Lekcja i prezentacja na temat: „Układy nierówności. Przykłady rozwiązań”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Pomoce edukacyjne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 9
Interaktywny podręcznik dla klasy 9 „Zasady i ćwiczenia z geometrii”
Podręcznik elektroniczny „Zrozumiała Geometria” dla klas 7-9
Układ nierówności
Chłopaki, studiowaliście nierówności liniowe i kwadratowe i nauczyliście się, jak rozwiązywać problemy związane z tymi tematami. Przejdźmy teraz do nowej koncepcji w matematyce - systemu nierówności. Układ nierówności jest podobny do układu równań. Czy pamiętasz układy równań? W siódmej klasie uczyłeś się układów równań, spróbuj przypomnieć sobie, jak je rozwiązałeś.Wprowadźmy definicję układu nierówności.
Kilka nierówności z pewną zmienną x tworzy system nierówności, jeśli chcesz znaleźć wszystkie wartości x, dla których każda z nierówności tworzy prawdziwą wyrażenie numeryczne.
Rozwiązaniem nierówności jest dowolna wartość x, dla której każda nierówność przyjmuje prawidłowe wyrażenie liczbowe. Można je również nazwać rozwiązaniem prywatnym.
Co to jest rozwiązanie prywatne? Przykładowo w odpowiedzi otrzymaliśmy wyrażenie x>7. Wtedy x=8, x=123, lub dowolna inna liczba większa od siedmiu jest konkretnym rozwiązaniem, a wyrażenie x>7 ma postać wspólna decyzja. Rozwiązanie ogólne składa się z wielu rozwiązań prywatnych.
Jak połączyliśmy układ równań? Zgadza się, nawias klamrowy, więc to samo robią z nierównościami. Spójrzmy na przykład układu nierówności: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Jeżeli układ nierówności składa się z identyczne wyrażenia, na przykład $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Co to zatem znaczy: znaleźć rozwiązanie systemu nierówności?
Rozwiązaniem nierówności jest zbiór częściowych rozwiązań nierówności, które spełniają jednocześnie obie nierówności układu.
Ogólną postać układu nierówności zapisujemy jako $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$
Oznaczmy $Х_1$ jako ogólne rozwiązanie nierówności f(x)>0.
$X_2$ jest ogólnym rozwiązaniem nierówności g(x)>0.
$X_1$ i $X_2$ to zbiór konkretnych rozwiązań.
Rozwiązaniem układu nierówności będą liczby należące zarówno do $X_1$, jak i $X_2$.
Przypomnijmy sobie operacje na zbiorach. Jak znaleźć elementy zbioru należące jednocześnie do obu zbiorów? Zgadza się, istnieje do tego operacja przecięcia. Zatem rozwiązaniem naszej nierówności będzie zbiór $A= X_1∩ X_2$.
Przykłady rozwiązań układów nierówności
Spójrzmy na przykłady rozwiązywania układów nierówności.Rozwiązać układ nierówności.
a) $\begin(przypadki)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(przypadki)2x-4≤6\\-x-4
Rozwiązanie.
a) Rozwiąż każdą nierówność osobno.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
5x-10 dolarów
Zaznaczmy nasze odstępy na jednej linii współrzędnych.
Rozwiązaniem układu będzie odcinek przecięcia naszych przedziałów. Nierówność jest ścisła, wtedy segment będzie otwarty.
Odpowiedź: (1;3).
B) Każdą nierówność rozwiążemy również osobno.
2x-4≤6 USD; 2x≤ 10; x ≤ 5 USD.
$-x-4 -5 $. 
Rozwiązaniem układu będzie odcinek przecięcia naszych przedziałów. Druga nierówność jest ścisła, wówczas segment będzie otwarty po lewej stronie.
Odpowiedź: (-5; 5].
Podsumujmy, czego się nauczyliśmy.
Powiedzmy, że konieczne jest rozwiązanie układu nierówności: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Następnie przedział ($x_1; x_2$) jest rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Przedział ($y_1; y_2$) jest rozwiązaniem drugiej nierówności.
Rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie rozwiązań każdej nierówności. 
Systemy nierówności mogą składać się nie tylko z nierówności pierwszego rzędu, ale także z wszelkich innych typów nierówności.
Ważne zasady rozwiązywania układów nierówności.
Jeśli jedna z nierówności układu nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Jeżeli dla dowolnych wartości zmiennej spełniona jest jedna z nierówności, wówczas rozwiązaniem układu będzie rozwiązanie drugiej nierówności.
Przykłady.
Rozwiąż układ nierówności:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Rozwiązanie.
Rozwiążmy każdą nierówność osobno.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.
Rozwiążmy drugą nierówność.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.
Rozwiązaniem nierówności jest przedział. 
Narysujmy oba przedziały na tej samej prostej i znajdźmy punkt przecięcia. 
Przecięciem przedziałów jest odcinek (4; 6).
Odpowiedź: (4;6).
Rozwiązać układ nierówności.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.
Rozwiązanie.
a) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Znajdźmy dyskryminator drugiej nierówności.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Pamiętajmy o zasadzie: jeśli jedna z nierówności nie ma rozwiązań, to cały układ nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: Nie ma rozwiązań.
B) Pierwsza nierówność ma rozwiązanie x>1.
Druga nierówność jest większa od zera dla wszystkich x. Wtedy rozwiązanie układu pokrywa się z rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Odpowiedź: x>1.
Zadania dotyczące układów nierówności do samodzielnego rozwiązania
Rozwiązuj układy nierówności:a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(przypadki)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(przypadki)$
e) $\begin(przypadki)x^2+36
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam się z Tobą skontaktować i poinformować Cię o unikalne oferty, promocje i inne wydarzenia oraz nadchodzące wydarzenia.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak audyt, analiza danych i różne badania w celu ulepszania świadczonych przez nas usług i przekazywania Państwu rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, V test i/lub na podstawie publicznych żądań lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Nierówność jest wyrażeniem z, ≤ lub ≥. Na przykład 3x - 5 Rozwiązanie nierówności polega na znalezieniu wszystkich wartości zmiennych, dla których nierówność jest prawdziwa. Każda z tych liczb jest rozwiązaniem nierówności, a zbiór wszystkich takich rozwiązań jest jej rozwiązaniem wiele rozwiązań. Nierówności mające ten sam zbiór rozwiązań nazywane są nierównościami równoważne nierówności.
Nierówności liniowe
Zasady rozwiązywania nierówności są podobne do zasad rozwiązywania równań.Zasady rozwiązywania nierówności
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b i c:
Zasada dodawania nierówności: Jeśli Zasada mnożenia nierówności: Jeśli 0 jest prawdą, to ac. Jeśli a bc jest również prawdą.
Podobne stwierdzenia dotyczą również a ≤ b.
Kiedy obie strony nierówności zostaną pomnożone przez liczba ujemna, należy całkowicie zmienić znak nierówności.
Nazywa się nierówności pierwszego stopnia, jak w przykładzie 1 (poniżej). nierówności liniowe.
Przykład 1 Rozwiąż każdą z poniższych nierówności. Następnie narysuj zestaw rozwiązań.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Rozwiązanie
Rozwiązaniem jest każda liczba mniejsza niż 11/5.
Zbiór rozwiązań to (x|x
Aby to sprawdzić, możemy narysować wykres y 1 = 3x - 5 i y 2 = 6 - 2x. Wtedy jest jasne, że dla x 
Zbiór rozwiązań to (x|x ≤ 1) lub (-∞, 1). Wykres zestawu rozwiązań pokazano poniżej. 
Podwójne nierówności
Kiedy dwie nierówności są połączone słowem I, Lub, następnie powstaje podwójna nierówność. Podwójna nierówność, np
-3
I 2x + 5 ≤ 7
zwany połączony, bo używa I. Wpis -3 Nierówności podwójne można rozwiązać stosując zasady dodawania i mnożenia nierówności.
Przykład 2 Rozwiąż -3 Rozwiązanie Mamy
Zbiór rozwiązań (x|x ≤ -1 Lub x > 3). Rozwiązanie możemy również zapisać, korzystając z notacji przedziałowej i symbolu wspomnienia lub włączając oba zbiory: (-∞ -1] (3, ∞) Wykres zbioru rozwiązań pokazano poniżej. 
Aby to sprawdzić, wykreślmy y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 i y 3 = 1. Zauważ, że dla (x|x ≤ -1 Lub x > 3), y 1 ≤ y 2 Lub y 1 > y 3 . 
Nierówności o wartości bezwzględnej (moduł)
Nierówności czasami zawierają moduły. Do ich rozwiązania wykorzystywane są następujące właściwości.
Dla a > 0 i wyrażenie algebraiczne X:
|x| |x| > a jest równoważne x lub x > a.
Podobne stwierdzenia dla |x| ≤ a i |x| ≥ a.
Na przykład,
|x| |y| ≥ 1 odpowiada y ≤ -1 Lub y ≥ 1;
i |2x + 3| ≤ 4 odpowiada -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Przykład 4 Rozwiąż każdą z poniższych nierówności. Narysuj zbiór rozwiązań.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Rozwiązanie
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
Zbiór rozwiązań to (x|x ≤ 2 Lub x ≥ 3) lub (-∞, 2] .
Cały algorytm opisany powyżej jest zapisany w następujący sposób:
3 x + 12 ≤ 0 ; 3 x ≤ - 12 ; x ≤ - 4 .
Odpowiedź: x ≤ - 4 lub (- ∞, - 4 ] .
Przykład 2
Wskaż wszystkie dostępne rozwiązania nierówności − 2, 7 · z > 0.
Rozwiązanie
Z warunku widzimy, że współczynnik a dla z jest równy - 2,7, a b jest wyraźnie nieobecne lub równe zero. Nie możesz skorzystać z pierwszego kroku algorytmu, ale od razu przejdź do drugiego.
Obie strony równania dzielimy przez liczbę - 2, 7. Ponieważ liczba jest ujemna, konieczne jest odwrócenie znaku nierówności. Oznacza to, że otrzymujemy to (− 2, 7 z): (− 2, 7)< 0: (− 2 , 7) , и дальше z < 0 .
Cały algorytm zapiszemy w skrócona forma:
− 2, 7 z > 0; z< 0 .
Odpowiedź: z< 0 или (− ∞ , 0) .
Przykład 3
Rozwiąż nierówność - 5 x - 15 22 ≤ 0.
Rozwiązanie
Zgodnie z warunkiem widzimy, że konieczne jest rozwiązanie nierówności ze współczynnikiem a dla zmiennej x, która jest równa - 5, ze współczynnikiem b, który odpowiada ułamkowi - 15 22. Należy rozwiązać nierówność postępując zgodnie z algorytmem, czyli: przenieść - 15 22 do innej części za pomocą przeciwny znak, podziel obie strony przez - 5, zmień znak nierówności:
5 x ≤ 15 22 ; - 5 x: - 5 ≥ 15 22: - 5 x ≥ - 3 22
Podczas ostatniego przejścia dla prawej strony używana jest zasada dzielenia liczb różne znaki 15 22: - 5 = - 15 22: 5, po czym wykonujemy dzielenie ułamek wspólny do liczby naturalnej - 15 22: 5 = - 15 22 · 1 5 = - 15 · 1 22 · 5 = - 3 22 .
Odpowiedź: x ≥ - 3 22 i [ - 3 22 + ∞) .
Rozważmy przypadek, gdy a = 0. Wyrażenie liniowe postaci a x + b< 0 является неравенством 0 · x + b < 0 , где на рассмотрение берется неравенство вида b < 0 , после чего выясняется, оно верное или нет.
Wszystko opiera się na wyznaczeniu rozwiązania nierówności. Dla dowolnej wartości x otrzymujemy nierówność liczbowa wpisz b< 0 , потому что при подстановке любого t вместо переменной x , тогда получаем 0 · t + b < 0 , где b < 0 . В случае, если оно верно, то для его решения подходит любое значение. Когда b < 0 неверно, тогда линейное уравнение не имеет решений, потому как не имеется ни одного значения переменной, которое привело бы верному числовому равенству.
Wszystkie oceny rozważymy w formie algorytmu rozwiązania nierówności liniowe 0 x + b< 0 (≤ , > , ≥) :
Definicja 5
Nierówność numeryczna postaci b< 0 (≤ , >, ≥) jest prawdziwa, to pierwotna nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości, a jest fałszywa, gdy pierwotna nierówność nie ma rozwiązań.
Przykład 4
Rozwiąż nierówność 0 x + 7 > 0.
Rozwiązanie
Ta nierówność liniowa 0 x + 7 > 0 może przyjmować dowolną wartość x. Otrzymujemy wówczas nierówność postaci 7 > 0. Ostatnią nierówność uważa się za prawdziwą, co oznacza, że jej rozwiązaniem może być dowolna liczba.
Odpowiedź: przedział (− ∞, + ∞) .
Przykład 5
Znajdź rozwiązanie nierówności 0 x − 12, 7 ≥ 0.
Rozwiązanie
Podstawiając zmienną x dowolnej liczby, otrzymujemy, że nierówność przyjmuje postać - 12, 7 ≥ 0. To jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 x − 12, 7 ≥ 0 nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: nie ma rozwiązań.
Rozważmy rozwiązanie nierówności liniowych, w których oba współczynniki są równe zero.
Przykład 6
Znajdź nierozwiązywalną nierówność spośród 0 x + 0 > 0 i 0 x + 0 ≥ 0.
Rozwiązanie
Podstawiając dowolną liczbę zamiast x, otrzymujemy dwie nierówności w postaci 0 > 0 i 0 ≥ 0. Pierwsze jest nieprawidłowe. Oznacza to, że 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, ale 0 x + 0 ≥ 0 ma nieskończona liczba rozwiązania, czyli dowolną liczbę.
Odpowiedź: nierówność 0 x + 0 > 0 nie ma rozwiązań, ale 0 x + 0 ≥ 0 ma rozwiązania.
Ta metoda omówione w kurs szkolny matematyka. Metoda interwałowa jest w stanie rozwiązać Różne rodzaje nierówności, także liniowe.
Metodę przedziałową stosuje się do nierówności liniowych, gdy wartość współczynnika x nie jest równa 0. W przeciwnym razie będziesz musiał obliczyć inną metodą.
Definicja 6
Metoda interwałowa to:
- wprowadzenie funkcji y = a · x + b ;
- poszukiwanie zer w celu podzielenia dziedziny definicji na przedziały;
- definicja znaków dla ich pojęć na przedziałach.
Złóżmy algorytm rozwiązywania równań liniowych a x + b< 0 (≤ , >, ≥) dla ≠ 0 metodą przedziałową:
- znalezienie zer funkcji y = a · x + b aby rozwiązać równanie w postaci a · x + b = 0 . Jeżeli a ≠ 0, to rozwiązaniem będzie pojedynczy pierwiastek, który przyjmie oznaczenie x 0;
- konstrukcja linii współrzędnych z obrazem punktu o współrzędnej x 0, z ścisła nierówność punkt jest oznaczony punktem przebitym lub, jeśli nie jest to ścisłe, punktem namalowanym;
- określenie znaków funkcji y = a · x + b na przedziałach, w tym celu należy znaleźć wartości funkcji w punktach przedziału;
- rozwiązanie nierówności ze znakami > lub ≥ na osi współrzędnych, dodanie cieniowania na dodatnim przedziale,< или ≤ над отрицательным промежутком.
Przyjrzyjmy się kilku przykładom rozwiązywania nierówności liniowych metodą przedziałową.
Przykład 6
Rozwiąż nierówność − 3 x + 12 > 0.
Rozwiązanie
Z algorytmu wynika, że najpierw trzeba znaleźć pierwiastek równania – 3 x + 12 = 0. Otrzymujemy, że − 3 · x = − 12 , x = 4 . Konieczne jest narysowanie linii współrzędnych w miejscu, w którym zaznaczamy punkt 4. Zostanie przebity, ponieważ nierówność jest ostra. Rozważ poniższy rysunek.
Konieczne jest określenie znaków w odstępach. Aby to wyznaczyć na przedziale (− ∞, 4), należy obliczyć funkcję y = − 3 x + 12 przy x = 3. Stąd otrzymujemy, że − 3 3 + 12 = 3 > 0. Znak na przedziale jest dodatni.
Znak wyznaczamy z przedziału (4, + ∞), następnie podstawiamy wartość x = 5. Mamy to - 3 5 + 12 = - 3< 0 . Знак на промежутке является отрицательным. Изобразим на числовой прямой, приведенной ниже.
Rozwiązujemy nierówność ze znakiem >, a cieniowanie przeprowadzamy na dodatnim przedziale. Rozważ poniższy rysunek.
Z rysunku jasno wynika, że pożądane rozwiązanie ma postać (− ∞ , 4) lub x< 4 .
Odpowiedź: (− ∞, 4) lub x< 4 .
Aby zrozumieć, jak przedstawić graficznie, należy rozważyć na przykład 4 nierówności liniowe: 0, 5 x − 1< 0 , 0 , 5 · x − 1 ≤ 0 , 0 , 5 · x − 1 >0 i 0, 5 x - 1 ≥ 0. Ich rozwiązaniami będą wartości x< 2 , x ≤ 2 , x >2 i x ≥ 2. Aby to zrobić, narysujmy wykres funkcja liniowa y = 0,5 x - 1 podane poniżej.
Jest oczywiste, że
Definicja 7
- rozwiązanie nierówności 0, 5 x − 1< 0 считается промежуток, где график функции y = 0 , 5 · x − 1 располагается ниже О х;
- za rozwiązanie 0, 5 x − 1 ≤ 0 uważa się przedział, w którym funkcja y = 0, 5 x − 1 jest mniejsza od O x lub pokrywa się;
- rozwiązanie 0, 5 · x − 1 > 0 uważa się za przedział, funkcja znajduje się nad O x;
- za rozwiązanie 0, 5 · x − 1 ≥ 0 uważa się przedział, w którym wykres powyżej O x lub pokrywa się.
Oznaczający rozwiązanie graficzne nierówności polega na znalezieniu przedziałów, które należy przedstawić na wykresie. W w tym przypadku rozumiemy to lewa strona ma y = a · x + b, a prawy ma y = 0 i pokrywa się z O x.
Definicja 8Narysujemy wykres funkcji y = a x + b:
- rozwiązując nierówność a x + b< 0 определяется промежуток, где график изображен ниже О х;
- przy rozwiązywaniu nierówności a · x + b ≤ 0 określa się przedział, w którym wykres jest przedstawiony poniżej osi O x lub pokrywa się;
- przy rozwiązywaniu nierówności a · x + b > 0, wyznacza się przedział tam, gdzie wykres jest przedstawiony powyżej O x;
- Rozwiązując nierówność a · x + b ≥ 0, wyznacza się przedział, w którym wykres znajduje się powyżej O x lub pokrywa się.
Przykład 7
Rozwiąż nierówność - 5 · x - 3 > 0 za pomocą wykresu.
Rozwiązanie
Należy skonstruować wykres funkcji liniowej - 5 · x - 3 > 0. Ta prosta jest malejąca, ponieważ współczynnik x jest ujemny. Aby wyznaczyć współrzędne punktu jego przecięcia z O x - 5 · x - 3 > 0, otrzymujemy wartość - 3 5. Przedstawmy to graficznie.
Rozwiązując nierówność ze znakiem >, należy zwrócić uwagę na przedział powyżej O x. Zaznaczmy wymaganą część płaszczyzny na czerwono i zdobądźmy ją
Wymagana szczelina to część O x czerwona. Więc jest otwarte promień numeryczny- ∞ , - 3 5 będzie rozwiązaniem nierówności. Jeżeli zgodnie z warunkiem mielibyśmy nieścisłą nierówność, to wartość punktu - 3 5 również byłaby rozwiązaniem nierówności. I zbiegałoby się to z Ox.
Odpowiedź: - ∞ , - 3 5 lub x< - 3 5 .
Metoda graficzna rozwiązanie stosuje się wtedy, gdy lewa strona będzie odpowiadać funkcji y = 0 x + b, czyli y = b. Wtedy linia prosta będzie równoległa do Ox lub zbiega się w punkcie b = 0. Przypadki te pokazują, że nierówność może nie mieć rozwiązań lub rozwiązaniem może być dowolna liczba.
Przykład 8
Wyznacz z nierówności 0 x + 7< = 0 , 0 · x + 0 ≥ 0 то, которое имеет хотя бы одно решение.
Rozwiązanie
Reprezentacja y = 0 x + 7 to y = 7, wtedy zostanie podana płaszczyzna współrzędnych z linią prostą równoległą do Ox i umieszczoną powyżej Ox. Zatem 0 x + 7< = 0 решений не имеет, потому как нет промежутков.
Wykres funkcji y = 0 x + 0 uważa się za y = 0, to znaczy linia prosta pokrywa się z O x. Oznacza to, że nierówność 0 x + 0 ≥ 0 ma wiele rozwiązań.
Odpowiedź: Druga nierówność ma rozwiązanie dla dowolnej wartości x.
Nierówności redukujące się do liniowych
Rozwiązanie nierówności można sprowadzić do rozwiązania równanie liniowe, które nazywane są nierównościami redukującymi do liniowych.
Nierówności te były uwzględniane w trakcie zajęć szkolnych, gdyż stanowiły szczególny przypadek rozwiązywania nierówności, co prowadziło do otwierania nawiasów i sprowadzania podobne terminy. Rozważmy na przykład, że 5 − 2 x > 0, 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x − 2 + x, x - 3 5 - 2 x + 1 > 2 7 x.
Podane nierówności zawsze sprowadzamy do postaci równania liniowego. Następnie otwiera się nawiasy i podaje i przenosi podobne terminy różne części, zmieniając znak na przeciwny.
Sprowadzając nierówność 5 − 2 x > 0 do liniowej, przedstawiamy ją tak, aby miała postać − 2 x + 5 > 0, a aby zredukować drugą otrzymujemy, że 7 (x − 1) + 3 ≤ 4 x - 2 + x . Należy otworzyć nawiasy, wprowadzić terminy podobne, przenieść wszystkie terminy na lewą stronę i wprowadzić terminy podobne. To wygląda tak:
7 x − 7 + 3 ≤ 4 x − 2 + x 7 x − 4 ≤ 5 x − 2 7 x − 4 − 5 x + 2 ≤ 0 2 x − 2 ≤ 0
Prowadzi to do rozwiązania nierówności liniowej.
Nierówności te uważa się za liniowe, ponieważ mają tę samą zasadę rozwiązania, po czym można je zredukować do nierówności elementarnych.
Aby rozwiązać ten typ nierówności, należy ją sprowadzić do nierówności liniowej. Należy to zrobić w ten sposób:
Definicja 9
- otwarte nawiasy;
- zbieraj zmienne po lewej stronie i liczby po prawej;
- podać podobne warunki;
- podziel obie strony przez współczynnik x.
Przykład 9
Rozwiąż nierówność 5 · (x + 3) + x ≤ 6 · (x − 3) + 1.
Rozwiązanie
Otwieramy nawiasy i otrzymujemy nierówność postaci 5 x + 15 + x ≤ 6 x − 18 + 1. Po redukcji podobnych wyrazów mamy, że 6 x + 15 ≤ 6 x − 17. Po przeniesieniu wyrazów z lewej strony na prawą okazuje się, że 6 x + 15 − 6 x + 17 ≤ 0. Istnieje zatem nierówność postaci 32 ≤ 0 z nierównością otrzymaną poprzez obliczenie 0 x + 32 ≤ 0. Można zauważyć, że nierówność jest fałszywa, co oznacza, że nierówność wynikająca z warunku nie ma rozwiązań.
Odpowiedź: brak rozwiązań.
Warto zauważyć, że istnieje wiele innych rodzajów nierówności, które można sprowadzić do nierówności liniowych lub typu pokazanego powyżej. Na przykład 5 2 x - 1 ≥ 1 Jest równanie wykładnicze, co sprowadza się do rozwiązania liniowego 2 x - 1 ≥ 0 . Przypadki te będą brane pod uwagę przy rozwiązywaniu nierówności tego typu.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Nie każdy wie, jak rozwiązywać nierówności o podobnej strukturze i cechy charakterystyczne z równaniami. Równanie to ćwiczenie składające się z dwóch części, pomiędzy którymi znajduje się znak równości, a pomiędzy częściami nierówności może znajdować się znak „więcej niż” lub „mniej niż”. Zatem przed znalezieniem rozwiązania konkretnej nierówności musimy zrozumieć, że warto rozważyć znak liczby (dodatni lub ujemny), jeśli zachodzi potrzeba pomnożenia obu stron przez dowolne wyrażenie. Ten sam fakt należy wziąć pod uwagę, jeśli do rozwiązania nierówności wymagane jest podniesienie do kwadratu, ponieważ podnoszenie do kwadratu odbywa się przez mnożenie.
Jak rozwiązać układ nierówności
Znacznie trudniej jest rozwiązać układy nierówności niż zwykłe nierówności. Jak rozwiązać nierówności klasy 9, spójrzmy konkretne przykłady. Należy rozumieć, że przed rozwiązaniem nierówności kwadratowych (układów) lub jakichkolwiek innych systemów nierówności konieczne jest rozwiązanie każdej nierówności osobno, a następnie ich porównanie. Rozwiązaniem systemu nierówności będzie odpowiedź pozytywna lub negatywna (niezależnie od tego, czy system ma rozwiązanie, czy nie ma rozwiązania).
Zadanie polega na rozwiązaniu układu nierówności:
Rozwiążmy każdą nierówność osobno
Budujemy oś liczbową, na której przedstawiamy zbiór rozwiązań
Ponieważ zbiór jest sumą zbiorów rozwiązań, zbiór ten na osi liczbowej musi być podkreślony przynajmniej przez jedną oś.
Rozwiązywanie nierówności modułem
Ten przykład pokaże, jak rozwiązać nierówności za pomocą modułu. Mamy więc definicję:
Musimy rozwiązać nierówność:
Przed rozwiązaniem takiej nierówności należy pozbyć się modułu (znaku)
Napiszmy na podstawie danych definicji:
Teraz musisz rozwiązać każdy z systemów osobno.
Skonstruujmy jedną oś liczbową, na której przedstawimy zbiory rozwiązań.
Dzięki temu mamy kolekcję, która łączy w sobie wiele rozwiązań.
Rozwiązywanie nierówności kwadratowych
Korzystając z osi liczbowej, spójrzmy na przykład rozwiązywania nierówności kwadratowych. Mamy nierówność:
Wiemy, że harmonogram trójmian kwadratowy jest parabolą. Wiemy również, że gałęzie paraboli są skierowane w górę, jeśli a>0.
x 2 -3x-4< 0
Korzystając z twierdzenia Viety, znajdujemy pierwiastki x 1 = - 1; x2 = 4
Narysujmy parabolę, a raczej jej szkic.
W ten sposób dowiedzieliśmy się, że wartości trójmianu kwadratowego będą mniejsze od 0 w przedziale od – 1 do 4.
Wiele osób ma pytania dotyczące rozwiązywania podwójnych nierówności, takich jak g(x)< f(x) < q(x). Перед тем, как решать двойные неравенства, необходимо их раскладывать на простые, и каждое простое неравенство решать по отдельности. Например, разложив наш пример, получим в результате систему неравенств g(x) < f(x) и f(x) < q(x), которую следует и решать.
W rzeczywistości istnieje kilka metod rozwiązywania nierówności, z których można skorzystać złożone nierówności metoda graficzna.
Rozwiązywanie nierówności ułamkowych
Wymagają bardziej ostrożnego podejścia nierówności ułamkowe. Wynika to z faktu, że w procesie rozwiązywania niektórych nierówności ułamkowych znak może się zmienić. Przed rozwiązaniem nierówności ułamkowych musisz wiedzieć, że do ich rozwiązania używana jest metoda przedziałowa. Nierówność ułamkową należy przedstawić w taki sposób, aby wyglądała jedna strona znaku ułamkowe wyrażenie racjonalne, a drugi – „- 0”. Przekształcając w ten sposób nierówność, otrzymujemy w rezultacie f(x)/g(x) > (.
Rozwiązywanie nierówności metodą przedziałową
Na metodzie opiera się technika interwałowa pełna indukcja, to znaczy, aby znaleźć rozwiązanie nierówności, należy wszystko posortować możliwe opcje. Ta metoda rozwiązywania może nie być konieczna dla uczniów ósmej klasy, ponieważ powinni wiedzieć, jak rozwiązywać nierówności ósmej klasy, które są prostymi ćwiczeniami. Ale dla starszych klas ta metoda jest niezbędna, ponieważ pomaga rozwiązać nierówności ułamkowe. Rozwiązywanie nierówności za pomocą tej techniki opiera się również na takiej właściwości funkcji ciągłej, jak zachowanie znaku między wartościami, w których zmienia się na 0.
Zbudujmy wykres wielomianu. Ten funkcja ciągła, uzyskując wartość 0 3 razy, czyli f(x) będzie równe 0 w punktach x 1, x 2 i x 3, czyli pierwiastkach wielomianu. W odstępach między tymi punktami znak funkcji zostaje zachowany.
Ponieważ do rozwiązania nierówności f(x)>0 potrzebny jest znak funkcji, przechodzimy do osi współrzędnych, opuszczając wykres.
f(x)>0 dla x(x 1 ; x 2) i dla x(x 3 ;)
f(x)x(- ; x 1) i przy x (x 2 ; x 3)
Wykres wyraźnie pokazuje rozwiązania nierówności f(x)f(x)>0 (rozwiązanie pierwszej nierówności zaznaczono na niebiesko, a rozwiązanie drugiej nierówności na czerwono). Aby wyznaczyć znak funkcji na przedziale wystarczy znać znak funkcji w jednym z punktów. Ta technika pozwala szybko rozwiązywać nierówności, w których uwzględniana jest lewa strona, ponieważ w takich nierównościach dość łatwo jest znaleźć pierwiastki.