మొదటి స్థాయి

రేఖాగణిత పురోగతి. సమగ్ర గైడ్ఉదాహరణలతో (2019)

సంఖ్య క్రమం

కాబట్టి, కూర్చుని కొన్ని సంఖ్యలు రాయడం ప్రారంభిద్దాం. ఉదాహరణకి:

మీరు ఏవైనా సంఖ్యలను వ్రాయవచ్చు మరియు వాటిలో మీకు నచ్చినన్ని ఉండవచ్చు (మా విషయంలో, అవి ఉన్నాయి). మనం ఎన్ని అంకెలు వ్రాసినా, ఏది మొదటిది, ఏది రెండవది, మరియు చివరి వరకు, అంటే వాటిని మనం ఎల్లప్పుడూ చెప్పగలము. ఇది సంఖ్యా శ్రేణికి ఉదాహరణ:

సంఖ్య క్రమంసంఖ్యల సమితి, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి ప్రత్యేక సంఖ్యను కేటాయించవచ్చు.

ఉదాహరణకు, మా క్రమం కోసం:

అసైన్డ్ నంబర్ సీక్వెన్స్‌లో ఒక నంబర్‌కు మాత్రమే నిర్దిష్టంగా ఉంటుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, క్రమంలో మూడు సెకన్ల సంఖ్యలు లేవు. రెండవ సంఖ్య (వ సంఖ్య వంటిది) ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటుంది.

సంఖ్యతో కూడిన సంఖ్యను క్రమం యొక్క nవ సభ్యుడు అంటారు.

మేము సాధారణంగా మొత్తం క్రమాన్ని ఏదో ఒక అక్షరంతో పిలుస్తాము (ఉదాహరణకు,), మరియు ఈ శ్రేణిలోని ప్రతి సభ్యుడు ఈ సభ్యుని సంఖ్యకు సమానమైన సూచికతో ఒకే అక్షరం: .

మా విషయంలో:

పురోగమనం యొక్క అత్యంత సాధారణ రకాలు అంకగణితం మరియు రేఖాగణితం. ఈ అంశంలో మనం రెండవ రకం గురించి మాట్లాడుతాము - రేఖాగణిత పురోగతి.

రేఖాగణిత పురోగతి మరియు దాని చరిత్ర ఎందుకు అవసరం?

పురాతన కాలంలో కూడా, ఇటాలియన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు పిసాకు చెందిన సన్యాసి లియోనార్డో (ఫైబొనాక్సీ అని పిలుస్తారు) వాణిజ్యం యొక్క ఆచరణాత్మక అవసరాలతో వ్యవహరించాడు. సన్యాసి దీని సహాయంతో నిర్ణయించే పనిని ఎదుర్కొన్నాడు కనీసం మొత్తంబరువులు మీరు వస్తువులను తూకం వేయగలరా? తన రచనలలో, ఫిబొనాక్కీ అటువంటి బరువుల వ్యవస్థ సరైనదని నిరూపించాడు: ప్రజలు రేఖాగణిత పురోగతిని ఎదుర్కోవాల్సిన మొదటి పరిస్థితులలో ఇది ఒకటి, మీరు బహుశా ఇప్పటికే విన్నారు మరియు కనీసం కలిగి ఉంటారు. సాధారణ భావన. మీరు అంశాన్ని పూర్తిగా అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, అటువంటి వ్యవస్థ ఎందుకు సరైనదో ఆలోచించండి?

ప్రస్తుతం, లో జీవిత సాధన, రేఖాగణిత పురోగతిబ్యాంకులో డబ్బును పెట్టుబడి పెట్టేటప్పుడు, మునుపటి వ్యవధిలో ఖాతాలో సేకరించిన మొత్తంపై వడ్డీ మొత్తాన్ని లెక్కించినప్పుడు ఇది వ్యక్తమవుతుంది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మీరు పొదుపు బ్యాంకులో టైమ్ డిపాజిట్‌పై డబ్బును ఉంచినట్లయితే, ఒక సంవత్సరం తర్వాత డిపాజిట్ అసలు మొత్తం పెరుగుతుంది, అనగా. కొత్త మొత్తంద్వారా గుణించిన సహకారంతో సమానంగా ఉంటుంది. మరో సంవత్సరంలో, ఈ మొత్తం పెరుగుతుంది, అనగా. ఆ సమయంలో పొందిన మొత్తం మళ్లీ గుణించబడుతుంది మరియు మొదలైనవి. ఇదే పరిస్థితిఅని పిలవబడే వాటిని లెక్కించడానికి సమస్యలలో వివరించబడింది చక్రవడ్డీ- మునుపటి వడ్డీని పరిగణనలోకి తీసుకొని ఖాతాలో ఉన్న మొత్తం నుండి ప్రతిసారీ శాతం తీసుకోబడుతుంది. మేము ఈ పనుల గురించి కొంచెం తరువాత మాట్లాడుతాము.

ఇంకా చాలా ఉన్నాయి సాధారణ కేసులు, ఇక్కడ రేఖాగణిత పురోగతి వర్తించబడుతుంది. ఉదాహరణకు, ఇన్ఫ్లుఎంజా వ్యాప్తి: ఒక వ్యక్తి మరొక వ్యక్తికి సోకింది, వారు మరొక వ్యక్తికి సోకారు, తద్వారా సంక్రమణ యొక్క రెండవ తరంగం ఒక వ్యక్తికి సోకింది, మరియు వారు మరొకరికి సోకారు ... మరియు మొదలైనవి. .

మార్గం ద్వారా, ఆర్థిక పిరమిడ్, అదే MMM, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క లక్షణాల ఆధారంగా ఒక సాధారణ మరియు పొడి గణన. ఆసక్తికరమైన? దాన్ని గుర్తించండి.

రేఖాగణిత పురోగతి.

మన దగ్గర ఉందనుకుందాం సంఖ్య క్రమం:

ఇది సులభం అని మీరు వెంటనే సమాధానం ఇస్తారు మరియు అటువంటి క్రమం యొక్క పేరు దాని నిబంధనల వ్యత్యాసంతో ఒక అంకగణిత పురోగతి. ఇది ఎలా ఉంది:

మీరు మునుపటి సంఖ్యను తదుపరి సంఖ్య నుండి తీసివేస్తే, మీరు పొందిన ప్రతిసారీ మీరు చూస్తారు కొత్త తేడా(మొదలైనవి), కానీ క్రమం ఖచ్చితంగా ఉంది మరియు గమనించడం సులభం - ప్రతి ఒక్కటి తదుపరి సంఖ్యమునుపటి కంటే రెట్లు ఎక్కువ!

ఈ రకమైన సంఖ్యల క్రమాన్ని అంటారు రేఖాగణిత పురోగతిమరియు నియమించబడినది.

రేఖాగణిత పురోగతి () అనేది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీని మొదటి పదం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి పదం, రెండవది నుండి మొదలై, మునుపటి దానికి సమానంగా ఉంటుంది, అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది. ఈ సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అంటారు.

మొదటి పదం ( ) సమానం కాదు మరియు యాదృచ్ఛికం కాదు అనే పరిమితులు. ఎవరూ లేరని అనుకుందాం, మరియు మొదటి పదం ఇప్పటికీ సమానం, మరియు q సమానం, హుమ్.. అలా ఉండనివ్వండి, అప్పుడు అది మారుతుంది:

ఇది ఇకపై పురోగతి కాదని అంగీకరించండి.

మీరు అర్థం చేసుకున్నట్లుగా, సున్నా కాకుండా ఏదైనా సంఖ్య ఉంటే మేము అదే ఫలితాలను పొందుతాము, a. ఈ సందర్భాలలో, మొత్తం నుండి ఎటువంటి పురోగతి ఉండదు సంఖ్య సిరీస్అన్ని సున్నాలు లేదా ఒక సంఖ్య మరియు మిగిలిన అన్ని సున్నాలు ఉంటాయి.

ఇప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం గురించి మరింత వివరంగా మాట్లాడుదాం, అంటే o.

పునరావృతం చేద్దాం: - ఇది సంఖ్య ప్రతి తదుపరి పదం ఎన్ని సార్లు మారుతుంది?రేఖాగణిత పురోగతి.

అది ఏమి కావచ్చు అని మీరు అనుకుంటున్నారు? అది సరైనది, సానుకూలమైనది మరియు ప్రతికూలమైనది, కానీ సున్నా కాదు (మేము దీని గురించి కొంచెం ఎక్కువగా మాట్లాడాము).

మనది పాజిటివ్ అని అనుకుందాం. మా విషయంలో లెట్, a. రెండవ పదం యొక్క విలువ ఏమిటి మరియు? మీరు దీనికి సులభంగా సమాధానం ఇవ్వవచ్చు:

అది నిజమే. దీని ప్రకారం, పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి నిబంధనలు ఉంటే అదే సంకేతం- వాళ్ళు సానుకూలంగా ఉన్నాయి.

అది ప్రతికూలంగా ఉంటే? ఉదాహరణకు, a. రెండవ పదం యొక్క విలువ ఏమిటి మరియు?

ఇది పూర్తిగా భిన్నమైన కథ

ఈ పురోగతి యొక్క నిబంధనలను లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి. మీకు ఎంత వచ్చింది? నా దగ్గర ఉంది. అందువలన, ఒకవేళ, అప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సంకేతాలు ప్రత్యామ్నాయంగా ఉంటాయి. అంటే, మీరు దాని సభ్యులకు ప్రత్యామ్నాయ సంకేతాలతో పురోగతిని చూసినట్లయితే, దాని హారం ప్రతికూలంగా ఉంటుంది. ఈ అంశంపై సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మిమ్మల్ని మీరు పరీక్షించుకోవడానికి ఈ జ్ఞానం మీకు సహాయపడుతుంది.

ఇప్పుడు కొంచెం ప్రాక్టీస్ చేద్దాం: ఏ సంఖ్యా శ్రేణులు రేఖాగణిత పురోగతి మరియు అవి అంకగణిత పురోగతిని గుర్తించడానికి ప్రయత్నించండి:

దొరికింది? మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:

• రేఖాగణిత పురోగతి - 3, 6.
• అంకగణిత పురోగతి - 2, 4.
• ఇది అంకగణితం లేదా రేఖాగణిత పురోగతి కాదు - 1, 5, 7.

మన చివరి పురోగతికి తిరిగి వెళ్లి, అంకగణితంలో వలె దాని సభ్యుడిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు ఊహించినట్లుగా, దానిని కనుగొనడానికి రెండు మార్గాలు ఉన్నాయి.

మేము ప్రతి పదాన్ని వరుసగా గుణిస్తాము.

కాబట్టి, వివరించిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం సమానంగా ఉంటుంది.

మీరు ఇప్పటికే ఊహించినట్లుగా, ఇప్పుడు మీరు రేఖాగణిత పురోగతిలో ఏదైనా సభ్యుడిని కనుగొనడంలో మీకు సహాయపడే ఒక ఫార్ములాను పొందుతారు. లేదా దశలవారీగా వ సభ్యుడిని ఎలా కనుగొనాలో వివరిస్తూ, మీరు దీన్ని మీ కోసం ఇప్పటికే అభివృద్ధి చేశారా? అలా అయితే, మీ తార్కికం యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని తనిఖీ చేయండి.

ఈ పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొనే ఉదాహరణతో దీనిని ఉదహరిద్దాం:

వేరే పదాల్లో:

ఇచ్చిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదం యొక్క విలువను మీరే కనుగొనండి.

జరిగిందా? మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:

మేము రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ప్రతి మునుపటి పదంతో వరుసగా గుణించినప్పుడు, మీరు మునుపటి పద్ధతిలో అదే సంఖ్యను పొందారని దయచేసి గమనించండి.
"వ్యక్తిగతీకరించడానికి" ప్రయత్నిద్దాం ఈ ఫార్ములా- దీనిని సాధారణ రూపంలో ఉంచి, పొందండి:

ఉత్పన్నమైన సూత్రం అన్ని విలువలకు నిజం - సానుకూల మరియు ప్రతికూల రెండూ. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను లెక్కించడం ద్వారా దీన్ని మీరే తనిఖీ చేయండి క్రింది షరతులు: , ఎ.

మీరు లెక్కించారా? ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

ఒక పదం వలె అదే విధంగా పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనడం సాధ్యమవుతుందని అంగీకరిస్తున్నారు, అయితే, తప్పుగా లెక్కించే అవకాశం ఉంది. మరియు మేము ఇప్పటికే రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదాన్ని కనుగొన్నట్లయితే, అప్పుడు ఫార్ములా యొక్క "కత్తిరించబడిన" భాగాన్ని ఉపయోగించడం కంటే సరళమైనది ఏది.

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి.

ఇటీవల, మేము సున్నా కంటే ఎక్కువ లేదా తక్కువగా ఉండే వాటి గురించి మాట్లాడాము, అయితే, ఉంది ప్రత్యేక అర్థాలుదీని కోసం రేఖాగణిత పురోగతి అంటారు అనంతంగా తగ్గుతోంది.

ఈ పేరు ఎందుకు పెట్టబడిందని మీరు అనుకుంటున్నారు?
మొదట, నిబంధనలతో కూడిన కొన్ని రేఖాగణిత పురోగతిని వ్రాస్దాం.
అలా అనుకుందాం:

ప్రతి తదుపరి పదం ఒక కారకం ద్వారా మునుపటి కంటే తక్కువగా ఉందని మేము చూస్తాము, అయితే ఏదైనా సంఖ్య ఉంటుందా? మీరు వెంటనే సమాధానం ఇస్తారు - "లేదు". అందుకే అది అనంతంగా తగ్గుతోంది - తగ్గుతుంది మరియు తగ్గుతుంది, కానీ ఎప్పుడూ సున్నాగా మారదు.

ఇది దృశ్యమానంగా ఎలా కనిపిస్తుందో స్పష్టంగా అర్థం చేసుకోవడానికి, మన పురోగతి యొక్క గ్రాఫ్‌ను గీయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. కాబట్టి, మా విషయంలో, ఫార్ములా క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:

గ్రాఫ్‌లపై ఆధారపడటాన్ని ప్లాన్ చేయడం అలవాటు చేసుకున్నాము, కాబట్టి:

వ్యక్తీకరణ యొక్క సారాంశం మారలేదు: మొదటి ఎంట్రీలో మేము దాని ఆర్డినల్ సంఖ్యపై రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని విలువపై ఆధారపడటాన్ని చూపించాము మరియు రెండవ ఎంట్రీలో మేము కేవలం రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క సభ్యుని విలువను తీసుకున్నాము. , మరియు ఆర్డినల్ సంఖ్యను ఇలా కాదు, కానీ ఇలా నియమించారు. గ్రాఫ్‌ను నిర్మించడం మాత్రమే మిగిలి ఉంది.
మీరు ఏమి పొందారో చూద్దాం. నేను ముందుకు వచ్చిన గ్రాఫ్ ఇక్కడ ఉంది:

మీరు చూస్తారా? ఫంక్షన్ తగ్గుతుంది, సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది, కానీ దానిని ఎప్పుడూ దాటదు, కాబట్టి ఇది అనంతంగా తగ్గుతోంది. గ్రాఫ్‌లో మన పాయింట్లను గుర్తించండి మరియు అదే సమయంలో కోఆర్డినేట్ మరియు అర్థం ఏమిటి:

దాని మొదటి పదం కూడా సమానంగా ఉంటే రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క గ్రాఫ్‌ను క్రమపద్ధతిలో వర్ణించడానికి ప్రయత్నించండి. మా మునుపటి గ్రాఫ్‌తో తేడా ఏమిటో విశ్లేషించండి?

మీరు నిర్వహించారా? నేను ముందుకు వచ్చిన గ్రాఫ్ ఇక్కడ ఉంది:

ఇప్పుడు మీరు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క అంశం యొక్క ప్రాథమికాలను పూర్తిగా అర్థం చేసుకున్నారు: అది ఏమిటో మీకు తెలుసు, దాని పదాన్ని ఎలా కనుగొనాలో మీకు తెలుసు మరియు అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి ఏమిటో కూడా మీకు తెలుసు, దాని ప్రధాన ఆస్తికి వెళ్దాం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి.

సభ్యుల ఆస్తి గుర్తుందా అంకగణిత పురోగతి? అవును, అవును, విలువను ఎలా కనుగొనాలి ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యపురోగతి, ఈ పురోగతి యొక్క సభ్యుల మునుపటి మరియు తదుపరి విలువలు ఉన్నప్పుడు. నీకు గుర్తుందా? ఇది:

ఇప్పుడు మనం రేఖాగణిత పురోగతి నిబంధనల కోసం సరిగ్గా అదే ప్రశ్నను ఎదుర్కొంటున్నాము. ఉపసంహరించుకోవాలని ఇదే ఫార్ములా, డ్రాయింగ్ మరియు రీజనింగ్ ప్రారంభిద్దాం. మీరు చూస్తారు, ఇది చాలా సులభం, మరియు మీరు మరచిపోతే, మీరే దాన్ని పొందవచ్చు.

మరొక సాధారణ రేఖాగణిత పురోగతిని తీసుకుందాం, దీనిలో మనకు తెలుసు మరియు. ఎలా కనుగొనాలి? అంకగణిత పురోగతితో ఇది సులభం మరియు సరళమైనది, అయితే ఇక్కడ ఏమిటి? వాస్తవానికి, రేఖాగణితంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు - మీరు సూత్రం ప్రకారం మాకు ఇచ్చిన ప్రతి విలువను వ్రాయాలి.

మీరు అడగవచ్చు, మేము ఇప్పుడు దాని గురించి ఏమి చేయాలి? అవును, చాలా సింపుల్. ముందుగా, ఈ ఫార్ములాలను చిత్రంలో వర్ణిద్దాం మరియు విలువను చేరుకోవడానికి వాటితో వివిధ అవకతవకలు చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

మనకు ఇవ్వబడిన సంఖ్యల నుండి సంగ్రహిద్దాం, సూత్రం ద్వారా వారి వ్యక్తీకరణపై మాత్రమే దృష్టి పెడతాము. మేము హైలైట్ చేసిన విలువను కనుగొనాలి నారింజ, దాని పక్కనే ఉన్న సభ్యులను తెలుసుకోవడం. వారితో ఉత్పత్తి చేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం వివిధ చర్యలు, దీని ఫలితంగా మనం పొందవచ్చు.

అదనంగా.
రెండు వ్యక్తీకరణలను జోడించడానికి ప్రయత్నిద్దాం మరియు మనకు లభిస్తుంది:

నుండి ఇచ్చిన వ్యక్తీకరణ, మీరు చూస్తున్నట్లుగా, మేము దానిని ఏ విధంగానూ వ్యక్తపరచలేము, కాబట్టి, మేము మరొక ఎంపికను ప్రయత్నిస్తాము - వ్యవకలనం.

తీసివేత.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, మేము దీనిని వ్యక్తపరచలేము, కాబట్టి, ఈ వ్యక్తీకరణలను ఒకదానికొకటి గుణించడానికి ప్రయత్నిద్దాం.

గుణకారం.

ఇప్పుడు కనుగొనవలసిన వాటితో పోల్చి చూస్తే, మనకు అందించబడిన రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను గుణించడం ద్వారా మన వద్ద ఉన్న వాటిని జాగ్రత్తగా చూడండి:

నేను దేని గురించి మాట్లాడుతున్నానో ఊహించండి? అది నిజమే, కనుగొనడానికి మనం తీసుకోవలసిన అవసరం ఉంది వర్గమూలంకావలసిన దాని ప్రక్కనే ఉన్న రేఖాగణిత పురోగతి సంఖ్యల నుండి ఒకదానికొకటి గుణించాలి:

ఇదిగో. మీరే రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తిని పొందారు. ఈ ఫార్ములాను వ్రాయడానికి ప్రయత్నించండి సాధారణ వీక్షణ. జరిగిందా?

షరతు మర్చిపోయారా? ఇది ఎందుకు ముఖ్యమో ఆలోచించండి, ఉదాహరణకు, దానిని మీరే లెక్కించడానికి ప్రయత్నించండి. ఈ సందర్భంలో ఏమి జరుగుతుంది? ఇది నిజం, పూర్తి అర్ధంలేనిది ఎందుకంటే ఫార్ములా ఇలా కనిపిస్తుంది:

దీని ప్రకారం, ఈ పరిమితిని మర్చిపోవద్దు.

ఇప్పుడు అది సమానం అని లెక్కిద్దాం

సరైన సమాధానము - ! లెక్కించేటప్పుడు మీరు రెండవదాన్ని మరచిపోకపోతే సాధ్యమయ్యే అర్థం, అప్పుడు మీరు గొప్ప సహచరులు మరియు వెంటనే శిక్షణకు వెళ్లవచ్చు మరియు మీరు మరచిపోయినట్లయితే, క్రింద చర్చించబడిన వాటిని చదవండి మరియు సమాధానంలో రెండు మూలాలను ఎందుకు వ్రాయాలి అనే దానిపై శ్రద్ధ వహించండి.

మన రేఖాగణిత పురోగమనాలను రెండింటినీ గీయండి - ఒకటి విలువతో మరియు మరొకటి విలువతో మరియు రెండింటికీ ఉనికిలో ఉండే హక్కు ఉందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం:

అటువంటి రేఖాగణిత పురోగతి ఉందా లేదా అని తనిఖీ చేయడానికి, ఇది అన్నింటి మధ్య ఒకేలా ఉందో లేదో చూడాలి. సభ్యులు ఇచ్చారు? మొదటి మరియు రెండవ కేసుల కోసం qని లెక్కించండి.

మనం రెండు సమాధానాలు ఎందుకు రాయాలో చూడండి? ఎందుకంటే మీరు వెతుకుతున్న పదం యొక్క సంకేతం అది సానుకూలమైనదా లేదా ప్రతికూలమైనదా అనే దానిపై ఆధారపడి ఉంటుంది! మరియు అది ఏమిటో మాకు తెలియదు కాబట్టి, మేము ప్లస్ మరియు మైనస్‌తో రెండు సమాధానాలను వ్రాయాలి.

ఇప్పుడు మీరు ప్రధాన అంశాలలో ప్రావీణ్యం సంపాదించారు మరియు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి కోసం సూత్రాన్ని పొందారు, కనుగొనడం, తెలుసుకోవడం మరియు

మీ సమాధానాలను సరైన వాటితో సరిపోల్చండి:

మీరు ఏమి అనుకుంటున్నారు, మేము కోరుకున్న సంఖ్యకు ప్రక్కనే ఉన్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల విలువలను ఇవ్వకపోతే, దాని నుండి సమాన దూరంలో ఉంటే. ఉదాహరణకు, మేము కనుగొని, ఇవ్వాలి మరియు. ఈ సందర్భంలో మనం పొందిన సూత్రాన్ని ఉపయోగించవచ్చా? ఈ అవకాశాన్ని నిర్ధారించడానికి లేదా తిరస్కరించడానికి ప్రయత్నించండి.
నీకు ఏమి వచ్చింది?

ఇప్పుడు మళ్ళీ జాగ్రత్తగా చూడండి.
మరియు తదనుగుణంగా:

దీని నుండి ఫార్ములా పనిచేస్తుందని మనం నిర్ధారించవచ్చు పొరుగువారితో మాత్రమే కాదురేఖాగణిత పురోగతి యొక్క కావలసిన నిబంధనలతో, కానీ కూడా సమదూరంసభ్యులు వెతుకుతున్న దాని నుండి.

అందువలన, మా ప్రారంభ సూత్రం రూపం తీసుకుంటుంది:

అంటే, మొదటి సందర్భంలో మనం చెప్పినట్లయితే, ఇప్పుడు అది దేనితోనైనా సమానంగా ఉంటుందని మేము చెబుతున్నాము సహజ సంఖ్య, ఇది చిన్నది. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే ఇది ఇచ్చిన రెండు సంఖ్యలకు సమానంగా ఉంటుంది.

ప్రాక్టీస్ చేయండి నిర్దిష్ట ఉదాహరణలు, చాలా జాగ్రత్తగా ఉండండి!

1. , . కనుగొనండి.
2. , . కనుగొనండి.
3. , . కనుగొనండి.

నిర్ణయించుకున్నారా? మీరు చాలా శ్రద్ధగలవారని మరియు చిన్న క్యాచ్‌ని గమనించారని నేను ఆశిస్తున్నాను.

ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం.

మొదటి రెండు సందర్భాల్లో, మేము పై సూత్రాన్ని ప్రశాంతంగా వర్తింపజేస్తాము మరియు క్రింది విలువలను పొందుతాము:

మూడవ సందర్భంలో, దగ్గరగా పరిశీలించినప్పుడు క్రమ సంఖ్యలుమాకు అందించిన సంఖ్యలు, మేము వెతుకుతున్న సంఖ్యకు అవి సమాన దూరంలో లేవని మేము అర్థం చేసుకున్నాము: ఉంది మునుపటి తేదీ, కానీ స్థానం వద్ద తీసివేయబడుతుంది, కాబట్టి సూత్రాన్ని వర్తింపజేయడం సాధ్యం కాదు.

దాన్ని ఎలా పరిష్కరించాలి? నిజానికి ఇది కనిపించేంత కష్టం కాదు! మనకు ఇచ్చిన ప్రతి సంఖ్య మరియు మనం వెతుకుతున్న సంఖ్య ఏమి కలిగి ఉందో వ్రాసుకుందాం.

కాబట్టి మేము కలిగి మరియు. వాటితో మనం ఏమి చేయగలమో చూద్దాం? ద్వారా విభజించాలని నేను సూచిస్తున్నాను. మాకు దొరికింది:

మేము మా డేటాను ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము:

మేము కనుగొనగల తదుపరి దశ - దీని కోసం మనం తీసుకోవాలి క్యూబ్ రూట్ఫలిత సంఖ్య నుండి.

ఇప్పుడు మన దగ్గర ఉన్నవాటిని మళ్ళీ చూద్దాం. మన దగ్గర అది ఉంది, కానీ మనం దానిని కనుగొనవలసి ఉంటుంది మరియు ఇది దీనికి సమానం:

మేము గణన కోసం అవసరమైన మొత్తం డేటాను కనుగొన్నాము. ఫార్ములాలో ప్రత్యామ్నాయం:

మా సమాధానం: .

ఇలాంటి మరొక సమస్యను మీరే పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నించండి:
ఇచ్చిన: ,
కనుగొనండి:

మీకు ఎంత వచ్చింది? నా దగ్గర ఉంది - .

మీరు చూడగలరు గా, ముఖ్యంగా మీరు అవసరం ఒక సూత్రాన్ని గుర్తుంచుకోండి- . మీరు ఏ సమయంలోనైనా ఎటువంటి ఇబ్బంది లేకుండా మిగిలిన మొత్తాన్ని మీరే ఉపసంహరించుకోవచ్చు. ఇది చేయుటకు, ఒక కాగితంపై సరళమైన రేఖాగణిత పురోగతిని వ్రాసి, పైన వివరించిన సూత్రం ప్రకారం దానిలోని ప్రతి సంఖ్యలు దేనికి సమానమో వ్రాయండి.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం.

ఇచ్చిన విరామంలో రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తాన్ని త్వరగా లెక్కించడానికి అనుమతించే సూత్రాలను ఇప్పుడు చూద్దాం:

పరిమిత రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని పొందేందుకు, పై సమీకరణంలోని అన్ని భాగాలను దీని ద్వారా గుణించండి. మాకు దొరికింది:

జాగ్రత్తగా చూడండి: చివరి రెండు సూత్రాలు ఉమ్మడిగా ఏమి ఉన్నాయి? అది నిజం, సాధారణ సభ్యులు, ఉదాహరణకు, మొదటి మరియు చివరి సభ్యుడు మినహా. 2వ సమీకరణం నుండి 1వ భాగాన్ని తీసివేయడానికి ప్రయత్నిద్దాం. నీకు ఏమి వచ్చింది?

ఇప్పుడు ఫార్ములా ద్వారా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదాన్ని వ్యక్తపరచండి మరియు ఫలిత వ్యక్తీకరణను మా చివరి సూత్రంలోకి మార్చండి:

వ్యక్తీకరణను సమూహపరచండి. మీరు పొందాలి:

వ్యక్తం చేయడమే మిగిలి ఉంది:

దీని ప్రకారం, ఈ సందర్భంలో.

అయితే ఏమి చేయాలి? అప్పుడు ఏ ఫార్ములా పని చేస్తుంది? వద్ద రేఖాగణిత పురోగతిని ఊహించండి. ఆమే ఎలాంటి వ్యక్తీ? సరైన వరుస ఒకే సంఖ్యలు, తదనుగుణంగా ఫార్ములా కనిపిస్తుంది క్రింది విధంగా:

అంకగణితం మరియు రేఖాగణిత పురోగతి రెండింటి గురించి అనేక ఇతిహాసాలు ఉన్నాయి. వాటిలో ఒకటి చెస్ సృష్టికర్త సెట్ యొక్క లెజెండ్.

చదరంగం ఆట భారతదేశంలోనే కనుగొనబడిందని చాలా మందికి తెలుసు. హిందూ రాజు ఆమెను కలిసినప్పుడు, ఆమె తెలివి మరియు ఆమెలో సాధ్యమయ్యే వివిధ రకాల స్థానాలకు అతను సంతోషించాడు. ఇది తన సబ్జెక్టులలో ఒకరిచే కనుగొనబడిందని తెలుసుకున్న రాజు అతనికి వ్యక్తిగతంగా బహుమతి ఇవ్వాలని నిర్ణయించుకున్నాడు. అతను ఆవిష్కర్తను తన వద్దకు పిలిపించాడు మరియు అతను కోరుకున్న ప్రతిదానికీ అతనిని అడగమని ఆదేశించాడు, అత్యంత నైపుణ్యం కలిగిన కోరికను కూడా నెరవేర్చడానికి వాగ్దానం చేశాడు.

సేటా ఆలోచించడానికి సమయం అడిగాడు మరియు మరుసటి రోజు సేటా రాజు ముందు కనిపించినప్పుడు, అతను తన అభ్యర్థన యొక్క అపూర్వమైన వినయంతో రాజును ఆశ్చర్యపరిచాడు. చదరంగంలో మొదటి గడికి గోధుమ గింజ, రెండవదానికి ఒక గోధుమ గింజ, మూడవదానికి ఒక గోధుమ గింజ, నాల్గవ వంతు వగైరా ఇవ్వాలని కోరాడు.

రాజు కోపంతో సేతుని తరిమికొట్టాడు, సేవకుడి అభ్యర్థన రాజు యొక్క ఔదార్యానికి తగదని, కానీ సేవకుడు బోర్డు యొక్క అన్ని చతురస్రాకారానికి తన గింజలను అందుకుంటానని వాగ్దానం చేశాడు.

మరియు ఇప్పుడు ప్రశ్న: రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి, సేథ్ ఎన్ని ధాన్యాలను పొందాలి?

తార్కికం ప్రారంభిద్దాం. షరతు ప్రకారం, సేథ్ చెస్ బోర్డ్ యొక్క మొదటి చతురస్రానికి, రెండవది, మూడవది, నాల్గవది మొదలైన వాటికి గోధుమ గింజను అడిగాడు కాబట్టి, సమస్యలో మనం చూస్తాము. మేము మాట్లాడుతున్నామురేఖాగణిత పురోగతి గురించి. ఈ సందర్భంలో ఏది సమానంగా ఉంటుంది?
కుడి.

చదరంగం బోర్డు యొక్క మొత్తం చతురస్రాలు. వరుసగా, . మా వద్ద మొత్తం డేటా ఉంది, దానిని ఫార్ములాలోకి ప్లగ్ చేసి లెక్కించడమే మిగిలి ఉంది.

కనీసం సుమారుగా "స్కేల్" ఊహించడానికి ఇచ్చిన సంఖ్య, డిగ్రీ లక్షణాలను ఉపయోగించి రూపాంతరం చెందండి:

వాస్తవానికి, మీకు కావాలంటే, మీరు కాలిక్యులేటర్‌ని తీసుకొని, మీరు ఏ సంఖ్యతో ముగుస్తుందో లెక్కించవచ్చు మరియు కాకపోతే, మీరు దాని కోసం నా మాటను తీసుకోవాలి: వ్యక్తీకరణ యొక్క చివరి విలువ ఉంటుంది.
అంటే:

క్విన్టిలియన్ క్వాడ్రిలియన్ ట్రిలియన్ బిలియన్ మిలియన్ వేల.

ఫ్యూ) మీరు ఈ సంఖ్య యొక్క అపారతను ఊహించుకోవాలనుకుంటే, మొత్తం ధాన్యాన్ని ఉంచడానికి ఎంత పెద్ద బార్న్ అవసరమో అంచనా వేయండి.
బార్న్ మీ ఎత్తు మరియు మీ వెడల్పు ఉన్నట్లయితే, దాని పొడవు కిమీ వరకు విస్తరించవలసి ఉంటుంది, అనగా. భూమి నుండి సూర్యునికి రెండు రెట్లు దూరం.

రాజు గణితంలో బలంగా ఉంటే, అతను ధాన్యాలను లెక్కించడానికి శాస్త్రవేత్తను స్వయంగా ఆహ్వానించగలడు, ఎందుకంటే ఒక మిలియన్ గింజలను లెక్కించడానికి, అతనికి కనీసం ఒక రోజు అలసిపోని లెక్కింపు అవసరం, మరియు క్విన్టిలియన్ల, గింజలను లెక్కించడం అవసరం. అతని జీవితాంతం లెక్కించబడాలి.

ఇప్పుడు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంతో కూడిన ఒక సాధారణ సమస్యను పరిష్కరిద్దాం.
5A తరగతి విద్యార్థి వాస్య ఫ్లూతో అనారోగ్యానికి గురయ్యాడు, కానీ పాఠశాలకు వెళ్లడం కొనసాగిస్తున్నాడు. ప్రతి రోజు వాస్య ఇద్దరు వ్యక్తులకు సోకుతుంది, వారు మరో ఇద్దరు వ్యక్తులకు సోకారు మరియు మొదలైనవి. క్లాసులో మనుషులు మాత్రమే ఉన్నారు. ఇన్ని రోజులలో తరగతి మొత్తం ఫ్లూతో బాధపడుతుంది?

కాబట్టి, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదం వాస్య, అంటే ఒక వ్యక్తి. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం అతను వచ్చిన మొదటి రోజున అతను సోకిన ఇద్దరు వ్యక్తులు. మొత్తం మొత్తంపురోగతి సభ్యులు 5Aలోని విద్యార్థుల సంఖ్యకు సమానం. దీని ప్రకారం, మేము ఒక పురోగతి గురించి మాట్లాడుతాము:

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి ఫార్ములాలో మా డేటాను ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం:

కొద్దిరోజుల్లోనే క్లాస్ అంతా అస్వస్థతకు గురవుతారు. సూత్రాలు మరియు సంఖ్యలను నమ్మలేదా? విద్యార్థుల "ఇన్ఫెక్షన్" ను మీరే చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నించండి. జరిగిందా? ఇది నాకు ఎలా ఉందో చూడండి:

ప్రతి ఒక్కరు ఒక వ్యక్తికి సోకినట్లయితే, మరియు తరగతిలో ఒక వ్యక్తి మాత్రమే ఉన్నట్లయితే, విద్యార్థులు ఫ్లూతో అస్వస్థతకు గురయ్యేందుకు ఎన్ని రోజులు పడుతుందో మీరే లెక్కించండి.

మీరు ఏ విలువ పొందారు? ఒక రోజు తర్వాత ప్రతి ఒక్కరూ అనారోగ్యానికి గురికావడం ప్రారంభించారని తేలింది.

మీరు చూస్తున్నట్లుగా, ఇదే పనిమరియు దానికి డ్రాయింగ్ పిరమిడ్‌ను పోలి ఉంటుంది, దీనిలో ప్రతి తదుపరిది కొత్త వ్యక్తులను "తీసుకెళ్తుంది". ఏదేమైనా, త్వరగా లేదా తరువాత ఒక క్షణం వస్తుంది, రెండోది ఎవరినీ ఆకర్షించదు. మా విషయంలో, తరగతి ఒంటరిగా ఉందని మేము ఊహించినట్లయితే, ఆ వ్యక్తి గొలుసును మూసివేస్తాడు (). అందువలన, ఒక వ్యక్తి చేరి ఉంటే ఆర్థిక పిరమిడ్, దీనిలో మీరు ఇద్దరు ఇతర భాగస్వాములను తీసుకువస్తే డబ్బు ఇవ్వబడుతుంది, ఆ వ్యక్తి (లేదా సాధారణ కేసు) ఎవరినీ తీసుకురాలేదు మరియు అందువల్ల వారు ఈ ఆర్థిక స్కామ్‌లో పెట్టుబడి పెట్టిన ప్రతిదాన్ని కోల్పోతారు.

పైన చెప్పబడిన ప్రతిదీ తగ్గుతున్న లేదా పెరుగుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని సూచిస్తుంది, కానీ, మీకు గుర్తున్నట్లుగా, మేము కలిగి ఉన్నాము ప్రత్యేక రకం- అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. దాని సభ్యుల మొత్తాన్ని ఎలా లెక్కించాలి? మరియు ఈ రకమైన పురోగతి ఎందుకు ఉంది కొన్ని లక్షణాలు? కలిసి దాన్ని గుర్తించండి.

కాబట్టి, ముందుగా, మన ఉదాహరణ నుండి అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఈ డ్రాయింగ్‌ను మళ్లీ చూద్దాం:

ఇప్పుడు జ్యామితీయ పురోగమనం యొక్క మొత్తానికి కొంచెం ముందుగా ఉద్భవించిన సూత్రాన్ని చూద్దాం:
లేదా

మనం దేని కోసం ప్రయత్నిస్తున్నాం? అది సున్నా, గ్రాఫ్ అది సున్నాకి మొగ్గు చూపుతుంది. అంటే, వద్ద, వరుసగా దాదాపు సమానంగా ఉంటుంది, వ్యక్తీకరణను లెక్కించేటప్పుడు మనం దాదాపుగా పొందుతాము. ఈ విషయంలో, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని లెక్కించేటప్పుడు, ఈ బ్రాకెట్‌ని నిర్లక్ష్యం చేయవచ్చని మేము విశ్వసిస్తున్నాము, ఎందుకంటే ఇది సమానంగా ఉంటుంది.

- సూత్రం అనేది అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం.

ముఖ్యమైనది!మేము మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉందని షరతు స్పష్టంగా పేర్కొన్నప్పుడు మాత్రమే మేము అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అనంతంసభ్యుల సంఖ్య.

ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య n పేర్కొనబడితే, మేము n పదాల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము, లేదా.

ఇప్పుడు సాధన చేద్దాం.

1. మరియు తో రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.
2. మరియు తో అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

మీరు చాలా జాగ్రత్తగా ఉన్నారని నేను ఆశిస్తున్నాను. మన సమాధానాలను పోల్చి చూద్దాం:

ఇప్పుడు మీరు రేఖాగణిత పురోగతి గురించి ప్రతిదీ తెలుసు, మరియు ఇది సిద్ధాంతం నుండి అభ్యాసానికి వెళ్ళే సమయం. పరీక్షలో ఎదురయ్యే అత్యంత సాధారణ రేఖాగణిత పురోగతి సమస్యలు సమ్మేళనం వడ్డీని లెక్కించడంలో సమస్యలు. వీటి గురించి మనం మాట్లాడుకుంటాం.

చక్రవడ్డీని లెక్కించడంలో సమస్యలు.

మీరు బహుశా సమ్మేళనం వడ్డీ ఫార్ములా అని పిలవబడే గురించి విన్నారు. దాని అర్థం మీకు అర్థమైందా? కాకపోతే, దాన్ని గుర్తించండి, ఎందుకంటే మీరు ప్రక్రియను అర్థం చేసుకున్న తర్వాత, రేఖాగణిత పురోగతికి దానితో సంబంధం ఏమిటో మీరు వెంటనే అర్థం చేసుకుంటారు.

మనమందరం బ్యాంకుకు వెళ్లి అక్కడ ఉన్నామని తెలుసు వివిధ పరిస్థితులుడిపాజిట్లపై: ఇది పదం, మరియు అదనపు సేవ మరియు రెండింటితో వడ్డీ వివిధ మార్గాలుదాని లెక్కలు - సాధారణ మరియు క్లిష్టమైన.

తో సాధారణ ఆసక్తిప్రతిదీ ఎక్కువ లేదా తక్కువ స్పష్టంగా ఉంది: డిపాజిట్ వ్యవధి ముగింపులో వడ్డీ ఒకసారి జమ అవుతుంది. అంటే, మేము ఒక సంవత్సరానికి 100 రూబిళ్లు డిపాజిట్ చేస్తామని చెబితే, అప్పుడు వారు సంవత్సరం చివరిలో మాత్రమే క్రెడిట్ చేయబడతారు. దీని ప్రకారం, డిపాజిట్ ముగిసే సమయానికి మేము రూబిళ్లు అందుకుంటాము.

చక్రవడ్డీ- ఇది సంభవించే ఎంపిక వడ్డీ క్యాపిటలైజేషన్, అనగా డిపాజిట్ మొత్తానికి వాటి జోడింపు మరియు ఆదాయం యొక్క తదుపరి గణన ప్రారంభ నుండి కాదు, కానీ సేకరించిన డిపాజిట్ మొత్తం నుండి. క్యాపిటలైజేషన్ నిరంతరం జరగదు, కానీ కొంత ఫ్రీక్వెన్సీతో. నియమం ప్రకారం, అటువంటి కాలాలు సమానంగా ఉంటాయి మరియు చాలా తరచుగా బ్యాంకులు ఒక నెల, త్రైమాసికం లేదా సంవత్సరాన్ని ఉపయోగిస్తాయి.

మేము ఏటా అదే రూబిళ్లు డిపాజిట్ చేస్తాము, కానీ డిపాజిట్ యొక్క నెలవారీ క్యాపిటలైజేషన్తో. ఏం చేస్తున్నాం?

మీకు ఇక్కడ ప్రతిదీ అర్థమైందా? కాకపోతే, దాన్ని దశలవారీగా గుర్తించండి.

మేము బ్యాంకుకు రూబిళ్లు తెచ్చాము. నెలాఖరు నాటికి, మా ఖాతాలో మా రూబిళ్లు మరియు వాటిపై వడ్డీతో కూడిన మొత్తం ఉండాలి, అంటే:

అంగీకరిస్తున్నారు?

మేము దానిని బ్రాకెట్ల నుండి తీసివేసి, ఆపై మనం పొందుతాము:

అంగీకరిస్తున్నారు, ఈ ఫార్ములా ఇప్పటికే మనం ప్రారంభంలో వ్రాసిన దానితో సమానంగా ఉంటుంది. శాతాలను గుర్తించడమే మిగిలి ఉంది

సమస్య ప్రకటనలో మేము వార్షిక రేట్ల గురించి చెప్పాము. మీకు తెలిసినట్లుగా, మేము దీని ద్వారా గుణించము - మేము శాతాలను దశాంశ భిన్నాలకు మారుస్తాము, అంటే:

సరియైనదా? ఇప్పుడు మీరు అడగవచ్చు, నంబర్ ఎక్కడ నుండి వచ్చింది? చాలా సింపుల్!
నేను పునరావృతం చేస్తున్నాను: సమస్య ప్రకటన గురించి చెబుతుంది వార్షికవచ్చే వడ్డీ నెలవారీ. మీకు తెలిసినట్లుగా, నెలరోజుల్లో, తదనుగుణంగా, బ్యాంకు మాకు నెలకు వార్షిక వడ్డీలో కొంత భాగాన్ని వసూలు చేస్తుంది:

గ్రహించారా? ఇప్పుడు వడ్డీని రోజూ లెక్కిస్తానని నేను చెబితే ఫార్ములాలోని ఈ భాగం ఎలా ఉంటుందో వ్రాయడానికి ప్రయత్నించండి.
మీరు నిర్వహించారా? ఫలితాలను పోల్చి చూద్దాం:

బాగా చేసారు! మన పనికి తిరిగి వెళ్దాం: సేకరించిన డిపాజిట్ మొత్తంపై వడ్డీని పరిగణనలోకి తీసుకుని, రెండవ నెలలో మన ఖాతాకు ఎంత జమ అవుతుందో వ్రాయండి.
నాకు లభించినవి ఇక్కడ ఉన్నాయి:

లేదా, ఇతర మాటలలో:

మీరు ఇప్పటికే ఒక నమూనాను గమనించారని మరియు వీటన్నింటిలో రేఖాగణిత పురోగతిని చూశారని నేను భావిస్తున్నాను. దాని సభ్యుడు దేనికి సమానంగా ఉంటాడో లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, నెలాఖరులో మనం ఎంత డబ్బును అందుకుంటామో వ్రాయండి.
చేసారా? తనిఖీ చేద్దాం!

మీరు గమనిస్తే, మీరు సాధారణ వడ్డీ రేటుతో ఒక సంవత్సరం పాటు బ్యాంకులో డబ్బును ఉంచినట్లయితే, మీరు రూబిళ్లు అందుకుంటారు మరియు సమ్మేళనం వడ్డీ రేటుతో ఉంటే, మీరు రూబిళ్లు అందుకుంటారు. ప్రయోజనం చిన్నది, కానీ ఇది సంవత్సరంలో మాత్రమే జరుగుతుంది, కానీ ఎక్కువ సుదీర్ఘ కాలంక్యాపిటలైజేషన్ చాలా లాభదాయకం:

మరొక రకమైన సమస్యను పరిశీలిద్దాం: చక్రవడ్డీ. మీరు కనుగొన్న తర్వాత, ఇది మీకు ప్రాథమికంగా ఉంటుంది. కాబట్టి, పని:

Zvezda కంపెనీ 2000లో పరిశ్రమలో పెట్టుబడి పెట్టడం ప్రారంభించింది, డాలర్లలో మూలధనంతో. 2001 నుండి ప్రతి సంవత్సరం, ఇది మునుపటి సంవత్సరం మూలధనానికి సమానమైన లాభం పొందింది. 2003 చివరిలో జ్వెజ్డా కంపెనీకి లాభాలు సర్క్యులేషన్ నుండి ఉపసంహరించుకోకపోతే ఎంత లాభం పొందుతుంది?

2000లో జ్వెజ్డా కంపెనీ రాజధాని.
- 2001లో జ్వెజ్డా కంపెనీ రాజధాని.
- 2002లో జ్వెజ్డా కంపెనీ రాజధాని.
- 2003లో జ్వెజ్డా కంపెనీ రాజధాని.

లేదా మనం క్లుప్తంగా వ్రాయవచ్చు:

మా కేసు కోసం:

2000, 2001, 2002 మరియు 2003.

వరుసగా:
రూబిళ్లు
దయచేసి ఈ సమస్యలో మాకు దాని ద్వారా లేదా దాని ద్వారా విభజన లేదని గుర్తుంచుకోండి, ఎందుకంటే శాతం వార్షికంగా ఇవ్వబడుతుంది మరియు ఇది వార్షికంగా లెక్కించబడుతుంది. అంటే, చక్రవడ్డీపై సమస్యను చదివేటప్పుడు, ఎంత శాతం ఇవ్వబడింది మరియు ఏ కాలంలో లెక్కించబడుతుంది అనే దానిపై శ్రద్ధ వహించండి, ఆపై మాత్రమే గణనలకు వెళ్లండి.
ఇప్పుడు మీరు రేఖాగణిత పురోగతి గురించి ప్రతిదీ తెలుసు.

శిక్షణ.

1. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క పదాన్ని కనుగొనండి, అది తెలిస్తే, మరియు
2. రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి, అది తెలిస్తే, మరియు
3. MDM క్యాపిటల్ కంపెనీ 2003లో పరిశ్రమలో పెట్టుబడిని డాలర్లలో పెట్టుబడి పెట్టడం ప్రారంభించింది. 2004 నుండి ప్రతి సంవత్సరం, మునుపటి సంవత్సరం మూలధనానికి సమానమైన లాభం పొందింది. MSK కంపెనీ నగదు ప్రవాహాలు"2005లో పరిశ్రమలో $10,000 మొత్తంలో పెట్టుబడి పెట్టడం ప్రారంభించింది, 2006లో లాభాలను ఆర్జించడం ప్రారంభించింది. 2007 చివరి నాటికి ఒక కంపెనీ మూలధనం మరొకదాని కంటే ఎన్ని డాలర్లు ఎక్కువగా ఉంది, ఒకవేళ చలామణి నుండి లాభాలను ఉపసంహరించుకోకపోతే?

సమాధానాలు:

1. సమస్య ప్రకటన పురోగతి అనంతమైనదని చెప్పనందున మరియు మీరు మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది నిర్దిష్ట సంఖ్యదాని సభ్యులు, అప్పుడు గణన సూత్రం ప్రకారం నిర్వహించబడుతుంది:
2. 
   MDM క్యాపిటల్ కంపెనీ:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - 100% పెరుగుతుంది, అంటే 2 సార్లు.
   వరుసగా:
   రూబిళ్లు
   MSK క్యాష్ ఫ్లోస్ కంపెనీ:

   2005, 2006, 2007.
   - ద్వారా పెరుగుతుంది, అంటే, సార్లు.
   వరుసగా:
   రూబిళ్లు
   రూబిళ్లు

సారాంశం చేద్దాం.

1) రేఖాగణిత పురోగతి ( ) అనేది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీని మొదటి పదం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి పదం, రెండవది నుండి ప్రారంభమై, అదే సంఖ్యతో గుణించబడిన మునుపటి దానికి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ సంఖ్యను రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం అంటారు.

2) రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సమీకరణం.

3) మరియు తప్ప ఏదైనా విలువలను తీసుకోవచ్చు.

• అయితే, పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి నిబంధనలు ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి - అవి సానుకూలంగా ఉన్నాయి;
• అయితే, పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి నిబంధనలు ప్రత్యామ్నాయ సంకేతాలు;
• ఎప్పుడు - పురోగతిని అనంతంగా తగ్గించడం అంటారు.

4) , తో - రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క ఆస్తి (ప్రక్కనే ఉన్న నిబంధనలు)

లేదా
, వద్ద (సమానమైన నిబంధనలు)

మీరు దానిని కనుగొన్నప్పుడు, దానిని మరచిపోకండి రెండు సమాధానాలు ఉండాలి.

ఉదాహరణకి,

5) రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
లేదా

పురోగతి అనంతంగా తగ్గుతూ ఉంటే, అప్పుడు:
లేదా

ముఖ్యమైనది!మేము మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి ఉందని షరతు స్పష్టంగా పేర్కొన్నప్పుడు మాత్రమే మేము అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము. అనంతమైన సంఖ్యసభ్యులు.

6) సమ్మేళనం వడ్డీకి సంబంధించిన సమస్యలు కూడా రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క వ పదం కోసం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి లెక్కించబడతాయి నగదుసర్క్యులేషన్ నుండి ఉపసంహరించబడలేదు:

జియోమెట్రిక్ ప్రోగ్రెషన్. ప్రధాన విషయాల గురించి క్లుప్తంగా

రేఖాగణిత పురోగతి( ) అనేది ఒక సంఖ్యా శ్రేణి, దీని మొదటి పదం సున్నాకి భిన్నంగా ఉంటుంది మరియు ప్రతి పదం, రెండవది నుండి మొదలై, మునుపటి దానికి సమానంగా ఉంటుంది, అదే సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది. ఈ నంబర్ అంటారు రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారం.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క హారంమరియు తప్ప ఏదైనా విలువను తీసుకోవచ్చు.

• ఒకవేళ, పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి నిబంధనలు ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటే - అవి సానుకూలంగా ఉంటాయి;
• ఉంటే, అప్పుడు పురోగతి యొక్క అన్ని తదుపరి సభ్యులు ప్రత్యామ్నాయ సంకేతాలు;
• ఎప్పుడు - పురోగతిని అనంతంగా తగ్గించడం అంటారు.

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల సమీకరణం - .

రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనల మొత్తంసూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:
లేదా

న్యూమరిక్ సీక్వెన్స్‌లు VI

§ l48. అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం

ఇప్పటి వరకు, మొత్తాలను గురించి మాట్లాడేటప్పుడు, ఈ మొత్తాలలోని పదాల సంఖ్య పరిమితమని మేము ఎల్లప్పుడూ భావించాము (ఉదాహరణకు, 2, 15, 1000, మొదలైనవి). కానీ కొన్ని సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు (ముఖ్యంగా ఉన్నత గణితం) ఒకరు అనంతమైన పదాల మొత్తాలతో వ్యవహరించాలి

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

ఈ మొత్తాలు ఏమిటి? ఎ-ప్రియరీ అనంతమైన పదాల మొత్తం a 1 , a 2 , ..., a n , ... మొత్తం S యొక్క పరిమితి అంటారు n ప్రధమ పి సంఖ్యలు ఎప్పుడు పి -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

పరిమితి (2), వాస్తవానికి, ఉనికిలో ఉండవచ్చు లేదా ఉండకపోవచ్చు. దీని ప్రకారం, మొత్తం (1) ఉనికిలో ఉందని లేదా ఉనికిలో లేదని వారు చెప్పారు.

ప్రతిదానిలో మొత్తం (1) ఉందో లేదో మనం ఎలా కనుగొనగలం నిర్దిష్ట సందర్భంలో? సాధారణ నిర్ణయంఈ సమస్య మా ప్రోగ్రామ్ పరిధికి మించినది. అయితే, ఒక ముఖ్యమైన విషయం ఉంది ప్రత్యేక సంధర్భం, మనం ఇప్పుడు పరిగణించవలసినది. మేము అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క నిబంధనలను సంగ్రహించడం గురించి మాట్లాడుతాము.

వీలు a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... అనేది అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. దీని అర్థం | q |< 1. Сумма первых పి ఈ పురోగతి యొక్క నిబంధనలు సమానంగా ఉంటాయి

పరిమితుల గురించి ప్రధాన సిద్ధాంతాల నుండి వేరియబుల్స్(§ 136 చూడండి) మేము పొందుతాము:

కానీ 1 = 1, a qn = 0. కాబట్టి

కాబట్టి, అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తం ఈ పురోగతి యొక్క మొదటి పదానికి సమానం, ఈ పురోగతి యొక్క హారం నుండి ఒక మైనస్‌తో భాగించబడుతుంది.

1) రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... సమానం

మరియు రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం 12; -6; 3; - 3/2 , ... సమానం

2) సాధారణ ఆవర్తన భిన్నం 0.454545 ... సాధారణ స్థితికి మార్చండి.

ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, ఊహించుకుందాం ఇచ్చిన భిన్నంఅనంతమైన మొత్తంగా:

ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపు అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగమనం యొక్క మొత్తం, దీని మొదటి పదం 45/100కి సమానం మరియు హారం 1/100. అందుకే

వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి, సాధారణ ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడానికి ఒక సాధారణ నియమాన్ని పొందవచ్చు (చాప్టర్ II, § 38 చూడండి):

సాధారణ ఆవర్తన భిన్నాన్ని సాధారణ భిన్నంగా మార్చడానికి, మీరు ఈ క్రింది వాటిని చేయాలి: పీరియడ్‌ను న్యూమరేటర్‌లో ఉంచండి దశాంశ, మరియు హారం అనేది దశాంశ భిన్నం యొక్క వ్యవధిలో ఎన్ని అంకెలు ఉంటే అంత ఎక్కువ సార్లు తీసుకోబడిన తొమ్మిదిలతో కూడిన సంఖ్య.

3) మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం 0.58333 ....ని సాధారణ భిన్నంలోకి మార్చండి.

ఈ భిన్నాన్ని అనంతమైన మొత్తంగా ఊహించుకుందాం:

ఈ సమానత్వం యొక్క కుడి వైపున, 3/1000 నుండి ప్రారంభమయ్యే అన్ని నిబంధనలు అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని ఏర్పరుస్తాయి, వీటిలో మొదటి పదం 3/1000కి సమానం మరియు హారం 1/10. అందుకే

వివరించిన పద్ధతిని ఉపయోగించి, మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నాలను సాధారణ భిన్నాలుగా మార్చడానికి ఒక సాధారణ నియమాన్ని పొందవచ్చు (చాప్టర్ II, § 38 చూడండి). మేము ఉద్దేశపూర్వకంగా ఇక్కడ ప్రదర్శించడం లేదు. ఈ గజిబిజి నియమాన్ని గుర్తుంచుకోవలసిన అవసరం లేదు. ఏదైనా మిశ్రమ ఆవర్తన భిన్నం అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మరియు నిర్దిష్ట సంఖ్య మొత్తంగా సూచించబడుతుందని తెలుసుకోవడం చాలా ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మరియు ఫార్ములా

అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తం కోసం, మీరు తప్పనిసరిగా గుర్తుంచుకోవాలి.

ఒక వ్యాయామంగా, మీరు క్రింద ఇవ్వబడిన నం. 995-1000 సమస్యలతో పాటు, మరోసారి సమస్య సంఖ్య 301 § 38కి మారాలని మేము సూచిస్తున్నాము.

వ్యాయామాలు

995. అనంతంగా క్షీణిస్తున్న రేఖాగణిత పురోగతి మొత్తాన్ని దేన్ని పిలుస్తారు?

996. అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగమనాల మొత్తాలను కనుగొనండి:

997. ఏ విలువలతో X పురోగతి

ఇది అనంతంగా తగ్గుతోందా? అటువంటి పురోగతి మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

998.వి సమబాహు త్రిభుజంవైపు తో ఎ దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపడం ద్వారా వ్రాయబడింది కొత్త త్రిభుజం; ఈ త్రిభుజంలో అదే విధంగా ఒక కొత్త త్రిభుజం చెక్కబడి ఉంటుంది, అలాగే ప్రకటన అనంతం.

a) ఈ త్రిభుజాల చుట్టుకొలతల మొత్తం;

బి) వారి ప్రాంతాల మొత్తం.

999. సైడ్ తో స్క్వేర్ ఎ దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపడం ద్వారా వ్రాయబడింది కొత్త చతురస్రం; ఈ చతురస్రంలో ఒక చతురస్రం అదే విధంగా చెక్కబడి ఉంటుంది, అలాగే ప్రకటన అనంతం. ఈ అన్ని చతురస్రాల చుట్టుకొలతల మొత్తాన్ని మరియు వాటి ప్రాంతాల మొత్తాన్ని కనుగొనండి.

1000. అనంతంగా తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతిని కంపోజ్ చేయండి అంటే దాని మొత్తం 25/4కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు దాని నిబంధనల యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తం 625/24కి సమానంగా ఉంటుంది.

అధ్యాయం ప్రారంభంలో సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేయడం ద్వారా, “దానిని తర్వాత వదిలేద్దాం. ఈలోగా, సంభవించే మొత్తాలన్నింటికీ పరిమిత సంఖ్యలో సున్నా కాని పదాలు మాత్రమే ఉన్నాయని మనం భావించవచ్చు! కానీ గణన సమయం చివరకు వచ్చింది - మనం వాస్తవాన్ని ఎదుర్కోవాలి

మొత్తాలు అనంతం కావచ్చు. మరి నిజం చెప్పాలంటే.. అనంతమైన మొత్తాలుఆహ్లాదకరమైన మరియు అసహ్యకరమైన పరిస్థితులతో పాటు.

మొదట, అసహ్యకరమైన వాటి గురించి: మొత్తాలను నిర్వహించేటప్పుడు మేము ఉపయోగించిన పద్ధతులు అనంతమైన మొత్తాలకు ఎల్లప్పుడూ చెల్లుబాటు కాదని తేలింది. మరియు ఇప్పుడు మంచి విషయాల కోసం: విస్తారమైనది ఏర్పాటు చేసిన తరగతిఅంతులేని మొత్తాలు, దీని కోసం మేము చేసిన అన్ని కార్యకలాపాలు పూర్తిగా చట్టబద్ధమైనవి. రెండు పరిస్థితుల వెనుక కారణాలు మేము కనుగొన్న తర్వాత స్పష్టమవుతాయి నిజమైన అర్థంసమ్మషన్.

అది ఏమిటో అందరికీ తెలుసు చివరి మొత్తం: మేము అన్ని నిబంధనలను మొత్తానికి, ఒకదాని తర్వాత ఒకటిగా చేర్చే వరకు వాటిని జోడిస్తాము. కానీ ఇబ్బందుల్లో పడకుండా అనంతమైన మొత్తాన్ని మరింత సున్నితంగా నిర్ణయించాలి.

2కి సమానం, ఎందుకంటే మనం దానిని రెట్టింపు చేసినప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

అయితే, అదే తర్కాన్ని అనుసరించి, మేము మొత్తాన్ని లెక్కించవలసి ఉంటుంది

-1కి సమానం, ఎందుకంటే మనం దానిని రెట్టింపు చేసినప్పుడు మనకు లభిస్తుంది

ఏదో వింత జరుగుతోంది: మీరు ఎలా పొందవచ్చు ప్రతికూల సంఖ్య, సానుకూల విలువలను సంగ్రహించాలా? T యొక్క మొత్తాన్ని నిర్వచించకుండా వదిలేయడం మంచిదనిపిస్తుంది మరియు Tలోని నిబంధనలు ఏదైనా స్థిరమైన పరిమిత సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా మారినందున మనం భావించాలి. (పరిమాణం సమీకరణానికి మరొక "పరిష్కారం" అని గమనించండి; ఇది సమీకరణాన్ని కూడా "పరిష్కరిస్తుంది"

K సెట్ అనంతంగా ఉండే ఏకపక్ష మొత్తం విలువకు సరైన నిర్వచనం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిద్దాం. ప్రారంభించడానికి, a యొక్క అన్ని నిబంధనలు ప్రతికూలమైనవి కావు. ఈ విషయంలో తగిన నిర్వచనంకనుగొనడం కష్టం కాదు: ఏదైనా పరిమిత ఉపసమితి కోసం పరిమిత స్థిరాంకం A ఉంటే అలాంటిది

అప్పుడు మనం అటువంటి A అన్నింటిలో మొత్తాన్ని చిన్నదిగా తీసుకుంటాము. (వాస్తవిక సంఖ్యల యొక్క ప్రసిద్ధ లక్షణాల నుండి క్రింది విధంగా, అటువంటి అన్ని A యొక్క సమితి ఎల్లప్పుడూ చిన్న మూలకాన్ని కలిగి ఉంటుంది.) అయితే అటువంటి పరిమితి స్థిరాంకం A ఉనికిలో ఉండదు. , మేము దీని అర్థం A అయితే -

కొంత వాస్తవ సంఖ్య, అప్పుడు a యొక్క కొన్ని పరిమిత సంఖ్య పదాలు ఉన్నాయి, దాని మొత్తం A కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

మునుపటి పేరాలోని నిర్వచనం చాలా సున్నితంగా రూపొందించబడింది, ఇది ఇండెక్స్ సెట్ K లో ఉన్న ఏ ఆర్డర్‌పై ఆధారపడి ఉండదు. కాబట్టి, మేము ఇవ్వబోయే వాదనలు పూర్ణాంకాల సమితిపై మొత్తాలకు మాత్రమే చెల్లుబాటు అవుతాయి, కానీ అనేక సూచికలతో బహుళ మొత్తాలకు కూడా

ప్రత్యేకించి, K అనేది నాన్-నెగటివ్ పూర్ణాంకాల సమితి అయినప్పుడు, ప్రతికూల పదాలకు మా నిర్వచనం అంటే

మరియు ఇక్కడ ఎందుకు ఉంది: వాస్తవ సంఖ్యల యొక్క ఏదైనా నాన్-క్షీణ శ్రేణికి పరిమితి ఉంటుంది (బహుశా ఈ పరిమితి సమానంగా ఉంటే దానికి సమానం, ప్రతికూల పూర్ణాంకాల యొక్క కొన్ని పరిమిత సెట్లు, ఇవన్నీ అప్పుడు ఉంటాయి; కాబట్టి, లేదా A అనేది పరిమితి స్థిరాంకం. కానీ A అయితే కొంత సంఖ్య తక్కువగా ఉంటుంది ఏర్పాటు సరిహద్దు A, తర్వాత, అదనంగా, A పరిమితం చేసే స్థిరాంకం కాదని ఒక పరిమిత సమితి సాక్ష్యమిస్తుంది.

ఇప్పుడు మీరు ఇప్పుడు ఇచ్చిన నిర్వచనానికి అనుగుణంగా నిర్దిష్ట అనంతమైన మొత్తాల పరిమాణాలను సులభంగా లెక్కించవచ్చు. ఉదాహరణకు, అలా అయితే

ప్రత్యేకించి, ఒక క్షణం క్రితం చర్చించబడిన అనంతమైన మొత్తాలు మరియు T, మేము ఊహించినట్లుగా వరుసగా 2 మరియు సమానం. మరొక ముఖ్యమైన ఉదాహరణ:

ఇప్పుడు రుణాత్మకం కాని మొత్తాలతో పాటు, మొత్తానికి ప్రతికూల పదాలు ఉన్న సందర్భాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఉదాహరణకు, ఎంత మొత్తంలో ఉండాలి

మేము నిబంధనలను జతలుగా సమూహపరచినట్లయితే, మనకు లభిస్తుంది:

కాబట్టి మొత్తం అవుతుంది సున్నాకి సమానం; కానీ మనం ఒక అడుగు తర్వాత జతలుగా సమూహాన్ని ప్రారంభించినట్లయితే, మనకు లభిస్తుంది

అంటే మొత్తం ఒకదానికి సమానం.

ఈ ఫార్ములా చెల్లుబాటు అవుతుందని మాకు తెలుసు కాబట్టి మేము సూత్రంలో ఉంచడానికి కూడా ప్రయత్నించవచ్చు, కానీ ఈ అనంతమైన మొత్తం సమానమని మేము అంగీకరించవలసి వస్తుంది ఎందుకంటే ఇది పూర్ణాంకాల మొత్తం!

మరో ఆసక్తికరమైన ఉదాహరణ ఏమిటంటే, k 0 వద్ద మరియు E వద్ద రెండు దిశలలోని మొత్తం అనంతం

మనం ఈ మొత్తాన్ని "కేంద్ర" మూలకం నుండి ప్రారంభించి, బయటికి తరలించడం ద్వారా గణిస్తే,

అప్పుడు మనకు 1 వస్తుంది; మరియు మేము అన్ని బ్రాకెట్లను ఒక మూలకాన్ని ఎడమవైపుకు తరలించినట్లయితే మనకు అదే 1 వస్తుంది,

ఎందుకంటే లోపలి బ్రాకెట్లలో ఉన్న అన్ని సంఖ్యల మొత్తం

ఇలాంటి తార్కికం ఈ బ్రాకెట్‌లను ఏదైనా స్థిర సంఖ్య మూలకాలను ఎడమ లేదా కుడి వైపుకు తరలించినట్లయితే మొత్తం విలువ 1కి సమానంగా ఉంటుందని చూపిస్తుంది - ఇది మొత్తం నిజంగా 1కి సమానం అనే మా అభిప్రాయాన్ని బలపరుస్తుంది. కానీ, మరోవైపు, అయితే మేము నిబంధనలను ఈ క్రింది విధంగా సమూహపరుస్తాము:

అప్పుడు లోపలి బ్రాకెట్ల జత సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది

చ.లో. 9 అది చూపబడుతుంది, కాబట్టి, ఈ పద్ధతిసమూహీకరణ రెండు దిశలలో అనంతంగా ఉన్న మొత్తం వాస్తవానికి సమానంగా ఉండాలనే ఆలోచనకు దారి తీస్తుంది

ఇచ్చే మొత్తంలో అర్థం లేని విషయం ఉంది వివిధ అర్థాలుదాని సభ్యులను జోడించేటప్పుడు వివిధ మార్గాలు. ఆధునిక విశ్లేషణ మాన్యువల్స్ ఉన్నాయి మొత్తం లైన్అటువంటి పాథోలాజికల్ మొత్తాలకు అర్థవంతమైన అర్థాలు కేటాయించబడే నిర్వచనాలు; కానీ మనం ఈ నిర్వచనాలను తీసుకుంటే, మనం ఇప్పటివరకు చేసినంత స్వేచ్ఛగా -నోటేషన్‌తో పనిచేయలేము. ఈ పుస్తకం యొక్క ఉద్దేశ్యం ఏమిటంటే, భావన యొక్క శుద్ధి వివరణలు మనకు అవసరం లేదు " షరతులతో కూడిన కలయిక"- మేము ఈ అధ్యాయంలో ఉపయోగించిన అన్ని కార్యకలాపాలను అమలులో ఉంచే అనంతమైన మొత్తాల నిర్వచనానికి కట్టుబడి ఉంటాము.

సారాంశంలో, అనంతమైన మొత్తాలకు మా నిర్వచనం చాలా సులభం. K సమితిగా ఉండనివ్వండి మరియు ప్రతిదానికి నిర్వచించబడిన మొత్తానికి ఒక వాస్తవ-విలువ పదంగా ఉండనివ్వండి. (వాస్తవానికి, ఇది అనేక సూచికలను సూచిస్తుంది, తద్వారా సెట్ K బహుమితీయంగా ఉంటుంది.) ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్య x దాని సానుకూల మరియు ప్రతికూల భాగాల వ్యత్యాసంగా సూచించబడుతుంది,

(ఏదైనా లేదా మేము ఇప్పటికే అనంతమైన మొత్తాలను ఎలా గుర్తించాలో వివరించాము, ఎందుకంటే అవి ప్రతికూలమైనవి కావు. కాబట్టి, మా సాధారణ నిర్వచనంఇదేనా:

కుడి వైపున ఉన్న రెండు మొత్తాలు సమానంగా ఉంటే తప్ప. IN తరువాతి కేసుహ్లెక్ మొత్తం అనిశ్చితంగా ఉంది.

Tskekak ను లెట్ మరియు మొత్తాలు పరిమితమైనట్లయితే, ఆ మొత్తం ఖచ్చితంగా కలుస్తుందని వారు చెప్పారు. అది పరిమితమైతే, మొత్తం అదే విధంగా విభేదిస్తుంది అని, అది పరిమితమైతే, అది ఉంటే, అప్పుడు వారు ఏమీ అనరు.

మేము మొత్తానికి ప్రతికూలం కాని నిబంధనల కోసం "పనిచేస్తుంది" అనే నిర్వచనంతో ప్రారంభించాము, ఆపై దానిని ఏదైనా వాస్తవ-విలువ గల నిబంధనలకు పొడిగించాము. మొత్తం సభ్యులు సంక్లిష్ట సంఖ్యలైతే, మా నిర్వచనం స్పష్టంగా ఈ సందర్భానికి విస్తరించబడుతుంది: మొత్తం నిర్వచించబడింది - వాస్తవ మరియు ఊహాత్మక భాగం a, ఈ రెండు మొత్తాలు ఉనికిలో ఉంటే. లేకుంటే Hkek మొత్తం నిర్ణయించబడలేదు. (వ్యాయామం 18 చూడండి.)

దురదృష్టకరమైన విషయం ఏమిటంటే, ఇప్పటికే పేర్కొన్నట్లుగా, కొన్ని అనంతమైన మొత్తాలను నిర్వచించకుండా వదిలివేయవలసి ఉంటుంది, ఎందుకంటే వాటితో మనం చేసే ఆపరేషన్లు అసంబద్ధతలకు దారితీస్తాయి. (వ్యాయామం 34 చూడండి.) మంచి విషయం ఏమిటంటే, ఈ అధ్యాయంలోని అన్ని కార్యకలాపాలు మేము ఇప్పుడే స్థాపించిన అర్థంలో పూర్తిగా కలిసే మొత్తాలతో వ్యవహరిస్తున్నప్పుడు ఖచ్చితంగా చెల్లుబాటు అవుతాయి.

మా సంక్షిప్త పరివర్తన నియమాలలో ప్రతి ఒక్కటి ఏదైనా సంపూర్ణంగా కలిసే మొత్తం యొక్క పరిమాణాన్ని మార్చకుండా ఉంచుతుందని ప్రదర్శించడం ద్వారా మేము ఈ సంతోషకరమైన వాస్తవాన్ని నిర్ధారించగలము. మరింత ప్రత్యేకంగా, దీని అర్థం ఎవరైనా పంపిణీ, కలయిక మరియు పరివర్తన చట్టాల నెరవేర్పును తనిఖీ చేయాలి, దాని ప్రకారం ఏదైనా వేరియబుల్‌ను సంకలనం చేయడం ప్రారంభించవచ్చు; ఈ అధ్యాయంలో మనం చేసిన అన్నిటినీ ఈ నాలుగు ప్రాథమిక సమ్ ఆపరేషన్ల నుండి తీసుకోవచ్చు.

పంపిణీ చట్టం (2.15)ని మరింత ఖచ్చితంగా ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: మొత్తం Xek a ఖచ్చితంగా కలిసినట్లయితే మరియు c అయితే కొంత సంక్లిష్ట సంఖ్య, అప్పుడు Lkek సంపూర్ణంగా కలుస్తుంది, మొదట మొత్తాన్ని వాస్తవ మరియు ఊహాత్మకంగా విభజించి, వారు ఇంతకు ముందు చేసినట్లుగా, సానుకూల మరియు ప్రతికూల భాగాలుగా విభజించడం ద్వారా మరియు మొత్తం యొక్క ప్రతి పదం ప్రతికూలంగా ఉన్నప్పుడు ప్రత్యేక సందర్భాన్ని రుజువు చేయడం ద్వారా ఇది నిరూపించబడుతుంది. ఈ నిర్దిష్ట సందర్భంలో రుజువు ఏదైనా పరిమిత సెట్ కోసం చివరి వాస్తవాన్ని సెట్ పరిమాణంపై ఇండక్షన్ ద్వారా నిరూపించవచ్చు అనే వాస్తవం కారణంగా పనిచేస్తుంది.

కలయిక చట్టం(2.16) ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చు: మొత్తాలు వరుసగా A మరియు B లకు కలుస్తే, ఆ మొత్తం ఖచ్చితంగా కలుస్తుంది, ఇది మరింత ప్రత్యేక సందర్భం అని తేలింది. సాధారణ సిద్ధాంతం, మేము త్వరలో నిరూపిస్తాము.

కమ్యుటేటివ్ చట్టం (2.17) వాస్తవానికి నిరూపించాల్సిన అవసరం లేదు, ఎందుకంటే ఫార్ములా (2.35) గురించి చర్చిస్తున్నప్పుడు మేము దానిని ప్రత్యేక కేసుగా ఎలా పొందాలో చూపించాము సాధారణ నియమంసమ్మషన్ క్రమంలో మార్పులు.

ఒక పాయింట్ వద్ద అనంతమైన మరియు అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలు మరియు లక్షణాలు. లక్షణాలు మరియు సిద్ధాంతాల రుజువులు. అనంతమైన మరియు అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల మధ్య సంబంధం.

అనంతమైన మరియు అనంతమైన ఫంక్షన్ల నిర్వచనాలు

xని తెలియజేయండి 0 పరిమిత లేదా అనంతమైన పాయింట్: ∞, -∞ లేదా +∞.

అనంతమైన ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం
ఫంక్షన్ α (x)అని పిలిచారు అనంతమైన x xకి మొగ్గు చూపుతుంది 0 0 , మరియు ఇది సున్నాకి సమానం:
.

అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం
ఫంక్షన్ f (x)అని పిలిచారు అనంతమైన పెద్ద x xకి మొగ్గు చూపుతుంది 0 , ఫంక్షన్ x → x వలె పరిమితిని కలిగి ఉంటే 0 , మరియు ఇది అనంతానికి సమానం:
.

అనంతమైన ఫంక్షన్ల లక్షణాలు

అనంతమైన ఫంక్షన్ల మొత్తం, వ్యత్యాసం మరియు ఉత్పత్తి యొక్క ఆస్తి

మొత్తం, వ్యత్యాసం మరియు ఉత్పత్తి x → x వంటి అనంతమైన ఫంక్షన్ల పరిమిత సంఖ్య 0 x → x వలె అనంతమైన ఫంక్షన్ 0 .

ఈ లక్షణం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితుల యొక్క అంకగణిత లక్షణాల యొక్క ప్రత్యక్ష పరిణామం.

ఉత్పత్తి సిద్ధాంతం పరిమిత ఫంక్షన్అనంతం వరకు

పరిమితమైన ఫంక్షన్ యొక్క ఉత్పత్తిపాయింట్ x యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో 0 , అనంతం నుండి, x → x వలె 0 , x → x వలె అనంతమైన ఫంక్షన్ 0 .

స్థిరాంకం మరియు అనంతమైన ఫంక్షన్ మొత్తంగా ఫంక్షన్‌ను సూచించే లక్షణం

ఫంక్షన్ కోసం f (x)కలిగి ఉంది చివరి పరిమితి, ఇది అవసరం మరియు సరిపోతుంది
,
ఎక్కడ - అనంతంగా చిన్న ఫంక్షన్ x → x వలె 0 .

అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల లక్షణాలు

బౌండెడ్ ఫంక్షన్ మరియు అనంతమైన పెద్ద మొత్తం మీద సిద్ధాంతం

పాయింట్ x యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో బౌండెడ్ ఫంక్షన్ యొక్క మొత్తం లేదా వ్యత్యాసం 0 , మరియు x → x వలె అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ 0 , అనంతం గొప్ప ఫంక్షన్ x → x వలె 0 .

అనంతమైన పెద్ద దానితో సరిహద్దు ఫంక్షన్ యొక్క విభజనపై సిద్ధాంతం

ఫంక్షన్ f అయితే (x) x → x అంత పెద్దది 0 , మరియు ఫంక్షన్ g (x)- పాయింట్ x యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంపై పరిమితం చేయబడింది 0 , ఆ
.

ఒక ఫంక్షను యొక్క విభజనపై సిద్ధాంతం, క్రింద ఒక అనంతమైన దానితో పరిమితం చేయబడింది

ఒక ఫంక్షన్ అయితే, పాయింట్ యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో, ద్వారా సంపూర్ణ విలువక్రింద సరిహద్దులుగా ఉంది సానుకూల సంఖ్య:
,
మరియు ఫంక్షన్ x → x వలె అనంతంగా ఉంటుంది 0 :
,
మరియు పాయింట్ యొక్క పంక్చర్ పొరుగు ఉంది , అప్పుడు
.

అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల అసమానతల ఆస్తి

ఫంక్షన్ అనంతంగా పెద్దది అయితే:
,
మరియు విధులు మరియు , పాయింట్ యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో అసమానతను సంతృప్తి పరుస్తాయి:
,
అప్పుడు ఫంక్షన్ కూడా అనంతంగా పెద్దది:
.

ఈ ఆస్తికి రెండు ప్రత్యేక కేసులు ఉన్నాయి.

లెట్, పాయింట్ యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు , విధులు మరియు అసమానత సంతృప్తి:
.
అప్పుడు ఉంటే , అప్పుడు మరియు .
ఉంటే , అప్పుడు మరియు .

అనంతమైన పెద్ద మరియు అనంతమైన ఫంక్షన్ల మధ్య సంబంధం

రెండు మునుపటి లక్షణాల నుండి అనంతమైన పెద్ద మరియు అనంతమైన ఫంక్షన్ల మధ్య కనెక్షన్‌ని అనుసరిస్తుంది.

వద్ద ఒక ఫంక్షన్ అనంతంగా పెద్దదైతే, ఫంక్షన్ వద్ద అనంతంగా ఉంటుంది.

ఒక ఫంక్షన్ , మరియు , కోసం అనంతంగా ఉంటే, ఆ ఫంక్షన్ కోసం అనంతంగా పెద్దది.

అనంతమైన మరియు అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ మధ్య సంబంధాన్ని ప్రతీకాత్మకంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
, .

ఒక ఇన్ఫినిటీసిమల్ ఫంక్షన్‌లో ఒక నిర్దిష్ట సంకేతం ఉంటే, అంటే, పాయింట్ యొక్క కొంత పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో అది సానుకూలంగా (లేదా ప్రతికూలంగా) ఉంటే, మనం దానిని ఇలా వ్రాయవచ్చు:
.
అదే విధంగా, అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్‌లో ఒక నిర్దిష్ట సంకేతం ఉంటే, అప్పుడు వారు ఇలా వ్రాస్తారు:
, లేదా .

అప్పుడు అనంతమైన చిన్న మరియు అనంతమైన పెద్ద ఫంక్షన్ల మధ్య సంకేత కనెక్షన్ క్రింది సంబంధాలతో అనుబంధించబడుతుంది:
, ,
, .

అదనపు సూత్రాలు, లింకింగ్ ఇన్ఫినిటీ చిహ్నాలను పేజీలో చూడవచ్చు
"అనంతంలోని పాయింట్లు మరియు వాటి లక్షణాలు."

లక్షణాలు మరియు సిద్ధాంతాల రుజువు

బౌండెడ్ ఫంక్షన్ మరియు అనంతమైన ఒక ఉత్పత్తిపై సిద్ధాంతం యొక్క రుజువు

దీని కోసం ఫంక్షన్ అనంతంగా పెద్దదిగా ఉండనివ్వండి:
.
మరియు పాయింట్ యొక్క పంక్చర్ పొరుగు ఉండనివ్వండి
వద్ద.

కు కలుస్తున్న ఏకపక్ష క్రమాన్ని తీసుకుందాం. అప్పుడు, కొంత సంఖ్య N నుండి ప్రారంభించి, క్రమం యొక్క మూలకాలు ఈ పరిసర ప్రాంతానికి చెందుతాయి:
వద్ద.
అప్పుడు
వద్ద.

హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం,
.
అప్పుడు, అనంతమైన పెద్ద శ్రేణుల అసమానతల ఆస్తి ద్వారా,
.
క్రమం ఏకపక్షంగా ఉన్నందున, హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం,
.

ఆస్తి నిరూపితమైంది.

ప్రస్తావనలు:
ఎల్.డి. కుద్రియవ్ట్సేవ్. బాగా గణిత విశ్లేషణ. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 2003.

ఆ క్రమంలో సిరీస్ మొత్తాన్ని లెక్కించండి, మీరు వరుసలోని మూలకాలను ఇచ్చిన అనేక సార్లు జోడించాలి. ఉదాహరణకి:

పై ఉదాహరణలో, ఇది చాలా సరళంగా జరిగింది, ఎందుకంటే ఇది పరిమిత సంఖ్యలో సార్లు సంగ్రహించబడాలి. అయితే సమ్మషన్ యొక్క ఎగువ పరిమితి అనంతం అయితే? ఉదాహరణకు, మేము ఈ క్రింది శ్రేణుల మొత్తాన్ని కనుగొనవలసి వస్తే:

మునుపటి ఉదాహరణతో సారూప్యతతో, మేము ఈ మొత్తాన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు:

అయితే తర్వాత ఏం చేయాలి?! ఈ దశలో భావనను పరిచయం చేయడం అవసరం పాక్షిక మొత్తంవరుస. కాబట్టి, సిరీస్ యొక్క పాక్షిక మొత్తం(S n సూచించబడుతుంది) అనేది సిరీస్‌లోని మొదటి n నిబంధనల మొత్తం. ఆ. మా విషయంలో:

అప్పుడు అసలు శ్రేణి మొత్తాన్ని పాక్షిక మొత్తం పరిమితిగా లెక్కించవచ్చు:

అందువలన, కోసం శ్రేణి మొత్తాన్ని గణించడం, శ్రేణి యొక్క పాక్షిక మొత్తానికి (S n) వ్యక్తీకరణను కనుగొనడం అవసరం. మా ప్రత్యేక సందర్భంలో, సిరీస్ 1/3 హారంతో తగ్గుతున్న రేఖాగణిత పురోగతి. మీకు తెలిసినట్లుగా, రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి n మూలకాల మొత్తం సూత్రం ద్వారా లెక్కించబడుతుంది:

ఇక్కడ b 1 అనేది రేఖాగణిత పురోగతి యొక్క మొదటి మూలకం (మా విషయంలో ఇది 1) మరియు q అనేది పురోగతి యొక్క హారం (మా విషయంలో 1/3). కాబట్టి, మా సిరీస్ కోసం పాక్షిక మొత్తం S n దీనికి సమానం:

పైన ఇచ్చిన నిర్వచనం ప్రకారం మా సిరీస్ (S) మొత్తం దీనికి సమానం:

పైన చర్చించిన ఉదాహరణలు చాలా సులభం. సాధారణంగా, శ్రేణి మొత్తాన్ని లెక్కించడం చాలా కష్టం మరియు సిరీస్ యొక్క పాక్షిక మొత్తాన్ని కనుగొనడంలో అతిపెద్ద కష్టం. క్రింద ఫీచర్ చేయబడింది ఆన్‌లైన్ కాలిక్యులేటర్, Wolfram ఆల్ఫా సిస్టమ్ ఆధారంగా, మీరు చాలా క్లిష్టమైన సిరీస్ మొత్తాన్ని లెక్కించేందుకు అనుమతిస్తుంది. అంతేకాకుండా, కాలిక్యులేటర్ సిరీస్ మొత్తాన్ని కనుగొనలేకపోతే, అది అవకాశం ఉంది ఈ సిరీస్భిన్నంగా ఉంటుంది (ఈ సందర్భంలో కాలిక్యులేటర్ "సమ్ డైవర్జెస్" వంటి సందేశాన్ని ప్రదర్శిస్తుంది), అనగా. ఈ కాలిక్యులేటర్ పరోక్షంగా సిరీస్ యొక్క కలయిక గురించి ఒక ఆలోచనను పొందడానికి సహాయపడుతుంది.

మీ సిరీస్ మొత్తాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు తప్పనిసరిగా సిరీస్ వేరియబుల్, తక్కువ మరియు పేర్కొనాలి ఎగువ పరిమితులుసమ్మేషన్, అలాగే శ్రేణి యొక్క nవ పదం కోసం వ్యక్తీకరణ (అనగా, సిరీస్‌కు అసలు వ్యక్తీకరణ).