Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Rozważmy niektóre rodzaje równań logarytmicznych, które nie są tak często omawiane na lekcjach matematyki w szkole, ale są szeroko stosowane w przygotowaniu zadań konkursowych, w tym do jednolitego egzaminu państwowego.
1. Równania rozwiązywane metodą logarytmu
Przy rozwiązywaniu równań zawierających zmienną zarówno w podstawie, jak i w wykładniku, stosuje się metodę logarytmu. Jeżeli jednocześnie wykładnik zawiera logarytm, wówczas obie strony równania należy logarytmować do podstawy tego logarytmu.
Przykład 1.
Rozwiąż równanie: x log 2 x+2 = 8.
Rozwiązanie.
Podstawmy logarytm lewej i prawej strony równania o podstawie 2. Otrzymujemy
log 2 (x log 2 x + 2) = log 2 8,
(log 2 x + 2) log 2 x = 3.
Niech log 2 x = t.
Wtedy (t + 2)t = 3.
t 2 + 2 t – 3 = 0.
re = 16. t 1 = 1; t2 = -3.
Zatem log 2 x = 1 i x 1 = 2 lub log 2 x = -3 i x 2 = 1/8
Odpowiedź: 1/8; 2.
2. Równania logarytmiczne jednorodne.
Przykład 2.
Rozwiąż równanie log 2 3 (x 2 – 3x + 4) – 3log 3 (x + 5) log 3 (x 2 – 3x + 4) – 2log 2 3 (x + 5) = 0
Rozwiązanie.
Dziedzina równania
(x 2 – 3x + 4 > 0,
(x + 5 > 0. → x > -5.
log 3 (x + 5) = 0 przy x = -4. Sprawdzając, ustalamy, że ta wartość x nie jest 
jest pierwiastkiem pierwotnego równania. Dlatego możemy podzielić obie strony równania przez log 2 · 3 (x + 5).
Otrzymujemy log 2 3 (x 2 – 3x + 4) / log 2 3 (x + 5) – 3 log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) + 2 = 0.
Niech log 3 (x 2 – 3x + 4) / log 3 (x + 5) = t. Wtedy t 2 – 3 t + 2 = 0. Pierwiastkami tego równania są 1; 2. Wracając do zmiennej wyjściowej, otrzymujemy układ dwóch równań
Ale biorąc pod uwagę istnienie logarytmu, musimy wziąć pod uwagę tylko wartości (0; 9). Oznacza to, że wyrażenie po lewej stronie przyjmuje największą wartość 2 przy x = 1. Rozważmy teraz funkcję y = 2 x-1 + 2 1-x Jeśli przyjmiemy t = 2 x -1, to przyjmiemy postać y = t + 1/t, gdzie t > 0. W takich warunkach ma on jeden punkt krytyczny t = 1. Jest to punkt minimalny Yvin = 2. Osiąga się to przy x = 1.
Teraz jest oczywiste, że wykresy rozważanych funkcji mogą przecinać się tylko raz w punkcie (1; 2). Okazuje się, że x = 1 jest jedynym pierwiastkiem rozwiązywanego równania.
Odpowiedź: x = 1.
Przykład 5. Rozwiąż równanie log 2 2 x + (x – 1) log 2 x = 6 – 2x
Rozwiązanie.
Rozwiążmy to równanie dla log 2 x. Niech log 2 x = t. Wtedy t 2 + (x – 1) t – 6 + 2x = 0.
re = (x – 1) 2 – 4(2x – 6) = (x – 5) 2. t1 = -2; t 2 = 3 – x.
Otrzymujemy równanie log 2 x = -2 lub log 2 x = 3 – x.
Pierwiastkiem pierwszego równania jest x 1 = 1/4. 
Pierwiastek równania log 2 x = 3 – x znajdziemy poprzez selekcję. To jest liczba 2. Pierwiastek ten jest unikalny, gdyż funkcja y = log 2 x rośnie w całym obszarze definicji, a funkcja y = 3 – x maleje.
Łatwo sprawdzić, że obie liczby są pierwiastkami równania
Odpowiedź:1/4; 2.
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Dzisiaj nauczymy się rozwiązywać najprostsze równania logarytmiczne, w których nie są wymagane żadne wstępne przekształcenia ani selekcja pierwiastków. Ale jeśli nauczysz się rozwiązywać takie równania, będzie to znacznie łatwiejsze.
Najprostszym równaniem logarytmicznym jest równanie postaci log a f (x) = b, gdzie a, b są liczbami (a > 0, a ≠ 1), f (x) jest pewną funkcją.
Charakterystyczną cechą wszystkich równań logarytmicznych jest obecność zmiennej x pod znakiem logarytmu. Jeśli jest to równanie pierwotnie podane w zadaniu, nazywa się je najprostszym. Wszelkie inne równania logarytmiczne sprowadza się do najprostszych poprzez specjalne przekształcenia (patrz „Podstawowe właściwości logarytmów”). Należy jednak wziąć pod uwagę wiele subtelności: mogą pojawić się dodatkowe pierwiastki, dlatego złożone równania logarytmiczne będą rozpatrywane osobno.
Jak rozwiązać takie równania? Wystarczy zastąpić liczbę po prawej stronie znaku równości logarytmem o tej samej podstawie co po lewej stronie. Wtedy możesz pozbyć się znaku logarytmu. Otrzymujemy:
log za fa (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ fa (x) = a b
Mamy zwykłe równanie. Jego pierwiastki są pierwiastkami pierwotnego równania.
Wybijanie stopni
Często równania logarytmiczne, które na zewnątrz wyglądają na skomplikowane i groźne, można rozwiązać w zaledwie kilku wierszach, bez konieczności stosowania skomplikowanych formuł. Dzisiaj przyjrzymy się właśnie takim zagadnieniom, gdzie wystarczy, że dokładnie sprowadzisz wzór do postaci kanonicznej i nie pomylisz się przy poszukiwaniu dziedziny definicji logarytmów.
Dzisiaj, jak zapewne domyślacie się z tytułu, rozwiążemy równania logarytmiczne, korzystając ze wzorów na przejście do postaci kanonicznej. Główną „sztuczką” tej lekcji wideo będzie praca ze stopniami, a raczej wydedukowanie stopnia na podstawie podstawy i argumentacji. Spójrzmy na regułę:
Podobnie możesz wyprowadzić stopień z podstawy:
Jak widzimy, jeśli usuwając stopień z argumentu logarytmu, mamy po prostu z przodu dodatkowy współczynnik, to gdy usuwamy stopień z podstawy, otrzymamy nie tylko współczynnik, ale współczynnik odwrócony. Należy o tym pamiętać.
Na koniec najciekawsze. Formuły te można połączyć i otrzymamy:
Oczywiście przy dokonywaniu tych przejść pojawiają się pewne pułapki związane z możliwym rozszerzeniem zakresu definicji lub odwrotnie, zawężeniem zakresu definicji. Oceńcie sami:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x
Jeżeli w pierwszym przypadku x mogłoby być dowolną liczbą różną od 0, czyli wymaganiem x ≠ 0, to w drugim przypadku zadowalamy się tylko x, które nie tylko nie są równe, ale wręcz większe od 0, gdyż dziedzina definicja logarytmu jest taka, że argument jest ściśle większy od 0. Dlatego przypomnę Ci wspaniały wzór z kursu algebry dla klas 8-9:
Oznacza to, że musimy zapisać naszą formułę w następujący sposób:
log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |
Nie nastąpi wówczas żadne zawężenie zakresu definicji.
Jednak w dzisiejszym tutorialu wideo nie będzie kwadratów. Jeśli spojrzysz na nasze zadania, zobaczysz tylko korzenie. Dlatego nie będziemy tej reguły stosować, ale trzeba o niej pamiętać, aby w odpowiednim momencie, gdy zobaczysz w argumencie funkcję kwadratową lub podstawę logarytmu, zapamiętała tę zasadę i wykonała wszystkie przemiany poprawnie.
Zatem pierwsze równanie wygląda następująco:
Aby rozwiązać ten problem, proponuję dokładnie przyjrzeć się każdemu z terminów występujących we wzorze.
Przepiszmy pierwszy wyraz jako potęgę z wymiernym wykładnikiem:
Patrzymy na drugi człon: log 3 (1 - x). Tutaj nie trzeba nic robić, wszystko jest już przekształcone.
Wreszcie 0, 5. Jak mówiłem na poprzednich lekcjach, przy rozwiązywaniu równań i wzorów logarytmicznych zdecydowanie zalecam przejście od ułamków dziesiętnych do zwykłych. Zróbmy to:
0,5 = 5/10 = 1/2
Przepiszmy naszą pierwotną formułę, biorąc pod uwagę otrzymane wyrazy:
log 3 (1 - x ) = 1
Przejdźmy teraz do formy kanonicznej:
log 3 (1 - x ) = log 3 3
Pozbywamy się znaku logarytmu, przyrównując argumenty:
1 - x = 3
−x = 2
x = −2
To wszystko, rozwiązaliśmy równanie. Jednak nadal grajmy bezpiecznie i znajdźmy dziedzinę definicji. Aby to zrobić, wróćmy do pierwotnej formuły i zobaczmy:
1 - x > 0
−x > −1
X< 1
Nasz pierwiastek x = −2 spełnia ten wymóg, zatem x = −2 jest rozwiązaniem pierwotnego równania. Teraz otrzymaliśmy ścisłe, jasne uzasadnienie. To wszystko, problem rozwiązany.
Przejdźmy do drugiego zadania:
Przyjrzyjmy się każdemu terminowi osobno.
Napiszmy pierwszy:
Przekształciliśmy pierwszy termin. Pracujemy z drugim terminem:
Wreszcie ostatni termin, który znajduje się na prawo od znaku równości:
Zastępujemy powstałe wyrażenia zamiast terminów w otrzymanym wzorze:
log 3 x = 1
Przejdźmy do formy kanonicznej:
log 3 x = log 3 3
Pozbywamy się znaku logarytmu, zrównując argumenty i otrzymujemy:
x = 3
Jeszcze raz, na wszelki wypadek, wróćmy do pierwotnego równania i spójrzmy. W oryginalnym wzorze zmienna x występuje tylko w argumencie, zatem
x > 0
W drugim logarytmie x znajduje się pod pierwiastkiem, ale znowu w argumencie pierwiastek musi być większy od 0, tj. wyrażenie radykalne musi być większe od 0. Patrzymy na nasz pierwiastek x = 3. Oczywiście to spełnia ten wymóg. Dlatego x = 3 jest rozwiązaniem pierwotnego równania logarytmicznego. To wszystko, problem rozwiązany.
Dzisiejszy samouczek wideo zawiera dwa kluczowe punkty:
1) nie bójcie się przekształcać logarytmów, a w szczególności nie bójcie się wyciągać potęg ze znaku logarytmu, pamiętając o naszym podstawowym wzorze: usuwając potęgę z argumentu, jest ona po prostu usuwana bez zmian jako mnożnik, a podczas usuwania potęgi z podstawy moc ta zostaje odwrócona.
2) punkt drugi dotyczy samej formy kanonicznej. Przejścia do postaci kanonicznej dokonaliśmy na samym końcu transformacji wzoru równania logarytmicznego. Przypomnę następujący wzór:
a = log b b a
Oczywiście pod pojęciem „dowolna liczba b” mam na myśli te liczby, które spełniają wymagania nałożone na podstawę logarytmu, tj.
1 ≠ b > 0
Dla takiego b, skoro znamy już podstawę, wymóg ten zostanie spełniony automatycznie. Ale dla takiego b - dowolnego spełniającego ten warunek - można wykonać to przejście i otrzymamy postać kanoniczną, w której możemy pozbyć się znaku logarytmu.
Rozszerzenie dziedziny definicji i dodatkowe pierwiastki
W procesie przekształcania równań logarytmicznych może nastąpić ukryte rozszerzenie dziedziny definicji. Często uczniowie nawet tego nie zauważają, co prowadzi do błędów i błędnych odpowiedzi.
Zacznijmy od najprostszych projektów. Najprostsze równanie logarytmiczne wygląda następująco:
log a f (x) = b
Należy zauważyć, że x występuje tylko w jednym argumencie jednego logarytmu. Jak rozwiązać takie równania? Używamy formy kanonicznej. Aby to zrobić, wyobraźmy sobie liczbę b = log a a b, a nasze równanie zostanie przepisane w następujący sposób:
log a f (x) = log a a b
Wpis ten nazywany jest formą kanoniczną. Właśnie do tego należy sprowadzić każde równanie logarytmiczne, z którym zetkniesz się nie tylko na dzisiejszej lekcji, ale także w każdej samodzielnej i testowej pracy.
To, jak dojść do formy kanonicznej i jakich technik użyć, jest kwestią praktyki. Najważniejsze, aby zrozumieć, że gdy tylko otrzymasz taki zapis, możesz uznać problem za rozwiązany. Ponieważ następnym krokiem jest napisanie:
fa (x) = za b
Innymi słowy, pozbywamy się znaku logarytmu i po prostu zrównujemy argumenty.
Po co ta cała rozmowa? Faktem jest, że forma kanoniczna ma zastosowanie nie tylko do najprostszych problemów, ale także do wszelkich innych. W szczególności te, o których dzisiaj zdecydujemy. Przyjrzyjmy się.
Pierwsze zadanie:
Jaki jest problem z tym równaniem? Faktem jest, że funkcja występuje w dwóch logarytmach jednocześnie. Problem można zredukować do najprostszego, po prostu odejmując jeden logarytm od drugiego. Ale pojawiają się problemy z obszarem definicji: mogą pojawić się dodatkowe korzenie. Zatem przesuńmy jeden z logarytmów w prawo:
Wpis ten jest znacznie bardziej podobny do formy kanonicznej. Ale jest jeszcze jeden niuans: w formie kanonicznej argumenty muszą być takie same. A po lewej stronie mamy logarytm o podstawie 3, a po prawej o podstawie 1/3. Wie, że te podstawy należy doprowadzić do tej samej liczby. Dla przykładu pamiętajmy jakie są potęgi ujemne:
A następnie użyjemy wykładnika „-1” poza logiem jako mnożnika:
Uwaga: stopień, który był u podstawy, zostaje odwrócony i zamieniony na ułamek. Pozbywając się różnych podstaw, otrzymaliśmy niemal kanoniczny zapis, ale w zamian otrzymaliśmy współczynnik „-1” po prawej stronie. Uwzględnijmy ten czynnik w argumencie, zamieniając go na potęgę:
Oczywiście otrzymawszy formę kanoniczną, odważnie przekreślamy znak logarytmu i zrównujemy argumenty. Jednocześnie przypominam, że po podniesieniu do potęgi „−1” ułamek po prostu odwraca się - otrzymuje się proporcję.
Skorzystajmy z podstawowej własności proporcji i pomnóżmy ją krzyżowo:
(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)
2x 2 – x – 8x + 4 = 3x 2 – 4x – 15x + 20
2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20
x 2 - 10x + 16 = 0
Mamy przed sobą powyższe równanie kwadratowe, dlatego rozwiązujemy je korzystając ze wzorów Viety:
(x - 8) (x - 2) = 0
x 1 = 8; x2 = 2
To wszystko. Czy uważasz, że równanie zostało rozwiązane? NIE! Za takie rozwiązanie otrzymamy 0 punktów, gdyż pierwotne równanie zawiera dwa logarytmy ze zmienną x. Należy zatem wziąć pod uwagę dziedzinę definicji.
I tu zaczyna się zabawa. Większość uczniów jest zdezorientowana: jaka jest dziedzina definicji logarytmu? Oczywiście wszystkie argumenty (mamy dwa) muszą być większe od zera:
(x - 4)/(3x - 4) > 0
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Każdą z tych nierówności należy rozwiązać, zaznaczyć na linii prostej, przeciąć i dopiero wtedy zobaczyć, które pierwiastki leżą na przecięciu.
Powiem szczerze: ta technika ma prawo istnieć, jest niezawodna i otrzymasz poprawną odpowiedź, ale jest w niej zbyt wiele niepotrzebnych kroków. Przejrzyjmy więc nasze rozwiązanie jeszcze raz i zobaczmy: gdzie dokładnie musimy zastosować zakres? Innymi słowy, musisz jasno zrozumieć, kiedy pojawiają się dodatkowe korzenie.
- Początkowo mieliśmy dwa logarytmy. Następnie przesunęliśmy jeden z nich w prawo, ale nie miało to wpływu na obszar definicji.
- Następnie usuwamy potęgę z podstawy, ale nadal są dwa logarytmy, a w każdym z nich jest zmienna x.
- Na koniec przekreślamy znaki logarytmiczne i otrzymujemy klasyczne ułamkowe równanie wymierne.
Dopiero na ostatnim etapie poszerza się zakres definicji! Gdy tylko przeszliśmy do równania ułamkowo-wymiernego, pozbywając się znaków logarytmicznych, wymagania dla zmiennej x zmieniły się radykalnie!
W związku z tym dziedzinę definicji można rozpatrywać nie na samym początku rozwiązania, a dopiero na wspomnianym etapie – przed bezpośrednim zrównaniem argumentów.
Tutaj kryje się szansa na optymalizację. Z jednej strony wymagane jest, aby oba argumenty były większe od zera. Z drugiej strony dalej utożsamiamy te argumenty. Dlatego jeśli przynajmniej jeden z nich będzie dodatni, to drugi również będzie dodatni!
Okazuje się więc, że wymaganie spełnienia dwóch nierówności na raz jest przesadą. Wystarczy wziąć pod uwagę tylko jeden z tych ułamków. Który? Ten, który jest prostszy. Spójrzmy na przykład na ułamek po prawej stronie:
(x - 5)/(2x - 1) > 0
Jest to typowa ułamkowa nierówność wymierna, którą rozwiązujemy metodą przedziałową:
Jak umieścić znaki? Weźmy liczbę, która jest oczywiście większa niż wszystkie nasze pierwiastki. Na przykład 1 miliard.I podstawiamy jego ułamek. Otrzymujemy liczbę dodatnią, tj. na prawo od pierwiastka x = 5 będzie znak plus.
Następnie znaki zmieniają się, ponieważ nigdzie nie ma pierwiastków parzystej wielości. Nas interesują przedziały, w których funkcja jest dodatnia. Zatem x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).
Przypomnijmy sobie teraz odpowiedzi: x = 8 i x = 2. Ściśle rzecz ujmując, to nie są jeszcze odpowiedzi, a jedynie kandydaci do odpowiedzi. Który należy do określonego zestawu? Oczywiście x = 8. Ale x = 2 nie odpowiada nam w zakresie swojej dziedziny definicji.
W sumie odpowiedzią na pierwsze równanie logarytmiczne będzie x = 8. Teraz mamy kompetentne, dobrze uzasadnione rozwiązanie, biorąc pod uwagę dziedzinę definicji.
Przejdźmy do drugiego równania:
log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3
Przypomnę, że jeśli w równaniu jest ułamek dziesiętny, to należy się go pozbyć. Innymi słowy, zapiszmy 0,5 jako ułamek zwykły. Od razu zauważamy, że logarytm zawierający tę podstawę można łatwo obliczyć:
To bardzo ważny moment! Gdy mamy stopnie zarówno w podstawie, jak i w argumencie, możemy wyprowadzić wskaźniki tych stopni, korzystając ze wzoru:
Wróćmy do naszego pierwotnego równania logarytmicznego i przepiszmy je:
log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)
Otrzymaliśmy projekt dość zbliżony do formy kanonicznej. Mylą nas jednak terminy i znak minus po prawej stronie znaku równości. Przedstawmy jeden jako logarytm o podstawie 5:
log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)
Odejmij logarytmy po prawej stronie (w tym przypadku ich argumenty są podzielone):
log 5 (x - 9) = log 5 5/(x - 5)
Wspaniały. Mamy więc formę kanoniczną! Przekreślamy znaki dziennika i zrównujemy argumenty:
(x - 9)/1 = 5/(x - 5)
Jest to proporcja, którą można łatwo rozwiązać, mnożąc na krzyż:
(x - 9)(x - 5) = 5 1
x 2 - 9x - 5x + 45 = 5
x 2 - 14x + 40 = 0
Oczywiście mamy zredukowane równanie kwadratowe. Można to łatwo rozwiązać korzystając ze wzorów Viety:
(x - 10) (x - 4) = 0
x 1 = 10
x2 = 4
Mamy dwa korzenie. Ale to nie są ostateczne odpowiedzi, a jedynie kandydaci, bo równanie logarytmiczne też wymaga sprawdzenia dziedziny definicji.
Przypominam: nie trzeba szukać kiedy każdy argumentów będzie większa od zera. Wystarczy wymagać, aby jeden argument — albo x − 9, albo 5/(x − 5) — był większy od zera. Rozważ pierwszy argument:
x - 9 > 0
x > 9
Oczywiście warunek ten spełnia tylko x = 10. To jest ostateczna odpowiedź. Cały problem został rozwiązany.
Jeszcze raz kluczowe myśli dzisiejszej lekcji:
- Gdy tylko zmienna x pojawi się w kilku logarytmach, równanie przestaje być elementarne i trzeba będzie dla niego obliczyć dziedzinę definicji. W przeciwnym razie możesz łatwo wpisać dodatkowe pierwiastki w odpowiedzi.
- Pracę z samą dziedziną można znacznie uprościć, jeśli nierówność wypiszemy nie od razu, ale dokładnie w momencie, gdy pozbędziemy się znaków log. Przecież gdy argumenty są sobie równe, wystarczy wymagać, żeby tylko jeden z nich był większy od zera.
Oczywiście sami wybieramy, jakiego argumentu użyć do sformułowania nierówności, więc logiczne jest wybranie najprostszego. Na przykład w drugim równaniu wybraliśmy argument (x - 9), funkcję liniową, w przeciwieństwie do drugiego argumentu ułamkowego wymiernego. Zgadzam się, rozwiązanie nierówności x − 9 > 0 jest znacznie łatwiejsze niż 5/(x − 5) > 0. Chociaż wynik jest taki sam.
Ta uwaga znacznie upraszcza wyszukiwanie ODZ, ale bądź ostrożny: możesz użyć jednej nierówności zamiast dwóch tylko wtedy, gdy argumenty są dokładnie są sobie równe!
Oczywiście ktoś teraz zapyta: co dzieje się inaczej? Tak czasami. Przykładowo w samym kroku, gdy mnożymy dwa argumenty zawierające zmienną, istnieje niebezpieczeństwo pojawienia się niepotrzebnych pierwiastków.
Oceńcie sami: najpierw wymagane jest, aby każdy z argumentów był większy od zera, ale po pomnożeniu wystarczy, aby ich iloczyn był większy od zera. W efekcie pomijany jest przypadek, w którym każdy z tych ułamków jest ujemny.
Dlatego jeśli dopiero zaczynasz rozumieć złożone równania logarytmiczne, w żadnym wypadku nie mnożyj logarytmów zawierających zmienną x - zbyt często doprowadzi to do pojawienia się niepotrzebnych pierwiastków. Lepiej zrobić jeszcze jeden krok, przenieść jeden termin na drugą stronę i stworzyć formę kanoniczną.
Cóż, co zrobić, jeśli nie możesz obejść się bez pomnożenia takich logarytmów, omówimy w następnej lekcji wideo. :)
Jeszcze raz o potęgach w równaniu
Dzisiaj zajmiemy się dość śliskim tematem dotyczącym równań logarytmicznych, a dokładniej usuwania potęg z argumentów i podstaw logarytmów.
Powiedziałbym nawet, że będziemy mówić o usuwaniu potęg parzystych, ponieważ to właśnie przy potęgach parzystych pojawia się najwięcej trudności przy rozwiązywaniu rzeczywistych równań logarytmicznych.
Zacznijmy od formy kanonicznej. Powiedzmy, że mamy równanie w postaci log a f (x) = b. W tym przypadku przepisujemy liczbę b, korzystając ze wzoru b = log a a b . Okazuje się, co następuje:
log a f (x) = log a a b
Następnie przyrównujemy argumenty:
fa (x) = za b
Przedostatnia formuła nazywana jest formą kanoniczną. Właśnie do tego starają się zredukować każde równanie logarytmiczne, bez względu na to, jak skomplikowane i przerażające może się to wydawać na pierwszy rzut oka.
Spróbujmy więc. Zacznijmy od pierwszego zadania:
Uwaga wstępna: jak już powiedziałem, wszystkie ułamki dziesiętne w równaniu logarytmicznym lepiej konwertować na zwykłe:
0,5 = 5/10 = 1/2
Przepiszmy nasze równanie, biorąc pod uwagę ten fakt. Zauważ, że zarówno 1/1000, jak i 100 są potęgami dziesięciu, a następnie usuńmy potęgi, gdziekolwiek się znajdują: z argumentów, a nawet z podstawy logarytmów:
I tutaj wielu uczniów ma pytanie: „Skąd wziął się moduł po prawej stronie?” Rzeczywiście, dlaczego po prostu nie napisać (x - 1)? Oczywiście teraz napiszemy (x − 1), ale uwzględnienie dziedziny definicji daje nam prawo do takiego zapisu. Przecież inny logarytm zawiera już (x − 1), a to wyrażenie musi być większe od zera.
Ale kiedy usuwamy kwadrat z podstawy logarytmu, musimy pozostawić dokładnie moduł u podstawy. Pozwól mi wyjaśnić dlaczego.
Faktem jest, że z matematycznego punktu widzenia zdobycie stopnia jest równoznaczne z wyjęciem pierwiastka. W szczególności, gdy podwyższamy wyrażenie (x - 1) 2, zasadniczo wychodzimy z drugiego pierwiastka. Ale pierwiastek kwadratowy to nic innego jak moduł. Dokładnie moduł, ponieważ nawet jeśli wyrażenie x − 1 jest ujemne, po podniesieniu do kwadratu „minus” i tak się wypali. Dalsze ekstrakcja pierwiastka da nam liczbę dodatnią - bez żadnych minusów.
Ogólnie rzecz biorąc, aby uniknąć błędów ofensywnych, pamiętaj raz na zawsze:
Pierwiastek z potęgi parzystej dowolnej funkcji podniesionej do tej samej potęgi jest równy nie samej funkcji, ale jej modułowi:
Wróćmy do naszego równania logarytmicznego. Mówiąc o module argumentowałem, że możemy go usunąć bezboleśnie. To prawda. Teraz wyjaśnię dlaczego. Ściśle mówiąc, musieliśmy rozważyć dwie opcje:
- x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x - 1
- x - 1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1
Należy rozważyć każdą z tych opcji. Ale jest jeden haczyk: oryginalna formuła zawiera już funkcję (x - 1) bez żadnego modułu. I podążając za dziedziną definicji logarytmów, mamy prawo od razu napisać, że x − 1 > 0.
Wymóg ten musi być spełniony niezależnie od modułów i innych przekształceń jakie wykonujemy w procesie rozwiązania. Dlatego nie ma sensu rozważać drugiej opcji - ona nigdy nie powstanie. Nawet jeśli rozwiązując tę gałąź nierówności otrzymamy jakieś liczby, to i tak nie zostaną one uwzględnione w ostatecznej odpowiedzi.
Teraz jesteśmy dosłownie o krok od kanonicznej postaci równania logarytmicznego. Przedstawmy jednostkę w następujący sposób:
1 = log x - 1 (x - 1) 1
Dodatkowo wprowadzamy do argumentu czynnik −4, który znajduje się po prawej stronie:
log x - 1 10 -4 = log x - 1 (x - 1)
Przed nami kanoniczna postać równania logarytmicznego. Pozbywamy się znaku logarytmu:
10-4 = x-1
Ponieważ jednak podstawa była funkcją (a nie liczbą pierwszą), dodatkowo wymagamy, aby ta funkcja była większa od zera i nie równa jedności. Powstały układ będzie:
Ponieważ wymóg x − 1 > 0 jest spełniony automatycznie (w końcu x − 1 = 10 −4), to jedną z nierówności można usunąć z naszego układu. Drugi warunek również można skreślić, gdyż x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:
x = 1 + 0,0001 = 1,0001
Jest to jedyny pierwiastek, który automatycznie spełnia wszystkie wymagania dziedziny definicji logarytmu (jednak wszystkie wymagania zostały wyeliminowane jako oczywiście spełnione w warunkach naszego problemu).
Zatem drugie równanie:
3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2
Czym to równanie zasadniczo różni się od poprzedniego? Choćby dlatego, że podstawy logarytmów - 3x i 9x - nie są wzajemnymi potęgami naturalnymi. Dlatego przejście, które zastosowaliśmy w poprzednim rozwiązaniu, nie jest możliwe.
Pozbądźmy się przynajmniej stopni. W naszym przypadku jedyny stopień znajduje się w drugim argumencie:
3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |
Można jednak usunąć znak modułu, gdyż zmienna x również jest u podstawy, tj. x > 0 ⇒ |x| = x. Przepiszmy nasze równanie logarytmiczne:
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Otrzymaliśmy logarytmy, w których argumenty są takie same, ale podstawy są różne. Co zrobic nastepnie? Jest tu wiele opcji, ale rozważymy tylko dwie z nich, które są najbardziej logiczne, a co najważniejsze, są to techniki szybkie i zrozumiałe dla większości uczniów.
Rozważaliśmy już pierwszą opcję: w każdej niejasnej sytuacji zamień logarytmy o zmiennej podstawie na jakąś stałą podstawę. Na przykład do dwójki. Formuła przejścia jest prosta:
Oczywiście rolą zmiennej c powinna być liczba normalna: 1 ≠ c > 0. Niech w naszym przypadku c = 2. Teraz mamy przed sobą zwykłe ułamkowe równanie wymierne. Zbieramy wszystkie elementy po lewej stronie:
Oczywiście lepiej jest usunąć współczynnik log 2 x, ponieważ jest on obecny zarówno w pierwszej, jak i drugiej frakcji.
log 2 x = 0;
3 log 2 9x = 4 log 2 3x
Każdy dziennik dzielimy na dwa terminy:
log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;
log 2 3x = log 2 3 + log 2 x
Przepiszmy obie strony równości, biorąc pod uwagę następujące fakty:
3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )
6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x
2 log 2 3 = log 2 x
Teraz pozostaje tylko wpisać dwójkę pod znak logarytmu (zamieni się to w potęgę: 3 2 = 9):
log 2 9 = log 2 x
Przed nami klasyczna forma kanoniczna, pozbywamy się znaku logarytmu i otrzymujemy:
Zgodnie z oczekiwaniami pierwiastek ten okazał się większy od zera. Pozostaje sprawdzić dziedzinę definicji. Spójrzmy na powody:
Ale pierwiastek x = 9 spełnia te wymagania. Jest to zatem decyzja ostateczna.
Wniosek z tego rozwiązania jest prosty: nie bójcie się długich obliczeń! Tyle, że na samym początku nową bazę wybraliśmy losowo – a to znacznie skomplikowało proces.
Ale wtedy pojawia się pytanie: jaka jest podstawa optymalny? Opowiem o tym w drugiej metodzie.
Wróćmy do naszego pierwotnego równania:
3 log 3x x = 2 log 9x x 2
3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |
x > 0 ⇒ |x| = x
3 log 3 x x = 4 log 9 x x
Teraz pomyślmy trochę: jaka liczba lub funkcja byłaby optymalną podstawą? Oczywiście najlepszą opcją byłoby c = x - to, co jest już w argumentach. W tym przypadku formuła log a b = log c b /log c a przyjmie postać:
Innymi słowy, wyrażenie jest po prostu odwrócone. W tym przypadku argument i podstawa zamieniają się miejscami.
Wzór ten jest bardzo przydatny i bardzo często stosowany przy rozwiązywaniu złożonych równań logarytmicznych. Jednak przy stosowaniu tej formuły istnieje jedna bardzo poważna pułapka. Jeśli zamiast podstawy podstawimy zmienną x, wówczas zostaną na nią nałożone ograniczenia, których wcześniej nie obserwowano:
W pierwotnym równaniu nie było takiego ograniczenia. Dlatego powinniśmy osobno sprawdzić przypadek, gdy x = 1. Podstawiamy tę wartość do naszego równania:
3 log 3 1 = 4 log 9 1
Otrzymujemy poprawną równość liczbową. Dlatego x = 1 jest pierwiastkiem. Dokładnie ten sam pierwiastek znaleźliśmy w poprzedniej metodzie na samym początku rozwiązania.
Ale teraz, gdy osobno rozważyliśmy ten konkretny przypadek, bezpiecznie zakładamy, że x ≠ 1. Wtedy nasze równanie logarytmiczne zostanie przepisane w następującej postaci:
3 log x 9x = 4 log x 3x
Rozszerzamy oba logarytmy, korzystając z tego samego wzoru, co poprzednio. Zauważ, że log x x = 1:
3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )
3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4
3 log x 3 2 - 4 log x 3 = 4 - 3
2 log x 3 = 1
Doszliśmy więc do postaci kanonicznej:
log x 9 = log x x 1
x=9
Mamy drugi korzeń. Spełnia wymaganie x ≠ 1. Zatem x = 9 wraz z x = 1 jest ostateczną odpowiedzią.
Jak widać, ilość obliczeń nieznacznie spadła. Ale przy rozwiązywaniu prawdziwego równania logarytmicznego liczba kroków będzie znacznie mniejsza, również dlatego, że nie jest wymagane tak szczegółowe opisywanie każdego kroku.
Kluczowa zasada dzisiejszej lekcji jest następująca: jeśli zadanie zawiera stopień parzysty, z którego zostanie wyodrębniony pierwiastek z tego samego stopnia, wówczas wynikiem będzie moduł. Moduł ten można jednak usunąć, jeśli zwróci się uwagę na dziedzinę definicji logarytmów.
Ale bądź ostrożny: po tej lekcji większość uczniów myśli, że rozumie wszystko. Ale rozwiązując prawdziwe problemy, nie mogą odtworzyć całego łańcucha logicznego. W rezultacie równanie zyskuje niepotrzebne pierwiastki, a odpowiedź okazuje się błędna.
Przykłady:
\(\log_(2)(x) = 32\)
\(\log_3x=\log_39\)
\(\log_3((x^2-3))=\log_3((2x))\)
\(\log_(x+1)((x^2+3x-7))=2\)
\(\lg^2((x+1))+10=11 \lg((x+1))\)
Jak rozwiązywać równania logarytmiczne:
Rozwiązując równanie logarytmiczne, należy dążyć do przekształcenia go do postaci \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\), a następnie dokonać przejścia do postaci \(f(x )=g(x) \).
\(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).
Przykład:\(\log_2(x-2)=3\)
|
Rozwiązanie: |
OZ: |
Bardzo ważne! Przejścia tego można dokonać tylko wtedy, gdy:
Napisałeś dla pierwotnego równania, a na koniec sprawdzisz, czy znalezione są uwzględnione w DL. Jeśli nie zostanie to zrobione, mogą pojawić się dodatkowe korzenie, co oznacza złą decyzję.
Liczba (lub wyrażenie) po lewej i prawej stronie jest taka sama;
Logarytmy po lewej i prawej stronie są „czyste”, to znaczy nie powinno być żadnych mnożeń, dzieleń itp. – tylko pojedyncze logarytmy po obu stronach znaku równości.
Na przykład:
Należy zauważyć, że równania 3 i 4 można łatwo rozwiązać, stosując niezbędne właściwości logarytmów.
Przykład . Rozwiąż równanie \(2\log_8x=\log_82,5+\log_810\)
Rozwiązanie :
|
Zapiszmy ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(2\log_8x=\log_82,5+\log_810\) ODZ: \(x>0\) |
Po lewej stronie przed logarytmem znajduje się współczynnik, po prawej stronie suma logarytmów. To nas niepokoi. Przenieśmy dwójkę do wykładnika \(x\) zgodnie z właściwością: \(n \log_b(a)=\log_b(a^n)\). Przedstawmy sumę logarytmów jako jeden logarytm zgodnie z własnością: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\) |
|
|
\(\log_8(x^2)=\log_825\) |
Sprowadziliśmy równanie do postaci \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) i zapisaliśmy ODZ, co oznacza, że możemy przejść do postaci \(f(x) =g(x)\ ). |
|
|
Stało się . Rozwiązujemy go i zdobywamy korzenie. |
||
|
\(x_1=5\) \(x_2=-5\) |
Sprawdzamy, czy korzenie nadają się do ODZ. Aby to zrobić, w \(x>0\) zamiast \(x\) podstawiamy \(5\) i \(-5\). Operację tę można wykonać ustnie. |
|
|
\(5>0\), \(-5>0\) |
Pierwsza nierówność jest prawdziwa, druga nie. Oznacza to, że \(5\) jest pierwiastkiem równania, ale \(-5\) nie. Zapisujemy odpowiedź. |
Odpowiedź : \(5\)
Przykład : Rozwiąż równanie \(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\)
Rozwiązanie :
|
Zapiszmy ODZ: \(x>0\). |
||
|
\(\log^2_2(x)-3 \log_2(x)+2=0\) ODZ: \(x>0\) |
Typowe równanie rozwiązane za pomocą . Zamień \(\log_2x\) na \(t\). |
|
|
\(t=\log_2x\) |
||
|
Otrzymaliśmy zwykły. Szukamy jego korzeni. |
||
|
\(t_1=2\) \(t_2=1\) |
Dokonywanie odwrotnej wymiany |
|
|
\(\log_2(x)=2\) \(\log_2(x)=1\) |
Przekształcamy prawe strony, przedstawiając je jako logarytmy: \(2=2 \cdot 1=2 \log_22=\log_24\) i \(1=\log_22\) |
|
|
\(\log_2(x)=\log_24\) \(\log_2(x)=\log_22 \) |
Teraz nasze równania to \(\log_a(f(x))=\log_a(g(x))\) i możemy przejść do \(f(x)=g(x)\). |
|
|
\(x_1=4\) \(x_2=2\) |
Sprawdzamy zgodność korzeni ODZ. Aby to zrobić, podstaw \(4\) i \(2\) do nierówności \(x>0\) zamiast \(x\). |
|
|
\(4>0\) \(2>0\) |
Obie nierówności są prawdziwe. Oznacza to, że zarówno \(4\), jak i \(2\) są pierwiastkami równania. |
Odpowiedź : \(4\); \(2\).
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.