వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
భిన్నాల జోడింపులో రెండు రకాలు ఉన్నాయి:
- వంటి హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
- విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
ముందుగా, వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపును నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి. ఉదాహరణకు, భిన్నాలు మరియు . న్యూమరేటర్లను జోడించి, హారం మారకుండా ఉంచండి:
నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది:
ఉదాహరణ 2.భిన్నాలను జోడించండి మరియు .
సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలింది. పని ముగింపు వచ్చినప్పుడు, సరికాని భిన్నాలను వదిలించుకోవడం ఆచారం. సరికాని భిన్నాన్ని వదిలించుకోవడానికి, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోవాలి. మా విషయంలో, మొత్తం భాగం సులభంగా వేరుచేయబడుతుంది - రెండు రెండిటితో విభజించబడింది ఒకటి సమానం:
రెండు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జా గురించి మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకి మరింత పిజ్జాని జోడిస్తే, మీకు ఒక మొత్తం పిజ్జా లభిస్తుంది:
ఉదాహరణ 3. భిన్నాలను జోడించండి మరియు .
మళ్ళీ, మేము న్యూమరేటర్లను జోడిస్తాము మరియు హారం మారకుండా వదిలివేస్తాము:
మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జాకు మరింత పిజ్జాను జోడిస్తే, మీరు పిజ్జా పొందుతారు:
ఉదాహరణ 4.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. న్యూమరేటర్లు తప్పనిసరిగా జోడించబడాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి:
డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాలకు పిజ్జాలను జోడించి, మరిన్ని పిజ్జాలను జోడిస్తే, మీరు 1 మొత్తం పిజ్జా మరియు మరిన్ని పిజ్జాలను పొందుతారు.
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:
- అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించాలి మరియు హారం మారకుండా ఉంచాలి;
విభిన్న హారంతో భిన్నాలను కలుపుతోంది
ఇప్పుడు వివిధ హారంలతో భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో తెలుసుకుందాం. భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు, భిన్నాల యొక్క హారం ఒకేలా ఉండాలి. కానీ అవి ఎప్పుడూ ఒకేలా ఉండవు.
ఉదాహరణకు, భిన్నాలను జోడించవచ్చు ఎందుకంటే అవి ఒకే హారం కలిగి ఉంటాయి.
కానీ భిన్నాలు వెంటనే జోడించబడవు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలను తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.
భిన్నాలను ఒకే హారంకు తగ్గించడానికి అనేక మార్గాలు ఉన్నాయి. ఈ రోజు మనం వాటిలో ఒకదాన్ని మాత్రమే పరిశీలిస్తాము, ఎందుకంటే ఇతర పద్ధతులు అనుభవశూన్యుడుకి సంక్లిష్టంగా అనిపించవచ్చు.
ఈ పద్ధతి యొక్క సారాంశం ఏమిటంటే, మొదట రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCM శోధించబడుతుంది. LCM మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందేందుకు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది. వారు రెండవ భిన్నంతో అదే విధంగా చేస్తారు - LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది.
భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ చర్యల ఫలితంగా, భిన్నమైన హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు.
ఉదాహరణ 1. భిన్నాలను జత చేద్దాం మరియు
అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల యొక్క హారం యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకాన్ని మేము కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 6
LCM (2 మరియు 3) = 6
ఇప్పుడు భిన్నాలు మరియు . ముందుగా, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, మొదటి అదనపు కారకాన్ని పొందండి. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 6ని 3తో భాగిస్తే మనకు 2 వస్తుంది.
ఫలిత సంఖ్య 2 మొదటి అదనపు గుణకం. మేము దానిని మొదటి భిన్నానికి వ్రాస్తాము. దీన్ని చేయడానికి, భిన్నంపై చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేసి, దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాయండి:
మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. మేము LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించి, రెండవ అదనపు కారకాన్ని పొందుతాము. LCM అనేది సంఖ్య 6, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 6ని 2తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది.
ఫలిత సంఖ్య 3 రెండవ అదనపు గుణకం. మేము దానిని రెండవ భాగానికి వ్రాస్తాము. మళ్ళీ, మేము రెండవ భిన్నం మీద చిన్న వాలుగా ఉండే గీతను తయారు చేస్తాము మరియు దాని పైన కనిపించే అదనపు కారకాన్ని వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు మేము అదనంగా ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:
మేము ఏమి వచ్చామో జాగ్రత్తగా చూడండి. వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా జోడించాలో మాకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:
ఇది ఉదాహరణను పూర్తి చేస్తుంది. ఇది జోడించడానికి మారుతుంది.
డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జాకు పిజ్జాని జోడిస్తే, మీరు ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక పిజ్జాలో ఆరవ వంతు పొందుతారు:
భిన్నాలను ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. భిన్నాలను తగ్గించడం మరియు ఒక సాధారణ హారం, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ రెండు భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి. ఒకే తేడా ఏమిటంటే, ఈసారి అవి సమాన వాటాలుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడుతుంది).
మొదటి డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో నాలుగు ముక్కలు), మరియు రెండవ డ్రాయింగ్ భిన్నాన్ని సూచిస్తుంది (ఆరులో మూడు ముక్కలు). ఈ ముక్కలను జోడించడం ద్వారా మనకు లభిస్తుంది (ఆరులో ఏడు ముక్కలు). ఈ భిన్నం సరికాదు, కాబట్టి మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేసాము. ఫలితంగా, మేము (ఒక మొత్తం పిజ్జా మరియు మరొక ఆరవ పిజ్జా) పొందాము.
మేము ఈ ఉదాహరణను చాలా వివరంగా వివరించామని దయచేసి గమనించండి. విద్యాసంస్థల్లో ఇంత వివరంగా రాయడం ఆచారం కాదు. మీరు రెండు హారంల యొక్క LCMని మరియు వాటికి అదనపు కారకాలను త్వరగా కనుగొనగలగాలి, అలాగే కనుగొనబడిన అదనపు కారకాలను మీ న్యూమరేటర్లు మరియు హారం ద్వారా త్వరగా గుణించాలి. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, ఈ ఉదాహరణను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవలసి ఉంటుంది:
అయితే నాణేనికి మరో వైపు కూడా ఉంది. మీరు గణితాన్ని అధ్యయనం చేసే మొదటి దశలలో వివరణాత్మక గమనికలను తీసుకోకపోతే, ఆ విధమైన ప్రశ్నలు కనిపించడం ప్రారంభిస్తాయి. “ఆ సంఖ్య ఎక్కడ నుండి వస్తుంది?”, “భిన్నాలు అకస్మాత్తుగా పూర్తిగా భిన్నమైన భిన్నాలుగా ఎందుకు మారతాయి? «.
విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడాన్ని సులభతరం చేయడానికి, మీరు క్రింది దశల వారీ సూచనలను ఉపయోగించవచ్చు:
- భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి;
- ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి మరియు ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి;
- భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి;
- ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలను జోడించండి;
- సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి;
ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
.
పైన ఇచ్చిన సూచనలను ఉపయోగించుకుందాం.
దశ 1. భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి
రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. భిన్నాల హారం సంఖ్యలు 2, 3 మరియు 4
దశ 2. ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించి, ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని పొందండి
మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 2. 12ని 2తో భాగించండి, మనకు 6 వస్తుంది. మనకు మొదటి అదనపు కారకం 6 వచ్చింది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు మనం LCMని రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగించండి, మనకు 4 వస్తుంది. మనకు రెండవ అదనపు కారకం 4 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు మనం LCMని మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో విభజిస్తాము. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. మనకు మూడవ అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
దశ 3. భిన్నాల యొక్క న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించండి
మేము న్యూమరేటర్లు మరియు హారంలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణిస్తాము:
దశ 4. అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించండి
వేర్వేరు హారం కలిగిన భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. ఈ భిన్నాలను జోడించడమే మిగిలి ఉంది. దీన్ని జోడించండి:
అదనంగా ఒక లైన్‌లో సరిపోలేదు, కాబట్టి మేము మిగిలిన ఎక్స్‌ప్రెషన్‌ను తదుపరి పంక్తికి తరలించాము. ఇది గణితంలో అనుమతించబడుతుంది. వ్యక్తీకరణ ఒక పంక్తిలో సరిపోనప్పుడు, అది తదుపరి పంక్తికి తరలించబడుతుంది మరియు మొదటి పంక్తి చివరిలో మరియు కొత్త పంక్తి ప్రారంభంలో సమాన గుర్తు (=) ఉంచడం అవసరం. రెండవ పంక్తిలోని సమాన గుర్తు ఇది మొదటి పంక్తిలో ఉన్న వ్యక్తీకరణ యొక్క కొనసాగింపు అని సూచిస్తుంది.
దశ 5. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, దాని మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి
మా సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలింది. మేము దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి. మేము హైలైట్ చేస్తాము:
మాకు సమాధానం వచ్చింది
వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
భిన్నాల వ్యవకలనం రెండు రకాలు:
- వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
- విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
ముందుగా, హారం వంటి వాటితో భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో నేర్చుకుందాం. ఇక్కడ ప్రతిదీ సులభం. ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి, కానీ హారంను అలాగే వదిలివేయండి.
ఉదాహరణకు, వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి. ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి. ఇలా చేద్దాం:
నాలుగు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణ సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కత్తిరించినట్లయితే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:
ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.
మళ్ళీ, మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి, రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేసి, హారం మారకుండా ఉంచండి:
మూడు భాగాలుగా విభజించబడిన పిజ్జాను మనం గుర్తుంచుకుంటే ఈ ఉదాహరణను సులభంగా అర్థం చేసుకోవచ్చు. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాలను కత్తిరించినట్లయితే, మీకు పిజ్జాలు లభిస్తాయి:
ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
ఈ ఉదాహరణ మునుపటి వాటి వలె సరిగ్గా అదే విధంగా పరిష్కరించబడుతుంది. మొదటి భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి మీరు మిగిలిన భిన్నాల సంఖ్యలను తీసివేయాలి:
మీరు చూడగలిగినట్లుగా, అదే హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడంలో సంక్లిష్టంగా ఏమీ లేదు. కింది నియమాలను అర్థం చేసుకోవడం సరిపోతుంది:
- ఒక భిన్నం నుండి మరొక భాగాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవం నుండి రెండవ భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు హారం మారకుండా వదిలివేయాలి;
- సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.
విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం
ఉదాహరణకు, భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగి ఉన్నందున మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయవచ్చు. కానీ మీరు భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయలేరు, ఎందుకంటే ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, భిన్నాలను తప్పనిసరిగా అదే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.
విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు మనం ఉపయోగించిన అదే సూత్రాన్ని ఉపయోగించి సాధారణ హారం కనుగొనబడింది. అన్నింటిలో మొదటిది, రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి. అప్పుడు LCM మొదటి భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు మొదటి అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది మొదటి భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది. అదేవిధంగా, LCM రెండవ భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించబడింది మరియు రెండవ అదనపు కారకం పొందబడుతుంది, ఇది రెండవ భిన్నం పైన వ్రాయబడుతుంది.
అప్పుడు భిన్నాలు వాటి అదనపు కారకాలతో గుణించబడతాయి. ఈ ఆపరేషన్ల ఫలితంగా, విభిన్న హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మార్చబడతాయి. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు.
ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం కనుగొనండి:
ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.
మొదట మనం రెండు భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొంటాము. మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. ఈ సంఖ్యలలో అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 12
LCM (3 మరియు 4) = 12
ఇప్పుడు భిన్నాలకు తిరిగి వెళ్దాం మరియు
మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. దీన్ని చేయడానికి, మొదటి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 12ని 3తో భాగిస్తే మనకు 4 వస్తుంది. మొదటి భిన్నం పైన నాలుగు వ్రాయండి:
మేము రెండవ భిన్నంతో అదే చేస్తాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 12, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 4. 12ని 4తో భాగిస్తే మనకు 3 వస్తుంది. రెండవ భిన్నం మీద మూడు రాయండి:
ఇప్పుడు మేము వ్యవకలనం కోసం సిద్ధంగా ఉన్నాము. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:
వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలు ఒకే హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను చివరి వరకు తీసుకుందాం:
మాకు సమాధానం వచ్చింది
డ్రాయింగ్ ఉపయోగించి మా పరిష్కారాన్ని చిత్రీకరించడానికి ప్రయత్నిద్దాం. మీరు పిజ్జా నుండి పిజ్జాని కట్ చేస్తే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది
ఇది పరిష్కారం యొక్క వివరణాత్మక సంస్కరణ. మేము పాఠశాలలో ఉన్నట్లయితే, మేము ఈ ఉదాహరణను చిన్నదిగా పరిష్కరించవలసి ఉంటుంది. అటువంటి పరిష్కారం ఇలా కనిపిస్తుంది:
భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం కూడా చిత్రాన్ని ఉపయోగించి వర్ణించవచ్చు. ఈ భిన్నాలను సాధారణ హారంకు తగ్గించడం ద్వారా, మేము భిన్నాలను పొందాము మరియు . ఈ భిన్నాలు ఒకే పిజ్జా ముక్కల ద్వారా సూచించబడతాయి, కానీ ఈసారి అవి సమాన షేర్‌లుగా విభజించబడతాయి (అదే హారంకు తగ్గించబడింది):
మొదటి చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో ఎనిమిది ముక్కలు), మరియు రెండవ చిత్రం ఒక భిన్నాన్ని చూపుతుంది (పన్నెండులో మూడు ముక్కలు). ఎనిమిది ముక్కల నుండి మూడు ముక్కలను కత్తిరించడం ద్వారా, మేము పన్నెండులో ఐదు ముక్కలు పొందుతాము. భిన్నం ఈ ఐదు ముక్కలను వివరిస్తుంది.
ఉదాహరణ 2.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి 
ఈ భిన్నాలు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉంటాయి, కాబట్టి ముందుగా మీరు వాటిని ఒకే (సాధారణ) హారంకు తగ్గించాలి.
ఈ భిన్నాల హారం యొక్క LCMని కనుగొనండి.
భిన్నాల హారం సంఖ్యలు 10, 3 మరియు 5. ఈ సంఖ్యల యొక్క అతి తక్కువ సాధారణ గుణకం 30
LCM(10, 3, 5) = 30
ఇప్పుడు మేము ప్రతి భిన్నానికి అదనపు కారకాలను కనుగొంటాము. దీన్ని చేయడానికి, ప్రతి భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని విభజించండి.
మొదటి భిన్నం కోసం అదనపు కారకాన్ని కనుగొనండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 10. 30ని 10తో భాగిస్తే, మనకు మొదటి అదనపు కారకం 3 వస్తుంది. మేము దానిని మొదటి భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు మనం రెండవ భిన్నానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు రెండవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 3. 30ని 3తో భాగించండి, మనకు రెండవ అదనపు కారకం 10 వస్తుంది. మేము దానిని రెండవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు మనం మూడవ భాగానికి అదనపు కారకాన్ని కనుగొన్నాము. మూడవ భిన్నం యొక్క హారంతో LCMని భాగించండి. LCM అనేది సంఖ్య 30, మరియు మూడవ భిన్నం యొక్క హారం సంఖ్య 5. 30ని 5తో భాగిస్తే, మనకు మూడవ అదనపు కారకం 6 వస్తుంది. మేము దానిని మూడవ భిన్నం పైన వ్రాస్తాము:
ఇప్పుడు వ్యవకలనం కోసం ప్రతిదీ సిద్ధంగా ఉంది. భిన్నాలను వాటి అదనపు కారకాల ద్వారా గుణించడం మిగిలి ఉంది:
వేర్వేరు హారం కలిగిన భిన్నాలు ఒకే (సాధారణ) హారం కలిగిన భిన్నాలుగా మారాయని మేము నిర్ధారణకు వచ్చాము. మరియు అటువంటి భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలో మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. ఈ ఉదాహరణను పూర్తి చేద్దాం.
ఉదాహరణ యొక్క కొనసాగింపు ఒక లైన్‌లో సరిపోదు, కాబట్టి మేము కొనసాగింపును తదుపరి పంక్తికి తరలిస్తాము. కొత్త లైన్‌లో సమాన గుర్తు (=) గురించి మర్చిపోవద్దు:
సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, మరియు ప్రతిదీ మాకు సరిపోయేలా అనిపిస్తుంది, కానీ ఇది చాలా గజిబిజిగా మరియు అగ్లీగా ఉంది. మేము దానిని సరళంగా చేయాలి. ఏమి చేయవచ్చు? మీరు ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించవచ్చు.
భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు దాని లవం మరియు హారం 20 మరియు 30 సంఖ్యల (GCD) ద్వారా విభజించాలి.
కాబట్టి, మేము 20 మరియు 30 సంఖ్యల gcdని కనుగొంటాము:
ఇప్పుడు మేము మా ఉదాహరణకి తిరిగి వస్తాము మరియు భిన్నం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను కనుగొన్న gcd ద్వారా భాగిస్తాము, అంటే 10 ద్వారా
మాకు సమాధానం వచ్చింది
భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడం
భిన్నాన్ని సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క లవంను ఆ సంఖ్యతో గుణించాలి మరియు హారంను అలాగే వదిలివేయాలి.
ఉదాహరణ 1. ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 1తో గుణించండి.
భిన్నం యొక్క సంఖ్యను సంఖ్య 1తో గుణించండి
రికార్డింగ్ సగం 1 సమయం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు ఒకసారి పిజ్జా తీసుకుంటే, మీకు పిజ్జా లభిస్తుంది
గుణకారం మరియు కారకం మార్చుకుంటే, ఉత్పత్తి మారదని గుణకార నియమాల నుండి మనకు తెలుసు. వ్యక్తీకరణ ఇలా వ్రాసినట్లయితే, ఉత్పత్తి ఇప్పటికీ సమానంగా ఉంటుంది. మళ్ళీ, పూర్తి సంఖ్య మరియు భిన్నాన్ని గుణించడం కోసం నియమం పనిచేస్తుంది:
ఈ సంజ్ఞామానం ఒకదానిలో సగం తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, 1 మొత్తం పిజ్జా ఉంటే మరియు అందులో సగం తీసుకుంటే, అప్పుడు మనకు పిజ్జా ఉంటుంది:
ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
భిన్నం యొక్క సంఖ్యను 4తో గుణించండి
సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:
వ్యక్తీకరణ రెండు వంతులు 4 సార్లు తీసుకోవడం అర్థం చేసుకోవచ్చు. ఉదాహరణకు, మీరు 4 పిజ్జాలు తీసుకుంటే, మీకు రెండు మొత్తం పిజ్జాలు లభిస్తాయి
మరియు మనం గుణకారాన్ని మరియు గుణకాన్ని మార్చుకుంటే, మనకు వ్యక్తీకరణ వస్తుంది . ఇది కూడా 2కి సమానంగా ఉంటుంది. ఈ వ్యక్తీకరణ నాలుగు మొత్తం పిజ్జాల నుండి రెండు పిజ్జాలను తీసుకున్నట్లు అర్థం చేసుకోవచ్చు:
భిన్నాలను గుణించడం
భిన్నాలను గుణించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలు మరియు హారంలను గుణించాలి. సమాధానం సరికాని భిన్నం అని తేలితే, మీరు దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేయాలి.
ఉదాహరణ 1.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి.
మాకు సమాధానం వచ్చింది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడం మంచిది. భిన్నాన్ని 2 తగ్గించవచ్చు. అప్పుడు తుది పరిష్కారం క్రింది రూపాన్ని తీసుకుంటుంది:
హాఫ్ పిజ్జా నుండి పిజ్జా తీసుకున్నట్లుగా వ్యక్తీకరణ అర్థం చేసుకోవచ్చు. మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:
ఈ సగం నుండి మూడింట రెండు వంతులు ఎలా తీసుకోవాలి? మొదట మీరు ఈ సగం మూడు సమాన భాగాలుగా విభజించాలి:
మరియు ఈ మూడు ముక్కల నుండి రెండు తీసుకోండి:
మేము పిజ్జా తయారు చేస్తాము. మూడు భాగాలుగా విభజించినప్పుడు పిజ్జా ఎలా ఉంటుందో గుర్తుంచుకోండి:
ఈ పిజ్జా యొక్క ఒక ముక్క మరియు మేము తీసుకున్న రెండు ముక్కలు ఒకే కొలతలు కలిగి ఉంటాయి:
మరో మాటలో చెప్పాలంటే, మేము అదే సైజు పిజ్జా గురించి మాట్లాడుతున్నాము. కాబట్టి వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువ
ఉదాహరణ 2. వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:
సమాధానం సరికాని భిన్నం. దాని మొత్తం భాగాన్ని హైలైట్ చేద్దాం:
ఉదాహరణ 3.వ్యక్తీకరణ యొక్క విలువను కనుగొనండి
మొదటి భిన్నం యొక్క సంఖ్యను రెండవ భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారం రెండవ భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి:
సమాధానం సాధారణ భిన్నం అని తేలింది, అయితే దాన్ని కుదిస్తే బాగుంటుంది. ఈ భిన్నాన్ని తగ్గించడానికి, మీరు ఈ భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను 105 మరియు 450 సంఖ్యల యొక్క గొప్ప సాధారణ విభజన (GCD) ద్వారా విభజించాలి.
కాబట్టి, 105 మరియు 450 సంఖ్యల gcdని కనుగొనండి:
ఇప్పుడు మనం ఇప్పుడు కనుగొన్న gcd ద్వారా మన సమాధానం యొక్క న్యూమరేటర్ మరియు హారంను భాగిస్తాము, అంటే 15 ద్వారా
పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచిస్తుంది
ఏదైనా పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం వలె సూచించవచ్చు. ఉదాహరణకు, సంఖ్య 5ని ఇలా సూచించవచ్చు. ఇది ఐదు యొక్క అర్ధాన్ని మార్చదు, ఎందుకంటే వ్యక్తీకరణ అంటే "ఐదు సంఖ్యను ఒకటిగా విభజించడం" మరియు ఇది మనకు తెలిసినట్లుగా, ఐదుకి సమానం:
పరస్పర సంఖ్యలు
ఇప్పుడు మనం గణితంలో చాలా ఆసక్తికరమైన అంశంతో పరిచయం పొందుతాము. దీనిని "రివర్స్ నంబర్స్" అంటారు.
నిర్వచనం. సంఖ్యకు రివర్స్a గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్యa ఒకటి ఇస్తుంది.
వేరియబుల్‌కు బదులుగా ఈ నిర్వచనంలో ప్రత్యామ్నాయం చేద్దాం aసంఖ్య 5 మరియు నిర్వచనాన్ని చదవడానికి ప్రయత్నించండి:
సంఖ్యకు రివర్స్ 5 గుణించినప్పుడు ఒక సంఖ్య 5 ఒకటి ఇస్తుంది.
5తో గుణించినప్పుడు ఒకటి ఇచ్చే సంఖ్యను కనుగొనడం సాధ్యమేనా? ఇది సాధ్యమేనని తేలింది. ఐదింటిని భిన్నం గా ఊహించుకుందాం:
అప్పుడు ఈ భిన్నాన్ని స్వయంగా గుణించండి, కేవలం న్యూమరేటర్ మరియు హారం మార్చుకోండి. మరో మాటలో చెప్పాలంటే, భిన్నాన్ని స్వయంగా గుణిద్దాం, తలక్రిందులుగా మాత్రమే:
దీని ఫలితంగా ఏమి జరుగుతుంది? మేము ఈ ఉదాహరణను పరిష్కరించడం కొనసాగిస్తే, మనకు ఒకటి లభిస్తుంది:
దీనర్థం సంఖ్య 5 యొక్క విలోమం సంఖ్య , ఎందుకంటే మీరు 5ని గుణించినప్పుడు మీకు ఒకటి వస్తుంది.
ఏదైనా ఇతర పూర్ణాంకం కోసం కూడా ఒక సంఖ్య యొక్క రెసిప్రొకల్ కనుగొనవచ్చు.
మీరు ఏదైనా ఇతర భిన్నం యొక్క పరస్పరతను కూడా కనుగొనవచ్చు. దీన్ని చేయడానికి, దాన్ని తిరగండి.
భిన్నాన్ని సంఖ్యతో భాగించడం
మన దగ్గర సగం పిజ్జా ఉందనుకుందాం:
దానిని రెండింటి మధ్య సమానంగా విభజిద్దాము. ప్రతి వ్యక్తికి ఎంత పిజ్జా లభిస్తుంది?
సగం పిజ్జాను విభజించిన తర్వాత, రెండు సమానమైన ముక్కలు లభించినట్లు చూడవచ్చు, వీటిలో ప్రతి ఒక్కటి పిజ్జాగా ఉంటుంది. కాబట్టి ప్రతి ఒక్కరూ పిజ్జా పొందుతారు.
భిన్నాల విభజన పరస్పరం ఉపయోగించి చేయబడుతుంది. విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడానికి పరస్పర సంఖ్యలు మిమ్మల్ని అనుమతిస్తాయి.
భిన్నాన్ని సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు భిన్నాన్ని భాగహారం యొక్క విలోమంతో గుణించాలి.
ఈ నియమాన్ని ఉపయోగించి, మేము మా పిజ్జా యొక్క సగం విభజనను రెండు భాగాలుగా వ్రాస్తాము.
కాబట్టి, మీరు భిన్నాన్ని సంఖ్య 2 ద్వారా విభజించాలి. ఇక్కడ డివిడెండ్ భిన్నం మరియు భాగహారం సంఖ్య 2.
ఒక భిన్నాన్ని సంఖ్య 2తో భాగించాలంటే, మీరు ఈ భిన్నాన్ని డివైజర్ 2 యొక్క రెసిప్రోకల్‌తో గుణించాలి. 2 యొక్క రెసిప్రోకల్ డివైజర్ 2. భిన్నం. కాబట్టి మీరు గుణించాలి
కెమిస్ట్రీ, ఫిజిక్స్ మరియు బయాలజీ వంటి విభాగాలలో కూడా కనిపించే అతి ముఖ్యమైన శాస్త్రాలలో ఒకటి, గణితం. ఈ శాస్త్రాన్ని అధ్యయనం చేయడం వలన మీరు కొన్ని మానసిక లక్షణాలను అభివృద్ధి చేసుకోవచ్చు మరియు మీ ఏకాగ్రత సామర్థ్యాన్ని మెరుగుపరుస్తుంది. గణితం కోర్సులో ప్రత్యేక శ్రద్ధకు అర్హమైన అంశాలలో ఒకటి భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం. చాలా మంది విద్యార్థులు చదువుకోవడానికి ఇబ్బంది పడుతున్నారు. బహుశా ఈ అంశాన్ని బాగా అర్థం చేసుకోవడానికి మా వ్యాసం మీకు సహాయం చేస్తుంది.
ఒకటే హారం ఉన్న భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలి
భిన్నాలు మీరు వివిధ కార్యకలాపాలను చేయగల అదే సంఖ్యలు. పూర్ణ సంఖ్యల నుండి వాటి వ్యత్యాసం హారం సమక్షంలో ఉంటుంది. అందుకే, భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, మీరు వారి కొన్ని లక్షణాలు మరియు నియమాలను అధ్యయనం చేయాలి. సాధారణ భిన్నాల వ్యవకలనం, దీని హారం ఒకే సంఖ్యగా సూచించబడుతుంది. మీకు సాధారణ నియమం తెలిస్తే ఈ చర్యను చేయడం కష్టం కాదు:
- ఒక భిన్నం నుండి రెండవ భాగాన్ని తీసివేయడానికి, తగ్గించబడిన భిన్నం యొక్క లవం నుండి తీసివేయబడిన భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేయడం అవసరం. మేము ఈ సంఖ్యను తేడా యొక్క లవంగా వ్రాస్తాము మరియు హారంను అలాగే వదిలివేస్తాము: k/m - b/m = (k-b)/m.
భిన్నాలను తీసివేయడానికి ఉదాహరణలు, వాటి హారం ఒకే విధంగా ఉంటుంది
7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.
"7" భిన్నం యొక్క లవం నుండి మనం తీసివేయవలసిన "3" భిన్నం యొక్క లవంను తీసివేస్తాము, మనకు "4" వస్తుంది. మేము ఈ సంఖ్యను సమాధానం యొక్క న్యూమరేటర్‌లో వ్రాస్తాము మరియు హారంలో మొదటి మరియు రెండవ భిన్నాల హారంలో ఉన్న అదే సంఖ్యను ఉంచాము - “19”.
క్రింద ఉన్న చిత్రం ఇలాంటి మరిన్ని ఉదాహరణలను చూపుతుంది.
వంటి హారంతో భిన్నాలు తీసివేయబడిన మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం:
29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.
"29" భిన్నం యొక్క లవం నుండి అన్ని తదుపరి భిన్నాల సంఖ్యలను తీసివేయడం ద్వారా తగ్గించబడుతుంది - "3", "8", "2", "7". ఫలితంగా, మేము “9” ఫలితాన్ని పొందుతాము, దానిని మేము సమాధానం యొక్క లవంలో వ్రాస్తాము మరియు హారంలో ఈ అన్ని భిన్నాల హారంలో ఉన్న సంఖ్యను వ్రాస్తాము - “47”.
ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలను కలుపుతోంది
సాధారణ భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం అదే సూత్రాన్ని అనుసరిస్తుంది.
- హారం ఒకేలా ఉండే భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు న్యూమరేటర్లను జోడించాలి. ఫలిత సంఖ్య మొత్తం యొక్క లవం, మరియు హారం అలాగే ఉంటుంది: k/m + b/m = (k + b)/m.
ఉదాహరణను ఉపయోగించి ఇది ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం:
1/4 + 2/4 = 3/4.
భిన్నం యొక్క మొదటి పదం యొక్క న్యూమరేటర్‌కు - “1” - భిన్నం యొక్క రెండవ పదం యొక్క సంఖ్యను జోడించండి - “2”. ఫలితం - “3” - మొత్తం యొక్క లవంలోకి వ్రాయబడుతుంది మరియు హారం భిన్నాలలో ఉన్నట్లే మిగిలి ఉంటుంది - “4”.
విభిన్న హారంతో భిన్నాలు మరియు వాటి వ్యవకలనం
మేము ఇప్పటికే అదే హారం కలిగిన భిన్నాలతో ఆపరేషన్‌ను పరిగణించాము. మీరు చూడగలిగినట్లుగా, సాధారణ నియమాలను తెలుసుకోవడం, అటువంటి ఉదాహరణలను పరిష్కరించడం చాలా సులభం. కానీ మీరు వేర్వేరు హారంలను కలిగి ఉన్న భిన్నాలతో ఆపరేషన్ చేయవలసి వస్తే ఏమి చేయాలి? చాలా మంది మాధ్యమిక పాఠశాల విద్యార్థులు ఇటువంటి ఉదాహరణలతో గందరగోళానికి గురవుతారు. కానీ ఇక్కడ కూడా, మీరు పరిష్కారం యొక్క సూత్రం తెలిస్తే, ఉదాహరణలు ఇకపై మీకు కష్టంగా ఉండవు. ఇక్కడ ఒక నియమం కూడా ఉంది, ఇది లేకుండా అటువంటి భిన్నాలను పరిష్కరించడం అసాధ్యం.
- 2/3 - హారంలో ఒకటి మూడు మరియు ఒకటి రెండు లేవు:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18. - 7/9 లేదా 7/(3 x 3) - హారంలో రెండు లేవు:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18. - 5/6 లేదా 5/(2 x 3) - హారంలో మూడు లేవు:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18. - 18 సంఖ్య 3 x 2 x 3తో రూపొందించబడింది.
- 15 సంఖ్య 5 x 3తో రూపొందించబడింది.
- సాధారణ గుణకం క్రింది కారకాలుగా ఉంటుంది: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.
- 90ని 15తో విభజించారు. ఫలిత సంఖ్య “6” 3/15కి గుణకం అవుతుంది.
- 90ని 18తో విభజించారు. ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య “5” 4/18కి గుణకం అవుతుంది.
- పూర్ణాంక భాగాన్ని కలిగి ఉన్న అన్ని భిన్నాలను సరికాని వాటికి మార్చండి. సరళంగా చెప్పాలంటే, మొత్తం భాగాన్ని తొలగించండి. దీన్ని చేయడానికి, పూర్ణాంక భాగం యొక్క సంఖ్యను భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించండి మరియు ఫలిత ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌కు జోడించండి. ఈ చర్యల తర్వాత బయటకు వచ్చే సంఖ్య సరికాని భిన్నం యొక్క లవం. హారం మారదు.
- భిన్నాలు వేర్వేరు హారం కలిగి ఉంటే, వాటిని ఒకే హారంకు తగ్గించాలి.
- ఒకే హారంతో కూడిక లేదా వ్యవకలనం చేయండి.
- సరికాని భిన్నాన్ని స్వీకరించినప్పుడు, మొత్తం భాగాన్ని ఎంచుకోండి.
విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడానికి, వాటిని తప్పనిసరిగా అదే చిన్న హారంకు తగ్గించాలి.
దీన్ని ఎలా చేయాలో మేము మరింత వివరంగా మాట్లాడుతాము.
భిన్నం యొక్క ఆస్తి
ఒకే హారంకు అనేక భిన్నాలను తీసుకురావడానికి, మీరు ద్రావణంలో భిన్నం యొక్క ప్రధాన ఆస్తిని ఉపయోగించాలి: లవం మరియు హారంను ఒకే సంఖ్యతో విభజించడం లేదా గుణించిన తర్వాత, మీరు ఇచ్చిన దానికి సమానమైన భిన్నాన్ని పొందుతారు.
కాబట్టి, ఉదాహరణకు, 2/3 భిన్నం "6", "9", "12" మొదలైన హారంలను కలిగి ఉంటుంది, అనగా, ఇది "3" యొక్క గుణకారంగా ఉండే ఏదైనా సంఖ్య రూపాన్ని కలిగి ఉంటుంది. మేము న్యూమరేటర్ మరియు హారంను “2”తో గుణించిన తర్వాత, మనకు భిన్నం 4/6 వస్తుంది. అసలు భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారంను “3”తో గుణించిన తర్వాత, మనకు 6/9 వస్తుంది మరియు “4” సంఖ్యతో ఇలాంటి ఆపరేషన్ చేస్తే, మనకు 8/12 వస్తుంది. ఒక సమానత్వం క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…
బహుళ భిన్నాలను ఒకే హారంలోకి ఎలా మార్చాలి
ఒకే హారంకు బహుళ భిన్నాలను ఎలా తగ్గించాలో చూద్దాం. ఉదాహరణకు, దిగువ చిత్రంలో చూపిన భిన్నాలను తీసుకుందాం. మొదట మీరు వాటన్నింటికీ ఏ సంఖ్య హారం కాగలదో నిర్ణయించుకోవాలి. విషయాలను సులభతరం చేయడానికి, ఇప్పటికే ఉన్న డినామినేటర్‌లను ఫ్యాక్టరైజ్ చేద్దాం.
భిన్నం 1/2 మరియు భిన్నం 2/3 యొక్క హారం కారకం చేయబడదు. హారం 7/9 రెండు కారకాలను కలిగి ఉంటుంది 7/9 = 7/(3 x 3), భిన్నం యొక్క హారం 5/6 = 5/(2 x 3). ఈ నాలుగు భిన్నాలకు ఏ కారకాలు చిన్నవిగా ఉంటాయో ఇప్పుడు మనం గుర్తించాలి. మొదటి భిన్నం హారంలో “2” సంఖ్యను కలిగి ఉన్నందున, అది అన్ని హారంలో ఉండాలి అని అర్థం; 7/9 భిన్నంలో రెండు త్రిపాదిలు ఉన్నాయి, అంటే రెండూ కూడా హారంలో ఉండాలి. పైన పేర్కొన్న వాటిని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, హారం మూడు కారకాలను కలిగి ఉంటుందని మేము నిర్ణయిస్తాము: 3, 2, 3 మరియు 3 x 2 x 3 = 18కి సమానం.
మొదటి భిన్నాన్ని పరిశీలిద్దాం - 1/2. దాని హారంలో “2” ఉంది, కానీ ఒక్క “3” అంకె లేదు, కానీ రెండు ఉండాలి. దీన్ని చేయడానికి, మేము హారంని రెండు ట్రిపుల్‌లతో గుణిస్తాము, కానీ, ఒక భిన్నం యొక్క ఆస్తి ప్రకారం, మనం లవంను రెండు ట్రిపుల్‌లతో గుణించాలి:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.
మేము మిగిలిన భిన్నాలతో అదే కార్యకలాపాలను చేస్తాము.
అన్నీ కలిపి ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
విభిన్న హారం ఉన్న భిన్నాలను ఎలా తీసివేయాలి మరియు జోడించాలి
పైన చెప్పినట్లుగా, వేర్వేరు హారం ఉన్న భిన్నాలను జోడించడానికి లేదా తీసివేయడానికి, వాటిని ఒకే హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై ఇప్పటికే చర్చించబడిన అదే హారం ఉన్న భిన్నాలను తీసివేయడానికి నియమాలను ఉపయోగించండి.
దీనిని ఉదాహరణగా చూద్దాం: 4/18 - 3/15.
18 మరియు 15 సంఖ్యల గుణకారాన్ని కనుగొనడం:
హారం కనుగొనబడిన తర్వాత, ప్రతి భిన్నానికి భిన్నంగా ఉండే కారకాన్ని లెక్కించడం అవసరం, అంటే, హారం మాత్రమే కాకుండా, లవం కూడా గుణించాల్సిన సంఖ్య. దీన్ని చేయడానికి, మేము కనుగొన్న సంఖ్యను (సాధారణ గుణకం) భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా విభజించండి, దీని కోసం అదనపు కారకాలు గుర్తించబడతాయి.
మా పరిష్కారం యొక్క తదుపరి దశ ప్రతి భిన్నాన్ని హారం "90"కి తగ్గించడం.
ఇది ఎలా చేయాలో మేము ఇప్పటికే మాట్లాడాము. ఇది ఒక ఉదాహరణలో ఎలా వ్రాయబడిందో చూద్దాం:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.
భిన్నాలు చిన్న సంఖ్యలను కలిగి ఉంటే, దిగువ చిత్రంలో చూపిన ఉదాహరణలో మీరు సాధారణ హారంను నిర్ణయించవచ్చు.
వేర్వేరు హారం ఉన్నవారికి కూడా ఇదే వర్తిస్తుంది.
వ్యవకలనం మరియు పూర్ణాంక భాగాలను కలిగి ఉండటం
భిన్నాల వ్యవకలనం మరియు వాటి జోడింపు గురించి మేము ఇప్పటికే వివరంగా చర్చించాము. అయితే భిన్నానికి పూర్ణాంకం ఉంటే ఎలా తీసివేయాలి? మళ్ళీ, కొన్ని నియమాలను ఉపయోగిస్తాము:
మీరు మొత్తం భాగాలతో భిన్నాలను జోడించడానికి మరియు తీసివేయడానికి మరొక మార్గం ఉంది. దీన్ని చేయడానికి, చర్యలు మొత్తం భాగాలతో విడిగా నిర్వహించబడతాయి మరియు భిన్నాలతో చర్యలు విడివిడిగా నిర్వహించబడతాయి మరియు ఫలితాలు కలిసి నమోదు చేయబడతాయి.
ఇచ్చిన ఉదాహరణలో ఒకే హారం ఉన్న భిన్నాలు ఉంటాయి. హారం భిన్నంగా ఉన్న సందర్భంలో, వాటిని ఒకే విలువకు తీసుకురావాలి, ఆపై ఉదాహరణలో చూపిన విధంగా చర్యలను చేయాలి.
పూర్ణ సంఖ్యల నుండి భిన్నాలను తీసివేయడం
భిన్నాలతో కూడిన మరొక రకమైన ఆపరేషన్ ఒక భిన్నం నుండి తీసివేయబడాలి. మొదటి చూపులో, అటువంటి ఉదాహరణను పరిష్కరించడం కష్టంగా అనిపిస్తుంది. అయితే, ఇక్కడ ప్రతిదీ చాలా సులభం. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మీరు పూర్ణాంకాన్ని భిన్నంలోకి మార్చాలి మరియు తీసివేయబడిన భిన్నంలో ఉన్న అదే హారంతో ఉండాలి. తరువాత, మేము ఒకే విధమైన హారంతో వ్యవకలనానికి సమానమైన వ్యవకలనాన్ని చేస్తాము. ఒక ఉదాహరణలో ఇది ఇలా కనిపిస్తుంది:
7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.
ఈ వ్యాసంలో సమర్పించబడిన భిన్నాల వ్యవకలనం (గ్రేడ్ 6) తదుపరి గ్రేడ్‌లలో వివరించబడిన మరింత సంక్లిష్టమైన ఉదాహరణలను పరిష్కరించడానికి ఆధారం. ఈ అంశం యొక్క జ్ఞానం తరువాత విధులు, ఉత్పన్నాలు మొదలైనవాటిని పరిష్కరించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. అందువల్ల, పైన చర్చించిన భిన్నాలతో కార్యకలాపాలను అర్థం చేసుకోవడం మరియు అర్థం చేసుకోవడం చాలా ముఖ్యం.
§ 87. భిన్నాల జోడింపు.
భిన్నాలను జోడించడం పూర్ణ సంఖ్యలను జోడించడానికి అనేక సారూప్యతలను కలిగి ఉంటుంది. భిన్నాల జోడింపు అనేది అనేక ఇచ్చిన సంఖ్యలు (నిబంధనలు) ఒక సంఖ్యగా (మొత్తం) మిళితం చేయబడి, నిబంధనల యొక్క యూనిట్ల యొక్క అన్ని యూనిట్లు మరియు భిన్నాలను కలిగి ఉంటాయి.
మేము మూడు కేసులను వరుసగా పరిశీలిస్తాము:
1. వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
3. మిశ్రమ సంఖ్యల జోడింపు.
1. వంటి హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
ఒక ఉదాహరణను పరిగణించండి: 1/5 + 2/5.
సెగ్మెంట్ AB (Fig. 17) తీసుకుందాం, దానిని ఒకటిగా తీసుకొని 5 సమాన భాగాలుగా విభజించండి, అప్పుడు ఈ విభాగంలోని AC భాగం AB సెగ్మెంట్లో 1/5కి సమానంగా ఉంటుంది మరియు అదే సెగ్మెంట్ CDలో కొంత భాగం సమానంగా ఉంటుంది. 2/5 AB.
డ్రాయింగ్ నుండి మనం సెగ్మెంట్ ADని తీసుకుంటే, అది 3/5 ABకి సమానంగా ఉంటుందని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది; కానీ సెగ్మెంట్ AD అనేది ఖచ్చితంగా AC మరియు CD విభాగాల మొత్తం. కాబట్టి మనం వ్రాయవచ్చు:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
ఈ నిబంధనలను మరియు ఫలిత మొత్తాన్ని పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, పదాల సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా మొత్తం యొక్క లవం పొందబడిందని మరియు హారం మారకుండా ఉందని మేము చూస్తాము.
దీని నుండి మనం ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందుతాము: ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు వాటి సంఖ్యలను జోడించి, అదే హారంని వదిలివేయాలి.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాల జోడింపు.
భిన్నాలను జోడిద్దాం: 3 / 4 + 3 / 8 మొదట వాటిని అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి:
ఇంటర్మీడియట్ లింక్ 6/8 + 3/8 వ్రాయడం సాధ్యం కాదు; మేము దానిని స్పష్టత కోసం ఇక్కడ వ్రాసాము.
కాబట్టి, విభిన్న హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, మీరు ముందుగా వాటిని అత్యల్ప సాధారణ హారంకు తగ్గించి, వాటి సంఖ్యలను జోడించి, సాధారణ హారంను లేబుల్ చేయాలి.
ఒక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం (మేము సంబంధిత భిన్నాల పైన అదనపు కారకాలను వ్రాస్తాము):
3. మిశ్రమ సంఖ్యల జోడింపు.
సంఖ్యలను జోడిద్దాం: 2 3/8 + 3 5/6.
ముందుగా మన సంఖ్యల పాక్షిక భాగాలను ఒక సాధారణ హారంలోకి తీసుకుని, వాటిని మళ్లీ వ్రాద్దాం:
ఇప్పుడు మనం పూర్ణాంకం మరియు పాక్షిక భాగాలను వరుసగా జోడిస్తాము:
§ 88. భిన్నాల వ్యవకలనం.
భిన్నాలను తీసివేయడం అనేది పూర్ణ సంఖ్యలను తీసివేసే విధంగానే నిర్వచించబడుతుంది. ఇది రెండు పదాల మొత్తం మరియు వాటిలో ఒకటి, మరొక పదం కనుగొనబడిన సహాయంతో ఒక చర్య. వరుసగా మూడు కేసులను పరిశీలిద్దాం:
1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
3. మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం.
1. వంటి హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
13 / 15 - 4 / 15
సెగ్మెంట్ AB (Fig. 18) ను తీసుకుందాం, దానిని ఒక యూనిట్గా తీసుకొని 15 సమాన భాగాలుగా విభజించండి; అప్పుడు ఈ విభాగంలోని AC భాగం ABలో 1/15ని సూచిస్తుంది మరియు అదే విభాగంలోని AD భాగం 13/15 ABకి అనుగుణంగా ఉంటుంది. 4/15 ABకి సమానమైన మరో సెగ్మెంట్ EDని పక్కన పెడదాం.
మేము 13/15 నుండి 4/15 భిన్నాన్ని తీసివేయాలి. డ్రాయింగ్‌లో, సెగ్మెంట్ ED సెగ్మెంట్ AD నుండి తప్పనిసరిగా తీసివేయబడుతుందని దీని అర్థం. ఫలితంగా, సెగ్మెంట్ AE అలాగే ఉంటుంది, ఇది సెగ్మెంట్ ABలో 9/15. కాబట్టి మనం వ్రాయవచ్చు:
మేము చేసిన ఉదాహరణ సంఖ్యలను తీసివేయడం ద్వారా తేడా యొక్క లవం పొందిందని చూపిస్తుంది, కానీ హారం అలాగే ఉంది.
అందువల్ల, భిన్నాలను వంటి హారంతో తీసివేయడానికి, మీరు మైన్యూఎండ్ యొక్క న్యూమరేటర్ నుండి సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క లవంను తీసివేయాలి మరియు అదే హారం వదిలివేయాలి.
2. విభిన్న హారంతో భిన్నాలను తీసివేయడం.
ఉదాహరణ. 3/4 - 5/8
ముందుగా, ఈ భిన్నాలను అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గిద్దాం:
ఇంటర్మీడియట్ 6 / 8 - 5 / 8 స్పష్టత కోసం ఇక్కడ వ్రాయబడింది, కానీ తర్వాత దాటవేయవచ్చు.
అందువల్ల, భిన్నం నుండి భిన్నాన్ని తీసివేయడానికి, మీరు మొదట వాటిని అతి తక్కువ సాధారణ హారంకు తగ్గించాలి, ఆపై మైన్యూఎండ్ యొక్క లవం నుండి మైన్యూఎండ్ యొక్క లవంను తీసివేసి, వాటి వ్యత్యాసం క్రింద సాధారణ హారంపై సంతకం చేయాలి.
ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
3. మిశ్రమ సంఖ్యల వ్యవకలనం.
ఉదాహరణ. 10 3/4 - 7 2/3.
మనం మైన్యూఎండ్ యొక్క పాక్షిక భాగాలను తగ్గించి, అత్యల్ప సాధారణ హారంకు సబ్‌ట్రాహెండ్ చేద్దాం:
మేము మొత్తం నుండి మొత్తం మరియు భిన్నం నుండి ఒక భాగాన్ని తీసివేసాము. కానీ సబ్‌ట్రాహెండ్ యొక్క పాక్షిక భాగం మినియెండ్ యొక్క పాక్షిక భాగం కంటే ఎక్కువగా ఉన్నప్పుడు సందర్భాలు ఉన్నాయి. అటువంటి సందర్భాలలో, మీరు మైనుఎండ్ యొక్క మొత్తం భాగం నుండి ఒక యూనిట్‌ను తీసుకోవాలి, పాక్షిక భాగం వ్యక్తీకరించబడిన ఆ భాగాలుగా విభజించి, దానిని మినుఎండ్ యొక్క పాక్షిక భాగానికి జోడించాలి. ఆపై వ్యవకలనం మునుపటి ఉదాహరణలో అదే విధంగా నిర్వహించబడుతుంది:
§ 89. భిన్నాల గుణకారం.
భిన్నం గుణకారాన్ని అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ క్రింది ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము:
1. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో గుణించడం.
2. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం.
3. పూర్తి సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడం.
4. భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం.
5. మిశ్రమ సంఖ్యల గుణకారం.
6. ఆసక్తి భావన.
7. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడం. వాటిని వరుసగా పరిశీలిద్దాం.
1. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో గుణించడం.
భిన్నాన్ని పూర్ణసంఖ్యతో గుణించడం అంటే పూర్ణసంఖ్యను పూర్ణాంకంతో గుణించినట్లే. భిన్నాన్ని (గుణకం) పూర్ణాంకం (కారకం) ద్వారా గుణించడం అంటే ఒకే పదాల మొత్తాన్ని సృష్టించడం, దీనిలో ప్రతి పదం గుణకారానికి సమానంగా ఉంటుంది మరియు పదాల సంఖ్య గుణకంతో సమానంగా ఉంటుంది.
అంటే మీరు 1/9ని 7తో గుణించవలసి వస్తే, అది ఇలా చేయవచ్చు:
మేము సులభంగా ఫలితాన్ని పొందాము, ఎందుకంటే అదే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి చర్య తగ్గించబడింది. అందుకే,
ఈ చర్యను పరిగణనలోకి తీసుకుంటే, భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో గుణించడం అనేది ఈ భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యలో యూనిట్లు ఉన్నన్ని సార్లు పెంచడానికి సమానం. మరియు ఒక భిన్నాన్ని పెంచడం వలన దాని సంఖ్యను పెంచడం ద్వారా సాధించవచ్చు
లేదా దాని హారం తగ్గించడం ద్వారా 
, అటువంటి విభజన సాధ్యమైతే మనం లవంను పూర్ణాంకంతో గుణించవచ్చు లేదా హారంతో భాగించవచ్చు.
ఇక్కడ నుండి మేము నియమాన్ని పొందుతాము:
భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో గుణించడానికి, మీరు ఆ పూర్ణ సంఖ్యతో గుణకాన్ని గుణించి, హారంను అలాగే ఉంచాలి లేదా వీలైతే, ఆ సంఖ్యతో హారంను భాగించి, లవం మారకుండా వదిలివేయండి.
గుణించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:
2. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం.మీరు ఇచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడానికి లేదా లెక్కించడానికి అనేక సమస్యలు ఉన్నాయి. ఈ సమస్యలకు మరియు ఇతరులకు మధ్య ఉన్న వ్యత్యాసం ఏమిటంటే, అవి కొన్ని వస్తువుల సంఖ్యను లేదా కొలత యూనిట్లను అందిస్తాయి మరియు మీరు ఈ సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది, ఇది ఇక్కడ కొంత భిన్నం ద్వారా కూడా సూచించబడుతుంది. అవగాహనను సులభతరం చేయడానికి, మేము మొదట అటువంటి సమస్యలకు ఉదాహరణలను ఇస్తాము, ఆపై వాటిని పరిష్కరించడానికి ఒక పద్ధతిని పరిచయం చేస్తాము.
టాస్క్ 1.నా దగ్గర 60 రూబిళ్లు ఉన్నాయి; ఈ డబ్బులో 1/3 వంతు పుస్తకాలు కొనడానికి వెచ్చించాను. పుస్తకాల ధర ఎంత?
టాస్క్ 2. A మరియు B నగరాల మధ్య రైలు తప్పనిసరిగా 300 కి.మీ దూరం ప్రయాణించాలి. అతను ఇప్పటికే ఈ దూరాన్ని 2/3 పూర్తి చేశాడు. ఇది ఎన్ని కిలోమీటర్లు?
టాస్క్ 3.గ్రామంలో 400 ఇళ్లు ఉన్నాయి, వాటిలో 3/4 ఇటుక, మిగిలినవి చెక్క. మొత్తం ఎన్ని ఇటుక ఇళ్ళు ఉన్నాయి?
ఇచ్చిన సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడంలో మనం ఎదుర్కొనే అనేక సమస్యలలో ఇవి కొన్ని. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడానికి వాటిని సాధారణంగా సమస్యలు అంటారు.
సమస్య 1కి పరిష్కారం. 60 రబ్ నుండి. నేను పుస్తకాల కోసం 1/3 ఖర్చు చేశాను; దీని అర్థం పుస్తకాల ధరను కనుగొనడానికి మీరు 60 సంఖ్యను 3 ద్వారా విభజించాలి:
సమస్యను పరిష్కరించడం 2.సమస్య యొక్క విషయం ఏమిటంటే మీరు 300 కి.మీలో 2/3ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ముందుగా 300లో 1/3ని లెక్కిద్దాం; ఇది 300 కిమీని 3 ద్వారా విభజించడం ద్వారా సాధించబడుతుంది:
300: 3 = 100 (అంటే 300లో 1/3).
300లో మూడింట రెండు వంతులను కనుగొనడానికి, మీరు ఫలితాన్ని రెట్టింపు చేయాలి, అనగా, 2తో గుణించాలి:
100 x 2 = 200 (అంటే 300లో 2/3).
సమస్యను పరిష్కరించడం 3.ఇక్కడ మీరు 400లో 3/4 ఉండే ఇటుక ఇళ్ళ సంఖ్యను గుర్తించాలి. ముందుగా 400లో 1/4ని కనుగొనండి,
400: 4 = 100 (అంటే 400లో 1/4).
400 యొక్క మూడు వంతులను గణించడానికి, ఫలిత గుణకం తప్పనిసరిగా మూడు రెట్లు ఉండాలి, అంటే 3తో గుణించాలి:
100 x 3 = 300 (అంటే 400లో 3/4).
ఈ సమస్యలకు పరిష్కారం ఆధారంగా, మేము ఈ క్రింది నియమాన్ని పొందవచ్చు:
ఇచ్చిన సంఖ్య నుండి భిన్నం యొక్క విలువను కనుగొనడానికి, మీరు ఈ సంఖ్యను భిన్నం యొక్క హారంతో విభజించి, ఫలితాన్ని దాని సంఖ్యతో గుణించాలి.
3. పూర్తి సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడం.
అంతకుముందు (§ 26) పూర్ణాంకాల గుణకారాన్ని ఒకే విధమైన పదాల (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) జోడింపుగా అర్థం చేసుకోవాలి. ఈ పేరాలో (పాయింట్ 1) భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో గుణించడం అంటే ఈ భిన్నానికి సమానమైన ఒకే విధమైన పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడం అని నిర్ధారించబడింది.
రెండు సందర్భాల్లో, గుణకారం అనేది ఒకే విధమైన పదాల మొత్తాన్ని కనుగొనడం.
ఇప్పుడు మనం పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం కొనసాగిస్తాము. ఇక్కడ మనం కలుస్తాము, ఉదాహరణకు, గుణకారం: 9 2/3. గుణకారం యొక్క మునుపటి నిర్వచనం ఈ కేసుకు వర్తించదని స్పష్టమైంది. సమాన సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా మనం అటువంటి గుణకారాన్ని భర్తీ చేయలేము అనే వాస్తవం నుండి ఇది స్పష్టమవుతుంది.
దీని కారణంగా, మనం గుణకారానికి కొత్త నిర్వచనం ఇవ్వవలసి ఉంటుంది, అనగా, భిన్నం ద్వారా గుణించడం ద్వారా ఏమి అర్థం చేసుకోవాలి, ఈ చర్యను ఎలా అర్థం చేసుకోవాలి అనే ప్రశ్నకు సమాధానం ఇవ్వండి.
పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం యొక్క అర్థం క్రింది నిర్వచనం నుండి స్పష్టంగా ఉంటుంది: పూర్ణాంకాన్ని (మల్టిప్లికాండ్) భిన్నం (మల్టిప్లికాండ్)తో గుణించడం అంటే గుణకారంలోని ఈ భిన్నాన్ని కనుగొనడం.
అవి, 9ని 2/3తో గుణించడం అంటే తొమ్మిది యూనిట్లలో 2/3ని కనుగొనడం. మునుపటి పేరాలో, అటువంటి సమస్యలు పరిష్కరించబడ్డాయి; కాబట్టి మనం 6తో ముగుస్తామని గుర్తించడం సులభం.
కానీ ఇప్పుడు ఒక ఆసక్తికరమైన మరియు ముఖ్యమైన ప్రశ్న తలెత్తుతుంది: సమాన సంఖ్యల మొత్తాన్ని కనుగొనడం మరియు సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం వంటి విభిన్నమైన ఆపరేషన్లను అంకగణితంలో అదే పదం "గుణకారం" అని ఎందుకు పిలుస్తారు?
మునుపటి చర్య (నిబంధనలతో సంఖ్యను అనేకసార్లు పునరావృతం చేయడం) మరియు కొత్త చర్య (సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడం) సజాతీయ ప్రశ్నలకు సమాధానాలు ఇవ్వడం వలన ఇది జరుగుతుంది. సజాతీయ ప్రశ్నలు లేదా టాస్క్‌లు ఒకే చర్య ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి అనే పరిశీలనల నుండి మేము ఇక్కడ కొనసాగుతామని దీని అర్థం.
దీన్ని అర్థం చేసుకోవడానికి, ఈ క్రింది సమస్యను పరిగణించండి: “1 మీ వస్త్రం ధర 50 రూబిళ్లు. అటువంటి 4 మీటర్ల వస్త్రం ధర ఎంత?
ఈ సమస్య రూబిళ్లు (50) మీటర్ల సంఖ్య (4), అంటే 50 x 4 = 200 (రూబిళ్లు) ద్వారా గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించబడుతుంది.
అదే సమస్యను తీసుకుందాం, కానీ అందులో వస్త్రం మొత్తం భిన్నం వలె వ్యక్తీకరించబడుతుంది: “1 మీ వస్త్రం ధర 50 రూబిళ్లు. అలాంటి 3/4 మీ గుడ్డ ధర ఎంత?"
ఈ సమస్య కూడా రూబిళ్లు (50) మీటర్ల సంఖ్య (3/4) ద్వారా గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించాల్సిన అవసరం ఉంది.
మీరు సమస్య యొక్క అర్థాన్ని మార్చకుండా, దానిలోని సంఖ్యలను అనేక సార్లు మార్చవచ్చు, ఉదాహరణకు, 9/10 మీ లేదా 2 3/10 మీ, మొదలైనవి తీసుకోండి.
ఈ సమస్యలు ఒకే కంటెంట్‌ను కలిగి ఉంటాయి మరియు సంఖ్యలలో మాత్రమే విభిన్నంగా ఉంటాయి కాబట్టి, వాటిని పరిష్కరించడంలో ఉపయోగించే చర్యలను ఒకే పదం - గుణకారం అని పిలుస్తాము.
మీరు పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా ఎలా గుణించాలి?
చివరి సమస్యలో ఎదుర్కొన్న సంఖ్యలను తీసుకుందాం:
నిర్వచనం ప్రకారం, మనం తప్పనిసరిగా 50లో 3/4ని కనుగొనాలి. ముందుగా 50లో 1/4, ఆపై 3/4ని కనుగొనండి.
50లో 1/4 50/4;
50 సంఖ్యలో 3/4 .
అందుకే.
మరొక ఉదాహరణను పరిశీలిద్దాం: 12 5 / 8 =?
12 సంఖ్యలో 1/8 12/8,
12 సంఖ్యలో 5/8 .
అందుకే,
ఇక్కడ నుండి మేము నియమాన్ని పొందుతాము:
పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో గుణించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా పూర్ణ సంఖ్యను గుణించాలి మరియు ఈ ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా చేయాలి మరియు ఈ భిన్నం యొక్క హారంను హారంగా సంతకం చేయాలి.
అక్షరాలను ఉపయోగించి ఈ నియమాన్ని వ్రాద్దాం:
ఈ నియమాన్ని పూర్తిగా స్పష్టం చేయడానికి, ఒక భిన్నాన్ని గుణకంగా పరిగణించవచ్చని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, కనుగొనబడిన నియమాన్ని § 38లో నిర్దేశించిన ఒక సంఖ్యను గుణకారంతో గుణించే నియమంతో పోల్చడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.
గుణకారం చేసే ముందు, మీరు (వీలైతే) చేయాలని గుర్తుంచుకోవడం ముఖ్యం. తగ్గింపులు, ఉదాహరణకి:
4. భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించడం.భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా గుణించడం అనేది పూర్తి సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా గుణించడం వలెనే ఉంటుంది, అనగా, భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించినప్పుడు, మీరు మొదటి భిన్నం (గుణకం) నుండి కారకంలో ఉన్న భిన్నాన్ని కనుగొనాలి.
అవి, 3/4ని 1/2 (సగం)తో గుణించడం అంటే 3/4లో సగాన్ని కనుగొనడం.
మీరు భిన్నాన్ని భిన్నంతో ఎలా గుణించాలి?
ఒక ఉదాహరణ తీసుకుందాం: 3/4ని 5/7తో గుణించాలి. అంటే మీరు 3/4లో 5/7ని కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ముందుగా 3/4లో 1/7, ఆపై 5/7ని కనుగొనండి
3/4 సంఖ్యలో 1/7 ఈ క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
5/7 సంఖ్యలు 3/4 క్రింది విధంగా వ్యక్తీకరించబడతాయి:
ఈ విధంగా,
మరొక ఉదాహరణ: 5/8ని 4/9తో గుణించాలి.
5/8లో 1/9,
5/8 సంఖ్యలో 4/9 .
ఈ విధంగా, 
ఈ ఉదాహరణల నుండి క్రింది నియమాన్ని తీసివేయవచ్చు:
భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించాలంటే, మీరు న్యూమరేటర్‌ను న్యూమరేటర్‌తో గుణించాలి, మరియు హారంను హారం ద్వారా గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా మరియు రెండవ ఉత్పత్తిని ఉత్పత్తి యొక్క హారంగా చేయాలి.
ఈ నియమాన్ని సాధారణ రూపంలో ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
గుణించేటప్పుడు, (వీలైతే) తగ్గింపులను చేయడం అవసరం. ఉదాహరణలను చూద్దాం:
5. మిశ్రమ సంఖ్యల గుణకారం.మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాల ద్వారా సులభంగా భర్తీ చేయవచ్చు కాబట్టి, మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించేటప్పుడు ఈ పరిస్థితి సాధారణంగా ఉపయోగించబడుతుంది. గుణకం, లేదా గుణకం, లేదా రెండు కారకాలు మిశ్రమ సంఖ్యలుగా వ్యక్తీకరించబడిన సందర్భాల్లో, అవి సరికాని భిన్నాలతో భర్తీ చేయబడతాయి. ఉదాహరణకు, మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణిద్దాం: 2 1/2 మరియు 3 1/5. వాటిలో ప్రతి ఒక్కటి సరికాని భిన్నంగా మారుద్దాం మరియు భిన్నాన్ని భిన్నంతో గుణించే నియమం ప్రకారం ఫలిత భిన్నాలను గుణిద్దాం:
నియమం.మిశ్రమ సంఖ్యలను గుణించడానికి, మీరు మొదట వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు భిన్నాలను భిన్నాలతో గుణించే నియమం ప్రకారం వాటిని గుణించాలి.
గమనిక.కారకాల్లో ఒకటి పూర్ణాంకం అయితే, పంపిణీ చట్టం ఆధారంగా గుణకారం క్రింది విధంగా నిర్వహించబడుతుంది:
6. ఆసక్తి భావన.సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు మరియు వివిధ ఆచరణాత్మక గణనలను నిర్వహించేటప్పుడు, మేము అన్ని రకాల భిన్నాలను ఉపయోగిస్తాము. కానీ చాలా పరిమాణాలు వాటికి ఏవైనా సహజ విభజనలను మాత్రమే అనుమతిస్తాయని గుర్తుంచుకోవాలి. ఉదాహరణకు, మీరు రూబుల్‌లో వందవ వంతు (1/100) తీసుకోవచ్చు, అది ఒక కోపెక్, రెండు వందల వంతు 2 కోపెక్‌లు, మూడు వందల వంతు 3 కోపెక్‌లు. మీరు రూబుల్‌లో 1/10 తీసుకోవచ్చు, అది "10 కోపెక్‌లు లేదా పది-కోపెక్ ముక్క. మీరు రూబుల్‌లో పావు వంతు, అంటే 25 కోపెక్‌లు, సగం రూబుల్, అంటే 50 కోపెక్‌లు (యాభై కోపెక్‌లు) తీసుకోవచ్చు. వారు ఆచరణాత్మకంగా తీసుకోరు, ఉదాహరణకు, రూబుల్‌లో 2/7, ఎందుకంటే రూబుల్ ఏడవ వంతుగా విభజించబడలేదు.
బరువు యొక్క యూనిట్, అనగా కిలోగ్రాము, ప్రాథమికంగా దశాంశ విభజనలను అనుమతిస్తుంది, ఉదాహరణకు 1/10 కిలోలు లేదా 100 గ్రా. మరియు 1/6, 1/11, 1/13 వంటి కిలోగ్రాముల భిన్నాలు సాధారణం కాదు.
సాధారణంగా, మా (మెట్రిక్) కొలతలు దశాంశంగా ఉంటాయి మరియు దశాంశ విభజనలను అనుమతిస్తాయి.
అయినప్పటికీ, పరిమాణాలను ఉపవిభజన చేసే ఒకే (ఏకరీతి) పద్ధతిని ఉపయోగించడం అనేక రకాల సందర్భాలలో చాలా ఉపయోగకరంగా మరియు సౌకర్యవంతంగా ఉంటుందని గమనించాలి. చాలా సంవత్సరాల అనుభవం అటువంటి బాగా సమర్థించబడిన విభజన "వందవ" విభజన అని చూపించింది. మానవ ఆచరణలో అత్యంత వైవిధ్యమైన రంగాలకు సంబంధించిన అనేక ఉదాహరణలను పరిశీలిద్దాం.
1. పుస్తకాల ధర మునుపటి ధరలో 12/100 తగ్గింది.
ఉదాహరణ. పుస్తకం యొక్క మునుపటి ధర 10 రూబిళ్లు. ఇది 1 రూబుల్ తగ్గింది. 20 కోపెక్‌లు
2. సేవింగ్స్ బ్యాంకులు డిపాజిటర్లకు సంవత్సరంలో పొదుపు కోసం డిపాజిట్ చేసిన మొత్తంలో 2/100 చెల్లిస్తాయి.
ఉదాహరణ. 500 రూబిళ్లు నగదు రిజిస్టర్‌లో జమ చేయబడతాయి, సంవత్సరానికి ఈ మొత్తం నుండి వచ్చే ఆదాయం 10 రూబిళ్లు.
3. ఒక పాఠశాల నుండి పట్టభద్రుల సంఖ్య మొత్తం విద్యార్థుల సంఖ్యలో 5/100.
ఉదాహరణ పాఠశాలలో 1,200 మంది విద్యార్థులు మాత్రమే ఉన్నారు, వారిలో 60 మంది పట్టభద్రులయ్యారు.
సంఖ్య యొక్క వందవ భాగాన్ని శాతం అంటారు.
"శాతం" అనే పదం లాటిన్ నుండి తీసుకోబడింది మరియు దాని మూలం "సెంట్" అంటే వంద. ప్రిపోజిషన్ (ప్రో సెంటమ్)తో కలిపి, ఈ పదానికి "వంద కోసం" అని అర్థం. ఈ వ్యక్తీకరణ యొక్క అర్థం ప్రారంభంలో పురాతన రోమ్ వడ్డీలో రుణగ్రహీత "ప్రతి వందకు" రుణదాతకు చెల్లించిన డబ్బుకు పేరు పెట్టబడింది. "సెంటు" అనే పదం అటువంటి సుపరిచితమైన పదాలలో వినబడుతుంది: సెంటర్ (వంద కిలోగ్రాములు), సెంటీమీటర్ (సెంటీమీటర్ చెప్పండి).
ఉదాహరణకు, గత నెలలో ప్లాంట్ ఉత్పత్తి చేసిన అన్ని ఉత్పత్తులలో 1/100 లోపభూయిష్టంగా ఉందని చెప్పడానికి బదులుగా, మేము ఇలా చెబుతాము: గత నెలలో మొక్క ఒక శాతం లోపాలను ఉత్పత్తి చేసింది. చెప్పడానికి బదులుగా: ప్లాంట్ ఏర్పాటు చేసిన ప్రణాళిక కంటే 4/100 ఎక్కువ ఉత్పత్తులను ఉత్పత్తి చేసింది, మేము చెబుతాము: ప్లాంట్ ప్రణాళికను 4 శాతం మించిపోయింది.
పై ఉదాహరణలను విభిన్నంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు:
1. పుస్తకాల ధర మునుపటి ధర కంటే 12 శాతం తగ్గింది.
2. సేవింగ్స్ బ్యాంకులు డిపాజిటర్లకు పొదుపులో డిపాజిట్ చేసిన మొత్తంపై సంవత్సరానికి 2 శాతం చెల్లిస్తాయి.
3. ఒక పాఠశాల నుండి పట్టభద్రుల సంఖ్య మొత్తం పాఠశాల విద్యార్థులలో 5 శాతం.
అక్షరాన్ని కుదించడానికి, "శాతం" అనే పదానికి బదులుగా % చిహ్నాన్ని వ్రాయడం ఆచారం.
అయినప్పటికీ, గణనలలో % గుర్తు సాధారణంగా వ్రాయబడదని మీరు గుర్తుంచుకోవాలి; ఇది సమస్య ప్రకటనలో మరియు తుది ఫలితంలో వ్రాయబడుతుంది. గణనలను నిర్వహిస్తున్నప్పుడు, మీరు ఈ గుర్తుతో మొత్తం సంఖ్యకు బదులుగా 100 హారంతో భిన్నాన్ని వ్రాయాలి.
మీరు పూర్ణాంకాన్ని సూచించిన చిహ్నంతో 100 హారంతో భిన్నంతో భర్తీ చేయగలగాలి:
దీనికి విరుద్ధంగా, మీరు 100 హారంతో భిన్నానికి బదులుగా సూచించిన గుర్తుతో పూర్ణాంకాన్ని వ్రాయడం అలవాటు చేసుకోవాలి:
7. ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క శాతాన్ని కనుగొనడం.
టాస్క్ 1.పాఠశాలకు 200 క్యూబిక్ మీటర్లు వచ్చాయి. m కట్టెలు, బిర్చ్ కట్టెలతో 30% ఉంటుంది. అక్కడ ఎంత బిర్చ్ కట్టెలు ఉన్నాయి?
ఈ సమస్య యొక్క అర్థం ఏమిటంటే, బిర్చ్ కట్టెలు పాఠశాలకు పంపిణీ చేయబడిన కట్టెలలో కొంత భాగాన్ని మాత్రమే కలిగి ఉంటాయి మరియు ఈ భాగం భిన్నం 30/100లో వ్యక్తీకరించబడింది. దీనర్థం, సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడానికి మనకు పని ఉంది. దాన్ని పరిష్కరించడానికి, మనం 200ని 30/100తో గుణించాలి (సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడంలో సమస్యలు భిన్నం ద్వారా సంఖ్యను గుణించడం ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి.).
అంటే 200లో 30% 60కి సమానం.
ఈ సమస్యలో ఎదురయ్యే భిన్నం 30/100ని 10 తగ్గించవచ్చు. ఈ తగ్గింపును మొదటి నుండే చేయడం సాధ్యమవుతుంది; సమస్యకు పరిష్కారం మారలేదు.
టాస్క్ 2.శిబిరంలో 300 మంది వివిధ వయసుల పిల్లలు ఉన్నారు. 11 ఏళ్ల పిల్లలు 21%, 12 ఏళ్ల పిల్లలు 61% మరియు చివరకు 13 ఏళ్ల పిల్లలు 18% ఉన్నారు. శిబిరంలో ప్రతి వయస్సులో ఎంత మంది పిల్లలు ఉన్నారు?
ఈ సమస్యలో మీరు మూడు గణనలను నిర్వహించాలి, అనగా 11 సంవత్సరాల వయస్సు, తరువాత 12 సంవత్సరాలు మరియు చివరకు 13 సంవత్సరాల వయస్సు గల పిల్లల సంఖ్యను వరుసగా కనుగొనండి.
అంటే ఇక్కడ మీరు సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని మూడు సార్లు కనుగొనవలసి ఉంటుంది. మనం చేద్దాం:
1) 11 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?
2) 12 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?
3) 13 ఏళ్ల పిల్లలు ఎంత మంది ఉన్నారు?
సమస్యను పరిష్కరించిన తర్వాత, కనుగొన్న సంఖ్యలను జోడించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది; వాటి మొత్తం 300 ఉండాలి:
63 + 183 + 54 = 300
సమస్య ప్రకటనలో ఇచ్చిన శాతాల మొత్తం 100 అని కూడా గమనించాలి:
21% + 61% + 18% = 100%
శిబిరంలో మొత్తం పిల్లల సంఖ్యను 100% తీసుకున్నట్లు ఇది సూచిస్తుంది.
3 a d a h a 3.కార్మికుడు నెలకు 1,200 రూబిళ్లు అందుకున్నాడు. ఇందులో, అతను ఆహారం కోసం 65%, అపార్ట్‌మెంట్లు మరియు తాపనపై 6%, గ్యాస్, విద్యుత్ మరియు రేడియోపై 4%, సాంస్కృతిక అవసరాల కోసం 10% మరియు 15% ఆదా చేశాడు. పనిలో సూచించిన అవసరాలకు ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేయబడింది?
ఈ సమస్యను పరిష్కరించడానికి మీరు 1,200 యొక్క భిన్నాన్ని 5 సార్లు కనుగొనాలి. దీన్ని చేద్దాం.
1) ఆహారం కోసం ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేశారు? ఈ ఖర్చు మొత్తం సంపాదనలో 65% అని సమస్య చెబుతోంది, అంటే 1,200 సంఖ్యలో 65/100. గణన చేద్దాం:
2) తాపనతో అపార్ట్మెంట్ కోసం మీరు ఎంత డబ్బు చెల్లించారు? మునుపటి మాదిరిగానే తర్కించి, మేము ఈ క్రింది గణనకు వస్తాము:
3) గ్యాస్, విద్యుత్ మరియు రేడియో కోసం మీరు ఎంత డబ్బు చెల్లించారు?
4) సాంస్కృతిక అవసరాల కోసం ఎంత డబ్బు ఖర్చు చేశారు?
5) కార్మికుడు ఎంత డబ్బు ఆదా చేశాడు?
తనిఖీ చేయడానికి, ఈ 5 ప్రశ్నలలో ఉన్న సంఖ్యలను జోడించడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. మొత్తం 1,200 రూబిళ్లు ఉండాలి. అన్ని ఆదాయాలు 100%గా తీసుకోబడతాయి, సమస్య ప్రకటనలో ఇచ్చిన శాతాల సంఖ్యలను జోడించడం ద్వారా తనిఖీ చేయడం సులభం.
మేము మూడు సమస్యలను పరిష్కరించాము. ఈ సమస్యలు వేర్వేరు విషయాలతో వ్యవహరించినప్పటికీ (పాఠశాలకు కట్టెల పంపిణీ, వివిధ వయస్సుల పిల్లల సంఖ్య, కార్మికుల ఖర్చులు), అవి ఒకే విధంగా పరిష్కరించబడ్డాయి. ఇది జరిగింది ఎందుకంటే అన్ని సమస్యలలో ఇచ్చిన సంఖ్యలలో అనేక శాతాన్ని కనుగొనడం అవసరం.
§ 90. భిన్నాల విభజన.
మేము భిన్నాల విభజనను అధ్యయనం చేస్తున్నప్పుడు, మేము ఈ క్రింది ప్రశ్నలను పరిశీలిస్తాము:
1. పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించండి.
2. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో భాగించడం
3. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించడం.
4. భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.
5. మిశ్రమ సంఖ్యల విభజన.
6. ఇచ్చిన భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.
7. సంఖ్యను దాని శాతం ద్వారా కనుగొనడం.
వాటిని వరుసగా పరిశీలిద్దాం.
1. పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించండి.
పూర్ణాంకాల విభాగంలో సూచించినట్లుగా, విభజన అనేది రెండు కారకాల (డివిడెండ్) మరియు ఈ కారకాలలో ఒకదాని (డివైజర్) యొక్క ఉత్పత్తిని బట్టి మరొక కారకం కనుగొనబడే వాస్తవం కలిగి ఉంటుంది.
పూర్ణాంకాల విభాగంలో పూర్ణాంకాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగించడాన్ని మేము చూశాము. మేము అక్కడ రెండు విభజన సందర్భాలను ఎదుర్కొన్నాము: శేషం లేకుండా విభజన, లేదా "పూర్తిగా" (150: 10 = 15), మరియు మిగిలిన వాటితో విభజన (100: 9 = 11 మరియు 1 మిగిలినవి). అందువల్ల పూర్ణాంకాల రంగంలో, ఖచ్చితమైన విభజన ఎల్లప్పుడూ సాధ్యం కాదని మనం చెప్పగలం, ఎందుకంటే డివిడెండ్ ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకం ద్వారా భాగించే ఉత్పత్తి కాదు. భిన్నం ద్వారా గుణకారాన్ని ప్రవేశపెట్టిన తర్వాత, పూర్ణాంకాల విభజన సాధ్యమయ్యే ఏదైనా సందర్భాన్ని మనం పరిగణించవచ్చు (సున్నా ద్వారా భాగహారం మాత్రమే మినహాయించబడుతుంది).
ఉదాహరణకు, 7ని 12తో భాగించడం అంటే 12తో ఉత్పత్తి 7కి సమానమైన సంఖ్యను కనుగొనడం. అటువంటి సంఖ్య భిన్నం 7/12 ఎందుకంటే 7/12 12 = 7. మరొక ఉదాహరణ: 14: 25 = 14 / 25, ఎందుకంటే 14 / 25 25 = 14.
ఈ విధంగా, పూర్ణ సంఖ్యను పూర్ణ సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు ఒక భిన్నాన్ని సృష్టించాలి, దీని లవం డివిడెండ్‌కు సమానంగా ఉంటుంది మరియు హారం భాగానికి సమానంగా ఉంటుంది.
2. భిన్నాన్ని పూర్తి సంఖ్యతో భాగించడం.
భిన్నం 6/7ని 3తో భాగించండి. పైన ఇవ్వబడిన విభజన నిర్వచనం ప్రకారం, మనకు ఇక్కడ ఉత్పత్తి (6/7) మరియు కారకాల్లో ఒకటి (3); 3తో గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన ఉత్పత్తికి 6/7 ఇచ్చే రెండవ కారకాన్ని కనుగొనడం అవసరం. సహజంగానే, ఇది ఈ ఉత్పత్తి కంటే మూడు రెట్లు చిన్నదిగా ఉండాలి. అంటే 6/7 భిన్నాన్ని 3 రెట్లు తగ్గించడం మన ముందు పెట్టబడిన పని.
భిన్నాన్ని తగ్గించడం దాని సంఖ్యను తగ్గించడం ద్వారా లేదా దాని హారం పెంచడం ద్వారా చేయవచ్చు అని మనకు ఇప్పటికే తెలుసు. కాబట్టి మీరు వ్రాయవచ్చు:
ఈ సందర్భంలో, న్యూమరేటర్ 6 3 ద్వారా భాగించబడుతుంది, కాబట్టి న్యూమరేటర్‌ను 3 రెట్లు తగ్గించాలి.
మరొక ఉదాహరణ తీసుకుందాం: 5/8ని 2తో భాగించండి. ఇక్కడ న్యూమరేటర్ 5ని 2తో భాగించలేము, అంటే హారం ఈ సంఖ్యతో గుణించబడాలి:
దీని ఆధారంగా, ఒక నియమం చేయవచ్చు: భిన్నాన్ని పూర్ణ సంఖ్యతో విభజించడానికి, మీరు భిన్నం యొక్క లవంను ఆ మొత్తం సంఖ్యతో విభజించాలి.(ఒకవేళ కుదిరితే), అదే హారం వదిలి, లేదా భిన్నం యొక్క హారంను ఈ సంఖ్యతో గుణించి, అదే లవంను వదిలివేయండి.
3. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించడం.
5ని 1/2తో భాగించాల్సిన అవసరం ఉండనివ్వండి, అంటే, 1/2తో గుణించిన తర్వాత, ఉత్పత్తి 5ని అందించే సంఖ్యను కనుగొనండి. సహజంగానే, ఈ సంఖ్య తప్పనిసరిగా 5 కంటే ఎక్కువగా ఉండాలి, ఎందుకంటే 1/2 సరైన భిన్నం. , మరియు సంఖ్యను గుణించినప్పుడు సరైన భిన్నం యొక్క ఉత్పత్తి గుణించబడే ఉత్పత్తి కంటే తక్కువగా ఉండాలి. దీన్ని మరింత స్పష్టంగా చేయడానికి, మన చర్యలను ఈ క్రింది విధంగా వ్రాస్దాం: 5: 1 / 2 = X , అంటే x 1/2 = 5.
మనం అలాంటి సంఖ్యను కనుగొనాలి X , ఇది, 1/2తో గుణిస్తే, 5 ఇస్తుంది. నిర్దిష్ట సంఖ్యను 1/2తో గుణించడం అంటే ఈ సంఖ్యలో 1/2ని కనుగొనడం కాబట్టి, తెలియని సంఖ్యలో 1/2 X 5కి సమానం, మరియు మొత్తం సంఖ్య X రెండింతలు, అంటే 5 2 = 10.
కాబట్టి 5: 1/2 = 5 2 = 10
తనిఖీ చేద్దాం: 
మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. మీరు 6ని 2/3తో భాగించాలనుకుంటున్నారని అనుకుందాం. మొదట డ్రాయింగ్ (Fig. 19) ఉపయోగించి కావలసిన ఫలితాన్ని కనుగొనడానికి ప్రయత్నిద్దాం.
Fig.19
మనం 6 యూనిట్లకు సమానమైన AB విభాగాన్ని గీసి, ప్రతి యూనిట్‌ను 3 సమాన భాగాలుగా విభజిద్దాము. ప్రతి యూనిట్‌లో, మొత్తం సెగ్మెంట్ ABలో మూడింట మూడు వంతులు (3/3) 6 రెట్లు పెద్దది, అనగా. ఉ. 18/3. చిన్న బ్రాకెట్లను ఉపయోగించి, మేము 2 యొక్క 18 ఫలిత విభాగాలను కనెక్ట్ చేస్తాము; 9 సెగ్మెంట్లు మాత్రమే ఉంటాయి. దీనర్థం 2/3 భిన్నం 6 యూనిట్లలో 9 సార్లు ఉంటుంది, లేదా మరో మాటలో చెప్పాలంటే, 2/3 భిన్నం 6 మొత్తం యూనిట్ల కంటే 9 రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది. అందుకే,
గణనలను మాత్రమే ఉపయోగించి డ్రాయింగ్ లేకుండా ఈ ఫలితాన్ని ఎలా పొందాలి? ఇలా తర్కించుకుందాం: మనం 6ని 2/3తో భాగించాలి, అంటే 6లో 2/3 ఎన్ని సార్లు ఉందో అనే ప్రశ్నకు సమాధానం చెప్పాలి. ముందుగా తెలుసుకుందాం: 6లో 1/3 ఎన్ని సార్లు ఉందో? మొత్తం యూనిట్‌లో 3 వంతులు, మరియు 6 యూనిట్లలో 6 రెట్లు ఎక్కువ, అంటే 18 వంతులు; ఈ సంఖ్యను కనుగొనడానికి మనం 6ని 3తో గుణించాలి. అంటే 1/3 అనేది b యూనిట్లలో 18 సార్లు ఉంటుంది మరియు 2/3 b యూనిట్లలో 18 సార్లు కాదు, కానీ సగం కంటే ఎక్కువ సార్లు ఉంటుంది, అంటే 18: 2 = 9 కాబట్టి, 6ని 2/3తో భాగించినప్పుడు మేము ఈ క్రింది వాటిని చేసాము:
ఇక్కడ నుండి మనం పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నంతో భాగించే నియమాన్ని పొందుతాము. పూర్ణ సంఖ్యను భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు ఈ మొత్తం సంఖ్యను ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క హారంతో గుణించాలి మరియు ఈ ఉత్పత్తిని లవంగా చేసి, ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క సంఖ్యతో భాగించాలి.
అక్షరాలను ఉపయోగించి నియమాన్ని వ్రాస్దాం:
ఈ నియమాన్ని పూర్తిగా స్పష్టం చేయడానికి, ఒక భిన్నాన్ని గుణకంగా పరిగణించవచ్చని గుర్తుంచుకోవాలి. అందువల్ల, § 38లో నిర్దేశించబడిన ఒక సంఖ్యను ఒక సంఖ్యతో భాగించే నియమంతో కనుగొనబడిన నియమాన్ని పోల్చడం ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది. అదే ఫార్ములా అక్కడ లభించిందని దయచేసి గమనించండి.
విభజించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:
4. భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడం.
మనం 3/4ని 3/8తో భాగించవలసి ఉందని అనుకుందాం. విభజన ఫలితంగా వచ్చే సంఖ్య అర్థం ఏమిటి? భిన్నం 3/4లో 3/8 భిన్నం ఎన్నిసార్లు ఉంది అనే ప్రశ్నకు ఇది సమాధానం ఇస్తుంది. ఈ సమస్యను అర్థం చేసుకోవడానికి, డ్రాయింగ్ (Fig. 20) చేద్దాం.
AB విభాగాన్ని తీసుకుందాం, దానిని ఒకటిగా తీసుకుని, దానిని 4 సమాన భాగాలుగా విభజించి, అటువంటి 3 భాగాలను గుర్తించండి. సెగ్మెంట్ AC సెగ్మెంట్ ABలో 3/4కి సమానంగా ఉంటుంది. ఇప్పుడు మనం నాలుగు అసలైన విభాగాలను సగానికి విభజిద్దాము, అప్పుడు సెగ్మెంట్ AB 8 సమాన భాగాలుగా విభజించబడుతుంది మరియు అటువంటి ప్రతి భాగం AB విభాగంలో 1/8కి సమానంగా ఉంటుంది. అటువంటి 3 విభాగాలను ఆర్క్‌లతో కనెక్ట్ చేద్దాం, ఆపై ప్రతి AD మరియు DC సెగ్మెంట్ AB యొక్క 3/8కి సమానంగా ఉంటుంది. డ్రాయింగ్ 3/8కి సమానమైన సెగ్మెంట్ 3/4కి సరిగ్గా 2 సార్లు సమానమైన విభాగంలో ఉన్నట్లు చూపిస్తుంది; దీని అర్థం విభజన ఫలితాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు:
3 / 4: 3 / 8 = 2
మరొక ఉదాహరణ చూద్దాం. మనం 15/16ని 3/32తో విభజించాలని అనుకుందాం:
మనం ఇలా తర్కించవచ్చు: 3/32తో గుణించిన తర్వాత 15/16కి సమానమైన ఉత్పత్తిని అందించే సంఖ్యను మనం కనుగొనాలి. లెక్కలను ఇలా వ్రాద్దాం:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 తెలియని నంబర్ X 15/16 ఉన్నాయి
తెలియని నంబర్‌లో 1/32 X ఉంది,
32/32 సంఖ్యలు X తయారు .
అందుకే,
ఈ విధంగా, భిన్నాన్ని భిన్నం ద్వారా విభజించడానికి, మీరు మొదటి భిన్నం యొక్క లవణాన్ని రెండవ హారంతో గుణించాలి మరియు మొదటి భిన్నం యొక్క హారంను రెండవ దానితో గుణించాలి మరియు మొదటి ఉత్పత్తిని న్యూమరేటర్‌గా చేయాలి, మరియు రెండవది హారం.
అక్షరాలను ఉపయోగించి నియమాన్ని వ్రాస్దాం:
విభజించేటప్పుడు, సంక్షిప్తాలు సాధ్యమే, ఉదాహరణకు:
5. మిశ్రమ సంఖ్యల విభజన.
మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించేటప్పుడు, వాటిని మొదట సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి, ఆపై ఫలిత భిన్నాలను భిన్నాలను విభజించే నియమాల ప్రకారం విభజించాలి. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
మిశ్రమ సంఖ్యలను సరికాని భిన్నాలకు మారుద్దాం:
ఇప్పుడు విభజించుదాం:
అందువల్ల, మిశ్రమ సంఖ్యలను విభజించడానికి, మీరు వాటిని సరికాని భిన్నాలుగా మార్చాలి మరియు భిన్నాలను విభజించే నియమాన్ని ఉపయోగించి విభజించాలి.
6. ఇచ్చిన భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడం.
వివిధ భిన్న సమస్యలలో, కొన్నిసార్లు తెలియని సంఖ్య యొక్క కొంత భిన్నం యొక్క విలువ ఇవ్వబడినవి మరియు మీరు ఈ సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది. ఈ రకమైన సమస్య ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క భిన్నాన్ని కనుగొనడంలో సమస్య యొక్క విలోమంగా ఉంటుంది; అక్కడ ఒక సంఖ్య ఇవ్వబడింది మరియు ఈ సంఖ్యలో కొంత భాగాన్ని కనుగొనడం అవసరం, ఇక్కడ ఒక సంఖ్య యొక్క భిన్నం ఇవ్వబడింది మరియు ఈ సంఖ్యను కనుగొనడం అవసరం. మేము ఈ రకమైన సమస్యను పరిష్కరించడానికి మారితే ఈ ఆలోచన మరింత స్పష్టంగా మారుతుంది.
టాస్క్ 1.మొదటి రోజు, గ్లేజియర్లు 50 కిటికీలను మెరుస్తూ, నిర్మించిన ఇంటి అన్ని కిటికీలలో 1/3. ఈ ఇంట్లో ఎన్ని కిటికీలు ఉన్నాయి?
పరిష్కారం. 50 మెరుస్తున్న కిటికీలు ఇంటి కిటికీలన్నింటిలో 1/3ని కలిగి ఉన్నాయని సమస్య చెబుతుంది, అంటే మొత్తం 3 రెట్లు ఎక్కువ కిటికీలు ఉన్నాయి, అనగా.
ఇంటికి 150 కిటికీలు ఉండేవి.
టాస్క్ 2.స్టోర్ 1,500 కిలోల పిండిని విక్రయించింది, ఇది స్టోర్‌లో ఉన్న మొత్తం పిండి స్టాక్‌లో 3/8 వంతు. స్టోర్ యొక్క ప్రారంభ సరఫరా పిండి ఎంత?
పరిష్కారం.సమస్య యొక్క పరిస్థితుల నుండి, విక్రయించబడిన 1,500 కిలోల పిండి మొత్తం స్టాక్‌లో 3/8 వంతు అని స్పష్టంగా తెలుస్తుంది; దీని అర్థం ఈ రిజర్వ్‌లో 1/8 3 రెట్లు తక్కువగా ఉంటుంది, అంటే దాన్ని లెక్కించడానికి మీరు 1500ని 3 రెట్లు తగ్గించాలి:
1,500: 3 = 500 (ఇది రిజర్వ్‌లో 1/8).
సహజంగానే, మొత్తం సరఫరా 8 రెట్లు పెద్దదిగా ఉంటుంది. అందుకే,
500 8 = 4,000 (కిలోలు).
దుకాణంలో పిండి ప్రారంభ స్టాక్ 4,000 కిలోలు.
ఈ సమస్య యొక్క పరిశీలన నుండి, క్రింది నియమాన్ని పొందవచ్చు.
దాని భిన్నం యొక్క ఇచ్చిన విలువ నుండి సంఖ్యను కనుగొనడానికి, ఈ విలువను భిన్నం యొక్క లవం ద్వారా విభజించి, ఫలితాన్ని భిన్నం యొక్క హారం ద్వారా గుణిస్తే సరిపోతుంది.
మేము దాని భిన్నం ఇచ్చిన సంఖ్యను కనుగొనడంలో రెండు సమస్యలను పరిష్కరించాము. అటువంటి సమస్యలు, ముఖ్యంగా చివరి నుండి స్పష్టంగా కనిపించే విధంగా, రెండు చర్యల ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి: విభజన (ఒక భాగం కనుగొనబడినప్పుడు) మరియు గుణకారం (మొత్తం సంఖ్య కనుగొనబడినప్పుడు).
అయితే, మేము భిన్నాల విభజనను నేర్చుకున్న తర్వాత, పై సమస్యలను ఒక చర్యతో పరిష్కరించవచ్చు, అవి: భిన్నం ద్వారా విభజన.
ఉదాహరణకు, చివరి పనిని ఇలా ఒక చర్యలో పరిష్కరించవచ్చు:
భవిష్యత్తులో, మేము దాని భిన్నం నుండి సంఖ్యను కనుగొనడంలో సమస్యలను ఒక చర్యతో పరిష్కరిస్తాము - విభజన.
7. సంఖ్యను దాని శాతం ద్వారా కనుగొనడం.
ఈ సమస్యలలో మీరు ఆ సంఖ్యలో కొన్ని శాతాన్ని తెలుసుకునే సంఖ్యను కనుగొనవలసి ఉంటుంది.
టాస్క్ 1.ఈ సంవత్సరం ప్రారంభంలో నేను పొదుపు బ్యాంకు నుండి 60 రూబిళ్లు అందుకున్నాను. ఒక సంవత్సరం క్రితం నేను పొదుపులో పెట్టిన మొత్తం నుండి ఆదాయం. నేను సేవింగ్స్ బ్యాంకులో ఎంత డబ్బు పెట్టాను? (నగదు డెస్క్‌లు డిపాజిటర్లకు సంవత్సరానికి 2% రాబడిని అందిస్తాయి.)
సమస్య యొక్క విషయం ఏమిటంటే, నేను కొంత మొత్తాన్ని సేవింగ్స్ బ్యాంక్‌లో వేసి ఒక సంవత్సరం పాటు అక్కడే ఉన్నాను. ఒక సంవత్సరం తరువాత, నేను ఆమె నుండి 60 రూబిళ్లు అందుకున్నాను. ఆదాయం, ఇది నేను డిపాజిట్ చేసిన డబ్బులో 2/100. నేను ఎంత డబ్బు పెట్టాను?
పర్యవసానంగా, ఈ డబ్బులో కొంత భాగాన్ని తెలుసుకోవడం, రెండు విధాలుగా (రూబిళ్లు మరియు భిన్నాలలో) వ్యక్తీకరించబడింది, మేము మొత్తం, ఇంకా తెలియని మొత్తాన్ని కనుగొనాలి. ఇది భిన్నం ఇచ్చిన సంఖ్యను కనుగొనడంలో సాధారణ సమస్య. విభజన ద్వారా క్రింది సమస్యలు పరిష్కరించబడతాయి:
అంటే 3,000 రూబిళ్లు పొదుపు బ్యాంకులో జమ చేయబడ్డాయి.
టాస్క్ 2.మత్స్యకారులు నెలవారీ ప్రణాళికను రెండు వారాల్లో 64% పూర్తి చేసి, 512 టన్నుల చేపలను పండించారు. వారి ప్రణాళిక ఏమిటి?
మత్స్యకారులు ప్రణాళికలో కొంత భాగాన్ని పూర్తి చేసినట్లు సమస్య పరిస్థితుల నుండి తెలిసింది. ఈ భాగం 512 టన్నులకు సమానం, ఇది ప్రణాళికలో 64%. ప్రణాళిక ప్రకారం ఎన్ని టన్నుల చేపలను సిద్ధం చేయాలో మాకు తెలియదు. ఈ సంఖ్యను కనుగొనడం సమస్యకు పరిష్కారం అవుతుంది.
ఇటువంటి సమస్యలు విభజన ద్వారా పరిష్కరించబడతాయి:
అంటే పథకం ప్రకారం 800 టన్నుల చేపలను సిద్ధం చేయాల్సి ఉంటుంది.
టాస్క్ 3.రైలు రిగా నుండి మాస్కోకు వెళ్ళింది. అతను 276వ కిలోమీటరు దాటినప్పుడు, ప్రయాణీకులలో ఒకరు ప్రయాణిస్తున్న కండక్టర్‌ను వారు ఇప్పటికే ఎంత ప్రయాణం చేసారని అడిగారు. దానికి కండక్టర్ ఇలా బదులిచ్చారు: "మేము ఇప్పటికే మొత్తం ప్రయాణంలో 30% కవర్ చేసాము." రిగా నుండి మాస్కోకు దూరం ఎంత?
సమస్య పరిస్థితుల నుండి రిగా నుండి మాస్కో వరకు 30% మార్గం 276 కిమీ అని స్పష్టమవుతుంది. మేము ఈ నగరాల మధ్య మొత్తం దూరాన్ని కనుగొనాలి, అంటే, ఈ భాగం కోసం, మొత్తం కనుగొనండి:
§ 91. పరస్పర సంఖ్యలు. విభజనను గుణకారంతో భర్తీ చేయడం.
2/3 భిన్నాన్ని తీసుకుందాం మరియు హారం స్థానంలో న్యూమరేటర్‌ను భర్తీ చేద్దాం, మనకు 3/2 వస్తుంది. మేము ఈ భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని పొందాము.
ఇచ్చిన భిన్నం యొక్క విలోమ భిన్నాన్ని పొందడానికి, మీరు హారం స్థానంలో దాని సంఖ్యను మరియు లవం స్థానంలో హారం ఉంచాలి. ఈ విధంగా మనం ఏదైనా భిన్నం యొక్క అన్యోన్యతను పొందవచ్చు. ఉదాహరణకి:
3/4, రివర్స్ 4/3; 5/6, రివర్స్ 6/5
మొదటి దాని యొక్క లవం రెండవ యొక్క హారం మరియు మొదటి యొక్క హారం రెండవ యొక్క లవం అనే ఆస్తిని కలిగి ఉన్న రెండు భిన్నాలను అంటారు. పరస్పరం విలోమం.
ఇప్పుడు 1/2 యొక్క రెసిప్రొకల్ ఏ భిన్నం అని ఆలోచిద్దాం. సహజంగానే, ఇది 2/1 లేదా కేవలం 2 అవుతుంది. ఇచ్చిన దాని యొక్క విలోమ భిన్నం కోసం వెతకడం ద్వారా, మనకు పూర్ణాంకం వచ్చింది. మరియు ఈ కేసు ఒంటరిగా లేదు; దీనికి విరుద్ధంగా, 1 (ఒకటి) సంఖ్యతో ఉన్న అన్ని భిన్నాలకు, పరస్పరం పూర్ణాంకాలుగా ఉంటాయి, ఉదాహరణకు:
1/3, రివర్స్ 3; 1/5, రివర్స్ 5
పరస్పర భిన్నాలను కనుగొనడంలో మేము పూర్ణాంకాలను కూడా ఎదుర్కొన్నాము కాబట్టి, ఈ క్రింది వాటిలో పరస్పర భిన్నాల గురించి కాకుండా పరస్పర సంఖ్యల గురించి మాట్లాడుతాము.
పూర్ణాంకం యొక్క విలోమాన్ని ఎలా వ్రాయాలో తెలుసుకుందాం. భిన్నాల కోసం, ఇది సరళంగా పరిష్కరించబడుతుంది: మీరు న్యూమరేటర్ స్థానంలో హారం ఉంచాలి. అదే విధంగా, మీరు పూర్ణాంకం యొక్క విలోమాన్ని పొందవచ్చు, ఎందుకంటే ఏదైనా పూర్ణాంకం 1 యొక్క హారం కలిగి ఉంటుంది. దీని అర్థం 7 యొక్క విలోమం 1/7 అవుతుంది, ఎందుకంటే 7 = 7/1; 10 సంఖ్యకు విలోమం 1/10 అవుతుంది, ఎందుకంటే 10 = 10/1
ఈ ఆలోచనను విభిన్నంగా వ్యక్తీకరించవచ్చు: ఇచ్చిన సంఖ్యతో ఒకదానిని విభజించడం ద్వారా ఇచ్చిన సంఖ్య యొక్క పరస్పరం పొందబడుతుంది. ఈ ప్రకటన పూర్ణ సంఖ్యలకు మాత్రమే కాదు, భిన్నాలకు కూడా వర్తిస్తుంది. వాస్తవానికి, మనం 5/9 భిన్నం యొక్క విలోమాన్ని వ్రాయవలసి వస్తే, మనం 1ని తీసుకొని దానిని 5/9 ద్వారా విభజించవచ్చు, అనగా.
ఇప్పుడు ఒక విషయం ఎత్తి చూపుదాం ఆస్తిపరస్పర సంఖ్యలు, ఇది మాకు ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది: పరస్పర సంఖ్యల ఉత్పత్తి ఒకదానికి సమానం.నిజానికి:
ఈ లక్షణాన్ని ఉపయోగించి, మేము ఈ క్రింది విధంగా పరస్పర సంఖ్యలను కనుగొనవచ్చు. మనం 8 యొక్క విలోమాన్ని కనుగొనవలసి ఉందని అనుకుందాం.
దానిని అక్షరంతో సూచిస్తాం X , ఆపై 8 X = 1, అందుకే X = 1/8. 7/12 యొక్క విలోమ సంఖ్యను కనుగొని దానిని అక్షరంతో సూచిస్తాము X , తర్వాత 7/12 X = 1, అందుకే X = 1: 7 / 12 లేదా X = 12 / 7 .
భిన్నాలను విభజించడం గురించి సమాచారాన్ని కొద్దిగా భర్తీ చేయడానికి మేము పరస్పర సంఖ్యల భావనను ఇక్కడ పరిచయం చేసాము.
మేము 6 సంఖ్యను 3/5 ద్వారా విభజించినప్పుడు, మేము ఈ క్రింది వాటిని చేస్తాము:
వ్యక్తీకరణపై ప్రత్యేక శ్రద్ధ వహించండి మరియు ఇచ్చిన దానితో పోల్చండి: .
మునుపటితో సంబంధం లేకుండా మేము వ్యక్తీకరణను విడిగా తీసుకుంటే, అది ఎక్కడ నుండి వచ్చింది అనే ప్రశ్నను పరిష్కరించడం అసాధ్యం: 6 ను 3/5 ద్వారా విభజించడం లేదా 6 ను 5/3 ద్వారా గుణించడం నుండి. రెండు సందర్భాల్లోనూ అదే జరుగుతుంది. కాబట్టి మనం చెప్పగలం ఒక సంఖ్యను మరొకదానితో భాగించడం అనేది డివిడెండ్‌ను భాగహారం యొక్క విలోమంతో గుణించడం ద్వారా భర్తీ చేయబడుతుంది.
మేము దిగువ ఇచ్చిన ఉదాహరణలు ఈ తీర్మానాన్ని పూర్తిగా నిర్ధారిస్తాయి.
న్యూమరేటర్ మరియు హారం కనుగొనండి.భిన్నం రెండు సంఖ్యలను కలిగి ఉంటుంది: రేఖకు పైన ఉన్న సంఖ్యను న్యూమరేటర్ అని పిలుస్తారు మరియు రేఖకు దిగువన ఉన్న సంఖ్యను హారం అంటారు. హారం మొత్తం విభజించబడిన మొత్తం భాగాల సంఖ్యను సూచిస్తుంది మరియు లవం అనేది అటువంటి భాగాల సంఖ్య.
- ఉదాహరణకు, భిన్నం ½లో న్యూమరేటర్ 1 మరియు హారం 2.
హారం నిర్ణయించండి.రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ భిన్నాలు సాధారణ హారం కలిగి ఉంటే, అటువంటి భిన్నాలు రేఖ క్రింద ఒకే సంఖ్యను కలిగి ఉంటాయి, అంటే, ఈ సందర్భంలో, నిర్దిష్ట మొత్తం ఒకే సంఖ్యలో భాగాలుగా విభజించబడింది. ఒక సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించడం చాలా సులభం, ఎందుకంటే సారాంశం భిన్నం యొక్క హారం జోడించబడే భిన్నాల వలెనే ఉంటుంది. ఉదాహరణకి:
- 3/5 మరియు 2/5 భిన్నాలు 5 యొక్క సాధారణ హారం కలిగి ఉంటాయి.
- 3/8, 5/8, 17/8 భిన్నాలు 8 యొక్క సాధారణ హారం కలిగి ఉంటాయి.
సంఖ్యలను నిర్ణయించండి.సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి, వాటి సంఖ్యలను జోడించి, జోడించబడుతున్న భిన్నాల హారం పైన ఫలితాన్ని రాయండి.
- 3/5 మరియు 2/5 భిన్నాలు 3 మరియు 2 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
- 3/8, 5/8, 17/8 భిన్నాలు 3, 5, 17 సంఖ్యలను కలిగి ఉంటాయి.
సంఖ్యలను జోడించండి.సమస్య 3/5 + 2/5లో, 3 + 2 = 5 సంఖ్యలను జోడించండి. సమస్య 3/8 + 5/8 + 17/8లో, 3 + 5 + 17 = 25 సంఖ్యలను జోడించండి.
మొత్తం భిన్నాన్ని వ్రాయండి.సాధారణ హారంతో భిన్నాలను జోడించేటప్పుడు, అది మారదు - సంఖ్యలు మాత్రమే జోడించబడతాయి.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
అవసరమైతే భిన్నాన్ని మార్చండి.కొన్నిసార్లు భిన్నాన్ని భిన్నం లేదా దశాంశంగా కాకుండా పూర్తి సంఖ్యగా వ్రాయవచ్చు. ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/5 సులభంగా 1కి మార్చబడుతుంది, ఎందుకంటే ఏదైనా భిన్నం దాని హారంతో సమానంగా ఉంటుంది 1. మూడు భాగాలుగా కత్తిరించిన పైని ఊహించుకోండి. మీరు మూడు భాగాలు తింటే, మీరు మొత్తం (ఒక) పైరు తిన్నట్టే.
- ఏదైనా భిన్నాన్ని దశాంశంగా మార్చవచ్చు; దీన్ని చేయడానికి, లవంను హారం ద్వారా విభజించండి. ఉదాహరణకు, భిన్నం 5/8 ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: 5 ÷ 8 = 0.625.
వీలైతే, భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయండి.సరళీకృత భిన్నం అనేది లవం మరియు హారం సాధారణ కారకాలు లేని భిన్నం.
- ఉదాహరణకు, భిన్నం 3/6ని పరిగణించండి. ఇక్కడ న్యూమరేటర్ మరియు హారం రెండూ 3కి సమానమైన ఉమ్మడి భాగహారాన్ని కలిగి ఉంటాయి, అనగా, లవం మరియు హారం పూర్తిగా 3చే భాగించబడతాయి. కాబట్టి, 3/6 భిన్నాన్ని ఈ క్రింది విధంగా వ్రాయవచ్చు: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
అవసరమైతే, సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నానికి (మిశ్రమ సంఖ్య) మార్చండి.సరికాని భిన్నం దాని హారం కంటే ఎక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది, ఉదాహరణకు, 25/8 (సరైన భిన్నం దాని హారం కంటే తక్కువ సంఖ్యను కలిగి ఉంటుంది). ఒక సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ భిన్నంగా మార్చవచ్చు, ఇందులో పూర్ణాంకం భాగం (అంటే పూర్ణ సంఖ్య) మరియు భిన్న భాగం (అంటే సరైన భిన్నం) ఉంటాయి. 25/8 వంటి సరికాని భిన్నాన్ని మిశ్రమ సంఖ్యగా మార్చడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:
- సరికాని భిన్నం యొక్క లవంను దాని హారంతో భాగించండి; పాక్షిక కోషెంట్ (మొత్తం సమాధానం) రాయండి. మా ఉదాహరణలో: 25 ÷ 8 = 3 మరియు కొంత మిగిలినవి. ఈ సందర్భంలో, మొత్తం సమాధానం మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క మొత్తం భాగం.
- మిగిలిన వాటిని కనుగొనండి. మా ఉదాహరణలో: 8 x 3 = 24; అసలైన లవం నుండి ఫలిత ఫలితాన్ని తీసివేయండి: 25 - 24 = 1, అంటే, శేషం 1. ఈ సందర్భంలో, శేషం మిశ్రమ సంఖ్య యొక్క పాక్షిక భాగం యొక్క లవం.
- మిశ్రమ భిన్నాన్ని వ్రాయండి. హారం మారదు (అనగా, ఇది సరికాని భిన్నం యొక్క హారంతో సమానం), కాబట్టి 25/8 = 3 1/8.
పబ్లిక్ పాఠం
గణితంలో గ్రేడ్ 6b (పరిహార తరగతి VIII రకం)
అనే అంశంపై:
భిన్నాలను కలుపుతోంది
అదే హారంతో.
పాఠం రకం: కొత్త మెటీరియల్ నేర్చుకోవడం.
పాఠం రకం: పాఠం - అద్భుత కథ.
తరగతి: 6.7 "బి".
లక్ష్యాలు:
వంటి హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం వంటి కార్యకలాపాలకు విద్యార్థులను పరిచయం చేయండి;
పనులు:
దిద్దుబాటు - విద్యా:
వంటి హారంతో భిన్నాలను జోడించడంలో నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి;
దిద్దుబాటు - అభివృద్ధి:
లాజికల్ మరియు మ్యాథమెటికల్ థింకింగ్ డెవలప్‌మెంట్‌ను సరిదిద్దండి, అలాగే హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి మరియు నోట్‌బుక్‌లో వ్రాతపూర్వకంగా పని చేస్తున్నప్పుడు అల్గోరిథం పఠించండి;
ప్రామాణికం కాని పరిస్థితులలో పనులను పూర్తి చేయడం ద్వారా విద్యార్థుల అభిజ్ఞా కార్యకలాపాల అభివృద్ధిని సరిదిద్దడం;
శ్రద్ధ మరియు స్వీయ నియంత్రణ నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి.
దిద్దుబాటు మరియు విద్యా:
జీవితం మరియు అభ్యాసంతో కనెక్షన్ల ఆధారంగా విషయంపై ఆసక్తిని కలిగించండి;
ప్రసంగం యొక్క గణిత సంస్కృతి యొక్క నిర్మాణం (భిన్నాల సరైన ఉచ్చారణ);
స్వీయ-గౌరవ నైపుణ్యాలను అభివృద్ధి చేయండి;
తరగతుల సమయంలో
ఆర్గ్. క్షణం.
1.నమస్కారం
“మిమ్మల్ని చూడడం ఆనందంగా ఉంది. నీ అనుభూతి ఎలా ఉంది? గుర్తుంచుకోండి, ఏదైనా కష్టంగా అనిపించి, పని చేయకపోతే, అది సమస్య కాదు, మేము కలిసి ప్రతిదీ నేర్చుకుంటాము!
2. పని చేయడానికి సిద్ధంగా ఉండటం
అబ్బాయిలు, మీరు పాఠం కోసం సిద్ధంగా ఉన్నారా?
నేను నిన్ను నమ్ముతున్నాను, మిత్రులారా!
మీరు మంచి, స్నేహపూర్వక తరగతి,
ప్రతిదీ మన కోసం పని చేస్తుంది!
ఈ రోజు మా పాఠం అసాధారణమైనది; మాకు తెలిసిన మరియు ఇష్టపడే అద్భుత కథ ద్వారా మేము మిమ్మల్ని ప్రయాణంలో తీసుకెళ్తాము.
ప్రపంచంలో అనేక అద్భుత కథలు ఉన్నాయి
విచారంగా మరియు ఫన్నీ.
మరియు ప్రపంచంలో జీవించండి
వారు లేకుండా మనం జీవించలేము!
అద్భుత కథల నాయకులు లెట్
అవి మనకు వెచ్చదనాన్ని ఇస్తాయి
మంచితనం ఎప్పటికీ ఉండనివ్వండి
చెడు గెలుస్తుంది!
మౌఖిక లెక్కింపు.
ముప్పైవ రాజ్యంలో జార్ మరియు అతని కుమార్తె వాసిలిసా ది వైజ్ నివసించారు, మరియు ముప్పైవ రాజ్యంలో ఇవాన్ ది సారెవిచ్ నివసించారు. మార్గం ద్వారా, మీరు బోర్డులో ఏ సంఖ్యను చూస్తారు? నన్ను మీకు సహాయపడనివ్వండి:
ఎవరైనా ఒక మైలు దూరంలో ఉండవచ్చు
పాక్షికం చూడండి గీత.
రేఖపైన - న్యూమరేటర్ , తెలుసు,
గీత కింద - హారం.
ఖచ్చితంగా అలాంటి భిన్నం
మీరు కాల్ చేయాలి సాధారణ.
కానీ రాజు తన వాసిలిసాను తాను కలిసిన మొదటి వ్యక్తికి ఇవ్వడానికి ఇష్టపడలేదు. అతను ఇవాన్‌కు భరించలేని పనిని ఇవ్వాలని నిర్ణయించుకున్నాడు. మరియు అతను ఇవాన్‌తో ఇలా అంటాడు: "అక్కడికి వెళ్ళు - నాకు ఎక్కడ తెలియదు, దీన్ని తీసుకురండి, నాకు ఏమి తెలియదు." ఇవాన్ కష్టపడి, బాధపడ్డాడు మరియు వెతకడానికి వెళ్ళాడు. కానీ ఎక్కడికి వెళ్లాలి, ఎక్కడ చూడాలి?
ఇవాన్, గ్రే వోల్ఫ్‌తో కలిసి రోడ్డు మీద బయలుదేరాడు. వారు మొదట బాబా యాగా వైపు తిరగాలని నిర్ణయించుకున్నారు. మరియు బాబా యాగా ఒక పనిని సిద్ధం చేశాడు.
ఓరల్ లెక్కింపు పనులు. కానీ అబ్బాయిలు, ఇవాన్ సారెవిచ్ గణితంలో మంచివాడు కాదు, మనం అతనికి సహాయం చేయాలా?
భిన్నం యొక్క లవం మరియు హారం పేర్కొనండి
న్యూమరేటర్ ఏమి చూపిస్తుంది మరియు హారం ఏమి చూపుతుంది? (హారం ఎన్ని షేర్లు విభజించబడిందో చూపిస్తుంది మరియు అటువంటి షేర్లు ఎన్ని తీసుకోబడ్డాయో న్యూమరేటర్ చూపిస్తుంది.)
భిన్నాల పోలిక:
మరియు 1 మరియు 
మరియు 1
మరియు 
5/5 మరియు 
మరియు
.
బాగా చేసారు, మీరు పనిని పూర్తి చేసారు. మరియు ఇప్పుడు మేజిక్ బాల్‌ను అమరుడైన కోష్చెయ్‌కి మరింతగా అనుసరించండి.
III. ప్రాథమిక పరిజ్ఞానాన్ని నవీకరిస్తోంది.
మీరు పాక్షిక సంఖ్యల చిక్కైన ద్వారా కోష్చేకి చేరుకోవాలి.
ఈ భిన్నాలను రెండు పంక్తులలో వ్రాయండి: ,, 
, 
, 
, 
. సరైన: , , .
తప్పు: , , .
బాగా చేసారు, మీరు ఈ పనిని కూడా పూర్తి చేసారు.
కాబట్టి మేజిక్ బాల్ ఇవాన్ మరియు గ్రే వోల్ఫ్‌ను కోష్చేకి తీసుకువచ్చింది. మరియు కోస్చే ఇలా అంటాడు: “నేను ఇక్కడ ఒంటరిగా జీవించడం విసుగు చెందాను, కానీ మీరు నన్ను రంజింపజేస్తే, నేను సహాయం చేస్తాను. నా పనులు పూర్తి చేయి."
1. టాస్క్ నంబర్ 1 . శారీరక వ్యాయామం.
ఫిజ్మినుట్కా :
ఎలుగుబంటి గుహలోంచి బయటకు వచ్చింది.
ఒకటికి రెండు సార్లు కాళ్లు పైకెత్తాడు.
కూర్చొని లేచి నిలబడ్డాడు. కూర్చొని లేచి నిలబడ్డాడు.
అతను తన పాదాలను వెనుకకు పెట్టాడు.
తడబడి, వెనుదిరిగింది
మరియు అతను కొద్దిగా విస్తరించాడు.
1.వ్యాసార్థం యొక్క వృత్తాన్ని గీయండిఆర్=2 సెం.మీ.
2. పైగా పెయింట్
వృత్తం - పసుపు
వృత్తం - నీలం.
వృత్తంలోని ఏ భాగం షేడ్ చేయబడిందో మరియు ఏ భాగం షేడ్ చేయబడలేదని వ్రాయండి.
షేడెడ్- __________
పెయింట్ చేయబడలేదు - _________
సంఖ్యలను రూపొందించడానికి మీరు చర్య సంకేతాలను ఎలా ఉపయోగించవచ్చో ఆలోచించండి మరియు , సంఖ్య పొందండి . ఎ ?
మేము విశ్రాంతి తీసుకున్నాము, నేరుగా కూర్చుని పనికి వచ్చాము.పని సంఖ్య 2. కార్డ్ నంబర్ 1 (సమస్య టాస్క్).
కాబట్టి, ఈ రోజు మనం తరగతిలో ఏమి చేయబోతున్నాం? "ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం" అనే పాఠం యొక్క సంఖ్య మరియు అంశాన్ని మన నోట్బుక్లలో వ్రాసుకుందాం. ఒకే హారంతో భిన్నాలను జోడించడం మరియు తీసివేయడం ఎలాగో నేర్చుకోవడమే మా లక్ష్యం. ఒక ఉదాహరణ చూద్దాం:
వంటి హారంతో భిన్నాలను జోడించడానికి అల్గారిథమ్ : వంటి హారంలతో భిన్నాలను జోడించడానికి లేదా తీసివేయడానికి, వాటి సంఖ్యలను జోడించండి లేదా తీసివేయండి మరియు హారంను అలాగే వదిలివేయండి.
VI. విద్యార్థుల నైపుణ్యాలు మరియు సామర్థ్యాల ఏర్పాటు.
కాబట్టి మేజిక్ బాల్ ఇవాన్ మరియు గ్రే వోల్ఫ్‌ను పాము గోరినిచ్ వద్దకు తీసుకువచ్చింది. అతను ఒక పెట్టెను ఉంచాడు మరియు దానిలో ఏమి ఉందో ఎవరికీ తెలియదు. కానీ సర్పెంట్ గోరినిచ్ కేవలం ఇవాన్‌కు పెట్టెను ఇవ్వదు. మేము ఇవాన్ సారెవిచ్‌కు సహాయం చేయాలి మరియు దీని కోసం ప్రతి ఒక్కరూ స్వతంత్రంగా పని చేయాలి మరియు స్వతంత్ర పని కోసం పనులు పెట్టెలో ఉన్నాయి (వారు పెట్టెకి వెళ్లి పనులను తీసుకుంటారు). కార్డ్ నంబర్ 2 (స్వతంత్ర పని). మీరు పనులను పూర్తి చేసినప్పుడు, మీరు మరియు నేను సమాధానాలను తనిఖీ చేస్తాము మరియు మేము ఇవాన్ సారెవిచ్‌కు సహాయం చేశామా లేదా అని కనుగొంటాము.
నోట్బుక్లలో పని చేయండి:ఇంటి పని : మరొక అద్భుత కథ నుండి సమస్యను పరిష్కరించండి.
పాఠం సారాంశం. గ్రేడింగ్.
కాబట్టి, అద్భుత కథ ఇక్కడ ముగుస్తుంది. చెప్పు, ఈ రోజు మనం ఏమి చేసాము? మళ్లీ రూల్ రిపీట్ చేద్దాం.
నేటి పాఠం ముగిసింది,
కానీ ప్రతి ఒక్కరూ తెలుసుకోవాలి:
జ్ఞానం, పట్టుదల మరియు పని,
వారు మిమ్మల్ని జీవితంలో విజయానికి నడిపిస్తారు!
VI . ప్రతిబింబం.
అబ్బాయిలు, మీకు పాఠం నచ్చిందా? తగిన ఎమోటికాన్‌ను ఎంచుకుని, దానిని బోర్డులో అతికించండి. పాఠానికి ధన్యవాదాలు. వీడ్కోలు