Metoda interwałowa to specjalny algorytm przeznaczony do rozwiązywania złożone nierówności postaci f(x) > 0. Algorytm składa się z 5 kroków:
- Rozwiąż równanie f(x) = 0. Zamiast nierówności otrzymamy równanie, które jest znacznie prostsze do rozwiązania;
- Zaznacz wszystkie uzyskane pierwiastki na linii współrzędnych. W ten sposób linia prosta zostanie podzielona na kilka przedziałów;
- Znajdź wielokrotność pierwiastków. Jeśli korzenie są parzyste, narysuj pętlę nad korzeniem. (Korzeń uważa się za wielokrotność, jeśli istnieje parzysta liczba identycznych rozwiązań)
- Znajdź znak (plus lub minus) funkcji f(x) w skrajnym prawym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy podstawić w f(x) dowolną liczbę, która będzie na prawo od wszystkich zaznaczonych pierwiastków;
- Zaznacz znaki w pozostałych odstępach, naprzemiennie.
Następnie pozostaje już tylko zapisać interesujące nas interwały. Oznaczono je znakiem „+”, jeśli nierówność miała postać f(x) > 0, lub znakiem „-”, jeśli nierówność miała postać f(x)< 0.
W przypadku nierówności nieścisłych (≤ , ≥) należy w przedziałach uwzględnić punkty będące rozwiązaniem równania f(x) = 0;
Przykład 1:
Rozwiąż nierówność:
(x - 2) (x + 7)< 0
Pracujemy metodą interwałową.
Krok 1: zastąp nierówność równaniem i rozwiąż ją:
(x - 2)(x + 7) = 0
Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z czynników równy zeru:
x - 2 = 0 => x = 2
x + 7 = 0 => x = -7
Mamy dwa korzenie.
Krok 2: Zaznaczamy te pierwiastki na linii współrzędnych. Mamy:
Krok 3: znajdujemy znak funkcji w skrajnym prawym przedziale (na prawo od zaznaczonego punktu x = 2). Aby to zrobić, musisz wziąć dowolną liczbę więcej numeru x = 2. Weźmy dla przykładu x = 3 (ale nikt nie zabrania brać x = 4, x = 10, a nawet x = 10 000).
f(x) = (x - 2)(x + 7)
f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10
Otrzymujemy, że f(3) = 10 > 0 (10 jest liczbą dodatnią), więc umieszczamy znak plus w skrajnym prawym przedziale.
Krok 4: należy zwrócić uwagę na znaki na pozostałych odstępach. Pamiętamy, że przechodząc przez każdy korzeń, znak musi się zmienić. Na przykład na prawo od pierwiastka x = 2 znajduje się plus (upewniliśmy się o tym w poprzednim kroku), więc po lewej stronie musi być minus. Ten minus rozciąga się na cały przedział (-7; 2), więc na prawo od pierwiastka x = -7 znajduje się minus. Dlatego na lewo od pierwiastka x = −7 znajduje się plus. Pozostaje zaznaczyć te znaki na osi współrzędnych.
Wróćmy do pierwotnej nierówności, która miała postać:
(x - 2) (x + 7)< 0
Zatem funkcja musi być mniejsza od zera. Oznacza to, że interesuje nas znak minus, który występuje tylko w jednym przedziale: (−7; 2). To będzie odpowiedź.
Przykład 2:
Rozwiąż nierówność:
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0
Rozwiązanie:
Najpierw musisz znaleźć pierwiastki równania
(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0
Zwińmy pierwszy nawias i otrzymamy:
(3x - 1) 2 (x - 2) = 0
x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0
Rozwiązując te równania otrzymujemy:
Narysujmy punkty na osi liczbowej:
Ponieważ x 2 i x 3 są wielokrotnymi pierwiastkami, wówczas na prostej i nad nią będzie jeden punkt „ pętla”.
Weźmy dowolną liczbę mniejszą niż skrajny lewy punkt i podstawmy ją do pierwotnej nierówności. Weźmy liczbę -1.
Nie zapomnij podać rozwiązania równania (znaleziono X), ponieważ nasza nierówność nie jest ścisła.
Odpowiedź:
()U)