ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి అని నిర్వచనం ద్వారా నిరూపించండి. క్రమం యొక్క చివరి పరిమితిని నిర్ణయించడం

ఇక్కడ మనం క్రమం యొక్క పరిమిత పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని పరిశీలిస్తాము. "అనంతమైన పెద్ద శ్రేణి యొక్క నిర్వచనం" పేజీలో అనంతంగా మారుతున్న క్రమం యొక్క సందర్భం చర్చించబడింది.

నిర్వచనం .
(xn), ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య ε కోసం అయితే > 0 εపై ఆధారపడి సహజ సంఖ్య N ε ఉంది అంటే అన్ని సహజ సంఖ్యలకు n > N ε అసమానత
| x n - a|< ε .
క్రమం పరిమితి క్రింది విధంగా సూచించబడుతుంది:
.
లేదా వద్ద.

అసమానతను మారుద్దాం:
;
;
.

బహిరంగ విరామం (a - ε, a + ε) అంటారు ε - పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం a.

పరిమితి ఉన్న క్రమాన్ని అంటారు కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్. ఆ క్రమం అని కూడా అంటున్నారు కలుస్తుంది a కు. పరిమితి లేని క్రమాన్ని అంటారు భిన్న.

నిర్వచనం ప్రకారం, ఒక శ్రేణికి పరిమితి a ఉంటే, మనం ఎంచుకున్న పాయింట్ a యొక్క ε-పరిసరం ఏమైనప్పటికీ, దాని వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమిత సంఖ్యలో మూలకాలు మాత్రమే ఉండగలవు లేదా ఏవీ ఉండవు (ఖాళీ సెట్) . మరియు ఏదైనా ε-పరిసరం అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. నిజానికి, ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య ε ఇచ్చిన తర్వాత, మనకు ఆ సంఖ్య వస్తుంది. కాబట్టి సంఖ్యలతో సీక్వెన్స్ యొక్క అన్ని మూలకాలు నిర్వచనం ప్రకారం, పాయింట్ a యొక్క ε - పరిసరాల్లో ఉన్నాయి. మొదటి మూలకాలు ఎక్కడైనా ఉంటాయి. అంటే, ε-పరిసరం వెలుపల మూలకాలు కంటే ఎక్కువ ఉండకూడదు - అంటే, పరిమిత సంఖ్య.

మేము వ్యత్యాసం మార్పు లేకుండా సున్నాకి మొగ్గు చూపాల్సిన అవసరం లేదని, అంటే, అన్ని సమయాలలో తగ్గుతుందని కూడా మేము గమనించాము. ఇది మోనోటోనికల్‌గా సున్నాకి మారవచ్చు: ఇది స్థానిక మాగ్జిమాతో పెరగవచ్చు లేదా తగ్గవచ్చు. అయితే, ఈ మాగ్జిమా, n పెరిగేకొద్దీ, సున్నాకి మొగ్గు చూపాలి (బహుశా ఏకస్వరంగా కూడా కాదు).

ఉనికి మరియు సార్వత్రికత యొక్క తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి, పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
(1) .

a అనేది పరిమితి కాదని నిర్ణయించడం

ఇప్పుడు a సంఖ్య శ్రేణి యొక్క పరిమితి కాదు అనే సంభాషణ ప్రకటనను పరిగణించండి.

సంఖ్య a క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు, ఏదైనా సహజ సంఖ్య nకి అలాంటి సహజమైన m ఉంటే > n, ఏమిటి
.

తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి ఈ ప్రకటనను వ్రాస్దాం.
(2) .

అని ప్రకటన సంఖ్య a అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు, దాని అర్ధము
మీరు అటువంటి ε - పాయింట్ a యొక్క పొరుగును ఎంచుకోవచ్చు, దాని వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి.

ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం. ఒక సాధారణ మూలకంతో ఒక క్రమాన్ని ఇవ్వనివ్వండి
(3)
ఒక బిందువు యొక్క ఏదైనా పరిసరాలు అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటాయి. అయితే, ఈ పాయింట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి కాదు, ఎందుకంటే పాయింట్ యొక్క ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతం కూడా అనంతమైన మూలకాలను కలిగి ఉంటుంది. ε = తో ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతాన్ని తీసుకుందాం 1 . ఇది ఇంటర్వెల్ అవుతుంది (-1, +1) . సరి n తో మొదటిది మినహా అన్ని మూలకాలు ఈ విరామానికి చెందినవి. కానీ బేసి n ఉన్న అన్ని మూలకాలు ఈ విరామానికి వెలుపల ఉన్నాయి, ఎందుకంటే అవి అసమానత x nని సంతృప్తిపరుస్తాయి > 2 . బేసి మూలకాల సంఖ్య అనంతం కాబట్టి, ఎంచుకున్న పరిసరాల వెలుపల అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి. కాబట్టి, పాయింట్ అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి కాదు.

ఇప్పుడు మనం దీన్ని చూపుతాము, స్టేట్‌మెంట్ (2)కి ఖచ్చితంగా కట్టుబడి ఉంటాము. పాయింట్ అనేది సీక్వెన్స్ (3) యొక్క పరిమితి కాదు, ఎందుకంటే ఏదైనా సహజ n కోసం, అసమానత కలిగి ఉండే బేసి ఒకటి ఉంటుంది.
.

ఏదైనా పాయింట్ a ఈ క్రమంలో పరిమితిగా ఉండదని కూడా చూపవచ్చు. మేము ఎల్లప్పుడూ పాయింట్ 0 లేదా పాయింట్ 2ని కలిగి ఉండని పాయింట్ a యొక్క ε - పొరుగు ప్రాంతాన్ని ఎంచుకోవచ్చు. ఆపై ఎంచుకున్న పొరుగు ప్రాంతం వెలుపల సీక్వెన్స్ యొక్క అనంతమైన మూలకాలు ఉంటాయి.

సమానమైన నిర్వచనం

మేము ε - పొరుగు భావనను విస్తరింపజేస్తే, శ్రేణి యొక్క పరిమితికి సమానమైన నిర్వచనం ఇవ్వవచ్చు. ε-పరిసరానికి బదులుగా, అది పాయింట్ a యొక్క ఏదైనా పొరుగును కలిగి ఉంటే మేము సమానమైన నిర్వచనాన్ని పొందుతాము.

పాయింట్ యొక్క పొరుగును నిర్ణయించడం
పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతం aఈ పాయింట్‌ని కలిగి ఉన్న ఏదైనా ఓపెన్ విరామం అంటారు. గణితశాస్త్రపరంగా, పొరుగు ప్రాంతం క్రింది విధంగా నిర్వచించబడింది: , ఇక్కడ ε 1 మరియు ε 2 - ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్యలు.

అప్పుడు పరిమితి యొక్క నిర్వచనం క్రింది విధంగా ఉంటుంది.

సీక్వెన్స్ పరిమితికి సమానమైన నిర్వచనం
a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితి అంటారు, ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతానికి సహజ సంఖ్య N ఉంటే, సంఖ్యలతో కూడిన శ్రేణిలోని అన్ని మూలకాలు ఈ పొరుగు ప్రాంతానికి చెందినవి.

ఈ నిర్వచనాన్ని విస్తరించిన రూపంలో కూడా అందించవచ్చు.

a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితి అంటారు, ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యల కోసం మరియు అన్ని సహజ సంఖ్యలకు అసమానతలు ఉండేలా సహజ సంఖ్య N ఉన్నట్లయితే
.

నిర్వచనాల సమానత్వానికి రుజువు

పైన అందించిన సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క రెండు నిర్వచనాలు సమానమైనవని నిరూపిద్దాం.

మొదటి నిర్వచనం ప్రకారం a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితిగా ఉండనివ్వండి. దీనర్థం ఒక ఫంక్షన్ ఉంది, తద్వారా ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య ε కోసం క్రింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందుతాయి:
(4) వద్ద.

రెండవ నిర్వచనం ద్వారా a సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి అని చూపిద్దాం. అంటే, ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యలకు ε అటువంటి ఫంక్షన్ ఉందని మనం చూపించాలి 1 మరియు ε 2 కింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి:
(5) వద్ద.

మనకు రెండు సానుకూల సంఖ్యలు ఉన్నాయి: ε 1 మరియు ε 2 . మరియు వాటిలో ε చిన్నదిగా ఉండనివ్వండి: . అప్పుడు ; ; . దీన్ని (5)లో ఉపయోగించుకుందాం:
.
కానీ అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి. అప్పుడు అసమానతలు (5) కోసం కూడా సంతృప్తి చెందుతాయి.

అంటే, ఏదైనా సానుకూల సంఖ్యల కోసం అసమానతలు (5) సంతృప్తి చెందే ఫంక్షన్‌ను మేము కనుగొన్నాము. 1 మరియు ε 2 .
మొదటి భాగం నిరూపించబడింది.

ఇప్పుడు రెండవ నిర్వచనం ప్రకారం a సంఖ్యను క్రమం యొక్క పరిమితిగా ఉండనివ్వండి. ఏదైనా ధనాత్మక సంఖ్యలకు ε వంటి ఫంక్షన్ ఉందని దీని అర్థం 1 మరియు ε 2 కింది అసమానతలు సంతృప్తి చెందాయి:
(5) వద్ద.

మొదటి నిర్వచనం ప్రకారం a అనే సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి అని చూపిద్దాం. ఇది చేయటానికి మీరు ఉంచాలి. అప్పుడు కింది అసమానతలు ఉన్నప్పుడు:
.
ఇది తో మొదటి నిర్వచనానికి అనుగుణంగా ఉంటుంది.
నిర్వచనాల సమానత్వం నిరూపించబడింది.

ఉదాహరణలు

ఇచ్చిన సంఖ్య a అనేది క్రమం యొక్క పరిమితి అని నిరూపించాల్సిన అనేక ఉదాహరణలను ఇక్కడ చూద్దాం. ఈ సందర్భంలో, మీరు ఏకపక్ష సానుకూల సంఖ్య εని పేర్కొనాలి మరియు అసమానత ε యొక్క ఫంక్షన్ Nని నిర్వచించాలి.

ఉదాహరణ 1

నిరూపించు .

(1) .
మా విషయంలో;
.

.
అసమానతల లక్షణాలను ఉపయోగించుకుందాం. అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.

.
అప్పుడు
వద్ద.
దీనర్థం, అందించిన క్రమం యొక్క పరిమితి సంఖ్య:
.

ఉదాహరణ 2

క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి
.

సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1) .
మా విషయంలో, ;
.

సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అసమానతల లక్షణాలను ఉపయోగించుకుందాం. అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.

అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
అప్పుడు
వద్ద.
.

ఉదాహరణ 3

.

మేము సంజ్ఞామానాన్ని పరిచయం చేస్తున్నాము, .
వ్యత్యాసాన్ని మారుద్దాం:
.
సహజ n కోసం = 1, 2, 3, ... మాకు ఉన్నాయి:
.

సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1) .
సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.

అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
ఇందులో
వద్ద.
దీనర్థం సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి:
.

ఉదాహరణ 4

క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఉపయోగించి, దానిని నిరూపించండి
.

సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
(1) .
మా విషయంలో, ;
.

సానుకూల సంఖ్యలను నమోదు చేయండి మరియు:
.
అప్పుడు ఉంటే మరియు , అప్పుడు
.

అంటే, ఏదైనా పాజిటివ్ కోసం, మనం దీని కంటే ఎక్కువ లేదా సమానమైన ఏదైనా సహజ సంఖ్యను తీసుకోవచ్చు:
.
అప్పుడు
వద్ద.
దీనర్థం సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితి:
.

ప్రస్తావనలు:
ఎల్.డి. కుద్రియవ్ట్సేవ్. గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సు. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 2003.
సీఎం. నికోల్స్కీ. గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సు. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 1983.

ఫంక్షన్ పరిమితి- సంఖ్య aదాని మార్పు ప్రక్రియలో, ఈ వేరియబుల్ పరిమాణం నిరవధికంగా చేరుకుంటే కొంత వేరియబుల్ పరిమాణం యొక్క పరిమితి అవుతుంది a.

లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, సంఖ్య ఎఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి y = f(x)పాయింట్ వద్ద x 0, ఫంక్షన్ యొక్క నిర్వచనం యొక్క డొమైన్ నుండి ఏదైనా పాయింట్ల శ్రేణికి సమానం కాదు x 0, మరియు ఇది పాయింట్‌కి కలుస్తుంది x 0 (లిమ్ x n = x0), సంబంధిత ఫంక్షన్ విలువల క్రమం సంఖ్యకు కలుస్తుంది ఎ.

ఒక ఫంక్షన్ యొక్క గ్రాఫ్, దీని పరిమితి, అనంతం వైపు మొగ్గు చూపే ఆర్గ్యుమెంట్‌కి సమానం ఎల్:

అర్థం ఎఉంది ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి (పరిమితి విలువ). f(x)పాయింట్ వద్ద x 0ఏదైనా వరుస పాయింట్ల విషయంలో , ఇది కలుస్తుంది x 0, కానీ ఇందులో ఉండదు x 0దాని మూలకాలలో ఒకటిగా (అనగా పంక్చర్ చేయబడిన పరిసరాలలో x 0), ఫంక్షన్ విలువల క్రమం కు కలుస్తుంది ఎ.

Cauchy ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి.

అర్థం ఎఉంటుంది ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి f(x)పాయింట్ వద్ద x 0ఏదైనా నాన్-నెగటివ్ నంబర్ కోసం ముందుగా తీసుకున్నట్లయితే ε సంబంధిత నాన్-నెగటివ్ సంఖ్య కనుగొనబడుతుంది δ = δ(ε) ప్రతి వాదన కోసం x, పరిస్థితిని సంతృప్తిపరచడం 0 < | x - x0 | < δ , అసమానత సంతృప్తి చెందుతుంది | f(x)A |< ε .

మీరు పరిమితి యొక్క సారాంశం మరియు దానిని కనుగొనే ప్రాథమిక నియమాలను అర్థం చేసుకుంటే ఇది చాలా సులభం అవుతుంది. ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఏమిటి f (x)వద్ద xకోసం ప్రయత్నిస్తున్నారు aసమానం ఎ, ఇలా వ్రాయబడింది:

అంతేకాకుండా, వేరియబుల్ మొగ్గు చూపే విలువ x, ఒక సంఖ్య మాత్రమే కాదు, అనంతం (∞), కొన్నిసార్లు +∞ లేదా -∞ కూడా కావచ్చు లేదా పరిమితి ఉండకపోవచ్చు.

ఎలా అర్థం చేసుకోవడానికి ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితులను కనుగొనండి, పరిష్కారాల ఉదాహరణలను చూడటం ఉత్తమం.

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితులను కనుగొనడం అవసరం f (x) = 1/xవద్ద:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

మొదటి పరిమితికి పరిష్కారం వెతుకుదాం. దీన్ని చేయడానికి, మీరు కేవలం ప్రత్యామ్నాయం చేయవచ్చు xఅది మొగ్గు చూపే సంఖ్య, అనగా. 2, మనకు లభిస్తుంది:

ఫంక్షన్ యొక్క రెండవ పరిమితిని కనుగొనండి. ఇక్కడ బదులుగా pure 0ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి xఅది అసాధ్యం, ఎందుకంటే మీరు 0 ద్వారా విభజించలేరు. కానీ మనం సున్నాకి దగ్గరగా ఉన్న విలువలను తీసుకోవచ్చు, ఉదాహరణకు, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 మరియు మొదలైనవి, మరియు ఫంక్షన్ విలువ f (x)పెరుగుతుంది: 100; 1000; 10000; 100,000 మరియు మొదలైనవి. దీన్నిబట్టి ఎప్పుడన్నది అర్థం చేసుకోవచ్చు x→ 0 పరిమితి గుర్తు కింద ఉన్న ఫంక్షన్ విలువ పరిమితి లేకుండా పెరుగుతుంది, అనగా. అనంతం వైపు ప్రయత్నిస్తారు. ఏమిటంటే:

మూడవ పరిమితికి సంబంధించి. మునుపటి సందర్భంలో అదే పరిస్థితి, అది ప్రత్యామ్నాయం అసాధ్యం ∞ దాని స్వచ్ఛమైన రూపంలో. మేము అపరిమిత పెరుగుదల విషయంలో పరిగణించాలి x. మేము 1000ని ఒక్కొక్కటిగా ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము; 10000; 100000 మరియు మొదలైనవి, మేము ఫంక్షన్ యొక్క విలువను కలిగి ఉన్నాము f (x) = 1/xతగ్గుతుంది: 0.001; 0.0001; 0.00001; మరియు మొదలైనవి, సున్నాకి మొగ్గు చూపుతాయి. అందుకే:

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం అవసరం

రెండవ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి ప్రారంభించి, మేము అనిశ్చితిని చూస్తాము. ఇక్కడ నుండి మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొంటాము - ఇది x 3, మేము దానిని న్యూమరేటర్ మరియు హారంలోని బ్రాకెట్‌ల నుండి తీసివేసి, ఆపై దానిని తగ్గించాము:

సమాధానం

మొదటి అడుగు ఈ పరిమితిని కనుగొనడం, బదులుగా విలువ 1ని ప్రత్యామ్నాయం చేయండి x, అనిశ్చితి ఫలితంగా. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, లవంను కారకం చేద్దాం మరియు వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలను కనుగొనే పద్ధతిని ఉపయోగించి దీన్ని చేద్దాం. x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

కాబట్టి న్యూమరేటర్ ఇలా ఉంటుంది:

సమాధానం

ఇది దాని నిర్దిష్ట విలువ లేదా ఫంక్షన్ పడిపోయే నిర్దిష్ట ప్రాంతం యొక్క నిర్వచనం, ఇది పరిమితి ద్వారా పరిమితం చేయబడింది.

పరిమితులను పరిష్కరించడానికి, నియమాలను అనుసరించండి:

సారాంశం మరియు ప్రధాన అర్థం చేసుకున్నాను పరిమితిని పరిష్కరించడానికి నియమాలు, మీరు వాటిని ఎలా పరిష్కరించాలో ప్రాథమిక అవగాహన పొందుతారు.

గణితం ప్రపంచాన్ని నిర్మించే శాస్త్రం. శాస్త్రవేత్త మరియు సామాన్యుడు ఇద్దరూ - ఇది లేకుండా ఎవరూ చేయలేరు. మొదట, చిన్న పిల్లలకు లెక్కించడం, ఆపై జోడించడం, తీసివేయడం, గుణించడం మరియు విభజించడం నేర్పిస్తారు; మధ్య పాఠశాలలో, అక్షరాల చిహ్నాలు అమలులోకి వస్తాయి మరియు ఉన్నత పాఠశాలలో వాటిని ఇకపై నివారించలేము.

కానీ ఈ రోజు మనం అన్ని తెలిసిన గణితశాస్త్రం ఆధారంగా ఏమి మాట్లాడతాము. "క్రమ పరిమితులు" అని పిలువబడే సంఖ్యల సంఘం గురించి.

సీక్వెన్సులు అంటే ఏమిటి మరియు వాటి పరిమితి ఎక్కడ ఉంది?

"క్రమం" అనే పదం యొక్క అర్థం అర్థం చేసుకోవడం కష్టం కాదు. ఇది ఎవరైనా లేదా ఏదైనా ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో లేదా క్యూలో ఉన్న వస్తువుల అమరిక. ఉదాహరణకు, జూకి టిక్కెట్ల కోసం క్యూ ఒక క్రమం. మరియు ఒకటి మాత్రమే ఉంటుంది! ఉదాహరణకు, మీరు స్టోర్ వద్ద క్యూలో చూస్తే, ఇది ఒక క్రమం. మరియు ఈ క్యూ నుండి ఒక వ్యక్తి అకస్మాత్తుగా వెళ్లిపోతే, ఇది వేరే క్యూ, వేరే ఆర్డర్.

"పరిమితి" అనే పదాన్ని కూడా సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు - ఇది ఏదో ముగింపు. అయితే, గణితంలో, శ్రేణుల పరిమితులు సంఖ్యల శ్రేణికి ఉండే సంఖ్య రేఖపై ఉన్న విలువలు. అది ఎందుకు కష్టపడుతుంది మరియు అంతం కాదు? ఇది చాలా సులభం, సంఖ్య రేఖకు ముగింపు లేదు మరియు కిరణాల వంటి చాలా శ్రేణులు ప్రారంభాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి మరియు ఇలా కనిపిస్తాయి:

x 1, x 2, x 3,...x n...

అందువల్ల క్రమం యొక్క నిర్వచనం సహజ వాదన యొక్క విధి. సరళంగా చెప్పాలంటే, ఇది ఒక నిర్దిష్ట సెట్‌లోని సభ్యుల శ్రేణి.

సంఖ్య క్రమం ఎలా నిర్మించబడింది?

సంఖ్యా శ్రేణికి ఒక సాధారణ ఉదాహరణ ఇలా ఉండవచ్చు: 1, 2, 3, 4, …n...

చాలా సందర్భాలలో, ఆచరణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం, సీక్వెన్సులు సంఖ్యల నుండి నిర్మించబడ్డాయి మరియు సిరీస్‌లోని ప్రతి తదుపరి సభ్యుడు, దానిని X అని సూచిస్తాము, దాని స్వంత పేరు ఉంది. ఉదాహరణకి:

x 1 క్రమం యొక్క మొదటి సభ్యుడు;

x 2 అనేది క్రమం యొక్క రెండవ పదం;

x 3 అనేది మూడవ పదం;

x n అనేది nవ పదం.

ఆచరణాత్మక పద్ధతులలో, క్రమం ఒక నిర్దిష్ట వేరియబుల్ ఉన్న సాధారణ సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది. ఉదాహరణకి:

X n =3n, అప్పుడు సంఖ్యల శ్రేణి ఇలా కనిపిస్తుంది:

సాధారణంగా సీక్వెన్స్‌లను వ్రాసేటప్పుడు, మీరు X మాత్రమే కాకుండా ఏదైనా లాటిన్ అక్షరాలను ఉపయోగించవచ్చని గుర్తుంచుకోవడం విలువ. ఉదాహరణకు: y, z, k, మొదలైనవి.

సీక్వెన్స్‌లలో భాగంగా అంకగణిత పురోగతి

సీక్వెన్స్‌ల పరిమితుల కోసం వెతకడానికి ముందు, ప్రతి ఒక్కరూ మిడిల్ స్కూల్‌లో ఉన్నప్పుడు ఎదుర్కొన్న అటువంటి నంబర్ సిరీస్ అనే భావనలోకి లోతుగా మునిగిపోవడం మంచిది. అంకగణిత పురోగతి అనేది ప్రక్కనే ఉన్న పదాల మధ్య వ్యత్యాసం స్థిరంగా ఉండే సంఖ్యల శ్రేణి.

సమస్య: “a 1 = 15, మరియు సంఖ్య సిరీస్ d = 4 యొక్క పురోగతి దశ. ఈ సిరీస్‌లోని మొదటి 4 నిబంధనలను రూపొందించండి"

పరిష్కారం: a 1 = 15 (షరతు ప్రకారం) అనేది పురోగతి యొక్క మొదటి పదం (సంఖ్య సిరీస్).

మరియు 2 = 15+4=19 అనేది పురోగతి యొక్క రెండవ పదం.

మరియు 3 =19+4=23 అనేది మూడవ పదం.

మరియు 4 =23+4=27 అనేది నాల్గవ పదం.

అయితే, ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించి పెద్ద విలువలను చేరుకోవడం కష్టం, ఉదాహరణకు 125. . ప్రత్యేకించి అటువంటి సందర్భాలలో, అభ్యాసానికి అనుకూలమైన ఫార్ములా తీసుకోబడింది: a n =a 1 +d(n-1). ఈ సందర్భంలో, 125 =15+4(125-1)=511.

సీక్వెన్సుల రకాలు

చాలా సన్నివేశాలు అంతులేనివి, ఇది మీ జీవితాంతం గుర్తుంచుకోవాలి. సంఖ్యల శ్రేణిలో రెండు ఆసక్తికరమైన రకాలు ఉన్నాయి. మొదటిది a n =(-1) n సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది. గణిత శాస్త్రవేత్తలు తరచుగా ఈ క్రమాన్ని ఫ్లాషర్ అని పిలుస్తారు. ఎందుకు? దాని సంఖ్య శ్రేణిని తనిఖీ చేద్దాం.

1, 1, -1, 1, -1, 1, మొదలైనవి. ఇలాంటి ఉదాహరణతో, సీక్వెన్స్‌లలోని సంఖ్యలను సులభంగా పునరావృతం చేయవచ్చని స్పష్టమవుతుంది.

ఫాక్టోరియల్ సీక్వెన్స్. ఇది ఊహించడం సులభం - క్రమాన్ని నిర్వచించే ఫార్ములా కారకాన్ని కలిగి ఉంటుంది. ఉదాహరణకు: a n = (n+1)!

అప్పుడు క్రమం ఇలా కనిపిస్తుంది:

a 2 = 1x2x3 = 6;

మరియు 3 = 1x2x3x4 = 24, మొదలైనవి.

అంకగణిత పురోగతి ద్వారా నిర్వచించబడిన క్రమాన్ని అసమానత -1 దాని అన్ని నిబంధనలకు సంతృప్తి చెందితే అనంతంగా తగ్గడం అంటారు.

మరియు 3 = - 1/8, మొదలైనవి.

అదే సంఖ్యతో కూడిన క్రమం కూడా ఉంది. కాబట్టి, n =6 అనంతమైన సిక్స్‌లను కలిగి ఉంటుంది.

సీక్వెన్స్ పరిమితిని నిర్ణయించడం

గణితంలో సీక్వెన్స్ పరిమితులు చాలా కాలంగా ఉన్నాయి. వాస్తవానికి, వారు వారి స్వంత సమర్థ రూపకల్పనకు అర్హులు. కాబట్టి, సీక్వెన్స్ పరిమితుల నిర్వచనాన్ని తెలుసుకోవడానికి సమయం. ముందుగా, లీనియర్ ఫంక్షన్ కోసం పరిమితిని వివరంగా చూద్దాం:

1. అన్ని పరిమితులు లిమ్‌గా సంక్షిప్తీకరించబడ్డాయి.
2. పరిమితి యొక్క సంజ్ఞామానం లిమ్ అనే సంక్షిప్తీకరణను కలిగి ఉంటుంది, ఏదైనా వేరియబుల్ నిర్దిష్ట సంఖ్య, సున్నా లేదా అనంతం, అలాగే ఫంక్షన్‌ని కలిగి ఉంటుంది.

సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా రూపొందించవచ్చని అర్థం చేసుకోవడం సులభం: ఇది క్రమం యొక్క సభ్యులందరూ అనంతంగా చేరుకునే నిర్దిష్ట సంఖ్య. ఒక సాధారణ ఉదాహరణ: a x = 4x+1. అప్పుడు సీక్వెన్స్ ఇలా కనిపిస్తుంది.

5, 9, 13, 17, 21…x…

అందువలన, ఈ క్రమం నిరవధికంగా పెరుగుతుంది, అంటే దాని పరిమితి x→∞ వలె అనంతానికి సమానం, మరియు దీనిని ఇలా వ్రాయాలి:

మనం ఇదే క్రమాన్ని తీసుకుంటే, కానీ x 1కి మొగ్గు చూపితే, మనకు లభిస్తుంది:

మరియు సంఖ్యల శ్రేణి ఇలా ఉంటుంది: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944, మొదలైనవి. ప్రతిసారీ మీరు ఒకదానికి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్యను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). ఈ సిరీస్ నుండి ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి ఐదు అని స్పష్టమవుతుంది.

ఈ భాగం నుండి సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి ఏమిటో గుర్తుంచుకోవడం విలువ, సాధారణ సమస్యలను పరిష్కరించడానికి నిర్వచనం మరియు పద్ధతి.

సీక్వెన్స్‌ల పరిమితి కోసం సాధారణ హోదా

సంఖ్యా క్రమం, దాని నిర్వచనం మరియు ఉదాహరణల పరిమితిని పరిశీలించిన తర్వాత, మీరు మరింత క్లిష్టమైన అంశానికి వెళ్లవచ్చు. ఖచ్చితంగా సీక్వెన్స్‌ల యొక్క అన్ని పరిమితులను ఒక సూత్రం ద్వారా రూపొందించవచ్చు, ఇది సాధారణంగా మొదటి సెమిస్టర్‌లో విశ్లేషించబడుతుంది.

కాబట్టి, ఈ అక్షరాలు, మాడ్యూల్స్ మరియు అసమానత సంకేతాల సమితి అంటే ఏమిటి?

∀ అనేది యూనివర్సల్ క్వాంటిఫైయర్, "అందరికీ", "అన్నిటికీ" మొదలైన పదబంధాలను భర్తీ చేస్తుంది.

∃ అనేది ఒక అస్తిత్వ క్వాంటిఫైయర్, ఈ సందర్భంలో సహజ సంఖ్యల సమితికి చెందిన కొంత విలువ N ఉందని అర్థం.

Nని అనుసరించే పొడవైన నిలువు కర్ర అంటే ఇచ్చిన సెట్ N "అటువంటిది" అని అర్థం. ఆచరణలో, ఇది "అటువంటిది", "అటువంటిది", మొదలైనవి.

పదార్థాన్ని బలోపేతం చేయడానికి, సూత్రాన్ని బిగ్గరగా చదవండి.

పరిమితి యొక్క అనిశ్చితి మరియు నిశ్చయత

సీక్వెన్స్‌ల పరిమితిని కనుగొనే పద్ధతి, పైన చర్చించబడినది, ఉపయోగించడానికి సులభమైనది అయినప్పటికీ, ఆచరణలో అంత హేతుబద్ధమైనది కాదు. ఈ ఫంక్షన్ కోసం పరిమితిని కనుగొనడానికి ప్రయత్నించండి:

మేము "x" యొక్క విభిన్న విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తే (ప్రతిసారీ పెరుగుతుంది: 10, 100, 1000, మొదలైనవి), అప్పుడు మనకు న్యూమరేటర్‌లో ∞ వస్తుంది, కానీ హారంలో కూడా ∞ వస్తుంది. ఇది చాలా విచిత్రమైన భిన్నానికి దారితీస్తుంది:

అయితే ఇది నిజంగా అలా ఉందా? ఈ సందర్భంలో సంఖ్య క్రమం యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం చాలా సులభం. ప్రతిదీ అలాగే ఉంచడం సాధ్యమవుతుంది, ఎందుకంటే సమాధానం సిద్ధంగా ఉంది మరియు ఇది సహేతుకమైన పరిస్థితులలో స్వీకరించబడింది, అయితే అలాంటి సందర్భాలలో ప్రత్యేకంగా మరొక మార్గం ఉంది.

ముందుగా, భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొనండి - ఇది 1, ఎందుకంటే xని x 1గా సూచించవచ్చు.

ఇప్పుడు హారంలో అత్యధిక డిగ్రీని కనుగొనండి. అలాగే 1.

న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటినీ వేరియబుల్ ద్వారా అత్యధిక స్థాయికి భాగిద్దాం. ఈ సందర్భంలో, భిన్నాన్ని x 1 ద్వారా విభజించండి.

తరువాత, వేరియబుల్ కలిగి ఉన్న ప్రతి పదం ఏ విలువను కలిగి ఉందో మనం కనుగొంటాము. ఈ సందర్భంలో, భిన్నాలు పరిగణించబడతాయి. x→∞ వలె, ప్రతి భిన్నం యొక్క విలువ సున్నాకి ఉంటుంది. మీ పనిని వ్రాతపూర్వకంగా సమర్పించేటప్పుడు, మీరు ఈ క్రింది ఫుట్‌నోట్‌లను తయారు చేయాలి:

ఇది క్రింది వ్యక్తీకరణకు దారి తీస్తుంది:

వాస్తవానికి, xని కలిగి ఉన్న భిన్నాలు సున్నాలుగా మారలేదు! కానీ వాటి విలువ చాలా చిన్నది, ఇది గణనలలో పరిగణనలోకి తీసుకోకుండా పూర్తిగా అనుమతించబడుతుంది. వాస్తవానికి, ఈ సందర్భంలో x ఎప్పటికీ 0కి సమానంగా ఉండదు, ఎందుకంటే మీరు సున్నాతో భాగించలేరు.

పొరుగు ప్రాంతం అంటే ఏమిటి?

ప్రొఫెసర్ తన వద్ద సంక్లిష్టమైన క్రమాన్ని కలిగి ఉన్నాడని అనుకుందాం, స్పష్టంగా, సమానంగా సంక్లిష్టమైన సూత్రం ద్వారా ఇవ్వబడింది. ప్రొఫెసర్ సమాధానం కనుగొన్నాడు, అయితే ఇది సరైనదేనా? అన్ని తరువాత, ప్రజలందరూ తప్పులు చేస్తారు.

అగస్టే కౌచీ ఒకసారి సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులను నిరూపించడానికి అద్భుతమైన మార్గంతో ముందుకు వచ్చారు. అతని పద్ధతిని పొరుగు మానిప్యులేషన్ అంటారు.

ఒక నిర్దిష్ట బిందువు a ఉందని అనుకుందాం, సంఖ్య రేఖపై రెండు దిశలలో దాని పొరుగు ప్రాంతం ε ("ఎప్సిలాన్")కి సమానం. చివరి వేరియబుల్ దూరం కాబట్టి, దాని విలువ ఎల్లప్పుడూ సానుకూలంగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు కొంత క్రమాన్ని x n నిర్వచిద్దాం మరియు సీక్వెన్స్ యొక్క పదవ పదం (x 10) a యొక్క పొరుగు ప్రాంతంలో ఉందని అనుకుందాం. ఈ వాస్తవాన్ని మనం గణిత భాషలో ఎలా వ్రాయగలం?

x 10 అనేది పాయింట్ a యొక్క కుడి వైపున, ఆపై దూరం x 10 -a అని అనుకుందాం<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

ఇప్పుడు పైన చర్చించిన సూత్రాన్ని ఆచరణలో వివరించడానికి సమయం ఆసన్నమైంది. ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్యను సీక్వెన్స్ యొక్క ముగింపు బిందువుగా పిలవడం న్యాయంగా ఉంటుంది, ఒకవేళ దాని పరిమితులలో ఏదైనా అసమానత ε>0 సంతృప్తి చెందుతుంది మరియు మొత్తం పొరుగు వారి స్వంత సహజ సంఖ్య N కలిగి ఉంటుంది, అంటే సీక్వెన్స్‌లోని సభ్యులందరూ అధిక సంఖ్యలు కలిగి ఉంటారు. సీక్వెన్స్ లోపల ఉంటుంది |x n - a|< ε.

అటువంటి జ్ఞానంతో సీక్వెన్స్ పరిమితులను పరిష్కరించడం, సిద్ధంగా ఉన్న సమాధానాన్ని నిరూపించడం లేదా తిరస్కరించడం సులభం.

సిద్ధాంతాలు

సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులపై సిద్ధాంతాలు సిద్ధాంతం యొక్క ముఖ్యమైన భాగం, ఇది లేకుండా అభ్యాసం అసాధ్యం. కేవలం నాలుగు ప్రధాన సిద్ధాంతాలు మాత్రమే ఉన్నాయి, వీటిని గుర్తుంచుకోవడం ద్వారా పరిష్కారం లేదా రుజువు చాలా సులభం అవుతుంది:

1. క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క ప్రత్యేకత. ఏదైనా క్రమానికి ఒక పరిమితి మాత్రమే ఉంటుంది లేదా ఏదీ ఉండదు. ఒక చివర మాత్రమే ఉండే క్యూతో అదే ఉదాహరణ.
2. సంఖ్యల శ్రేణికి పరిమితి ఉంటే, ఈ సంఖ్యల క్రమం పరిమితంగా ఉంటుంది.
3. సీక్వెన్స్‌ల మొత్తం (తేడా, ఉత్పత్తి) పరిమితి వాటి పరిమితుల మొత్తానికి (తేడా, ఉత్పత్తి) సమానంగా ఉంటుంది.
4. రెండు శ్రేణులను విభజించే గుణకం యొక్క పరిమితి, హారం అదృశ్యం కాకపోతే మరియు మాత్రమే పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.

క్రమం యొక్క రుజువు

కొన్నిసార్లు మీరు ఒక విలోమ సమస్యను పరిష్కరించాలి, సంఖ్యా క్రమం యొక్క ఇచ్చిన పరిమితిని నిరూపించాలి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం.

సూత్రం ద్వారా అందించబడిన క్రమం యొక్క పరిమితి సున్నా అని నిరూపించండి.

పైన చర్చించిన నియమం ప్రకారం, ఏదైనా క్రమానికి అసమానత |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

ఒక నిర్దిష్ట సంఖ్య యొక్క ఉనికిని చూపించడానికి మరియు క్రమం యొక్క పరిమితి ఉనికిని నిరూపించడానికి "ఎప్సిలాన్" ద్వారా nని వ్యక్తపరుస్తాము.

ఈ సమయంలో, "ఎప్సిలాన్" మరియు "ఎన్" సానుకూల సంఖ్యలు మరియు సున్నాకి సమానం కాదని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. ఇప్పుడు ఉన్నత పాఠశాలలో పొందిన అసమానతల గురించిన జ్ఞానాన్ని ఉపయోగించి మరింత పరివర్తనలను కొనసాగించడం సాధ్యమవుతుంది.

n > -3 + 1/ε అని ఎలా అవుతుంది. మేము సహజ సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతున్నామని గుర్తుంచుకోవడం విలువ కాబట్టి, ఫలితాన్ని చదరపు బ్రాకెట్లలో ఉంచడం ద్వారా గుండ్రంగా ఉంటుంది. అందువల్ల, పాయింట్ a = 0 యొక్క “ఎప్సిలాన్” పొరుగు యొక్క ఏదైనా విలువ కోసం, ప్రారంభ అసమానత సంతృప్తి చెందే విలువ కనుగొనబడిందని నిరూపించబడింది. ఇక్కడ నుండి మనం సురక్షితంగా చెప్పగలము, సంఖ్య a అనేది ఇచ్చిన క్రమం యొక్క పరిమితి. Q.E.D.

మొదటి చూపులో ఎంత క్లిష్టంగా ఉన్నా, సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితిని నిరూపించడానికి ఈ అనుకూలమైన పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. ప్రధాన విషయం ఏమిటంటే మీరు పనిని చూసినప్పుడు భయపడకూడదు.

లేదా బహుశా అతను అక్కడ లేడా?

స్థిరత్వ పరిమితి ఉనికి ఆచరణలో అవసరం లేదు. మీరు నిజంగా ముగింపు లేని సంఖ్యల శ్రేణిని సులభంగా చూడవచ్చు. ఉదాహరణకు, అదే "ఫ్లాషింగ్ లైట్" x n = (-1) n. చక్రీయంగా పునరావృతమయ్యే రెండు అంకెలతో కూడిన క్రమం పరిమితిని కలిగి ఉండదని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది.

గణనల సమయంలో ఏదైనా క్రమంలో అనిశ్చితి (0/0, ∞/∞, ∞/0, మొదలైనవి) కలిగి ఉన్న ఒక సంఖ్య, భిన్నమైన వాటిని కలిగి ఉన్న సీక్వెన్స్‌లతో అదే కథ పునరావృతమవుతుంది. అయితే, తప్పు లెక్కలు కూడా జరుగుతాయని గుర్తుంచుకోవాలి. కొన్నిసార్లు మీ స్వంత పరిష్కారాన్ని ఒకటికి రెండుసార్లు సరిచూసుకోవడం మీకు సీక్వెన్స్ పరిమితిని కనుగొనడంలో సహాయపడుతుంది.

మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్

సీక్వెన్సులు మరియు వాటిని పరిష్కరించే పద్ధతుల యొక్క అనేక ఉదాహరణలు పైన చర్చించబడ్డాయి మరియు ఇప్పుడు మరింత నిర్దిష్టమైన కేసును తీసుకొని దానిని "మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్" అని పిలుద్దాం.

నిర్వచనం: కఠినమైన అసమానత x n కలిగి ఉన్నట్లయితే ఏదైనా క్రమాన్ని మోనోటోనికల్‌గా పెంచడం అని పిలుస్తారు.< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

ఈ రెండు షరతులతో పాటు, ఇలాంటి కఠినమైన అసమానతలు కూడా ఉన్నాయి. దీని ప్రకారం, x n ≤ x n +1 (తగ్గని క్రమం) మరియు x n ≥ x n +1 (పెరుగని క్రమం).

కానీ ఉదాహరణలతో దీన్ని అర్థం చేసుకోవడం సులభం.

ఫార్ములా x n = 2+n ద్వారా ఇవ్వబడిన క్రమం క్రింది సంఖ్యల శ్రేణిని ఏర్పరుస్తుంది: 4, 5, 6, మొదలైనవి. ఇది మార్పు లేకుండా పెరుగుతున్న క్రమం.

మరియు మనం x n =1/n తీసుకుంటే, మనకు శ్రేణి వస్తుంది: 1/3, ¼, 1/5, మొదలైనవి. ఇది మార్పులేని విధంగా తగ్గుతున్న క్రమం.

కన్వర్జెంట్ మరియు బౌండెడ్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి

బౌండెడ్ సీక్వెన్స్ అనేది పరిమితిని కలిగి ఉండే క్రమం. కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ అనేది అనంతమైన పరిమితిని కలిగి ఉన్న సంఖ్యల శ్రేణి.

కాబట్టి, సరిహద్దుల క్రమం యొక్క పరిమితి ఏదైనా వాస్తవ లేదా సంక్లిష్ట సంఖ్య. ఒక పరిమితి మాత్రమే ఉంటుందని గుర్తుంచుకోండి.

కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి అనంతమైన (వాస్తవమైన లేదా సంక్లిష్టమైన) పరిమాణం. మీరు సీక్వెన్స్ రేఖాచిత్రాన్ని గీస్తే, ఒక నిర్దిష్ట సమయంలో అది కలుస్తున్నట్లు అనిపిస్తుంది, నిర్దిష్ట విలువగా మారుతుంది. అందుకే పేరు - కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్.

మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి

అటువంటి క్రమానికి పరిమితి ఉండవచ్చు లేదా ఉండకపోవచ్చు. మొదట, అది ఉనికిలో ఉన్నప్పుడు అర్థం చేసుకోవడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; ఇక్కడ నుండి మీరు పరిమితి లేకపోవడాన్ని రుజువు చేసినప్పుడు ప్రారంభించవచ్చు.

మోనోటోనిక్ సీక్వెన్స్‌లలో, కన్వర్జెంట్ మరియు డైవర్జెంట్ వేరుగా ఉంటాయి. కన్వర్జెంట్ అనేది x సెట్ ద్వారా ఏర్పడిన క్రమం మరియు ఈ సెట్‌లో నిజమైన లేదా సంక్లిష్ట పరిమితిని కలిగి ఉంటుంది. డైవర్జెంట్ అనేది దాని సెట్‌లో పరిమితి లేని క్రమం (నిజమైన లేదా సంక్లిష్టమైనది కాదు).

అంతేకాకుండా, రేఖాగణిత ప్రాతినిధ్యంలో, దాని ఎగువ మరియు దిగువ పరిమితులు కలిసినట్లయితే, క్రమం కలుస్తుంది.

ఏదైనా అనంతమైన శ్రేణికి తెలిసిన పరిమితి (సున్నా) ఉన్నందున, కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితి చాలా సందర్భాలలో సున్నాగా ఉంటుంది.

మీరు ఏ కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ తీసుకున్నా, అవన్నీ సరిహద్దులుగా ఉంటాయి, కానీ అన్ని పరిమిత శ్రేణులు కలుస్తాయి.

రెండు కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్‌ల మొత్తం, వ్యత్యాసం, ఉత్పత్తి కూడా ఒక కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్. అయితే, అది నిర్వచించబడితే గుణకం కూడా కన్వర్జెంట్ కావచ్చు!

పరిమితులతో కూడిన వివిధ చర్యలు

సీక్వెన్స్ పరిమితులు అంకెలు మరియు సంఖ్యల వలె ముఖ్యమైనవి (చాలా సందర్భాలలో): 1, 2, 15, 24, 362, మొదలైనవి. కొన్ని కార్యకలాపాలను పరిమితులతో నిర్వహించవచ్చని తేలింది.

ముందుగా, అంకెలు మరియు సంఖ్యల వలె, ఏదైనా క్రమం యొక్క పరిమితులను జోడించవచ్చు మరియు తీసివేయవచ్చు. శ్రేణుల పరిమితులపై మూడవ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, కింది సమానత్వం కలిగి ఉంటుంది: శ్రేణుల మొత్తం పరిమితి వాటి పరిమితుల మొత్తానికి సమానం.

రెండవది, సీక్వెన్స్‌ల పరిమితులపై నాల్గవ సిద్ధాంతం ఆధారంగా, కింది సమానత్వం నిజం: nవ సంఖ్య శ్రేణుల ఉత్పత్తి యొక్క పరిమితి వాటి పరిమితుల ఉత్పత్తికి సమానం. విభజనకు కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది: రెండు సీక్వెన్స్‌ల గుణకం యొక్క పరిమితి, పరిమితి సున్నా కానట్లయితే, వాటి పరిమితుల భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది. అన్నింటికంటే, శ్రేణుల పరిమితి సున్నాకి సమానంగా ఉంటే, అప్పుడు సున్నా ద్వారా విభజన ఫలితంగా ఉంటుంది, ఇది అసాధ్యం.

సీక్వెన్స్ పరిమాణాల లక్షణాలు

సంఖ్యా క్రమం యొక్క పరిమితి ఇప్పటికే కొంత వివరంగా చర్చించబడినట్లు అనిపిస్తుంది, అయితే “అనంత చిన్న” మరియు “అనంత పెద్ద” సంఖ్యలు వంటి పదబంధాలు ఒకటి కంటే ఎక్కువసార్లు ప్రస్తావించబడ్డాయి. సహజంగానే, 1/x శ్రేణి ఉంటే, ఇక్కడ x→∞, అటువంటి భిన్నం అనంతం, మరియు అదే క్రమం, కానీ పరిమితి సున్నాకి (x→0) ఉంటే, అప్పుడు భిన్నం అనంతమైన పెద్ద విలువ అవుతుంది. మరియు అటువంటి పరిమాణాలు వాటి స్వంత లక్షణాలను కలిగి ఉంటాయి. ఏదైనా చిన్న లేదా పెద్ద విలువలను కలిగి ఉన్న క్రమం యొక్క పరిమితి యొక్క లక్షణాలు క్రింది విధంగా ఉన్నాయి:

1. చిన్న పరిమాణాల యొక్క ఏదైనా సంఖ్య యొక్క మొత్తం కూడా చిన్న పరిమాణంగా ఉంటుంది.
2. ఎన్ని పెద్ద పరిమాణాల మొత్తమైనా అనంతమైన పెద్ద పరిమాణం అవుతుంది.
3. ఏకపక్షంగా చిన్న పరిమాణాల ఉత్పత్తి అనంతం.
4. పెద్ద సంఖ్యల సంఖ్య యొక్క ఉత్పత్తి అనంతంగా పెద్దది.
5. అసలైన శ్రేణి అనంతంగా పెద్ద సంఖ్యలో ఉంటే, దాని విలోమం అనంతంగా ఉంటుంది మరియు సున్నాకి ఉంటుంది.

వాస్తవానికి, మీకు సాధారణ అల్గోరిథం తెలిస్తే, క్రమం యొక్క పరిమితిని లెక్కించడం అంత కష్టమైన పని కాదు. కానీ స్థిరత్వం యొక్క పరిమితులు గరిష్ట శ్రద్ధ మరియు పట్టుదల అవసరమయ్యే అంశం. వాస్తవానికి, అటువంటి వ్యక్తీకరణలకు పరిష్కారం యొక్క సారాంశాన్ని గ్రహించడం సరిపోతుంది. చిన్నగా ప్రారంభించి, మీరు కాలక్రమేణా గొప్ప ఎత్తులను సాధించవచ్చు.

పరిమితులు గణిత విద్యార్థులందరికీ చాలా ఇబ్బందిని ఇస్తాయి. పరిమితిని పరిష్కరించడానికి, కొన్నిసార్లు మీరు చాలా ఉపాయాలు ఉపయోగించాలి మరియు నిర్దిష్ట ఉదాహరణకి సరిపోయే అనేక రకాల పరిష్కార పద్ధతుల నుండి ఖచ్చితంగా ఎంచుకోవాలి.

ఈ వ్యాసంలో మేము మీ సామర్థ్యాల పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడంలో లేదా నియంత్రణ పరిమితులను అర్థం చేసుకోవడంలో మీకు సహాయం చేయము, కానీ మేము ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వడానికి ప్రయత్నిస్తాము: అధిక గణితంలో పరిమితులను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి? అవగాహన అనుభవంతో వస్తుంది, కాబట్టి అదే సమయంలో మేము వివరణలతో పరిమితులను పరిష్కరించే అనేక వివరణాత్మక ఉదాహరణలను ఇస్తాము.

గణితంలో పరిమితి భావన

మొదటి ప్రశ్న: ఈ పరిమితి ఏమిటి మరియు దేని పరిమితి? మేము సంఖ్యా శ్రేణులు మరియు ఫంక్షన్ల పరిమితుల గురించి మాట్లాడవచ్చు. ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి అనే భావనపై మాకు ఆసక్తి ఉంది, ఎందుకంటే విద్యార్థులు ఎక్కువగా ఎదుర్కొనేది ఇదే. కానీ మొదట, పరిమితి యొక్క అత్యంత సాధారణ నిర్వచనం:

కొన్ని వేరియబుల్ విలువ ఉందని చెప్పండి. మార్పు ప్రక్రియలో ఈ విలువ అపరిమితంగా నిర్దిష్ట సంఖ్యకు చేరుకుంటే a , ఆ a - ఈ విలువ యొక్క పరిమితి.

నిర్దిష్ట విరామంలో నిర్వచించబడిన ఫంక్షన్ కోసం f(x)=y అటువంటి సంఖ్యను పరిమితి అంటారు ఎ , ఫంక్షన్ ఎప్పుడు ఉంటుంది X , ఒక నిర్దిష్ట బిందువుకు మొగ్గు చూపడం ఎ . చుక్క ఎ ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిన విరామానికి చెందినది.

ఇది గజిబిజిగా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చాలా సరళంగా వ్రాయబడింది:

లిం- ఇంగ్లీష్ నుండి పరిమితి- పరిమితి.

పరిమితిని నిర్ణయించడానికి రేఖాగణిత వివరణ కూడా ఉంది, కానీ ఇక్కడ మేము సిద్ధాంతాన్ని పరిశోధించము, ఎందుకంటే సమస్య యొక్క సైద్ధాంతిక వైపు కంటే ఆచరణాత్మకంగా మాకు ఎక్కువ ఆసక్తి ఉంది. మేము అని చెప్పినప్పుడు X కొంత విలువకు మొగ్గు చూపుతుంది, దీని అర్థం వేరియబుల్ సంఖ్య యొక్క విలువను తీసుకోదు, కానీ అది అనంతంగా దగ్గరగా ఉంటుంది.

ఒక నిర్దిష్ట ఉదాహరణ ఇద్దాం. పరిమితిని కనుగొనడమే పని.

ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, మేము విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేస్తాము x=3 ఒక ఫంక్షన్ లోకి. మాకు దొరికింది:

మార్గం ద్వారా, మీకు ఆసక్తి ఉంటే, ఈ అంశంపై ప్రత్యేక కథనాన్ని చదవండి.

ఉదాహరణలలో X ఏదైనా విలువకు మొగ్గు చూపవచ్చు. ఇది ఏదైనా సంఖ్య లేదా అనంతం కావచ్చు. ఎప్పుడు ఇక్కడ ఒక ఉదాహరణ X అనంతం వైపు మొగ్గు చూపుతుంది:

అకారణంగా, హారంలో పెద్ద సంఖ్య, ఫంక్షన్ తీసుకునే విలువ చిన్నది. కాబట్టి, అపరిమిత వృద్ధితో X అర్థం 1/x తగ్గిపోతుంది మరియు సున్నాకి చేరుకుంటుంది.

మీరు చూడగలిగినట్లుగా, పరిమితిని పరిష్కరించడానికి, మీరు ఫంక్షన్‌కి ప్రయత్నించడానికి విలువను ప్రత్యామ్నాయం చేయాలి X . అయితే, ఇది సరళమైన కేసు. తరచుగా పరిమితిని కనుగొనడం అంత స్పష్టంగా ఉండదు. పరిమితుల్లో రకం అనిశ్చితులు ఉన్నాయి 0/0 లేదా అనంతం/అనంతం . అటువంటి సందర్భాలలో ఏమి చేయాలి? మాయలను ఆశ్రయించండి!

లోపల అనిశ్చితులు

రూపం అనంతం/అనంతం యొక్క అనిశ్చితి

పరిమితి ఉండనివ్వండి:

మనం ఫంక్షన్‌లో ఇన్ఫినిటీని ప్రత్యామ్నాయం చేయడానికి ప్రయత్నిస్తే, మనం న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండింటిలోనూ అనంతాన్ని పొందుతాము. సాధారణంగా, అటువంటి అనిశ్చితులను పరిష్కరించడంలో కళ యొక్క నిర్దిష్ట అంశం ఉందని చెప్పడం విలువ: అనిశ్చితి పోయే విధంగా మీరు ఫంక్షన్‌ను ఎలా మార్చవచ్చో గమనించాలి. మా విషయంలో, మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారం ద్వారా విభజిస్తాము X సీనియర్ డిగ్రీలో. ఏమి జరుగుతుంది?

పైన ఇప్పటికే చర్చించిన ఉదాహరణ నుండి, హారంలో xని కలిగి ఉన్న పదాలు సున్నాకి మొగ్గు చూపుతాయని మాకు తెలుసు. అప్పుడు పరిమితికి పరిష్కారం:

రకం అనిశ్చితులను పరిష్కరించడానికి అనంతం/అనంతంలవం మరియు హారం ద్వారా విభజించండి Xఅత్యధిక స్థాయికి.

మార్గం ద్వారా! మా పాఠకులకు ఇప్పుడు 10% తగ్గింపు ఉంది

మరొక రకమైన అనిశ్చితి: 0/0

ఎప్పటిలాగే, ఫంక్షన్‌లో విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయడం x=-1 ఇస్తుంది 0 న్యూమరేటర్ మరియు హారంలో. కొంచెం నిశితంగా పరిశీలించండి మరియు లవంలో మనకు చతుర్భుజ సమీకరణం ఉందని మీరు గమనించవచ్చు. మూలాలను కనుగొని వ్రాద్దాం:

తగ్గించండి మరియు పొందండి:

కాబట్టి, మీరు రకం అనిశ్చితిని ఎదుర్కొంటే 0/0 - న్యూమరేటర్ మరియు హారం కారకం.

మీరు ఉదాహరణలను పరిష్కరించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, మేము కొన్ని ఫంక్షన్ల పరిమితులతో పట్టికను ప్రదర్శిస్తాము:

లోపల L'Hopital యొక్క పాలన

రెండు రకాల అనిశ్చితిని తొలగించడానికి మరొక శక్తివంతమైన మార్గం. పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటి?

పరిమితిలో అనిశ్చితి ఉంటే, అనిశ్చితి అదృశ్యమయ్యే వరకు న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క ఉత్పన్నాన్ని తీసుకోండి.

L'Hopital యొక్క నియమం ఇలా కనిపిస్తుంది:

ముఖ్యమైన పాయింట్ : న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క ఉత్పన్నాలు తప్పనిసరిగా ఉండాల్సిన పరిమితి.

మరియు ఇప్పుడు - నిజమైన ఉదాహరణ:

సాధారణ అనిశ్చితి ఉంది 0/0 . న్యూమరేటర్ మరియు హారం యొక్క ఉత్పన్నాలను తీసుకుందాం:

Voila, అనిశ్చితి త్వరగా మరియు సొగసైన పరిష్కరించబడుతుంది.

మీరు ఈ సమాచారాన్ని ఆచరణలో ఉపయోగకరంగా వర్తింపజేయగలరని మరియు "అధిక గణితంలో పరిమితులను ఎలా పరిష్కరించాలి" అనే ప్రశ్నకు సమాధానాన్ని కనుగొనగలరని మేము ఆశిస్తున్నాము. మీరు ఒక పాయింట్ వద్ద సీక్వెన్స్ యొక్క పరిమితిని లేదా ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితిని లెక్కించవలసి వస్తే మరియు ఈ పనికి ఖచ్చితంగా సమయం లేనట్లయితే, త్వరిత మరియు వివరణాత్మక పరిష్కారం కోసం ప్రొఫెషనల్ విద్యార్థి సేవను సంప్రదించండి.

(x)పాయింట్ x వద్ద 0 :
,
ఉంటే
1) పాయింట్ x యొక్క అటువంటి పంక్చర్ పొరుగు ఉంది 0
2) ఏదైనా క్రమం కోసం (xn), x కు కలుస్తోంది 0 :
, దీని మూలకాలు పొరుగు ప్రాంతానికి చెందినవి,
తదుపరి (f(xn))కలుస్తుంది:
.

ఇక్కడ x 0 మరియు a అనేది పరిమిత సంఖ్యలు లేదా అనంతం వద్ద పాయింట్లు కావచ్చు. పొరుగు ప్రాంతం రెండు వైపులా లేదా ఏకపక్షంగా ఉంటుంది.

.

ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క రెండవ నిర్వచనం (కౌచీ ప్రకారం)

a సంఖ్యను f ఫంక్షన్ పరిమితి అంటారు (x)పాయింట్ x వద్ద 0 :
,
ఉంటే
1) పాయింట్ x యొక్క అటువంటి పంక్చర్ పొరుగు ఉంది 0 , ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది;
2) ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కోసం ε > 0 అటువంటి సంఖ్య δ ε ఉంది > 0 , εపై ఆధారపడి, పంక్చర్ చేయబడిన δ εకి చెందిన అన్ని x కోసం - పాయింట్ x యొక్క పొరుగు ప్రాంతం 0 :
,
ఫంక్షన్ విలువలు f (x)పాయింట్ a యొక్క ε-పరిసరానికి చెందినవి:
.

పాయింట్లు x 0 మరియు a అనేది పరిమిత సంఖ్యలు లేదా అనంతం వద్ద పాయింట్లు కావచ్చు. పొరుగు ప్రాంతం కూడా రెండు వైపులా లేదా ఏకపక్షంగా ఉంటుంది.

ఉనికి మరియు సార్వత్రికత యొక్క తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి ఈ నిర్వచనాన్ని వ్రాద్దాం:
.

ఈ నిర్వచనం ఈక్విడిస్టెంట్ ఎండ్‌లతో పొరుగు ప్రాంతాలను ఉపయోగిస్తుంది. పాయింట్ల యొక్క ఏకపక్ష పొరుగు ప్రాంతాలను ఉపయోగించి సమానమైన నిర్వచనం ఇవ్వవచ్చు.

ఏకపక్ష పొరుగు ప్రాంతాలను ఉపయోగించి నిర్వచనం
a సంఖ్యను f ఫంక్షన్ పరిమితి అంటారు (x)పాయింట్ x వద్ద 0 :
,
ఉంటే
1) పాయింట్ x యొక్క అటువంటి పంక్చర్ పొరుగు ఉంది 0 , ఫంక్షన్ నిర్వచించబడింది;
2) ఏదైనా పొరుగు ప్రాంతం కోసం U (ఎ)పాయింట్ a యొక్క పాయింట్ x యొక్క అటువంటి పంక్చర్ పొరుగు ఉంది 0 పాయింట్ x యొక్క పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతానికి చెందిన అన్ని x కోసం 0 :
,
ఫంక్షన్ విలువలు f (x)పొరుగున ఉన్న U (ఎ)పాయింట్లు a:
.

ఉనికి మరియు సార్వత్రికత యొక్క తార్కిక చిహ్నాలను ఉపయోగించి, ఈ నిర్వచనాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
.

ఒక-వైపు మరియు రెండు-వైపుల పరిమితులు

పై నిర్వచనాలు సార్వత్రికమైనవి, అవి ఏ రకమైన పొరుగువారికైనా ఉపయోగించబడతాయి. మేము ముగింపు బిందువు యొక్క ఎడమ వైపు పంక్చర్ చేయబడిన పొరుగు ప్రాంతంగా ఉపయోగిస్తే, మేము ఎడమ వైపు పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని పొందుతాము. మేము అనంతం వద్ద ఒక బిందువు యొక్క పొరుగును పొరుగుగా ఉపయోగిస్తే, మేము అనంతం వద్ద పరిమితి యొక్క నిర్వచనాన్ని పొందుతాము.

హీన్ పరిమితిని నిర్ణయించడానికి, ఇది ఏకపక్ష శ్రేణికి కలుస్తున్నప్పుడు అదనపు పరిమితి విధించబడుతుంది: దాని మూలకాలు తప్పనిసరిగా పాయింట్ యొక్క సంబంధిత పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతానికి చెందినవి .

Cauchy పరిమితిని నిర్ణయించడానికి, ప్రతి సందర్భంలో ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు యొక్క తగిన నిర్వచనాలను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరణలను మరియు అసమానతలుగా మార్చడం అవసరం.
"ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు" చూడండి.

ఆ పాయింట్ aని నిర్ణయించడం అనేది ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి కాదు

పాయింట్ a అనేది ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి కాదు అనే షరతును ఉపయోగించడం తరచుగా అవసరం అవుతుంది. పై నిర్వచనాలకు నిరాకరణలను నిర్మిద్దాము. వాటిలో మేము ఫంక్షన్ f అని ఊహిస్తాము (x)పాయింట్ x యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో నిర్వచించబడింది 0 . పాయింట్లు a మరియు x 0 పరిమిత సంఖ్యలు లేదా అనంతమైన దూరం కావచ్చు. దిగువ పేర్కొన్న ప్రతిదీ ద్వైపాక్షిక మరియు ఏకపక్ష పరిమితులకు వర్తిస్తుంది.

హీన్ ప్రకారం.
సంఖ్య a కాదుఫంక్షన్ పరిమితి f (x)పాయింట్ x వద్ద 0 : ,
అటువంటి క్రమం ఉంటే (xn), x కు కలుస్తోంది 0 :
,
దీని మూలకాలు పొరుగు ప్రాంతానికి చెందినవి,
క్రమం ఏమిటి (f(xn))ఒక
.
.

కౌచీ ప్రకారం.
సంఖ్య a కాదుఫంక్షన్ పరిమితి f (x)పాయింట్ x వద్ద 0 :
,
అటువంటి సానుకూల సంఖ్య ఉంటే ε > 0 , కాబట్టి ఏదైనా సానుకూల సంఖ్య కోసం δ > 0 , పాయింట్ x యొక్క పంక్చర్డ్ δ-పరిసరానికి చెందిన x ఉంది 0 :
,
ఫంక్షన్ విలువ f (x)పాయింట్ a యొక్క ε-పరిసరానికి చెందినది కాదు:
.
.

వాస్తవానికి, పాయింట్ a అనేది వద్ద ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి కానట్లయితే, దీనికి పరిమితి ఉండదని దీని అర్థం కాదు. పరిమితి ఉండవచ్చు, కానీ అది aకి సమానం కాదు. పాయింట్ యొక్క పంక్చర్ పొరుగు ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడే అవకాశం ఉంది, కానీ వద్ద పరిమితి లేదు.

ఫంక్షన్ f(x) = పాపం(1/x) x → 0 వలె పరిమితి లేదు.

ఉదాహరణకు, ఒక ఫంక్షన్ వద్ద నిర్వచించబడింది, కానీ పరిమితి లేదు. దానిని నిరూపించడానికి, క్రమాన్ని తీసుకుందాం. ఇది ఒక బిందువుకు కలుస్తుంది 0 : . ఎందుకంటే , అప్పుడు.
క్రమాన్ని తీసుకుందాం. ఇది పాయింట్‌కి కూడా కలుస్తుంది 0 : . కానీ అప్పటి నుండి .
అప్పుడు పరిమితి ఏ సంఖ్యకు సమానంగా ఉండకూడదు a. నిజానికి, కోసం, దానితో ఒక క్రమం ఉంది. కాబట్టి, సున్నా కాని సంఖ్య ఏదైనా పరిమితి కాదు. కానీ ఇది కూడా పరిమితి కాదు, ఎందుకంటే దానితో ఒక క్రమం ఉంది.

పరిమితి యొక్క హీన్ మరియు కౌచీ నిర్వచనాల సమానత్వం

సిద్ధాంతం
ఫంక్షన్ యొక్క పరిమితి యొక్క హీన్ మరియు కౌచీ నిర్వచనాలు సమానంగా ఉంటాయి.

రుజువు

రుజువులో, ఒక పాయింట్ (పరిమితం లేదా అనంతం) యొక్క కొన్ని పంక్చర్డ్ పొరుగు ప్రాంతంలో ఫంక్షన్ నిర్వచించబడిందని మేము ఊహిస్తాము. పాయింట్ a కూడా పరిమితం కావచ్చు లేదా అనంతం కావచ్చు.

హీన్ యొక్క రుజువు ⇒ కౌచీ యొక్క

మొదటి నిర్వచనం ప్రకారం (హీన్ ప్రకారం) ఫంక్షన్ ఒక పాయింట్ వద్ద పరిమితిని కలిగి ఉండనివ్వండి. అంటే, ఒక పాయింట్ యొక్క పొరుగు ప్రాంతానికి చెందిన మరియు పరిమితిని కలిగి ఉన్న ఏదైనా క్రమానికి
(1) ,
క్రమం యొక్క పరిమితి:
(2) .

ఫంక్షన్‌కు ఒక పాయింట్ వద్ద కౌచీ పరిమితి ఉందని చూపిద్దాం. అంటే, ప్రతి ఒక్కరికీ ప్రతి ఒక్కరికీ ఏదో ఉంది.

వ్యతిరేకం అనుకుందాం. షరతులు (1) మరియు (2) సంతృప్తి చెందనివ్వండి, కానీ ఫంక్షన్‌కు Cauchy పరిమితి లేదు. అంటే, ఎవరికైనా ఏదో ఉంది, కాబట్టి
.

n అనేది సహజ సంఖ్య అయిన చోట తీసుకుందాం. అప్పుడు ఉనికిలో ఉంది, మరియు
.
ఈ విధంగా మేము ఒక క్రమాన్ని కలుస్తూ నిర్మించాము, కానీ శ్రేణి యొక్క పరిమితి aకి సమానంగా ఉండదు. ఇది సిద్ధాంతం యొక్క షరతులకు విరుద్ధంగా ఉంది.

మొదటి భాగం నిరూపించబడింది.

కౌచీ యొక్క రుజువు ⇒ హెయిన్స్

రెండవ నిర్వచనం ప్రకారం (కౌచీ ప్రకారం) ఫంక్షన్ ఒక పాయింట్ వద్ద పరిమితిని కలిగి ఉండనివ్వండి. అంటే ఎవరికైనా అది ఉంటుంది
(3) అందరి కోసం .

హీన్ ప్రకారం ఫంక్షన్‌కు ఒక పాయింట్ వద్ద పరిమితి a ఉందని చూపిద్దాం.
ఒక ఏకపక్ష సంఖ్యను తీసుకుందాం. కౌచీ నిర్వచనం ప్రకారం, సంఖ్య ఉంది, కాబట్టి (3) కలిగి ఉంటుంది.

పంక్చర్ చేయబడిన పరిసరాలకు చెందిన మరియు కలుస్తున్న ఒక ఏకపక్ష క్రమాన్ని తీసుకుందాం. కన్వర్జెంట్ సీక్వెన్స్ యొక్క నిర్వచనం ప్రకారం, దేనికైనా అది ఉనికిలో ఉంటుంది
వద్ద.
అప్పుడు (3) నుండి అది అనుసరిస్తుంది
వద్ద.
ఇది ఎవరికైనా ఉంటుంది కాబట్టి, అప్పుడు
.

సిద్ధాంతం నిరూపించబడింది.

ప్రస్తావనలు:
ఎల్.డి. కుద్రియవ్ట్సేవ్. గణిత విశ్లేషణ యొక్క కోర్సు. వాల్యూమ్ 1. మాస్కో, 2003.