Zdefiniuj pojęcie przedziału ufności. Przedział ufności

Przedział ufności

Przedział ufności- termin używany w statystyce matematycznej do określenia przedziałowej (a nie punktowej) estymacji parametrów statystycznych, która jest preferowana w przypadku małej próby. Przedział ufności to taki, który obejmuje nieznany parametr z daną wiarygodnością.

Metodę przedziałów ufności opracował amerykański statystyk Jerzy Neumann w oparciu o koncepcje angielskiego statystyka Ronalda Fishera.

Definicja

Przedział ufności parametru θ losowy rozkład zmiennych X z poziomem ufności 100 P%, wygenerowany przez próbkę ( X 1 ,…,X n), nazywa się przedziałem z granicami ( X 1 ,…,X n) i ( X 1 ,…,X n), które są realizacjami zmiennych losowych L(X 1 ,…,X n) i U(X 1 ,…,X n), tak że

.

Nazywa się punkty graniczne przedziału ufności Granice zaufania.

Oparta na intuicji interpretacja przedziału ufności byłaby następująca: jeśli P jest duży (powiedzmy 0,95 lub 0,99), wówczas przedział ufności prawie na pewno zawiera wartość prawdziwą θ .

Inna interpretacja pojęcia przedziału ufności: można go uznać za przedział wartości parametrów θ zgodne z danymi eksperymentalnymi i nie zaprzeczające im.

Przykłady

  • Przedział ufności dla oczekiwań matematycznych normalnej próbki;
  • Przedział ufności dla normalnej wariancji próbki.

Bayesowski przedział ufności

W statystyce Bayesa istnieje podobna, choć różna w niektórych kluczowych szczegółach definicja przedziału ufności. Tutaj sam estymowany parametr traktuje się jako zmienną losową o zadanym wcześniej rozkładzie (w najprostszym przypadku jednolitym), a próba jest stała (w statystyce klasycznej wszystko jest dokładnie odwrotnie). Bayesowski przedział ufności to przedział obejmujący wartość parametru z prawdopodobieństwem późniejszym:

.

Ogólnie rzecz biorąc, klasyczne i Bayesowskie przedziały ufności są różne. W literaturze anglojęzycznej Bayesowski przedział ufności jest zwykle nazywany terminem wiarygodny odstęp i klasyczny - przedział ufności.

Notatki

Źródła

Fundacja Wikimedia. 2010.

  • Dzieci (film)
  • Kolonista

Zobacz, co oznacza „Przedział ufności” w innych słownikach:

    Przedział ufności- przedział obliczony na podstawie przykładowych danych, który z danym prawdopodobieństwem (przeufnością) obejmuje nieznaną prawdziwą wartość oszacowanego parametru rozkładu. Źródło: GOST 20522 96: Gleby. Metody statystycznego przetwarzania wyników... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

    przedział ufności- dla parametru skalarnego populacji jest to segment, który najprawdopodobniej zawiera ten parametr. To zdanie nie ma żadnego znaczenia bez dalszego rozwinięcia. Ponieważ granice przedziału ufności są szacowane na podstawie próby, naturalnym jest, że... ... Słownik statystyki socjologicznej

    PRZEDZIAŁ UFNOŚCI- sposób estymacji parametrów różniący się od estymacji punktowej. Niech próbka x1, . . ., xn z rozkładu o gęstości prawdopodobieństwa f(x, α), oraz estymator a*=a*(x1, . . ., xn) α, g(a*, α) estymator gęstości prawdopodobieństwa. Szuka… … Encyklopedia geologiczna

    PRZEDZIAŁ UFNOŚCI- (przedział ufności) Przedział, w którym rzetelność wartości parametru dla populacji uzyskanej na podstawie badania reprezentacyjnego ma określony stopień prawdopodobieństwa, np. 95%, co wynika z samej próby. Szerokość… … Słownik ekonomiczny

    przedział ufności- jest przedziałem, w którym przy zadanym prawdopodobieństwie ufności mieści się prawdziwa wartość wyznaczonej wielkości. Chemia ogólna: podręcznik / A. V. Zholnin ... Terminy chemiczne

    Przedział ufności CI- Przedział ufności, CI * przedział danych, CI * przedział ufności przedział wartości charakterystycznej, obliczony dla k.l. parametr rozkładu (na przykład średnia wartość cechy) w całej próbie i z pewnym prawdopodobieństwem (na przykład 95% dla 95% ... Genetyka. słownik encyklopedyczny

    PRZEDZIAŁ UFNOŚCI- koncepcja, która pojawia się przy estymacji parametru statystycznego. rozkład według przedziałów wartości. D. i. dla parametru q odpowiadającego temu współczynnikowi. zaufanie P jest równe takiemu przedziałowi (q1, q2), że dla dowolnego rozkładu prawdopodobieństwa nierówności... ... Encyklopedia fizyczna

    przedział ufności- - Tematyka telekomunikacji, podstawowe pojęcia EN przedział ufności... Przewodnik tłumacza technicznego

    przedział ufności- pasikliovimo interwalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčiųintervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: pol. przedział ufności vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

    przedział ufności- pasikliovimo interwalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių interwalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: pol. przedział ufności ros. obszar zaufania; przedział ufności... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Konstruujemy przedział ufności w programie MS EXCEL w celu oszacowania wartości średniej rozkładu w przypadku znanej wartości dyspersji.

Oczywiście, że wybór poziom zaufania całkowicie zależy od rozwiązywanego problemu. Zatem stopień zaufania pasażera lotniczego do niezawodności samolotu powinien być niewątpliwie wyższy niż stopień zaufania kupującego do niezawodności żarówki elektrycznej.

Sformułowanie problemu

Załóżmy, że od populacja zostały podjęte próbka rozmiar nr. Zakłada się, że odchylenie standardowe ten rozkład jest znany. Na tej podstawie jest to konieczne próbki ocenić nieznane średnia dystrybucji(μ, ) i skonstruuj odpowiednie dwustronna przedział ufności.

Punktowe oszacowanie

Jak wiadomo z Statystyka(oznaczmy to X średnio) Jest bezstronne oszacowanie średniej Ten populacja i ma rozkład N(μ;σ 2 /n).

Notatka: Co zrobić, jeśli musisz zbudować przedział ufności w przypadku dystrybucji nie jest normalna? W tym przypadku na ratunek przychodzi stwierdzenie, że ma on odpowiednio duży rozmiar próbki n z dystrybucji nie będąc normalna, przykładowy rozkład statystyk X śr będzie około korespondować normalna dystrybucja o parametrach N(μ;σ 2 /n).

Więc, Punktowe oszacowanie przeciętny wartości dystrybucji mamy - to średnia próbki, tj. X średnio. Teraz zacznijmy przedział ufności.

Konstruowanie przedziału ufności

Zwykle znając rozkład i jego parametry, możemy obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z określonego przez nas przedziału. Teraz zróbmy odwrotnie: znajdź przedział, w którym zmienna losowa będzie przypadać z danym prawdopodobieństwem. Na przykład z właściwości normalna dystrybucja wiadomo, że z prawdopodobieństwem 95% rozłożona jest zmienna losowa normalne prawo, będzie mieścić się w przedziale około +/- 2 od Średnia wartość(patrz artykuł o). Ten przedział będzie dla nas prototypem przedział ufności.

Zobaczmy teraz, czy znamy rozkład , obliczyć ten odstęp? Aby odpowiedzieć na pytanie, należy wskazać kształt rozkładu i jego parametry.

Znamy formę dystrybucji - to jest normalna dystrybucja(pamiętaj, że mówimy o dystrybucja próbek Statystyka X średnio).

Parametr μ nie jest nam znany (wystarczy go oszacować za pomocą przedział ufności), ale mamy jego szacunki X średnio, obliczone na podstawie próbki, które można wykorzystać.

Drugi parametr - odchylenie standardowe średniej próbki uznamy to za znane, jest równe σ/√n.

Ponieważ nie wiemy μ, to zbudujemy przedział +/- 2 odchylenia standardowe nie z Średnia wartość oraz na podstawie znanych szacunków X średnio. Te. przy obliczaniu przedział ufności NIE założymy tego X średnio mieści się w przedziale +/- 2 odchylenia standardowe od μ z prawdopodobieństwem 95% i założymy, że przedział wynosi +/- 2 odchylenia standardowe z X średnio z 95% prawdopodobieństwem obejmie μ – średnia dla populacji ogólnej, z którego jest pobierane próbka. Te dwa stwierdzenia są równoważne, ale drugie stwierdzenie pozwala nam skonstruować przedział ufności.

Dodatkowo wyjaśnijmy sobie przedział: zmienną losową rozłożoną na przestrzeni normalne prawo, z prawdopodobieństwem 95% mieści się w przedziale +/- 1,960 odchylenia standardowe, nie +/- 2 odchylenia standardowe. Można to obliczyć za pomocą wzoru =NORMALNY.ST.REV((1+0,95)/2), cm. przykładowy plik Przedział arkusza.

Teraz możemy sformułować stwierdzenie probabilistyczne, które posłuży nam do uformowania przedział ufności:
„Prawdopodobieństwo, że średnia populacji położony od średnia próbki w ciągu 1960" odchylenia standardowe średniej próbki” równy 95%”.

Wartość prawdopodobieństwa wymieniona w zestawieniu ma specjalną nazwę , z czym się wiąże poziom istotności α (alfa) za pomocą prostego wyrażenia poziom zaufania =1 -α . W naszym przypadku poziom istotności α =1-0,95=0,05 .

Teraz, w oparciu o to probabilistyczne stwierdzenie, piszemy wyrażenie do obliczeń przedział ufności:

gdzie Z α/2 – standard normalna dystrybucja(ta wartość zmiennej losowej z, Co P(z>=Z α/2 )=α/2).

Notatka: Górny kwantyl α/2 określa szerokość przedział ufności V odchylenia standardowe średnia próbki. Górny kwantyl α/2 standard normalna dystrybucja zawsze większa niż 0, co jest bardzo wygodne.

W naszym przypadku, przy α=0,05, górny kwantyl α/2 wynosi 1,960. Dla pozostałych poziomów istotności α (10%; 1%) górny kwantyl α/2 Z α/2 można obliczyć za pomocą wzoru =NORMAL.ST.REV(1-α/2) lub, jeśli jest znany poziom zaufania, =NORMALNY.ST.OBR((1+poziom zaufania)/2).

Zwykle podczas budowy przedziały ufności do oszacowania średniej tylko do użytku górna alfa/2-kwantyl i nie używaj niższe α/2-kwantyl. Jest to możliwe, ponieważ standard normalna dystrybucja symetrycznie względem osi x ( jego gęstość dystrybucji symetryczny w przybliżeniu średni, tj. 0). Dlatego nie ma potrzeby obliczania niższy kwantyl α/2(nazywa się to po prostu α /2-kwantyl), ponieważ jest równe górna alfa/2-kwantyl ze znakiem minus.

Przypomnijmy, że niezależnie od kształtu rozkładu wartości x, odpowiada jej zmienna losowa X średnio Rozpowszechniane około Cienki N(μ;σ 2 /n) (patrz artykuł na temat). Dlatego ogólnie powyższe wyrażenie dla przedział ufności jest jedynie przybliżeniem. Jeśli wartość x jest rozłożona na normalne prawo N(μ;σ 2 /n), wówczas wyrażenie na przedział ufności Jest dokładna.

Obliczanie przedziału ufności w programie MS EXCEL

Rozwiążmy problem.
Czas reakcji elementu elektronicznego na sygnał wejściowy jest ważną cechą urządzenia. Inżynier chce skonstruować przedział ufności dla średniego czasu reakcji na poziomie ufności 95%. Z wcześniejszych doświadczeń inżynier wie, że odchylenie standardowe czasu odpowiedzi wynosi 8 ms. Wiadomo, że do oceny czasu reakcji inżynier wykonał 25 pomiarów, średnia wartość wyniosła 78 ms.

Rozwiązanie: Inżynier chce poznać czas reakcji urządzenia elektronicznego, ale rozumie, że czas reakcji nie jest wartością stałą, ale zmienną losową, która ma swój własny rozkład. Jedyne, na co może więc liczyć, to określenie parametrów i kształtu tego rozkładu.

Niestety z warunków problemowych nie znamy kształtu rozkładu czasu odpowiedzi (nie musi tak być normalna). , rozkład ten jest również nieznany. Znany jest tylko on odchylenie standardoweσ=8. Dlatego chociaż nie możemy obliczyć prawdopodobieństw i skonstruować przedział ufności.

Jednak pomimo tego, że nie znamy dystrybucji czas osobna odpowiedź, wiemy, że wg CPT, dystrybucja próbek średni czas reakcji jest w przybliżeniu normalna(założymy, że warunki CPT są realizowane, ponieważ rozmiar próbki dość duży (n=25)) .

Ponadto, przeciętny rozkład ten jest równy Średnia wartość dystrybucja pojedynczej odpowiedzi, tj. μ. A odchylenie standardowe tego rozkładu (σ/√n) można obliczyć ze wzoru =8/ROOT(25) .

Wiadomo również, że inżynier otrzymał Punktowe oszacowanie parametr μ równy 78 ms (X avg). Dlatego teraz możemy obliczyć prawdopodobieństwa, ponieważ znamy formę dystrybucji ( normalna) i jego parametry (X avg i σ/√n).

Inżynier chce wiedzieć wartość oczekiwana rozkłady czasu odpowiedzi μ. Jak stwierdzono powyżej, to μ jest równe matematyczne oczekiwanie rozkładu próbki średniego czasu odpowiedzi. Jeśli użyjemy normalna dystrybucja N(X avg; σ/√n), to pożądane μ będzie mieściło się w przedziale +/-2*σ/√n z prawdopodobieństwem około 95%.

Poziom istotności równa się 1-0,95=0,05.

Na koniec znajdźmy lewą i prawą granicę przedział ufności.
Lewa granica: =78-NORMALNY.ST.REV(1-0,05/2)*8/ROOT(25) = 74,864
Prawa granica: =78+NORMALNY.ROOT.INV(1-0,05/2)*8/ROOT(25)=81,136

Lewa granica: =NORMALNY.OBRÓT(0,05/2; 78; 8/ROOT(25))
Prawa granica: =NORMALNY.OBRÓT(1-0,05/2; 78; 8/ROOT(25))

Odpowiedź: przedział ufności Na Poziom ufności 95% i σ=8msek równa się 78+/-3,136 ms.

W przykładowy plik na arkuszu Sigma znany, stworzył formularz do obliczeń i konstrukcji dwustronna przedział ufności za dowolne próbki z danym σ i poziom istotności.

Funkcja UFNOŚĆ.NORMALNA().

Jeśli wartości próbki są w zasięgu B20:B79 , A poziom istotności równy 0,05; następnie formuła MS EXCEL:
=ŚREDNIA(B20:B79)-NORMA UFNOŚCI(0,05;σ; LICZBA(B20:B79))
zwróci lewą granicę przedział ufności.

Ten sam limit można obliczyć korzystając ze wzoru:
=ŚREDNIA(B20:B79)-NORMAL.ST.REV(1-0,05/2)*σ/ROOT(LICZBA(B20:B79))

Notatka: Funkcja CONFIDENCE.NORM() pojawiła się w MS EXCEL 2010. We wcześniejszych wersjach MS EXCEL używana była funkcja TRUST().

W poprzednich podrozdziałach rozważaliśmy kwestię estymacji nieznanego parametru A jeden numer. Nazywa się to oszacowaniem „punktowym”. W wielu zadaniach trzeba nie tylko znaleźć parametr A odpowiednią wartość liczbową, ale także ocenę jego dokładności i wiarygodności. Trzeba wiedzieć do jakich błędów może doprowadzić zmiana parametru A jego oszacowanie punktowe A oraz z jakim stopniem pewności możemy oczekiwać, że błędy te nie przekroczą znanych limitów?

Problemy tego rodzaju są szczególnie istotne w przypadku małej liczby obserwacji, gdy oszacowanie punktowe i w jest w dużej mierze losowe i przybliżone zastąpienie a może prowadzić do poważnych błędów.

Aby dać wyobrażenie o dokładności i wiarygodności oszacowania A,

W statystyce matematycznej stosuje się tzw. przedziały ufności i prawdopodobieństwa ufności.

Niech dla parametru A bezstronny szacunek uzyskany z doświadczenia A. Chcemy oszacować możliwy błąd w tym przypadku. Przypiszmy jakieś wystarczająco duże prawdopodobieństwo p (na przykład p = 0,9, 0,95 lub 0,99), aby zdarzenie z prawdopodobieństwem p można było uznać za praktycznie pewne i znajdźmy wartość s, dla której

Następnie zakres praktycznie możliwych wartości błędu powstałego podczas wymiany A NA A, będzie ± s; Duże błędy w wartości bezwzględnej pojawią się tylko z małym prawdopodobieństwem a = 1 - p. Przepiszmy (14.3.1) jako:

Równość (14.3.2) oznacza, że ​​z prawdopodobieństwem p nieznana wartość parametru A mieści się w przedziale

Należy zwrócić uwagę na jedną okoliczność. Wcześniej wielokrotnie rozważaliśmy prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w danym nielosowym przedziale. Tutaj sytuacja jest inna: wielkość A nie jest losowy, ale przedział /p jest losowy. Jego położenie na osi x jest losowe i zależy od jego środka A; Ogólnie rzecz biorąc, długość przedziału 2s jest również losowa, ponieważ wartość s jest obliczana z reguły na podstawie danych eksperymentalnych. Dlatego w tym przypadku lepiej byłoby interpretować wartość p, a nie jako prawdopodobieństwo „trafienia” w punkt A w przedziale /p oraz jako prawdopodobieństwo, że losowy przedział /p obejmie punkt A(Rys. 14.3.1).

Ryż. 14.3.1

Zwykle nazywa się prawdopodobieństwo p prawdopodobieństwo pewności i przedział / p - przedział ufności. Granice przedziałów Jeśli. a x = a- i za 2 = za + i są tzw granice zaufania.

Podajmy inną interpretację pojęcia przedziału ufności: można go uznać za przedział wartości parametrów A, zgodne z danymi eksperymentalnymi i nie zaprzeczające im. Rzeczywiście, jeśli zgodzimy się uznać zdarzenie z prawdopodobieństwem a = 1-p praktycznie niemożliwe, to te wartości parametru a, dla których a - a> s należy uznać za sprzeczne z danymi eksperymentalnymi oraz takie, dla których |a - A na 2 .

Niech dla parametru A istnieje bezstronny szacunek A. Gdybyśmy znali prawo podziału ilości A, zadanie znalezienia przedziału ufności byłoby bardzo proste: wystarczyłoby znaleźć wartość s, dla której

Trudność polega na tym, że prawo rozkładu szacunków A zależy od prawa podziału ilości X a zatem na jego nieznanych parametrach (w szczególności na samym parametrze A).

Aby obejść tę trudność, można zastosować następującą, w przybliżeniu przybliżoną technikę: zastąp nieznane parametry w wyrażeniu dla s ich oszacowaniami punktowymi. Przy stosunkowo dużej liczbie eksperymentów P(około 20...30) technika ta zazwyczaj daje wyniki zadowalające pod względem dokładności.

Jako przykład rozważmy problem przedziału ufności dla oczekiwań matematycznych.

Niech się wyprodukuje P X, których charakterystyka jest oczekiwaniem matematycznym T i wariancja D- nieznany. Dla tych parametrów uzyskano następujące szacunki:

Wymagane jest skonstruowanie przedziału ufności /p odpowiadającego prawdopodobieństwu ufności p dla oczekiwań matematycznych T wielkie ilości X.

Rozwiązując to zadanie skorzystamy z faktu, że ilość T reprezentuje sumę P niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie Xh i zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym dla wystarczająco dużego P jego prawo dystrybucji jest zbliżone do normalnego. W praktyce, nawet przy stosunkowo niewielkiej liczbie wyrazów (około 10...20), prawo podziału sumy można w przybliżeniu uznać za normalne. Zakładamy, że wartość T rozdzielone zgodnie z prawem normalnym. Charakterystyki tego prawa – matematyczne oczekiwanie i wariancja – są odpowiednio równe T I

(patrz rozdział 13, podpunkt 13.3). Załóżmy, że wartość D znamy i znajdziemy wartość Ep dla której

Korzystając ze wzoru (6.3.5) z rozdziału 6, wyrażamy prawdopodobieństwo po lewej stronie (14.3.5) poprzez funkcję rozkładu normalnego

gdzie jest odchyleniem standardowym oszacowania T.

Z równania

znajdź wartość Sp:

gdzie arg Ф* (х) jest funkcją odwrotną Ф* (X), te. taka wartość argumentu, dla której równa jest funkcja rozkładu normalnego X.

Dyspersja D, za pomocą którego wyrażana jest ilość A 1P, nie wiemy dokładnie; jako jego przybliżoną wartość można posłużyć się oszacowaniem D(14.3.4) i umieść w przybliżeniu:

W ten sposób problem konstrukcji przedziału ufności został w przybliżeniu rozwiązany, który jest równy:

gdzie gp określa się wzorem (14.3.7).

Aby uniknąć odwrotnej interpolacji w tabelach funkcji Ф* (l) przy obliczaniu s p, wygodnie jest skompilować specjalną tabelę (tabela 14.3.1), która podaje wartości wielkości

w zależności od r. Wartość (p określa dla prawa normalnego liczbę odchyleń standardowych, które należy wykreślić w prawo i w lewo od środka dyspersji, aby prawdopodobieństwo dostania się do otrzymanego obszaru było równe p.

Stosując wartość 7 p, przedział ufności wyraża się jako:

Tabela 14.3.1

Przykład 1. Przeprowadzono 20 eksperymentów ilościowych X; wyniki przedstawiono w tabeli. 14.3.2.

Tabela 14.3.2

Wymagane jest znalezienie oszacowania na podstawie matematycznego oczekiwania wielkości X i skonstruuj przedział ufności odpowiadający prawdopodobieństwu ufności p = 0,8.

Rozwiązanie. Mamy:

Wybierając l: = 10 jako punkt odniesienia, korzystając z trzeciego wzoru (14.2.14) znajdujemy nieobciążone oszacowanie D :

Według tabeli 14.3.1 znajdujemy

Granice zaufania:

Przedział ufności:

Wartości parametrów T, mieszczące się w tym przedziale są zgodne z danymi eksperymentalnymi podanymi w tabeli. 14.3.2.

W podobny sposób można skonstruować przedział ufności dla wariancji.

Niech się wyprodukuje P niezależne eksperymenty na zmiennej losowej X z nieznanymi parametrami zarówno dla A, jak i dyspersji D uzyskano bezstronny szacunek:

Wymagane jest w przybliżeniu skonstruowanie przedziału ufności dla wariancji.

Ze wzoru (14.3.11) wynika, że ​​ilość D reprezentuje

kwota P zmienne losowe postaci . Te wartości nie są

niezależny, ponieważ którykolwiek z nich zawiera ilość T, zależny od wszystkich innych. Można jednak wykazać, że wraz ze wzrostem P prawo podziału ich sumy również zbliża się do normalnego. Prawie o godz P= 20...30 to już można uznać za normalne.

Załóżmy, że tak jest i znajdźmy cechy tego prawa: matematyczne oczekiwanie i rozproszenie. Od oceny D- zatem bezstronny M[D] = D.

Obliczanie wariancji D D wiąże się ze stosunkowo złożonymi obliczeniami, dlatego przedstawiamy jego wyrażenie bez wyprowadzenia:

gdzie q 4 jest czwartym centralnym momentem wielkości X.

Aby użyć tego wyrażenia, należy zastąpić wartości \u003d 4 i D(przynajmniej bliscy). Zamiast D możesz skorzystać z jego oceny D. W zasadzie czwarty moment centralny można również zastąpić oszacowaniem, na przykład wartością postaci:

ale taka zamiana zapewni wyjątkowo niską dokładność, ponieważ ogólnie przy ograniczonej liczbie eksperymentów momenty wyższego rzędu są określane z dużymi błędami. Jednak w praktyce często zdarza się, że rodzaj prawa podziału ilościowego X znane z góry: nieznane są jedynie jego parametry. Następnie możesz spróbować wyrazić μ 4 poprzez D.

Weźmy najczęstszy przypadek, gdy wartość X rozdzielone zgodnie z prawem normalnym. Następnie jego czwarty moment centralny wyraża się w postaci rozproszenia (patrz rozdział 6, podrozdział 6.2);

i wzór (14.3.12) daje Lub

Zastępowanie nieznanego w (14.3.14) D jego ocenę D, dostajemy: skąd

Moment μ 4 można wyrazić poprzez D także w niektórych innych przypadkach, gdy rozkład wartości X nie jest normalne, ale znany jest jego wygląd. Na przykład dla prawa gęstości jednorodnej (patrz rozdział 5) mamy:

gdzie (a, P) jest przedziałem, dla którego określone jest prawo.

Stąd,

Korzystając ze wzoru (14.3.12) otrzymujemy: gdzie znajdziemy w przybliżeniu

W przypadkach, gdy nie jest znany rodzaj prawa podziału dla wielkości 26, przy przybliżonym oszacowaniu wartości a/) nadal zaleca się stosowanie wzoru (14.3.16), chyba że istnieją szczególne podstawy, aby sądzić, że to prawo bardzo różni się od normalnej (ma zauważalną kurtozę dodatnią lub ujemną).

Jeśli przybliżoną wartość a/) uzyskamy w ten czy inny sposób, wówczas możemy skonstruować przedział ufności dla wariancji w taki sam sposób, jak zbudowaliśmy go dla oczekiwań matematycznych:

gdzie zgodnie z tabelą znajduje się wartość zależną od danego prawdopodobieństwa p. 14.3.1.

Przykład 2. Znajdź w przybliżeniu 80% przedział ufności dla wariancji zmiennej losowej X w warunkach z przykładu 1, jeśli wiadomo, że wartość X rozłożone zgodnie z prawem zbliżonym do normalnego.

Rozwiązanie. Wartość pozostaje taka sama jak w tabeli. 14.3.1:

Zgodnie ze wzorem (14.3.16)

Korzystając ze wzoru (14.3.18) znajdujemy przedział ufności:

Odpowiedni zakres wartości odchylenia standardowego: (0,21; 0,29).

14.4. Dokładne metody konstruowania przedziałów ufności dla parametrów zmiennej losowej o rozkładzie normalnym

W poprzednim podrozdziale zbadaliśmy mniej więcej przybliżone metody konstruowania przedziałów ufności dla matematycznych oczekiwań i wariancji. Tutaj przedstawimy dokładne metody rozwiązania tego samego problemu. Podkreślamy, że aby dokładnie znaleźć przedziały ufności, należy koniecznie znać z góry postać prawa dystrybucji wielkości X, podczas gdy w przypadku stosowania metod przybliżonych nie jest to konieczne.

Idea dokładnych metod konstruowania przedziałów ufności sprowadza się do następujących kwestii. Dowolny przedział ufności wyznacza się z warunku wyrażającego prawdopodobieństwo spełnienia określonych nierówności, do których zalicza się interesujące nas oszacowanie A. Prawo dystrybucji wartości A w ogólnym przypadku zależy od nieznanych parametrów wielkości X. Czasami jednak możliwe jest przekazanie nierówności ze zmiennej losowej A do jakiejś innej funkcji obserwowanych wartości X p X 2, ..., X s. którego prawo dystrybucji nie zależy od nieznanych parametrów, ale zależy tylko od liczby eksperymentów i rodzaju prawa dystrybucji wielkości X. Tego rodzaju zmienne losowe odgrywają ważną rolę w statystyce matematycznej; zostały one zbadane najbardziej szczegółowo w przypadku rozkładu normalnego wielkości X.

Udowodniono na przykład, że przy normalnym rozkładzie wartości X wartość losowa

przestrzega tzw Prawo dotyczące dystrybucji studentów Z P- 1 stopień swobody; gęstość tego prawa ma postać

gdzie G(x) jest znaną funkcją gamma:

Udowodniono również, że zmienna losowa

ma „dystrybucję% 2” z P- 1 stopień swobody (patrz rozdział 7), którego gęstość wyraża się wzorem

Nie wnikając w wyprowadzenia rozkładów (14.4.2) i (14.4.4), pokażemy, jak można je zastosować przy konstruowaniu przedziałów ufności dla parametrów ty D.

Niech się wyprodukuje P niezależne eksperymenty na zmiennej losowej X, rozkład normalny z nieznanymi parametrami DO. Dla tych parametrów uzyskano szacunki

Należy skonstruować przedziały ufności dla obu parametrów odpowiadających prawdopodobieństwu ufności p.

Najpierw skonstruujmy przedział ufności dla oczekiwań matematycznych. Naturalne jest, aby przyjąć ten przedział symetrycznie względem T; niech s p oznacza połowę długości przedziału. Wartość s p należy tak dobrać, aby warunek był spełniony

Spróbujmy przejść na lewą stronę równości (14.4.5) od zmiennej losowej T do zmiennej losowej T, dystrybuowane zgodnie z prawem Studenta. Aby to zrobić, pomnóż obie strony nierówności |m-w?|

o wartość dodatnią: lub używając notacji (14.4.1),

Znajdźmy liczbę / p taką, że wartość / p można znaleźć z warunku

Ze wzoru (14.4.2) wynika, że ​​(1) jest funkcją parzystą, zatem (14.4.8) daje

Równość (14.4.9) określa wartość / p w zależności od p. Jeśli masz do dyspozycji tabelę wartości całkowitych

wówczas wartość /p można znaleźć w tabeli poprzez odwrotną interpolację. Jednak wygodniej jest wcześniej sporządzić tabelę wartości /p. Taka tabela znajduje się w dodatku (tabela 5). Ta tabela pokazuje wartości w zależności od poziomu ufności p i liczby stopni swobody P- 1. Po ustaleniu / p z tabeli. 5 i zakładamy

znajdziemy połowę szerokości przedziału ufności / p i sam przedział

Przykład 1. Przeprowadzono 5 niezależnych eksperymentów na zmiennej losowej X, rozkład normalny z nieznanymi parametrami T i o. Wyniki doświadczeń podano w tabeli. 14.4.1.

Tabela 14.4.1

Znajdź ocenę T dla oczekiwania matematycznego i skonstruuj dla niego 90% przedział ufności / p (tj. przedział odpowiadający prawdopodobieństwu ufności p = 0,9).

Rozwiązanie. Mamy:

Zgodnie z tabelą 5 wniosku o dot P - 1 = 4 i p = 0,9 znajdujemy Gdzie

Przedział ufności będzie wynosił

Przykład 2. Dla warunków przykładu 1 z podrozdziału 14.3, przyjmując wartość X rozkład normalny, znajdź dokładny przedział ufności.

Rozwiązanie. Według tabeli 5 w załączniku dowiadujemy się kiedy P - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; stąd

Porównując z rozwiązaniem przykładu 1 z podrozdziału 14.3 (e p = 0,072) jesteśmy przekonani, że rozbieżność jest bardzo niewielka. Jeśli zachowamy dokładność do drugiego miejsca po przecinku, wówczas przedziały ufności znalezione metodami dokładnymi i przybliżonymi pokrywają się:

Przejdźmy do konstruowania przedziału ufności dla wariancji. Rozważmy nieobciążony estymator wariancji

i wyrazić zmienną losową D poprzez wielkość V(14.4.3), mający rozkład x 2 (14.4.4):

Znajomość prawa podziału ilości V, możesz znaleźć przedział /(1), w którym mieści się on z danym prawdopodobieństwem p.

Prawo dystrybucji kn_x(v) wielkość I 7 ma postać pokazaną na ryc. 14.4.1.

Ryż. 14.4.1

Powstaje pytanie: jak wybrać przedział/p? Jeśli prawo rozkładu wielkości V był symetryczny (jak prawo normalne lub rozkład Studenta), naturalnym byłoby przyjęcie przedziału /p symetrycznego względem oczekiwań matematycznych. W tym wypadku prawo k p_x (v) asymetryczny. Zgódźmy się na taki wybór przedziału /p, aby prawdopodobieństwo wartości było V poza odstępem po prawej i lewej stronie (zacienione obszary na ryc. 14.4.1) były takie same i równe

Aby skonstruować przedział /p z tą właściwością, skorzystamy z tabeli. 4 zastosowania: zawiera cyfry y) takie, że

dla wartości V, mający rozkład x 2 z r stopniami swobody. W naszym przypadku r = n- 1. Naprawmy r = n- 1 i znajdź w odpowiednim wierszu tabeli. 4 dwa znaczenia x 2 - jedno odpowiada prawdopodobieństwu, drugie prawdopodobieństwu. Oznaczmy je

wartości o 2 I XL? Przerwa ma y 2, z lewą stroną i y~ prawy koniec.

Znajdźmy teraz z przedziału / p pożądany przedział ufności /| dla dyspersji z granicami D i D2, co obejmuje ten punkt D z prawdopodobieństwem p:

Skonstruujmy przedział / (, = (?> ь А) obejmujący ten punkt D wtedy i tylko wtedy, gdy wartość V mieści się w przedziale /r. Pokażmy, że przedział

spełnia ten warunek. Faktycznie, nierówności są równoważne nierównościom

i nierówności te są spełnione z prawdopodobieństwem p. W ten sposób wyznaczono przedział ufności dla wariancji, który wyraża się wzorem (14.4.13).

Przykład 3. Znajdź przedział ufności dla wariancji w warunkach z przykładu 2 z podrozdziału 14.3, jeśli wiadomo, że wartość X normalnie dystrybuowane.

Rozwiązanie. Mamy . Zgodnie z tabelą 4 w załączniku

znajdziemy na r = n - 1 = 19

Korzystając ze wzoru (14.4.13) znajdujemy przedział ufności dla wariancji

Odpowiedni przedział odchylenia standardowego wynosi (0,21; 0,32). Przedział ten tylko nieznacznie przekracza przedział (0,21; 0,29) uzyskany w przykładzie 2 z podrozdziału 14.3 metodą przybliżoną.

  • Rysunek 14.3.1 przedstawia przedział ufności symetryczny względem a. Ogólnie rzecz biorąc, jak zobaczymy później, nie jest to konieczne.
Przedział ufności– wartości graniczne wielkości statystycznej, która przy danym prawdopodobieństwie ufności γ będzie znajdować się w tym przedziale przy próbkowaniu większej objętości. Oznaczane jako P(θ - ε. W praktyce prawdopodobieństwo ufności γ wybiera się spośród wartości całkiem bliskich jedności: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Cel usługi. Korzystając z tej usługi możesz określić:

  • przedział ufności dla średniej ogólnej, przedział ufności dla wariancji;
  • przedział ufności dla odchylenia standardowego, przedział ufności dla udziału ogólnego;
Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word (patrz przykład). Poniżej znajduje się filmowa instrukcja jak wypełnić dane początkowe.

Przykład nr 1. W kołchozowym stadzie liczącym 1000 owiec 100 owiec zostało poddanych selektywnemu strzyżeniu kontrolnemu. W rezultacie ustalono średni strzyżenie wełny na owcę na poziomie 4,2 kg. Wyznaczyć z prawdopodobieństwem 0,99 średni błąd kwadratowy próbki przy wyznaczaniu średniego strzyżenia wełny na owcę oraz granice, w jakich mieści się wartość strzyżenia, jeżeli wariancja wynosi 2,5. Próbka nie jest powtarzalna.
Przykład nr 2. Z partii importowanych produktów na placówce Moskiewskiego Północnego Urzędu Celnego pobrano 20 próbek produktu „A” w drodze losowego, powtarzanego pobierania próbek. W wyniku badania ustalono średnią wilgotność produktu „A” w próbce, która okazała się równa 6% przy odchyleniu standardowym 1%.
Wyznacz z prawdopodobieństwem 0,683 granice średniej wilgotności produktu w całej partii importowanych produktów.
Przykład nr 3. Badanie przeprowadzone na 36 studentach wykazało, że średnia liczba podręczników przeczytanych przez nich w ciągu roku akademickiego wyniosła 6. Zakładając, że liczba podręczników przeczytanych przez studenta w semestrze ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym równym 6, znajdź : A) z wiarygodnością oszacowania przedziałowego 0,99 dla matematycznego oczekiwania tej zmiennej losowej; B) z jakim prawdopodobieństwem można powiedzieć, że obliczona na podstawie tej próby średnia liczba podręczników przeczytanych przez studenta w semestrze będzie odbiegać od oczekiwań matematycznych w wartości bezwzględnej nie więcej niż o 2.

Klasyfikacja przedziałów ufności

Według rodzaju ocenianego parametru:

Według typu próbki:

  1. Przedział ufności dla nieskończonej próbki;
  2. Przedział ufności dla próbki końcowej;
Próbkę nazywa się ponownym próbkowaniem, jeśli wybrany obiekt zostanie zwrócony do populacji przed wybraniem kolejnego. Próbkę nazywa się niepowtarzalną, jeśli wybrany obiekt nie zostanie zwrócony do populacji. W praktyce zazwyczaj mamy do czynienia z próbkami jednorazowymi.

Obliczanie średniego błędu próbkowania dla losowego doboru próby

Nazywa się rozbieżność między wartościami wskaźników uzyskanych z próby a odpowiadającymi im parametrami populacji ogólnej błąd reprezentatywności.
Oznaczenia głównych parametrów populacji ogólnej i próbnej.
Wzory średniego błędu próbkowania
ponowny wybórpowtórzyć wybór
dla przeciętnegodo udostępnieniadla przeciętnegodo udostępnienia
Zależność między granicą błędu próbkowania (Δ) gwarantowana z pewnym prawdopodobieństwem Р(t), a średni błąd próbkowania ma postać: lub Δ = t·μ, gdzie T– współczynnik ufności, wyznaczany w zależności od poziomu prawdopodobieństwa P(t) zgodnie z tablicą całki Laplace’a.

Wzory do obliczania liczebności próby przy zastosowaniu metody doboru czysto losowego

Cel– uczyć studentów algorytmów obliczania przedziałów ufności parametrów statystycznych.

Przy statystycznym przetwarzaniu danych obliczona średnia arytmetyczna, współczynnik zmienności, współczynnik korelacji, kryteria różnicowe i inne statystyki punktowe powinny otrzymać ilościowe granice ufności, które wskazują możliwe wahania wskaźnika w mniejszych i większych kierunkach w obrębie przedziału ufności.

Przykład 3.1 . Jak ustalono wcześniej, rozkład wapnia w surowicy krwi małp charakteryzuje się następującymi wskaźnikami próbek: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; N= 100. Należy wyznaczyć przedział ufności dla średniej ogólnej ( ) z prawdopodobieństwem ufności P = 0,95.

Średnia ogólna z pewnym prawdopodobieństwem mieści się w przedziale:

, Gdzie – średnia arytmetyczna próbki; T– Test studenta; – błąd średniej arytmetycznej.

Korzystając z tabeli „Wartości testu t-Studenta” znajdujemy wartość z prawdopodobieństwem ufności 0,95 i liczbą stopni swobody k= 100-1 = 99. Jest równe 1,982. Razem z wartościami średniej arytmetycznej i błędu statystycznego podstawiamy to do wzoru:

lub 11,69
12,19

Zatem z prawdopodobieństwem 95% można stwierdzić, że ogólna średnia tego rozkładu normalnego mieści się w przedziale 11,69–12,19 mg%.

Przykład 3.2 . Określ granice 95% przedziału ufności dla wariancji ogólnej ( ) dystrybucja wapnia we krwi małp, jeśli to wiadomo
= 1,60, godz N = 100.

Aby rozwiązać problem, możesz użyć następującej formuły:

Gdzie – błąd statystyczny rozproszenia.

Błąd wariancji próbkowania wyznaczamy za pomocą wzoru:
. Jest równy 0,11. Oznaczający T- kryterium z prawdopodobieństwem ufności 0,95 i liczbą stopni swobody k= 100–1 = 99 jest znane z poprzedniego przykładu.

Skorzystajmy ze wzoru i otrzymajmy:

lub 1,38
1,82

Dokładniej, przedział ufności wariancji ogólnej można skonstruować za pomocą (chi-kwadrat) - test Pearsona. Punkty krytyczne dla tego kryterium podano w specjalnej tabeli. Podczas stosowania kryterium Do skonstruowania przedziału ufności stosuje się dwustronny poziom istotności. Dla dolnej granicy poziom istotności oblicza się ze wzoru
, na górze –
. Na przykład dla poziomu ufności = 0,99= 0,010,= 0,990. Odpowiednio, zgodnie z tabelą rozkładu wartości krytycznych , z obliczonymi poziomami ufności i liczbą stopni swobody k= 100 – 1= 99, znajdź wartości
I
. Dostajemy
wynosi 135,80, oraz
równa się 70,06.

Aby znaleźć granice ufności dla wariancji ogólnej, użyj: Skorzystajmy ze wzorów: dla dolnej granicy
, dla górnej granicy
. Zastąpmy znalezione wartości danymi problemu we wzory:
= 1,17;
= 2,26. Zatem z prawdopodobieństwem ufności P= 0,99 lub 99% wariancji ogólnej będzie mieścić się w zakresie od 1,17 do 2,26 mg% włącznie.

Przykład 3.3 . Spośród 1000 nasion pszenicy z partii przyjętej do elewatora, 120 nasion stwierdzono zakażonych sporyszem. Należy określić prawdopodobne granice ogólnego udziału porażonych nasion w danej partii pszenicy.

Wskazane jest określenie granic ufności udziału ogólnego dla wszystkich jego możliwych wartości za pomocą wzoru:

,

Gdzie N – liczba obserwacji; M– bezwzględna wielkość jednej z grup; T– odchylenie znormalizowane.

Proporcja próbki zakażonych nasion wynosi
lub 12%. Z prawdopodobieństwem ufnym R= 95% odchylenie znormalizowane ( T-Test studencki o godz k =
)T = 1,960.

Dostępne dane podstawiamy do wzoru:

Zatem granice przedziału ufności są równe = 0,122–0,041 = 0,081, czyli 8,1%; = 0,122 + 0,041 = 0,163, czyli 16,3%.

Zatem z prawdopodobieństwem ufności wynoszącym 95% można stwierdzić, że ogólny odsetek zakażonych nasion mieści się w przedziale od 8,1 do 16,3%.

Przykład 3.4 . Współczynnik zmienności charakteryzujący zmienność wapnia (mg%) w surowicy krwi małp wynosił 10,6%. Wielkość próbki N= 100. Konieczne jest określenie granic 95% przedziału ufności dla parametru ogólnego Cv.

Granice przedziału ufności dla ogólnego współczynnika zmienności Cv wyznaczane są za pomocą następujących wzorów:

I
, Gdzie K wartość pośrednia obliczona według wzoru
.

Wiedząc to z prawdopodobieństwem ufności R= 95% odchylenie znormalizowane (test Studenta godz k =
)T = 1,960, najpierw obliczmy wartość DO:

.

lub 9,3%

lub 12,3%

Zatem ogólny współczynnik zmienności przy 95% poziomie ufności mieści się w przedziale od 9,3 do 12,3%. Przy próbach powtarzanych współczynnik zmienności nie przekroczy 12,3% i nie będzie niższy niż 9,3% w 95 przypadkach na 100.

Pytania do samokontroli:

Problemy do samodzielnego rozwiązania.

1. Średnia zawartość tłuszczu w mleku w okresie laktacji krów mieszańców Kholmogory wynosiła: 3,4; 3,6; 3,2; 3.1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4.1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3.8. Ustal przedziały ufności dla średniej ogólnej na poziomie ufności 95% (20 punktów).

2. Na 400 roślinach żyta mieszańcowego pierwsze kwiaty pojawiały się średnio 70,5 dnia po siewie. Odchylenie standardowe wyniosło 6,9 dnia. Wyznacz błąd średniej i przedziałów ufności dla średniej ogólnej i wariancji na poziomie istotności W= 0,05 i W= 0,01 (25 punktów).

3. Badając długość liści 502 okazów truskawek ogrodowych uzyskano następujące dane: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 cm Wyznaczyć przedziały ufności dla średniej arytmetycznej populacji przy poziomie istotności 0,01; 0,02; 0,05. (25 punktów).

4. W badaniu przeprowadzonym na 150 dorosłych mężczyznach średni wzrost wynosił 167 cm, a σ = 6 cm Jakie są granice średniej ogólnej i ogólnej wariancji przy prawdopodobieństwie ufności 0,99 i 0,95? (25 punktów).

5. Rozkład wapnia w surowicy krwi małp charakteryzuje się następującymi wskaźnikami selektywnymi: = 11,94 mg%, σ = 1,27, N = 100. Skonstruuj 95% przedział ufności dla średniej ogólnej tego rozkładu. Oblicz współczynnik zmienności (25 punktów).

6. Badano zawartość azotu całkowitego w osoczu krwi szczurów albinosów w wieku 37 i 180 dni. Wyniki wyrażono w gramach na 100 cm3 osocza. W wieku 37 dni 9 szczurów miało: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. W wieku 180 dni 8 szczurów miało: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1.12. Ustaw przedziały ufności dla różnicy na poziomie ufności 0,95 (50 punktów).

7. Wyznaczyć granice 95% przedziału ufności dla ogólnej wariancji rozkładu wapnia (mg%) w surowicy krwi małp, jeżeli dla tego rozkładu wielkość próby wynosi n = 100, błąd statystyczny wariancji próbki S σ 2 = 1,60 (40 punktów).

8. Wyznacz granice 95% przedziału ufności dla ogólnej wariancji rozkładu 40 kłosków pszenicy na długości (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 punktów).

9. Za główny czynnik predysponujący do obturacyjnych chorób płuc uważa się palenie tytoniu. Bierne palenie nie jest uważane za taki czynnik. Naukowcy wątpili w nieszkodliwość biernego palenia i badali drożność dróg oddechowych osób niepalących, biernych i aktywnych palaczy. Aby scharakteryzować stan dróg oddechowych, przyjęliśmy jeden ze wskaźników funkcji oddychania zewnętrznego - maksymalne objętościowe natężenie przepływu w połowie wydechu. Spadek tego wskaźnika jest oznaką niedrożności dróg oddechowych. Dane z ankiety przedstawiono w tabeli.

Liczba przebadanych osób

Maksymalne natężenie przepływu środkowo-wydechowego, l/s

Odchylenie standardowe

Osoby niepalące

pracować w strefie dla niepalących

praca w zadymionym pomieszczeniu

Palenie

palić niewielką liczbę papierosów

średnia liczba palaczy papierosów

palić dużą liczbę papierosów

Korzystając z danych tabeli, znajdź 95% przedziały ufności dla ogólnej średniej i ogólnej wariancji dla każdej grupy. Jakie są różnice pomiędzy grupami? Przedstaw wyniki w formie graficznej (25 punktów).

10. Wyznaczyć granice przedziałów ufności 95% i 99% dla ogólnej wariancji liczby prosiąt w 64 porodach, jeżeli błąd statystyczny wariancji próby S σ 2 = 8,25 (30 punktów).

11. Wiadomo, że średnia waga królików wynosi 2,1 kg. Wyznacz granice przedziałów ufności 95% i 99% dla średniej ogólnej i wariancji przy N= 30, σ = 0,56 kg (25 punktów).

12. Zmierzono zawartość ziarna w kłosie dla 100 kłosów ( X), długość ucha ( Y) i masę ziarna w kłosie ( Z). Znajdź przedziały ufności dla średniej ogólnej i wariancji w P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999 jeśli = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2,111, σ z 2 = 0,064, (25 punktów).

13. W 100 losowo wybranych kłosach pszenicy ozimej policzono liczbę kłosków. Próbną populację charakteryzowały następujące wskaźniki: = 15 kłosków i σ = 2,28 szt. Określ, z jaką dokładnością uzyskano średni wynik ( ) i skonstruuj przedział ufności dla średniej ogólnej i wariancji na poziomach istotności 95% i 99% (30 punktów).

14. Liczba żeber na muszlach mięczaków kopalnych Orthambonity kaligram:

Wiadomo, że N = 19, σ = 4,25. Wyznacz granice przedziału ufności dla średniej ogólnej i ogólnej wariancji na poziomie istotności W = 0,01 (25 punktów).

15. W celu określenia wydajności mlecznej w towarowym gospodarstwie mlecznym określono produkcyjność 15 krów dziennie. Według danych za rok każda krowa dawała średnio dziennie następującą ilość mleka (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; trzydzieści; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Konstruować przedziały ufności dla wariancji ogólnej i średniej arytmetycznej. Czy możemy spodziewać się, że średnioroczna wydajność mleka od krowy wyniesie 10 000 litrów? (50 punktów).

16. W celu ustalenia średniego plonu pszenicy w gospodarstwie rolnym koszono na poletkach próbnych o powierzchni 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 i 2 ha. Wydajność (c/ha) z działek wyniosła 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; odpowiednio 29. Konstruuj przedziały ufności dla wariancji ogólnej i średniej arytmetycznej. Czy możemy się spodziewać, że średni plon rolniczy wyniesie 42 c/ha? (50 punktów).