Skończona pochodna w punkcie. Pochodna funkcji

Operację znajdowania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znalezienia pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji z definicji pochodnej jako granicę stosunku przyrostu do przyrostu argumentu pojawiła się tabela pochodnych i dokładnie pewne zasady różnicowanie. Pierwszymi, którzy zajęli się znajdowaniem pochodnych byli Izaak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie trzeba obliczać wspomnianej powyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, a wystarczy skorzystać z tabeli pochodne i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znajdowania pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem pierwszym rozkładanie prostych funkcji na komponenty i określ, jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Dalsze pochodne funkcje elementarne znajdujemy w tabeli pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu znajdują się w regułach różniczkowania. Tablicę pochodnych i zasady różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Z zasad różniczkowania dowiadujemy się, że pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych funkcji, tj.

Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „x” jest równa jeden, a pochodna sinusa jest równa cosinus. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek zadania:

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Różniczkujemy jako pochodną sumy, w której drugi wyraz ma stały współczynnik, można go wyprowadzić ze znaku pochodnej:

Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, zwykle wyjaśnia się je po zapoznaniu się z tabelą pochodnych i najprostszymi regułami różniczkowania. Właśnie do nich przechodzimy.

Tabela pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...) występująca w wyrażeniu funkcji. Zawsze równe zeru. Warto o tym pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „X”. Zawsze równy jeden. To także warto zapamiętać na długo
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz przekształcić pierwiastki inne niż kwadratowe w potęgi.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastka kwadratowego
6. Pochodna sinusa
7. Pochodna cosinusa
8. Pochodna tangensa
9. Pochodna kotangensu
10. Pochodna arcsine
11. Pochodna arcus cosinus
12. Pochodna arcustangens
13. Pochodna cotangensu łukowego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcja wykładnicza

Zasady różnicowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały współczynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to funkcje są różniczkowalne w tym samym punkcie

I

te. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa suma algebraiczna pochodne tych funkcji.

Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się składnikiem stałym, to ich pochodne są równe, tj.

Zasada 2.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to ich iloczyn jest różniczkowalny w tym samym punkcie

I

te. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Wniosek 1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego czynnika i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3.Jeśli funkcje

w pewnym momencie różniczkowalne I , to w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalnyu/v i

te. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedni licznik.

Gdzie szukać rzeczy na innych stronach

Podczas znajdowania pochodnej produktu i ilorazu w prawdziwe problemy Dlatego zawsze konieczne jest zastosowanie kilku reguł różnicowania jednocześnie więcej przykładów dla tych pochodnych – w artykule"Pochodna iloczynu i iloraz funkcji " .

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) z wyrazem sumy i stałym czynnikiem! W przypadku terminu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku stały czynnik jest on usuwany ze znaku pochodnej. Ten typowy błąd, który następuje etap początkowy studiując instrumenty pochodne, ale rozwiązując kilka jedno- i dwuczęściowych przykładów, przeciętny student nie popełnia już tego błędu.

A jeśli różnicując iloczyn lub iloraz, masz termin ty"w, w którym ty- liczba, na przykład 2 lub 5, czyli stała, wtedy pochodna tej liczby będzie równa zeru i dlatego cały wyraz będzie równy zero (przypadek ten omówiono w przykładzie 10).

Inny częsty błąd- mechaniczne rozwiązanie pochodnej funkcji zespolonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcony jest osobny artykuł. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne proste funkcje.

Po drodze nie można obejść się bez przekształcania wyrażeń. W tym celu konieczne może być otwarcie instrukcji w nowym oknie. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach.

Jeśli szukasz rozwiązań pochodnych ułamków o potęgach i pierwiastkach, czyli wtedy, gdy funkcja wygląda , a następnie idź do klasy " Pochodna sumy ułamków z potęgami i pierwiastkami ".

Jeśli masz takie zadanie jak , to masz lekcję „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Definiujemy części wyrażenia funkcyjnego: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w których drugi z wyrazów zawiera stały czynnik. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji przez pochodną drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ma znak minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Zatem „X” zamienia się w jeden, a minus 5 zamienia się w zero. W drugim wyrażeniu „x” jest mnożone przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości pochodnych:

Podstawiamy znalezione pochodne do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownik, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Pochodną czynników w liczniku znaleźliśmy już w przykładzie 2. Nie zapominajmy też, że iloczyn, który w obecnym przykładzie jest drugim czynnikiem w liczniku, jest liczony ze znakiem minus:

Jeśli szukasz rozwiązań problemów, w których trzeba znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągły stos pierwiastków i potęg, jak np. , to witaj na zajęciach „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, stycznych i innych funkcje trygonometryczne, czyli kiedy funkcja wygląda , to lekcja dla ciebie „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy produkt, którego jednym z czynników jest Pierwiastek kwadratowy ze zmiennej niezależnej, której pochodną widzieliśmy w tabeli pochodnych. Korzystając z reguły różniczkowania iloczynu i wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Stosując zasadę różniczkowania ilorazów, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz tabelaryczną wartość pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez.

Decydując różne zadania geometria, mechanika, fizyka i inne gałęzie wiedzy stały się konieczne przy użyciu tego samego procesu analitycznego z tej funkcji y=f(x) odbierać Nowa cecha który jest nazywany funkcja pochodna(lub po prostu pochodna) danej funkcji f(x) i jest oznaczony symbolem

Proces, w wyniku którego z danej funkcji k(x) uzyskać nową funkcję f” (x), zwany różnicowanie i składa się z trzech następujących kroków: 1) podać argument X przyrost  X i wyznacz odpowiedni przyrost funkcji  y = f(x+ x) -f(x); 2) stworzyć relację

3) liczenie X stałe i  X0, znajdujemy
, które oznaczamy przez f” (x), jakby podkreślając, że wynikowa funkcja zależy tylko od wartości X, przy czym dochodzimy do limitu. Definicja: Pochodna y " =f " (x) dana funkcja y=f(x) dla danego x nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, pod warunkiem, że przyrost argumentu dąży do zera, jeśli oczywiście ta granica istnieje, tj. skończone. Zatem,
, Lub

Zauważ, że jeśli dla jakiejś wartości X, na przykład kiedy x=a, postawa
Na  X0 nie ma takiej tendencji skończona granica, to w tym przypadku mówią, że funkcja k(x) Na x=a(lub w punkcie x=a) nie ma pochodnej lub nie jest różniczkowalna w punkcie x=a.

2. Znaczenie geometryczne pochodnej.

Rozważmy wykres funkcji y = f (x), różniczkowalnej w pobliżu punktu x 0

k(x)

Rozważmy dowolną linię prostą przechodzącą przez punkt na wykresie funkcji - punkt A(x 0, f (x 0)) i przecinającą wykres w pewnym punkcie B(x;f(x)). Taka prosta (AB) nazywana jest sieczną. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Wół, następnie ALO = BAC = β (odpowiednio dla równoległości). Ale ALO jest kątem nachylenia siecznej AB do dodatniego kierunku osi Wół. Oznacza to, że tanβ = k jest nachyleniem prostej AB.

Teraz zmniejszymy ∆x, tj. ∆х → 0. W tym przypadku punkt B zbliży się do punktu A zgodnie z wykresem, a sieczna AB będzie się obracać. Położeniem granicznym siecznej AB w punkcie ∆x → 0 będzie linia prosta (a), zwana styczną do wykresu funkcji y = f (x) w punkcie A.

Jeśli dojdziemy do granicy jako ∆x → 0 w równości tgβ =∆y/∆x, otrzymamy
ortg =f "(x 0), ponieważ
-kąt nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi Ox
z definicji pochodnej. Ale tg = k jest współczynnikiem kątowym stycznej, co oznacza k = tg = f „(x 0).

Zatem geometryczne znaczenie pochodnej jest następujące:

Pochodna funkcji w punkcie x 0 równy nachylenie styczna do wykresu funkcji narysowanego w punkcie z odciętą x 0 .

3. Znaczenie fizyczne pochodnej.

Rozważmy ruch punktu po linii prostej. Niech będzie podana współrzędna punktu w dowolnym momencie x(t). Wiadomo (z kursu fizyki), że średnia prędkość w pewnym okresie czasu jest równa stosunkowi drogi przebytej w tym okresie do czasu, czyli tj.

Vav = ∆x/∆t. Przejdźmy do granicy w ostatniej równości jako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - chwilowa prędkość w czasie t 0, ∆t → 0.

oraz lim = ∆x/∆t = x”(t 0) (z definicji pochodnej).

Zatem (t) =x"(t).

Fizyczne znaczenie pochodnej jest następujące: pochodna funkcjiy = F(X) W punkcieX 0 jest szybkością zmian funkcjiF(x) w punkcieX 0

Pochodną wykorzystuje się w fizyce do obliczania prędkości ze znanej funkcji współrzędnych w funkcji czasu oraz przyspieszenia ze znanej funkcji prędkości w funkcji czasu.

(t) = x"(t) - prędkość,

a(f) = "(t) - przyspieszenie, lub

Jeśli znane jest prawo ruchu punktu materialnego na okręgu, można znaleźć prędkość kątową i przyspieszenie kątowe podczas ruchu obrotowego:

φ = φ(t) - zmiana kąta w czasie,

ω = φ"(t) - prędkość kątowa,

ε = φ"(t) - przyspieszenie kątowe, czyli ε = φ"(t).

Jeśli znane jest prawo rozkładu masy niejednorodnego pręta, można znaleźć gęstość liniową niejednorodnego pręta:

m = m(x) - masa,

x  , l - długość pręta,

p = m"(x) - gęstość liniowa.

Stosując pochodną rozwiązuje się problemy z teorii sprężystości i drgań harmonicznych. Zatem zgodnie z prawem Hooke’a

F = -kx, x – współrzędna zmienna, k – współczynnik sprężystości sprężyny. Zakładając ω 2 = k/m, otrzymujemy równanie różniczkowe wahadła sprężystego x”(t) + ω 2 x(t) = 0,

gdzie ω = √k/√m częstotliwość oscylacji (l/c), k - sztywność sprężyny (H/m).

Równanie w postaci y" + ω 2 y = 0 nazywane jest równaniem oscylacji harmonicznych (mechanicznych, elektrycznych, elektromagnetycznych). Rozwiązaniem takich równań jest funkcja

y = Asin(ωt + φ 0) lub y = Acos(ωt + φ 0), gdzie

A – amplituda oscylacji, ω – częstotliwość cykliczna,

φ 0 - faza początkowa.

Kiedy człowiek podjął pierwsze samodzielne kroki w nauce Analiza matematyczna i zaczyna pytać niewygodne pytania, to nie jest już tak łatwo uciec od stwierdzenia, że ​​„ rachunek różniczkowy znalezione w kapuście.” Nadszedł zatem czas na ustalenie i ujawnienie tajemnicy narodzin tablice instrumentów pochodnych i reguł różniczkowania. Zaczęło się od artykułu o znaczeniu pochodnej, które gorąco polecam przestudiować, ponieważ tam właśnie przyjrzeliśmy się pojęciu pochodnej i zaczęliśmy klikać problemy na ten temat. Ta sama lekcja jest jasno wyrażona orientacja praktyczna, ponadto,

przykłady omówione poniżej można w zasadzie opanować czysto formalnie (np. gdy nie ma czasu/chęci zagłębiania się w istotę pochodnej). Wysoce pożądana (choć znowu niekonieczna) jest także umiejętność znajdowania instrumentów pochodnych „zwykłą” metodą – przynajmniej na poziomie dwóch podstawowych lekcji: Jak znaleźć pochodną i pochodną funkcji zespolonej.

Ale jest jedna rzecz, bez której na pewno nie możemy się teraz obejść – to jest granice funkcji. Musisz ZROZUMIEĆ, czym jest limit i umieć go rozwiązać przynajmniej na średnim poziomie. A wszystko z powodu pochodnej

funkcję w punkcie określa wzór:

Przypomnę Ci oznaczenia i terminy: dzwonią przyrost argumentu;

– przyrost funkcji;

- Ten ZJEDNOCZONE symbole(„delta” nie może zostać „oderwana” od „X” ani „Y”).

Oczywiście zmienna „dynamiczna” jest stałą i wynikiem obliczenia granicy – numer (czasami - „plus” lub „minus” nieskończoność).

W pewnym sensie możesz wziąć pod uwagę KAŻDĄ wartość należącą do dziedzina definicji funkcja, w której istnieje pochodna.

Uwaga: klauzula „w którym istnieje pochodna” – V przypadek ogólny istotne! Czyli np. choć punkt wchodzi w zakres definicji funkcji, to jej pochodną

tam nie istnieje. Dlatego formuła

nie ma zastosowania w danym momencie

a sformułowanie skrócone bez zastrzeżenia byłoby nieprawidłowe. Podobne fakty obowiązują także dla innych funkcji z „przerwami” na wykresie, w szczególności dla arcsinus i arccosinus.

Zatem po zamianie otrzymujemy drugi działający wzór:

Zwróć uwagę na podstępną okoliczność, która może zmylić czajnik: w tym limicie „x”, samo w sobie będąc zmienną niezależną, odgrywa rolę statystyki, a „dynamikę” ponownie ustala się przez przyrost. Wynik obliczenia limitu

jest funkcją pochodną.

Na podstawie powyższego formułujemy warunki dwóch typowych problemów:

- Znajdować pochodna w punkcie, korzystając z definicji pochodnej.

- Znajdować funkcja pochodna, korzystając z definicji pochodnej. Ta wersja, według moich obserwacji, jest znacznie bardziej powszechna i będzie poświęcana główna uwaga.

Zasadnicza różnica między zadaniami polega na tym, że w pierwszym przypadku musisz znaleźć liczbę (opcjonalnie nieskończoność), a w drugim –

funkcjonować Ponadto pochodna może w ogóle nie istnieć.

Jak ?

Utwórz współczynnik i oblicz granicę.

Skąd się to wzięło? tabela instrumentów pochodnych i reguł różniczkowania ? Dzięki jedynemu limitowi

Wydaje się, że to magia, ale

w rzeczywistości - sztuczka ręki i żadnego oszustwa. Na lekcji Co to jest pochodna? Zacząłem się przyglądać konkretne przykłady, gdzie korzystając z definicji znalazłem pochodne funkcji liniowej i kwadratowej. W celu rozgrzewki poznawczej będziemy nadal przeszkadzać tabela instrumentów pochodnych, doskonalenie algorytmu i technika rozwiązania:

Zasadniczo musisz to udowodnić szczególny przypadek pochodna funkcji potęgowej, która zwykle pojawia się w tabeli: .

Rozwiązanie jest technicznie sformalizowane na dwa sposoby. Zacznijmy od pierwszego, znanego już podejścia: drabina zaczyna się od deski, a funkcja pochodna zaczyna się od pochodnej w punkcie.

Rozważmy jakiś (konkretny) punkt należący do dziedzina definicji funkcja, w której występuje pochodna. W tym miejscu ustalmy przyrost (oczywiście w ramach o/o -ya) i utwórz odpowiedni przyrost funkcji:

Obliczmy granicę:

Niepewność 0:0 eliminuje się standardową techniką, rozważaną już w I wieku p.n.e. Pomnóżmy się

licznik i mianownik wyrażenia sprzężonego :

Technikę rozwiązywania takiego limitu omówiono szczegółowo pod adresem lekcja wprowadzająca o granicach funkcji.

Ponieważ możesz wybrać DOWOLNY punkt przedziału jako

Następnie po dokonaniu zamiany otrzymujemy:

Jeszcze raz radujmy się logarytmami:

Znajdź pochodną funkcji korzystając z definicji pochodnej

Rozwiązanie: Rozważmy inne podejście do promowania tego samego zadania. Jest dokładnie tak samo, ale bardziej racjonalnie pod względem konstrukcyjnym. Pomysł jest taki, aby się pozbyć

indeks dolny i użyj litery zamiast litery.

Rozważmy dowolny punkt należący do dziedzina definicji funkcję (interwał) i ustaw w niej przyrost. Ale tu, nawiasem mówiąc, jak w większości przypadków, można obejść się bez zastrzeżeń, ponieważ funkcja logarytmiczna jest różniczkowalna w dowolnym punkcie dziedziny definicji.

Wtedy odpowiedni przyrost funkcji wynosi:

Znajdźmy pochodną:

Prostotę projektu równoważy zamieszanie, które może

występują wśród początkujących (i nie tylko). Przecież jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że litera „X” zmienia się w limicie! Ale tutaj wszystko jest inne: - zabytkowy posąg i - żywy gość, energicznie spacerujący korytarzem muzeum. Oznacza to, że „x” jest „jak stała”.

Skomentuję eliminację niepewności krok po kroku:

(1) Korzystanie z własności logarytmu.

(2) W nawiasach podziel licznik przez mianownik wyraz po wyrazie.

(3) W mianowniku sztucznie mnożymy i dzielimy przez „x”, aby tak było

skorzystaj ze wspaniałego limitu , podczas gdy nieskończenie mały dzieje.

Odpowiedź: z definicji pochodnej:

Lub w skrócie:

Proponuję samodzielnie skonstruować jeszcze dwie formuły tabelaryczne:

Znajdź pochodną z definicji

W w tym przypadku wygodnie jest natychmiast doprowadzić skomponowany przyrost do wspólny mianownik. Przybliżona próbka wykonanie zadania na koniec lekcji (metoda pierwsza).

Znajdź pochodną z definicji

I tutaj wszystko trzeba sprowadzić do niezwykłej granicy. Rozwiązanie jest sformalizowane w drugi sposób.

Szereg innych pochodne tabelaryczne. Pełna lista może być znaleziony w podręcznik szkolny lub na przykład 1. tom Fichtenholtza. nie widzę specjalne znaczenie kopie z ksiąg i dowody reguł różniczkowania - są również generowane

formuła

Przejdźmy do faktycznie napotkanych zadań: Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji , korzystając z definicji pochodnej

Rozwiązanie: użyj pierwszego stylu projektowania. Rozważmy pewien punkt należący do i ustawmy na nim przyrost argumentu. Wtedy odpowiedni przyrost funkcji wynosi:

Być może niektórzy czytelnicy nie zrozumieli jeszcze w pełni zasady, według której należy dokonywać przyrostów. Weź punkt (liczbę) i znajdź w nim wartość funkcji: , czyli do funkcji

zamiast „X” należy zastąpić. Teraz weźmy to

Skompilowany przyrost funkcji Natychmiastowe uproszczenie może być korzystne. Po co? Ułatwienie i skrócenie rozwiązania do dalszych granic.

Używamy wzorów, otwieramy nawiasy i redukujemy wszystko, co można zredukować:

Indyk jest patroszony, z pieczenią nie ma problemu:

W końcu:

Ponieważ możesz wybrać dowolną jakość prawdziwy numer, następnie dokonujemy zamiany i otrzymujemy .

Odpowiedź : a-przeorat.

Dla celów weryfikacji znajdźmy pochodną korzystając z reguł

różnicowanie i tabele:

Zawsze warto i przyjemnie jest znać wcześniej poprawną odpowiedź, dlatego lepiej różnicować proponowaną funkcję „na szybko”, w myślach lub w szkicu, już na samym początku rozwiązania.

Znajdź pochodną funkcji z definicji pochodnej

To jest przykład dla niezależna decyzja. Wynik jest oczywisty:

Wróćmy do stylu nr 2: Przykład 7

Dowiedzmy się natychmiast, co powinno się wydarzyć. Przez zasada różniczkowania funkcji złożonych:

Rozwiązanie: rozważ dowolny punkt, należący do, ustaw w nim przyrost argumentu i uzupełnij przyrost

Znajdźmy pochodną:

(1) Używamy wzoru trygonometrycznego

(2) Pod sinusem otwieramy nawiasy, pod cosinusem podajemy podobne terminy.

(3) Pod sinusem unieważniamy wyrazy, pod cosinusem dzielimy licznik przez mianownik, wyraz po wyrazie.

(4) Ze względu na dziwność sinusa usuwamy „minus”. Pod cosinusem

wskazujemy, że termin .

(5) W celu użycia wykonujemy sztuczne mnożenie w mianowniku Pierwszy cudowna granica . W ten sposób niepewność zostanie wyeliminowana, uporządkujmy wynik.

Odpowiedź: z definicji Jak widać, główna trudność rozważanego problemu polega na

złożoność do granic możliwości + lekka oryginalność opakowania. W praktyce występują obydwie metody projektowania, dlatego opiszę obydwa podejścia możliwie szczegółowo. Są one równoważne, ale w moim subiektywnym odczuciu bardziej wskazane jest, aby manekiny trzymały się opcji 1 z „X-zero”.

Korzystając z definicji, znajdź pochodną funkcji

To zadanie, które możesz rozwiązać samodzielnie. Próbka została zaprojektowana w tym samym duchu, co poprzedni przykład.

Spójrzmy na rzadszą wersję problemu:

Znajdź pochodną funkcji w punkcie, korzystając z definicji pochodnej.

Po pierwsze, jaki powinien być wynik końcowy? Liczba Obliczmy odpowiedź w standardowy sposób:

Rozwiązanie: z punktu widzenia przejrzystości zadanie to jest znacznie prostsze, ponieważ we wzorze zamiast

brana jest pod uwagę konkretna wartość.

Ustawmy przyrost w punkcie i ułóżmy odpowiedni przyrost funkcji:

Obliczmy pochodną w punkcie:

Używamy bardzo rzadkiego wzoru na różnicę stycznych i ponownie sprowadzamy rozwiązanie do pierwszego

niezwykły limit:

Odpowiedź: z definicji pochodnej w punkcie.

Problem nie jest tak trudny do rozwiązania i „w ogólna perspektywa„- wystarczy wymienić gwóźdź lub po prostu w zależności od metody projektowania. W tym przypadku jasne jest, że wynikiem nie będzie liczba, ale funkcja pochodna.

Przykład 10 Korzystając z definicji, znajdź pochodną funkcji w tym punkcie

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Ostatnie zadanie bonusowe przeznaczone jest przede wszystkim dla uczniów z dogłębne studium analizę matematyczną, ale nikomu innemu też to nie zaszkodzi:

Czy funkcja będzie różniczkowalna? w tym momencie?

Rozwiązanie: Jest oczywiste, że funkcja dana fragmentarycznie jest w pewnym punkcie ciągła, ale czy będzie w tym miejscu różniczkowalna?

Algorytm rozwiązań i nie tylko funkcje fragmentaryczne, Jest:

1) Znajdź pochodną lewostronną w danym punkcie: .

2) Znajdź pochodną prawostronną w danym punkcie: .

3) Jeżeli pochodne jednostronne są skończone i pokrywają się:

, to funkcja jest różniczkowalna w punkcie

geometrycznie istnieje tu wspólna styczna (patrz część teoretyczna lekcja Definicja i znaczenie pochodnej).

Jeśli otrzyma się dwa różne znaczenia: (z których jeden może okazać się nieskończony), to funkcja nie jest różniczkowalna w punkcie.

Jeśli obie pochodne jednostronne są równe nieskończoności

(nawet jeśli mają różne znaki), to funkcja nie jest

jest różniczkowalna w punkcie, ale istnieje nieskończona pochodna i wspólna pionowa styczna do wykresu (patrz przykładowa lekcja 5Normalne równanie) .

Pierwszy poziom

Pochodna funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, wówczas linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako tego poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Przecież dalej różne obszary dróg, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, będziemy się wznosić lub opadać różne ilości metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi rzędnych).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazała się niższa od początkowej, będzie ujemna - oznacza to, że nie wznosimy się, ale opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość pokazująca, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. Należy wziąć pod uwagę mniejsze obszary, aby uzyskać bardziej odpowiednie i trafna ocena stromość. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu minąć. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwe życie Pomiar odległości z dokładnością do milimetra w zupełności wystarczy. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. I wciąż nieskończoność Ponadto co się stanie. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie oznacza równy zeru. Jeśli podzielisz nieskończenie małe liczby przez siebie, możesz uzyskać spokój zwykły numer, Na przykład, . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony.Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest stosunek do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, ​​korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zero? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest ułożenie końców segmentu wzdłuż różne strony od góry tak, aby wysokość na końcach była taka sama, czyli odcinek był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do ​​osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego między negatywnym a wartości dodatnie zdecydowanie musi być. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

  1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
  2. To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różne punkty przy tym samym przyroście argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, ​​musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek stopniu: .

Najprostszy przypadek- ma to miejsce, gdy wykładnik:

Znajdźmy jego pochodną w pewnym punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Teraz rozważ funkcja kwadratowa (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić dla funkcji potęgowej z dowolnym wykładnikiem, a nie nawet liczbą całkowitą:

(2)

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

  1. (na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);
  1. . Wierzcie lub nie, ale to jest funkcja mocy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? Gdzie jest stopień?”, pamiętajcie o temacie „”!
    Tak, tak, pierwiastek to także stopień, tylko ułamkowy: .
    Oznacza to, że nasz pierwiastek kwadratowy jest po prostu potęgą z wykładnikiem:
    .
    Pochodnej szukamy korzystając z niedawno poznanego wzoru:

    Jeśli w tym momencie znów stanie się niejasne, powtórz temat „”!!! (o stopniu z wskaźnik negatywny)

  2. . Teraz wykładnik:

    A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
    ;
    .
    Teraz jak zwykle zaniedbujemy termin zawierający:
    .

  3. . Połączenie poprzednich przypadków: .

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód nauczysz się na pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać Unified State Exam). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliżej jest funkcja. To jest jej „cel”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniej, tym bliższa wartość związek z

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Więc otrzymujemy następna zasada:pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

  1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
  2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

  1. Najpierw znajdźmy pochodną w postaci ogólnej, a następnie podstawmy jej wartość:
    ;
    .
  2. Tutaj mamy coś podobnego do funkcja zasilania. Spróbujmy ją sprowadzić
    normalny widok:
    .
    Świetnie, teraz możesz skorzystać ze wzoru:
    .
    .
  3. . Eeeeee….. Co to jest????

OK, masz rację, nie wiemy jeszcze jak znaleźć takie pochodne. Mamy tutaj kombinację kilku typów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:

Wykładnik i logarytm naturalny.

W matematyce istnieje funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji jest stała - jest ona nieskończona dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

No cóż, nie odchodźmy daleko, przyjrzyjmy się temu od razu funkcja odwrotna. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

  1. Znajdź pochodną funkcji.
  2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wystawca i naturalny logarytm- funkcje są wyjątkowo proste pod względem pochodnych. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne z dowolną inną podstawą będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później przejdźmy przez zasady różnicowanie.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Ponownie nowy semestr, Ponownie?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli niektóre stała liczba(stała), następnie.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

  1. w pewnym momencie;
  2. w pewnym momencie;
  3. w pewnym momencie;
  4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

  1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ this funkcja liniowa, Pamiętać?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

  1. Znajdź pochodne funkcji i;
  2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne wykładnicze i funkcje logarytmiczne prawie nigdy nie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym, ale nie zaszkodzi ich poznać.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co się stało " złożona funkcja„? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść czekoladę, musisz to zrobić działania odwrotne V Odwrotna kolejność.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja funkcje złożone: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

  1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
    A oryginalną funkcją jest ich skład: .
  2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .
  5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
    Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wydobywamy z niej również korzeń, czyli wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do w opakowaniu i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

  1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
  2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
  3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.