Kontynuujemy naukę logarytmów. W tym artykule porozmawiamy o obliczanie logarytmów, proces ten nazywa się logarytm. Najpierw zrozumiemy obliczanie logarytmów z definicji. Następnie przyjrzyjmy się, jak znaleźć wartości logarytmów za pomocą ich właściwości. Następnie skupimy się na obliczaniu logarytmów poprzez początkowo określone wartości innych logarytmów. Na koniec nauczmy się korzystać z tablic logarytmicznych. Całość teorii opatrzona jest przykładami ze szczegółowymi rozwiązaniami.
Nawigacja strony.
Obliczanie logarytmów z definicji
W najprostszych przypadkach można to zrobić dość szybko i łatwo znalezienie logarytmu z definicji. Przyjrzyjmy się bliżej, jak zachodzi ten proces.
Jego istotą jest przedstawienie liczby b w postaci a c, z której zgodnie z definicją logarytmu liczba c jest wartością logarytmu. Oznacza to, że z definicji znalezienie logarytmu odpowiada następującemu łańcuchowi równości: log a b=log a a c =c.
Zatem obliczenie logarytmu z definicji sprowadza się do znalezienia liczby c takiej, że a c = b, a liczba c sama w sobie jest pożądaną wartością logarytmu.
Biorąc pod uwagę informacje z poprzednich akapitów, gdy liczbę pod znakiem logarytmu podaje się przez pewną potęgę podstawy logarytmu, można od razu wskazać, czemu logarytm jest równy - jest równy wykładnikowi. Pokażmy rozwiązania na przykładach.
Przykład.
Znajdź log 2 2 −3, a także oblicz logarytm naturalny liczby e 5,3.
Rozwiązanie.
Definicja logarytmu pozwala od razu powiedzieć, że log 2 2 −3 =−3. Rzeczywiście liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie 2 do potęgi -3.
Podobnie znajdujemy drugi logarytm: lne 5,3 =5,3.
Odpowiedź:
log 2 2 −3 =−3 i lne 5,3 =5,3.
Jeśli liczba b pod znakiem logarytmu nie jest określona jako potęga podstawy logarytmu, należy dokładnie sprawdzić, czy możliwe jest przedstawienie liczby b w postaci a c . Często to przedstawienie jest dość oczywiste, zwłaszcza gdy liczba pod znakiem logarytmu jest równa podstawie do potęgi 1, 2, lub 3, ...
Przykład.
Oblicz logarytmy log 5 25 i .
Rozwiązanie.
Łatwo zauważyć, że 25=5 2, co pozwala obliczyć pierwszy logarytm: log 5 25=log 5 5 2 =2.
Przejdźmy do obliczenia drugiego logarytmu. Liczbę można przedstawić jako potęgę liczby 7: 
(zobacz, jeśli to konieczne). Stąd, 
.
Przepiszmy trzeci logarytm w następującej formie. Teraz możesz to zobaczyć 
, z czego wnioskujemy, że 
. Dlatego z definicji logarytmu 
.
W skrócie rozwiązanie można zapisać w następujący sposób: .
Odpowiedź:
log 5 25=2 , 
I .
Gdy pod znakiem logarytmu znajduje się wystarczająco duża liczba naturalna, nie zaszkodzi rozłożyć ją na czynniki pierwsze. Często pomaga przedstawienie takiej liczby jako jakiejś potęgi podstawy logarytmu, a zatem obliczenie tego logarytmu z definicji.
Przykład.
Znajdź wartość logarytmu.
Rozwiązanie.
Niektóre właściwości logarytmów pozwalają na natychmiastowe określenie wartości logarytmów. Właściwości te obejmują własność logarytmu jedności i własność logarytmu liczby równej podstawie: log 1 1=log a a 0 =0 i log a=log a a 1 =1. Oznacza to, że gdy pod znakiem logarytmu znajduje się liczba 1 lub liczba a równa podstawie logarytmu, wówczas w tych przypadkach logarytmy są równe odpowiednio 0 i 1.
Przykład.
Czym są logarytmy i log10?
Rozwiązanie.
Ponieważ , to z definicji logarytmu wynika 
.
W drugim przykładzie liczba 10 pod znakiem logarytmu pokrywa się z jej podstawą, więc logarytm dziesiętny z dziesięciu jest równy jeden, czyli lg10=lg10 1 =1.
Odpowiedź:
I lg10=1 .
Należy zauważyć, że obliczanie logarytmów z definicji (o czym mówiliśmy w poprzednim akapicie) implikuje użycie logarytmu równości a a p = p, który jest jedną z właściwości logarytmów.
W praktyce, gdy liczbę pod znakiem logarytmu i podstawę logarytmu można łatwo przedstawić jako potęgę określonej liczby, bardzo wygodnie jest skorzystać ze wzoru 
, co odpowiada jednej z właściwości logarytmów. Spójrzmy na przykład znalezienia logarytmu ilustrującego użycie tej formuły.
Przykład.
Oblicz logarytm.
Rozwiązanie.
Odpowiedź:
.
W obliczeniach wykorzystywane są również właściwości logarytmów niewymienione powyżej, ale o tym porozmawiamy w kolejnych akapitach.
Znajdowanie logarytmów za pomocą innych znanych logarytmów
Informacje zawarte w tym akapicie stanowią kontynuację tematu wykorzystania właściwości logarytmów podczas ich obliczania. Ale tutaj główna różnica polega na tym, że właściwości logarytmów służą do wyrażenia pierwotnego logarytmu w postaci innego logarytmu, którego wartość jest znana. Podajmy przykład dla wyjaśnienia. Powiedzmy, że wiemy, że log 2 3≈1,584963, to możemy znaleźć na przykład log 2 6, wykonując małą transformację, wykorzystując właściwości logarytmu: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
W powyższym przykładzie wystarczyło nam skorzystać z własności logarytmu iloczynu. Jednak znacznie częściej konieczne jest wykorzystanie szerszego arsenału właściwości logarytmów, aby obliczyć logarytm pierwotny poprzez dane.
Przykład.
Oblicz logarytm 27 o podstawie 60, jeśli wiesz, że log 60 2=a i log 60 5=b.
Rozwiązanie.
Musimy więc znaleźć log 60 27 . Łatwo zauważyć, że 27 = 3 3 , a logarytm pierwotny, ze względu na własność logarytmu potęgi, można zapisać jako 3·log 60 3 .
Zobaczmy teraz, jak wyrazić log 60 3 za pomocą znanych logarytmów. Własność logarytmu liczby równej podstawie pozwala nam zapisać log równości 60 60=1. Z drugiej strony log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 + log 60 3 + log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Zatem, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Stąd, log 60 3=1-2·log 60 2-log 60 5=1-2·a-b.
Na koniec obliczamy logarytm pierwotny: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Odpowiedź:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Osobno warto wspomnieć o znaczeniu wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu postaci 
. Pozwala przejść od logarytmów o dowolnej podstawie do logarytmów o określonej podstawie, których wartości są znane lub można je znaleźć. Zwykle z pierwotnego logarytmu, korzystając ze wzoru przejścia, przechodzą do logarytmów w jednej z podstaw 2, e lub 10, ponieważ dla tych podstaw istnieją tabele logarytmów, które pozwalają obliczyć ich wartości z pewnym stopniem dokładność. W następnym akapicie pokażemy, jak to się robi.
Tablice logarytmiczne i ich zastosowania
Do przybliżonych obliczeń można zastosować wartości logarytmu tablice logarytmiczne. Najczęściej używana tablica logarytmów o podstawie 2, tablica logarytmu naturalnego i tablica logarytmu dziesiętnego. Podczas pracy w systemie liczb dziesiętnych wygodnie jest używać tabeli logarytmów opartych na podstawie dziesiątej. Za jego pomocą nauczymy się znajdować wartości logarytmów.
Prezentowana tabela pozwala znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb od 1000 do 9999 (z trzema miejscami po przecinku) z dokładnością do jednej dziesięciotysięcznej. Przeanalizujemy zasadę znajdowania wartości logarytmu za pomocą tabeli logarytmów dziesiętnych na konkretnym przykładzie - tak jest jaśniej. Znajdźmy log1.256.
W lewej kolumnie tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy dwie pierwsze cyfry liczby 1,256, czyli 1,2 (dla przejrzystości liczba ta jest zakreślona na niebiesko). Trzecia cyfra liczby 1,256 (cyfra 5) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na lewo od podwójnej linii (liczba ta jest zakreślona na czerwono). Czwarta cyfra pierwotnej liczby 1,256 (cyfra 6) znajduje się w pierwszym lub ostatnim wierszu na prawo od podwójnej linii (liczba ta jest otoczona zieloną linią). Teraz znajdujemy liczby w komórkach tabeli logarytmów na przecięciu zaznaczonego wiersza i zaznaczonych kolumn (liczby te są podświetlone na pomarańczowo). Suma zaznaczonych liczb daje żądaną wartość logarytmu dziesiętnego z dokładnością do czwartego miejsca po przecinku, czyli log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Czy można, korzystając z powyższej tabeli, znaleźć wartości logarytmów dziesiętnych liczb, które mają więcej niż trzy cyfry po przecinku, a także tych, które wykraczają poza zakres od 1 do 9,999? Tak, możesz. Pokażmy, jak to się robi na przykładzie.
Obliczmy lg102.76332. Najpierw musisz zapisać numer w standardowej formie: 102,76332=1,0276332·10 2. Następnie mantysę należy zaokrąglić do trzeciego miejsca po przecinku 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, podczas gdy pierwotny logarytm dziesiętny jest w przybliżeniu równy logarytmowi wynikowej liczby, to znaczy przyjmujemy log102,76332≈lg1,028·10 2. Teraz stosujemy właściwości logarytmu: lg1,028·10 2 = lg1,028+lg10 2 = lg1,028+2. Na koniec wartość logarytmu lg1.028 znajdujemy z tabeli logarytmów dziesiętnych lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. W rezultacie cały proces obliczania logarytmu wygląda następująco: log102,76332=log1,0276332 10 2 ≈lg1,028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Podsumowując, warto zauważyć, że korzystając z tabeli logarytmów dziesiętnych można obliczyć przybliżoną wartość dowolnego logarytmu. Aby to zrobić, wystarczy skorzystać ze wzoru przejścia, aby przejść do logarytmów dziesiętnych, znaleźć ich wartości w tabeli i wykonać pozostałe obliczenia.
Na przykład obliczmy log 2 3 . Zgodnie ze wzorem na przejście do nowej podstawy logarytmu mamy . Z tabeli logarytmów dziesiętnych znajdujemy log3≈0,4771 i log2≈0,3010. Zatem, 
.
Bibliografia.
- Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
- Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).
Dzisiaj porozmawiamy o wzory logarytmiczne i podamy orientacyjnie przykłady rozwiązań.
Sami implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Zanim zastosujemy do rozwiązania wzory logarytmiczne, przypomnijmy o wszystkich właściwościach:
Teraz na podstawie tych wzorów (właściwości) pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.
Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.
Logarytm liczba dodatnia b oparta na podstawie a (oznaczona jako log a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.
Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, zatem log a a x = x.
Logarytmy, przykłady:
log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8
log 7 49 = 2, ponieważ 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5
Logarytm dziesiętny- jest to zwykły logarytm, którego podstawa wynosi 10. Oznacza się go jako lg.
log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100
Naturalny logarytm- także logarytm zwykły, logarytm, ale o podstawie e (e = 2,71828... - liczba niewymierna). Oznaczone jako ln.
Wskazane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą nam one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równań logarytmicznych i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.
- Podstawowa tożsamość logarytmiczna
log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Własności potęgi liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu
Wykładnik liczby logarytmicznej log a b m = mlog a b
Wykładnik podstawy logarytmu log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Przejście na nowy fundament
log a b = log c b/log c a,jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1
następnie log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Jak widać, wzory na logarytmy nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po zapoznaniu się z przykładami rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych omówimy bardziej szczegółowo w artykule: „”. Nie przegap!
Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.
Uwaga: jako opcję zdecydowaliśmy się na inną klasę edukacji i studia za granicą.
Jednym z elementów algebry poziomu pierwotnego jest logarytm. Nazwa pochodzi z języka greckiego od słowa „liczba” lub „potęga” i oznacza potęgę, do której należy podnieść liczbę w podstawie, aby znaleźć liczbę ostateczną.
Rodzaje logarytmów
- log a b – logarytm liczby b o podstawie a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – logarytm dziesiętny (logarytm o podstawie 10, a = 10);
- ln b – logarytm naturalny (logarytm o podstawie e, a = e).
Jak rozwiązywać logarytmy?
Logarytm b do podstawy a jest wykładnikiem, który wymaga podniesienia b do podstawy a. Otrzymany wynik wymawia się w następujący sposób: „logarytm b na podstawie a”. Rozwiązaniem problemów logarytmicznych jest to, że musisz określić daną moc w liczbach na podstawie podanych liczb. Istnieje kilka podstawowych zasad wyznaczania lub rozwiązywania logarytmu, a także konwertowania samego zapisu. Za ich pomocą rozwiązuje się równania logarytmiczne, znajduje pochodne, rozwiązuje całki i przeprowadza wiele innych operacji. Zasadniczo rozwiązaniem samego logarytmu jest jego uproszczony zapis. Poniżej znajdują się podstawowe wzory i właściwości:
Dla dowolnego a; a > 0; a ≠ 1 i dla dowolnego x ; y > 0.
- a log a b = b – podstawowa tożsamość logarytmiczna
- loga 1 = 0
- loga = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , dla k ≠ 0
- log a x = log a do x do
- log a x = log b x/ log b a – wzór na przeniesienie do nowej bazy
- log a x = 1/log x a
Jak rozwiązywać logarytmy - instrukcje krok po kroku dotyczące rozwiązywania
- Najpierw zapisz wymagane równanie.
Uwaga: jeśli logarytm podstawowy wynosi 10, wówczas wpis jest skracany i otrzymuje się logarytm dziesiętny. Jeśli istnieje liczba naturalna e, to ją zapisujemy, sprowadzając do logarytmu naturalnego. Oznacza to, że wynikiem wszystkich logarytmów jest potęga, do której podnosi się liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.
Bezpośrednio rozwiązanie polega na obliczeniu tego stopnia. Przed rozwiązaniem wyrażenia za pomocą logarytmu należy je uprościć zgodnie z regułą, czyli za pomocą formuł. Główne tożsamości można znaleźć, cofając się nieco w artykule.
Dodając i odejmując logarytmy o dwóch różnych liczbach, ale o tych samych podstawach, zastąp jeden logarytm z iloczynem lub podziałem odpowiednio liczb b i c. W takim przypadku możesz zastosować formułę przeniesienia do innej bazy (patrz wyżej).
Jeśli używasz wyrażeń do uproszczenia logarytmu, należy wziąć pod uwagę pewne ograniczenia. A to znaczy: podstawa logarytmu a jest tylko liczbą dodatnią, ale nie równą jedności. Liczba b, podobnie jak a, musi być większa od zera.
Są przypadki, gdy upraszczając wyrażenie, nie będziesz w stanie obliczyć logarytmu numerycznie. Zdarza się, że takie wyrażenie nie ma sensu, ponieważ wiele potęg to liczby niewymierne. W tym warunku pozostaw potęgę liczby jako logarytm.
Instrukcje
Zapisz podane wyrażenie logarytmiczne. Jeżeli w wyrażeniu używany jest logarytm liczby 10, to jego zapis ulega skróceniu i wygląda następująco: lg b jest logarytmem dziesiętnym. Jeżeli logarytm ma za podstawę liczbę e, to zapisz wyrażenie: ln b – logarytm naturalny. Rozumie się, że wynikiem any jest potęga, do której należy podnieść liczbę podstawową, aby otrzymać liczbę b.
Gdy znajdujesz sumę dwóch funkcji, wystarczy je rozróżnić i dodać wyniki: (u+v)" = u"+v";
Szukając pochodnej iloczynu dwóch funkcji należy pomnożyć pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodać pochodną drugiej funkcji pomnożoną przez pierwszą funkcję: (u*v)" = u"*v +v"*u;
Aby znaleźć pochodną ilorazu dwóch funkcji, należy od iloczynu pochodnej dzielnej pomnożonej przez funkcję dzielnika odjąć iloczyn pochodnej dzielnika pomnożonej przez funkcję dzielnej i podzielić wszystko to przez funkcję dzielnika do kwadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Jeśli podana jest funkcja złożona, należy pomnożyć pochodną funkcji wewnętrznej i pochodną funkcji zewnętrznej. Niech y=u(v(x)), wtedy y"(x)=y"(u)*v"(x).
Korzystając z wyników uzyskanych powyżej, można rozróżnić prawie każdą funkcję. Spójrzmy więc na kilka przykładów:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Istnieją również problemy związane z obliczaniem pochodnej w punkcie. Niech będzie podana funkcja y=e^(x^2+6x+5), należy znaleźć wartość funkcji w punkcie x=1.
1) Znajdź pochodną funkcji: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Oblicz wartość funkcji w danym punkcie y"(1)=8*e^0=8
Wideo na ten temat
Pomocna rada
Poznaj tabelę elementarnych pochodnych. Pozwoli to znacznie zaoszczędzić czas.
Źródła:
- pochodna stałej
Jaka jest więc różnica między równaniem irracjonalnym a równaniem racjonalnym? Jeśli nieznana zmienna znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym, równanie uważa się za niewymierne.
Instrukcje
Główną metodą rozwiązywania takich równań jest metoda konstruowania obu stron równania w kwadrat. Jednakże. jest to naturalne, pierwszą rzeczą, którą musisz zrobić, to pozbyć się znaku. Metoda ta nie jest trudna technicznie, lecz czasem może przysporzyć kłopotów. Na przykład równanie ma postać v(2x-5)=v(4x-7). Podnosząc obie strony do kwadratu, otrzymasz 2x-5 = 4x-7. Rozwiązanie takiego równania nie jest trudne; x=1. Ale numer 1 nie zostanie podany równania. Dlaczego? Podstaw jeden do równania zamiast wartości x. To znaczy prawa i lewa strona będą zawierać wyrażenia, które nie mają sensu. Ta wartość nie dotyczy pierwiastka kwadratowego. Dlatego 1 jest obcym pierwiastkiem i dlatego to równanie nie ma pierwiastków.
Zatem irracjonalne równanie rozwiązuje się metodą podniesienia obu jego stron do kwadratu. Po rozwiązaniu równania konieczne jest odcięcie obcych korzeni. Aby to zrobić, podstaw znalezione pierwiastki do pierwotnego równania.
Rozważ inny.
2х+vх-3=0
Oczywiście równanie to można rozwiązać za pomocą tego samego równania, co poprzednie. Przesuń związki równania, które nie mają pierwiastka kwadratowego, po prawej stronie, a następnie zastosuj metodę podniesienia do kwadratu. rozwiązać powstałe racjonalne równanie i pierwiastki. Ale także inny, bardziej elegancki. Wprowadź nową zmienną; vх=y. W związku z tym otrzymasz równanie w postaci 2y2+y-3=0. Oznacza to, że jest to zwykłe równanie kwadratowe. Znajdź swoje korzenie; y1=1 i y2=-3/2. Następnie rozwiąż dwa równania vх=1; vх=-3/2. Drugie równanie nie ma pierwiastków, z pierwszego wynika, że x=1. Nie zapomnij sprawdzić korzeni.
Rozwiązywanie tożsamości jest dość proste. Aby to zrobić, należy przeprowadzić identyczne przekształcenia, aż do osiągnięcia założonego celu. Zatem za pomocą prostych działań arytmetycznych postawiony problem zostanie rozwiązany.
Będziesz potrzebować
- - papier;
- - długopis.
Instrukcje
Najprostszymi tego typu przekształceniami są algebraiczne skrócone mnożenia (takie jak kwadrat sumy (różnicy), różnica kwadratów, suma (różnica), sześcian sumy (różnica)). Ponadto istnieje wiele wzorów trygonometrycznych, które są zasadniczo tymi samymi tożsamościami.
Rzeczywiście, kwadrat sumy dwóch wyrazów jest równy kwadratowi pierwszego plus dwukrotność iloczynu pierwszego przez drugi plus kwadrat drugiego, czyli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.
Uprość oba
Ogólne zasady rozwiązania
Powtórz z podręcznika analizy matematycznej lub wyższej matematyki, czym jest całka oznaczona. Jak wiadomo rozwiązaniem całki oznaczonej jest funkcja, której pochodna da całkę. Funkcja ta nazywana jest funkcją pierwotną. W oparciu o tę zasadę konstruowane są całki główne.Określ na podstawie rodzaju całki, która z całek tabeli jest odpowiednia w tym przypadku. Nie zawsze da się to od razu ustalić. Często postać tabelaryczna staje się zauważalna dopiero po kilku przekształceniach w celu uproszczenia całki.
Zmienna metoda wymiany
Jeżeli całką jest funkcja trygonometryczna, której argumentem jest wielomian, to spróbuj zastosować metodę zmiany zmiennych. W tym celu należy zastąpić wielomian w argumencie całki jakąś nową zmienną. Na podstawie relacji pomiędzy nową i starą zmienną wyznacz nowe granice całkowania. Różniczkując to wyrażenie, znajdź nową różnicę w . Otrzymasz w ten sposób nową postać poprzedniej całki, bliską lub nawet odpowiadającą jakiejś tabelarycznej.Rozwiązywanie całek drugiego rodzaju
Jeśli całka jest całką drugiego rodzaju, czyli wektorową formą całki, wówczas będziesz musiał skorzystać z zasad przejścia od tych całek do całek skalarnych. Jedną z takich reguł jest relacja Ostrogradskiego-Gaussa. Prawo to pozwala nam przejść od strumienia wirnika określonej funkcji wektorowej do całki potrójnej po rozbieżności danego pola wektorowego.Podstawienie granic całkowych
Po znalezieniu funkcji pierwotnej należy podstawić granice całkowania. Najpierw podstaw wartość górnej granicy do wyrażenia funkcji pierwotnej. Dostaniesz jakiś numer. Następnie odejmij od otrzymanej liczby inną liczbę uzyskaną z dolnej granicy do funkcji pierwotnej. Jeśli jedną z granic całkowania jest nieskończoność, to podstawiając ją do funkcji pierwotnej, należy dotrzeć do granicy i znaleźć, do czego dąży wyrażenie.Jeśli całka jest dwuwymiarowa lub trójwymiarowa, wówczas będziesz musiał geometrycznie przedstawić granice całkowania, aby zrozumieć, jak obliczyć całkę. Rzeczywiście, w przypadku, powiedzmy, całki trójwymiarowej, granicami całkowania mogą być całe płaszczyzny ograniczające całkowaną objętość.
Tym filmem rozpoczynam długą serię lekcji na temat równań logarytmicznych. Teraz masz przed sobą trzy przykłady, na podstawie których nauczymy się rozwiązywać najprostsze problemy, które nazywane są - pierwotniaki.
log 0,5 (3x - 1) = -3
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Przypomnę, że najprostsze równanie logarytmiczne wygląda następująco:
log a f (x) = b
W tym przypadku ważne jest, aby zmienna x występowała tylko wewnątrz argumentu, czyli tylko w funkcji f(x). A liczby a i b są po prostu liczbami i w żadnym wypadku nie są funkcjami zawierającymi zmienną x.
Podstawowe metody rozwiązywania
Istnieje wiele sposobów rozwiązywania takich konstrukcji. Na przykład większość nauczycieli w szkole oferuje tę metodę: Natychmiast wyraź funkcję f (x) za pomocą wzoru F ( x) = a b . Oznacza to, że gdy natkniesz się na najprostszą konstrukcję, możesz od razu przejść do rozwiązania, bez dodatkowych działań i konstrukcji.
Tak, oczywiście, decyzja będzie słuszna. Jednak problem z tą formułą polega na tym, że większość studentów nie rozumiem, skąd się bierze i dlaczego podnosimy literę a do litery b.
W rezultacie często widzę bardzo irytujące błędy, gdy na przykład te litery są zamieniane. Tę formułę trzeba albo zrozumieć, albo nafaszerować, a druga metoda prowadzi do błędów w najbardziej nieodpowiednich i kluczowych momentach: podczas egzaminów, sprawdzianów itp.
Dlatego wszystkim moim uczniom sugeruję porzucenie standardowej formuły szkolnej i skorzystanie z drugiego podejścia do rozwiązywania równań logarytmicznych, które, jak zapewne domyślacie się z nazwy, nazywa się Forma kanoniczna.
Idea formy kanonicznej jest prosta. Spójrzmy jeszcze raz na nasz problem: po lewej stronie mamy log a, a przez literę a mamy na myśli liczbę, a w żadnym wypadku funkcję zawierającą zmienną x. W związku z tym litera ta podlega wszystkim ograniczeniom nałożonym na podstawę logarytmu. mianowicie:
1 ≠ a > 0
Z drugiej strony z tego samego równania widzimy, że logarytm musi być równy liczbie b i na tę literę nie są nakładane żadne ograniczenia, ponieważ może ona przyjmować dowolną wartość - zarówno dodatnią, jak i ujemną. Wszystko zależy od tego, jakie wartości przyjmuje funkcja f(x).
I tutaj pamiętamy naszą wspaniałą zasadę, że dowolną liczbę b można przedstawić jako logarytm o podstawie a do potęgi b:
b = log a a b
Jak zapamiętać tę formułę? Tak, bardzo proste. Napiszmy następującą konstrukcję:
b = b 1 = b log a a
Oczywiście w tym przypadku pojawiają się wszystkie ograniczenia, które spisaliśmy na początku. Skorzystajmy teraz z podstawowej właściwości logarytmu i wprowadźmy mnożnik b jako potęgę a. Otrzymujemy:
b = b 1 = b log a a = log a a b
W rezultacie oryginalne równanie zostanie przepisane w następujący sposób:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
To wszystko. Nowa funkcja nie zawiera już logarytmu i można ją rozwiązać za pomocą standardowych technik algebraicznych.
Oczywiście ktoś teraz zaprotestuje: po co w ogóle trzeba było wymyślić jakąś formułę kanoniczną, po co wykonywać dwa dodatkowe, niepotrzebne kroki, skoro można było od razu przejść od pierwotnego projektu do formuły ostatecznej? Tak, choćby dlatego, że większość uczniów nie rozumie, skąd wzięła się ta formuła i w rezultacie regularnie popełnia błędy podczas jej stosowania.
Ale ta sekwencja działań, składająca się z trzech kroków, pozwala rozwiązać oryginalne równanie logarytmiczne, nawet jeśli nie rozumiesz, skąd pochodzi ostateczna formuła. Nawiasem mówiąc, ten wpis nazywa się formułą kanoniczną:
log a f (x) = log a a b
Wygoda formy kanonicznej polega również na tym, że można ją zastosować do rozwiązywania bardzo szerokiej klasy równań logarytmicznych, a nie tylko tych najprostszych, które dzisiaj rozważamy.
Przykłady rozwiązań
Spójrzmy teraz na prawdziwe przykłady. Zdecydujmy więc:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Przepiszmy to tak:
log 0,5 (3x - 1) = log 0,5 0,5 -3
Wielu uczniów spieszy się i próbuje natychmiast podnieść liczbę 0,5 do potęgi, która przyszła nam z pierwotnego problemu. Rzeczywiście, jeśli jesteś już dobrze przeszkolony w rozwiązywaniu takich problemów, możesz od razu wykonać ten krok.
Jeśli jednak dopiero zaczynasz studiować ten temat, lepiej nigdzie się nie spieszyć, aby uniknąć popełniania ofensywnych błędów. Mamy więc postać kanoniczną. Mamy:
3x - 1 = 0,5 -3
Nie jest to już równanie logarytmiczne, ale liniowe względem zmiennej x. Aby rozwiązać ten problem, spójrzmy najpierw na liczbę 0,5 do potęgi −3. Pamiętaj, że 0,5 to 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Konwertuj wszystkie ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe podczas rozwiązywania równania logarytmicznego.
Przepisujemy i otrzymujemy:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
To wszystko, mamy odpowiedź. Pierwszy problem został rozwiązany.
Drugie zadanie
Przejdźmy do drugiego zadania:
Jak widzimy, równanie to nie jest już najprostsze. Choćby dlatego, że po lewej stronie jest różnica i ani jednego logarytmu do jednej podstawy.
Dlatego musimy jakoś pozbyć się tej różnicy. W tym przypadku wszystko jest bardzo proste. Przyjrzyjmy się bliżej podstawom: po lewej stronie znajduje się liczba pod pierwiastkiem:
Zalecenie ogólne: we wszystkich równaniach logarytmicznych staraj się pozbyć rodników, tj. z zapisów z pierwiastkami i przejść do funkcji potęgowych, po prostu dlatego, że wykładniki tych potęg łatwo wyjąć ze znaku logarytmu i ostatecznie takie wpis znacznie upraszcza i przyspiesza obliczenia. Zapiszmy to w ten sposób:
Przypomnijmy sobie teraz niezwykłą właściwość logarytmu: potęgi można wyprowadzić zarówno z argumentu, jak i z podstawy. W przypadku podstaw dzieje się co następuje:
log a k b = 1/k loga b
Innymi słowy, liczba, która była w potędze bazowej, jest przesuwana do przodu i jednocześnie odwracana, czyli staje się liczbą odwrotną. W naszym przypadku stopień podstawowy wynosił 1/2. Dlatego możemy to wyliczyć jako 2/1. Otrzymujemy:
5 2 log 5 x - log 5 x = 18
10 log 5 x - log 5 x = 18
Uwaga: w żadnym wypadku nie należy na tym etapie rezygnować z logarytmów. Przypomnij sobie matematykę w klasach IV-V i kolejność działań: najpierw wykonuje się mnożenie, a dopiero potem dodawanie i odejmowanie. W tym przypadku odejmujemy jeden z tych samych elementów od 10 elementów:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Teraz nasze równanie wygląda tak, jak powinno. Jest to najprostsza konstrukcja, którą rozwiązujemy za pomocą postaci kanonicznej:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
To wszystko. Drugi problem został rozwiązany.
Trzeci przykład
Przejdźmy do trzeciego zadania:
log (x + 3) = 3 + 2 log 5
Przypomnę następujący wzór:
log b = log 10 b
Jeśli z jakiegoś powodu jesteś zdezorientowany zapisem log b , to podczas wykonywania wszystkich obliczeń możesz po prostu napisać log 10 b . Z logarytmami dziesiętnymi możesz pracować w taki sam sposób, jak z innymi: bierz potęgi, dodawaj i przedstawiaj dowolne liczby w postaci lg 10.
To właśnie te właściwości wykorzystamy teraz do rozwiązania problemu, ponieważ nie jest to najprostszy, który zapisaliśmy na samym początku naszej lekcji.
Po pierwsze, zauważ, że współczynnik 2 przed lg 5 można dodać i stanie się potęgą o podstawie 5. Ponadto wolny wyraz 3 można również przedstawić jako logarytm - bardzo łatwo to zaobserwować na podstawie naszego zapisu.
Oceń sam: dowolną liczbę można przedstawić jako logarytm o podstawie 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Przepiszmy pierwotne zadanie biorąc pod uwagę uzyskane zmiany:
log (x - 3) = log 1000 + log 25
log (x - 3) = log 1000 25
log (x - 3) = log 25 000
Znowu mamy przed sobą postać kanoniczną i dostaliśmy ją bez przechodzenia przez etap transformacji, czyli najprostsze równanie logarytmiczne nigdzie się nie pojawiło.
Właśnie o tym mówiłem na samym początku lekcji. Forma kanoniczna pozwala rozwiązać szerszą klasę problemów niż standardowa formuła szkolna, którą podaje większość nauczycieli szkolnych.
Cóż, to wszystko, pozbywamy się znaku logarytmu dziesiętnego i otrzymujemy prostą konstrukcję liniową:
x + 3 = 25 000
x = 24 997
Wszystko! Problem jest rozwiązany.
Uwaga dotycząca zakresu
W tym miejscu chciałbym poczynić ważną uwagę dotyczącą zakresu definicji. Z pewnością teraz znajdą się uczniowie i nauczyciele, którzy powiedzą: „Kiedy rozwiązujemy wyrażenia za pomocą logarytmów, musimy pamiętać, że argument f (x) musi być większy od zera!” W związku z tym pojawia się logiczne pytanie: dlaczego nie wymagaliśmy spełnienia tej nierówności w żadnym z rozważanych problemów?
Nie martw się. W takich przypadkach nie pojawią się żadne dodatkowe korzenie. A to kolejny świetny trik, który pozwala przyspieszyć rozwiązanie. Wystarczy wiedzieć, że jeśli w zadaniu zmienna x występuje tylko w jednym miejscu (a raczej w jednym argumencie pojedynczego logarytmu), a nigdzie indziej w naszym przypadku zmienna x nie występuje, to zapisz dziedzinę definicji nie ma potrzeby, ponieważ zostanie on wykonany automatycznie.
Oceńcie sami: w pierwszym równaniu otrzymaliśmy, że 3x − 1, czyli argument powinien wynosić 8. To automatycznie oznacza, że 3x − 1 będzie większe od zera.
Z takim samym sukcesem możemy napisać, że w drugim przypadku x powinno być równe 5 2, czyli z pewnością jest większe od zera. I w trzecim przypadku, gdzie x + 3 = 25 000, czyli znowu oczywiście więcej niż zero. Innymi słowy, zakres jest spełniony automatycznie, ale tylko wtedy, gdy x występuje tylko w argumencie tylko jednego logarytmu.
To wszystko, co musisz wiedzieć, aby rozwiązać najprostsze problemy. Sama ta reguła, wraz z regułami transformacji, pozwoli Ci rozwiązać bardzo szeroką klasę problemów.
Ale bądźmy szczerzy: aby w końcu zrozumieć tę technikę, aby dowiedzieć się, jak zastosować postać kanoniczną równania logarytmicznego, nie wystarczy obejrzeć jedną lekcję wideo. Dlatego już teraz pobierz opcje niezależnych rozwiązań, które są dołączone do tej lekcji wideo i rozpocznij rozwiązywanie przynajmniej jednego z tych dwóch niezależnych dzieł.
Zajmie Ci to dosłownie kilka minut. Ale efekt takiego treningu będzie znacznie wyższy, niż gdybyś po prostu obejrzał tę lekcję wideo.
Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże ci zrozumieć równania logarytmiczne. Używaj formy kanonicznej, upraszczaj wyrażenia, korzystając z zasad pracy z logarytmami - a nie będziesz się bać żadnych problemów. To wszystko, co mam na dzisiaj.
Biorąc pod uwagę dziedzinę definicji
Porozmawiajmy teraz o dziedzinie definicji funkcji logarytmicznej i jej wpływie na rozwiązywanie równań logarytmicznych. Rozważmy konstrukcję formularza
log a f (x) = b
Takie wyrażenie nazywa się najprostszym - zawiera tylko jedną funkcję, a liczby a i b są tylko liczbami, a w żadnym wypadku funkcją zależną od zmiennej x. Można to rozwiązać bardzo prosto. Wystarczy skorzystać ze wzoru:
b = log a a b
Ta formuła jest jedną z kluczowych właściwości logarytmu i po podstawieniu do naszego pierwotnego wyrażenia otrzymamy, co następuje:
log a f (x) = log a a b
fa (x) = za b
To formuła znana z podręczników szkolnych. Wielu uczniów prawdopodobnie będzie miało pytanie: ponieważ w pierwotnym wyrażeniu funkcja f (x) znajduje się pod znakiem log, nałożone są na nią następujące ograniczenia:
f(x) > 0
To ograniczenie ma zastosowanie, ponieważ logarytm liczb ujemnych nie istnieje. Może zatem w wyniku tego ograniczenia należałoby wprowadzić sprawdzanie odpowiedzi? Może trzeba je wstawić do źródła?
Nie, w najprostszych równaniach logarytmicznych dodatkowe sprawdzanie nie jest konieczne. I własnie dlatego. Spójrz na naszą ostateczną formułę:
fa (x) = za b
Faktem jest, że liczba a jest w każdym przypadku większa od 0 - wymóg ten narzuca również logarytm. Liczba a jest podstawą. W tym przypadku na liczbę b nie nakłada się żadnych ograniczeń. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ niezależnie od tego, do jakiej potęgi podniesiemy liczbę dodatnią, na wyjściu nadal otrzymamy liczbę dodatnią. Zatem wymóg f (x) > 0 jest spełniony automatycznie.
Naprawdę warto sprawdzić dziedzinę funkcji pod znakiem log. Mogą istnieć dość złożone struktury i zdecydowanie trzeba na nie uważać podczas procesu rozwiązywania. Przyjrzyjmy się.
Pierwsze zadanie:
Krok pierwszy: przelicz ułamek po prawej stronie. Otrzymujemy:
Pozbywamy się znaku logarytmu i otrzymujemy zwykłe irracjonalne równanie:
Z uzyskanych pierwiastków odpowiada nam tylko pierwszy, ponieważ drugi pierwiastek jest mniejszy od zera. Jedyną odpowiedzią będzie cyfra 9. To wszystko, problem rozwiązany. Nie jest wymagane żadne dodatkowe sprawdzanie, czy wyrażenie pod znakiem logarytmu jest większe od 0, bo nie tylko jest większe od 0, ale zgodnie z warunkiem równania jest równe 2. Dlatego też wymóg „większy od zera” ” zostaje spełnione automatycznie.
Przejdźmy do drugiego zadania:
Tutaj wszystko jest takie samo. Przepisujemy konstrukcję, zastępując potrójną:
Pozbywamy się znaków logarytmu i otrzymujemy irracjonalne równanie:
Podnosimy obie strony do kwadratu, biorąc pod uwagę ograniczenia i otrzymujemy:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7 x + 6 = 0
Powstałe równanie rozwiązujemy poprzez dyskryminator:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ale x = −6 nam nie odpowiada, ponieważ jeśli podstawimy tę liczbę do naszej nierówności, otrzymamy:
−6 + 4 = −2 < 0
W naszym przypadku wymagane jest, aby była większa od 0 lub w skrajnych przypadkach równa. Ale x = −1 nam odpowiada:
−1 + 4 = 3 > 0
Jedyną odpowiedzią w naszym przypadku będzie x = −1. To jest rozwiązanie. Wróćmy do samego początku naszych obliczeń.
Główny wniosek z tej lekcji jest taki, że nie trzeba sprawdzać ograniczeń funkcji w prostych równaniach logarytmicznych. Ponieważ podczas procesu rozwiązywania wszystkie ograniczenia są spełniane automatycznie.
Nie oznacza to jednak, że można całkowicie zapomnieć o sprawdzaniu. W procesie pracy nad równaniem logarytmicznym może ono przekształcić się w irracjonalne, które będzie miało swoje własne ograniczenia i wymagania dla prawej strony, co widzieliśmy dzisiaj w dwóch różnych przykładach.
Rozwiązuj takie problemy i zachowaj szczególną ostrożność, jeśli w argumencie znajduje się rdzeń.
Równania logarytmiczne o różnych podstawach
Kontynuujemy badanie równań logarytmicznych i przyglądamy się dwóm kolejnym całkiem interesującym technikom, za pomocą których modne jest rozwiązywanie bardziej złożonych konstrukcji. Ale najpierw przypomnijmy sobie, jak rozwiązuje się najprostsze problemy:
log a f (x) = b
W tym wpisie aib są liczbami, a w funkcji f(x) zmienna x musi być obecna i tylko tam, czyli x musi być tylko w argumencie. Takie równania logarytmiczne przekształcimy za pomocą postaci kanonicznej. Aby to zrobić, pamiętaj o tym
b = log a a b
Co więcej, a b jest właśnie argumentem. Przepiszmy to wyrażenie w następujący sposób:
log a f (x) = log a a b
Dokładnie to staramy się osiągnąć, aby logarytm opierał się zarówno na lewej, jak i prawej stronie. W tym przypadku możemy, mówiąc obrazowo, przekreślić znaki logarytmiczne, a z matematycznego punktu widzenia możemy powiedzieć, że po prostu zrównujemy argumenty:
fa (x) = za b
W rezultacie otrzymamy nowe wyrażenie, które będzie znacznie łatwiejsze do rozwiązania. Zastosujmy tę zasadę do naszych dzisiejszych problemów.
A więc pierwszy projekt:
Przede wszystkim zauważam, że po prawej stronie znajduje się ułamek, którego mianownikiem jest log. Kiedy widzisz takie wyrażenie, warto pamiętać o wspaniałej właściwości logarytmów:
W tłumaczeniu na język rosyjski oznacza to, że dowolny logarytm można przedstawić jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej podstawie c. Oczywiście 0< с ≠ 1.
Zatem: ta formuła ma jeden wspaniały przypadek specjalny, gdy zmienna c jest równa zmiennej B. W tym przypadku otrzymamy konstrukcję typu:
To jest dokładnie konstrukcja, którą widzimy ze znaku po prawej stronie w naszym równaniu. Zamieńmy tę konstrukcję na log a b , otrzymamy:
Innymi słowy, w porównaniu z pierwotnym zadaniem zamieniliśmy argument i podstawę logarytmu. Zamiast tego musieliśmy odwrócić ułamek.
Przypominamy, że z podstawy można wyprowadzić dowolny stopień według następującej zasady:
Innymi słowy, współczynnik k, będący potęgą podstawy, wyraża się jako ułamek odwrócony. Przedstawmy to jako ułamek odwrócony:
Nie można pozostawić czynnika ułamkowego na pierwszym planie, ponieważ w tym przypadku nie będziemy w stanie przedstawić tego zapisu w formie kanonicznej (wszak w formie kanonicznej nie ma dodatkowego czynnika przed drugim logarytmem). Dlatego dodajmy ułamek 1/4 do argumentu jako potęgę:
Teraz przyrównujemy argumenty, których podstawy są takie same (a nasze podstawy są naprawdę takie same) i piszemy:
x + 5 = 1
x = −4
To wszystko. Otrzymaliśmy odpowiedź na pierwsze równanie logarytmiczne. Uwaga: w pierwotnym zadaniu zmienna x pojawia się tylko w jednym logu i pojawia się w jego argumencie. Dlatego nie ma potrzeby sprawdzania domeny, a nasza liczba x = −4 jest rzeczywiście odpowiedzią.
Przejdźmy teraz do drugiego wyrażenia:
log 56 = log 2 log 2 7 - 3 log (x + 4)
Tutaj, oprócz zwykłych logarytmów, będziemy musieli pracować z log f (x). Jak rozwiązać takie równanie? Nieprzygotowanemu uczniowi może się to wydawać trudnym zadaniem, ale tak naprawdę wszystko można rozwiązać w elementarny sposób.
Przyjrzyj się bliżej terminowi lg 2 log 2 7. Co możemy o nim powiedzieć? Podstawy i argumenty log i lg są takie same, co powinno dać pewne pomysły. Przypomnijmy sobie jeszcze raz, jak spod znaku logarytmu pobierane są potęgi:
log a b n = nlog a b
Innymi słowy, to, co było potęgą b w argumencie, staje się czynnikiem przed samym log. Zastosujmy tę formułę do wyrażenia lg 2 log 2 7. Nie bój się lg 2 - to najczęstsze wyrażenie. Można to przepisać w następujący sposób:
Obowiązują dla niego wszystkie zasady mające zastosowanie do każdego innego logarytmu. W szczególności czynnik z przodu można dodać do stopnia argumentu. Zapiszmy to:
Bardzo często uczniowie nie widzą tej akcji bezpośrednio, bo nie jest dobrze wchodzić do jednego dziennika pod znakiem drugiego. Właściwie nie ma w tym nic kryminalnego. Co więcej, otrzymujemy wzór, który łatwo obliczyć, jeśli pamięta się o ważnej regule:
Wzór ten można traktować zarówno jako definicję, jak i jedną z jego właściwości. W każdym razie, jeśli konwertujesz równanie logarytmiczne, powinieneś znać ten wzór tak samo, jak znasz logarytmiczną reprezentację dowolnej liczby.
Wróćmy do naszego zadania. Przepisujemy to biorąc pod uwagę fakt, że pierwszy wyraz na prawo od znaku równości będzie po prostu równy lg 7. Mamy:
lg 56 = lg 7 - 3 lg (x + 4)
Przesuńmy lg 7 w lewo, otrzymamy:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
Odejmujemy wyrażenia po lewej stronie, ponieważ mają tę samą podstawę:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
Przyjrzyjmy się teraz bliżej równaniu, które otrzymaliśmy. Jest to praktycznie forma kanoniczna, ale po prawej stronie znajduje się współczynnik -3. Dodajmy to do prawego argumentu LG:
log 8 = log (x + 4) −3
Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, dlatego przekreślamy znaki lg i zrównujemy argumenty:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
To wszystko! Rozwiązaliśmy drugie równanie logarytmiczne. W tym przypadku nie są wymagane żadne dodatkowe sprawdzenia, ponieważ w pierwotnym zadaniu x występował tylko w jednym argumencie.
Pozwólcie, że jeszcze raz wymienię najważniejsze punkty tej lekcji.
Główną formułą nauczaną we wszystkich lekcjach na tej stronie poświęconych rozwiązywaniu równań logarytmicznych jest forma kanoniczna. I nie bój się tego, że większość podręczników szkolnych uczy, jak rozwiązywać takie problemy w inny sposób. Narzędzie to działa bardzo skutecznie i pozwala rozwiązać znacznie szerszą klasę problemów niż te najprostsze, które studiowaliśmy na samym początku naszej lekcji.
Ponadto do rozwiązywania równań logarytmicznych przydatna będzie znajomość podstawowych właściwości. Mianowicie:
- Wzór na przejście do jednej bazy i szczególny przypadek odwrócenia logu (było to dla nas bardzo przydatne przy pierwszym zadaniu);
- Wzór na dodawanie i odejmowanie potęg od znaku logarytmu. Tutaj wielu studentów utknie i nie widzi, że wyjęty i wprowadzony stopień może sam w sobie zawierać log f (x). Nic w tym złego. Możemy wprowadzić jeden log według znaku drugiego i jednocześnie znacznie uprościć rozwiązanie problemu, co obserwujemy w drugim przypadku.
Na zakończenie dodam, że nie jest konieczne sprawdzanie dziedziny definicji w każdym z tych przypadków, gdyż wszędzie zmienna x występuje tylko w jednym znaku logarytmicznym i jednocześnie występuje w jego argumencie. W konsekwencji wszystkie wymagania zakresu są spełniane automatycznie.
Problemy ze zmienną bazą
Dzisiaj przyjrzymy się równaniom logarytmicznym, które dla wielu uczniów wydają się niestandardowe, jeśli nie całkowicie nierozwiązywalne. Mówimy o wyrażeniach opartych nie na liczbach, ale na zmiennych, a nawet funkcjach. Takie konstrukcje rozwiążemy naszą standardową techniką, czyli poprzez formę kanoniczną.
Na początek przypomnijmy sobie, jak rozwiązuje się najprostsze problemy w oparciu o zwykłe liczby. Nazywa się więc najprostszą konstrukcją
log a f (x) = b
Aby rozwiązać takie problemy, możemy zastosować następujący wzór:
b = log a a b
Przepisujemy nasze oryginalne wyrażenie i otrzymujemy:
log a f (x) = log a a b
Następnie przyrównujemy argumenty, czyli piszemy:
fa (x) = za b
W ten sposób pozbywamy się znaku dziennika i rozwiązujemy zwykły problem. W tym przypadku pierwiastki otrzymane z rozwiązania będą pierwiastkami pierwotnego równania logarytmicznego. Ponadto zapis, w którym zarówno lewa, jak i prawa strona znajdują się w tym samym logarytmie o tej samej podstawie, nazywa się właśnie formą kanoniczną. Do takiego rekordu spróbujemy zredukować dzisiejsze projekty. Więc chodźmy.
Pierwsze zadanie:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
Zamień 1 na log x - 2 (x - 2) 1 . Stopień, który obserwujemy w argumencie, jest w rzeczywistości liczbą b stojącą po prawej stronie znaku równości. Zatem przepiszemy nasze wyrażenie. Otrzymujemy:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Co widzimy? Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego, dzięki czemu możemy bezpiecznie zrównać argumenty. Otrzymujemy:
2x 2 - 13x + 18 = x - 2
Ale na tym rozwiązanie się nie kończy, ponieważ równanie to nie jest równoważne pierwotnemu. W końcu otrzymana konstrukcja składa się z funkcji, które są zdefiniowane na całej osi liczbowej, a nasze oryginalne logarytmy nie są zdefiniowane wszędzie i nie zawsze.
Dlatego musimy osobno zapisać dziedzinę definicji. Nie dzielmy włosa na czworo i najpierw spiszmy wszystkie wymagania:
Po pierwsze, argument każdego z logarytmów musi być większy niż 0:
2x 2 - 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
Po drugie, podstawa musi być nie tylko większa od 0, ale także różna od 1:
x - 2 ≠ 1
W rezultacie otrzymujemy układ:
Ale nie przejmuj się: podczas przetwarzania równań logarytmicznych taki system można znacznie uprościć.
Oceń sam: z jednej strony wymagane jest, aby funkcja kwadratowa była większa od zera, a z drugiej strony ta funkcja kwadratowa jest równa pewnemu wyrażeniu liniowemu, które również wymaga, aby było większe od zera.
W tym przypadku, jeśli wymagamy, aby x − 2 > 0, to automatycznie spełniony zostanie warunek 2x 2 − 13x + 18 > 0. Można zatem bezpiecznie skreślić nierówność zawierającą funkcję kwadratową. Tym samym liczba wyrażeń zawartych w naszym systemie zostanie zmniejszona do trzech.
Oczywiście z takim samym sukcesem moglibyśmy skreślić nierówność liniową, czyli skreślić x − 2 > 0 i wymagać, aby 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ale zgodzisz się, że rozwiązanie najprostszej nierówności liniowej jest znacznie szybsze i prostsze niż kwadratowe, nawet pod warunkiem, że w wyniku rozwiązania całego tego układu otrzymamy te same pierwiastki.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli to możliwe, staraj się optymalizować obliczenia. A w przypadku równań logarytmicznych skreśl najtrudniejsze nierówności.
Przepiszmy nasz system:
Oto system trzech wyrażeń, z których dwa właściwie już zajmowaliśmy. Zapiszmy osobno równanie kwadratowe i rozwiążmy je:
2x 2 - 14x + 20 = 0
x 2 - 7x + 10 = 0
Przed nami zredukowany trójmian kwadratowy i dlatego możemy skorzystać ze wzorów Viety. Otrzymujemy:
(x - 5) (x - 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Teraz wracamy do naszego systemu i stwierdzamy, że x = 2 nam nie odpowiada, ponieważ wymagane jest, aby x było ściśle większe od 2.
Ale x = 5 nam odpowiada idealnie: liczba 5 jest większa od 2, a jednocześnie 5 nie jest równa 3. Zatem jedynym rozwiązaniem tego układu będzie x = 5.
To wszystko, problem został rozwiązany, w tym biorąc pod uwagę ODZ. Przejdźmy do drugiego równania. Bardziej interesujące i pouczające obliczenia czekają na nas tutaj:
Krok pierwszy: podobnie jak ostatnim razem, doprowadzamy całą sprawę do formy kanonicznej. Aby to zrobić, możemy zapisać liczbę 9 w następujący sposób:
Nie musisz dotykać podstawy korzeniem, ale lepiej przekształcić argument. Przejdźmy od pierwiastka do potęgi z wykładnikiem wymiernym. Zapiszmy:
Nie będę przepisywać całego naszego dużego równania logarytmicznego, ale po prostu od razu zrównam argumenty:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Przed nami nowo zredukowany trójmian kwadratowy, skorzystajmy ze wzorów Viety i napiszmy:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Mamy więc pierwiastki, ale nikt nie gwarantował nam, że będą pasować do pierwotnego równania logarytmicznego. Przecież znaki dziennika nakładają dodatkowe ograniczenia (tu powinniśmy spisać układ, ale ze względu na uciążliwość całej konstrukcji zdecydowałem się obliczyć dziedzinę definicji osobno).
Przede wszystkim pamiętaj, że argumenty muszą być większe od 0, a mianowicie:
Takie są wymagania narzucone przez zakres definicji.
Zauważmy od razu, że skoro przyrównujemy do siebie dwa pierwsze wyrażenia układu, to możemy skreślić dowolne z nich. Skreślmy pierwszą, bo wygląda groźniej niż druga.
Dodatkowo zauważmy, że rozwiązaniem drugiej i trzeciej nierówności będą te same zbiory (sześcian jakiejś liczby jest większy od zera, jeśli sama ta liczba jest większa od zera; podobnie w przypadku pierwiastka trzeciego stopnia - nierówności te są całkowicie analogiczne, więc możemy je skreślić).
Ale w przypadku trzeciej nierówności to nie zadziała. Pozbądźmy się radykalnego znaku po lewej stronie, podnosząc obie części do sześcianu. Otrzymujemy:
Otrzymujemy więc następujące wymagania:
− 2 ≠ x > −3
Który z naszych pierwiastków: x 1 = −3 lub x 2 = −1 spełnia te wymagania? Oczywiście tylko x = −1, ponieważ x = −3 nie spełnia pierwszej nierówności (ponieważ nasza nierówność jest ścisła). Wracając do naszego problemu, otrzymujemy jeden pierwiastek: x = −1. To wszystko, problem rozwiązany.
Jeszcze raz kluczowe punkty tego zadania:
- Zapraszam do stosowania i rozwiązywania równań logarytmicznych w formie kanonicznej. Studenci dokonujący takiego zapisu, zamiast przechodzić bezpośrednio od pierwotnego problemu do konstrukcji typu log a f (x) = b, popełniają znacznie mniej błędów niż ci, którzy gdzieś się spieszą, pomijając pośrednie etapy obliczeń;
- Gdy tylko w logarytmie pojawi się podstawa zmiennej, problem przestaje być najprostszy. Dlatego przy jego rozwiązywaniu należy wziąć pod uwagę dziedzinę definicji: argumenty muszą być większe od zera, a podstawy nie tylko muszą być większe od 0, ale także nie mogą być równe 1.
Ostateczne wymagania można zastosować do ostatecznych odpowiedzi na różne sposoby. Można na przykład rozwiązać cały system zawierający wszystkie wymagania dotyczące dziedziny definicji. Z drugiej strony można najpierw rozwiązać samo zadanie, a potem zapamiętać dziedzinę definicji, osobno rozpracować ją w formie układu i zastosować do otrzymanych pierwiastków.
Którą metodę wybrać przy rozwiązywaniu konkretnego równania logarytmicznego, zależy od Ciebie. W każdym razie odpowiedź będzie taka sama.