Największa i najmniejsza wartość funkcji. Zadanie B15 (2014)


Z praktycznego punktu widzenia największe zainteresowanie budzi wykorzystanie pochodnej do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji. Z czym to się wiąże? Maksymalizacja zysków, minimalizacja kosztów, ustalenie optymalnego obciążenia sprzętu... Inaczej mówiąc, w wielu obszarach życia musimy rozwiązywać problemy optymalizacji niektórych parametrów. A to są zadania znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji.

Należy zauważyć, że największych i najmniejszych wartości funkcji szuka się zwykle na pewnym przedziale X, który jest albo całą dziedziną funkcji, albo częścią dziedziny definicji. Sam przedział X może być odcinkiem, przedziałem otwartym , nieskończony odstęp.

W tym artykule porozmawiamy o jawnym znajdowaniu największych i najmniejszych wartości dana funkcja jedna zmienna y=f(x) .

Nawigacja strony.

Największa i najmniejsza wartość funkcji - definicje, ilustracje.

Przyjrzyjmy się pokrótce głównym definicjom.

Największa wartość funkcji to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Najmniejsza wartość funkcji Taką wartością nazywa się y=f(x) w przedziale X to dla każdego nierówność jest prawdziwa.

Definicje te są intuicyjne: największą (najmniejszą) wartością funkcji jest największa (najmniejsza) akceptowana wartość na rozpatrywanym przedziale przy odciętej.

Punkty stacjonarne– są to wartości argumentu, przy których pochodna funkcji przyjmuje wartość zero.

Dlaczego potrzebujemy punktów stacjonarnych przy znajdowaniu największych i najmniejszych wartości? Odpowiedź na to pytanie daje twierdzenie Fermata. Z twierdzenia tego wynika, że ​​jeśli funkcja różniczkowalna ma w pewnym punkcie ekstremum (lokalne minimum lub lokalne maksimum), to punkt ten jest stacjonarny. Zatem funkcja często przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w przedziale X w jednym z: punkty stacjonarne z tej luki.

Ponadto funkcja często może przyjmować swoje największe i najmniejsze wartości w punktach, w których pierwsza pochodna tej funkcji nie istnieje, a sama funkcja jest zdefiniowana.

Od razu odpowiedzmy na jedno z najczęstszych pytań w tym temacie: „Czy zawsze da się wyznaczyć największą (najmniejszą) wartość funkcji”? Nie, nie zawsze. Czasami granice przedziału X pokrywają się z granicami dziedziny definicji funkcji lub przedział X jest nieskończony. A niektóre funkcje w nieskończoności i na granicach dziedziny definicji mogą przyjmować zarówno nieskończenie duże, jak i nieskończenie małe wartości. W takich przypadkach nie można nic powiedzieć o największej i najmniejszej wartości funkcji.

Dla przejrzystości podamy ilustrację graficzną. Spójrz na zdjęcia, a wiele stanie się jaśniejsze.

Na segmencie


Na pierwszym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz odcinka [-6;6].

Rozważmy przypadek pokazany na drugim rysunku. Zmieńmy segment na . W tym przykładzie najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się w punkcie stacjonarnym, a największą w punkcie, którego odcięta odpowiada prawej granicy przedziału.

Na rysunku 3 punkty graniczne odcinka [-3;2] są odciętymi punktów odpowiadających największej i najmniejszej wartości funkcji.

W otwartej przerwie


Na czwartym rysunku funkcja przyjmuje największe (max y) i najmniejsze (min y) wartości w stacjonarnych punktach znajdujących się wewnątrz otwartego przedziału (-6;6).

W przedziale nie można wyciągnąć żadnych wniosków na temat największej wartości.

W nieskończoności


W przykładzie pokazanym na siódmym rysunku funkcja przyjmuje najwyższa wartość(max y) w punkcie stacjonarnym o odciętej x=1, a najmniejszą wartość (min y) osiąga się na prawej granicy przedziału. Przy minus nieskończoności wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3.

W tym przedziale funkcja nie osiąga ani najmniejszej, ani największej wartości. Gdy x=2 zbliża się od prawej strony, wartości funkcji dążą do minus nieskończoności (prosta x=2 jest asymptotą pionową), a gdy odcięta zmierza do plus nieskończoności, wartości funkcji asymptotycznie zbliżają się do y=3. Graficzną ilustrację tego przykładu pokazano na rysunku 8.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłej w segmencie.

Napiszmy algorytm, który pozwoli nam znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie.

  1. Znajdujemy dziedzinę definicji funkcji i sprawdzamy, czy zawiera ona cały segment.
  2. Znajdujemy wszystkie punkty, w których nie istnieje pierwsza pochodna, a które mieszczą się w segmencie (zwykle takie punkty znajdują się w funkcjach z argumentem pod znakiem modułu oraz w funkcje mocy z wykładnikiem ułamkowo-wymiernym). Jeśli nie ma takich punktów, przejdź do następnego punktu.
  3. Wyznaczamy wszystkie punkty stacjonarne mieszczące się w obrębie odcinka. Aby to zrobić, przyrównujemy to do zera, rozwiązujemy powstałe równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie ma punktów stacjonarnych lub żaden z nich nie mieści się w segmencie, przejdź do następnego punktu.
  4. Wartości funkcji obliczamy w wybranych punktach stacjonarnych (jeśli występują), w punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli występują), a także w x=a i x=b.
  5. Z uzyskanych wartości funkcji wybieramy największą i najmniejszą - będą to wymagane odpowiednio największe i najmniejsze wartości funkcji.

Przeanalizujmy algorytm rozwiązania przykładu, aby znaleźć największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie.

Przykład.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

  • na segmencie ;
  • na segmencie [-4;-1] .

Rozwiązanie.

Dziedziną funkcji jest cały zbiór liczby rzeczywiste, z wyjątkiem zera, tj. Obydwa segmenty mieszczą się w domenie definicyjnej.

Znajdź pochodną funkcji po:

Oczywiście pochodna funkcji istnieje we wszystkich punktach odcinków i [-4;-1].

Z równania wyznaczamy punkty stacjonarne. Jedyny prawdziwy korzeń wynosi x=2 . Ten nieruchomy punkt należy do pierwszego segmentu.

W pierwszym przypadku obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie stacjonarnym, czyli dla x=1, x=2 i x=4:

Zatem największa wartość funkcji osiąga się przy x=1 i najmniejszej wartości – przy x=2.

W drugim przypadku wartości funkcji obliczamy tylko na końcach odcinka [-4;-1] (ponieważ nie zawiera on ani jednego punktu stacjonarnego):

W wielu obszarach życia możesz spotkać się z koniecznością rozwiązania czegoś za pomocą liczb, np. w ekonomii i rachunkowości minimalne i maksymalne niektórych wskaźników można znaleźć jedynie poprzez optymalizację danych parametrów. A to nic innego jak znalezienie największych i najmniejszych wartości na dany segment Funkcje. Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć największą wartość funkcji.

Znalezienie największej wartości: instrukcje

  1. Dowiedz się, w którym segmencie funkcji musisz obliczyć wartość, oznacz ją kropkami. Przedział ten może być otwarty (gdy funkcja jest równa segmentowi), zamknięty (gdy funkcja jest na segmencie) i nieskończony (gdy funkcja się nie kończy).
  2. Znajdź funkcję pochodną.
  3. Znajdź punkty na odcinku funkcji, w którym pochodna jest równa zeru i to wszystko punkt krytyczny. Następnie oblicz wartości funkcji w tych punktach i rozwiąż równanie. Znajdź największą spośród uzyskanych wartości.
  4. Ujawnij wartości funkcji włączone punkty końcowe, określ większy z nich
  5. Porównaj dane o największej wartości i wybierz największą. Będzie to największa wartość funkcji.

Jak znaleźć największą wartość całkowitą funkcji? Musisz obliczyć, czy funkcja jest parzysta czy nieparzysta, a następnie rozwiązać konkretny przykład. Jeśli liczbę otrzymamy z ułamka, nie bierzemy tego pod uwagę, wynik największej wartości całkowitej funkcji będzie tylko liczbą całkowitą.

W tym artykule omówię, jak zastosować umiejętność znajdowania do badania funkcji: znaleźć jej największą lub najmniejszą wartość. A następnie rozwiążemy kilka problemów z Zadania B15 z Otwórz bank zadania dla.

Jak zwykle, najpierw przypomnijmy sobie teorię.

Na początku każdego badania funkcji znajdujemy ją

Aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji, należy sprawdzić, w jakich przedziałach funkcja rośnie, a w jakich maleje.

Aby to zrobić, musimy znaleźć pochodną funkcji i zbadać jej przedziały stałego znaku, czyli przedziały, w których pochodna zachowuje swój znak.

Przedziały, w których pochodna funkcji jest dodatnia, są przedziałami funkcji rosnącej.

Przedziały, w których pochodna funkcji jest ujemna, to przedziały funkcji malejącej.

1. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245184)

Aby go rozwiązać, zastosujemy następujący algorytm:

a) Znajdź dziedzinę definicji funkcji

b) Znajdźmy pochodną funkcji.

c) Przyrównajmy to do zera.

d) Znajdźmy przedziały stałego znaku funkcji.

e) Znajdź punkt, w którym funkcja przyjmuje największą wartość.

f) Znajdź wartość funkcji w tym punkcie.

Szczegółowe rozwiązanie tego zadania wyjaśniam w VIDEO TUTORIALE:

Twoja przeglądarka prawdopodobnie nie jest obsługiwana. Aby skorzystać z trainera” Godzina egzaminu jednolitego stanu", spróbuj pobrać
Firefoksa

2. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 282862)

Znajdź największą wartość funkcji na segmencie

Jest oczywiste, że funkcja przyjmuje największą wartość na odcinku w punkcie maksymalnym, przy x=2. Znajdźmy wartość funkcji w tym punkcie:

Odpowiedź: 5

3. Rozwiążmy zadanie B15 (nr 245180):

Znajdź największą wartość funkcji

1. tytuł="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Ponieważ zgodnie z dziedziną definicji oryginalnej funkcji title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Licznik równy zeru Na . Sprawdźmy, czy należy Funkcje ODZ. W tym celu sprawdźmy, czy warunek title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Tytuł="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

oznacza to, że punkt należy do funkcji ODZ

Zbadajmy znak pochodnej po prawej i lewej stronie punktu:

Widzimy, że funkcja przyjmuje największą wartość w punkcie . Teraz znajdźmy wartość funkcji w:

Uwaga 1. Należy zauważyć, że w tym zadaniu nie znaleźliśmy dziedziny definicji funkcji: ustaliliśmy jedynie ograniczenia i sprawdziliśmy, czy punkt, w którym pochodna jest równa zeru, należy do dziedziny definicji funkcji. To okazało się wystarczające do tego zadania. Jednak nie zawsze tak jest. To zależy od zadania.

Uwaga 2. Podczas badania zachowania złożona funkcja możesz skorzystać z tej reguły:

  • Jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej rośnie, wówczas funkcja ta osiąga największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna osiąga największą wartość. Wynika to z definicji funkcji rosnącej: funkcja rośnie w przedziale I jeśli wyższa wartość argument z tego przedziału odpowiada większej wartości funkcji.
  • jeśli funkcja zewnętrzna funkcji zespolonej maleje, to funkcja ta przyjmuje największą wartość w tym samym punkcie, w którym funkcja wewnętrzna przyjmuje najmniejszą wartość . Wynika to z definicji funkcji malejącej: funkcja maleje na przedziale I, jeśli większej wartości argumentu z tego przedziału odpowiada mniejsza wartość funkcji

W naszym przykładzie funkcja zewnętrzna rośnie w całym obszarze definicji. Pod znakiem logarytmu znajduje się wyrażenie - trójmian kwadratowy, który przy ujemnym współczynniku wiodącym przyjmuje w tym punkcie największą wartość . Następnie podstawiamy tę wartość x do równania funkcji i znajdź jego największą wartość.

Zalecenia metodologiczne dotyczące studiowania tematu „Wiele wartości funkcji. Największe i najmniejsze wartości funkcji.”

W samej matematyce głównym środkiem

do osiągnięcia prawdy – indukcja i analogia.

Biorąc pod uwagę: - funkcję. Oznaczmy
- dziedzina definicji funkcji.

Zbiór (dziedzina) wartości funkcji to zbiór wszystkich wartości, które może przyjąć funkcja.
.Geometrycznie oznacza to rzutowanie wykresu funkcji na oś
.

Jeśli jest sens takie, że dla każdego zbioru istnieje nierówność
, to mówią, że funkcja na zbiorze przyjmuje swoją najmniejsza wartość

Jeśli istnieje taki punkt, że dla dowolnego zbioru zachodzi nierówność
, to mówią, że funkcja na zbiorze przyjmuje swoją najwyższa wartość .

Funkcja nazywa się ograniczony poniżej na planie, jeśli taki numer istnieje
. Geometrycznie oznacza to, że wykres funkcji nie jest niższy od linii prostej
.

Funkcja nazywa się ograniczony powyżej na planie, jeśli taki numer istnieje , że dla dowolnego zbioru nierówność jest prawdziwa
. Geometrycznie oznacza to, że wykres funkcji nie jest wyższy niż linia prosta

Funkcja nazywa się ograniczony na zbiorze, jeśli jest ograniczony do tego zbioru od dołu i od góry. Ograniczenie funkcji oznacza, że ​​jej wykres mieści się w pewnym poziomym paśmie.

Nierówność Cauchy'ego dotycząca średniej arytmetycznej i średniej geometrycznej
:

>,>0) Przykład:

Największe i najmniejsze wartości funkcji w przedziale

(odcinek, przedział, półprosta)

Własności funkcji ciągłych na przedziale.

1. Jeśli funkcja jest ciągła na segmencie, to osiąga na nim zarówno wartość maksymalną, jak i minimalną.

2. Funkcja ciągła może osiągać wartości maksymalne i minimalne zarówno na końcach segmentu, jak i wewnątrz niego

3. Jeżeli największa (lub najmniejsza) wartość zostanie osiągnięta wewnątrz segmentu, to tylko w punkcie stacjonarnym lub krytycznym.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcja ciągła na segmencie

1. Znajdź pochodną
.

2. Znajdź punkty stacjonarne i krytyczne leżące wewnątrz segmentu .

3. Znajdź wartości funkcji w wybranych punktach stacjonarnych i krytycznych oraz na końcach odcinka, tj.
I
.

4. Spośród znalezionych wartości wybierz najmniejszą (będzie to
) i największy (to będzie
)

Własności funkcji ciągłych, które są monotoniczne na przedziale:

Ciągły wzrost w segmencie funkcja osiąga największą wartość w punkcie
, najmniejszy – o godz
.

Ciągłe zmniejszanie się w segmencie funkcja osiąga największą wartość w , a minimum w .

Jeśli wartość funkcji
nieujemna w pewnym przedziale, to ta funkcja i funkcja
, gdzie n jest liczbą naturalną, przyjmuje największą (najmniejszą) wartość w tym samym punkcie.

Znajdowanie największych i najmniejszych wartości funkcja ciągła na przerwie
lub na belce

(problemy z optymalizacją).

Jeżeli funkcja ciągła ma pojedynczy punkt ekstremalny na przedziale lub półprostej i to ekstremum jest maksimum lub minimum, to w tym punkcie osiągana jest maksymalna lub minimalna wartość funkcji ( lub )

Zastosowanie własności monotoniczności funkcji.

1. Funkcja złożona, złożona z dwóch funkcji rosnących, jest rosnąca.

2.Jeśli funkcja wzrasta i funkcja
maleje, to funkcja
- malejące.

3. Suma dwóch funkcji rosnących (malejących), funkcja rosnąca (malejąca).

4. Jeśli w równaniu
lewa strona jest funkcją rosnącą (lub malejącą), wówczas równanie ma co najwyżej jeden pierwiastek.

5.Jeżeli funkcja jest rosnąca (malejąca) i maleje (rosnie), to równanie
ma co najwyżej jedno rozwiązanie.

6. Równanie
ma co najmniej jeden pierwiastek wtedy i tylko wtedy, gdy

należy do wielu znaczeń
Funkcje .

Zastosowanie własności funkcji ograniczonych.

1. Jeśli lewa strona równania (nierówność) (
mniejszy lub równy jakiejś liczbie (
), a prawa strona jest większa lub równa tej liczbie (), to system
którego rozwiązaniem jest rozwiązanie samego równania (nierówności).

Zadania samokontroli


Aplikacja:


3. Znajdź wszystkie wartości, dla których równanie
ma rozwiązanie.

Praca domowa

1. Znajdź największą wartość funkcji:

, Jeśli
.

2. Znajdź najmniejszą wartość funkcji:

.

3. Znajdź największą wartość całkowitą funkcji:

. te, które odpowiadają największy. Ideał-...

  • Zalecenia metodyczne do zajęć praktycznych Temat: Wprowadzenie. Krótka historia języka łacińskiego. Alfabet. Fonetyka

    Wytyczne

    Duży, górny, mały, przedni, najmniej, największy. 3) Tłumaczenie: A. Mm. palati i... oznaczający a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin Wydział: MTD Moduł: język łaciński Metodyczny zalecenia Dla ...

  • Wytyczne

    ... . Największa I najmniejszy wartości Funkcje Największy I najmniej wartości 2 14. Funkcja pierwotna Funkcje Funkcja pierwotna 2 15. Pojęcie równania różniczkowe Przykłady wykorzystania pochodnej Dla ...

  • Zalecenia metodologiczne dotyczące samokształcenia kadetów i studentów w dyscyplinie „Trening fizyczny” Krasnodar

    Wytyczne

    ... Największy prędkość dowolna pojedynczy ruch I najmniejszy... Dostępny pęczek zalecenia Przez... oznaczający posiada racjonalne połączenie środków działania ogólnego i lokalnego. 4. Metodyczny zalecenia Dla niezależny uczenie się ... Funkcje. Oni te ...

  • Zalecenia metodologiczne dotyczące korzystania z podręczników „Algebra i analiza matematyczna, 10”, „Algebra i analiza matematyczna, 11” (autorzy: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd) podczas studiowania przedmiotu na poziomie profilowym

    Wytyczne

    ... , pęczek wartości Funkcje, zera Funkcje, przedziały znaku stałego Funkcje parzysty, nieparzysty, okresowość. Monotonia Funkcje, przedziały monotoniczności, ekstrema Funkcje. Największy I najmniej wartości Funkcje ...

    • Badanie takiego obiektu Analiza matematyczna jako funkcja jest świetna oznaczający oraz w innych dziedzinach nauki. Na przykład w analiza ekonomiczna zachowanie wymaga ciągłej oceny Funkcje zysku, a mianowicie ustalenia jego największego oznaczający i opracować strategię osiągnięcia tego celu.

    Instrukcje

    Badanie każdego zachowania powinno zawsze rozpoczynać się od poszukiwania dziedziny definicji. Zwykle według stanu Szczególnym zadaniem konieczne jest określenie największego oznaczający Funkcje albo na całym tym obszarze, albo na określonym jego odcinku z otwartymi lub zamkniętymi granicami.

    Na podstawie , największy jest oznaczający Funkcje y(x0), w którym dla dowolnego punktu dziedziny definicji zachodzi nierówność y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Graficznie punkt ten będzie najwyższy, jeżeli wartości argumentów umieścimy na osi odciętych, a samą funkcję na osi rzędnych.

    Aby określić największego oznaczający Funkcje, postępuj zgodnie z trzyetapowym algorytmem. Pamiętaj, że musisz umieć pracować z jednostronnymi i , a także obliczać pochodną. Niech więc zostanie podana pewna funkcja y(x) i trzeba znaleźć jej największą oznaczający w pewnym przedziale z wartościami granicznymi A i B.

    Dowiedz się, czy ten przedział mieści się w zakresie definicji Funkcje. Aby to zrobić, musisz go znaleźć, biorąc pod uwagę wszystkie możliwe ograniczenia: obecność ułamka w wyrażeniu, pierwiastek kwadratowy itp. Dziedziną definicji jest zbiór wartości argumentów, dla których funkcja ma sens. Określić, czy dany interwał jego podzbiór. Jeśli tak, przejdź do Następny etap.

    Znajdź pochodną Funkcje i rozwiąż powstałe równanie, przyrównując pochodną do zera. Otrzymasz w ten sposób wartości tzw. punktów stacjonarnych. Oceń, czy przynajmniej jeden z nich należy do przedziału A, B.

    Na trzecim etapie rozważ te punkty i podstaw ich wartości do funkcji. W zależności od typu interwału wykonaj następujące dodatkowe kroki. Jeżeli istnieje odcinek postaci [A, B], to punkty graniczne wlicza się do przedziału, co zaznaczono w nawiasach. Oblicz wartości Funkcje dla x = A i x = B. Jeśli przerwa otwarta(A, B), wartości graniczne są przebijane, tj. nie są w nim uwzględnione. Rozwiąż jednostronne granice dla x → A i x → B. Złożony przedział postaci [A, B) lub (A, B), którego jedna granica do niego należy, a druga nie. Znajdź jednostronną granicę, gdy x dąży do wartości przebitej, i podstaw drugą funkcję Nieskończony dwustronny przedział (-∞, +∞) lub jednostronny nieskończony przedział postaci: , (-∞, B).Dla granic rzeczywistych A i B postępuj według zasad już opisanych, a dla nieskończonych, poszukaj granic odpowiednio dla x → -∞ i x → + ∞.

    Zadanie na tym etapie