10 nierówności z rozwiązaniami. Metoda przedziałowa: rozwiązywanie najprostszych ścisłych nierówności

Nazywa się każdą nierówność zawierającą funkcję pod pierwiastkiem irracjonalny. Istnieją dwa rodzaje takich nierówności:

W pierwszym przypadku korzeń mniej funkcji g (x), w drugim - więcej. Jeśli g(x) - stały, nierówność jest znacznie uproszczona. Uwaga: na zewnątrz nierówności te są bardzo podobne, ale schematy ich rozwiązywania są zasadniczo różne.

Dzisiaj nauczymy się rozwiązywać nierówności irracjonalne pierwszego typu - są one najprostsze i najbardziej zrozumiałe. Znak nierówności może być ścisły lub nieścisły. W ich przypadku prawdziwe jest następujące stwierdzenie:

Twierdzenie. Wszelkiego rodzaju rzeczy irracjonalna nierówność Uprzejmy

Odpowiednik układu nierówności:

Nie słaby? Przyjrzyjmy się, skąd pochodzi ten system:

1. f (x) ≤ g 2 (x) - tutaj wszystko jest jasne. To jest pierwotna nierówność do kwadratu;
2. f(x) ≥ 0 jest ODZ korzenia. Przypomnę: arytmetyka Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko od nieujemne liczby;
3. g(x) ≥ 0 to zakres pierwiastka. Podnosząc nierówności do kwadratu, spalamy negatywy. W rezultacie może tak być dodatkowe korzenie. Nierówność g(x) ≥ 0 odcina je.

Wielu uczniów „rozłącza się” z pierwszą nierównością układu: f (x) ≤ g 2 (x) - i całkowicie zapomina o dwóch pozostałych. Wynik jest przewidywalny: zła decyzja, stracone punkty.

Bo irracjonalne nierówności wystarczą złożony temat, spójrzmy na 4 przykłady na raz. Od podstawowych po naprawdę złożone. Wszystkie problemy są pobierane egzaminy wstępne Moskiewski Uniwersytet Państwowy nazwany na cześć M. V. Łomonosow.

Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Przed nami klasyk irracjonalna nierówność: f(x) = 2x + 3; g(x) = 2 - stała. Mamy:

Z trzech nierówności na końcu rozwiązania pozostały tylko dwie. Ponieważ nierówność 2 ≥ 0 zawsze zachodzi. Skrzyżujmy pozostałe nierówności:

Zatem x ∈ [−1,5; 0,5]. Wszystkie punkty są zacienione, ponieważ nierówności nie są ostre.

Zadanie. Rozwiąż nierówność:

Stosujemy twierdzenie:

Rozwiążmy pierwszą nierówność. Aby to zrobić, ujawnimy kwadrat różnicy. Mamy:

2x 2 - 18x + 16< (x − 4) 2 ;
2x 2 - 18x + 16< x 2 − 8x + 16:
x 2 - 10x< 0;
x (x - 10)< 0;
x ∈ (0; 10).

Rozwiążmy teraz drugą nierówność. Tam też trójmian kwadratowy:

2x 2 - 18x + 16 ≥ 0;
x 2 - 9x + 8 ≥ 0;
(x - 8)(x - 1) ≥ 0;
x ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪

Gdzie $b$ może pełnić tę rolę? zwykły numer i może coś mocniejszego. Przykłady? Tak proszę:

\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ kwadrat ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(X))). \\\end(align)\]

Myślę, że znaczenie jest jasne: istnieje funkcja wykładnicza $((a)^(x))$, jest ona porównywana z czymś, a następnie proszona o znalezienie $x$. W szczególnie klinicznych przypadkach zamiast zmiennej $x$ można umieścić jakąś funkcję $f\left(x \right)$ i w ten sposób nieco skomplikować nierówność. :)

Oczywiście w niektórych przypadkach nierówność może wydawać się poważniejsza. Na przykład:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Albo nawet to:

Ogólnie rzecz biorąc, złożoność takich nierówności może być bardzo różna, ale ostatecznie sprowadzają się one do prostej konstrukcji $((a)^(x)) \gt b$. I jakoś wymyślimy taką konstrukcję (w szczególnie przypadkach klinicznych, gdy nic nie przychodzi nam do głowy, pomogą nam logarytmy). Dlatego teraz nauczymy Cię, jak rozwiązywać takie proste konstrukcje.

Rozwiązywanie prostych nierówności wykładniczych

Rozważmy coś bardzo prostego. Na przykład to:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Oczywiście liczbę po prawej stronie można przepisać jako potęgę dwójki: $4=((2)^(2))$. Zatem pierwotną nierówność można zapisać w bardzo wygodnej formie:

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

A teraz aż mnie swędzą ręce, żeby „skreślić” dwójki w podstawach potęg, żeby otrzymać odpowiedź $x \gt 2$. Ale zanim cokolwiek skreślimy, przypomnijmy sobie potęgę dwójki:

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Jak widzimy, niż większa liczba jest w wykładniku, tym większa jest liczba wyjściowa. „Dzięki, Cap!” – zawoła jeden z uczniów. Czy jest inaczej? Niestety, to się zdarza. Na przykład:

\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ prawo))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]

Tutaj też wszystko jest logiczne: co większy stopień, tym więcej razy liczba 0,5 zostanie pomnożona przez siebie (tj. podzielona na pół). Zatem wynikowy ciąg liczb jest malejący, a różnica między pierwszą a drugą sekwencją występuje tylko w podstawie:

• Jeśli podstawa stopnia $a \gt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ również wzrośnie;
• I odwrotnie, jeśli $0 \lt a \lt 1$, to wraz ze wzrostem wykładnika $n$ liczba $((a)^(n))$ będzie się zmniejszać.

Podsumowując te fakty, otrzymujemy najważniejsze stwierdzenie, na którym opiera się cała decyzja nierówności wykładnicze:

Jeżeli $a \gt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równa nierówności $x \gt n$. Jeśli $0 \lt a \lt 1$, to nierówność $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $x \lt n$.

Innymi słowy, jeśli podstawa więcej niż jeden, możesz go po prostu usunąć - znak nierówności nie ulegnie zmianie. A jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale jednocześnie będziesz musiał zmienić znak nierówności.

Należy pamiętać, że nie uwzględniliśmy opcji $a=1$ i $a\le 0$. Ponieważ w takich przypadkach pojawia się niepewność. Powiedzmy, jak rozwiązać nierówność postaci $((1)^(x)) \gt 3$? Jeden do dowolnej potęgi znowu da jeden - nigdy nie dostaniemy trzech lub więcej. Te. nie ma rozwiązań.

Z powody negatywne jeszcze bardziej interesujące. Rozważmy na przykład tę nierówność:

\[((\lewo(-2 \prawo))^(x)) \gt 4\]

Na pierwszy rzut oka wszystko jest proste:

Prawidłowy? Ale nie! Wystarczy zastąpić zamiast $x$ parę parzystych i parę liczby nieparzyste aby upewnić się, że rozwiązanie jest nieprawidłowe. Spójrz:

\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Strzałka w prawo ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]

Jak widać, znaki są naprzemienne. Ale jest coś więcej potęgi ułamkowe i inna cyna. Jak na przykład zamówić obliczenie $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus dwa do potęgi siedmiu)? Nie ma mowy!

Dlatego dla pewności zakładamy, że we wszystkich nierównościach wykładniczych (a przy okazji także w równaniach) $1\ne a \gt 0$. A potem wszystko zostało rozwiązane bardzo prosto:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]

Ogólnie rzecz biorąc, pamiętaj jeszcze raz o głównej zasadzie: jeśli podstawa równania wykładniczego jest większa niż jedność, możesz ją po prostu usunąć; a jeśli podstawa jest mniejsza niż jeden, można ją również usunąć, ale znak nierówności ulegnie zmianie.

Przykłady rozwiązań

Przyjrzyjmy się zatem kilku prostym nierównościom wykładniczym:

\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]

Podstawowe zadanie we wszystkich przypadkach jest takie samo: sprowadzić nierówności do najprostszej postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Dokładnie to samo teraz zrobimy z każdą nierównością, jednocześnie powtarzając własności stopni i funkcji wykładniczych. Więc chodźmy!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Co możesz tutaj zrobić? No cóż, po lewej stronie już to mamy wyrażenie wykładnicze- nie ma potrzeby niczego zmieniać. Ale po prawej stronie jest jakiś badziew: ułamek, a nawet pierwiastek z mianownika!

Pamiętajmy jednak o zasadach pracy z ułamkami i potęgami:

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]

Co to znaczy? Po pierwsze, możemy łatwo pozbyć się ułamka, zamieniając go na potęgę wskaźnik negatywny. A po drugie, skoro mianownik ma pierwiastek, fajnie byłoby zamienić go na potęgę - tym razem z wykładnikiem ułamkowym.

Zastosujmy te działania sekwencyjnie do prawej strony nierówności i zobaczmy, co się stanie:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \prawo))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \lewo(-1 \prawo)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Nie zapominaj, że podnosząc stopień do potęgi, wykładniki tych stopni sumują się. Ogólnie rzecz biorąc, pracując z równaniami wykładniczymi i nierównościami, absolutnie konieczne jest poznanie przynajmniej najprostszych zasad pracy z potęgami:

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]

Faktycznie, ostatnia zasada po prostu to zastosowaliśmy. Dlatego nasza pierwotna nierówność zostanie przepisana w następujący sposób:

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Teraz pozbywamy się tej dwójki u podstawy. Ponieważ 2 > 1, znak nierówności pozostanie taki sam:

\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Główna trudność wcale nie polega na funkcji wykładniczej, ale na właściwej transformacji pierwotnego wyrażenia: musisz ostrożnie i szybko doprowadzić je do najprostszej formy.

Rozważmy drugą nierówność:

\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]

Tak sobie. Tutaj czekają na nas ułamki dziesiętne. Jak mówiłem wiele razy, w każdym wyrażeniu z potęgami należy pozbyć się ułamków dziesiętnych - często jest to jedyny sposób na szybkie i proste rozwiązanie. Tutaj pozbędziemy się:

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Strzałka w prawo ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\lewo(\frac(1)(10) \prawo))^(2)). \\\end(align)\]

Tutaj znowu mamy najprostszą nierówność i to nawet o podstawie 1/10, tj. mniej niż jeden. Cóż, usuwamy podstawy, jednocześnie zmieniając znak z „mniej” na „więcej” i otrzymujemy:

\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]

Otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Uwaga: odpowiedź jest właśnie zbiorem, a w żadnym wypadku konstrukcją w postaci $x \lt -1$. Bo formalnie taka konstrukcja nie jest w ogóle zbiorem, tylko nierównością względem zmiennej $x$. Tak, to bardzo proste, ale to nie jest odpowiedź!

Ważna uwaga. Nierówność tę można rozwiązać w inny sposób - sprowadzając obie strony do potęgi o podstawie większej niż jeden. Spójrz:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Strzałka w prawo ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Po takim przekształceniu ponownie otrzymamy nierówność wykładniczą, ale o podstawie 10 > 1. Oznacza to, że możemy po prostu skreślić dziesiątkę – znak nierówności nie ulegnie zmianie. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]

Jak widać, odpowiedź była dokładnie taka sama. Jednocześnie uchroniliśmy się od konieczności zmiany znaku i ogólnie pamiętamy o wszelkich zasadach. :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Jednak nie pozwól, aby Cię to przestraszyło. Bez względu na to, co znajduje się we wskaźnikach, sama technologia rozwiązywania nierówności pozostaje taka sama. Dlatego zauważmy najpierw, że 16 = 2 4. Przepiszmy pierwotną nierówność, biorąc pod uwagę ten fakt:

\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]

Brawo! Mamy to co zwykle nierówność kwadratowa! Znak nigdzie się nie zmienił, ponieważ podstawa to dwa - liczba większa niż jeden.

Zera funkcji na osi liczbowej

Ustawiamy znaki funkcji $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - oczywiście jej wykres będzie parabolą z gałęziami w górę, więc będą „plusy” " na bokach. Nas interesuje obszar, w którym funkcja jest mniejsza od zera, tj. $x\in \left(2;5 \right)$ jest odpowiedzią na pierwotny problem.

Na koniec rozważmy inną nierówność:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Ponownie widzimy funkcję wykładniczą z ułamkiem dziesiętnym u podstawy. Zamieńmy ten ułamek na ułamek zwykły:

\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\RightArrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\lewo(((5)^(-1)) \prawo))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]

W w tym przypadku Skorzystaliśmy z wcześniejszej uwagi - zredukowaliśmy bazę do liczby 5 > 1, aby uprościć nasze dalsze rozwiązanie. Zróbmy to samo z prawą stroną:

\[\frac(1)(25)=((\lewo(\frac(1)(5) \prawo))^(2))=((\lewo(((5)^(-1)) \ prawo))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Przepiszmy pierwotną nierówność uwzględniając obie transformacje:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]

Podstawy po obu stronach są takie same i przekraczają jeden. Po prawej i lewej stronie nie ma innych terminów, więc po prostu „przekreślamy” piątki i otrzymujemy bardzo proste wyrażenie:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]

Tutaj trzeba zachować większą ostrożność. Wielu uczniów lubi po prostu wyciągać pierwiastek kwadratowy z obu stron nierówności i zapisywać coś w rodzaju $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. W żadnym wypadku nie powinno się tego robić , ponieważ pierwiastek dokładnego kwadratu jest modułem, a w żadnym wypadku zmienną pierwotną:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\lewo| x\prawo|\]

Jednak praca z modułami nie należy do najprzyjemniejszych, prawda? Więc nie będziemy pracować. Zamiast tego po prostu przesuwamy wszystkie wyrazy w lewo i rozwiązujemy zwykłą nierówność za pomocą metody przedziałowej:

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(wyrównaj)$

Ponownie zaznaczamy uzyskane punkty na osi liczbowej i patrzymy na znaki:

Uwaga: kropki są zacienione

Ponieważ nie zdecydowaliśmy ścisła nierówność, wszystkie punkty na wykresie są zacienione. Dlatego odpowiedź będzie następująca: $x\in \left[ -1;1 \right]$ nie jest przedziałem, ale segmentem.

Ogólnie rzecz biorąc, chciałbym zauważyć, że nie ma nic skomplikowanego w nierównościach wykładniczych. Znaczenie wszystkich przekształceń, które dzisiaj wykonaliśmy, sprowadza się do prostego algorytmu:

• Znajdź podstawę, do której sprowadzimy wszystkie stopnie;
• Ostrożnie wykonaj przekształcenia, aby otrzymać nierówność postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Oczywiście zamiast zmiennych $x$ i $n$ może być znacznie więcej złożone funkcje, ale znaczenie się nie zmieni;
• Przekreśl podstawy stopni. W tym przypadku znak nierówności może się zmienić, jeśli podstawa $a \lt 1$.

W rzeczywistości jest to uniwersalny algorytm rozwiązywania wszystkich takich nierówności. A wszystko inne, co Ci powiedzą na ten temat, to tylko konkretne techniki i triki, które uproszczą i przyspieszą transformację. Porozmawiamy teraz o jednej z tych technik. :)

Metoda racjonalizacji

Rozważmy inny zestaw nierówności:

\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Co więc jest w nich takiego wyjątkowego? Są lekkie. Chociaż przestań! Czy liczbę π podniesiono do jakiejś potęgi? Co za bezsens?

Jak podnieść liczbę $2\sqrt(3)-3$ do potęgi? Lub $3-2\sqrt(2)$? Autorzy problemu najwyraźniej wypili za dużo Hawthorn, zanim zabrali się do pracy. :)

Tak naprawdę nie ma nic strasznego w tych zadaniach. Przypomnę: funkcja wykładnicza jest wyrażeniem w postaci $((a)^(x))$, gdzie podstawa $a$ jest dowolna Liczba dodatnia, z wyjątkiem jednego. Liczba π jest dodatnia – to już wiemy. Liczby $2\sqrt(3)-3$ i $3-2\sqrt(2)$ są również dodatnie - łatwo to sprawdzić, jeśli porównasz je z zerem.

Okazuje się, że wszystkie te „przerażające” nierówności rozwiązuje się tak samo jak proste omówione powyżej? I czy są one rozwiązywane w ten sam sposób? Tak, to całkowicie słuszne. Jednak na ich przykładzie chciałbym rozważyć jedną technikę, która znacznie oszczędza czas niezależna praca i egzaminy. Porozmawiamy o metodzie racjonalizacji. Zatem uwaga:

Dowolna nierówność wykładnicza postaci $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ jest równoważna nierówności $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ po prawej) \gt 0 $.

To jest cała metoda. :) Myślałeś, że będzie jakaś inna gra? Nic takiego! Ale ten prosty fakt, zapisany dosłownie w jednym wierszu, znacznie uprości naszą pracę. Spójrz:

\[\begin(macierz) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]

Zatem nie ma już funkcji wykładniczych! I nie musisz pamiętać, czy znak się zmienia, czy nie. Ale powstaje nowy problem: co zrobić z pieprzonym mnożnikiem \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Nie wiemy o co w tym wszystkim chodzi Dokładna wartość liczby π. Jednak kapitan wydaje się wskazywać na oczywistość:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\około 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ogólnie rzecz biorąc, dokładna wartość π tak naprawdę nas nie dotyczy - ważne jest tylko, abyśmy zrozumieli, że w każdym przypadku $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. jest to stała dodatnia i możemy przez nią podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w pewnym momencie musieliśmy podzielić przez minus jeden - i zmienił się znak nierówności. Na koniec rozwinąłem trójmian kwadratowy korzystając z twierdzenia Viety - oczywiste jest, że pierwiastki są równe $((x)_(1))=5$ i $((x)_(2))=-1$ . Wtedy wszystko zostanie ustalone metoda klasyczna interwały:

Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową

Wszystkie punkty są usuwane, ponieważ pierwotna nierówność jest ścisła. Nas interesuje region o wartościach ujemnych, więc odpowiedź brzmi $x\in \left(-1;5 \right)$. To jest rozwiązanie.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\lewo(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Wszystko tutaj jest ogólnie proste, ponieważ po prawej stronie znajduje się jednostka. I pamiętamy, że jeden to dowolna liczba podniesiona do potęgi zerowej. Nawet jeśli jest to numer irracjonalne wyrażenie, stojący u podstawy po lewej stronie:

\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \prawo))^(0)); \\\end(align)\]

Cóż, racjonalizujmy:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Pozostaje tylko znaleźć znaki. Współczynnik $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ nie zawiera zmiennej $x$ - jest to po prostu stała i musimy znaleźć jej znak. Aby to zrobić, zwróć uwagę na następujące kwestie:

\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(macierz)\]

Okazuje się, że drugi czynnik nie jest tylko stałą, ale stałą ujemną! A przy dzieleniu przez nią znak pierwotnej nierówności zmienia się na przeciwny:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]

Teraz wszystko staje się zupełnie oczywiste. Korzenie trójmian kwadratowy, stojąc po prawej stronie: $((x)_(1))=0$ i $((x)_(2))=2$. Zaznaczamy je na osi liczbowej i patrzymy na znaki funkcji $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:

Przypadek, gdy interesują nas przedziały boczne

Nas interesują interwały oznaczone znakiem plus. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź:

Przejdźmy do następnego przykładu:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ prawo))^(16-x))\]

Cóż, tutaj wszystko jest zupełnie oczywiste: w podstawach znajdują się potęgi tej samej liczby. Dlatego napiszę wszystko krótko:

\[\begin(macierz) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\lewo(((3)^(-2)) \prawo))^(16-x)) \\\end(macierz)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ lewo(16-x \prawo))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Jak widać, w procesie transformacji musieliśmy się mnożyć liczba ujemna, więc znak nierówności uległ zmianie. Na sam koniec ponownie zastosowałem twierdzenie Viety do rozłożenia na czynniki trójmianu kwadratowego. W rezultacie odpowiedź będzie następująca: $x\in \left(-8;4 \right)$ - każdy może to sprawdzić rysując oś liczbową, zaznaczając punkty i licząc znaki. Tymczasem przejdziemy do ostatniej nierówności z naszego „zbioru”:

\[((\lewo(3-2\sqrt(2) \prawo))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Jak widać, u podstawy znów jest Liczba niewymierna, a po prawej stronie znowu jeden. Dlatego przepisujemy naszą nierówność wykładniczą w następujący sposób:

\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ prawo))^(0))\]

Stosujemy racjonalizację:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]

Jednakże jest całkiem oczywiste, że $1-\sqrt(2) \lt 0$, ponieważ $\sqrt(2)\około 1,4... \gt 1$. Dlatego drugi czynnik jest ponownie stałą ujemną, przez którą można podzielić obie strony nierówności:

\[\begin(macierz) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(macierz)\]

\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]

Przenieś się do innej bazy

Osobnym problemem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych jest poszukiwanie „właściwej” bazy. Niestety, nie zawsze na pierwszy rzut oka przy zadaniu jest oczywiste, co przyjąć za podstawę i co zrobić w zależności od stopnia tej podstawy.

Ale nie martw się: nie ma tu żadnej magii ani „tajnej” technologii. W matematyce każdą umiejętność, której nie można poddać algorytmizacji, można łatwo rozwinąć poprzez praktykę. Ale w tym celu będziesz musiał rozwiązać problemy różne poziomy trudności. Na przykład tak:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ koniec(wyrównaj)\]

Trudny? Straszny? To łatwiejsze niż uderzenie kurczaka w asfalt! Spróbujmy. Pierwsza nierówność:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Cóż, myślę, że tutaj wszystko jest jasne:

Przepisujemy pierwotną nierówność, redukując wszystko do podstawy dwa:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]

Tak, tak, dobrze słyszałeś: właśnie zastosowałem opisaną powyżej metodę racjonalizacji. Teraz musimy ostrożnie pracować: udało nam się ułamkowa nierówność racjonalna(jest to coś, co ma zmienną w mianowniku), więc zanim przyrównasz coś do zera, musisz sprowadzić wszystko do wspólny mianownik i pozbądź się stałego czynnika.

\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]

Teraz używamy standardowa metoda interwały. Zera licznika: $x=\pm 4$. Mianownik dąży do zera tylko wtedy, gdy $x=0$. Na osi liczbowej należy zaznaczyć w sumie trzy punkty (wszystkie punkty są zaznaczone, ponieważ znak nierówności jest ścisły). Otrzymujemy:

Więcej trudny przypadek: trzy korzenie

Jak można się domyślić, cieniowanie oznacza odstępy czasu, w których trwa wyrażenie po lewej stronie wartości ujemne. Dlatego ostateczna odpowiedź będzie obejmować dwa przedziały jednocześnie:

Końce przedziałów nie są uwzględnione w odpowiedzi, ponieważ pierwotna nierówność była ścisła. Nie jest wymagana dalsza weryfikacja tej odpowiedzi. Pod tym względem nierówności wykładnicze są znacznie prostsze niż nierówności logarytmiczne: bez ODZ, bez ograniczeń itp.

Przejdźmy do następnego zadania:

\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Tutaj też nie ma problemów, skoro wiemy już, że $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, więc całą nierówność można przepisać następująco:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\lewo(-2 \prawo) \prawo. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]

Uwaga: w trzeciej linii postanowiłem nie tracić czasu na drobiazgi i od razu podzielić wszystko przez (-2). Minul wszedł do pierwszego nawiasu (teraz wszędzie są plusy), a dwa zmniejszono o stały współczynnik. Dokładnie tak należy postępować przygotowując prawdziwe pokazy na niezależnych i testy— nie ma potrzeby opisywać każdego działania i transformacji.

Następnie w grę wchodzi znana metoda interwałów. Zera licznikowe: ale ich nie ma. Ponieważ dyskryminator będzie ujemny. Z kolei mianownik jest zerowany dopiero przy $x=0$ - jak w ostatni raz. Cóż, jasne jest, że na prawo od $x=0$ ułamek zajmie wartości dodatnie, a po lewej stronie są ujemne. Ponieważ interesują nas wartości ujemne, ostateczna odpowiedź brzmi: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]

Co należy zrobić z ułamkami dziesiętnymi w nierównościach wykładniczych? Zgadza się: pozbądź się ich, zamieniając je w zwykłe. Tutaj przetłumaczymy:

\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\prawo))^(x)). \\\end(align)\]

Co więc otrzymaliśmy z podstaw funkcji wykładniczych? I otrzymaliśmy dwie wzajemnie odwrotne liczby:

\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ prawo))^(x))=((\lewo(((\lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-1)) \prawo))^(x))=((\ lewo(\frac(4)(25) \prawo))^(-x))\]

Zatem pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \prawo))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]

Oczywiście przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie ich wykładniki sumują się, co miało miejsce w drugim wierszu. Dodatkowo reprezentowaliśmy jednostkę po prawej stronie, również jako potęgę w podstawie 4/25. Pozostaje tylko racjonalizować:

\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]

Zauważ, że $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, tj. drugi czynnik jest stałą ujemną i przy dzieleniu przez niego znak nierówności ulegnie zmianie:

\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]

Na koniec ostatnia nierówność z bieżącego „zbioru”:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

W zasadzie idea rozwiązania tutaj również jest jasna: wszystko funkcje wykładnicze, zawarte w nierówności, należy sprowadzić do podstawy „3”. Ale w tym celu będziesz musiał trochę majstrować przy korzeniach i mocach:

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]

Biorąc te fakty pod uwagę, pierwotną nierówność można przepisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]

Zwróć uwagę na drugą i trzecią linię obliczeń: zanim zrobisz cokolwiek z nierównością, pamiętaj o doprowadzeniu jej do postaci, o której mówiliśmy na samym początku lekcji: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Tak długo, jak masz pewne lewoskrętne czynniki, dodatkowe stałe itp. po lewej lub prawej stronie, nie można dokonywać racjonalizacji ani „przekreślania” podstaw! Niezliczone zadania zostały wykonane niepoprawnie z powodu braku zrozumienia tego prosty fakt. Sam stale obserwuję ten problem u moich uczniów, kiedy dopiero zaczynamy analizować nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Wróćmy jednak do naszego zadania. Spróbujmy obejść się tym razem bez racjonalizacji. Pamiętajmy: podstawa stopnia jest większa od jedności, więc trójki można po prostu skreślić – znak nierówności się nie zmieni. Otrzymujemy:

\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]

To wszystko. Ostateczna odpowiedź: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Izolowanie stabilnego wyrażenia i zastępowanie zmiennej

Podsumowując, proponuję rozwiązać jeszcze cztery nierówności wykładnicze, które są już dość trudne dla nieprzygotowanych studentów. Aby sobie z nimi poradzić, należy pamiętać o zasadach pracy ze stopniami. W szczególności wydanie Wspólne czynniki poza nawiasami.

Ale najważniejsze jest, aby nauczyć się rozumieć, co dokładnie można wyjąć z nawiasów. Takie wyrażenie nazywamy stabilnym - można je oznaczyć nową zmienną i w ten sposób pozbyć się funkcji wykładniczej. Spójrzmy więc na zadania:

\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]

Zacznijmy od pierwszej linijki. Zapiszmy tę nierówność osobno:

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

Zauważ, że $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, więc prawa ręka stronę można przepisać:

Zauważ, że w nierówności nie ma innych funkcji wykładniczych poza $((5)^(x+1))$. I ogólnie zmienna $x$ nie występuje nigdzie indziej, więc wprowadźmy nową zmienną: $((5)^(x+1))=t$. Otrzymujemy następującą konstrukcję:

\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\wiek 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]

Wracamy do pierwotnej zmiennej ($t=((5)^(x+1))$), pamiętając jednocześnie, że 1=5 0 . Mamy:

\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]

To jest rozwiązanie! Odpowiedź: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Przejdźmy do drugiej nierówności:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Tutaj wszystko jest takie samo. Zauważ, że $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Następnie lewa strona można przepisać:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \prawo. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Strzałka w prawo x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]

W przybliżeniu tak trzeba sporządzić rozwiązanie do prawdziwych testów i samodzielnej pracy.

Cóż, spróbujmy czegoś bardziej skomplikowanego. Oto na przykład nierówność:

\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Jaki jest tutaj problem? Przede wszystkim podstawy funkcji wykładniczych po lewej stronie są różne: 5 i 25. Jednak 25 = 5 · 2, więc pierwszy wyraz można przekształcić:

\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]

Jak widać, najpierw wszystko przywieźliśmy ta sama podstawa, a potem zauważyłem, że pierwszy wyraz można łatwo sprowadzić do drugiego - wystarczy rozwinąć wykładnik. Teraz możesz już bezpiecznie wprowadzić nową zmienną: $((5)^(2x+2))=t$, a cała nierówność zostanie przepisana następująco:

\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]

I znowu żadnych trudności! Ostateczna odpowiedź: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Przejdźmy do ostatniej nierówności na dzisiejszej lekcji:

\[((\lewo(0,5 \prawo))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]

Pierwszą rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę, jest oczywiście to, że dziesiętny u podstawy pierwszego stopnia. Trzeba się go pozbyć, a jednocześnie doprowadzić wszystkie funkcje wykładnicze do tej samej podstawy - liczby „2”:

\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\lewo(((2)^(-1)) \prawo))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Strzałka w prawo ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+ 1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]

Świetnie, zrobiliśmy pierwszy krok – wszystko doprowadziło do tego samego fundamentu. Teraz musisz wybrać stabilna ekspresja. Zauważ, że $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Jeśli wprowadzimy nową zmienną $((2)^(4x+6))=t$, to pierwotną nierówność można zapisać w następujący sposób:

\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]

Naturalnie może pojawić się pytanie: jak odkryliśmy, że 256 = 2 · 8? Niestety, tutaj wystarczy znać potęgę dwójki (a jednocześnie potęgę trójki i piątki). Cóż, albo podziel 256 przez 2 (możesz podzielić, ponieważ 256 to Liczba parzysta), aż otrzymamy wynik. Będzie to wyglądać mniej więcej tak:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]

To samo dotyczy trójki (liczby 9, 27, 81 i 243 to jej stopnie) i siódemki (liczby 49 i 343 też warto zapamiętać). Cóż, ta piątka ma również „piękne” stopnie naukowe, które musisz znać:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]

Oczywiście, jeśli chcesz, wszystkie te liczby można przywrócić w umyśle, po prostu mnożąc je sukcesywnie przez siebie. Jeśli jednak musisz rozwiązać kilka nierówności wykładniczych, a każda kolejna jest trudniejsza od poprzedniej, to ostatnią rzeczą, o której chcesz myśleć, są potęgi niektórych liczb. I w tym sensie problemy te są bardziej złożone niż „klasyczne” nierówności rozwiązywane metodą przedziałową.

Po otrzymaniu informacje wstępne o nierównościach ze zmiennymi, przechodzimy do pytania o ich rozwiązanie. Przeanalizujemy rozwiązanie nierówności liniowych z jedną zmienną i wszystkie metody ich rozwiązywania wraz z algorytmami i przykładami. Uwzględnione zostaną tylko równania liniowe z jedną zmienną.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co to jest nierówność liniowa?

Najpierw musisz zdefiniować równanie liniowe i je rozgryźć standardowy widok i czym będzie się różnić od innych. Z kursu szkolnego wiemy, że nierówności nie mają zasadnicza różnica, dlatego potrzebnych jest wiele definicji.

Definicja 1

Nierówność liniowa z jedną zmienną x jest nierównością postaci a · x + b > 0, gdy zamiast > zostanie użyty dowolny znak nierówności< , ≤ , ≥ , а и b являются действительными числами, где a ≠ 0 .

Definicja 2

Nierówności ax< c или a · x >c, gdzie x jest zmienną, a a i c są liczbami nierówności liniowe z jedną zmienną.

Ponieważ nic nie jest powiedziane o tym, czy współczynnik może być równy 0, to ścisła nierówność postaci 0 x > c i 0 x< c может быть записано в виде нестрогого, а именно, a · x ≤ c , a · x ≥ c . Такое уравнение считается линейным.

Różnice między nimi to:

• notacja a · x + b > 0 w pierwszym i a · x > c – w drugim;
• dopuszczalność współczynnika a równego zero, a ≠ 0 – w pierwszym i a = 0 – w drugim.

Uważa się, że nierówności a · x + b > 0 i a · x > c są równoważne, ponieważ uzyskuje się je przez przeniesienie wyrazu z jednej części do drugiej. Rozwiązanie nierówności 0 x + 5 > 0 doprowadzi do tego, że trzeba będzie ją rozwiązać, a przypadek a = 0 nie będzie działał.

Definicja 3

Uważa się, że nierówności liniowe jednej zmiennej x są nierównościami postaci a x + b< 0 , a · x + b >0, a x + b ≤ 0 I a x + b ≥ 0, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Zamiast x może być zwykła liczba.

Na podstawie reguły mamy, że 4 x − 1 > 0, 0 z + 2, 3 ≤ 0, - 2 3 x - 2< 0 являются примерами линейных неравенств. А неравенства такого плана, как 5 · x >7 , − 0 , 5 · y ≤ − 1 , 2 nazywane są redukowalnymi do liniowych.

Jak rozwiązać nierówność liniową

Głównym sposobem rozwiązania takich nierówności jest zastosowanie przekształceń równoważnych w celu znalezienia nierówności elementarnych x< p (≤ , >, ≥) , p które jest pewną liczbą dla a ≠ 0 i ma postać a< p (≤ , >, ≥) dla a = 0.

Aby rozwiązać nierówności w jednej zmiennej, można zastosować metodę przedziałową lub przedstawić ją graficznie. Każdy z nich może być używany osobno.

Stosowanie przekształceń równoważnych

Aby rozwiązać nierówność liniową postaci a x + b< 0 (≤ , >, ≥), należy zastosować równoważne transformacje nierówności. Współczynnik może być równy lub nie równy zeru. Rozważmy oba przypadki. Aby się tego dowiedzieć, musisz przestrzegać schematu składającego się z 3 punktów: istoty procesu, algorytmu i samego rozwiązania.

Definicja 4

Algorytm rozwiązywania nierówności liniowej a x + b< 0 (≤ , >, ≥) dla a ≠ 0

• liczba b zostanie przesunięta na prawą stronę nierówności c przeciwny znak, co pozwoli nam znaleźć odpowiednik a x< − b (≤ , > , ≥) ;
• Obie strony nierówności zostaną podzielone przez liczbę różną od 0. Co więcej, gdy a jest dodatnie, znak pozostaje; gdy a jest ujemne, zmienia się na przeciwny.

Rozważmy zastosowanie tego algorytmu do rozwiązywania przykładów.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność postaci 3 x + 12 ≤ 0.

Rozwiązanie

Ta nierówność liniowa ma a = 3 i b = 12. Oznacza to, że współczynnik a przy x nie jest równy zero. Zastosujmy powyższe algorytmy i rozwiążmy to.

Należy przenieść wyraz 12 w inną część nierówności i zmienić znak przed nim. Otrzymujemy wówczas nierówność postaci 3 x ≤ − 12. Konieczne jest podzielenie obu części przez 3. Znak się nie zmieni, ponieważ 3 jest liczbą dodatnią. Otrzymujemy, że (3 x) : 3 ≤ (− 12) : 3, co daje wynik x ≤ − 4.

Nierówność postaci x ≤ − 4 jest równoważna. Oznacza to, że rozwiązaniem dla 3 x + 12 ≤ 0 jest dowolne prawdziwy numer, która jest mniejsza lub równa 4. Odpowiedź zapisuje się jako nierówność x ≤ − 4, lub przedział numeryczny postaci (− ∞, − 4 ] .

Cały algorytm opisany powyżej jest zapisany w następujący sposób:

3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ - 12 ; x ≤ - 4 .

Odpowiedź: x ≤ - 4 lub (- ∞, - 4 ] .

Przykład 2

Wskaż wszystkie dostępne rozwiązania nierówności − 2, 7 · z > 0.

Rozwiązanie

Z warunku widzimy, że współczynnik a dla z jest równy - 2,7, a b jest wyraźnie nieobecne lub równe zero. Nie możesz skorzystać z pierwszego kroku algorytmu, ale od razu przejdź do drugiego.

Obie strony równania dzielimy przez liczbę - 2, 7. Ponieważ liczba jest ujemna, konieczne jest odwrócenie znaku nierówności. Oznacza to, że otrzymujemy to (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .

Cały algorytm zapiszemy w skrócona forma:

− 2, 7 z > 0; z< 0 .

Odpowiedź: z< 0 или (− ∞ , 0) .

Przykład 3

Rozwiąż nierówność - 5 x - 15 22 ≤ 0.

Rozwiązanie

Zgodnie z warunkiem widzimy, że konieczne jest rozwiązanie nierówności ze współczynnikiem a dla zmiennej x, która jest równa - 5, ze współczynnikiem b, który odpowiada ułamkowi - 15 22. Należy rozwiązać nierówność postępując zgodnie z algorytmem, czyli: przenieść - 15 22 do innej części o przeciwnym znaku, podzielić obie części przez - 5, zmienić znak nierówności:

5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22

Podczas ostatniego przejścia dla prawej strony stosowana jest zasada dzielenia liczby różnymi znakami 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po czym wykonujemy dzielenie ułamek wspólny do liczby naturalnej - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .

Odpowiedź: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .

Rozważmy przypadek, gdy a = 0. Wyrażenie liniowe postaci a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.

Wszystko opiera się na wyznaczeniu rozwiązania nierówności. Dla dowolnej wartości x otrzymujemy nierówność liczbową postaci b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.

Wszystkie sądy rozważymy w postaci algorytmu rozwiązywania nierówności liniowych 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :

Definicja 5

Nierówność numeryczna postaci b< 0 (≤ , >, ≥) jest prawdziwa, to pierwotna nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości, a jest fałszywa, gdy pierwotna nierówność nie ma rozwiązań.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność 0 x + 7 > 0.

Rozwiązanie

Ta nierówność liniowa 0 x + 7 > 0 może przyjmować dowolną wartość x. Otrzymujemy wówczas nierówność postaci 7 > 0. Ostatnią nierówność uważa się za prawdziwą, co oznacza, że ​​jej rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Odpowiedź: przedział (− ∞, + ∞) .

Przykład 5

Znajdź rozwiązanie nierówności 0 x − 12, 7 ≥ 0.

Rozwiązanie

Podstawiając zmienną x dowolnej liczby, otrzymujemy, że nierówność przyjmuje postać - 12, 7 ≥ 0. To jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 x − 12, 7 ≥ 0 nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

Rozważmy rozwiązanie nierówności liniowych, w których oba współczynniki są równe zero.

Przykład 6

Znajdź nierozwiązywalną nierówność spośród 0 x + 0 > 0 i 0 x + 0 ≥ 0.

Rozwiązanie

Podstawiając dowolną liczbę zamiast x, otrzymujemy dwie nierówności w postaci 0 > 0 i 0 ≥ 0. Pierwsze jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, ale 0 x + 0 ≥ 0 ma nieskończona liczba rozwiązania, czyli dowolną liczbę.

Odpowiedź: nierówność 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, ale 0 x + 0 ≥ 0 ma rozwiązania.

Metodę tę omówiono w kurs szkolny matematyka. Metoda interwałowa jest w stanie rozwiązać Różne rodzaje nierówności, także liniowe.

Metodę przedziałową stosuje się do nierówności liniowych, gdy wartość współczynnika x nie jest równa 0. W przeciwnym razie będziesz musiał obliczyć inną metodą.

Definicja 6

Metoda interwałowa to:

• wprowadzenie funkcji y = a · x + b ;
• poszukiwanie zer w celu podzielenia dziedziny definicji na przedziały;
• definicja znaków dla ich pojęć na przedziałach.

Złóżmy algorytm rozwiązywania równań liniowych a x + b< 0 (≤ , >, ≥) dla ≠ 0 metodą przedziałową:

• znalezienie zer funkcji y = a · x + b aby rozwiązać równanie w postaci a · x + b = 0 . Jeżeli a ≠ 0, to rozwiązaniem będzie pojedynczy pierwiastek, który przyjmie oznaczenie x 0;
• konstrukcja linii współrzędnych z obrazem punktu o współrzędnej x 0, przy nierówności ścisłej punkt oznacza się przebitą, przy nierówności nieścisłej – zacieniowaną;
• określenie znaków funkcji y = a · x + b na przedziałach; w tym celu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach przedziału;
• rozwiązanie nierówności ze znakami > lub ≥ na osi współrzędnych, dodanie cieniowania na dodatnim przedziale,< или ≤ над отрицательным промежутком.

Przyjrzyjmy się kilku przykładom rozwiązywania nierówności liniowych metodą przedziałową.

Przykład 6

Rozwiąż nierówność − 3 x + 12 > 0.

Rozwiązanie

Z algorytmu wynika, że ​​najpierw trzeba znaleźć pierwiastek równania – 3 x + 12 = 0. Otrzymujemy, że − 3 · x = − 12 , x = 4 . Konieczne jest narysowanie linii współrzędnych w miejscu, w którym zaznaczamy punkt 4. Zostanie przebity, ponieważ nierówność jest ostra. Rozważ poniższy rysunek.

Konieczne jest określenie znaków w odstępach. Aby to wyznaczyć na przedziale (− ∞, 4), należy obliczyć funkcję y = − 3 x + 12 przy x = 3. Stąd otrzymujemy, że − 3 3 + 12 = 3 > 0. Znak na przedziale jest dodatni.

Znak wyznaczamy z przedziału (4, + ∞), następnie podstawiamy wartość x = 5. Mamy to - 3 5 + 12 = - 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.

Rozwiązujemy nierówność ze znakiem >, a cieniowanie przeprowadzamy na dodatnim przedziale. Rozważ poniższy rysunek.

Z rysunku jasno wynika, że ​​pożądane rozwiązanie ma postać (− ∞ , 4) lub x< 4 .

Odpowiedź: (− ∞, 4) lub x< 4 .

Aby zrozumieć, jak przedstawić graficznie, należy rozważyć przykład 4 nierówności liniowe: 0,5 x - 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ich rozwiązaniami będą wartości x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2. Aby to zrobić, narysujmy wykres funkcja liniowa y = 0,5 x - 1 podane poniżej.

Jest oczywiste, że

Definicja 7

• rozwiązanie nierówności 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
• za rozwiązanie 0, 5 x − 1 ≤ 0 uważa się przedział, w którym funkcja y = 0, 5 x − 1 jest mniejsza od O x lub pokrywa się;
• rozwiązanie 0, 5 · x − 1 > 0 uważa się za przedział, funkcja znajduje się nad O x;
• za rozwiązanie 0, 5 · x − 1 ≥ 0 uważa się przedział, w którym wykres powyżej O x lub pokrywa się.

Oznaczający rozwiązanie graficzne nierówności polega na znalezieniu przedziałów, które należy przedstawić na wykresie. W tym przypadku odkrywamy, że lewa strona ma y = a · x + b, a prawa strona ma y = 0 i pokrywa się z O x.

Definicja 8

Narysujemy wykres funkcji y = a x + b:

• rozwiązując nierówność a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
• przy rozwiązywaniu nierówności a · x + b ≤ 0 określa się przedział, w którym wykres jest przedstawiony poniżej osi O x lub pokrywa się;
• przy rozwiązywaniu nierówności a · x + b > 0, wyznacza się przedział tam, gdzie wykres jest przedstawiony powyżej O x;
• Rozwiązując nierówność a · x + b ≥ 0, wyznacza się przedział, w którym wykres znajduje się powyżej O x lub pokrywa się.

Przykład 7

Rozwiąż nierówność - 5 · x - 3 > 0 za pomocą wykresu.

Rozwiązanie

Należy skonstruować wykres funkcji liniowej - 5 · x - 3 > 0. Ta prosta jest malejąca, ponieważ współczynnik x jest ujemny. Aby wyznaczyć współrzędne punktu jego przecięcia z O x - 5 · x - 3 > 0, otrzymujemy wartość - 3 5. Przedstawmy to graficznie.

Rozwiązując nierówność ze znakiem >, należy zwrócić uwagę na przedział powyżej O x. Zaznaczmy wymaganą część płaszczyzny na czerwono i zdobądźmy ją

Wymagana szczelina to część O x czerwona. Więc jest otwarte promień numeryczny- ∞ , - 3 5 będzie rozwiązaniem nierówności. Jeżeli zgodnie z warunkiem mielibyśmy nieścisłą nierówność, to wartość punktu - 3 5 również byłaby rozwiązaniem nierówności. I zbiegałoby się to z Ox.

Odpowiedź: - ∞ , - 3 5 lub x< - 3 5 .

Metoda graficzna rozwiązanie stosuje się wtedy, gdy lewa strona będzie odpowiadać funkcji y = 0 x + b, czyli y = b. Wtedy linia prosta będzie równoległa do Ox lub zbiega się w punkcie b = 0. Przypadki te pokazują, że nierówność może nie mieć rozwiązań lub rozwiązaniem może być dowolna liczba.

Przykład 8

Wyznacz z nierówności 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.

Rozwiązanie

Reprezentacja y = 0 x + 7 to y = 7, wtedy zostanie podana płaszczyzna współrzędnych z linią prostą równoległą do Ox i umieszczoną powyżej Ox. Zatem 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.

Wykres funkcji y = 0 x + 0 uważa się za y = 0, to znaczy linia prosta pokrywa się z O x. Oznacza to, że nierówność 0 x + 0 ≥ 0 ma wiele rozwiązań.

Odpowiedź: Druga nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości x.

Nierówności redukujące się do liniowych

Rozwiązanie nierówności można sprowadzić do rozwiązania równanie liniowe, które nazywane są nierównościami redukującymi do liniowych.

Nierówności te były uwzględniane w trakcie zajęć szkolnych, gdyż stanowiły szczególny przypadek rozwiązywania nierówności, co prowadziło do otwierania nawiasów i sprowadzania podobne terminy. Rozważmy na przykład, że 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.

Podane nierówności zawsze sprowadzamy do postaci równania liniowego. Następnie otwiera się nawiasy i podaje i przenosi podobne terminy różne części, zmieniając znak na przeciwny.

Sprowadzając nierówność 5 − 2 x > 0 do liniowej, przedstawiamy ją tak, aby miała postać − 2 x + 5 > 0, a aby zredukować drugą otrzymujemy, że 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x . Należy otworzyć nawiasy, wprowadzić terminy podobne, przenieść wszystkie terminy na lewą stronę i wprowadzić terminy podobne. To wygląda tak:

7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ ​​​​5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0

Prowadzi to do rozwiązania nierówności liniowej.

Nierówności te uważa się za liniowe, ponieważ mają tę samą zasadę rozwiązania, po czym można je zredukować do nierówności elementarnych.

Aby rozwiązać ten typ nierówności, należy ją sprowadzić do nierówności liniowej. Należy to zrobić w ten sposób:

Definicja 9

• otwarte nawiasy;
• zbieraj zmienne po lewej stronie i liczby po prawej;
• podać podobne warunki;
• podziel obie strony przez współczynnik x.

Przykład 9

Rozwiąż nierówność 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.

Rozwiązanie

Otwieramy nawiasy i otrzymujemy nierówność postaci 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Po redukcji podobnych wyrazów mamy, że 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Po przeniesieniu wyrazów z lewej strony na prawą stwierdzamy, że 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Istnieje zatem nierówność postaci 32 ≤ 0 z nierównością otrzymaną poprzez obliczenie 0 x + 32 ≤ 0. Można zauważyć, że nierówność jest fałszywa, co oznacza, że ​​nierówność wynikająca z warunku nie ma rozwiązań.

Odpowiedź: brak rozwiązań.

Warto zauważyć, że istnieje wiele innych rodzajów nierówności, które można sprowadzić do nierówności liniowych lub typu pokazanego powyżej. Na przykład 5 2 x - 1 ≥ 1 Jest równanie wykładnicze, co sprowadza się do rozwiązania liniowego 2 x - 1 ≥ 0 . Przypadki te będą brane pod uwagę przy rozwiązywaniu nierówności tego typu.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Przedstawiono główne typy nierówności, w tym nierówności Bernoulliego, Cauchy'ego - Bunyakovsky'ego, Minkowskiego, Czebyszewa. Rozważane są właściwości nierówności i działania na nie. Podano podstawowe metody rozwiązywania nierówności.

Wzory na podstawowe nierówności

Wzory na nierówności uniwersalne

Nierówności uniwersalne są spełnione dla dowolnych wartości wielkości w nich zawartych. Poniżej wymieniono główne typy uniwersalnych nierówności.

1) | a b | ≤ |a| + |b| ; | za 1 za 2 ... za n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |

2) |a| + |b| ≥ | a - b | ≥ | |a| - |b| |

3)
Równość zachodzi tylko wtedy, gdy a 1 = a 2 = ... = a n.

4) Nierówność Cauchy'ego-Bunyakovsky'ego

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy α a k = β b k dla wszystkich k = 1, 2, ..., n i niektórych α, β, |α| + |β| > 0 .

5) Nierówność Minkowskiego, dla p ≥ 1

Formuły spełnialnych nierówności

Spełnialne nierówności są spełnione, gdy pewne wartości ilości w nich zawarte.

1) Nierówność Bernoulliego:
.
W więcej ogólna perspektywa:
,
gdzie , liczby tego samego znaku i większe niż -1 : .
Lemat Bernoulliego:
.
Zobacz „Dowody nierówności i lemat Bernoulliego”.

2)
dla a i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) Nierówność Czebyszewa
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

4) Uogólnione nierówności Czebyszewa
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n i k naturalne
.
Na 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n I b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.

Właściwości nierówności

Własności nierówności to zbiór reguł, które są spełnione podczas ich przekształcania. Poniżej znajdują się własności nierówności. Rozumie się, że pierwotne nierówności są spełnione dla wartości x i (i = 1, 2, 3, 4) należących do jakiegoś z góry określonego przedziału.

1) Kiedy zmienia się kolejność boków, znak nierówności zmienia się na przeciwny.
Jeśli x 1< x 2 , то x 2 >x 1 .
Jeśli x 1 ≤ x 2, to x 2 ≥ x 1.
Jeśli x 1 ≥ x 2, to x 2 ≤ x 1.
Jeśli x 1 > x 2, to x 2< x 1 .

2) Jedna równość jest równoważna dwóm słabym nierównościom inny znak.
Jeśli x 1 = x 2, to x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2.
Jeśli x 1 ≤ x 2 i x 1 ≥ x 2, to x 1 = x 2.

3) Własność przechodniości
Jeśli x 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
Jeśli x 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
Jeśli x 1 ≤ x 2 i x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
Jeśli x 1 ≤ x 2 i x 2 ≤ x 3, to x 1 ≤ x 3.

4) Tę samą liczbę można dodać (odjąć) po obu stronach nierówności.
Jeśli x 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
Jeśli x 1 ≤ x 2, to x 1 + A ≤ x 2 + A.
Jeśli x 1 ≥ x 2, to x 1 + A ≥ x 2 + A.
Jeśli x 1 > x 2, to x 1 + A > x 2 + A.

5) Jeżeli istnieją dwie lub więcej nierówności ze znakiem tego samego kierunku, to można dodać ich lewą i prawą stronę.
Jeśli x 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jeśli x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jeśli x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
Jeśli x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, to x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
Podobne wyrażenia dotyczą znaków ≥, >.
Jeśli pierwotne nierówności zawierają znaki nierówności nieścisłych i co najmniej jedną nierówność ścisłą (ale wszystkie znaki mają ten sam kierunek), to dodanie daje w wyniku nierówność ścisłą.

6) Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez liczbę dodatnią.
Jeśli x 1< x 2 и A >0, następnie A x 1< A · x 2 .
Jeśli x 1 ≤ x 2 i A > 0, to A x 1 ≤ A x 2.
Jeśli x 1 ≥ x 2 i A > 0, to A x 1 ≥ A x 2.
Jeśli x 1 > x 2 i A > 0, to A · x 1 > A · x 2.

7) Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez liczbę ujemną. W takim przypadku znak nierówności zmieni się na przeciwny.
Jeśli x 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >Ax2.
Jeśli x 1 ≤ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
Jeśli x 1 ≥ x 2 i A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
Jeśli x 1 > x 2 i A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) Jeśli istnieją dwie lub więcej nierówności z pozytywnych członków, ze znakiem tego samego kierunku, to ich lewą i prawą stronę można pomnożyć przez siebie.
Jeśli x 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, a następnie x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jeśli x 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, a następnie x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jeśli x 1 ≤ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0, a następnie x 1 x 3< x 2 · x 4 .
Jeśli x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, x 1, x 2, x 3, x 4 > 0, to x 1 x 3 ≤ x 2 x 4.
Podobne wyrażenia dotyczą znaków ≥, >.
Jeśli pierwotne nierówności zawierają znaki nierówności nieścisłych i co najmniej jedną nierówność ścisłą (ale wszystkie znaki mają ten sam kierunek), to mnożenie daje nierówność ścisłą.

9) Niech f(x) będzie funkcją monotonicznie rosnącą. Oznacza to, że dla dowolnego x 1 > x 2, f(x 1) > f(x 2). Wtedy funkcję tę można zastosować do obu stron nierówności, co nie spowoduje zmiany znaku nierówności.
Jeśli x 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
Jeśli x 1 ≤ x 2 to f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jeżeli x 1 ≥ x 2 to f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jeśli x 1 > x 2, to f(x 1) > f(x 2).

10) Niech f(x) będzie funkcją monotonicznie malejącą, czyli dla dowolnego x 1 > x 2, f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
Jeśli x 1< x 2 , то f(x 1) >f(x 2) .
Jeżeli x 1 ≤ x 2 to f(x 1) ≥ f(x 2) .
Jeżeli x 1 ≥ x 2 to f(x 1) ≤ f(x 2) .
Jeśli x 1 > x 2 to f(x 1)< f(x 2) .

Metody rozwiązywania nierówności

Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową

Metodę przedziałową można zastosować, jeśli nierówność zawiera jedną zmienną, którą oznaczamy jako x i ma postać:
f(x) > 0
gdzie f(x) - funkcja ciągła, mając ostateczny numer punkty przerwania. Znakiem nierówności może być dowolny: >, ≥,<, ≤ .

Metoda interwałowa jest następująca.

1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji f(x) i zaznacz ją odstępami na osi liczbowej.

2) Znajdź punkty nieciągłości funkcji f(x). Na przykład, jeśli jest to ułamek, wówczas znajdujemy punkty, w których mianownik staje się zerem. Zaznaczamy te punkty na osi liczb.

3) Rozwiąż równanie
f(x) = 0 .
Zaznaczamy pierwiastki tego równania na osi liczbowej.

4) W rezultacie oś liczbowa zostanie podzielona na przedziały (odcinki) punktami. W każdym przedziale objętym dziedziną definicji wybieramy dowolny punkt i w tym miejscu obliczamy wartość funkcji. Jeżeli wartość ta jest większa od zera, wówczas nad segmentem (interwałem) stawiamy znak „+”. Jeżeli wartość ta jest mniejsza od zera, wówczas nad segmentem (interwałem) stawiamy znak „-”.

5) Jeżeli nierówność ma postać: f(x) > 0, to zaznaczamy przedziały ze znakiem „+”. Rozwiązaniem nierówności jest połączenie tych przedziałów, które nie zawierają ich granic.
Jeżeli nierówność ma postać: f(x) ≥ 0, to do rozwiązania dodajemy punkty, w których f(x) = 0. Oznacza to, że niektóre przedziały mogą mieć zamknięte granice (granica należy do przedziału). inna część może mieć otwarte granice(granica nie należy do przedziału).
Podobnie, jeśli nierówność ma postać: f(x)< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
Jeżeli nierówność ma postać: f(x) ≤ 0, to do rozwiązania dodajemy punkty, w których f(x) = 0.

Rozwiązywanie nierówności z wykorzystaniem ich własności

Metodę tę można zastosować do nierówności o dowolnej złożoności. Polega ona na zastosowaniu właściwości (przedstawionych powyżej) w celu zwiększenia nierówności prosty widok i uzyskaj rozwiązanie. Jest całkiem możliwe, że spowoduje to nie tylko jedną, ale system nierówności. Ten metoda uniwersalna. Dotyczy to wszelkich nierówności.

Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.

Na przykład nierówność jest wyrażeniem \(x>5\).

Rodzaje nierówności:

Jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami lub , to nazywamy nierówność liczbowy. Właściwie to po prostu porównanie dwóch liczb. Takie nierówności dzielą się na wierny I niewierny.

Na przykład:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) jest niepoprawną nierównością liczbową, ponieważ \(17+3=20\), a \(20\) jest mniejsze niż \(115\) (i nie większe lub równe) .

Jeśli \(a\) i \(b\) są wyrażeniami zawierającymi zmienną, to mamy nierówność ze zmienną. Nierówności takie dzielimy na typy w zależności od treści:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Zmienna tylko do pierwszej potęgi
\(3x^2-x+5>0\)				W drugiej potędze (kwadracie) jest zmienna, ale nie ma wyższych potęg (trzeciej, czwartej itd.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... i tak dalej.

Jakie jest rozwiązanie nierówności?

Jeśli zamiast zmiennej zastąpisz nierówność liczbą, zamieni się ona w nierówność numeryczną.

Jeśli dana wartość x zamienia pierwotną nierówność w prawdziwą nierówność liczbową, wówczas nazywa się to rozwiązanie nierówności. Jeśli nie, to ta wartość nie jest rozwiązaniem. I do rozwiązać nierówność– musisz znaleźć wszystkie jego rozwiązania (lub pokazać, że ich nie ma).

Na przykład, jeśli podstawimy liczbę \(7\) do nierówności liniowej \(x+6>10\), otrzymamy poprawną nierówność liczbową: \(13>10\). A jeśli podstawimy \(2\), otrzymamy niepoprawną nierówność liczbową \(8>10\). Oznacza to, że \(7\) jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności, ale \(2\) nim nie jest.

Jednak nierówność \(x+6>10\) ma inne rozwiązania. Rzeczywiście, otrzymamy prawidłowe nierówności numeryczne, podstawiając \(5\), i \(12\), i \(138\)... I jak możemy znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania? W tym celu używają W naszym przypadku mamy:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Oznacza to, że będzie nam odpowiadać każda liczba większa niż cztery. Teraz musisz zapisać odpowiedź. Rozwiązania nierówności zapisuje się najczęściej cyfrowo, dodatkowo zaznaczając je na osi liczbowej cieniowaniem. Dla naszego przypadku mamy:

Odpowiedź: \(x\in(4;+\infty)\)

Kiedy zmienia się znak nierówności?

W nierównościach kryje się jedna wielka pułapka, w którą uczniowie naprawdę „uwielbiają” wpadać:

Kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną, zostaje ona odwrócona („więcej” przez „mniej”, „więcej lub równa” przez „mniejsze lub równe” itd.)

Dlaczego to się dzieje? Aby to zrozumieć, spójrzmy na transformacje nierówność liczbowa\(3>1\). To prawda, trzy jest rzeczywiście większe niż jeden. Najpierw spróbujmy pomnożyć go przez dowolną liczbę dodatnią, na przykład dwa:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Jak widać po pomnożeniu nierówność pozostaje prawdziwa. I bez względu na to, przez jaką liczbę dodatnią pomnożymy, zawsze otrzymamy prawdziwa nierówność. Spróbujmy teraz pomnożyć przez liczbę ujemną, na przykład minus trzy:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatem jest niepoprawna nierówność, ponieważ minus dziewięć jest mniejsze niż minus trzy! Oznacza to, że aby nierówność stała się prawdziwa (a zatem przekształcenie mnożenia przez liczbę ujemną było „legalne”), należy odwrócić znak porównania w następujący sposób: \(−9<− 3\).
Z podziałem wyjdzie to tak samo, możesz to sprawdzić sam.

Zasada napisana powyżej dotyczy wszystkich typów nierówności, nie tylko liczbowych.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(2(x+1)-1<7+8x\)
Rozwiązanie:

\(2x+2-1<7+8x\)	Przesuńmy \(8x\) w lewo, a \(2\) i \(-1\) w prawo, nie zapominając o zmianie znaków
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Podzielmy obie strony nierówności przez \(-6\), nie zapominając o zmianie z „mniej” na „więcej”
	Zaznaczmy na osi przedział liczbowy. Nierówność, dlatego „wybijamy” samą wartość \(-1\) i nie bierzemy jej jako odpowiedzi
	Zapiszmy odpowiedź jako przedział

Odpowiedź: \(x\in(-1;\infty)\)

Nierówności i niepełnosprawność

Nierówności, podobnie jak równania, mogą mieć ograniczenia co do wartości x. W związku z tym z zakresu rozwiązań należy wyłączyć te wartości, które zdaniem DZ są niedopuszczalne.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(\sqrt(x+1)<3\)

Rozwiązanie: Jasne jest, że aby lewa strona była mniejsza niż \(3\), wyrażenie radykalne musi być mniejsze niż \(9\) (w końcu z \(9\) tylko \(3\)). Otrzymujemy:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Wszystko? Dowolna wartość x mniejsza niż \(8\) będzie nam odpowiadać? NIE! Bo jeśli przyjmiemy np. wartość \(-5\), która wydaje się spełniać warunek, to nie będzie to rozwiązanie pierwotnej nierówności, gdyż doprowadzi nas to do obliczenia pierwiastka z liczby ujemnej.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Dlatego też musimy wziąć pod uwagę ograniczenia dotyczące wartości X – nie może być tak, że pod pierwiastkiem znajduje się liczba ujemna. Zatem mamy drugi warunek dla x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A żeby x było rozwiązaniem ostatecznym, musi spełniać oba wymagania na raz: musi być mniejsze od \(8\) (aby było rozwiązaniem) i większe od \(-1\) (aby było w zasadzie dopuszczalne). Wykreślając to na osi liczbowej, mamy ostateczną odpowiedź:

Odpowiedź: \(\lewo[-1;8\prawo)\)