే x 1మరియు x 2అలాంటివి x 1 + x 2 = - pమరియు x 1 x 2 = q, ఆ x 1మరియు x 2తగ్గిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు x 2 + p x + q = 0.
సాక్ష్యం 2
అసమానతలను భర్తీ చేస్తోంది pమరియు qద్వారా వారి వ్యక్తీకరణకు x 1మరియు x 2సమీకరణాన్ని మార్చడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది x 2 + p x + q = 0సమానమైనదిగా .
మేము ఫలిత సమీకరణంలో సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే x 1బదులుగా x, అప్పుడు మనకు సమానత్వం లభిస్తుంది x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. ఇది ఎవరికైనా సమానత్వం x 1మరియు x 2నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుతుంది 0 = 0 , ఎందుకంటే x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 - x 1 2 - x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. దాని అర్థం ఏమిటంటే x 1- సమీకరణం యొక్క మూలం x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, అయితే ఏంటి x 1సమానమైన సమీకరణం యొక్క మూలం కూడా x 2 + p x + q = 0.
సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0సంఖ్యలు x 2బదులుగా x సమానత్వం పొందేందుకు అనుమతిస్తుంది x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. ఈ సమానత్వం నిజమైనదిగా పరిగణించబడుతుంది, కనుక x 2 2 - (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 - x 1 x 2 - x 2 2 + x 1 x 2 = 0. అని తేలుతుంది x 2సమీకరణం యొక్క మూలం x 2 - (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, మరియు అందుకే సమీకరణాలు x 2 + p x + q = 0.
వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క విరుద్ధం నిరూపించబడింది.
వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించే ఉదాహరణలు
ఇప్పుడు అంశంపై అత్యంత సాధారణ ఉదాహరణలను విశ్లేషించడం ప్రారంభిద్దాం. వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతాన్ని అన్వయించాల్సిన సమస్యలను విశ్లేషించడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం. గణనల ద్వారా ఉత్పత్తి చేయబడిన సంఖ్యలు ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదా అని చూడటానికి ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. దీన్ని చేయడానికి, మీరు వాటి మొత్తం మరియు వ్యత్యాసాన్ని లెక్కించాలి, ఆపై x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c సంబంధాల యొక్క చెల్లుబాటును తనిఖీ చేయండి.
రెండు సంబంధాల నెరవేర్పు లెక్కల సమయంలో పొందిన సంఖ్యలు సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని సూచిస్తుంది. కనీసం ఒక షరతు కూడా అందుకోలేదని మనం చూస్తే, ఈ సంఖ్యలు సమస్య ప్రకటనలో ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు కావు.
ఉదాహరణ 1
సంఖ్యల జతలలో ఏది 1) x 1 = - 5, x 2 = 3, లేదా 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, లేదా 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 అనేది చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాల జత 4 x 2 - 16 x + 9 = 0?
పరిష్కారం
చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క గుణకాలను కనుగొనండి 4 x 2 - 16 x + 9 = 0.ఇది a = 4, b = - 16, c = 9. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం, వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం తప్పనిసరిగా సమానంగా ఉండాలి - బా, అంటే, 16 4 = 4 , మరియు మూలాల ఉత్పత్తి సమానంగా ఉండాలి సి ఎ, అంటే, 9 4 .
ఇవ్వబడిన మూడు జతల నుండి సంఖ్యల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తిని లెక్కించడం మరియు వాటిని పొందిన విలువలతో పోల్చడం ద్వారా పొందిన సంఖ్యలను తనిఖీ చేద్దాం.
మొదటి సందర్భంలో x 1 + x 2 = - 5 + 3 = - 2. ఈ విలువ 4 నుండి భిన్నంగా ఉంటుంది, కాబట్టి, చెక్ కొనసాగించాల్సిన అవసరం లేదు. వియెటా సిద్ధాంతానికి సంబంధించిన సిద్ధాంతం ప్రకారం, మొదటి జత సంఖ్యలు ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు కాదని మేము వెంటనే నిర్ధారించగలము.
రెండవ సందర్భంలో, x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. మొదటి షరతు నెరవేరినట్లు మనం చూస్తాము. కానీ రెండవ షరతు కాదు: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. మనకు లభించిన విలువ భిన్నంగా ఉంటుంది 9 4 . అంటే రెండవ జత సంఖ్యలు చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు కావు.
మూడవ జతను పరిగణలోకి తీసుకుందాం. ఇక్కడ x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 మరియు x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. రెండు షరతులు నెరవేరాయి, అంటే x 1మరియు x 2ఇవ్వబడిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు.
సమాధానం: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
మేము చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడానికి వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క సంభాషణను కూడా ఉపయోగించవచ్చు. పూర్ణాంక గుణకాలతో ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణాల యొక్క పూర్ణాంక మూలాలను ఎంచుకోవడం సరళమైన మార్గం. ఇతర ఎంపికలను పరిగణించవచ్చు. కానీ ఇది గణనలను గణనీయంగా క్లిష్టతరం చేస్తుంది.
మూలాలను ఎంచుకోవడానికి, మేము రెండు సంఖ్యల మొత్తం ఒక వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకంతో సమానంగా ఉంటే, మైనస్ గుర్తుతో తీసుకుంటే, మరియు ఈ సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం అయితే, ఈ సంఖ్యలు ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు.
ఉదాహరణ 2
ఉదాహరణగా, మేము చతురస్రాకార సమీకరణాన్ని ఉపయోగిస్తాము x 2 - 5 x + 6 = 0. సంఖ్యలు x 1మరియు x 2రెండు సమానతలు సంతృప్తి చెందితే ఈ సమీకరణానికి మూలాలు కావచ్చు x 1 + x 2 = 5మరియు x 1 x 2 = 6. ఈ సంఖ్యలను ఎంచుకుందాం. ఇవి 2 మరియు 3 సంఖ్యలు, నుండి 2 + 3 = 5 మరియు 2 3 = 6. 2 మరియు 3 ఈ క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలు అని తేలింది.
మొదటిది తెలిసినప్పుడు లేదా స్పష్టంగా ఉన్నప్పుడు రెండవ మూలాన్ని కనుగొనడానికి వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క సంభాషణను ఉపయోగించవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మేము x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a సంబంధాలను ఉపయోగించవచ్చు.
ఉదాహరణ 3
వర్గ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనడం అవసరం.
పరిష్కారం
సమీకరణం యొక్క మొదటి మూలం 1, ఎందుకంటే ఈ వర్గ సమీకరణం యొక్క గుణకాల మొత్తం సున్నా. అని తేలుతుంది x 1 = 1.
ఇప్పుడు రెండవ మూలాన్ని కనుగొనండి. దీని కోసం మీరు సంబంధాన్ని ఉపయోగించవచ్చు x 1 x 2 = c a. అని తేలుతుంది 1 x 2 = − 3,512, ఎక్కడ x 2 = - 3,512.
సమాధానం:సమస్య ప్రకటనలో పేర్కొన్న వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు 1 మరియు - 3 512 .
సాధారణ సందర్భాలలో మాత్రమే వియెటా సిద్ధాంతానికి విలోమ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను ఎంచుకోవడం సాధ్యపడుతుంది. ఇతర సందర్భాల్లో, వివక్షత ద్వారా వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి శోధించడం మంచిది.
వియెటా సిద్ధాంతం యొక్క సంభాషణకు ధన్యవాదాలు, మేము ఇప్పటికే ఉన్న మూలాలను ఉపయోగించి వర్గ సమీకరణాలను కూడా నిర్మించవచ్చు x 1మరియు x 2. దీన్ని చేయడానికి, మేము మూలాల మొత్తాన్ని లెక్కించాలి, ఇది గుణకాన్ని ఇస్తుంది xఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం యొక్క వ్యతిరేక సంకేతం మరియు మూలాల ఉత్పత్తి, ఇది ఉచిత పదాన్ని ఇస్తుంది.
ఉదాహరణ 4
మూలాలు సంఖ్యలుగా ఉండే వర్గ సమీకరణాన్ని వ్రాయండి − 11 మరియు 23 .
పరిష్కారం
అని అనుకుందాం x 1 = - 11మరియు x 2 = 23. ఈ సంఖ్యల మొత్తం మరియు ఉత్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది: x 1 + x 2 = 12మరియు x 1 x 2 = − 253. దీని అర్థం రెండవ గుణకం 12, ఉచిత పదం − 253.
ఒక సమీకరణం చేద్దాం: x 2 - 12 x - 253 = 0.
సమాధానం: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల మూలాల సంకేతాలను కలిగి ఉన్న సమస్యలను పరిష్కరించడానికి మేము వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. వియెటా సిద్ధాంతం మధ్య కనెక్షన్ తగ్గిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల సంకేతాలకు సంబంధించినది x 2 + p x + q = 0క్రింది విధంగా:
- వర్గ సమీకరణం నిజమైన మూలాలను కలిగి ఉంటే మరియు అంతరాయ పదం ఉంటే qధనాత్మక సంఖ్య, అప్పుడు ఈ మూలాలు "+" లేదా "-" ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి;
- వర్గ సమీకరణం మూలాలను కలిగి ఉంటే మరియు అంతరాయ పదం ఉంటే qప్రతికూల సంఖ్య, అప్పుడు ఒక మూలం "+" మరియు రెండవది "-" అవుతుంది.
ఈ రెండు ప్రకటనలు సూత్రం యొక్క పరిణామం x 1 x 2 = qమరియు సానుకూల మరియు ప్రతికూల సంఖ్యలను గుణించడం కోసం నియమాలు, అలాగే వివిధ సంకేతాలతో సంఖ్యలు.
ఉదాహరణ 5
చతుర్భుజ సమీకరణం యొక్క మూలాలు x 2 - 64 x - 21 = 0అనుకూల?
పరిష్కారం
వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు రెండూ సానుకూలంగా ఉండవు, ఎందుకంటే అవి సమానత్వాన్ని సంతృప్తి పరచాలి. x 1 x 2 = - 21. పాజిటివ్‌తో ఇది అసాధ్యం x 1మరియు x 2.
సమాధానం:నం
ఉదాహరణ 6
ఏ పరామితి విలువలలో ఆర్వర్గ సమీకరణం x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0విభిన్న సంకేతాలతో రెండు నిజమైన మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
పరిష్కారం
వాటి విలువలను కనుగొనడం ద్వారా ప్రారంభిద్దాం ఆర్, దీని కోసం సమీకరణం రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది. వివక్ష చూపే వ్యక్తిని కనుగొని, దాని గురించి చూద్దాం ఆర్అది సానుకూల విలువలను తీసుకుంటుంది. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. వ్యక్తీకరణ విలువ r 2 + 8ఏదైనా నిజమైనదానికి అనుకూలమైనది ఆర్, కాబట్టి, వివక్షత ఏ వాస్తవానికైనా సున్నా కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది ఆర్. దీని అర్థం అసలు వర్గ సమీకరణం పరామితి యొక్క ఏదైనా వాస్తవ విలువలకు రెండు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది ఆర్.
మూలాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉన్నప్పుడు ఇప్పుడు చూద్దాం. వారి ఉత్పత్తి ప్రతికూలంగా ఉంటే ఇది సాధ్యమవుతుంది. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం, తగ్గిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల ఉత్పత్తి ఉచిత పదానికి సమానం. దీని అర్థం సరైన పరిష్కారం ఆ విలువలు ఆర్, దీని కోసం ఉచిత పదం r - 1 ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. సరళ అసమానత r − 1ని పరిష్కరిద్దాం< 0 , получаем r < 1 .
సమాధానం: r వద్ద< 1 .
Vieta సూత్రాలు
చతుర్భుజం మాత్రమే కాకుండా క్యూబిక్ మరియు ఇతర రకాల సమీకరణాల మూలాలు మరియు గుణకాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహించడానికి వర్తించే అనేక సూత్రాలు ఉన్నాయి. వాటిని వియెటా సూత్రాలు అంటారు.
డిగ్రీ యొక్క బీజగణిత సమీకరణం కోసం nరూపం a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 సమీకరణం ఉన్నట్లు పరిగణించబడుతుంది nనిజమైన మూలాలు x 1, x 2,…, x n, వీటిలో ఒకేలా ఉండవచ్చు:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
నిర్వచనం 1
Vieta యొక్క సూత్రాలు మాకు పొందడంలో సహాయపడతాయి:
- సరళ కారకాలుగా బహుపది యొక్క కుళ్ళిపోవడంపై సిద్ధాంతం;
- అన్ని వాటి సంబంధిత గుణకాల సమానత్వం ద్వారా సమాన బహుపదిలను నిర్ణయించడం.
అందువలన, బహుపది a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n మరియు దాని విస్తరణ a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · రూపం యొక్క సరళ కారకాలుగా. . . · (x - x n) సమానం.
మేము చివరి ఉత్పత్తిలో బ్రాకెట్లను తెరిచి, సంబంధిత గుణకాలను సమం చేస్తే, మేము Vieta సూత్రాలను పొందుతాము. n = 2 తీసుకుంటే, మేము చతురస్రాకార సమీకరణం కోసం వియెటా సూత్రాన్ని పొందవచ్చు: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
నిర్వచనం 2
క్యూబిక్ సమీకరణం కోసం వియెటా సూత్రం:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
వియటా ఫార్ములా యొక్క ఎడమ వైపు ప్రాథమిక సమరూప బహుపదాలు అని పిలవబడేవి ఉన్నాయి.
మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి
ఏదైనా పూర్తి వర్గ సమీకరణం గొడ్డలి 2 + bx + c = 0గుర్తుకు తెచ్చుకోవచ్చు x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, మీరు ముందుగా ప్రతి పదాన్ని ముందుగా గుణకం ద్వారా భాగిస్తే x 2. మరియు మేము కొత్త సంకేతాలను పరిచయం చేస్తే (b/a) = pమరియు (c/a) = q, అప్పుడు మనకు సమీకరణం ఉంటుంది x 2 + px + q = 0, గణితంలో దీనిని అంటారు చతుర్భుజ సమీకరణం ఇవ్వబడింది.
తగ్గిన వర్గ సమీకరణం మరియు గుణకాల మూలాలు pమరియు qఒకదానికొకటి కనెక్ట్ చేయబడింది. ఇది ధృవీకరించబడింది వియెటా సిద్ధాంతం, 16వ శతాబ్దం చివరిలో నివసించిన ఫ్రెంచ్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు ఫ్రాంకోయిస్ వియెటా పేరు పెట్టారు.
సిద్ధాంతం. తగ్గించబడిన వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం x 2 + px + q = 0రెండవ గుణకంతో సమానం p, వ్యతిరేక సంకేతంతో తీసుకోబడింది మరియు మూలాల ఉత్పత్తి - ఉచిత పదానికి q.
ఈ సంబంధాలను ఈ క్రింది రూపంలో వ్రాస్దాం:
వీలు x 1మరియు x 2ఇచ్చిన సమీకరణం యొక్క విభిన్న మూలాలు x 2 + px + q = 0. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం x 1 + x 2 = -pమరియు x 1 x 2 = q.
దీన్ని నిరూపించడానికి, సమీకరణంలో ప్రతి మూలాలను x 1 మరియు x 2 ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం. మేము రెండు నిజమైన సమానత్వాన్ని పొందుతాము:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
మొదటి సమానత్వం నుండి రెండవదాన్ని తీసివేద్దాం. మాకు దొరికింది: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
మేము చతురస్రాల ఫార్ములా తేడాను ఉపయోగించి మొదటి రెండు పదాలను విస్తరిస్తాము:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
షరతు ప్రకారం, x 1 మరియు x 2 మూలాలు భిన్నంగా ఉంటాయి. కాబట్టి, మనం సమానత్వాన్ని (x 1 – x 2) ≠ 0 మరియు ఎక్స్‌ప్రెస్ pకి తగ్గించవచ్చు.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
మొదటి సమానత్వం నిరూపించబడింది.
రెండవ సమానత్వాన్ని నిరూపించడానికి, మేము మొదటి సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము
x 1 2 + px 1 + q = 0 గుణకం pకి బదులుగా, సమాన సంఖ్య (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపును మార్చడం, మేము పొందుతాము:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, ఇది నిరూపించాల్సిన అవసరం ఉంది.
వియెటా సిద్ధాంతం బాగుంది ఎందుకంటే క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలు తెలియకుండానే, మనం వాటి మొత్తాన్ని మరియు ఉత్పత్తిని లెక్కించవచ్చు .
ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం యొక్క పూర్ణాంక మూలాలను గుర్తించడంలో వియెటా సిద్ధాంతం సహాయపడుతుంది. కానీ చాలా మంది విద్యార్థులకు ఇది చర్య యొక్క స్పష్టమైన అల్గోరిథం తెలియకపోవడం వల్ల ఇబ్బందులను కలిగిస్తుంది, ప్రత్యేకించి సమీకరణం యొక్క మూలాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటే.
కాబట్టి, పై వర్గ సమీకరణం x 2 + px + q = 0 రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది, ఇక్కడ x 1 మరియు x 2 దాని మూలాలు. వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం, x 1 + x 2 = -p మరియు x 1 · x 2 = q.
కింది తీర్మానం చేయవచ్చు.
సమీకరణంలో చివరి పదం మైనస్ గుర్తుతో ముందు ఉంటే, x 1 మరియు x 2 మూలాలు వేర్వేరు సంకేతాలను కలిగి ఉంటాయి. అదనంగా, చిన్న మూలం యొక్క సంకేతం సమీకరణంలో రెండవ గుణకం యొక్క గుర్తుతో సమానంగా ఉంటుంది.
విభిన్న చిహ్నాలతో సంఖ్యలను జోడించేటప్పుడు, వాటి మాడ్యూల్స్ తీసివేయబడతాయి మరియు ఫలిత ఫలితం సంపూర్ణ విలువలో పెద్ద సంఖ్య యొక్క గుర్తుతో ముందు ఉంటుంది అనే వాస్తవం ఆధారంగా, మీరు ఈ క్రింది విధంగా కొనసాగాలి:
- సంఖ్య q యొక్క కారకాలను నిర్ణయించండి, వాటి వ్యత్యాసం సంఖ్య pకి సమానంగా ఉంటుంది;
- సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకం యొక్క చిహ్నాన్ని చిన్న ఫలిత సంఖ్యల ముందు ఉంచండి; రెండవ మూలానికి వ్యతిరేక గుర్తు ఉంటుంది.
కొన్ని ఉదాహరణలు చూద్దాం.
ఉదాహరణ 1.
x 2 – 2x – 15 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
పైన ప్రతిపాదించిన నియమాలను ఉపయోగించి ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అప్పుడు ఈ సమీకరణం రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంటుందని మనం ఖచ్చితంగా చెప్పగలం, ఎందుకంటే D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
ఇప్పుడు, సంఖ్య 15 (1 మరియు 15, 3 మరియు 5) యొక్క అన్ని కారకాల నుండి, మేము తేడా 2 ఉన్న వాటిని ఎంచుకుంటాము. ఇవి 3 మరియు 5 సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. మేము చిన్న సంఖ్యకు ముందు మైనస్ గుర్తును ఉంచాము, అనగా. సమీకరణం యొక్క రెండవ గుణకం యొక్క సంకేతం. ఈ విధంగా, మేము x 1 = -3 మరియు x 2 = 5 సమీకరణం యొక్క మూలాలను పొందుతాము.
సమాధానం. x 1 = -3 మరియు x 2 = 5.
ఉదాహరణ 2.
x 2 + 5x – 6 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
ఈ సమీకరణానికి మూలాలు ఉన్నాయో లేదో చూద్దాం. దీన్ని చేయడానికి, మేము వివక్షను కనుగొంటాము:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. సమీకరణం రెండు వేర్వేరు మూలాలను కలిగి ఉంటుంది.
సంఖ్య 6 యొక్క సంభావ్య కారకాలు 2 మరియు 3, 6 మరియు 1. జంట 6 మరియు 1కి వ్యత్యాసం 5. ఈ ఉదాహరణలో, రెండవ పదం యొక్క గుణకం ప్లస్ గుర్తును కలిగి ఉంటుంది, కాబట్టి చిన్న సంఖ్యకు ఒకే గుర్తు ఉంటుంది. . కానీ రెండవ సంఖ్యకు ముందు మైనస్ గుర్తు ఉంటుంది.
సమాధానం: x 1 = -6 మరియు x 2 = 1.
వియెటా సిద్ధాంతాన్ని పూర్తి వర్గ సమీకరణం కోసం కూడా వ్రాయవచ్చు. కాబట్టి, చతుర్భుజ సమీకరణం అయితే గొడ్డలి 2 + bx + c = 0 x 1 మరియు x 2 మూలాలను కలిగి ఉంటుంది, అప్పుడు వాటికి సమానతలు ఉంటాయి
x 1 + x 2 = -(b/a)మరియు x 1 x 2 = (c/a). అయినప్పటికీ, ఈ సిద్ధాంతాన్ని పూర్తి వర్గ సమీకరణంలో ఉపయోగించడం చాలా సమస్యాత్మకమైనది, ఎందుకంటే మూలాలు ఉంటే, వాటిలో కనీసం ఒకటి పాక్షిక సంఖ్య. మరియు భిన్నాలను ఎంచుకోవడంతో పని చేయడం చాలా కష్టం. కానీ ఇప్పటికీ ఒక మార్గం ఉంది.
పూర్తి వర్గ సమీకరణం గొడ్డలి 2 + bx + c = 0 పరిగణించండి. దాని ఎడమ మరియు కుడి వైపులా గుణకం a ద్వారా గుణించండి. సమీకరణం (గొడ్డలి) 2 + b(ax) + ac = 0 రూపాన్ని తీసుకుంటుంది. ఇప్పుడు కొత్త వేరియబుల్‌ని పరిచయం చేద్దాం, ఉదాహరణకు t = ax.
ఈ సందర్భంలో, ఫలిత సమీకరణం t 2 + bt + ac = 0 రూపం యొక్క తగ్గిన వర్గ సమీకరణంగా మారుతుంది, దీని మూలాలు t 1 మరియు t 2 (ఏదైనా ఉంటే) వియెటా సిద్ధాంతం ద్వారా నిర్ణయించబడతాయి.
ఈ సందర్భంలో, అసలు క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఉంటాయి
x 1 = (t 1 / a) మరియు x 2 = (t 2 / a).
ఉదాహరణ 3.
15x 2 – 11x + 2 = 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.
పరిష్కారం.
సహాయక సమీకరణాన్ని క్రియేట్ చేద్దాం. సమీకరణంలోని ప్రతి పదాన్ని 15తో గుణిద్దాం:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
మేము భర్తీ t = 15x చేస్తాము. మాకు ఉన్నాయి:
t 2 – 11t + 30 = 0.
వియెటా సిద్ధాంతం ప్రకారం, ఈ సమీకరణం యొక్క మూలాలు t 1 = 5 మరియు t 2 = 6.
మేము t = 15x భర్తీకి తిరిగి వస్తాము:
5 = 15x లేదా 6 = 15x. కాబట్టి x 1 = 5/15 మరియు x 2 = 6/15. మేము తగ్గించి, తుది సమాధానాన్ని పొందుతాము: x 1 = 1/3 మరియు x 2 = 2/5.
సమాధానం. x 1 = 1/3 మరియు x 2 = 2/5.
వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి చతుర్భుజ సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో నైపుణ్యం సాధించడానికి, విద్యార్థులు వీలైనంత ఎక్కువగా సాధన చేయాలి. ఇది ఖచ్చితంగా విజయ రహస్యం.
వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.