తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి గుణకాలను నిర్ణయించండి. నిర్దిష్ట సమస్యలను పరిష్కరించడానికి ఉదాహరణలు

లెవలింగ్ తర్వాత, మేము కింది ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్‌ను పొందుతాము: g (x) = x + 1 3 + 1 .

సంబంధిత పారామితులను లెక్కించడం ద్వారా y = a x + b సరళ సంబంధాన్ని ఉపయోగించి మేము ఈ డేటాను అంచనా వేయవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, మేము కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి అని పిలవబడే పద్ధతిని వర్తింపజేయాలి. ప్రయోగాత్మక డేటాను ఏ లైన్ ఉత్తమంగా సమలేఖనం చేస్తుందో తనిఖీ చేయడానికి మీరు డ్రాయింగ్‌ను కూడా రూపొందించాలి.

Yandex.RTB R-A-339285-1

సరిగ్గా OLS అంటే ఏమిటి (తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి)

F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 అనే రెండు వేరియబుల్స్ ఫంక్షన్ విలువ ఉండే లీనియర్ డిపెండెన్స్ యొక్క అటువంటి గుణకాలను కనుగొనడం మనం చేయవలసిన ప్రధాన విషయం. అతి చిన్నది. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, a మరియు b యొక్క నిర్దిష్ట విలువలకు, ఫలిత సరళ రేఖ నుండి సమర్పించబడిన డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం కనిష్ట విలువను కలిగి ఉంటుంది. ఇది తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క అర్థం. ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి మనం చేయాల్సిందల్లా రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క తీవ్రతను కనుగొనడం.

గుణకాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలను ఎలా పొందాలి

గుణకాలను లెక్కించడానికి సూత్రాలను రూపొందించడానికి, మీరు రెండు వేరియబుల్స్‌తో సమీకరణాల వ్యవస్థను సృష్టించాలి మరియు పరిష్కరించాలి. దీన్ని చేయడానికి, a మరియు bకి సంబంధించి F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 వ్యక్తీకరణ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను మేము లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని 0కి సమం చేస్తాము.

δ F (a , b) δ a = 0 δ F (a , b) δ b = 0 ⇔ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i = 0 - 2 ∑ i = 1 n ( y i - (a x i + b)) = 0 ⇔ a ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + ∑ i = 1 n i ∑ i = 1 n i ∑ ∑ i = 1 n x i 2 + b ∑ i = 1 n x i = ∑ i = 1 n x i y i a ∑ i = 1 n x i + n b = ∑ i = 1 n y i

సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి, మీరు ఏదైనా పద్ధతులను ఉపయోగించవచ్చు, ఉదాహరణకు, ప్రత్యామ్నాయం లేదా క్రామెర్ పద్ధతి. ఫలితంగా, తక్కువ స్క్వేర్‌ల పద్ధతిని ఉపయోగించి గుణకాలను లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సూత్రాలను మనం కలిగి ఉండాలి.

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a 1 ∑ i =

మేము ఫంక్షన్ వేరియబుల్స్ యొక్క విలువలను లెక్కించాము
F (a , b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 కనిష్ట విలువను తీసుకుంటుంది. సరిగ్గా ఇలా ఎందుకు ఉందో మూడో పేరాలో నిరూపిస్తాం.

ఇది ఆచరణలో తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క అప్లికేషన్. a పరామితిని కనుగొనడానికి ఉపయోగించే దాని ఫార్ములా, ∑ i = 1 n x i, ∑ i = 1 n y i, ∑ i = 1 n x i y i, ∑ i = 1 n x i 2, అలాగే పరామితిని కలిగి ఉంటుంది
n - ఇది ప్రయోగాత్మక డేటా మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది. ప్రతి మొత్తాన్ని విడిగా లెక్కించమని మేము మీకు సలహా ఇస్తున్నాము. గుణకం b విలువ a తర్వాత వెంటనే లెక్కించబడుతుంది.

అసలు ఉదాహరణకి తిరిగి వెళ్దాం.

ఉదాహరణ 1

ఇక్కడ మనకు ఐదుకి సమానమైన n ఉంది. గుణకం సూత్రాలలో చేర్చబడిన అవసరమైన మొత్తాలను లెక్కించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా చేయడానికి, పట్టికను పూరించండి.

	నేను = 1	i=2	i=3	i=4	i=5	∑ i = 1 5
x i	0	1	2	4	5	12
y i	2 , 1	2 , 4	2 , 6	2 , 8	3	12 , 9
x i y i	0	2 , 4	5 , 2	11 , 2	15	33 , 8
x i 2	0	1	4	16	25	46

పరిష్కారం

నాల్గవ వరుసలో ప్రతి వ్యక్తికి రెండవ వరుస నుండి మూడవ విలువలతో గుణించడం ద్వారా పొందిన డేటా ఉంటుంది i. ఐదవ పంక్తి రెండవ స్క్వేర్డ్ నుండి డేటాను కలిగి ఉంటుంది. చివరి నిలువు వరుస వ్యక్తిగత అడ్డు వరుసల విలువల మొత్తాలను చూపుతుంది.

మనకు అవసరమైన a మరియు b గుణకాలను లెక్కించడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగిస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, చివరి నిలువు వరుస నుండి అవసరమైన విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి మరియు మొత్తాలను లెక్కించండి:

n ∑ i = 1 n x i y i - ∑ i = 1 n x i ∑ i = 1 n y i n ∑ i = 1 n - ∑ i = 1 n x i 2 b = ∑ i = 1 n y i - a = ∑ 3, a = ∑ 3 - 12 12, 9 5 46 - 12 2 b = 12, 9 - a 12 5 ⇒ a ≈ 0, 165 b ≈ 2, 184

అవసరమైన ఉజ్జాయింపు సరళ రేఖ y = 0, 165 x + 2, 184 లాగా కనిపిస్తుంది. ఇప్పుడు మనం ఏ పంక్తి డేటాను బాగా అంచనా వేయగలదో గుర్తించాలి - g (x) = x + 1 3 + 1 లేదా 0, 165 x + 2, 184. కనీసం చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి అంచనా వేద్దాం.

లోపాన్ని లెక్కించడానికి, మేము σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 మరియు σ 2 = ∑ i = 1 n (y i) సరళ రేఖల నుండి డేటా యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తాన్ని కనుగొనాలి - g (x i)) 2, కనిష్ట విలువ మరింత సరిఅయిన లైన్‌కు అనుగుణంగా ఉంటుంది.

σ 1 = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (0, 165 x i + 2, 184)) 2 ≈ 0, 019 σ 2 = ∑ i = 1 n (y i - g (x i)) 2 = = ∑ i = 1 5 (y i - (x i + 1 3 + 1)) 2 ≈ 0.096

సమాధానం:σ 1 నుండి< σ 2 , то прямой, наилучшим образом аппроксимирующей исходные данные, будет
y = 0.165 x + 2.184.

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి గ్రాఫికల్ ఇలస్ట్రేషన్‌లో స్పష్టంగా చూపబడింది. ఎరుపు రేఖ సరళ రేఖ g (x) = x + 1 3 + 1, నీలం రేఖ y = 0, 165 x + 2, 184 అని సూచిస్తుంది. అసలు డేటా గులాబీ చుక్కల ద్వారా సూచించబడుతుంది.

ఈ రకమైన ఖచ్చితమైన ఉజ్జాయింపులు ఎందుకు అవసరమో వివరిస్తాము.

డేటాను సులభతరం చేయడం అవసరమయ్యే పనులలో, అలాగే డేటా తప్పనిసరిగా ఇంటర్‌పోలేట్ లేదా ఎక్స్‌ట్రాపోలేట్ చేయబడిన వాటిలో వాటిని ఉపయోగించవచ్చు. ఉదాహరణకు, పైన చర్చించిన సమస్యలో, గమనించిన పరిమాణం y విలువను x = 3 వద్ద లేదా x = 6 వద్ద కనుగొనవచ్చు. అటువంటి ఉదాహరణలకు మేము ప్రత్యేక కథనాన్ని అంకితం చేసాము.

OLS పద్ధతి యొక్క రుజువు

a మరియు b గణించబడినప్పుడు ఫంక్షన్ కనీస విలువను తీసుకోవడానికి, ఒక నిర్దిష్ట పాయింట్ వద్ద F (a, b) = ∑ i = ఫారమ్ యొక్క ఫంక్షన్ యొక్క అవకలన యొక్క చతుర్భుజ రూపం యొక్క మాతృక అవసరం. 1 n (y i - (a x i + b)) 2 ఖచ్చితంగా ధనాత్మకం. అది ఎలా కనిపించాలో మీకు చూపిద్దాం.

ఉదాహరణ 2

మేము ఈ క్రింది ఫారమ్‌లో రెండవ ఆర్డర్ డిఫరెన్షియల్‌ని కలిగి ఉన్నాము:

d 2 F (a ; b) = δ 2 F (a ; b) δ a 2 d 2 a + 2 δ 2 F (a ; b) δ a δ b d a d b + δ 2 F (a ; b) δ b 2 d 2 బి

పరిష్కారం

δ 2 F (a ; b) δ a 2 = δ δ F (a ; b) δ a δ a = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) x i δ a = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 δ 2 F (a; b) δ a δ b = δ δ F (a; b) δ a δ b = = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b) ) x i δ b = 2 ∑ i = 1 n x i δ 2 F (a ; b) δ b 2 = δ δ F (a ; b) δ b δ b = δ - 2 ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) δ b = 2 ∑ i = 1 n (1) = 2 n

మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మనం దీన్ని ఇలా వ్రాయవచ్చు: d 2 F (a ; b) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 d 2 a + 2 2 ∑ x i i = 1 n d a d b + (2 n) d 2 b.

మేము M = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n అనే చతురస్రాకార రూపం యొక్క మాతృకను పొందాము.

ఈ సందర్భంలో, a మరియు b లను బట్టి వ్యక్తిగత మూలకాల విలువలు మారవు. ఈ మాతృక సానుకూలంగా ఉందా? ఈ ప్రశ్నకు సమాధానమివ్వడానికి, దాని కోణీయ మైనర్‌లు సానుకూలంగా ఉన్నాయో లేదో తనిఖీ చేద్దాం.

మేము మొదటి ఆర్డర్ యొక్క కోణీయ మైనర్‌ను గణిస్తాము: 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 > 0 . x i పాయింట్లు ఏకీభవించనందున, అసమానత కఠినంగా ఉంటుంది. మేము తదుపరి గణనలలో దీనిని దృష్టిలో ఉంచుకుంటాము.

మేము రెండవ ఆర్డర్ కోణీయ మైనర్‌ను గణిస్తాము:

d e t (M) = 2 ∑ i = 1 n (x i) 2 2 ∑ i = 1 n x i 2 ∑ i = 1 n x i 2 n = 4 n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i

దీని తరువాత, మేము గణిత ప్రేరణను ఉపయోగించి n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 అసమానతను నిరూపించడానికి కొనసాగుతాము.

1. ఈ అసమానత ఏకపక్ష n కోసం చెల్లుబాటు అవుతుందో లేదో తనిఖీ చేద్దాం. 2 తీసుకొని గణిద్దాం:

2 ∑ i = 1 2 (x i) 2 - ∑ i = 1 2 x i 2 = 2 x 1 2 + x 2 2 - x 1 + x 2 2 = = x 1 2 - 2 x 1 x 2 + x 2 2 = x 1 + x 2 2 > 0

మేము సరైన సమానత్వాన్ని పొందాము (విలువలు x 1 మరియు x 2 ఏకీభవించకపోతే).

1. ఈ అసమానత n కోసం నిజం అవుతుందని ఊహిద్దాం, అనగా. n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 – నిజం.
2. ఇప్పుడు మనం n + 1 కోసం చెల్లుబాటును నిరూపిస్తాము, అనగా. అది (n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 > 0, అయితే n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 > 0 .

మేము లెక్కిస్తాము:

(n + 1) ∑ i = 1 n + 1 (x i) 2 - ∑ i = 1 n + 1 x i 2 = = (n + 1) ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 + n x n + 1 2 + ∑ i = 1 n (x i) 2 + x n + 1 2 - - ∑ i = 1 n x i 2 + 2 x n + 1 ∑ i = 1 n x i + x n + 1 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + n x n + 1 2 - x n + 1 ∑ i = 1∑ x n (x i) 2 = = ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x 1 2 + + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 2 + x 2 2 + . . . + x n + 1 2 - 2 x n + 1 x 1 + x n 2 = = n ∑ i = 1 n (x i) 2 - ∑ i = 1 n x i 2 + + (x n + 1 - x 1) 2 + (x n + 1 - x 2) 2 + . . . + (x n - 1 - x n) 2 > 0

కర్లీ బ్రేస్‌లలో జతచేయబడిన వ్యక్తీకరణ 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది (దశ 2లో మనం ఊహించిన దాని ఆధారంగా), మరియు మిగిలిన నిబంధనలు 0 కంటే ఎక్కువగా ఉంటాయి, ఎందుకంటే అవన్నీ సంఖ్యల వర్గాలు. మేము అసమానతలను నిరూపించాము.

సమాధానం:కనుగొనబడిన a మరియు b ఫంక్షన్ F (a, b) = ∑ i = 1 n (y i - (a x i + b)) 2 యొక్క అతిచిన్న విలువకు అనుగుణంగా ఉంటాయి, అంటే అవి కనీసం చతురస్రాల పద్ధతికి అవసరమైన పారామితులు. (LSM).

మీరు టెక్స్ట్‌లో లోపాన్ని గమనించినట్లయితే, దయచేసి దాన్ని హైలైట్ చేసి, Ctrl+Enter నొక్కండి

తక్కువ చదరపు పద్ధతిరిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగిస్తారు.

పంక్తుల సంఖ్య (మూల డేటా)

లక్షణాల మధ్య యాదృచ్ఛిక సంబంధాలను అధ్యయనం చేసే పద్ధతుల్లో ఒకటి రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ.
రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ అనేది రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ఉత్పన్నం, దీని సహాయంతో యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్ (ఫలితం లక్షణం) యొక్క సగటు విలువ మరొక (లేదా ఇతర) వేరియబుల్స్ (కారకం-గుణాలు) తెలిసినట్లయితే కనుగొనబడుతుంది. ఇది క్రింది దశలను కలిగి ఉంటుంది:

1. కనెక్షన్ రూపం యొక్క ఎంపిక (విశ్లేషణాత్మక రిగ్రెషన్ సమీకరణం రకం);
2. సమీకరణ పారామితుల అంచనా;
3. విశ్లేషణాత్మక రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడం.

చాలా తరచుగా, లక్షణాల యొక్క గణాంక సంబంధాన్ని వివరించడానికి సరళ రూపం ఉపయోగించబడుతుంది. సరళ సంబంధాలపై దృష్టి అనేది దాని పారామితుల యొక్క స్పష్టమైన ఆర్థిక వివరణ, వేరియబుల్స్ యొక్క పరిమిత వైవిధ్యం మరియు చాలా సందర్భాలలో నాన్ లీనియర్ సంబంధాల రూపాలు (లాగరిథమ్ లేదా వేరియబుల్స్ ప్రత్యామ్నాయం ద్వారా) గణనలను నిర్వహించడానికి సరళ రూపంలోకి మార్చబడతాయి. .
లీనియర్ పెయిర్‌వైస్ రిలేషన్‌షిప్ విషయంలో, రిగ్రెషన్ సమీకరణం రూపాన్ని తీసుకుంటుంది: y i =a+b·x i +u i . ఈ సమీకరణం యొక్క a మరియు b పారామితులు గణాంక పరిశీలన డేటా x మరియు y నుండి అంచనా వేయబడ్డాయి. అటువంటి అంచనా యొక్క ఫలితం సమీకరణం: , ఇక్కడ , పారామితులు a మరియు b యొక్క అంచనాలు , రిగ్రెషన్ సమీకరణం (గణన విలువ) నుండి పొందిన ఫలిత లక్షణం (వేరియబుల్) యొక్క విలువ.

చాలా తరచుగా పారామితులను అంచనా వేయడానికి ఉపయోగిస్తారు కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి (LSM).
తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల యొక్క ఉత్తమ (స్థిరమైన, సమర్థవంతమైన మరియు నిష్పాక్షికమైన) అంచనాలను అందిస్తుంది. కానీ యాదృచ్ఛిక పదం (u) మరియు ఇండిపెండెంట్ వేరియబుల్ (x) లకు సంబంధించి కొన్ని అంచనాలు కలిసినట్లయితే మాత్రమే (OLS అంచనాలను చూడండి).

అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించి సరళ జత సమీకరణం యొక్క పారామితులను అంచనా వేయడంలో సమస్యఈ క్రింది విధంగా ఉంది: అటువంటి పారామితుల అంచనాలను పొందేందుకు , , గణించిన విలువల నుండి y i - ఫలిత లక్షణం యొక్క వాస్తవ విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం కనిష్టంగా ఉంటుంది.
అధికారికంగా OLS పరీక్షఇలా వ్రాయవచ్చు: .

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతుల వర్గీకరణ

1. తక్కువ చదరపు పద్ధతి.
2. గరిష్ట సంభావ్యత పద్ధతి (సాధారణ క్లాసికల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్ కోసం, రిగ్రెషన్ అవశేషాల సాధారణత సూచించబడుతుంది).
3. లోపాల యొక్క ఆటోకోరిలేషన్ విషయంలో మరియు హెటెరోసెడాస్టిసిటీ విషయంలో సాధారణీకరించిన మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ OLS పద్ధతి ఉపయోగించబడుతుంది.
4. వెయిటెడ్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ (హెటెరోసెడాస్టిక్ రెసిడ్యూల్స్‌తో OLS యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం).

విషయాన్ని ఉదహరించుకుందాం క్లాసికల్ మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ గ్రాఫికల్. దీన్ని చేయడానికి, మేము దీర్ఘచతురస్రాకార కోఆర్డినేట్ సిస్టమ్‌లో పరిశీలనాత్మక డేటా (x i, y i, i=1;n) ఆధారంగా స్కాటర్ ప్లాట్‌ను నిర్మిస్తాము (అటువంటి స్కాటర్ ప్లాట్‌ను కోరిలేషన్ ఫీల్డ్ అంటారు). సహసంబంధ ఫీల్డ్ యొక్క పాయింట్లకు దగ్గరగా ఉండే సరళ రేఖను ఎంచుకోవడానికి ప్రయత్నిద్దాం. అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ప్రకారం, సహసంబంధ ఫీల్డ్ మరియు ఈ రేఖ యొక్క పాయింట్ల మధ్య నిలువు దూరాల చతురస్రాల మొత్తం తక్కువగా ఉండేలా లైన్ ఎంచుకోబడుతుంది.

ఈ సమస్యకు గణిత సంజ్ఞామానం: .
y i మరియు x i =1...n విలువలు మనకు తెలుసు; ఇవి పరిశీలనాత్మక డేటా. S ఫంక్షన్‌లో అవి స్థిరాంకాలను సూచిస్తాయి. ఈ ఫంక్షన్‌లోని వేరియబుల్స్ పారామితుల యొక్క అవసరమైన అంచనాలు - , . రెండు వేరియబుల్స్ యొక్క కనిష్ట ఫంక్షన్‌ను కనుగొనడానికి, ప్రతి పారామితులకు ఈ ఫంక్షన్ యొక్క పాక్షిక ఉత్పన్నాలను లెక్కించడం మరియు వాటిని సున్నాకి సమం చేయడం అవసరం, అనగా. .
ఫలితంగా, మేము 2 సాధారణ సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము:
ఈ వ్యవస్థను పరిష్కరిస్తూ, మేము అవసరమైన పరామితి అంచనాలను కనుగొంటాము:

రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క పారామితుల గణన యొక్క ఖచ్చితత్వాన్ని మొత్తాలను పోల్చడం ద్వారా తనిఖీ చేయవచ్చు (గణనలను చుట్టుముట్టడం వలన కొంత వ్యత్యాసం ఉండవచ్చు).
పరామితి అంచనాలను లెక్కించేందుకు, మీరు టేబుల్ 1ని రూపొందించవచ్చు.
రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b యొక్క సంకేతం సంబంధం యొక్క దిశను సూచిస్తుంది (b >0 అయితే, సంబంధం ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది, అయితే b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
అధికారికంగా, పరామితి a విలువ సున్నాకి సమానమైన xతో y యొక్క సగటు విలువ. లక్షణం-కారకం సున్నా విలువను కలిగి ఉండకపోతే మరియు కలిగి ఉండకపోతే, పారామీటర్ a యొక్క పై వివరణ అర్ధవంతం కాదు.

లక్షణాల మధ్య సంబంధం యొక్క సామీప్యాన్ని అంచనా వేయడం లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ ఉపయోగించి నిర్వహించబడుతుంది - r x,y. దీనిని ఫార్ములా ఉపయోగించి లెక్కించవచ్చు: . అదనంగా, లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ b ద్వారా నిర్ణయించబడుతుంది: .
లీనియర్ పెయిర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ఆమోదయోగ్యమైన విలువల పరిధి –1 నుండి +1 వరకు ఉంటుంది. సహసంబంధ గుణకం యొక్క సంకేతం సంబంధం యొక్క దిశను సూచిస్తుంది. r x, y >0 అయితే, కనెక్షన్ ప్రత్యక్షంగా ఉంటుంది; r x అయితే, y<0, то связь обратная.
ఈ గుణకం పరిమాణంలో ఐక్యతకు దగ్గరగా ఉంటే, లక్షణాల మధ్య సంబంధాన్ని చాలా దగ్గరి సరళంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. దాని మాడ్యూల్ ఒక ê r x , y ê =1కి సమానం అయితే, లక్షణాల మధ్య సంబంధం ఫంక్షనల్ లీనియర్‌గా ఉంటుంది. x మరియు y లక్షణాలు సరళంగా స్వతంత్రంగా ఉంటే, అప్పుడు r x,y 0కి దగ్గరగా ఉంటుంది.
r x,yని లెక్కించడానికి, మీరు టేబుల్ 1ని కూడా ఉపయోగించవచ్చు.

టేబుల్ 1

N పరిశీలనలు	x i	y i	x i ∙y i
1	x 1	y 1	x 1 y 1
2	x 2	y 2	x 2 y 2
...
n	x n	y n	x n y n
కాలమ్ సమ్	∑x	∑y	∑xy
సగటు విలువ

ఫలిత రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి, సైద్ధాంతిక గుణకం నిర్ధారణను లెక్కించండి - R 2 yx:

,
ఇక్కడ d 2 అనేది రిగ్రెషన్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడిన y యొక్క వైవిధ్యం;
ఇ 2 - y యొక్క అవశేష (రిగ్రెషన్ సమీకరణం ద్వారా వివరించబడలేదు) వైవిధ్యం;
s 2 y - y యొక్క మొత్తం (మొత్తం) భేదం.
నిర్ణయ గుణకం మొత్తం వైవిధ్యం (డిస్పర్షన్) y లో రిగ్రెషన్ (మరియు, తత్ఫలితంగా, కారకం x) ద్వారా వివరించబడిన ఫలిత లక్షణం y యొక్క వైవిధ్యం (డిస్పర్షన్) నిష్పత్తిని వర్గీకరిస్తుంది. R 2 yx నిర్ధారణ గుణకం 0 నుండి 1 వరకు విలువలను తీసుకుంటుంది. తదనుగుణంగా, 1-R 2 yx విలువ మోడల్ మరియు స్పెసిఫికేషన్ లోపాలలో పరిగణనలోకి తీసుకోని ఇతర కారకాల ప్రభావం వల్ల ఏర్పడే వైవిధ్యం యొక్క నిష్పత్తిని వర్ణిస్తుంది.
జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్‌తో, R 2 yx =r 2 yx.

ఇది దాని పారామితుల యొక్క స్పష్టమైన ఆర్థిక వివరణ రూపంలో ఎకనామెట్రిక్స్‌లో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతుంది.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ రూపం యొక్క సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి వస్తుంది

లేదా

రూపం యొక్క సమీకరణం పేర్కొన్న పరామితి విలువల ఆధారంగా అనుమతిస్తుంది Xఫలిత లక్షణం యొక్క సైద్ధాంతిక విలువలను కలిగి ఉంటుంది, దానిలో కారకం యొక్క వాస్తవ విలువలను భర్తీ చేస్తుంది X.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ నిర్మాణం దాని పారామితులను అంచనా వేయడానికి వస్తుంది - ఎమరియు వి.వివిధ పద్ధతులను ఉపయోగించి లీనియర్ రిగ్రెషన్ పరామితి అంచనాలను కనుగొనవచ్చు.

లీనియర్ రిగ్రెషన్ పారామితులను అంచనా వేయడానికి శాస్త్రీయ విధానం ఆధారపడి ఉంటుంది కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి(MNC).

కనీసం చతురస్రాల పద్ధతి అటువంటి పారామితి అంచనాలను పొందటానికి అనుమతిస్తుంది ఎమరియు V,ఫలిత లక్షణం యొక్క వాస్తవ విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం (y)లెక్కించిన (సైద్ధాంతిక) నుండి కనిష్ట:

ఫంక్షన్ యొక్క కనిష్టాన్ని కనుగొనడానికి, మీరు ప్రతి పారామితులకు పాక్షిక ఉత్పన్నాలను లెక్కించాలి ఎమరియు బిమరియు వాటిని సున్నాకి సమానంగా సెట్ చేయండి.

సూచిస్తాం S ద్వారా, అప్పుడు:

సూత్రాన్ని మార్చడం, మేము పారామితులను అంచనా వేయడానికి క్రింది సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థను పొందుతాము ఎమరియు వి:

సాధారణ సమీకరణాల వ్యవస్థను (3.5) పరిష్కరించడం ద్వారా వేరియబుల్స్ సీక్వెన్షియల్ ఎలిమినేషన్ పద్ధతి ద్వారా లేదా డిటర్మినేంట్‌ల పద్ధతి ద్వారా, మేము పారామితుల యొక్క అవసరమైన అంచనాలను కనుగొంటాము ఎమరియు వి.

పరామితి విరిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ అని పిలుస్తారు. దీని విలువ ఒక యూనిట్ ద్వారా కారకంలో మార్పుతో ఫలితంగా సగటు మార్పును చూపుతుంది.

రిగ్రెషన్ సమీకరణం ఎల్లప్పుడూ కనెక్షన్ యొక్క సామీప్యత యొక్క సూచికతో అనుబంధంగా ఉంటుంది. లీనియర్ రిగ్రెషన్ ఉపయోగిస్తున్నప్పుడు, అటువంటి సూచిక లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్. లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ ఫార్ములా యొక్క విభిన్న మార్పులు ఉన్నాయి. వాటిలో కొన్ని క్రింద ఇవ్వబడ్డాయి:

తెలిసినట్లుగా, లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ పరిమితుల్లో ఉంటుంది: -1 ≤ ≤ 1.

లీనియర్ ఫంక్షన్ ఎంపిక నాణ్యతను అంచనా వేయడానికి, స్క్వేర్ లెక్కించబడుతుంది

లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ అంటారు నిర్ణయం యొక్క గుణకం.నిర్ణయం యొక్క గుణకం ఫలిత లక్షణం యొక్క వైవిధ్యం యొక్క నిష్పత్తిని వర్గీకరిస్తుంది y,రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడింది, ఫలిత లక్షణం యొక్క మొత్తం వ్యత్యాసంలో:

దీని ప్రకారం, విలువ 1 వ్యత్యాసం యొక్క వాటాను వర్ణిస్తుంది y,మోడల్‌లో పరిగణనలోకి తీసుకోని ఇతర కారకాల ప్రభావం వల్ల కలుగుతుంది.

స్వీయ నియంత్రణ కోసం ప్రశ్నలు

1. అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క సారాంశం?

2. పెయిర్‌వైస్ రిగ్రెషన్ ఎన్ని వేరియబుల్స్ అందిస్తుంది?

3. మార్పుల మధ్య కనెక్షన్ యొక్క సన్నిహితతను ఏ గుణకం నిర్ణయిస్తుంది?

4. ఏ పరిమితుల్లో నిర్ణయం యొక్క గుణకం నిర్ణయించబడుతుంది?

5. సహసంబంధ-రిగ్రెషన్ విశ్లేషణలో పరామితి b అంచనా?

1. క్రిస్టోఫర్ డౌగెర్టీ. ఎకనామెట్రిక్స్ పరిచయం. - M.: INFRA - M, 2001 - 402 p.

2. S.A. బోరోడిచ్. ఎకనామెట్రిక్స్. మిన్స్క్ LLC "న్యూ నాలెడ్జ్" 2001.

3. R.U. రఖ్మెటోవా ఎకనామెట్రిక్స్‌లో చిన్న కోర్సు. ట్యుటోరియల్. ఆల్మటీ. 2004. -78p.

4. I.I. ఎకనోమెట్రిక్స్. - M.: “ఫైనాన్స్ అండ్ స్టాటిస్టిక్స్”, 2002

5. నెలవారీ సమాచారం మరియు విశ్లేషణాత్మక పత్రిక.

నాన్ లీనియర్ ఆర్థిక నమూనాలు. నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్స్. వేరియబుల్స్ యొక్క రూపాంతరం.

నాన్ లీనియర్ ఎకనామిక్ మోడల్స్..

వేరియబుల్స్ యొక్క రూపాంతరం.

స్థితిస్థాపకత గుణకం.

ఆర్థిక దృగ్విషయాల మధ్య నాన్ లీనియర్ సంబంధాలు ఉన్నట్లయితే, అవి సంబంధిత నాన్ లీనియర్ ఫంక్షన్లను ఉపయోగించి వ్యక్తీకరించబడతాయి: ఉదాహరణకు, ఒక సమబాహు హైపర్బోలా , రెండవ డిగ్రీ యొక్క పారాబొలాస్ మరియు మొదలైనవి

నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్స్‌లో రెండు తరగతులు ఉన్నాయి:

1. విశ్లేషణలో చేర్చబడిన వివరణాత్మక వేరియబుల్స్‌కు సంబంధించి నాన్‌లీనియర్‌గా ఉండే రిగ్రెషన్‌లు, కానీ అంచనా వేసిన పారామితులకు సంబంధించి సరళంగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు:

వివిధ డిగ్రీల బహుపదాలు - , ;

ఈక్విలేటరల్ హైపర్బోలా - ;

సెమిలోగారిథమిక్ ఫంక్షన్ - .

2. అంచనా వేయబడుతున్న పారామితులలో నాన్ లీనియర్ రిగ్రెషన్‌లు, ఉదాహరణకు:

శక్తి - ;

ప్రదర్శన - ;

ఘాతాంకం - .

ఫలిత లక్షణం యొక్క వ్యక్తిగత విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం వద్దసగటు విలువ నుండి అనేక కారణాల ప్రభావం ఏర్పడుతుంది. మొత్తం కారణాలను షరతులతో రెండు గ్రూపులుగా విభజిద్దాం: అధ్యయనం కింద కారకం xమరియు ఇతర కారకాలు.

కారకం ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయకపోతే, గ్రాఫ్‌లోని రిగ్రెషన్ లైన్ అక్షానికి సమాంతరంగా ఉంటుంది ఓహ్మరియు

అప్పుడు ఫలిత లక్షణం యొక్క మొత్తం వైవిధ్యం ఇతర కారకాల ప్రభావం కారణంగా ఉంటుంది మరియు స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం అవశేషంతో సమానంగా ఉంటుంది. ఇతర కారకాలు ఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయకపోతే, అప్పుడు వై కట్టారుతో Xక్రియాత్మకంగా మరియు చతురస్రాల అవశేష మొత్తం సున్నా. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్క్వేర్‌ల మొత్తం మొత్తానికి సమానంగా ఉంటుంది.

సహసంబంధ ఫీల్డ్ యొక్క అన్ని పాయింట్లు రిగ్రెషన్ లైన్‌పై ఉండవు కాబట్టి, వాటి స్కాటర్ ఎల్లప్పుడూ కారకం యొక్క ప్రభావం ఫలితంగా సంభవిస్తుంది. X, అంటే తిరోగమనం వద్దద్వారా X,మరియు ఇతర కారణాల వల్ల (వివరించలేని వైవిధ్యం). అంచనా కోసం రిగ్రెషన్ లైన్ యొక్క అనుకూలత లక్షణం యొక్క మొత్తం వైవిధ్యంలో ఏ భాగంపై ఆధారపడి ఉంటుంది వద్దవివరించిన వైవిధ్యానికి ఖాతాలు

సహజంగానే, రిగ్రెషన్ కారణంగా స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్క్వేర్‌ల అవశేష మొత్తం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే, రిగ్రెషన్ సమీకరణం గణాంకపరంగా ముఖ్యమైనది మరియు కారకం Xఫలితంపై గణనీయమైన ప్రభావం చూపుతుంది u.

, అనగా, ఒక లక్షణం యొక్క స్వతంత్ర వైవిధ్యం యొక్క స్వేచ్ఛ సంఖ్యతో. స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య జనాభా n యొక్క యూనిట్ల సంఖ్య మరియు దాని నుండి నిర్ణయించబడిన స్థిరాంకాల సంఖ్యకు సంబంధించినది. అధ్యయనంలో ఉన్న సమస్యకు సంబంధించి, స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య ఎన్ని స్వతంత్ర విచలనాలను చూపాలి పి

మొత్తంగా రిగ్రెషన్ సమీకరణం యొక్క ప్రాముఖ్యత యొక్క అంచనాను ఉపయోగించి ఇవ్వబడింది ఎఫ్- ఫిషర్ ప్రమాణం. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ సున్నాకి సమానం అని శూన్య పరికల్పన ముందుకు తీసుకురాబడింది, అనగా. b = 0, అందువలన కారకం Xఫలితాన్ని ప్రభావితం చేయదు u.

F-పరీక్ష యొక్క తక్షణ గణన వైవిధ్యం యొక్క విశ్లేషణ ద్వారా ముందుగా ఉంటుంది. వేరియబుల్ యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం కుళ్ళిపోవడం ద్వారా దానిలోని కేంద్ర స్థానం ఆక్రమించబడింది వద్దసగటు విలువ నుండి వద్దరెండు భాగాలుగా - "వివరించబడినవి" మరియు "వివరించబడనివి":

- స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం మొత్తం;

- రిగ్రెషన్ ద్వారా వివరించబడిన స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం;

- స్క్వేర్డ్ విచలనాల అవశేష మొత్తం.

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యకు సంబంధించినది , అనగా, ఒక లక్షణం యొక్క స్వతంత్ర వైవిధ్యం యొక్క స్వేచ్ఛ సంఖ్యతో. స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య జనాభా యూనిట్ల సంఖ్యకు సంబంధించినది nమరియు దాని నుండి నిర్ణయించబడిన స్థిరాంకాల సంఖ్యతో. అధ్యయనంలో ఉన్న సమస్యకు సంబంధించి, స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీల సంఖ్య ఎన్ని స్వతంత్ర విచలనాలను చూపాలి పిఇచ్చిన చతురస్రాల మొత్తాన్ని ఏర్పరచడం సాధ్యమవుతుంది.

స్వేచ్ఛ యొక్క డిగ్రీకి వ్యాప్తిడి.

F-నిష్పత్తులు (F-పరీక్ష):

శూన్య పరికల్పన నిజమైతే, అప్పుడు కారకం మరియు అవశేష వ్యత్యాసాలు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉండవు. H 0 కోసం, కారకం వ్యాప్తి అవశేష వ్యాప్తిని అనేక సార్లు మించిపోయేలా తిరస్కరించడం అవసరం. ఆంగ్ల గణాంకవేత్త స్నెడెకోర్ క్లిష్టమైన విలువల పట్టికలను అభివృద్ధి చేశారు ఎఫ్శూన్య పరికల్పన యొక్క వివిధ స్థాయిల ప్రాముఖ్యత మరియు వివిధ స్థాయిల స్వేచ్ఛలో సంబంధాలు. పట్టిక విలువ ఎఫ్-క్రైటీరియన్ అనేది శూన్య పరికల్పన యొక్క ఉనికి యొక్క సంభావ్యత యొక్క ఇచ్చిన స్థాయికి యాదృచ్ఛిక విభేదం విషయంలో సంభవించే వ్యత్యాసాల నిష్పత్తి యొక్క గరిష్ట విలువ. లెక్కించిన విలువ ఎఫ్ o పట్టిక కంటే ఎక్కువగా ఉంటే సంబంధాలు నమ్మదగినవిగా పరిగణించబడతాయి.

ఈ సందర్భంలో, సంకేతాల మధ్య సంబంధం లేకపోవడం గురించి శూన్య పరికల్పన తిరస్కరించబడుతుంది మరియు ఈ సంబంధం యొక్క ప్రాముఖ్యత గురించి ఒక తీర్మానం చేయబడుతుంది: F వాస్తవం > F పట్టిక H 0 తిరస్కరించబడింది.

విలువ పట్టికలో కంటే తక్కువగా ఉంటే F వాస్తవం ‹, F పట్టిక, అప్పుడు శూన్య పరికల్పన యొక్క సంభావ్యత పేర్కొన్న స్థాయి కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు సంబంధం యొక్క ఉనికి గురించి తప్పు నిర్ధారణకు వచ్చే తీవ్రమైన ప్రమాదం లేకుండా తిరస్కరించబడదు. ఈ సందర్భంలో, రిగ్రెషన్ సమీకరణం గణాంకపరంగా చాలా తక్కువగా పరిగణించబడుతుంది. కానీ అతను తప్పుకోడు.

రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రామాణిక లోపం

రిగ్రెషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రాముఖ్యతను అంచనా వేయడానికి, దాని విలువ దాని ప్రామాణిక లోపంతో పోల్చబడుతుంది, అనగా వాస్తవ విలువ నిర్ణయించబడుతుంది. t-విద్యార్థుల పరీక్ష: ఒక నిర్దిష్ట ప్రాముఖ్యత స్థాయి మరియు స్వేచ్ఛ డిగ్రీల సంఖ్యలో పట్టిక విలువతో పోల్చబడుతుంది ( n- 2).

ప్రామాణిక పరామితి లోపం ఎ:

లీనియర్ కోరిలేషన్ కోఎఫీషియంట్ యొక్క ప్రాముఖ్యత లోపం యొక్క పరిమాణం ఆధారంగా తనిఖీ చేయబడుతుంది సహసంబంధ గుణకం t r:

మొత్తం లక్షణ వైవిధ్యం X:

మల్టిపుల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్

మోడల్ భవనం

బహుళ తిరోగమనంరెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కారకాలతో ప్రభావవంతమైన లక్షణం యొక్క తిరోగమనాన్ని సూచిస్తుంది, అనగా రూపం యొక్క నమూనా

అధ్యయన వస్తువును ప్రభావితం చేసే ఇతర కారకాల ప్రభావాన్ని నిర్లక్ష్యం చేయగలిగితే మోడలింగ్‌లో తిరోగమనం మంచి ఫలితాలను ఇస్తుంది. వ్యక్తిగత ఆర్థిక వేరియబుల్స్ యొక్క ప్రవర్తన నియంత్రించబడదు, అనగా అధ్యయనంలో ఉన్న ఒక కారకం యొక్క ప్రభావాన్ని అంచనా వేయడానికి అన్ని ఇతర పరిస్థితుల సమానత్వాన్ని నిర్ధారించడం సాధ్యం కాదు. ఈ సందర్భంలో, మీరు వాటిని మోడల్‌లో ప్రవేశపెట్టడం ద్వారా ఇతర కారకాల ప్రభావాన్ని గుర్తించడానికి ప్రయత్నించాలి, అనగా, బహుళ రిగ్రెషన్ సమీకరణాన్ని రూపొందించండి: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .

మల్టిపుల్ రిగ్రెషన్ యొక్క ప్రధాన లక్ష్యం పెద్ద సంఖ్యలో కారకాలతో ఒక మోడల్‌ను రూపొందించడం, అయితే వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి విడిగా ప్రభావాన్ని నిర్ణయించడం, అలాగే మోడల్ చేసిన సూచికపై వాటి మిశ్రమ ప్రభావాన్ని నిర్ణయించడం. మోడల్ స్పెసిఫికేషన్‌లో రెండు రకాల సమస్యలు ఉన్నాయి: కారకాల ఎంపిక మరియు రిగ్రెషన్ సమీకరణ రకం ఎంపిక

తక్కువ చదరపు పద్ధతి

తక్కువ చతురస్ర పద్ధతి ( OLS, OLS, ఆర్డినరీ లీస్ట్ స్క్వేర్‌లు) - నమూనా డేటాను ఉపయోగించి రిగ్రెషన్ నమూనాల యొక్క తెలియని పారామితులను అంచనా వేయడానికి రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ యొక్క ప్రాథమిక పద్ధతుల్లో ఒకటి. రిగ్రెషన్ అవశేషాల స్క్వేర్‌ల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించడంపై పద్ధతి ఆధారపడి ఉంటుంది.

అవసరమైన వేరియబుల్స్‌లోని కొన్ని ఫంక్షన్‌ల స్క్వేర్‌ల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించడానికి పరిష్కారం లేదా కొన్ని ప్రమాణాలను సంతృప్తి పరచినట్లయితే, ఏదైనా ప్రాంతంలోని సమస్యను పరిష్కరించడానికి అతి తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఒక పద్ధతిగా పిలవవచ్చని గమనించాలి. అందువల్ల, సమీకరణాలు లేదా పరిమితులను సంతృప్తిపరిచే పరిమాణాల సమితిని కనుగొనేటప్పుడు, ఈ పరిమాణాల సంఖ్యను మించిన పరిమాణాల సమితిని కనుగొన్నప్పుడు, ఇతర (సరళమైన) ఫంక్షన్‌ల ద్వారా ఇవ్వబడిన ఫంక్షన్ యొక్క ఉజ్జాయింపు ప్రాతినిధ్యం (ఉజ్జాయింపు) కోసం కూడా తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతిని ఉపయోగించవచ్చు. , మొదలైనవి

MNC యొక్క సారాంశం

(వివరించిన) వేరియబుల్ మధ్య సంభావ్య (రిగ్రెషన్) సంబంధం యొక్క కొన్ని (పారామెట్రిక్) నమూనాను ఇవ్వనివ్వండి వైమరియు అనేక అంశాలు (వివరణాత్మక వేరియబుల్స్) x

తెలియని మోడల్ పారామితుల వెక్టర్ ఎక్కడ ఉంది

- యాదృచ్ఛిక మోడల్ లోపం.

ఈ వేరియబుల్స్ విలువల నమూనా పరిశీలనలు కూడా ఉండనివ్వండి. పరిశీలన సంఖ్య ()గా ఉండనివ్వండి. అప్పుడు వ పరిశీలనలో వేరియబుల్స్ విలువలు ఉంటాయి. అప్పుడు, పారామితులు b యొక్క ఇచ్చిన విలువల కోసం, వివరించిన వేరియబుల్ y యొక్క సైద్ధాంతిక (నమూనా) విలువలను లెక్కించడం సాధ్యమవుతుంది:

అవశేషాల పరిమాణం b పారామితుల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

మినిస్ట్ స్క్వేర్స్ మెథడ్ (సాధారణ, క్లాసికల్) యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, b అనే పారామితులను కనుగొనడం, దీని కోసం అవశేషాల చతురస్రాల మొత్తం (eng. చతురస్రాల అవశేష మొత్తం) కనిష్టంగా ఉంటుంది:

సాధారణ సందర్భంలో, ఈ సమస్య సంఖ్యాపరమైన ఆప్టిమైజేషన్ (కనిష్టీకరణ) పద్ధతుల ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది. ఈ సందర్భంలో, వారు మాట్లాడతారు నాన్ లీనియర్ కనిష్ట చతురస్రాలు(NLS లేదా NLLS - ఇంగ్లీష్) నాన్-లీనియర్ లీస్ట్ స్క్వేర్స్) అనేక సందర్భాల్లో విశ్లేషణాత్మక పరిష్కారాన్ని పొందడం సాధ్యమవుతుంది. కనిష్టీకరణ సమస్యను పరిష్కరించడానికి, తెలియని పారామితులు b, ఉత్పన్నాలను సున్నాకి సమం చేయడం మరియు ఫలిత సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడం ద్వారా ఫంక్షన్ యొక్క స్థిర బిందువులను కనుగొనడం అవసరం:

మోడల్ యొక్క యాదృచ్ఛిక లోపాలు సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడితే, అదే వ్యత్యాసాన్ని కలిగి ఉంటే మరియు పరస్పర సంబంధం లేనివి అయితే, OLS పరామితి అంచనాలు గరిష్ట సంభావ్యత అంచనాలు (MLM) వలె ఉంటాయి.

లీనియర్ మోడల్ విషయంలో OLS

రిగ్రెషన్ డిపెండెన్స్ సరళంగా ఉండనివ్వండి:

వీలు వైవివరించిన వేరియబుల్ యొక్క పరిశీలనల కాలమ్ వెక్టర్, మరియు కారకం పరిశీలనల మాతృక (మాతృక యొక్క వరుసలు ఇచ్చిన పరిశీలనలో కారకం విలువల వెక్టర్‌లు, నిలువు వరుసలు ఇచ్చిన కారకం యొక్క విలువల వెక్టర్ అన్ని పరిశీలనలలో). లీనియర్ మోడల్ యొక్క మాతృక ప్రాతినిధ్యం:

అప్పుడు వివరించిన వేరియబుల్ యొక్క అంచనాల వెక్టర్ మరియు రిగ్రెషన్ అవశేషాల వెక్టర్ సమానంగా ఉంటాయి

దీని ప్రకారం, రిగ్రెషన్ అవశేషాల స్క్వేర్‌ల మొత్తం సమానంగా ఉంటుంది

పారామితుల వెక్టార్‌కు సంబంధించి ఈ ఫంక్షన్‌ను వేరు చేయడం మరియు ఉత్పన్నాలను సున్నాకి సమం చేయడం, మేము సమీకరణాల వ్యవస్థను (మ్యాట్రిక్స్ రూపంలో) పొందుతాము:

.

ఈ సమీకరణాల వ్యవస్థ యొక్క పరిష్కారం సరళ నమూనా కోసం కనీసం చతురస్రాల అంచనాల కోసం సాధారణ సూత్రాన్ని ఇస్తుంది:

విశ్లేషణాత్మక ప్రయోజనాల కోసం, ఈ ఫార్ములా యొక్క చివరి ప్రాతినిధ్యం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. రిగ్రెషన్ మోడల్‌లో ఉంటే డేటా కేంద్రీకృతమై, అప్పుడు ఈ ప్రాతినిధ్యంలో మొదటి మాత్రిక కారకాల యొక్క నమూనా కోవియారిన్స్ మాతృక యొక్క అర్ధాన్ని కలిగి ఉంటుంది మరియు రెండవది డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌తో కారకాల యొక్క కోవియారిన్స్ యొక్క వెక్టర్. అదనంగా డేటా కూడా ఉంటే సాధారణీకరించబడింది MSEకి (అంటే, చివరికి ప్రమాణీకరించబడింది), అప్పుడు మొదటి మాత్రిక కారకాల యొక్క నమూనా సహసంబంధ మాతృక యొక్క అర్ధాన్ని కలిగి ఉంటుంది, రెండవ వెక్టర్ - డిపెండెంట్ వేరియబుల్‌తో కారకాల నమూనా సహసంబంధాల వెక్టర్.

మోడల్‌ల కోసం OLS అంచనాల యొక్క ముఖ్యమైన ఆస్తి స్థిరంగా- నిర్మించిన రిగ్రెషన్ యొక్క లైన్ నమూనా డేటా యొక్క గురుత్వాకర్షణ కేంద్రం గుండా వెళుతుంది, అంటే సమానత్వం సంతృప్తి చెందుతుంది:

ప్రత్యేకించి, విపరీతమైన సందర్భంలో, ఒకే రిగ్రెసర్ స్థిరంగా ఉన్నప్పుడు, ఒకే పరామితి యొక్క OLS అంచనా (స్థిరం స్వయంగా) వివరించిన వేరియబుల్ యొక్క సగటు విలువకు సమానంగా ఉంటుందని మేము కనుగొన్నాము. అంటే, పెద్ద సంఖ్యల చట్టాల నుండి దాని మంచి లక్షణాలకు ప్రసిద్ధి చెందిన అంకగణిత సగటు, కనీసం స్క్వేర్‌ల అంచనా కూడా - ఇది దాని నుండి స్క్వేర్డ్ విచలనాల కనీస మొత్తం యొక్క ప్రమాణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

ఉదాహరణ: సరళమైన (జతగా) రిగ్రెషన్

జత చేసిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ విషయంలో, గణన సూత్రాలు సరళీకృతం చేయబడతాయి (మీరు మ్యాట్రిక్స్ ఆల్జీబ్రా లేకుండా చేయవచ్చు):

OLS అంచనాదారుల లక్షణాలు

అన్నింటిలో మొదటిది, సరళ నమూనాల కోసం, OLS అంచనాలు పై సూత్రం నుండి క్రింది విధంగా సరళ అంచనాలు అని మేము గమనించాము. నిష్పాక్షికమైన OLS అంచనాల కోసం, రిగ్రెషన్ విశ్లేషణ యొక్క అతి ముఖ్యమైన షరతును నెరవేర్చడం అవసరం మరియు సరిపోతుంది: యాదృచ్ఛిక లోపం యొక్క గణిత అంచనా, కారకాలపై షరతులతో కూడినది, తప్పనిసరిగా సున్నాకి సమానంగా ఉండాలి. ఈ పరిస్థితి, ముఖ్యంగా, సంతృప్తి చెందుతుంది

1. యాదృచ్ఛిక దోషాల యొక్క గణిత అంచనా సున్నా, మరియు
2. కారకాలు మరియు యాదృచ్ఛిక లోపాలు స్వతంత్ర యాదృచ్ఛిక వేరియబుల్స్.

రెండవ షరతు - కారకాల యొక్క బాహ్యతత్వ స్థితి - ప్రాథమికమైనది. ఈ ఆస్తిని అందుకోకపోతే, దాదాపు ఏవైనా అంచనాలు చాలా అసంతృప్తికరంగా ఉంటాయని మేము అనుకోవచ్చు: అవి కూడా స్థిరంగా ఉండవు (అనగా, చాలా పెద్ద మొత్తంలో డేటా కూడా ఈ సందర్భంలో అధిక-నాణ్యత అంచనాలను పొందేందుకు అనుమతించదు. ) సాంప్రదాయిక సందర్భంలో, యాదృచ్ఛిక లోపానికి విరుద్ధంగా కారకాల యొక్క నిర్ణయాత్మకత గురించి బలమైన ఊహ చేయబడుతుంది, దీని అర్థం స్వయంచాలకంగా ఎక్సోజెనిటీ పరిస్థితి నెరవేరుతుంది. సాధారణ సందర్భంలో, అంచనాల అనుగుణ్యత కోసం, నమూనా పరిమాణం అనంతం వరకు పెరిగేకొద్దీ మాతృక కొన్ని ఏకవచనం కాని మాత్రికకు సమ్మేళనంతో పాటు ఎక్సోజెనిటీ స్థితిని సంతృప్తిపరచడం సరిపోతుంది.

స్థిరత్వం మరియు నిష్పాక్షికతతో పాటుగా, (సాధారణ) కనీసం చతురస్రాల అంచనాలు కూడా ప్రభావవంతంగా ఉండాలంటే (సరళ నిష్పాక్షిక అంచనాల తరగతిలో ఉత్తమమైనవి), యాదృచ్ఛిక లోపం యొక్క అదనపు లక్షణాలను తప్పక కలుసుకోవాలి:

యాదృచ్ఛిక లోపం వెక్టర్ యొక్క కోవియారిన్స్ మాతృక కోసం ఈ అంచనాలను రూపొందించవచ్చు

ఈ పరిస్థితులను సంతృప్తిపరిచే సరళ నమూనా అంటారు క్లాసికల్. క్లాసికల్ లీనియర్ రిగ్రెషన్ కోసం OLS అంచనాలు అన్ని లీనియర్ నిష్పాక్షిక అంచనాల తరగతిలో నిష్పాక్షికమైనవి, స్థిరమైనవి మరియు అత్యంత ప్రభావవంతమైన అంచనాలు (ఇంగ్లీష్ సాహిత్యంలో సంక్షిప్తీకరణ కొన్నిసార్లు ఉపయోగించబడుతుంది. నీలం (బెస్ట్ లీనియర్ అన్‌బేస్డ్ ఎస్టిమేటర్) - ఉత్తమ సరళ నిష్పాక్షిక అంచనా; రష్యన్ సాహిత్యంలో గాస్-మార్కోవ్ సిద్ధాంతం తరచుగా ఉదహరించబడింది). చూపడం సులభం అయినట్లుగా, కోఎఫీషియంట్ అంచనాల వెక్టర్ యొక్క కోవియారిన్స్ మ్యాట్రిక్స్ దీనికి సమానంగా ఉంటుంది:

సాధారణీకరించిన OLS

తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి విస్తృత సాధారణీకరణను అనుమతిస్తుంది. అవశేషాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించడానికి బదులుగా, అవశేషాల వెక్టర్ యొక్క కొన్ని సానుకూల నిర్దిష్ట వర్గ రూపాన్ని తగ్గించవచ్చు, ఇక్కడ కొన్ని సుష్ట ధనాత్మక నిర్దిష్ట బరువు మాతృక ఉంటుంది. సాంప్రదాయ కనీస చతురస్రాలు ఈ విధానం యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం, ఇక్కడ బరువు మాతృక గుర్తింపు మాతృకకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. సిమెట్రిక్ మాత్రికల (లేదా ఆపరేటర్లు) సిద్ధాంతం నుండి తెలిసినట్లుగా, అటువంటి మాత్రికలకు ఒక కుళ్ళిపోవటం ఉంది. పర్యవసానంగా, పేర్కొన్న ఫంక్షనల్‌ని ఈ క్రింది విధంగా సూచించవచ్చు, అంటే, ఈ ఫంక్షనల్‌ని కొన్ని రూపాంతరం చెందిన “మిగిలినవి” యొక్క స్క్వేర్‌ల మొత్తంగా సూచించవచ్చు. ఈ విధంగా, మేము కనీసం చతురస్రాల పద్ధతుల తరగతిని వేరు చేయవచ్చు - LS పద్ధతులు (తక్కువ చతురస్రాలు).

సాధారణీకరించిన లీనియర్ రిగ్రెషన్ మోడల్‌కు (ఇందులో యాదృచ్ఛిక దోషాల కోవియారెన్స్ మ్యాట్రిక్స్‌పై ఎటువంటి పరిమితులు విధించబడవు), అత్యంత ప్రభావవంతమైనవి (లీనియర్ నిష్పాక్షిక అంచనాల తరగతిలో) అంచనాలు అని పిలవబడేవి అని నిరూపించబడింది (ఐట్‌కెన్ సిద్ధాంతం). సాధారణీకరించిన తక్కువ చతురస్రాలు (GLS - సాధారణీకరించిన తక్కువ చతురస్రాలు)- యాదృచ్ఛిక లోపాల యొక్క విలోమ కోవియారిన్స్ మ్యాట్రిక్స్‌కు సమానమైన బరువు మాతృకతో LS పద్ధతి: .

లీనియర్ మోడల్ యొక్క పారామితుల యొక్క GLS అంచనాల ఫార్ములా రూపాన్ని కలిగి ఉందని చూపవచ్చు

ఈ అంచనాల కోవియారిన్స్ మ్యాట్రిక్స్ తదనుగుణంగా సమానంగా ఉంటుంది

వాస్తవానికి, OLS యొక్క సారాంశం అసలు డేటా యొక్క నిర్దిష్ట (సరళ) పరివర్తన (P) మరియు రూపాంతరం చెందిన డేటాకు సాధారణ OLS యొక్క అనువర్తనంలో ఉంటుంది. ఈ రూపాంతరం యొక్క ఉద్దేశ్యం ఏమిటంటే, రూపాంతరం చెందిన డేటా కోసం, యాదృచ్ఛిక లోపాలు ఇప్పటికే శాస్త్రీయ అంచనాలను సంతృప్తిపరుస్తాయి.

బరువున్న OLS

వికర్ణ బరువు మాతృక (అందువలన యాదృచ్ఛిక లోపాల యొక్క కోవియారిన్స్ మాతృక) విషయంలో, మేము వెయిటెడ్ లీస్ట్ స్క్వేర్స్ (WLS) అని పిలవబడే వాటిని కలిగి ఉన్నాము. ఈ సందర్భంలో, మోడల్ అవశేషాల చతురస్రాల బరువు మొత్తం కనిష్టీకరించబడుతుంది, అనగా, ప్రతి పరిశీలన ఈ పరిశీలనలో యాదృచ్ఛిక లోపం యొక్క వ్యత్యాసానికి విలోమానుపాతంలో ఉండే "బరువు"ని పొందుతుంది: . వాస్తవానికి, పరిశీలనలను వెయిటింగ్ చేయడం ద్వారా డేటా రూపాంతరం చెందుతుంది (యాదృచ్ఛిక లోపాల యొక్క అంచనా వేసిన ప్రామాణిక విచలనానికి అనులోమానుపాతంలో ఉన్న మొత్తంతో భాగించడం), మరియు బరువున్న డేటాకు సాధారణ OLS వర్తించబడుతుంది.

MNCని ఆచరణలో ఉపయోగించే కొన్ని ప్రత్యేక సందర్భాలు

సరళ ఆధారపడటం యొక్క ఉజ్జాయింపు

ఒక నిర్దిష్ట స్కేలార్ పరిమాణంపై నిర్దిష్ట స్కేలార్ పరిమాణం యొక్క ఆధారపడటాన్ని అధ్యయనం చేసిన ఫలితంగా (ఇది ప్రస్తుత బలంపై వోల్టేజ్ యొక్క ఆధారపడటం కావచ్చు: , స్థిరమైన విలువ ఎక్కడ ఉంది, నిరోధకత కండక్టర్), ఈ పరిమాణాల కొలతలు జరిగాయి, దీని ఫలితంగా విలువలు మరియు వాటి సంబంధిత విలువలు. కొలత డేటా తప్పనిసరిగా పట్టికలో నమోదు చేయబడాలి.

పట్టిక. కొలత ఫలితాలు.

కొలత నం.
1
2
3
4
5
6

ప్రశ్న: ఆధారపడటాన్ని ఉత్తమంగా వివరించడానికి గుణకం యొక్క ఏ విలువను ఎంచుకోవచ్చు? తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి ప్రకారం, ఈ విలువ విలువల నుండి విలువల యొక్క స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తం ఉండాలి

తక్కువగా ఉంది

స్క్వేర్డ్ విచలనాల మొత్తానికి ఒక ఎక్స్‌ట్రీమ్ ఉంటుంది - కనిష్టంగా, ఇది ఈ ఫార్ములాను ఉపయోగించడానికి అనుమతిస్తుంది. ఈ ఫార్ములా నుండి గుణకం యొక్క విలువను కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మేము దాని ఎడమ వైపున క్రింది విధంగా మారుస్తాము:

చివరి ఫార్ములా గుణకం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి అనుమతిస్తుంది, ఇది సమస్యలో అవసరమైనది.

కథ

19వ శతాబ్దం ప్రారంభం వరకు. తెలియని వారి సంఖ్య సమీకరణాల సంఖ్య కంటే తక్కువగా ఉండే సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి శాస్త్రవేత్తలకు నిర్దిష్ట నియమాలు లేవు; అప్పటి వరకు, సమీకరణాల రకాన్ని మరియు కాలిక్యులేటర్‌ల తెలివిపై ఆధారపడి ఉండే ప్రైవేట్ పద్ధతులు ఉపయోగించబడ్డాయి మరియు అందువల్ల ఒకే పరిశీలనాత్మక డేటా ఆధారంగా వేర్వేరు కాలిక్యులేటర్‌లు వేర్వేరు నిర్ధారణలకు వచ్చాయి. ఈ పద్ధతిని ఉపయోగించిన మొదటి వ్యక్తి గౌస్ (1795), మరియు లెజెండ్రే (1805) స్వతంత్రంగా దాని ఆధునిక పేరుతో (ఫ్రెంచ్. మెథోడ్ డెస్ మోయిండ్రెస్ క్వారేస్ ) . లాప్లేస్ ఈ పద్ధతిని సంభావ్యత సిద్ధాంతానికి సంబంధించింది మరియు అమెరికన్ గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు అడ్రైన్ (1808) దాని సంభావ్యత-సిద్ధాంత అనువర్తనాలను పరిగణించాడు. ఎన్కే, బెస్సెల్, హాన్సెన్ మరియు ఇతరుల తదుపరి పరిశోధనల ద్వారా ఈ పద్ధతి విస్తృతంగా మరియు మెరుగుపరచబడింది.

OLS యొక్క ప్రత్యామ్నాయ ఉపయోగాలు

రిగ్రెషన్ విశ్లేషణకు నేరుగా సంబంధం లేని ఇతర సందర్భాల్లో కూడా తక్కువ చతురస్రాల పద్ధతి యొక్క ఆలోచనను ఉపయోగించవచ్చు. నిజానికి చతురస్రాల మొత్తం వెక్టర్స్ (పరిమిత-డైమెన్షనల్ స్పేస్‌లలో యూక్లిడియన్ మెట్రిక్) కోసం అత్యంత సాధారణ సామీప్య కొలతలలో ఒకటి.

ఒక అప్లికేషన్ అనేది సరళ సమీకరణాల వ్యవస్థల "పరిష్కారం", దీనిలో సమీకరణాల సంఖ్య వేరియబుల్స్ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

ఇక్కడ మాతృక చతురస్రం కాదు, కానీ దీర్ఘచతురస్రాకార పరిమాణంలో ఉంటుంది.

అటువంటి సమీకరణాల వ్యవస్థ, సాధారణ సందర్భంలో, పరిష్కారం లేదు (ర్యాంక్ వాస్తవానికి వేరియబుల్స్ సంఖ్య కంటే ఎక్కువగా ఉంటే). అందువల్ల, వెక్టర్స్ మధ్య "దూరాన్ని" తగ్గించడానికి అటువంటి వెక్టర్‌ను ఎంచుకునే అర్థంలో మాత్రమే ఈ వ్యవస్థ "పరిష్కరించబడుతుంది" మరియు . దీన్ని చేయడానికి, మీరు సిస్టమ్ సమీకరణాల యొక్క ఎడమ మరియు కుడి వైపుల మధ్య వ్యత్యాసాల చతురస్రాల మొత్తాన్ని కనిష్టీకరించే ప్రమాణాన్ని వర్తింపజేయవచ్చు, అనగా. ఈ కనిష్టీకరణ సమస్యను పరిష్కరించడం క్రింది సమీకరణాల వ్యవస్థను పరిష్కరించడానికి దారితీస్తుందని చూపడం సులభం