Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb jest bezpośrednio powiązana z największym wspólnym dzielnikiem tych liczb. Ten połączenie pomiędzy GCD i NOC jest określona przez następujące twierdzenie.
Twierdzenie.
Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych aib jest równa iloczynowi aib podzielonemu przez największy wspólny dzielnik aib, czyli LCM(a, b)=a b:GCD(a, b).
Dowód.
Pozwalać M jest pewną wielokrotnością liczb a i b. Oznacza to, że M jest podzielne przez a i zgodnie z definicją podzielności istnieje pewna liczba całkowita k taka, że prawdziwa jest równość M=a·k. Ale M jest także podzielne przez b, zatem a·k jest podzielne przez b.
Oznaczmy NWD(a, b) jako d. Wtedy możemy zapisać równości a=a 1 ·d i b=b 1 ·d, a a 1 =a:d i b 1 =b:d będą liczbami względnie pierwszymi. W rezultacie warunek otrzymany w poprzednim akapicie, że a · k jest podzielne przez b, można przeformułować w następujący sposób: a 1 · d · k dzieli się przez b 1 · d , co ze względu na właściwości podzielności jest równoważne warunkowi że a 1 · k jest podzielne przez b 1 .
Należy także zapisać dwa ważne wnioski z rozważanego twierdzenia.
Wspólne wielokrotności dwóch liczb są takie same, jak wielokrotności ich najmniejszej wspólnej wielokrotności.
Rzeczywiście tak jest, ponieważ każda wspólna wielokrotność M liczb aib jest określona przez równość M=LMK(a, b)·t dla pewnej wartości całkowitej t.
Najmniejsza wspólna wielokrotność liczby względnie pierwszej liczby dodatnie a i b są równe ich iloczynowi.
Uzasadnienie tego faktu jest dość oczywiste. Ponieważ a i b są względnie pierwsze, to zatem gcd(a, b)=1 NWD(a, b)=a b: NWD(a, b)=a b:1=a b.
Najmniejsza wspólna wielokrotność trzech lub więcej liczb
Znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności trzech lub więcej liczb można sprowadzić do sekwencyjnego znajdowania LCM dwóch liczb. Jak to się robi, pokazuje poniższe twierdzenie. a 1 , a 2 , …, a k pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczb m k-1 i a k zatem pokrywają się ze wspólnymi wielokrotnościami liczby m k . A ponieważ najmniejszą dodatnią wielokrotnością liczby m k jest sama liczba m k, to najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb a 1, a 2, ..., a k jest m k.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. i inne. Klasa 6: podręcznik dla placówek kształcenia ogólnego.
- Winogradow I.M. Podstawy teorii liczb.
- Mikhelovich Sh.H. Teoria liczb.
- Kulikov L.Ya. i inne. Zbiór problemów z algebry i teorii liczb: Instruktaż dla studentów fizyki i matematyki. specjalności instytutów pedagogicznych.
Kalkulator online pozwala szybko znaleźć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dla dwóch lub dowolnej innej liczby liczb.
Kalkulator do znajdowania GCD i LCM
Znajdź GCD i LOC
Znaleziono GCD i LOC: 5806
Jak korzystać z kalkulatora
- Wprowadź liczby w polu wejściowym
- Jeśli wprowadzisz nieprawidłowe znaki, pole wprowadzania zostanie podświetlone na czerwono
- kliknij przycisk „Znajdź GCD i LOC”.
Jak wprowadzać liczby
- Liczby wprowadza się oddzielając spacją, kropką lub przecinkiem
- Długość wprowadzanych numerów nie jest ograniczona, więc znalezienie GCD i LCM długich liczb nie jest trudne
Co to są GCD i NOC?
Największy wspólny dzielnik kilka liczb to największa naturalna liczba całkowita, przez którą wszystkie liczby pierwotne są podzielne bez reszty. Największy wspólny dzielnik jest skracany jako GCD.
Najmniejsza wspólna wielokrotność kilka liczb jest najmniejsza liczba, która jest podzielna przez każdą z liczb pierwotnych bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest skracana jako NOC.
Jak sprawdzić, czy liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty?
Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielna przez inną bez reszty, możesz skorzystać z niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie łącząc je, można sprawdzić podzielność niektórych z nich i ich kombinacji.
Niektóre oznaki podzielności liczb
1. Sprawdź podzielność liczby przez 2
Aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez dwa (czy jest parzysta), wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę tej liczby: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest parzysta, co oznacza, że jest podzielna przez 2.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 2.
Rozwiązanie: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 - oznacza to, że liczba jest podzielna przez dwa.
2. Test podzielności liczby przez 3
Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Zatem, aby ustalić, czy liczba jest podzielna przez 3, należy obliczyć sumę cyfr i sprawdzić, czy jest ona podzielna przez 3. Nawet jeśli suma cyfr jest bardzo duża, można powtórzyć ten sam proces jeszcze raz.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 3.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 3, co oznacza, że liczba ta jest podzielna przez trzy.
3. Test podzielności liczby przez 5
Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest zero lub pięć.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 5.
Rozwiązanie: spójrz na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że liczba NIE jest podzielna przez pięć.
4. Test podzielności liczby przez 9
Znak ten jest bardzo podobny do znaku podzielności przez trzy: liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 9.
Przykład: ustalić, czy liczba 34938 jest podzielna przez 9.
Rozwiązanie: Liczymy sumę liczb: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jest podzielne przez 9, co oznacza, że liczba ta jest podzielna przez dziewięć.
Jak znaleźć GCD i LCM dwóch liczb
Jak znaleźć gcd dwóch liczb
Bardzo w prosty sposób Obliczanie największego wspólnego dzielnika dwóch liczb polega na znalezieniu wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybraniu największego z nich.
Rozważmy tę metodę na przykładzie znalezienia NWD(28, 36):
- Rozkładamy na czynniki obie liczby: 28 = 1,2,2,7, 36 = 1,2,2,3,3
- Znaleźliśmy Wspólne czynniki, czyli takie, które mają obie liczby: 1, 2 i 2.
- Obliczamy iloczyn tych czynników: 1 2 2 = 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.
Jak znaleźć LCM dwóch liczb
Istnieją dwa najczęstsze sposoby znajdowania najmniejszej wielokrotności dwóch liczb. Pierwsza metoda polega na tym, że możesz zapisać pierwsze wielokrotności dwóch liczb, a następnie wybrać spośród nich liczbę, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie najmniejsza. Drugim jest znalezienie gcd tych liczb. Rozważmy tylko to.
Aby obliczyć LCM, należy obliczyć iloczyn liczb pierwotnych, a następnie podzielić go przez wcześniej znaleziony GCD. Znajdźmy LCM dla tych samych liczb 28 i 36:
- Znajdź iloczyn liczb 28 i 36: 28,36 = 1008
- NWD(28, 36), jak już wiadomo, jest równe 4
- LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .
Znajdowanie GCD i LCM dla kilku liczb
Największy wspólny dzielnik można znaleźć dla kilku liczb, a nie tylko dwóch. W tym celu liczby, które należy znaleźć dla największego wspólnego dzielnika, rozkłada się na czynniki pierwsze, a następnie oblicza się iloczyn wspólnych czynników czynniki pierwsze te liczby. Możesz także użyć poniższej relacji, aby znaleźć gcd kilku liczb: NWD(a, b, c) = NWD(NWD(a, b), c).
Podobna zależność dotyczy najmniejszej wspólnej wielokrotności: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)
Przykład: znajdź GCD i LCM dla liczb 12, 32 i 36.
- Najpierw rozłóżmy liczby na czynniki: 12 = 1,2,2,3, 32 = 1,2,2,2,2,2, 36 = 1,2,2,3,3.
- Znajdźmy wspólne czynniki: 1, 2 i 2.
- Ich produkt da NWD: 1,2,2 = 4
- Teraz znajdźmy LCM: w tym celu najpierw znajdźmy LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Aby znaleźć NOC wszystkich trzy liczby, musisz znaleźć NWD(96, 36): 96 = 1,2,2,2,2,2,3 , 36 = 1,2,2,3,3 , NWD = 1,2,2,3 = 12 .
- LCM(12, 32, 36) = 96,36 / 12 = 288.
Wyrażenia matematyczne i zadania wymagają dużo dodatkowej wiedzy. NOC jest jednym z głównych, szczególnie często używanym w. Temat jest nauczany w szkole średniej i zrozumienie materiału nie jest szczególnie trudne; osoba zaznajomiona z potęgami i tabliczką mnożenia nie będzie miała trudności z identyfikacją niezbędnych liczb i odkryciem wynik.
Definicja
Wspólna wielokrotność to liczba, którą można całkowicie podzielić na dwie liczby jednocześnie (a i b). Najczęściej liczbę tę uzyskuje się poprzez pomnożenie pierwotnych liczb a i b. Liczba musi być podzielna przez obie liczby jednocześnie, bez odchyleń.
NOC to przyjęte oznaczenie krótkie imię, zebrane od pierwszych liter.
Sposoby uzyskania numeru
Metoda mnożenia liczb nie zawsze jest odpowiednia do znalezienia LCM; znacznie lepiej sprawdza się w przypadku prostych liczb jednocyfrowych lub dwucyfrowych. Zwyczajowo dzieli się na czynniki; im większa liczba, tym więcej będzie czynników.
Przykład nr 1
W najprostszym przykładzie szkoły zwykle używają liczb pierwszych, jedno- lub dwucyfrowych. Na przykład musisz podjąć decyzję następne zadanie, znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność liczb 7 i 3, rozwiązanie jest dość proste, wystarczy je pomnożyć. W rezultacie mamy liczbę 21, mniejsza liczba po prostu nie.
Przykład nr 2
Druga wersja zadania jest znacznie trudniejsza. Podano liczby 300 i 1260, znalezienie LOC jest obowiązkowe. Aby rozwiązać problem, zakłada się następujące działania:
Rozkład pierwszej i drugiej liczby na proste czynniki. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Pierwszy etap został zakończony.
Drugi etap polega na pracy z już uzyskanymi danymi. Każda z otrzymanych liczb musi brać udział w obliczeniu wyniku końcowego. Dla każdego mnożnika najwięcej duża liczba zdarzenia. LCM jest liczbą ogólną, więc czynniki liczb muszą się w niej powtórzyć, w każdej z nich, nawet tych, które występują w jednym egzemplarzu. Obie liczby początkowe zawierają cyfry 2, 3 i 5, w różne stopnie, 7 występuje tylko w jednym przypadku.
Aby obliczyć wynik końcowy, należy przyjąć każdą liczbę w największej z potęg przedstawionych w równaniu. Pozostaje tylko pomnożyć i uzyskać odpowiedź; jeśli zostanie wypełnione poprawnie, zadanie składa się z dwóch etapów bez wyjaśnienia:
1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.
2) NOC = 6300.
W tym cały problem, jeśli spróbujesz obliczyć właściwy numer poprzez mnożenie, odpowiedź na pewno nie będzie poprawna, ponieważ 300 * 1260 = 378 000.
Badanie:
6300 / 300 = 21 - poprawnie;
6300 / 1260 = 5 - poprawnie.
Poprawność uzyskanego wyniku sprawdza się - dzieląc LCM przez obie liczby pierwotne, jeśli liczba jest liczbą całkowitą w obu przypadkach, to odpowiedź jest prawidłowa.
Co oznacza NOC w matematyce?
Jak wiadomo, w matematyce nie ma ani jednej bezużytecznej funkcji, ta nie jest wyjątkiem. Najczęstszym celem tej liczby jest redukcja ułamków do wspólny mianownik. Czego zwykle uczy się w klasach 5-6 Liceum. Dodatkowo jest wspólny dzielnik dla wszystkich wielokrotności, jeśli takie warunki występują w zadaniu. Podobne wyrażenie potrafi znaleźć wielokrotności nie tylko dwóch liczb, ale także znacznie większej liczby więcej- trzy, pięć i tak dalej. Jak więcej liczb- te więcej akcji w zadaniu, ale nie zwiększa to złożoności.
Na przykład, biorąc pod uwagę liczby 250, 600 i 1500, musisz znaleźć ich wspólny LCM:
1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ten przykład szczegółowo opisuje faktoryzację, bez redukcji.
2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;
3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;
Aby skomponować wyrażenie, należy wymienić wszystkie czynniki, w tym przypadku podano 2, 5, 3 - dla wszystkich tych liczb konieczne jest określenie maksymalnego stopnia.
Uwaga: wszystkie czynniki należy doprowadzić do całkowitego uproszczenia, jeśli to możliwe, rozłożonego na poziom jednocyfrowy.
Badanie:
1) 3000 / 250 = 12 - poprawnie;
2) 3000 / 600 = 5 - prawda;
3) 3000 / 1500 = 2 - poprawnie.
Ta metoda nie wymaga żadnych sztuczek ani genialnych umiejętności, wszystko jest proste i jasne.
Inny sposób
W matematyce wiele rzeczy jest ze sobą powiązanych, wiele rzeczy można rozwiązać na dwa lub więcej sposobów, to samo dotyczy znajdowania najmniejszej wspólnej wielokrotności, LCM. Poniższą metodę można zastosować w przypadku prostych dwucyfrowych i liczby jednocyfrowe. Tworzona jest tabela, w której mnożną wprowadza się pionowo, mnożnik poziomo, a iloczyn jest wskazany w przecinających się komórkach kolumny. Możesz odzwierciedlić tabelę za pomocą linii, wziąć liczbę i zapisać wyniki pomnożenia tej liczby przez liczby całkowite, od 1 do nieskończoności, czasami wystarczy 3-5 punktów, druga i kolejne liczby przechodzą ten sam proces obliczeniowy. Wszystko dzieje się, dopóki nie zostanie znaleziona wspólna wielokrotność.
Biorąc pod uwagę liczby 30, 35, 42, musisz znaleźć LCM łączący wszystkie liczby:
1) Wielokrotności 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.
2) Wielokrotności 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.
3) Wielokrotności 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.
Można zauważyć, że wszystkie liczby są dość różne, jedyną wspólną liczbą jest 210, więc będzie to NOC. Wśród procesów biorących udział w tym obliczeniu istnieje również największy wspólny dzielnik, który jest obliczany według podobnych zasad i często spotykany w sąsiednich problemach. Różnica jest niewielka, ale dość znacząca, LCM polega na obliczeniu liczby podzielonej przez wszystkie podane wartości początkowe, a GCD polega na obliczeniu najwyższa wartość przez który dzielone są pierwotne liczby.
Największy wspólny dzielnik
Definicja 2
Jeśli liczba naturalna a jest podzielna przez liczbę naturalną $b$, wówczas $b$ nazywa się dzielnikiem $a$, a $a$ nazywa się wielokrotnością $b$.
Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Liczbę $c$ nazywa się wspólnym dzielnikiem zarówno $a$, jak i $b$.
Zbiór wspólnych dzielników liczb $a$ i $b$ jest skończony, ponieważ żaden z tych dzielników nie może być większy niż $a$. Oznacza to, że wśród tych dzielników znajduje się największy, który nazywany jest największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$ i jest oznaczany następującymi oznaczeniami:
$GCD\(a;b)\ lub \D\(a;b)$
Aby znaleźć największy wspólny dzielnik dwóch liczb, potrzebujesz:
- Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
Przykład 1
Znajdź gcd liczb 121 $ i 132 $
242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Wybierz liczby, które zostaną uwzględnione w rozwinięciu tych liczb
242 $ = 2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$GCD=2\cdot 11=22$
Przykład 2
Znajdź gcd jednomianów $63$ i $81$.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego:
Rozłóżmy liczby na czynniki pierwsze
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Wybieramy liczby, które wchodzą w rozwinięcie tych liczb
63 $=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Znajdźmy iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem.
$GCD=3\cdot 3=9$
Współczynnik gcd dwóch liczb można znaleźć w inny sposób, korzystając z zestawu dzielników liczb.
Przykład 3
Znajdź gcd liczb 48 $ i 60 $.
Rozwiązanie:
Znajdźmy zbiór dzielników liczby $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Znajdźmy teraz zbiór dzielników liczby $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Znajdźmy przecięcie tych zbiorów: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - zbiór ten wyznaczy zbiór wspólnych dzielników liczb $48$ i $60 $. Największym elementem w tym zestawie będzie liczba $12$. Oznacza to, że największy wspólny dzielnik liczb 48 $ i 60 $ wynosi 12 $.
Definicja NPL
Definicja 3
Wspólne wielokrotności liczby naturalne $a$ i $b$ to liczba naturalna będąca wielokrotnością zarówno $a$, jak i $b$.
Wspólne wielokrotności liczb to liczby, które można podzielić przez liczby pierwotne bez reszty. Na przykład w przypadku liczb 25 USD i 50 USD wspólnymi wielokrotnościami będą liczby 50 100 150 200 USD itd.
Najmniejsza wspólna wielokrotność będzie nazywana najmniejszą wspólną wielokrotnością i będzie oznaczona LCM$(a;b)$ lub K$(a;b).$
Aby znaleźć LCM dwóch liczb, musisz:
- Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
- Zapisz czynniki wchodzące w skład pierwszej liczby i dodaj do nich czynniki wchodzące w skład drugiej liczby i niebędące częścią pierwszej
Przykład 4
Znajdź LCM liczb 99 $ i 77 $.
Znajdziemy zgodnie z przedstawionym algorytmem. Dla tego
Rozłóż liczby na czynniki pierwsze
99 $ = 3\cdot 3\cdot 11$
Zapisz czynniki zawarte w pierwszym
dodaj do nich mnożniki, które są częścią drugiego, a nie pierwszego
Znajdź iloczyn liczb znalezionych w kroku 2. Wynikowa liczba będzie pożądaną najmniejszą wspólną wielokrotnością
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Kompilowanie list dzielników liczb jest często bardzo pracochłonnym zadaniem. Istnieje sposób na znalezienie GCD zwany algorytmem Euklidesa.
Stwierdzenia, na których opiera się algorytm Euklidesa:
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi, a $a\vdots b$, to $D(a;b)=b$
Jeśli $a$ i $b$ są liczbami naturalnymi takimi, że $b
Używając $D(a;b)= D(a-b;b)$, możemy sukcesywnie redukować rozważane liczby, aż otrzymamy parę takich liczb, że jedna z nich będzie podzielna przez drugą. Wtedy mniejsza z tych liczb będzie pożądanym największym wspólnym dzielnikiem liczb $a$ i $b$.
Właściwości GCD i LCM
- Każda wspólna wielokrotność $a$ i $b$ jest podzielna przez K$(a;b)$
- Jeśli $a\vdots b$ , to К$(a;b)=a$
Jeżeli K$(a;b)=k$ i $m$ jest liczbą naturalną, to K$(am;bm)=km$
Jeśli $d$ jest wspólnym dzielnikiem $a$ i $b$, to K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Jeśli $a\vdots c$ i $b\vdots c$ , to $\frac(ab)(c)$ jest wspólną wielokrotnością $a$ i $b$
Dla dowolnych liczb naturalnych $a$ i $b$ zachodzi równość
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Dowolny wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ jest dzielnikiem liczby $D(a;b)$
Definicja. Nazywa się największą liczbę naturalną, przez którą liczby a i b są dzielone bez reszty największy wspólny dzielnik (GCD) te liczby.
Znajdźmy największy wspólny dzielnik liczb 24 i 35.
Dzielnikami liczby 24 są liczby 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, a dzielnikami liczby 35 są liczby 1, 5, 7, 35.
Widzimy, że liczby 24 i 35 mają tylko jeden wspólny dzielnik - liczbę 1. Takie liczby nazywane są wzajemnie pierwsze.
Definicja. Nazywa się liczby naturalne wzajemnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielnik (NWD) wynosi 1.
Największy wspólny dzielnik (GCD) można znaleźć bez wypisywania wszystkich dzielników danych liczb.
Rozłóżmy liczby 48 i 36 i otrzymajmy:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z czynników wchodzących w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb skreślamy te, które nie są uwzględnione w rozwinięciu drugiej liczby (tj. dwie dwójki).
Pozostałe czynniki to 2 * 2 * 3. Ich iloczyn jest równy 12. Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 48 i 36. Znaleziono również największy wspólny dzielnik trzech lub więcej liczb.
Znaleźć Największy wspólny dzielnik
2) spośród czynników wchodzących w skład rozwinięcia jednej z tych liczb skreślić te, które nie wchodzą w skład rozwinięcia innych liczb;
3) znajdź iloczyn pozostałych czynników.
Jeśli wszystkie podane liczby są podzielne przez jedną z nich, to ta liczba jest podzielna Największy wspólny dzielnik podane liczby.
Na przykład największym wspólnym dzielnikiem liczb 15, 45, 75 i 180 jest liczba 15, ponieważ wszystkie inne liczby są przez nią podzielne: 45, 75 i 180.
Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM)
Definicja. Najmniejsza wspólna wielokrotność (LCM) liczby naturalne a i b to najmniejsza liczba naturalna będąca wielokrotnością obu a i b. Najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) liczb 75 i 60 można znaleźć bez zapisywania wielokrotności tych liczb z rzędu. Aby to zrobić, rozłóżmy 75 i 60 na czynniki pierwsze: 75 = 3 * 5 * 5 i 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapiszmy czynniki wchodzące w skład rozwinięcia pierwszej z tych liczb i dodajmy do nich brakujące czynniki 2 i 2 z rozwinięcia drugiej liczby (czyli łączymy czynniki).
Otrzymujemy pięć czynników 2 * 2 * 3 * 5 * 5, których iloczyn wynosi 300. Ta liczba jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 75 i 60.
Znajdują także najmniejszą wspólną wielokrotność trzech lub więcej liczb.
Do znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność kilka liczb naturalnych, potrzebujesz:
1) rozłożyć je na czynniki pierwsze;
2) zapisz czynniki składające się na rozwinięcie jednej z liczb;
3) dodaj do nich brakujące czynniki z rozwinięć pozostałych liczb;
4) znaleźć iloczyn uzyskanych czynników.
Zauważ, że jeśli jedna z tych liczb jest podzielna przez wszystkie inne liczby, to liczba ta jest najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb.
Na przykład najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12, 15, 20 i 60 wynosi 60, ponieważ jest podzielna przez wszystkie te liczby.
Pitagoras (VI wiek p.n.e.) i jego uczniowie badali kwestię podzielności liczb. Numer, równa sumie Wszystkie jej dzielniki (bez samej liczby) nazwali liczbą doskonałą. Na przykład liczby 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) są idealne. Kolejne liczby doskonałe to 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejczycy znali tylko trzy pierwsze liczby doskonałe. Czwarty - 8128 - stał się znany w I wieku. N. mi. Piąty – 33 550 336 – odnaleziono w XV wieku. W 1983 roku znanych było już 27 liczb doskonałych. Ale naukowcy nadal nie wiedzą, czy istnieją dziwne doskonałe liczby, czy istnieje największa liczba doskonała.
Zainteresowanie starożytnych matematyków liczbami pierwszymi wynika z faktu, że każda liczba jest albo pierwsza, albo można ją przedstawić w postaci iloczynu liczby pierwsze, czyli liczby pierwsze są jak cegły, z których zbudowane są pozostałe liczby naturalne.
Zapewne zauważyłeś, że liczby pierwsze w szeregu liczb naturalnych występują nierównomiernie – w niektórych częściach szeregu jest ich więcej, w innych – mniej. Ale im dalej posuwamy się dalej seria liczb, rzadziej spotykane są liczby pierwsze. Powstaje pytanie: czy istnieje ostatnia (największa) liczba pierwsza? Starożytny grecki matematyk Euklides (III w. p.n.e.) w swojej książce „Elementy”, która przez dwa tysiące lat była głównym podręcznikiem matematyki, udowodnił, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, czyli za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza numer.
Aby znaleźć liczby pierwsze, inny grecki matematyk z tego samego okresu, Eratostenes, wymyślił tę metodę. Zapisał wszystkie liczby od 1 do jakiejś liczby, a następnie skreślił jedną, która nie jest ani pierwsza, ani liczba złożona, a następnie przekreślić przez jeden wszystkie liczby następujące po 2 (liczby będące wielokrotnościami 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Pierwszą pozostałą liczbą po 2 było 3. Następnie po dwójce wszystkie liczby występujące po 3 (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały przekreślone. w końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskrzyżowane.