Kiedy zmienić znak nierówności? Nierówności liniowe

Co musisz wiedzieć o ikonach nierówności? Nierówności z ikoną więcej (> ), Lub mniej (< ) są nazywane ścisły. Z ikonami więcej lub równe (≥ ), mniejszy lub równy (≤ ) są nazywane nie ścisłe. Ikona nie równe (≠ ) wyróżnia się, ale trzeba też cały czas rozwiązywać przykłady z tą ikoną. I my zdecydujemy.)

Sama ikona nie ma większego wpływu na proces rozwiązania. Ale pod koniec decyzji, przy wyborze ostatecznej odpowiedzi, znaczenie ikony pojawia się z pełną mocą! To właśnie zobaczymy poniżej na przykładach. Jest tam trochę żartów...

Nierówności, podobnie jak równości, istnieją wierny i niewierny. Tutaj wszystko jest proste, bez żadnych sztuczek. Powiedzmy 5 > 2 jest prawdziwą nierównością. 5 < 2 – nieprawidłowe.

To przygotowanie działa w przypadku nierówności jakikolwiek i proste aż do zgrozy.) Wystarczy poprawnie wykonać dwie (tylko dwie!) podstawowe czynności. Te działania są znane każdemu. Ale charakterystyczne jest to, że błędy w tych działaniach są głównym błędem w rozwiązywaniu nierówności, tak... Dlatego te działania trzeba powtarzać. Działania te nazywane są w następujący sposób:

Identyczne przekształcenia nierówności.

Identyczne przekształcenia nierówności są bardzo podobne do identycznych przekształceń równań. Właściwie to jest główny problem. Różnice przechodzą przez głowę i... proszę bardzo.) Dlatego szczególnie te różnice podkreślę. Zatem pierwsza identyczna transformacja nierówności:

1. Tę samą liczbę lub wyrażenie można dodać (odjąć) po obu stronach nierówności. Każdy. Nie zmieni to znaku nierówności.

W praktyce regułę tę stosuje się jako przeniesienie wyrazów z lewej strony nierówności na prawą (i odwrotnie) ze zmianą znaku. Ze zmianą znaku wyrazu, a nie nierówności! Reguła „jeden do jednego” jest taka sama, jak reguła dotycząca równań. Jednak następujące identyczne przekształcenia w nierównościach różnią się znacznie od tych w równaniach. Dlatego zaznaczam je na czerwono:

2. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samopozytywnynumer. Dla każdegopozytywny Nie zmieni się.

3. Obie strony nierówności można pomnożyć (podzielić) przez to samonegatywny numer. Dla każdegonegatywnynumer. Znak nierówności z tegozmieni się na odwrotne.

Pamiętasz (mam nadzieję...), że równanie można pomnożyć/dzielić przez wszystko. I dla dowolnej liczby oraz dla wyrażenia z X. Gdyby tylko nie było zera. To czyni go, w równaniu, ani gorącym, ani zimnym.) To się nie zmienia. Ale nierówności są bardziej wrażliwe na mnożenie/dzielenie.

Wyraźny przykład długiej pamięci. Napiszmy nierówność, która nie budzi wątpliwości:

5 > 2

Pomnóż obie strony przez +3, otrzymujemy:

15 > 6

Wszelkie sprzeciwy? Nie ma zastrzeżeń.) A jeśli pomnożymy obie strony pierwotnej nierówności przez -3, otrzymujemy:

15 > -6

I to jest jawne kłamstwo.) Kompletne kłamstwo! Oszukiwanie narodu! Ale gdy tylko zmienisz znak nierówności na przeciwny, wszystko się ułoży:

15 < -6

Nie przeklinam tylko kłamstw i oszustw.) „Zapomniałem zmienić znak równości…”- Ten dom błąd w rozwiązywaniu nierówności. Ta trywialna i prosta zasada skrzywdziła tak wiele osób! O czym zapomnieli...) Więc przysięgam. Może przypomnę...)

Szczególnie uważne osoby zauważą, że nierówności nie można pomnożyć przez wyrażenie z X. Szacunek dla tych, którzy są uważni!) Dlaczego nie? Odpowiedź jest prosta. Nie znamy znaku tego wyrażenia za pomocą X. Może być dodatnia, ujemna... Dlatego nie wiemy, jaki znak nierówności postawić po mnożeniu. Mam to zmienić czy nie? Nieznany. Oczywiście to ograniczenie (zakaz mnożenia/dzielenia nierówności przez wyrażenie z x) można obejść. Jeśli naprawdę tego potrzebujesz. Ale to już temat na inne lekcje.

To wszystko identyczne przekształcenia nierówności. Jeszcze raz przypomnę, że dla nich pracują każdy nierówności Teraz możesz przejść do konkretnych typów.

Nierówności liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Nierówności liniowe to nierówności, w których x jest wyrażone w pierwszej potędze i nie ma dzielenia przez x. Typ:

x+3 > 5x-5

Jak rozwiązuje się takie nierówności? Są bardzo łatwe do rozwiązania! Mianowicie: za pomocą zmniejszamy najbardziej zagmatwaną nierówność liniową prosto do odpowiedzi. To jest rozwiązanie. Podkreślę główne punkty decyzji. Aby uniknąć głupich błędów.)

Rozwiążmy tę nierówność:

x+3 > 5x-5

Rozwiązujemy to dokładnie w taki sam sposób, jak równanie liniowe. Z jedyną różnicą:

Uważnie monitorujemy znak nierówności!

Pierwszy krok jest najczęstszy. Z X - w lewo, bez X - w prawo... Jest to pierwsze identyczne przekształcenie, proste i bezproblemowe.) Tylko nie zapomnij zmienić znaków przenoszonych wyrazów.

Znak nierówności pozostaje:

x-5x > -5-3

Oto podobne.

Znak nierówności pozostaje:

4x > -8

Pozostaje zastosować ostatnią identyczną transformację: podzielić obie strony przez -4.

Dzielić przez negatywny numer.

Znak nierówności zmieni się na przeciwny:

X < 2

To jest odpowiedź.

W ten sposób rozwiązuje się wszystkie nierówności liniowe.

Uwaga! Punkt 2 jest narysowany na biało, tj. niepomalowany. Pusty w środku. Oznacza to, że nie jest ona uwzględniona w odpowiedzi! Celowo narysowałem ją tak zdrową. Taki punkt (pusty, nie zdrowy!)) w matematyce nazywa się przebity punkt.

Pozostałe liczby na osi można zaznaczyć, ale nie jest to konieczne. Liczby obce, niezwiązane z naszą nierównością, mogą być mylące, tak... Trzeba tylko pamiętać, że liczby rosną w kierunku strzałki, tj. cyfry 3, 4, 5 itd. Czy w prawo to dwójki, a liczby to 1, 0, -1 itd. - w lewo.

Nierówność x < 2 - ścisły. X jest ściśle mniejsze niż dwa. W razie wątpliwości sprawdzenie jest proste. Podstawiamy wątpliwą liczbę do nierówności i myślimy: "Dwa to mniej niż dwa? Nie, oczywiście!" Dokładnie. Nierówność 2 < 2 błędny. Dwójka w zamian nie jest właściwa.

Czy jeden jest w porządku? Z pewnością. Mniej... A zero jest dobre, a -17 i 0,34... Tak, wszystkie liczby mniejsze niż dwa są dobre! A nawet 1,9999.... Przynajmniej trochę, ale mniej!

Zaznaczmy więc wszystkie te liczby na osi liczb. Jak? Tutaj są opcje. Opcja pierwsza to cieniowanie. Najeżdżamy myszką na obrazek (lub dotykamy obrazka na tablecie) i widzimy, że obszar wszystkich x spełniających warunek x jest zacieniony < 2 . To wszystko.

Przyjrzyjmy się drugiej opcji na drugim przykładzie:

X ≥ -0,5

Narysuj oś i zaznacz liczbę -0,5. Lubię to:

Zauważasz różnicę?) No tak, trudno nie zauważyć… Ta kropka jest czarna! Zamalowany. Oznacza to -0,5 jest zawarte w odpowiedzi. Nawiasem mówiąc, weryfikacja może kogoś zdezorientować. Zastąpmy:

-0,5 ≥ -0,5

Jak to? -0,5 to nie więcej niż -0,5! I jest więcej ikon...

W porządku. W słabej nierówności odpowiednie jest wszystko, co pasuje do ikony. I równa się dobry i więcej Dobry. Dlatego w odpowiedzi uwzględniono -0,5.

Zaznaczyliśmy więc na osi -0,5, pozostaje zaznaczyć wszystkie liczby większe od -0,5. Tym razem zaznaczam obszar odpowiednich wartości x ukłon(od słowa łuk), zamiast cieniowania. Najedźmy kursorem na rysunek i zobaczmy ten łuk.

Nie ma szczególnej różnicy między cieniowaniem a ramionami. Zrób tak, jak mówi nauczyciel. Jeśli nie ma nauczyciela, narysuj łuki. W bardziej złożonych zadaniach cieniowanie jest mniej oczywiste. Można się pomylić.

W ten sposób nierówności liniowe są rysowane na osi. Przejdźmy do kolejnej cechy nierówności.

Zapisanie odpowiedzi na nierówności.

Równania były dobre.) Znaleźliśmy x i zapisaliśmy odpowiedź, na przykład: x=3. W nierównościach istnieją dwie formy zapisu odpowiedzi. Jedna z nich ma postać końcowej nierówności. Dobry do prostych przypadków. Na przykład:

X< 2.

To jest pełna odpowiedź.

Czasami trzeba zapisać to samo, ale w innej formie, w odstępach liczbowych. Wtedy nagranie zaczyna wyglądać bardzo naukowo):

x ∈ (-∞; 2)

Pod ikoną ∈ słowo jest ukryte "należy".

Wpis brzmi następująco: x należy do przedziału od minus nieskończoności do dwóch nie licząc. Całkiem logiczne. X może być dowolną liczbą spośród wszystkich możliwych liczb od minus nieskończoności do dwóch. Nie może być podwójnego X, o czym mówi nam to słowo "nie licząc".

A gdzie w odpowiedzi jest to jasne "nie licząc"? Fakt ten został odnotowany w odpowiedzi okrągły nawias bezpośrednio po dwójce. Gdyby te dwa elementy zostały uwzględnione, nawias byłby kwadrat. Jak ten: ]. W poniższym przykładzie zastosowano taki nawias.

Zapiszmy odpowiedź: x ≥ -0,5 w przerwach:

x ∈ [-0,5; +∞)

czyta: x należy do przedziału od minus 0,5, w tym, do plus nieskończoności.

Nieskończoności nigdy nie można włączyć. To nie jest liczba, to jest symbol. Dlatego w takich zapisach nieskończoność zawsze sąsiaduje z nawiasem.

Ta forma zapisu jest wygodna w przypadku złożonych odpowiedzi składających się z kilku spacji. Ale - tylko dla ostatecznych odpowiedzi. W wynikach pośrednich, gdzie oczekuje się dalszego rozwiązania, lepiej zastosować zwykłą formę, w postaci prostej nierówności. Zajmiemy się tym w odpowiednich tematach.

Popularne zadania z nierównościami.

Same nierówności liniowe są proste. Dlatego zadania często stają się trudniejsze. Trzeba było więc pomyśleć. To, jeśli nie jesteś do tego przyzwyczajony, nie jest zbyt przyjemne.) Ale jest przydatne. Pokażę przykłady takich zadań. Nie po to, żebyś się ich uczył, to niepotrzebne. I żeby się nie bać, spotykając takie przykłady. Pomyśl trochę - i to proste!)

1. Znajdź dwa dowolne rozwiązania nierówności 3x - 3< 0

Jeśli nie jest jasne, co zrobić, pamiętaj o głównej zasadzie matematyki:

Jeśli nie wiesz, czego potrzebujesz, zrób, co możesz!)

X < 1

I co? Nic specjalnego. O co nas pytają? Mamy znaleźć dwie konkretne liczby będące rozwiązaniem nierówności. Te. pasuje do odpowiedzi. Dwa każdy liczby. Właściwie jest to mylące.) Odpowiednie są kilka wartości 0 i 0,5. Kilka -3 i -8. Takich par jest nieskończona ilość! Która odpowiedź jest prawidłowa?!

Odpowiadam: wszystko! Dowolna para liczb, z których każda jest mniejsza niż jeden, będzie poprawną odpowiedzią. Napisz który chcesz. Przejdźmy dalej.

2. Rozwiąż nierówność:

4x - 3 ≠ 0

Zadania w tej formie są rzadkie. Natomiast jako nierówności pomocnicze, np. przy znalezieniu ODZ, czy przy znalezieniu dziedziny definicji funkcji, występują one cały czas. Taką nierówność liniową można rozwiązać jako zwykłe równanie liniowe. Tylko wszędzie oprócz znaku „=” ( równa się) umieść znak „ ≠ " (nie równe). Oto jak podchodzisz do odpowiedzi ze znakiem nierówności:

X ≠ 0,75

W bardziej złożonych przykładach lepiej jest zrobić wszystko inaczej. Z równości zrób nierówność. Lubię to:

4x - 3 = 0

Spokojnie rozwiąż to zgodnie z instrukcją i uzyskaj odpowiedź:

x = 0,75

Najważniejsze, żeby na samym końcu zapisując ostateczną odpowiedź nie zapomnieć, że znaleźliśmy x, co daje równość. I potrzebujemy - nierówność. Dlatego tak naprawdę nie potrzebujemy tego X.) I musimy to zapisać za pomocą odpowiedniego symbolu:

X ≠ 0,75

Takie podejście skutkuje mniejszą liczbą błędów. Ci, którzy rozwiązują równania automatycznie. A dla tych, którzy nie rozwiązują równań, nierówności są właściwie bezużyteczne...) Kolejny przykład popularnego zadania:

3. Znajdź najmniejsze rozwiązanie całkowite nierówności:

3(x - 1) < 5x + 9

Najpierw po prostu rozwiązujemy nierówność. Otwieramy nawiasy, przesuwamy je, przynosimy podobne... Otrzymujemy:

X > - 6

Czyż to nie tak wyszło!? Czy postępowałeś zgodnie ze znakami!? A za znakami członków i za znakiem nierówności...

Pomyślmy jeszcze raz. Musimy znaleźć konkretną liczbę pasującą zarówno do odpowiedzi, jak i warunku „najmniejsza liczba całkowita”. Jeśli nie przyjdzie ci to od razu do głowy, możesz po prostu wziąć dowolną liczbę i to rozgryźć. Dwa powyżej minus sześć? Z pewnością! Czy istnieje odpowiednia mniejsza liczba? Oczywiście. Na przykład zero jest większe niż -6. A jeszcze mniej? Potrzebujemy najmniejszej możliwej rzeczy! Minus trzy to więcej niż minus sześć! Można już złapać wzór i przestać głupio przeglądać liczby, prawda?)

Przyjmijmy liczbę bliżej -6. Na przykład -5. Odpowiedź jest spełniona, -5 > - 6. Czy można znaleźć inną liczbę mniejszą niż -5, ale większą niż -6? Możesz na przykład -5,5... Stop! Powiedziano nam cały rozwiązanie! Nie rzuca -5,5! A co z minusem sześć? Uch-uch! Nierówność jest ścisła, minus 6 nie jest w żaden sposób mniejsze niż minus 6!

Zatem prawidłowa odpowiedź to -5.

Mam nadzieję, że wszystko jest jasne przy wyborze wartości z rozwiązania ogólnego. Inny przykład:

4. Rozwiąż nierówność:

7 < 3x+1 < 13

Wow! To wyrażenie nazywa się potrójna nierówność.Ściśle mówiąc, jest to skrócona forma systemu nierówności. Ale takie potrójne nierówności nadal wymagają rozwiązania w niektórych zadaniach... Można je rozwiązać bez żadnych systemów. Według tych samych identycznych przekształceń.

Musimy uprościć, sprowadzić tę nierówność do czystego X. Ale... Co gdzie przenieść?! W tym miejscu należy pamiętać, że poruszanie się w lewo i w prawo jest koniecznością skrócona forma pierwsza transformacja tożsamości.

A pełna forma brzmi tak: Do obu stron równania można dodać/odjąć dowolną liczbę lub wyrażenie (nierówność).

Są tu trzy części. Zastosujemy więc identyczne przekształcenia do wszystkich trzech części!

Pozbądźmy się więc tego w środkowej części nierówności. Odejmijmy jeden od całej środkowej części. Aby nierówność się nie zmieniła, od pozostałych dwóch części odejmujemy jeden. Lubię to:

7 -1< 3x+1-1 < 13-1

6 < 3x < 12

Tak jest lepiej, prawda?) Pozostaje tylko podzielić wszystkie trzy części na trzy:

2 < X < 4

To wszystko. To jest odpowiedź. X może być dowolną liczbą od dwóch (bez uwzględnienia) do czterech (bez uwzględnienia). Ta odpowiedź jest również zapisywana w odstępach; takie wpisy będą w nierównościach kwadratowych. Tam są najczęstsze.

Na koniec lekcji powtórzę najważniejszą rzecz. Sukces w rozwiązywaniu nierówności liniowych zależy od umiejętności przekształcania i upraszczania równań liniowych. Jeśli jednocześnie uważaj na znak nierówności, nie będzie żadnych problemów. Tego Ci życzę. Bez problemów.)

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.


Nierówności odgrywają znaczącą rolę w matematyce. W szkole mamy do czynienia głównie z nierówności numeryczne, od definicji którego zaczniemy ten artykuł. A potem wymienimy i uzasadnimy własności nierówności numerycznych, na którym opierają się wszystkie zasady pracy z nierównościami.

Zauważmy od razu, że wiele własności nierówności numerycznych jest podobnych. Dlatego przedstawimy materiał według tego samego schematu: formułujemy własność, podamy jej uzasadnienie i przykłady, po czym przechodzimy do kolejnej właściwości.

Nawigacja strony.

Nierówności numeryczne: definicja, przykłady

Kiedy wprowadziliśmy pojęcie nierówności, zauważyliśmy, że nierówności często definiuje się na podstawie sposobu ich zapisu. Nazywaliśmy więc nierówności znaczącymi wyrażeniami algebraicznymi zawierającymi znaki nierówne ≠, mniejsze<, больше >, mniejsze lub równe ≤ lub większe lub równe ≥. W oparciu o powyższą definicję wygodnie jest podać definicję nierówności numerycznej:

Spotkanie z nierównościami liczbowymi następuje na lekcjach matematyki w klasie pierwszej, zaraz po zapoznaniu się z pierwszymi liczbami naturalnymi od 1 do 9 i zapoznaniu się z operacją porównania. To prawda, że ​​​​nazywa się je po prostu nierównościami, pomijając definicję „liczbową”. Dla jasności nie zaszkodzi podać kilka przykładów najprostszych nierówności numerycznych z tego etapu ich badań: 1<2 , 5+2>3 .

I dalej od liczb naturalnych wiedza rozciąga się na inne typy liczb (liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste), badane są zasady ich porównywania, co znacznie rozszerza różnorodność typów nierówności numerycznych: −5>−72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

Własności nierówności numerycznych

W praktyce praca z nierównościami pozwala na wiele własności nierówności numerycznych. Wynikają one z wprowadzonego przez nas pojęcia nierówności. W odniesieniu do liczb pojęcie to wyraża następujące stwierdzenie, które można uznać za definicję relacji „mniej niż” i „więcej niż” na zbiorze liczb (często nazywa się to różnicową definicją nierówności):

Definicja.

  • numer a jest większe niż b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b jest liczbą dodatnią;
  • liczba a jest mniejsza od liczby b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b jest liczbą ujemną;
  • liczba a jest równa liczbie b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica a−b wynosi zero.

Tę definicję można przerobić na definicję relacji „mniejszy lub równy” i „większy lub równy”. Oto jego sformułowanie:

Definicja.

  • numer a jest większe lub równe b wtedy i tylko wtedy, gdy a-b jest liczbą nieujemną;
  • a jest mniejsze lub równe b wtedy i tylko wtedy, gdy a-b jest liczbą niedodatnią.

Definicje te będziemy wykorzystywać przy dowodzie własności nierówności numerycznych, do przeglądu których przejdziemy.

Podstawowe właściwości

Przegląd zaczynamy od trzech głównych właściwości nierówności. Dlaczego są podstawowe? Ponieważ są odzwierciedleniem właściwości nierówności w najogólniejszym sensie, a nie tylko w odniesieniu do nierówności numerycznych.

Nierówności numeryczne zapisywane znakami< и >, Charakterystyka:

Jeśli chodzi o nierówności numeryczne zapisane słabymi znakami nierówności ≤ i ≥, mają one właściwość zwrotności (a nie antyzwrotności), gdyż nierówności a≤a i a≥a obejmują przypadek równości a=a. Cechuje je także antysymetria i przechodniość.

Zatem nierówności numeryczne zapisane znakami ≤ i ≥ mają następujące własności:

  • zwrotność a≥a i a≤a są nierównościami prawdziwymi;
  • antysymetria, jeśli a≤b, to b≥a, a jeśli a≥b, to b≤a.
  • przechodniość, jeśli a≤b i b≤c, to a≤c, a także, jeśli a≥b i b≥c, to a≥c.

Ich dowód jest bardzo podobny do już podanych, więc nie będziemy się nad nimi rozwodzić, ale przejdziemy do innych ważnych własności nierówności numerycznych.

Inne ważne własności nierówności numerycznych

Uzupełnijmy podstawowe własności nierówności numerycznych szeregiem wyników, które mają ogromne znaczenie praktyczne. Na nich opierają się metody szacowania wartości wyrażeń, na nich opierają się zasady rozwiązania nierówności i tak dalej. Dlatego warto je dobrze zrozumieć.

W tym podrozdziale własności nierówności będziemy formułować tylko dla jednego znaku nierówności ścisłej, warto jednak pamiętać, że podobne własności będą obowiązywać dla znaku przeciwnego, a także dla znaków nierówności nieścisłych. Wyjaśnijmy to na przykładzie. Poniżej formułujemy i udowadniamy następującą własność nierówności: jeśli a

  • jeśli a>b to a+c>b+c ;
  • jeśli a≤b, to a+c≤b+c;
  • jeśli a≥b, to a+c≥b+c.

Dla wygody przedstawimy własności nierówności numerycznych w formie listy, natomiast podamy odpowiednie stwierdzenie, zapiszemy je formalnie literami, przedstawimy dowód, a następnie pokażemy przykłady użycia. Na końcu artykułu podsumujemy w tabeli wszystkie właściwości nierówności numerycznych. Iść!

    Dodanie (lub odejmowanie) dowolnej liczby po obu stronach prawdziwej nierówności liczbowej daje prawdziwą nierówność liczbową. Innymi słowy, jeśli liczby a i b są takie, że a

    Aby to udowodnić, uzupełnijmy różnicę między lewą i prawą stroną ostatniej nierówności liczbowej i pokażmy, że jest ona ujemna pod warunkiem a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Ponieważ według warunku a

    Nie będziemy się rozwodzić nad dowodem tej własności nierówności liczbowych przy odejmowaniu liczby c, ponieważ na zbiorze liczb rzeczywistych odejmowanie można zastąpić dodaniem -c.

    Na przykład, jeśli do obu stron prawidłowej nierówności liczbowej 7>3 dodasz liczbę 15, otrzymasz poprawną nierówność liczbową 7+15>3+15, czyli to samo, 22>18.

    Jeśli obie strony ważnej nierówności liczbowej zostaną pomnożone (lub podzielone) przez tę samą liczbę dodatnią c, otrzymasz ważną nierówność liczbową. Jeśli obie strony nierówności zostaną pomnożone (lub podzielone) przez liczbę ujemną c i odwrócony znak nierówności, to nierówność będzie prawdziwa. W formie dosłownej: jeśli liczby a i b spełniają nierówność a pne.

    Dowód. Zacznijmy od przypadku, gdy c>0. Uzupełnijmy różnicę pomiędzy lewą i prawą stroną udowadnianej nierówności numerycznej: a·c−b·c=(a−b)·c . Ponieważ według warunku a 0 , to iloczyn (a−b)·c będzie liczbą ujemną jako iloczyn liczby ujemnej a−b i liczby dodatniej c (co wynika z ). Dlatego a·c−b·c<0 , откуда a·c

    Nie skupiamy się na dowodzie rozważanej właściwości dzielenia obu stron prawdziwej nierówności liczbowej przez tę samą liczbę c, ponieważ dzielenie zawsze można zastąpić mnożeniem przez 1/c.

    Pokażmy przykład wykorzystania analizowanej właściwości na konkretnych liczbach. Na przykład możesz mieć obie strony poprawnej nierówności numerycznej 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

    Z omówionej właśnie właściwości mnożenia obu stron równości liczbowej przez liczbę wynikają dwa praktyczne wyniki. Formułujemy je więc w formie konsekwencji.

    Wszystkie właściwości omówione powyżej w tym akapicie łączy fakt, że najpierw dana jest poprawna nierówność liczbowa, a z niej, poprzez manipulacje częściami nierówności i znakiem, otrzymuje się kolejną poprawną nierówność liczbową. Teraz przedstawimy blok właściwości, w którym początkowo podaje się nie jedną, ale kilka poprawnych nierówności numerycznych, a z ich łącznego wykorzystania po dodaniu lub pomnożeniu ich części otrzymuje się nowy wynik.

    Jeżeli liczby a, b, c i d spełniają nierówności a

    Udowodnimy, że (a+c)−(b+d) jest liczbą ujemną, co udowodni, że a+c

    Przez indukcję ta właściwość rozciąga się na dodawanie trzech, czterech i, ogólnie, dowolnej skończonej liczby nierówności numerycznych. Zatem jeśli dla liczb a 1, a 2, …, a n i b 1, b 2, …, b n prawdziwe są nierówności: a 1 za 1 + za 2 +…+ za n .

    Na przykład mamy trzy poprawne nierówności liczbowe tego samego znaku -5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

    Można pomnożyć nierówności liczbowe tego samego znaku, wyraz po wyrazie, którego obie strony są reprezentowane przez liczby dodatnie. W szczególności dla dwóch nierówności a

    Aby to udowodnić, możesz pomnożyć obie strony nierówności a

    Właściwość ta jest również prawdziwa w przypadku mnożenia dowolnej skończonej liczby prawdziwych nierówności numerycznych przez części dodatnie. Oznacza to, że jeśli a 1, a 2, ..., a n i b 1, b 2, ..., b n są liczbami dodatnimi, a a 1 za 1 za 2… za n .

    Osobno warto zauważyć, że jeśli zapis nierówności numerycznych zawiera liczby niedodatnie, wówczas ich mnożenie wyraz po wyrazie może prowadzić do nieprawidłowych nierówności numerycznych. Na przykład nierówności numeryczne 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

    • Konsekwencja. Terminowe mnożenie identycznych prawdziwych nierówności postaci a

Zgodnie z obietnicą, na końcu artykułu zbierzemy wszystkie badane nieruchomości tabela własności nierówności numerycznych:

Bibliografia.

  • Moro M.I.. Matematyka. Podręcznik na 1 klasę. początek szkoła Za 2 godziny Część 1. (Pierwsza połowa roku) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - wyd. 6. - M.: Edukacja, 2006. - 112 s.: il.+Add. (2 osobne l. il.). - ISBN 5-09-014951-8.
  • Matematyka: podręcznik dla 5 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - wyd. 21, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: il. ISBN 5-346-00699-0.
  • Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  • Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.

Nierówności nazywane są liniowymi których lewa i prawa strona są funkcjami liniowymi względem nieznanej wielkości. Należą do nich na przykład nierówności:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Ścisłe nierówności: topór +b>0 Lub topór+b<0

2) Nieścisłe nierówności: topór +b≤0 Lub topór+b≫ 0

Przeanalizujmy to zadanie. Jeden z boków równoległoboku ma długość 7 cm. Jaka musi być długość drugiego boku, aby obwód równoległoboku był większy niż 44 cm?

Niech będzie wymagana strona X cm W tym przypadku obwód równoległoboku będzie reprezentowany przez (14 + 2x) cm Nierówność 14 + 2x > 44 jest matematycznym modelem problemu obwodu równoległoboku. Jeśli zastąpimy zmienną w tej nierówności X na przykład liczbę 16, wówczas otrzymujemy poprawną nierówność liczbową 14 + 32 > 44. W tym przypadku mówią, że liczba 16 jest rozwiązaniem nierówności 14 + 2x > 44.

Rozwiązanie nierówności podaj wartość zmiennej, która zamienia ją w prawdziwą nierówność numeryczną.

Dlatego każda z liczb wynosi 15,1; 20;73 jest rozwiązaniem nierówności 14 + 2x > 44, ale na przykład liczba 10 nie jest jej rozwiązaniem.

Rozwiąż nierówność oznacza ustalenie wszystkich jego rozwiązań lub udowodnienie, że rozwiązania nie istnieją.

Sformułowanie rozwiązania nierówności jest podobne do sformułowania pierwiastka równania. A jednak nie ma zwyczaju wyznaczania „pierwiastka nierówności”.

Właściwości równości numerycznych pomogły nam rozwiązać równania. Podobnie właściwości nierówności numerycznych pomogą rozwiązać nierówności.

Rozwiązując równanie, zastępujemy je innym, prostszym równaniem, ale równoważnym z podanym. Odpowiedź na nierówności można znaleźć w podobny sposób. Zmieniając równanie na równanie równoważne, posługują się twierdzeniem o przeniesieniu wyrazów z jednej strony równania na przeciwną i o pomnożeniu obu stron równania przez tę samą niezerową liczbę. Przy rozwiązywaniu nierówności istnieje znacząca różnica między nią a równaniem, która polega na tym, że każde rozwiązanie równania można zweryfikować po prostu przez podstawienie do pierwotnego równania. W nierównościach ta metoda jest nieobecna, ponieważ nie jest możliwe podstawienie niezliczonych rozwiązań do pierwotnej nierówności. Dlatego istnieje ważna koncepcja, te strzałki<=>jest znakiem równoważnych lub równoważnych transformacji. Transformacja nazywa się równowartość, Lub równowartość, jeśli nie zmieniają zbioru rozwiązań.

Podobne zasady rozwiązywania nierówności.

Jeśli przeniesiemy dowolny wyraz z jednej części nierówności do drugiej, zastępując jego znak przeciwnym, otrzymamy nierówność równoważną tej.

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez tę samą liczbę dodatnią, otrzymamy nierówność równoważną tej.

Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (podzielimy) przez tę samą liczbę ujemną, zastępując znak nierówności przeciwnym, otrzymamy nierówność równoważną podanej.

Korzystanie z nich zasady Obliczmy następujące nierówności.

1) Przeanalizujmy nierówność 2x - 5 > 9.

Ten nierówność liniowa, znajdziemy jego rozwiązanie i omówimy podstawowe pojęcia.

2x - 5 > 9<=>2x>14(5 przesunięto na lewą stronę z przeciwnym znakiem), następnie podzieliliśmy wszystko przez 2 i mamy x > 7. Narysujmy zbiór rozwiązań na osi X

Uzyskaliśmy wiązkę skierowaną dodatnio. Zbiór rozwiązań notujemy albo w postaci nierówności x > 7 lub w postaci przedziału x(7; ∞). Jakie jest konkretne rozwiązanie tej nierówności? Na przykład, x = 10 jest szczególnym rozwiązaniem tej nierówności, x = 12- jest to również szczególne rozwiązanie tej nierówności.

Rozwiązań cząstkowych jest wiele, ale naszym zadaniem jest znalezienie wszystkich rozwiązań. A rozwiązań jest zazwyczaj niezliczona ilość.

Uporządkujmy to przykład 2:

2) Rozwiąż nierówność 4a - 11 > a + 13.

Rozwiążmy to: A przesuń go na jedną stronę 11 przesuń go na drugą stronę, otrzymamy 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nierówność ma postać A<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>A< 8 .

Zaprezentujemy także zestaw A< 8 , ale już na osi A.

Odpowiedź zapisujemy w postaci nierówności a< 8, либо A(-∞;8), 8 nie włącza się.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z przepisami prawa, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych na terytorium Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Na przykład nierówność jest wyrażeniem \(x>5\).

Rodzaje nierówności:

Jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami lub , to nazywamy nierówność liczbowy. Właściwie to po prostu porównanie dwóch liczb. Takie nierówności dzielą się na wierny I niewierny.

Na przykład:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) jest niepoprawną nierównością liczbową, ponieważ \(17+3=20\), a \(20\) jest mniejsze niż \(115\) (i nie większe lub równe) .


Jeśli \(a\) i \(b\) są wyrażeniami zawierającymi zmienną, to mamy nierówność ze zmienną. Nierówności takie dzielimy na typy w zależności od treści:

\(2x+1\geq4(5-x)\)

Zmienna tylko do pierwszej potęgi

\(3x^2-x+5>0\)

W drugiej potędze (kwadracie) jest zmienna, ale nie ma wyższych potęg (trzeciej, czwartej itd.)

\(\log_(4)((x+1))<3\)

\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)
... i tak dalej.

Jakie jest rozwiązanie nierówności?

Jeśli zamiast zmiennej zastąpisz nierówność liczbą, zamieni się ona w nierówność numeryczną.

Jeśli dana wartość x zamienia pierwotną nierówność w prawdziwą nierówność liczbową, wówczas nazywa się to rozwiązanie nierówności. Jeśli nie, to ta wartość nie jest rozwiązaniem. I do rozwiązać nierówność– musisz znaleźć wszystkie jego rozwiązania (lub pokazać, że ich nie ma).

Na przykład, jeśli podstawimy liczbę \(7\) do nierówności liniowej \(x+6>10\), otrzymamy poprawną nierówność liczbową: \(13>10\). A jeśli podstawimy \(2\), otrzymamy niepoprawną nierówność liczbową \(8>10\). Oznacza to, że \(7\) jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności, ale \(2\) nim nie jest.

Jednak nierówność \(x+6>10\) ma inne rozwiązania. Rzeczywiście, otrzymamy poprawne nierówności numeryczne, podstawiając \(5\), i \(12\), i \(138\)... A jak znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania? W tym celu używają W naszym przypadku mamy:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Oznacza to, że będzie nam odpowiadać każda liczba większa niż cztery. Teraz musisz zapisać odpowiedź. Rozwiązania nierówności zapisuje się najczęściej cyfrowo, dodatkowo zaznaczając je na osi liczbowej cieniowaniem. Dla naszego przypadku mamy:

Odpowiedź: \(x\in(4;+\infty)\)

Kiedy zmienia się znak nierówności?

W nierównościach kryje się jedna wielka pułapka, w którą uczniowie naprawdę „uwielbiają” wpadać:

Kiedy mnożymy (lub dzielimy) nierówność przez liczbę ujemną, zostaje ona odwrócona („więcej” przez „mniej”, „więcej lub równa” przez „mniejsze lub równe” itd.)

Dlaczego to się dzieje? Aby to zrozumieć, spójrzmy na przekształcenia nierówności numerycznej \(3>1\). To prawda, trzy jest rzeczywiście większe niż jeden. Najpierw spróbujmy pomnożyć go przez dowolną liczbę dodatnią, na przykład dwa:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Jak widać po pomnożeniu nierówność pozostaje prawdziwa. I bez względu na to, przez jaką liczbę dodatnią pomnożymy, zawsze otrzymamy poprawną nierówność. Spróbujmy teraz pomnożyć przez liczbę ujemną, na przykład minus trzy:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

Rezultatem jest niepoprawna nierówność, ponieważ minus dziewięć jest mniejsze niż minus trzy! Oznacza to, że aby nierówność stała się prawdziwa (a zatem przekształcenie mnożenia przez liczbę ujemną było „legalne”), należy odwrócić znak porównania w następujący sposób: \(−9<− 3\).
Z podziałem wyjdzie to tak samo, możesz to sprawdzić sam.

Zasada napisana powyżej dotyczy wszystkich typów nierówności, nie tylko liczbowych.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(2(x+1)-1<7+8x\)
Rozwiązanie:

\(2x+2-1<7+8x\)

Przesuńmy \(8x\) w lewo, a \(2\) i \(-1\) w prawo, nie zapominając o zmianie znaków

\(2x-8x<7-2+1\)

\(-6x<6\) \(|:(-6)\)

Podzielmy obie strony nierówności przez \(-6\), nie zapominając o zmianie z „mniej” na „więcej”

Zaznaczmy na osi przedział liczbowy. Nierówność, dlatego „wybijamy” samą wartość \(-1\) i nie bierzemy jej jako odpowiedzi

Zapiszmy odpowiedź jako przedział

Odpowiedź: \(x\in(-1;\infty)\)

Nierówności i niepełnosprawność

Nierówności, podobnie jak równania, mogą mieć ograniczenia co do wartości x. W związku z tym z zakresu rozwiązań należy wyłączyć te wartości, które zdaniem DZ są niedopuszczalne.

Przykład: Rozwiąż nierówność \(\sqrt(x+1)<3\)

Rozwiązanie: Jasne jest, że aby lewa strona była mniejsza niż \(3\), wyrażenie radykalne musi być mniejsze niż \(9\) (w końcu z \(9\) tylko \(3\)). Otrzymujemy:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

Wszystko? Dowolna wartość x mniejsza niż \(8\) będzie nam odpowiadać? NIE! Bo jeśli przyjmiemy np. wartość \(-5\), która wydaje się spełniać warunek, to nie będzie to rozwiązanie pierwotnej nierówności, gdyż doprowadzi nas to do obliczenia pierwiastka z liczby ujemnej.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Dlatego też musimy wziąć pod uwagę ograniczenia dotyczące wartości X – nie może być tak, że pod pierwiastkiem znajduje się liczba ujemna. Zatem mamy drugi warunek dla x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

A żeby x było rozwiązaniem ostatecznym, musi spełniać oba wymagania na raz: musi być mniejsze od \(8\) (aby było rozwiązaniem) i większe od \(-1\) (aby było w zasadzie dopuszczalne). Wykreślając to na osi liczbowej, mamy ostateczną odpowiedź:

Odpowiedź: \(\lewo[-1;8\prawo)\)