Jeśli trzymać się definicji, to pochodna funkcji w punkcie jest granicą stosunku przyrostu funkcji Δ y do przyrostu argumentu Δ X:

Wszystko wydaje się być jasne. Ale spróbuj użyć tego wzoru do obliczenia, powiedzmy, pochodnej funkcji F(X) = X 2 + (2X+ 3) · mi X grzech X. Jeśli zrobisz wszystko z definicji, to po kilku stronach obliczeń po prostu zaśniesz. Dlatego istnieją prostsze i skuteczniejsze sposoby.

Na początek zauważamy, że z całej różnorodności funkcji możemy wyróżnić tzw. Funkcje elementarne. To względne proste wyrażenia, których pochodne zostały już dawno obliczone i wymienione w tabeli. Takie funkcje są dość łatwe do zapamiętania - wraz z ich pochodnymi.

Pochodne funkcji elementarnych

Funkcje elementarne to wszystkie funkcje wymienione poniżej. Pochodne tych funkcji trzeba znać na pamięć. Co więcej, ich zapamiętanie wcale nie jest trudne - dlatego są elementarne.

Zatem pochodne funkcje elementarne:

Nazwa	Funkcjonować	Pochodna
Stały	F(X) = C, C ∈ R	0 (tak, zero!)
Potęga z wykładnikiem wymiernym	F(X) = X N	N · X N − 1
Zatoka	F(X) = grzech X	sałata X
Cosinus	F(X) = sałata X	−grzech X(minus sinus)
Tangens	F(X) = tg X	1/co2 X
Cotangens	F(X) = ctg X	− 1/grzech 2 X
Naturalny logarytm	F(X) = log X	1/X
Logarytm dowolny	F(X) = log A X	1/(X ln A)
Funkcja wykładnicza	F(X) = mi X	mi X(nic się nie zmieniło)

Jeśli funkcję elementarną pomnoży się przez dowolną stałą, wówczas łatwo będzie obliczyć pochodną nowej funkcji:

(C · F)’ = C · F ’.

Ogólnie rzecz biorąc, stałe można wyjąć ze znaku pochodnej. Na przykład:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Oczywiście funkcje elementarne można ze sobą dodawać, mnożyć, dzielić - i wiele więcej. W ten sposób pojawią się nowe funkcje, już nie szczególnie elementarne, ale także różniczkowalne względem pewne zasady. Zasady te zostały omówione poniżej.

Pochodna sumy i różnicy

Niech zostaną podane funkcje F(X) I G(X), których pochodne są nam znane. Na przykład możesz wziąć funkcje elementarne omówione powyżej. Następnie możesz znaleźć pochodną sumy i różnicy tych funkcji:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Zatem pochodna sumy (różnicy) dwóch funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych. Terminów może być więcej. Na przykład, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Ściśle mówiąc, w algebrze nie ma pojęcia „odejmowania”. Jest koncepcja” element negatywny" Dlatego różnica F − G można przepisać jako sumę F+ (-1) G, i wtedy pozostaje tylko jeden wzór - pochodna sumy.

F(X) = X 2 + grzech x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcjonować F(X) jest sumą dwóch funkcji elementarnych, zatem:

F ’(X) = (X 2 + grzech X)’ = (X 2)’ + (grzech X)’ = 2X+ cosx;

Podobnie rozumujemy dla funkcji G(X). Tylko, że są już trzy terminy (z punktu widzenia algebry):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Odpowiedź:
F ’(X) = 2X+ cosx;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Pochodna produktu

Matematyka jest nauką logiczną, więc wiele osób uważa, że ​​jeśli pochodna sumy jest równa sumie pochodnych, to pochodna iloczynu strajk">równy iloczynowi pochodnych. Ale chuj! Pochodną iloczynu oblicza się według zupełnie innego wzoru. Mianowicie:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Przepis jest prosty, jednak często się o nim zapomina. I nie tylko uczniowie, ale także studenci. Rezultatem są nieprawidłowo rozwiązane problemy.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = X 3 cosx; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · mi X .

Funkcjonować F(X) jest iloczynem dwóch elementarnych funkcji, więc wszystko jest proste:

F ’(X) = (X 3 szt X)’ = (X 3)’, bo X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 szt X + X 3 (− grzech X) = X 2 (3kos X − X grzech X)

Funkcjonować G(X) pierwszy czynnik jest nieco bardziej skomplikowany, ale ogólny schemat to się nie zmienia. Oczywiście pierwszy czynnik funkcji G(X) jest wielomianem, a jego pochodna jest pochodną sumy. Mamy:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · mi X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · mi X + (X 2 + 7X− 7) · ( mi X)’ = (2X+ 7) · mi X + (X 2 + 7X− 7) · mi X = mi X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · mi X = X(X+ 9) · mi X .

Odpowiedź:
F ’(X) = X 2 (3kos X − X grzech X);
G ’(X) = X(X+ 9) · mi X .

Należy pamiętać, że w ostatnim kroku pochodna jest rozkładana na czynniki. Formalnie nie trzeba tego robić, ale większość pochodnych nie oblicza się samodzielnie, ale w celu sprawdzenia funkcji. Oznacza to, że dalej pochodna zostanie zrównana z zerem, zostaną określone jej znaki i tak dalej. W takim przypadku lepiej jest rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Jeśli są dwie funkcje F(X) I G(X), I G(X) ≠ 0 na zbiorze, który nas interesuje, możemy zdefiniować Nowa cecha H(X) = F(X)/G(X). Dla takiej funkcji można również znaleźć pochodną:

Nie słaby, co? Skąd wziął się minus? Dlaczego G 2? I tak! To jest jeden z najbardziej złożone formuły- Nie da się tego rozwiązać bez butelki. Dlatego lepiej się tego uczyć konkretne przykłady.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji:

W liczniku i mianowniku każdego ułamka znajdują się funkcje elementarne, zatem wystarczy nam wzór na pochodną ilorazu:

Zgodnie z tradycją rozłóżmy licznik na czynniki – to znacznie uprości odpowiedź:

Funkcja złożona niekoniecznie jest formułą o długości pół kilometra. Wystarczy np. przyjąć funkcję F(X) = grzech X i zastąp zmienną X, powiedzmy, dalej X 2 + ln X. Ułóży się F(X) = grzech ( X 2 + ln X) - jest to funkcja złożona. Ma również pochodną, ​​ale nie będzie można jej znaleźć, korzystając z reguł omówionych powyżej.

Co powinienem zrobić? W takich przypadkach pomaga zastąpienie zmiennej i wzoru na pochodną złożona funkcja:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jeśli X zostaje zastąpiony przez T(X).

Z reguły sytuacja ze zrozumieniem tego wzoru jest jeszcze bardziej smutna niż w przypadku pochodnej ilorazu. Dlatego lepiej też wyjaśnić to na konkretnych przykładach, za pomocą szczegółowy opis każdy krok.

Zadanie. Znajdź pochodne funkcji: F(X) = mi 2X + 3 ; G(X) = grzech ( X 2 + ln X)

Zauważ, że jeśli w funkcji F(X) zamiast wyrażenia 2 X+ 3 będzie łatwe X, to otrzymujemy funkcję elementarną F(X) = mi X. Dlatego dokonujemy zamiany: niech 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = mi T. Pochodnej funkcji zespolonej szukamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (mi T)’ · T ’ = mi T · T ’

A teraz – uwaga! Wykonujemy odwrotną zamianę: T = 2X+ 3. Otrzymujemy:

F ’(X) = mi T · T ’ = mi 2X+ 3 (2 X + 3)’ = mi 2X+ 3 2 = 2 mi 2X + 3

Przyjrzyjmy się teraz funkcji G(X). Jasne, że trzeba go wymienić X 2 + ln X = T. Mamy:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (grzech T)’ · T’ = sałata T · T ’

Odwrotna wymiana: T = X 2 + ln X. Następnie:

G ’(X) = sałata ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

To wszystko! Jak widać z ostatnie wyrażenie, cały problem został zredukowany do obliczenia sumy pochodnej.

Odpowiedź:
F ’(X) = 2 · mi 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) bo ( X 2 + ln X).

Bardzo często na moich lekcjach zamiast terminu „pochodna” używam słowa „pierwsza”. Na przykład liczba pierwsza z kwoty równa sumie udary. Czy to jest jaśniejsze? Cóż, to dobrze.

Zatem obliczenie pochodnej sprowadza się do pozbycia się tych samych kresek według zasad omówionych powyżej. Jak ostatni przykład Wróćmy do potęgi pochodnej z wykładnikiem wymiernym:

(X N)’ = N · X N − 1

Niewiele osób o tym wie w tej roli N może dobrze działać liczba ułamkowa. Na przykład korzeń jest X 0,5. A co jeśli pod korzeniem kryje się coś fantazyjnego? Ponownie wynikiem będzie złożona funkcja - lubią nadawać takie konstrukcje testy no i egzaminy.

Zadanie. Znajdź pochodną funkcji:

Najpierw przepiszemy pierwiastek jako potęgę z wykładnikiem wymiernym:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz dokonujemy zamiany: niech X 2 + 8X − 7 = T. Pochodną wyznaczamy korzystając ze wzoru:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)’ · T’ = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Zróbmy odwrotną zamianę: T = X 2 + 8X− 7. Mamy:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Na koniec powrót do korzeni:

Pochodna funkcji zespolonej. Przykłady rozwiązań

Na tej lekcji nauczymy się znajdować pochodna funkcji zespolonej. Lekcja stanowi logiczną kontynuację lekcji Jak znaleźć pochodną?, na którym badaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznawaliśmy się z regułami różniczkowania i niektórymi metody techniczne znalezienie instrumentów pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.

W praktyce z pochodną funkcji złożonej mamy do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. ubiegam się nieformalne wyrażenia„funkcja zewnętrzna”, funkcja „wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:

W w tym przykładzie Z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

Gdy proste przykłady Wydaje się jasne, że pod sinusem jest osadzony wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia w na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna liczba).

Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my WYPRZEDANE Przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych.

Zacznijmy decydować. Z zajęć Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrzmy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważmy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, V w tym przypadku:

Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.

Cóż, to całkiem oczywiste

Końcowy efekt zastosowania formuły wygląda następująco:

Stały mnożnik zwykle umieszczane na początku wyrażenia:

W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle zapisujemy:

Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, zatem funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Zgodnie ze wzorem należy najpierw znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Szukaj w tabeli wymaganą formułę: . Powtarzamy ponownie: każdy formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „x”, ale także dla wyrażeń złożonych. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie:

Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i nieco zmodyfikować wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład dla niezależna decyzja(odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:

Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także podać wyrażenie w nawiasie wspólny mianownik i zapisz wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na śmieszną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły:

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że ​​arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:

Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siedem do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, przy czym najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zacznijmy decydować

Zgodnie z regułą należy najpierw obliczyć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę instrumentów pochodnych i znajdujemy pochodną funkcja wykładnicza: Jedyna różnica polega na tym, że zamiast „X” mamy złożone wyrażenie, co nie przeczy słuszności tej formuły. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej jest następujący:

Pod skokiem znów mamy złożoną funkcję! Ale to już jest prostsze. Łatwo sprawdzić, że funkcją wewnętrzną jest arcsinus, funkcją zewnętrzną jest stopień. Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonej należy najpierw obliczyć pochodną potęgi.

Skoro tu trafiłeś, prawdopodobnie widziałeś już tę formułę w podręczniku

i zrób taką minę:

Przyjacielu, nie martw się! Właściwie wszystko jest po prostu oburzające. Na pewno wszystko zrozumiesz. Tylko jedna prośba – przeczytaj artykuł powoli, staraj się zrozumieć każdy krok. Napisałem tak prosto i przejrzyście, jak to możliwe, ale nadal musisz zrozumieć ideę. I pamiętaj o rozwiązaniu zadań z artykułu.

Co to jest funkcja złożona?

Wyobraź sobie, że przeprowadzasz się do innego mieszkania i dlatego pakujesz rzeczy do dużych pudeł. Załóżmy, że musisz zebrać kilka drobnych przedmiotów, na przykład szkolne przybory piśmiennicze. Jeśli po prostu wrzucisz je do ogromnego pudełka, zgubią się między innymi. Aby tego uniknąć, najpierw umieszcza się je np. w torbie, którą następnie wkłada się do dużego pudełka, po czym je zamyka. Ten „złożony” proces przedstawiono na poniższym schemacie:

Wydawałoby się, co ma z tym wspólnego matematyka? Tak, pomimo tego, że funkcja złożona jest tworzona DOKŁADNIE W TYM SAMYM SPOSOBIE! Tylko my „pakujemy” nie notesy i długopisy, ale \(x\), natomiast „opakowania” i „pudełka” są różne.

Na przykład weźmy x i „spakujmy” go w funkcję:

W rezultacie otrzymujemy oczywiście \(\cos⁡x\). To jest nasza „torba rzeczy”. Teraz włóżmy to do „pudełka” – spakujmy na przykład w funkcję sześcienną.

Co się stanie na końcu? Tak, zgadza się, w pudełku będzie „worek rzeczy”, czyli „cosinus X do sześcianu”.

Powstały projekt jest złożoną funkcją. Od prostego różni się tym KILKA „wpływów” (pakietów) jest przykładanych do jednego X z rzędu i okazuje się, że „funkcja z funkcji” - „opakowanie w opakowaniu”.

W kurs szkolny Rodzajów tych „pakietów” jest bardzo niewiele, tylko cztery:

„Spakujmy” teraz X najpierw do funkcji wykładniczej o podstawie 7, a następnie do funkcji trygonometrycznej. Otrzymujemy:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Teraz „spakujmy” X dwukrotnie funkcje trygonometryczne, najpierw w , a następnie w:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Proste, prawda?

Teraz sam napisz funkcje, gdzie x:
- najpierw jest „upakowany” w cosinus, a następnie w funkcję wykładniczą o podstawie \(3\);
- najpierw do potęgi piątej, a następnie do stycznej;
- pierwszy do logarytmu o podstawie \(4\) , a następnie do potęgi \(-2\).

Odpowiedzi na to zadanie znajdziesz na końcu artykułu.

Czy możemy „spakować” X nie dwa, ale trzy razy? Bez problemu! I cztery, i pięć, i dwadzieścia pięć razy. Oto na przykład funkcja, w której x jest „upakowane” \(4\) razy:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Ale takie formuły praktyka szkolna nie spotkają się (studenci mają więcej szczęścia – może być im trudniej☺).

„Rozpakowywanie” złożonej funkcji

Spójrz jeszcze raz na poprzednią funkcję. Czy potrafisz ustalić sekwencję „pakowania”? W co X zostało wepchnięte najpierw, w co potem i tak dalej, aż do samego końca. To znaczy, która funkcja jest zagnieżdżona w której? Weź kartkę papieru i napisz, co myślisz. Można to zrobić za pomocą łańcuszka ze strzałkami tak jak pisaliśmy powyżej lub w inny sposób.

Teraz poprawna odpowiedź brzmi: najpierw x zostało „upakowane” do \(4\)-tej potęgi, następnie wynik został spakowany do sinusa, a to z kolei zostało umieszczone w logarytmie o podstawie \(2\) , a na koniec całą tę konstrukcję upchnięto w potęgę piątkową.

Oznacza to, że musisz rozwinąć sekwencję W ODWROTNEJ KOLEJNOŚCI. A tu podpowiedź jak to zrobić prościej: od razu spójrz na X – powinieneś od niego zatańczyć. Spójrzmy na kilka przykładów.

Oto przykładowa funkcja: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Patrzymy na X – co dzieje się z nim najpierw? Zabrane mu. I wtedy? Przyjmuje się tangens wyniku. Kolejność będzie taka sama:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Inny przykład: \(y=\cos⁡((x^3))\). Przeanalizujmy - najpierw podnieśliśmy X do sześcianu, a następnie obliczyliśmy cosinus wyniku. Oznacza to, że sekwencja będzie następująca: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Zwróć uwagę, funkcja wydaje się być podobna do pierwszej (gdzie zawiera obrazy). Ale to jest zupełnie inna funkcja: tutaj w sześcianie jest x (czyli \(\cos⁡((x·x·x)))\), a tam w sześcianie jest cosinus \(x\) ( to znaczy \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Różnica ta wynika z różnych sekwencji „pakowania”.

Ostatni przykład (z ważna informacja w nim): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Jasne jest, co zrobili tutaj jako pierwsi działania arytmetyczne z x, a następnie oblicz sinus wyniku: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). I to ważny punkt: pomimo tego, że operacje arytmetyczne same w sobie nie są funkcjami, tutaj pełnią również funkcję „pakowania”. Zagłębmy się nieco w tę subtelność.

Jak powiedziałem powyżej, w prostych funkcjach x jest „pakowane” raz, a w funkcjach złożonych - dwa lub więcej. Co więcej, dowolna kombinacja prostych funkcji (czyli ich suma, różnica, mnożenie lub dzielenie) również jest prosta funkcja. Na przykład \(x^7\) jest prostą funkcją, podobnie jak \(ctg x\). Oznacza to, że wszystkie ich kombinacje są funkcjami prostymi:

\(x^7+ ctg x\) - proste,
\(x^7· łóżko x\) – proste,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – proste itp.

Jeśli jednak do takiej kombinacji zostanie zastosowana jeszcze jedna funkcja, stanie się ona funkcją złożoną, ponieważ będą dwa „pakiety”. Zobacz schemat:

OK, śmiało. Zapisz sekwencję funkcji „zawijania”:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Odpowiedzi znajdują się ponownie na końcu artykułu.

Funkcje wewnętrzne i zewnętrzne

Dlaczego musimy zrozumieć zagnieżdżanie funkcji? Co nam to daje? Faktem jest, że bez takiej analizy nie będziemy w stanie wiarygodnie znaleźć pochodnych funkcji omówionych powyżej.

Aby przejść dalej, będziemy potrzebować jeszcze dwóch koncepcji: funkcji wewnętrznych i zewnętrznych. To jest bardzo prosta rzecz, zresztą, już je analizowaliśmy powyżej: jeśli przypomnimy sobie naszą analogię na samym początku, to funkcja wewnętrzna to „pakiet”, a funkcja zewnętrzna to „pudełko”. Te. to, w co X jest najpierw „owinięte”, jest funkcją wewnętrzną, a to, w co „owinięta” jest funkcja wewnętrzna, jest już funkcją zewnętrzną. Cóż, jasne jest dlaczego – jest na zewnątrz, to znaczy na zewnątrz.

W tym przykładzie: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), funkcja \(\log_2⁡x\) jest funkcją wewnętrzną i
- zewnętrzny.

A w tym: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) jest wewnętrzne i
- zewnętrzny.

Wykonaj ostatnią praktykę analizy funkcji złożonych i przejdźmy wreszcie do tego, od czego wszyscy zaczęliśmy – znajdziemy pochodne funkcji złożonych:

Wypełnij puste miejsca w tabeli:

Pochodna funkcji zespolonej

Brawo dla nas, w końcu dotarliśmy do „szefa” tego tematu - a właściwie pochodnej funkcji zespolonej, a konkretnie do tej bardzo okropnej formuły z początku artykułu.☺

\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Ta formuła brzmi następująco:

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej po stałej funkcji wewnętrznej i pochodnej funkcji wewnętrznej.

I od razu spójrz na diagram analizy, zgodnie ze słowami, aby zrozumieć, co zrobić z czym:

Mam nadzieję, że określenia „pochodna” i „produkt” nie sprawią żadnych trudności. „Funkcja złożona” - już to rozwiązaliśmy. Haczyk tkwi w „pochodnej funkcji zewnętrznej względem stałej funkcji wewnętrznej”. Co to jest?

Odpowiedź: Jest to zwykła pochodna funkcji zewnętrznej, w której zmienia się tylko funkcja zewnętrzna, a funkcja wewnętrzna pozostaje taka sama. Nadal nie jest jasne? OK, użyjmy przykładu.

Miejmy funkcję \(y=\sin⁡(x^3)\). Jasne jest, że funkcją wewnętrzną jest tutaj \(x^3\), a funkcją zewnętrzną
. Znajdźmy teraz pochodną zewnętrza względem stałego wnętrza.

Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Do tych czytelników, którzy mają niski poziom przygotowania, warto zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? To wystarczy!”, gdyż wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistych testów i często spotykane są w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. Podczas badania rachunku różniczkowego i innych sekcji Analiza matematyczna– będziesz musiał bardzo często różnicować i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) szczegółowe opisywanie przykładów. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o godzinie 3 w nocy był połączenie telefoniczne, I przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Być może poniższe dwa przykłady wydadzą się niektórym skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne rachunek różniczkowy To będzie wyglądało jak dziecięcy żart.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W razie wątpliwości przypominam przydatna sztuczka: bierzemy na przykład eksperymentalne znaczenie „x” i staramy się (w myślach lub w szkicu) zastąpić to znaczenie „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzna funkcja to Pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej będzie używany w Odwrotna kolejność, od funkcji najbardziej zewnętrznej do funkcji najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzy funkcje. Jak znaleźć pochodną produkty trzech mnożniki?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża Cię w przygnębieniu - musisz przyjąć nieprzyjemną pochodną moc ułamkowa, a następnie także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki magiczna różdżka mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy przykład projektu tego typu na koniec lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej można było rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, które zostaną Ci podane w dowolnym podręczniku lub na dowolnym wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W rezultacie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będą różniczkowane przez standardowa formuła .

Znajdujemy pochodną, ​​w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, proszę ponownie uważnie przeczytać wyjaśnienia do Przykładu nr 11.

W zadania praktyczne Funkcja potęgowo-wykładnicza zawsze będzie bardziej złożona niż przykład omawiany na wykładzie.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :

Jak widać, algorytm korzystania z pochodnej logarytmicznej nie zawiera żadnych specjalnych trików ani trików, a znalezienie pochodnej funkcji potęgowo-wykładniczej zwykle nie wiąże się z „męką”.

Pierwszy poziom

Pochodna funkcji. Kompleksowy przewodnik (2019)

Wyobraźmy sobie prostą drogę przebiegającą przez pagórkowaty teren. Oznacza to, że porusza się w górę i w dół, ale nie skręca w prawo ani w lewo. Jeśli oś jest skierowana poziomo wzdłuż drogi i pionowo, wówczas linia drogi będzie bardzo podobna do wykresu jakiejś funkcji ciągłej:

Oś to pewien poziom zerowej wysokości, w życiu używamy jako tego poziomu morza.

Poruszając się do przodu taką drogą, poruszamy się także w górę lub w dół. Można też powiedzieć: gdy zmienia się argument (ruch wzdłuż osi odciętych), zmienia się wartość funkcji (ruch wzdłuż osi rzędnych). Zastanówmy się teraz, jak określić „stromość” naszej drogi? Jakiej to może być wartości? To bardzo proste: jak bardzo zmieni się wysokość, gdy przesuniesz się do przodu na określoną odległość. Przecież dalej różne obszary dróg, przesuwając się do przodu (wzdłuż osi x) o jeden kilometr, będziemy się wznosić lub opadać różne ilości metrów w stosunku do poziomu morza (wzdłuż osi rzędnych).

Oznaczmy postęp (czytaj „delta x”).

Grecka litera (delta) jest powszechnie używana w matematyce jako przedrostek oznaczający „zmianę”. To znaczy - jest to zmiana ilościowa, - zmiana; więc co to jest? Zgadza się, zmiana wielkości.

Ważne: wyrażenie to pojedyncza całość, jedna zmienna. Nigdy nie oddzielaj „delty” od „x” lub jakiejkolwiek innej litery! Czyli np. .

Zatem posunęliśmy się do przodu, poziomo, o. Jeśli porównamy linię drogi z wykresem funkcji, to jak oznaczyć wzrost? Z pewnością, . Oznacza to, że w miarę jak idziemy do przodu, wznosimy się wyżej.

Wartość jest łatwa do obliczenia: jeśli na początku byliśmy na wysokości, a po przeprowadzce znaleźliśmy się na wysokości, to. Jeśli punkt końcowy okazała się niższa od początkowej, będzie ujemna - oznacza to, że nie wznosimy się, ale opadamy.

Wróćmy do „stromości”: jest to wartość pokazująca, jak bardzo (stromo) wzrasta wysokość podczas poruszania się do przodu o jedną jednostkę odległości:

Załóżmy, że na pewnym odcinku drogi, przesuwając się o kilometr do przodu, droga wznosi się o kilometr. Wtedy nachylenie w tym miejscu jest równe. A jeśli droga poruszając się do przodu o m, obniży się o km? Wtedy nachylenie jest równe.

Spójrzmy teraz na szczyt wzgórza. Jeśli weźmiemy początek odcinka pół kilometra przed szczytem i koniec pół kilometra za nim, zobaczymy, że wysokość jest prawie taka sama.

Oznacza to, że zgodnie z naszą logiką okazuje się, że nachylenie tutaj jest prawie równe zeru, co oczywiście nie jest prawdą. Już na dystansie kilku kilometrów wiele może się zmienić. Należy wziąć pod uwagę mniejsze obszary, aby uzyskać bardziej odpowiednie i trafna ocena stromość. Na przykład, jeśli zmierzysz zmianę wysokości w miarę przesuwania się o jeden metr, wynik będzie znacznie dokładniejszy. Ale nawet ta dokładność może nam nie wystarczyć – wszak jeśli na środku drogi stoi słup, możemy go po prostu minąć. Jaki dystans w takim razie wybrać? Centymetr? Milimetr? Mniej znaczy lepiej!

W prawdziwe życie Pomiar odległości z dokładnością do milimetra w zupełności wystarczy. Ale matematycy zawsze dążą do perfekcji. Dlatego wymyślono taką koncepcję nieskończenie mały, to znaczy wartość bezwzględna jest mniejsza niż jakakolwiek liczba, którą możemy nazwać. Na przykład mówisz: jedna bilionowa! O ile mniej? I podzielisz tę liczbę przez - i będzie jeszcze mniej. I tak dalej. Jeśli chcemy napisać, że ilość jest nieskończenie mała, piszemy w ten sposób: (czytamy „x dąży do zera”). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć że ta liczba nie jest zerowa! Ale bardzo blisko tego. Oznacza to, że możesz przez to dzielić.

Pojęcie przeciwne nieskończenie małemu jest nieskończenie duże (). Prawdopodobnie już się z tym spotkałeś, pracując nad nierównościami: ta liczba jest modulo większa niż jakakolwiek inna liczba, jaką możesz wymyślić. Jeśli otrzymasz największą możliwą liczbę, po prostu pomnóż ją przez dwa, a otrzymasz jeszcze większą liczbę. I wciąż nieskończoność Ponadto co się stanie. W rzeczywistości nieskończenie duże i nieskończenie małe są względem siebie odwrotnością, to znaczy w i odwrotnie: w.

Wróćmy teraz na naszą drogę. Idealnie obliczone nachylenie to nachylenie obliczone dla nieskończenie małego odcinka ścieżki, czyli:

Zauważam, że przy nieskończenie małym przemieszczeniu zmiana wysokości będzie również nieskończenie mała. Ale przypomnę, że nieskończenie mały nie oznacza równy zeru. Jeśli podzielisz nieskończenie małe liczby przez siebie, możesz uzyskać spokój zwykły numer, Na przykład, . Oznacza to, że jedna mała wartość może być dokładnie razy większa od drugiej.

Po co to wszystko? Droga, stromość... Nie jedziemy na rajd samochodowy, ale uczymy matematyki. A w matematyce wszystko jest dokładnie takie samo, tylko inaczej się nazywa.

Pojęcie pochodnej

Pochodna funkcji to stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu.

Stopniowo w matematyce nazywają to zmianą. Nazywa się stopień, w jakim argument () zmienia się w miarę przesuwania się wzdłuż osi przyrost argumentu i jest wyznaczony.Jak bardzo zmieniła się funkcja (wysokość) podczas przesuwania się do przodu wzdłuż osi o odległość przyrost funkcji i jest wyznaczony.

Zatem pochodną funkcji jest stosunek do kiedy. Pochodną oznaczamy tą samą literą co funkcję, tylko liczbą pierwszą w prawym górnym rogu: lub po prostu. Zapiszmy więc wzór na pochodną, ​​korzystając z następujących oznaczeń:

Podobnie jak w przypadku drogi, tutaj, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna.

Czy pochodna może być równa zero? Z pewnością. Przykładowo, jeśli jedziemy po płaskiej, poziomej drodze, nachylenie wynosi zero. I to prawda, wysokość w ogóle się nie zmienia. Podobnie jest z pochodną: pochodna funkcji stałej (stała) jest równa zeru:

ponieważ przyrost takiej funkcji jest dla dowolnego równy zero.

Przypomnijmy przykład ze wzgórza. Okazało się, że możliwe jest ułożenie końców segmentu wzdłuż różne strony od góry tak, aby wysokość na końcach była taka sama, czyli odcinek był równoległy do ​​osi:

Ale duże segmenty są oznaką niedokładnego pomiaru. Podniesiemy nasz odcinek równolegle do siebie, wówczas jego długość będzie się zmniejszać.

Ostatecznie, gdy będziemy nieskończenie blisko szczytu, długość odcinka stanie się nieskończenie mała. Ale jednocześnie pozostał równoległy do ​​osi, to znaczy różnica wysokości na jego końcach jest równa zeru (nie ma tendencji, ale jest równa). Zatem pochodna

Można to rozumieć w ten sposób: gdy stoimy na samej górze, niewielkie przesunięcie w lewo lub w prawo zmienia nasz wzrost w pomijalnym stopniu.

Istnieje również wyjaśnienie czysto algebraiczne: na lewo od wierzchołka funkcja rośnie, a na prawo maleje. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, gdy funkcja rośnie, pochodna jest dodatnia, a gdy maleje, jest ujemna. Ale zmienia się płynnie, bez skoków (ponieważ droga nigdzie nie zmienia gwałtownie nachylenia). Dlatego między negatywnym a wartości dodatnie zdecydowanie musi być. Będzie to miejsce, w którym funkcja ani nie rośnie, ani nie maleje - w punkcie wierzchołkowym.

To samo dotyczy doliny (obszaru, w którym funkcja po lewej stronie maleje, a po prawej rośnie):

Trochę więcej o przyrostach.

Zmieniamy więc argument na wielkość. Zmieniamy od jakiej wartości? Czym on się teraz (argumentem) stał? Możemy wybrać dowolny punkt, a teraz będziemy od niego tańczyć.

Rozważ punkt ze współrzędnymi. Wartość funkcji w nim jest równa. Następnie wykonujemy ten sam przyrost: zwiększamy współrzędną o. Jaka jest teraz argumentacja? Bardzo łatwe: . Jaka jest teraz wartość funkcji? Tam, gdzie trafia argument, tam też znajduje się funkcja: . A co z przyrostem funkcji? Nic nowego: nadal jest to kwota, o jaką zmieniła się funkcja:

Poćwicz znajdowanie przyrostów:

1. Znajdź przyrost funkcji w punkcie, w którym przyrost argumentu jest równy.
2. To samo dotyczy funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

W różne punkty przy tym samym przyroście argumentu przyrost funkcji będzie inny. Oznacza to, że pochodna w każdym punkcie jest inna (rozmawialiśmy o tym na samym początku – stromość drogi jest różna w różnych punktach). Dlatego pisząc pochodną, ​​musimy wskazać, w którym momencie:

Funkcja zasilania.

Funkcja potęgi to funkcja, której argument jest do pewnego stopnia (logiczny, prawda?).

Ponadto - w jakimkolwiek stopniu: .

Najprostszy przypadek- ma to miejsce, gdy wykładnik:

Znajdźmy jego pochodną w pewnym punkcie. Przypomnijmy definicję pochodnej:

Zatem argument zmienia się z na. Jaki jest przyrost funkcji?

Przyrost to jest to. Ale funkcja w dowolnym punkcie jest równa swojemu argumentowi. Dlatego:

Pochodna jest równa:

Pochodna jest równa:

b) Teraz rozważ funkcja kwadratowa (): .

Teraz pamiętajmy o tym. Oznacza to, że wartość przyrostu można pominąć, gdyż jest ona nieskończenie mała, a zatem nieistotna na tle drugiego członu:

Wymyśliliśmy więc kolejną zasadę:

c) Kontynuujemy ciąg logiczny: .

Wyrażenie to można uprościć na różne sposoby: otwórz pierwszy nawias, korzystając ze wzoru na skrócone pomnożenie sześcianu sumy, lub rozłóż całe wyrażenie na czynniki, korzystając ze wzoru na różnicę kostek. Spróbuj zrobić to sam, korzystając z dowolnej z sugerowanych metod.

Więc otrzymałem co następuje:

I jeszcze raz o tym pamiętajmy. Oznacza to, że możemy pominąć wszystkie terminy zawierające:

Otrzymujemy: .

d) Podobne zasady można uzyskać dla dużych potęg:

e) Okazuje się, że tę regułę można uogólnić dla funkcji potęgowej z dowolnym wykładnikiem, a nie nawet liczbą całkowitą:

(2)

Zasadę tę można sformułować słowami: „stopień jest podnoszony jako współczynnik, a następnie zmniejszany o ”.

Tę regułę udowodnimy później (prawie na samym końcu). Teraz spójrzmy na kilka przykładów. Znajdź pochodną funkcji:

1. (na dwa sposoby: według wzoru i korzystając z definicji pochodnej - obliczając przyrost funkcji);

1. . Wierzcie lub nie, ale to jest funkcja mocy. Jeśli masz pytania typu „Jak to jest? Gdzie jest stopień?”, pamiętajcie o temacie „”!
   Tak, tak, pierwiastek to także stopień, tylko ułamkowy: .
   Oznacza to, że nasz pierwiastek kwadratowy jest po prostu potęgą z wykładnikiem:
   .
   Pochodnej szukamy korzystając z niedawno poznanego wzoru:

   Jeśli w tym momencie znów stanie się niejasne, powtórz temat „”!!! (o stopniu z wskaźnik negatywny)

2. . Teraz wykładnik:

   A teraz poprzez definicję (zapomniałeś już?):
   ;
   .
   Teraz jak zwykle zaniedbujemy termin zawierający:
   .

3. . Połączenie poprzednich przypadków: .

Funkcje trygonometryczne.

Tutaj wykorzystamy jeden fakt z wyższej matematyki:

Z ekspresją.

Dowód nauczysz się na pierwszym roku instytutu (a żeby się tam dostać, musisz dobrze zdać Unified State Exam). Teraz pokażę to graficznie:

Widzimy, że gdy funkcja nie istnieje – punkt na wykresie zostaje wycięty. Ale im bliżej wartości, tym bliżej jest funkcja. To jest jej „cel”.

Dodatkowo możesz sprawdzić tę regułę za pomocą kalkulatora. Tak, tak, nie wstydź się, weź kalkulator, nie jesteśmy jeszcze na egzaminie Unified State Exam.

Więc spróbujmy: ;

Nie zapomnij przełączyć kalkulatora w tryb radianów!

itp. Widzimy, że im mniej, tym bliższa wartość związek z

a) Rozważmy funkcję. Jak zwykle, znajdźmy jego przyrost:

Zamieńmy różnicę sinusów na iloczyn. Aby to zrobić, używamy wzoru (pamiętaj temat „”): .

Teraz pochodna:

Dokonajmy zamiany: . Wtedy dla nieskończenie małego jest to również nieskończenie małe: . Wyrażenie for ma postać:

A teraz pamiętamy to z wyrażeniem. A także, co się stanie, jeśli w sumie można pominąć nieskończenie małą ilość (to znaczy at).

Więc otrzymujemy następna zasada:pochodna sinusa jest równa cosinusowi:

Są to podstawowe („tabelaryczne”) instrumenty pochodne. Oto one na jednej liście:

Później dodamy do nich jeszcze kilka, ale te są najważniejsze, ponieważ są najczęściej używane.

Ćwiczyć:

1. Znajdź pochodną funkcji w punkcie;
2. Znajdź pochodną funkcji.

Rozwiązania:

1. Najpierw znajdźmy pochodną w ogólna perspektywa, a następnie podstaw jego wartość:
   ;
   .
2. Tutaj mamy coś podobnego do funkcja zasilania. Spróbujmy ją sprowadzić
   normalny widok:
   .
   Świetnie, teraz możesz skorzystać ze wzoru:
   .
   .
3. . Eeeeee….. Co to jest????

OK, masz rację, nie wiemy jeszcze jak znaleźć takie pochodne. Mamy tutaj kombinację kilku typów funkcji. Aby z nimi pracować, musisz nauczyć się kilku dodatkowych zasad:

Wykładnik i logarytm naturalny.

Istnieje w matematyce funkcja, której pochodna dla dowolnej wartości jest jednocześnie równa wartości samej funkcji. Nazywa się to „wykładnikiem” i jest funkcją wykładniczą

Podstawą tej funkcji jest stała - jest ona nieskończona dziesiętny, czyli liczba niewymierna (taka jak). Nazywa się ją „liczbą Eulera” i dlatego jest oznaczona literą.

Zatem zasada:

Bardzo łatwe do zapamiętania.

No cóż, nie odchodźmy daleko, przyjrzyjmy się temu od razu funkcja odwrotna. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Wystawca i naturalny logarytm- funkcje są wyjątkowo proste pod względem pochodnych. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne z dowolną inną podstawą będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później przejdźmy przez zasady różnicowanie.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Ponownie nowy semestr, Ponownie?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli niektóre stała liczba(stała), następnie.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ this funkcja liniowa, Pamiętać?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne wykładnicze i funkcje logarytmiczne prawie nigdy nie pojawiają się na jednolitym egzaminie państwowym, ale nie zaszkodzi ich poznać.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść czekoladę, musisz to zrobić działania odwrotne w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna funkcja funkcje złożone: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla pierwszego przykładu .

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A oryginalną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wydobywamy z niej również korzeń, czyli wykonujemy trzecią akcję (wkładamy czekoladę do w opakowaniu i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.