విభిన్న వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలు. రెండు వేరియబుల్స్‌లో సరళ సమీకరణం మరియు దాని గ్రాఫ్

రెండు వేరియబుల్స్‌లోని సరళ సమీకరణం క్రింది రూపాన్ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా సమీకరణం: a*x + b*y =с.ఇక్కడ x మరియు y రెండు వేరియబుల్స్, a,b,c కొన్ని సంఖ్యలు.

క్రింద కొన్ని ఉన్నాయి సరళ సమీకరణాల ఉదాహరణలు.

1. 10*x + 25*y = 150;

ఒక తెలియని సమీకరణాల వలె, రెండు వేరియబుల్స్ (తెలియనివి) కలిగిన సరళ సమీకరణం కూడా ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు, సరళ సమీకరణం x-y=5, x=8 మరియు y=3 సరైన గుర్తింపు 8-3=5గా మారుతుంది. ఈ సందర్భంలో, x=8 మరియు y=3 సంఖ్యల జత x-y=5 సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారంగా చెప్పబడుతుంది. మీరు ఒక జత సంఖ్యలు x=8 మరియు y=3 x-y=5 సరళ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తాయని కూడా చెప్పవచ్చు.

సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం

ఈ విధంగా, a*x + b*y = c అనే సరళ సమీకరణానికి పరిష్కారం ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఏదైనా జత సంఖ్యలు (x,y), అంటే x మరియు y వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని సరైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మారుస్తుంది. x మరియు y సంఖ్యల జత ఇక్కడ ఎలా వ్రాయబడిందో గమనించండి. ఈ ఎంట్రీ చిన్నది మరియు మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది. అటువంటి రికార్డ్‌లో మొదటి స్థానం వేరియబుల్ x విలువ అని మరియు రెండవది y వేరియబుల్ విలువ అని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి.

దయచేసి x=11 మరియు y=8, x=205 మరియు y=200 x= 4.5 మరియు y= -0.5 అనే సంఖ్యలు కూడా x-y=5 అనే సరళ సమీకరణాన్ని సంతృప్తి పరుస్తాయని, అందువల్ల ఈ రేఖీయ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు అని గమనించండి.

రెండు తెలియని వ్యక్తులతో సరళ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం ఒక్కటే కాదు.రెండు తెలియని వాటిలోని ప్రతి సరళ సమీకరణం అనంతమైన అనేక విభిన్న పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. అంటే ఉంది అనంతమైన అనేక విభిన్నమైనవి x మరియు y అనే రెండు సంఖ్యలు సరళ సమీకరణాన్ని నిజమైన గుర్తింపుగా మారుస్తాయి.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన అనేక సమీకరణాలు ఒకే పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి సమీకరణాలను సమానమైన సమీకరణాలు అంటారు. రెండు తెలియని సమీకరణాలకు పరిష్కారాలు లేకపోతే, అవి కూడా సమానమైనవిగా పరిగణించబడతాయని గమనించాలి.

రెండు తెలియని వాటితో సరళ సమీకరణాల ప్రాథమిక లక్షణాలు

1. సమీకరణంలోని ఏదైనా పదాలు ఒక భాగం నుండి మరొకదానికి బదిలీ చేయబడతాయి, కానీ దాని చిహ్నాన్ని వ్యతిరేక దానికి మార్చడం అవసరం. ఫలిత సమీకరణం అసలైన దానికి సమానంగా ఉంటుంది.

2. సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా సున్నా కాని సంఖ్యతో భాగించవచ్చు. ఫలితంగా, మేము అసలైన దానికి సమానమైన సమీకరణాన్ని పొందుతాము.

పూర్ణాంకాలలో సమీకరణాలను పరిష్కరించడం పురాతన గణిత సమస్యలలో ఒకటి. ఇప్పటికే 2 వ సహస్రాబ్ది BC ప్రారంభంలో. ఇ. అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థలను రెండు వేరియబుల్స్‌తో ఎలా పరిష్కరించాలో బాబిలోనియన్లకు తెలుసు. గణితశాస్త్రం యొక్క ఈ ప్రాంతం ప్రాచీన గ్రీస్‌లో దాని గొప్ప వృద్ధికి చేరుకుంది. మా ప్రధాన మూలం డయోఫాంటస్ అంకగణితం, ఇందులో వివిధ రకాల సమీకరణాలు ఉన్నాయి. అందులో, డయోఫాంటస్ (అతని పేరు తర్వాత సమీకరణాల పేరు డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలు) 19వ శతాబ్దంలో మాత్రమే అభివృద్ధి చెందిన 2వ మరియు 3వ డిగ్రీల సమీకరణాలను అధ్యయనం చేయడానికి అనేక పద్ధతులను ఊహించాడు.

సరళమైన డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలు గొడ్డలి + y = 1 (రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం, మొదటి డిగ్రీ) x2 + y2 = z2 (మూడు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం, రెండవ డిగ్రీ)

బీజగణిత సమీకరణాలు పూర్తిగా అధ్యయనం చేయబడ్డాయి; వాటి పరిష్కారం 16వ మరియు 17వ శతాబ్దాలలో బీజగణితానికి సంబంధించిన అతి ముఖ్యమైన సమస్యలలో ఒకటి.

19వ శతాబ్దం ప్రారంభం నాటికి, P. ఫెర్మాట్, L. యూలర్, K. గాస్ యొక్క రచనలు రూపం యొక్క డయోఫాంటైన్ సమీకరణాన్ని పరిశోధించాయి: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, ఇక్కడ a, b, c , d, e, f అనేవి సంఖ్యలు; x, y తెలియని వేరియబుల్స్.

ఇది రెండు తెలియని వ్యక్తులతో కూడిన 2వ డిగ్రీ సమీకరణం.

K. గాస్ వర్గీకరణ రూపాల యొక్క సాధారణ సిద్ధాంతాన్ని అభివృద్ధి చేశాడు, ఇది రెండు వేరియబుల్స్ (డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలు) తో కొన్ని రకాల సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ఆధారం. ప్రాథమిక పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించగల నిర్దిష్ట డయోఫాంటైన్ సమీకరణాలు పెద్ద సంఖ్యలో ఉన్నాయి. /p>

సైద్ధాంతిక పదార్థం.

పని యొక్క ఈ భాగంలో, ప్రాథమిక గణిత అంశాలు వివరించబడతాయి, నిబంధనలు నిర్వచించబడతాయి మరియు రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను పరిష్కరించేటప్పుడు అధ్యయనం చేయబడిన మరియు పరిగణించబడే నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి విస్తరణ సిద్ధాంతం రూపొందించబడుతుంది.

నిర్వచనం 1: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ a, b, c, d, e, f అనేవి సంఖ్యలు; x, y తెలియని వేరియబుల్స్‌ని రెండు వేరియబుల్స్‌తో సెకండ్ డిగ్రీ ఈక్వేషన్ అంటారు.

పాఠశాల గణిత కోర్సులో, చతురస్రాకార సమీకరణం ax2 + bx + c = 0 అధ్యయనం చేయబడుతుంది, ఇక్కడ x సంఖ్య యొక్క a, b, c ఒక వేరియబుల్‌తో వేరియబుల్. ఈ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి:

1. వివక్షను ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనడం;

2. సరి గుణకం కోసం మూలాలను కనుగొనడం (D1= ప్రకారం);

3. వియెటా సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి మూలాలను కనుగొనడం;

4. ద్విపద యొక్క ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని వేరు చేయడం ద్వారా మూలాలను కనుగొనడం.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే దాని అన్ని మూలాలను కనుగొనడం లేదా అవి ఉనికిలో లేవని నిరూపించడం.

నిర్వచనం 2: సమీకరణం యొక్క మూలం ఒక సంఖ్య, ఇది సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా ఉన్నప్పుడు, నిజమైన సమానత్వాన్ని ఏర్పరుస్తుంది.

నిర్వచనం 3: రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం యొక్క పరిష్కారాన్ని ఒక జత సంఖ్యలు (x, y) అని పిలుస్తారు, ఇది సమీకరణంలోకి ప్రత్యామ్నాయంగా మారుతుంది, అది నిజమైన సమానత్వంగా మారుతుంది.

సమీకరణానికి పరిష్కారాలను కనుగొనే ప్రక్రియ చాలా తరచుగా సమీకరణాన్ని సమానమైన సమీకరణంతో భర్తీ చేస్తుంది, కానీ పరిష్కరించడానికి సులభమైనది. ఇటువంటి సమీకరణాలను సమానమైనవి అంటారు.

నిర్వచనం 4: ఒక సమీకరణం యొక్క ప్రతి పరిష్కారం మరొక సమీకరణం యొక్క పరిష్కారం అయితే రెండు సమీకరణాలు సమానమైనవిగా చెప్పబడతాయి మరియు దీనికి విరుద్ధంగా, మరియు రెండు సమీకరణాలు ఒకే డొమైన్‌లో పరిగణించబడతాయి.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి, పూర్తి చతురస్రాల మొత్తానికి (నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ద్వారా) సమీకరణం యొక్క కుళ్ళిపోవడంపై సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి.

రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణం ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1), విస్తరణ a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) జరుగుతుంది

రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క సమీకరణం (1) కోసం విస్తరణ (2) జరిగే పరిస్థితులను రూపొందిద్దాం.

సిద్ధాంతం: సమీకరణంలోని a, b, c గుణకాలు (1) a0 మరియు 4ab – c20 పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచినట్లయితే, అప్పుడు విస్తరణ (2) ఒక ప్రత్యేక పద్ధతిలో నిర్ణయించబడుతుంది.

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సమీకరణం (1) సిద్ధాంతం యొక్క షరతులు నెరవేరినట్లయితే నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి (2) రూపానికి తగ్గించవచ్చు.

నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి ఎలా అమలు చేయబడుతుందో ఉదాహరణగా చూద్దాం.

పద్ధతి సంఖ్య 1. నిర్ణయించబడని గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

1. సిద్ధాంతం యొక్క షరతుల నెరవేర్పును తనిఖీ చేద్దాం, a=2, b=1, c=2, అంటే a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. సిద్ధాంతం యొక్క షరతులు నెరవేరాయి; వాటిని ఫార్ములా (2) ప్రకారం విస్తరించవచ్చు.

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 +h, సిద్ధాంతం యొక్క పరిస్థితుల ఆధారంగా, గుర్తింపు యొక్క రెండు భాగాలు సమానంగా ఉంటాయి. గుర్తింపు యొక్క కుడి వైపున సరళీకృతం చేద్దాం.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. మేము ఒకే విధమైన వేరియబుల్స్ కోసం గుణకాలను వాటి డిగ్రీలతో సమం చేస్తాము.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందండి, దాన్ని పరిష్కరించండి మరియు గుణకాల విలువలను కనుగొనండి.

7. గుణకాలను (2)కి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి, అప్పుడు సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 +0

అందువలన, అసలు సమీకరణం సమీకరణానికి సమానం

2(x + 0.5y + 0.5)2 + 0.5(y -1)2 = 0 (3), ఈ సమీకరణం రెండు సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సమానం.

సమాధానం: (-1; 1).

మీరు విస్తరణ (3) రకానికి శ్రద్ధ వహిస్తే, ఇది ఒక చతురస్రాకార సమీకరణం నుండి ఒక చతురస్ర సమీకరణం నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేసే రూపంలో ఒకేలా ఉంటుందని మీరు గమనించవచ్చు: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించేటప్పుడు ఈ సాంకేతికతను వర్తింపజేద్దాం. పూర్తి స్క్వేర్ ఎంపికను ఉపయోగించి, సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి ఇప్పటికే పరిష్కరించబడిన రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరిద్దాం.

విధానం సంఖ్య 2: 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

పరిష్కారం: 1. 2x2ని x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 అనే రెండు పదాల మొత్తంగా ఊహించుకుందాం.

2. పూర్తి చతురస్రం యొక్క సూత్రాన్ని ఉపయోగించి మనం వాటిని మడవగల విధంగా నిబంధనలను సమూహపరుద్దాం.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.

3. బ్రాకెట్లలోని వ్యక్తీకరణల నుండి పూర్తి చతురస్రాలను ఎంచుకోండి.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. ఈ సమీకరణం సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థకు సమానం.

సమాధానం: (-1;1).

మీరు ఫలితాలను సరిపోల్చినట్లయితే, సిద్ధాంతం మరియు నిరవధిక గుణకాల పద్ధతిని ఉపయోగించి పద్ధతి సంఖ్య 1 ద్వారా పరిష్కరించబడిన సమీకరణం మరియు పూర్తి చతురస్రం యొక్క సంగ్రహణను ఉపయోగించి పద్ధతి సంఖ్య 2 ద్వారా పరిష్కరించబడిన సమీకరణం ఒకే మూలాలను కలిగి ఉన్నాయని మీరు చూడవచ్చు.

ముగింపు: రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన వర్గ సమీకరణాన్ని రెండు విధాలుగా స్క్వేర్‌ల మొత్తంగా విస్తరించవచ్చు:

➢ మొదటి పద్ధతి నిరవధిక గుణకాల పద్ధతి, ఇది సిద్ధాంతం మరియు విస్తరణ (2)పై ఆధారపడి ఉంటుంది.

➢ రెండవ మార్గం గుర్తింపు పరివర్తనలను ఉపయోగించడం, ఇది క్రమానుగతంగా పూర్తి స్క్వేర్‌లను ఎంచుకోవడానికి మిమ్మల్ని అనుమతిస్తుంది.

వాస్తవానికి, సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, రెండవ పద్ధతి ఉత్తమం, ఎందుకంటే దీనికి విస్తరణ (2) మరియు షరతులను గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు.

ఈ పద్ధతిని మూడు వేరియబుల్స్‌తో క్వాడ్రాటిక్ సమీకరణాల కోసం కూడా ఉపయోగించవచ్చు. అటువంటి సమీకరణాలలో ఖచ్చితమైన చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం మరింత శ్రమతో కూడుకున్నది. నేను వచ్చే ఏడాది ఈ రకమైన పరివర్తన చేస్తాను.

ఫారమ్‌ను కలిగి ఉన్న ఫంక్షన్‌ను గమనించడం ఆసక్తికరంగా ఉంటుంది: f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్ అంటారు. గణితశాస్త్రంలోని వివిధ విభాగాలలో చతుర్భుజ విధులు ముఖ్యమైన పాత్ర పోషిస్తాయి:

గణిత ప్రోగ్రామింగ్‌లో (క్వాడ్రాటిక్ ప్రోగ్రామింగ్)

సరళ బీజగణితం మరియు జ్యామితిలో (చతుర్భుజ రూపాలు)

అవకలన సమీకరణాల సిద్ధాంతంలో (రెండవ-క్రమం సరళ సమీకరణాన్ని కానానికల్ రూపానికి తగ్గించడం).

ఈ వివిధ సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, ఒక చతురస్రాకార సమీకరణం (ఒకటి, రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ వేరియబుల్స్) నుండి పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేసే విధానాన్ని తప్పనిసరిగా వర్తింపజేయాలి.

రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క చతురస్రాకార సమీకరణం ద్వారా సమీకరణాలు వివరించబడిన పంక్తులను రెండవ-క్రమం వక్రతలు అంటారు.

ఇది ఒక వృత్తం, దీర్ఘవృత్తం, హైపర్బోలా.

ఈ వక్రరేఖల గ్రాఫ్‌లను నిర్మించేటప్పుడు, పూర్తి చతురస్రాన్ని వరుసగా వేరుచేసే పద్ధతి కూడా ఉపయోగించబడుతుంది.

నిర్దిష్ట ఉదాహరణలను ఉపయోగించి పూర్తి చతురస్రాన్ని క్రమానుగతంగా ఎంచుకునే పద్ధతి ఎలా పనిచేస్తుందో చూద్దాం.

ఆచరణాత్మక భాగం.

పూర్తి చతురస్రాన్ని వరుసగా వేరుచేసే పద్ధతిని ఉపయోగించి సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x +1)2 + (x + y)2 = 0;

సమాధానం:(-1;1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

సమాధానం:(0.5; - 0.5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;

3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

సమాధానం:(-1;1).

సమీకరణాలను పరిష్కరించండి:

1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0

(ఫారమ్‌కి తగ్గించండి: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

సమాధానం: (-3; -3)

2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0

(ఫారమ్‌కి తగ్గించండి: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)

సమాధానం: (-1; 1)

3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0

(ఫారమ్‌కి తగ్గించండి: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)

సమాధానం: (7; -7)

ముగింపు.

ఈ శాస్త్రీయ పనిలో, రెండవ డిగ్రీ యొక్క రెండు వేరియబుల్స్తో సమీకరణాలు అధ్యయనం చేయబడ్డాయి మరియు వాటిని పరిష్కరించడానికి పద్ధతులు పరిగణించబడ్డాయి. పని పూర్తయింది, పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం మరియు సమీకరణాన్ని సమానమైన సమీకరణ వ్యవస్థతో భర్తీ చేయడం ఆధారంగా పరిష్కారం యొక్క చిన్న పద్ధతి రూపొందించబడింది మరియు వివరించబడింది, ఫలితంగా రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే విధానం సరళీకృతం చేయబడింది.

పని యొక్క ముఖ్యమైన అంశం ఏమిటంటే, క్వాడ్రాటిక్ ఫంక్షన్‌కు సంబంధించిన వివిధ గణిత సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు, రెండవ-ఆర్డర్ వక్రతలను నిర్మించేటప్పుడు మరియు వ్యక్తీకరణల యొక్క అతిపెద్ద (చిన్న) విలువను కనుగొనేటప్పుడు పరిశీలనలో ఉన్న సాంకేతికత ఉపయోగించబడుతుంది.

ఈ విధంగా, రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సెకండ్-ఆర్డర్ సమీకరణాన్ని చతురస్రాల మొత్తానికి విడదీసే సాంకేతికత గణితశాస్త్రంలో అత్యధిక సంఖ్యలో అనువర్తనాలను కలిగి ఉంది.

ఈ అంశంపై రచయిత యొక్క విధానం ప్రమాదవశాత్తు కాదు. రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన సమీకరణాలు మొదట 7వ తరగతి కోర్సులో ఎదురవుతాయి. రెండు వేరియబుల్స్‌తో కూడిన ఒక సమీకరణం అనంతమైన పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది. ఇది ax + by=cగా ఇవ్వబడిన సరళ ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్ ద్వారా స్పష్టంగా ప్రదర్శించబడుతుంది. పాఠశాల కోర్సులో, విద్యార్థులు రెండు వేరియబుల్స్‌తో రెండు సమీకరణాల వ్యవస్థలను అధ్యయనం చేస్తారు. తత్ఫలితంగా, సమీకరణం యొక్క గుణకంపై పరిమిత షరతులతో కూడిన సమస్యల యొక్క మొత్తం శ్రేణి, అలాగే వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతులు, ఉపాధ్యాయుని దృష్టి నుండి మరియు అందువల్ల విద్యార్థికి దూరంగా ఉంటాయి.

మేము పూర్ణాంకాలు లేదా సహజ సంఖ్యలలో రెండు తెలియని వాటితో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం గురించి మాట్లాడుతున్నాము.

పాఠశాలలో, సహజ సంఖ్యలు మరియు పూర్ణాంకాలు 4-6 తరగతులలో అధ్యయనం చేయబడతాయి. వారు పాఠశాల నుండి గ్రాడ్యుయేట్ అయ్యే సమయానికి, విద్యార్థులందరూ ఈ సంఖ్యల సెట్ల మధ్య తేడాలను గుర్తుంచుకోరు.

అయినప్పటికీ, "పూర్ణాంకాలలో ax + by=c ఫారమ్ యొక్క సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం" వంటి సమస్య విశ్వవిద్యాలయాలకు ప్రవేశ పరీక్షలలో మరియు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షా సామగ్రిలో ఎక్కువగా కనుగొనబడింది.

అనిశ్చిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడం వలన తార్కిక ఆలోచన, మేధస్సు మరియు విశ్లేషణపై శ్రద్ధ పెరుగుతుంది.

ఈ అంశంపై అనేక పాఠాలను అభివృద్ధి చేయాలని నేను ప్రతిపాదించాను. ఈ పాఠాల సమయం గురించి నాకు స్పష్టమైన సిఫార్సులు లేవు. కొన్ని మూలకాలు 7వ తరగతిలో కూడా ఉపయోగించవచ్చు (బలమైన తరగతికి). ఈ పాఠాలను ప్రాతిపదికగా తీసుకోవచ్చు మరియు 9వ తరగతిలో పూర్వ వృత్తి శిక్షణపై ఒక చిన్న ఎంపిక కోర్సును అభివృద్ధి చేయవచ్చు. మరియు, వాస్తవానికి, ఈ పదార్థాన్ని పరీక్షలకు సిద్ధం చేయడానికి 10-11 తరగతులలో ఉపయోగించవచ్చు.

పాఠం యొక్క ఉద్దేశ్యం:

• "మొదటి మరియు రెండవ ఆర్డర్ సమీకరణాలు" అనే అంశంపై జ్ఞానం యొక్క పునరావృతం మరియు సాధారణీకరణ
• విషయంపై అభిజ్ఞా ఆసక్తిని పెంపొందించడం
• విశ్లేషించే సామర్థ్యాన్ని అభివృద్ధి చేయడం, సాధారణీకరణలు చేయడం, కొత్త పరిస్థితికి జ్ఞానాన్ని బదిలీ చేయడం

పాఠము 1.

తరగతుల సమయంలో.

1) ఆర్గ్. క్షణం.

2) ప్రాథమిక పరిజ్ఞానాన్ని నవీకరించడం.

నిర్వచనం. రెండు వేరియబుల్స్‌లోని సరళ సమీకరణం రూపం యొక్క సమీకరణం

mx + ny = k, ఇక్కడ m, n, k అనేది సంఖ్యలు, x, y వేరియబుల్స్.

ఉదాహరణ: 5x+2y=10

నిర్వచనం. రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్న సమీకరణానికి ఒక పరిష్కారం వేరియబుల్స్ యొక్క ఒక జత విలువలు, ఇది సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మారుస్తుంది.

ఒకే పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్న రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను సమానం అంటారు.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

ఈ సమీకరణం ఎన్ని పరిష్కారాలను అయినా కలిగి ఉంటుంది. దీన్ని చేయడానికి, ఏదైనా x విలువను తీసుకొని సంబంధిత y విలువను కనుగొనడం సరిపోతుంది.

x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

సంఖ్యల జతల (2;1); (4;-4) - సమీకరణానికి పరిష్కారాలు (1).

ఈ సమీకరణం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది.

3) చారిత్రక నేపథ్యం

నిరవధిక (డయోఫాంటైన్) సమీకరణాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువ వేరియబుల్‌లను కలిగి ఉన్న సమీకరణాలు.

3వ శతాబ్దంలో. క్రీ.శ - అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన డయోఫాంటస్ "అరిథ్మెటిక్" రాశాడు, దీనిలో అతను సంఖ్యల సమితిని హేతుబద్ధమైన వాటికి విస్తరించాడు మరియు బీజగణిత ప్రతీకవాదాన్ని ప్రవేశపెట్టాడు.

డయోఫాంటస్ నిరవధిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో సమస్యలను కూడా పరిగణించాడు మరియు అతను రెండవ మరియు మూడవ డిగ్రీ యొక్క నిరవధిక సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి పద్ధతులను ఇచ్చాడు.

4) కొత్త విషయాలను అధ్యయనం చేయడం.

నిర్వచనం: x, y అనే రెండు తెలియని వాటితో కూడిన ఫస్ట్-ఆర్డర్ అసమానమైన డయోఫాంటైన్ సమీకరణం mx + ny = k రూపం యొక్క సమీకరణం, ఇక్కడ m, n, k, x, y Z k0

ప్రకటన 1.

సమీకరణం (1)లోని k అనే ఉచిత పదం m మరియు n సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ భాజకం (GCD) ద్వారా భాగించబడకపోతే, సమీకరణం (1)కి పూర్ణాంక పరిష్కారాలు లేవు.

ఉదాహరణ: 34x – 17y = 3.

GCD (34; 17) = 17, 3 17తో సమానంగా భాగించబడదు, పూర్ణాంకాలలో పరిష్కారం లేదు.

kని gcd (m, n)తో భాగించనివ్వండి. అన్ని కోఎఫీషియెంట్‌లను విభజించడం ద్వారా, m మరియు n సాపేక్షంగా ప్రైమ్ అయ్యేలా చూసుకోవచ్చు.

ప్రకటన 2.

సమీకరణం (1) యొక్క m మరియు n సాపేక్షంగా ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే, ఈ సమీకరణానికి కనీసం ఒక పరిష్కారం ఉంటుంది.

ప్రకటన 3.

సమీకరణం యొక్క m మరియు n గుణకాలు (1) కాప్రైమ్ సంఖ్యలు అయితే, ఈ సమీకరణం అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటుంది:

ఎక్కడ (; ) అనేది సమీకరణానికి ఏదైనా పరిష్కారం (1), t Z

నిర్వచనం. రెండు తెలియని x, yతో కూడిన మొదటి-క్రమ సజాతీయ డయోఫాంటైన్ సమీకరణం mx + ny = 0, ఇక్కడ (2) రూపం యొక్క సమీకరణం.

ప్రకటన 4.

m మరియు n కాప్రైమ్ సంఖ్యలు అయితే, సమీకరణానికి ఏదైనా పరిష్కారం (2) రూపం కలిగి ఉంటుంది

5) హోంవర్క్. పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. చాలా మంది పిల్లలు యాపిల్స్ కోస్తున్నారు. ఒక్కో అబ్బాయి 21 కిలోలు, అమ్మాయి 15 కిలోలు సేకరించారు. మొత్తం 174 కిలోలు సేకరించారు. ఎంత మంది అబ్బాయిలు మరియు ఎంత మంది అమ్మాయిలు ఆపిల్లను ఎంచుకున్నారు?

వ్యాఖ్య. ఈ పాఠం పూర్ణాంకాలలో సమీకరణాలను పరిష్కరించే ఉదాహరణలను అందించదు. అందువల్ల, పిల్లలు స్టేట్‌మెంట్ 1 మరియు ఎంపిక ఆధారంగా హోంవర్క్‌ని పరిష్కరిస్తారు.

పాఠం 2.

1) సంస్థాగత క్షణం

2) హోంవర్క్‌ని తనిఖీ చేస్తోంది

1) 9x – 18y = 5

5 9చే భాగించబడదు; పూర్ణ సంఖ్యలలో పరిష్కారాలు లేవు.

ఎంపిక పద్ధతిని ఉపయోగించి మీరు పరిష్కారాన్ని కనుగొనవచ్చు

సమాధానం: (0;0), (2;2)

3) ఒక సమీకరణం చేద్దాం:

అబ్బాయిలు x, x Z, మరియు అమ్మాయిలు y, y Z అని ఉండనివ్వండి, అప్పుడు మనం 21x + 15y = 174 సమీకరణాన్ని సృష్టించవచ్చు

చాలా మంది విద్యార్థులు, ఒక సమీకరణాన్ని వ్రాసినందున, దానిని పరిష్కరించలేరు.

సమాధానం: 4 అబ్బాయిలు, 6 అమ్మాయిలు.

3) కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం

హోంవర్క్‌ను పూర్తి చేయడంలో ఇబ్బందులు ఎదుర్కొన్నందున, అనిశ్చిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి వారి పద్ధతులను నేర్చుకోవాల్సిన అవసరాన్ని విద్యార్థులు ఒప్పించారు. వాటిలో కొన్నింటిని చూద్దాం.

I. విభజన అవశేషాలను పరిగణనలోకి తీసుకునే విధానం.

ఉదాహరణ. 3x – 4y = 1 పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి కుడి వైపు తప్పనిసరిగా భాగించబడాలి. మూడు కేసులను పరిశీలిద్దాం.

సమాధానం: ఎక్కడ m Z.

m మరియు n సంఖ్యలు చిన్నవి కానట్లయితే వివరించిన పద్ధతి ఉపయోగించడానికి సౌకర్యంగా ఉంటుంది, కానీ సాధారణ కారకాలుగా కుళ్ళిపోవచ్చు.

ఉదాహరణ: పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాలను పరిష్కరించండి.

y = 4n లెట్, అప్పుడు 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) 4 ద్వారా భాగించబడుతుంది.

y = 4n+1, ఆపై 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n 4 ద్వారా భాగించబడదు.

y = 4n+2, ఆపై 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n 4చే భాగించబడదు.

y = 4n+3, ఆపై 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n 4 ద్వారా భాగించబడదు.

కాబట్టి y = 4n, అప్పుడు

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

సమాధానం: , ఎక్కడ n Z.

II. 2వ డిగ్రీ యొక్క అనిశ్చిత సమీకరణాలు

ఈ రోజు పాఠంలో మనం రెండవ-ఆర్డర్ డయోఫాంటైన్ సమీకరణాల పరిష్కారాన్ని మాత్రమే తాకుతాము.

మరియు అన్ని రకాల సమీకరణాలలో, మేము చతురస్రాల ఫార్ములా యొక్క వ్యత్యాసాన్ని లేదా కారకం యొక్క మరొక పద్ధతిని అన్వయించగల సందర్భాన్ని పరిశీలిస్తాము.

ఉదాహరణ: పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి.

13 ఒక ప్రధాన సంఖ్య, కాబట్టి దీనిని నాలుగు విధాలుగా మాత్రమే కారకం చేయవచ్చు: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

ఈ కేసులను పరిశీలిద్దాం

సమాధానం: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) హోంవర్క్.

ఉదాహరణలు. పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	సరిపోదు	సరిపోదు
2x = -4	సరిపోదు	సరిపోదు
x = -2
y = 0

సమాధానం: (-2;0), (2;0).

సమాధానాలు: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).

V)

సమాధానం: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

ఫలితాలు. పూర్ణ సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం అంటే ఏమిటి?

అనిశ్చిత సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మీకు ఏ పద్ధతులు తెలుసు?

అప్లికేషన్:

శిక్షణ కోసం వ్యాయామాలు.

1) పూర్ణ సంఖ్యలలో పరిష్కరించండి.

ఎ) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
బి) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
c) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
d) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
ఇ) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
ఇ) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
g) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
h) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) సమీకరణానికి పూర్ణాంకం కాని ప్రతికూల పరిష్కారాలను కనుగొనండి.

7వ తరగతి గణితం కోర్సులో, మేము మొదటిసారి కలుసుకున్నాము రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలు, కానీ అవి రెండు తెలియని సమీకరణాల వ్యవస్థల సందర్భంలో మాత్రమే అధ్యయనం చేయబడతాయి. అందుకే సమీకరణం యొక్క గుణకాలపై కొన్ని షరతులు ప్రవేశపెట్టబడిన సమస్యల యొక్క మొత్తం శ్రేణి వాటిని దృష్టిలో పడకుండా పరిమితం చేస్తుంది. అదనంగా, "సహజ లేదా పూర్ణాంక సంఖ్యలలో సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి" వంటి సమస్యలను పరిష్కరించే పద్ధతులు కూడా విస్మరించబడతాయి, అయినప్పటికీ ఈ రకమైన సమస్యలు ఏకీకృత రాష్ట్ర పరీక్షా సామగ్రిలో మరియు ప్రవేశ పరీక్షలలో ఎక్కువగా కనిపిస్తాయి.

ఏ సమీకరణాన్ని రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం అంటారు?

కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, లేదా xy = 12 అనే సమీకరణాలు రెండు వేరియబుల్స్‌లో సమీకరణాలు.

2x – y = 1 సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x = 2 మరియు y = 3 అయినప్పుడు ఇది నిజం అవుతుంది, కాబట్టి ఈ జత వేరియబుల్ విలువలు ప్రశ్నలోని సమీకరణానికి పరిష్కారం.

ఈ విధంగా, రెండు వేరియబుల్స్‌తో ఏదైనా సమీకరణానికి పరిష్కారం ఆర్డర్ చేయబడిన జతల (x; y), ఈ సమీకరణాన్ని నిజమైన సంఖ్యా సమానత్వంగా మార్చే వేరియబుల్స్ విలువలు.

రెండు తెలియని వ్యక్తులతో సమీకరణం చేయవచ్చు:

ఎ) ఒక పరిష్కారం ఉంది.ఉదాహరణకు, x 2 + 5y 2 = 0 సమీకరణం ఒక ప్రత్యేక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది (0; 0);

బి) బహుళ పరిష్కారాలను కలిగి ఉంటాయి.ఉదాహరణకు, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 పరిష్కారాలను కలిగి ఉంది: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) పరిష్కారాలు లేవు.ఉదాహరణకు, x 2 + y 2 + 1 = 0 సమీకరణానికి పరిష్కారాలు లేవు;

జి) అనంతమైన అనేక పరిష్కారాలను కలిగి ఉన్నాయి.ఉదాహరణకు, x + y = 3. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాలు మొత్తం 3కి సమానమైన సంఖ్యలుగా ఉంటాయి. ఈ సమీకరణానికి పరిష్కారాల సమితిని రూపంలో (k; 3 – k) వ్రాయవచ్చు, ఇక్కడ k అనేది ఏదైనా వాస్తవమైనది సంఖ్య.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి ప్రధాన పద్ధతులు కారకం వ్యక్తీకరణల ఆధారంగా, పూర్తి చతురస్రాన్ని వేరుచేయడం, వర్గ సమీకరణం, పరిమిత వ్యక్తీకరణలు మరియు అంచనా పద్ధతులను ఉపయోగించడం. సమీకరణం సాధారణంగా ఒక రూపంలోకి మార్చబడుతుంది, దీని నుండి తెలియని వాటిని కనుగొనే వ్యవస్థను పొందవచ్చు.

కారకం

ఉదాహరణ 1.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: xy – 2 = 2x – y.

పరిష్కారం.

మేము కారకం యొక్క ప్రయోజనం కోసం నిబంధనలను సమూహపరుస్తాము:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ప్రతి బ్రాకెట్ నుండి మనం ఒక సాధారణ కారకాన్ని తీసుకుంటాము:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. మనకు ఉన్నాయి:

y = 2, x – ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య లేదా x = -1, y – ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య.

ఈ విధంగా, సమాధానం ఫారమ్ యొక్క అన్ని జతల (x; 2), x € R మరియు (-1; y), y € R.

సున్నాకి ప్రతికూల సంఖ్యల సమానత్వం

ఉదాహరణ 2.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

పరిష్కారం.

గ్రూపింగ్:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. ఇప్పుడు ప్రతి బ్రాకెట్‌ను స్క్వేర్డ్ డిఫరెన్స్ ఫార్ములా ఉపయోగించి మడవవచ్చు.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

రెండు ప్రతికూల వ్యక్తీకరణల మొత్తం 3x – 2 = 0 మరియు 2y – 3 = 0 అయితే మాత్రమే సున్నా అవుతుంది.

దీని అర్థం x = 2/3 మరియు y = 3/2.

సమాధానం: (2/3; 3/2).

అంచనా పద్ధతి

ఉదాహరణ 3.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

పరిష్కారం.

ప్రతి బ్రాకెట్‌లో మేము పూర్తి చతురస్రాన్ని ఎంచుకుంటాము:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. అంచనా వేద్దాం కుండలీకరణాల్లోని వ్యక్తీకరణల అర్థం.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 మరియు (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, అప్పుడు సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఎల్లప్పుడూ కనీసం 2. సమానత్వం సాధ్యమైతే:

(x + 1) 2 + 1 = 1 మరియు (y – 2) 2 + 2 = 2, అంటే x = -1, y = 2.

సమాధానం: (-1; 2).

రెండవ డిగ్రీ యొక్క రెండు వేరియబుల్స్తో సమీకరణాలను పరిష్కరించడానికి మరొక పద్ధతిని తెలుసుకుందాం. ఈ పద్ధతిలో సమీకరణాన్ని ఇలా పరిగణించడం ఉంటుంది కొన్ని వేరియబుల్‌కు సంబంధించి చతురస్రం.

ఉదాహరణ 4.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

పరిష్కారం.

సమీకరణాన్ని x కోసం వర్గ సమీకరణంగా పరిష్కరిద్దాం. వివక్షను కనుగొనండి:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . D = 0 అయినప్పుడు మాత్రమే సమీకరణం ఒక పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది, అంటే y = 4 అయితే. మేము y విలువను అసలు సమీకరణంలోకి మారుస్తాము మరియు x = 3 అని కనుగొంటాము.

సమాధానం: (3; 4).

తరచుగా రెండు తెలియని వారితో సమీకరణాలలో వారు సూచిస్తారు వేరియబుల్స్‌పై పరిమితులు.

ఉదాహరణ 5.

సమీకరణాన్ని పూర్తి సంఖ్యలలో పరిష్కరించండి: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

పరిష్కారం.

సమీకరణాన్ని x 2 = -5y 2 + 20x + 2 రూపంలో తిరిగి వ్రాద్దాం. 5తో భాగించినప్పుడు ఫలిత సమీకరణం యొక్క కుడి వైపు 2 యొక్క శేషాన్ని ఇస్తుంది. కాబట్టి, x 2 5 ద్వారా భాగించబడదు. కానీ a యొక్క వర్గము 5 ద్వారా భాగించబడని సంఖ్య 1 లేదా 4 యొక్క శేషాన్ని ఇస్తుంది. అందువలన, సమానత్వం అసాధ్యం మరియు పరిష్కారాలు లేవు.

సమాధానం: మూలాలు లేవు.

ఉదాహరణ 6.

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

పరిష్కారం.

ప్రతి బ్రాకెట్‌లోని పూర్తి చతురస్రాలను హైలైట్ చేద్దాం:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. సమీకరణం యొక్క ఎడమ వైపు ఎల్లప్పుడూ 3 కంటే ఎక్కువగా లేదా సమానంగా ఉంటుంది. సమానత్వం అందించబడుతుంది |x| – 2 = 0 మరియు y + 3 = 0. అందువలన, x = ± 2, y = -3.

సమాధానం: (2; -3) మరియు (-2; -3).

ఉదాహరణ 7.

సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ప్రతి జత ప్రతికూల పూర్ణాంకాల (x;y) కోసం
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, మొత్తాన్ని లెక్కించండి (x + y). దయచేసి మీ సమాధానంలో అతి చిన్న మొత్తాన్ని సూచించండి.

పరిష్కారం.

పూర్తి చతురస్రాలను ఎంచుకుందాం:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x మరియు y పూర్ణాంకాలు కాబట్టి, వాటి వర్గాలు కూడా పూర్ణాంకాలు. మనం 1 + 36ని జోడిస్తే 37కి సమానమైన రెండు పూర్ణాంకాల స్క్వేర్‌ల మొత్తాన్ని పొందుతాము. కాబట్టి:

(x – y) 2 = 36 మరియు (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 మరియు (y + 2) 2 = 36.

ఈ వ్యవస్థలను పరిష్కరించడం మరియు x మరియు y ప్రతికూలంగా ఉన్నాయని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, మేము పరిష్కారాలను కనుగొంటాము: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

సమాధానం: -17.

రెండు తెలియని వారితో సమీకరణాలను పరిష్కరించడంలో మీకు ఇబ్బంది ఉంటే నిరాశ చెందకండి. కొంచెం అభ్యాసంతో, మీరు ఏదైనా సమీకరణాన్ని నిర్వహించవచ్చు.

ఇంకా ప్రశ్నలు ఉన్నాయా? రెండు వేరియబుల్స్‌లో సమీకరణాలను ఎలా పరిష్కరించాలో తెలియదా?
ట్యూటర్ నుండి సహాయం పొందడానికి, నమోదు చేసుకోండి.
మొదటి పాఠం ఉచితం!

వెబ్‌సైట్, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, మూలానికి లింక్ అవసరం.

సమానత్వం f(x; y) = 0రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని సూచిస్తుంది. అటువంటి సమీకరణానికి పరిష్కారం ఒక జత వేరియబుల్ విలువలు, ఇది రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని నిజమైన సమానత్వంగా మారుస్తుంది.

మనకు రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం ఉంటే, సంప్రదాయం ప్రకారం, మనం xని మొదటి స్థానంలో మరియు y ని రెండవ స్థానంలో ఉంచాలి.

x – 3y = 10 అనే సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. జతలు (10; 0), (16; 2), (-2; -4) అనేది పరిశీలనలో ఉన్న సమీకరణానికి పరిష్కారాలు, అయితే జత (1; 5) పరిష్కారం కాదు.

ఈ సమీకరణానికి ఇతర జతల పరిష్కారాలను కనుగొనడానికి, ఒక వేరియబుల్‌ను మరొక పరంగా వ్యక్తీకరించడం అవసరం - ఉదాహరణకు, y పరంగా x. ఫలితంగా, మేము సమీకరణాన్ని పొందుతాము
x = 10 + 3y. y యొక్క ఏకపక్ష విలువలను ఎంచుకోవడం ద్వారా x విలువలను గణిద్దాం.

y = 7 అయితే, x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

y = -2 అయితే, x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

కాబట్టి, జతలు (31; 7), (4; -2) కూడా ఇచ్చిన సమీకరణానికి పరిష్కారాలు.

రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్న సమీకరణాలు ఒకే మూలాలను కలిగి ఉంటే, అటువంటి సమీకరణాలను సమానం అంటారు.

రెండు వేరియబుల్స్ ఉన్న సమీకరణాల కోసం, సమీకరణాల యొక్క సమానమైన పరివర్తనలపై సిద్ధాంతాలు చెల్లుబాటు అవుతాయి.

రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్‌ను పరిగణించండి.

f(x; y) = 0 అనే రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాన్ని ఇవ్వనివ్వండి. దాని అన్ని పరిష్కారాలను సమతలంపై నిర్దిష్ట పాయింట్ల సెట్‌ను పొందడం ద్వారా సమన్వయ సమతలంపై ఉన్న పాయింట్ల ద్వారా సూచించవచ్చు. సమతలంపై ఉన్న ఈ బిందువుల సమితిని f(x; y) = 0 సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ అంటారు.

అందువలన, సమీకరణం y – x 2 = 0 యొక్క గ్రాఫ్ పారాబొలా y = x 2; సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ y – x = 0 ఒక సరళ రేఖ; సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ y – 3 = 0 x అక్షం మొదలైన వాటికి సమాంతరంగా ఉండే సరళ రేఖ.

రూపం ax + by = c, ఇక్కడ x మరియు y వేరియబుల్స్ మరియు a, b మరియు c సంఖ్యలు, లీనియర్ అంటారు; a, b సంఖ్యలను వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలు అంటారు, c అనేది ఉచిత పదం.

రేఖీయ సమీకరణం ax + by = c యొక్క గ్రాఫ్:

2x – 3y = -6 సమీకరణాన్ని ప్లాట్ చేద్దాం.

1. ఎందుకంటే వేరియబుల్స్ యొక్క గుణకాలు ఏవీ సున్నాకి సమానం కాదు, అప్పుడు ఈ సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ సరళ రేఖ అవుతుంది.

2. సరళ రేఖను నిర్మించడానికి, దానిలోని కనీసం రెండు పాయింట్లను మనం తెలుసుకోవాలి. సమీకరణాలలో x విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు y విలువలను పొందండి మరియు వైస్ వెర్సా:

x = 0 అయితే, y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

y = 0 అయితే, x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

కాబట్టి, గ్రాఫ్‌లో మాకు రెండు పాయింట్లు వచ్చాయి: (0; 2) మరియు (-3; 0).

3. పొందిన పాయింట్ల ద్వారా సరళ రేఖను గీయండి మరియు సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ని పొందండి
2x – 3y = -6.

రేఖీయ సమీకరణం ax + by = c 0 ∙ x + 0 ∙ y = c రూపాన్ని కలిగి ఉంటే, అప్పుడు మనం రెండు సందర్భాలను పరిగణించాలి:

1. c = 0. ఈ సందర్భంలో, ఏదైనా జత (x; y) సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది మరియు అందువల్ల సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ మొత్తం కోఆర్డినేట్ ప్లేన్;

2. c ≠ 0. ఈ సందర్భంలో, సమీకరణానికి పరిష్కారం లేదు, అంటే దాని గ్రాఫ్‌లో ఒకే పాయింట్ లేదు.

blog.site, మెటీరియల్‌ని పూర్తిగా లేదా పాక్షికంగా కాపీ చేస్తున్నప్పుడు, అసలు మూలానికి లింక్ అవసరం.