Odpowiedź: szereg jest rozbieżny.

Przykład nr 3

Znajdź sumę szeregu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Ponieważ dolna granica sumowania wynosi 1, wyraz wspólny szeregu zapisuje się pod znakiem sumy: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Zróbmy n-tą sumę częściową szeregu, tj. Podsumujmy pierwsze $n$ wyrazy danej serii liczbowej:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Dlaczego piszę dokładnie $\frac(2)(3\cdot 5)$, a nie $\frac(2)(15)$, wyjaśni się z dalszej narracji. Jednak zapisanie częściowej kwoty nie przybliżyło nas ani na jotę do celu. Musimy znaleźć $\lim_(n\to\infty)S_n$, ale jeśli po prostu napiszemy:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

wówczas ten zapis, całkowicie poprawny w formie, w istocie nic nam nie da. Aby znaleźć granicę, należy najpierw uprościć wyrażenie na sumę częściową.

Istnieje na to standardowa transformacja, która polega na rozłożeniu ułamka $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, który reprezentuje wyraz ogólny szeregu, na ułamki elementarne. Osobny temat poświęcony jest zagadnieniu rozkładu ułamków wymiernych na elementarne (patrz np. przykład nr 3 na tej stronie). Rozbudowując ułamek $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ na ułamki elementarne otrzymamy:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Przyrównujemy liczniki ułamków po lewej i prawej stronie powstałej równości:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Istnieją dwa sposoby znalezienia wartości $A$ i $B$. Możesz otworzyć nawiasy i zmienić układ terminów lub po prostu zastąpić odpowiednie wartości zamiast $n$. Dla urozmaicenia w tym przykładzie pójdziemy pierwszą drogą, a w kolejnym podstawimy wartości prywatne $n$. Otwierając nawiasy i zmieniając kolejność wyrazów, otrzymujemy:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

Po lewej stronie równości $n$ jest poprzedzone zerem. Jeśli chcesz, dla przejrzystości lewa strona równości może być przedstawiona jako $0\cdot n+ 2$. Ponieważ po lewej stronie równości $n$ jest poprzedzone zerem, a po prawej stronie równości $n$ jest poprzedzone $2A+2B$, mamy pierwsze równanie: $2A+2B=0$. Podzielmy natychmiast obie strony tego równania przez 2, po czym otrzymamy $A+B=0$.

Ponieważ po lewej stronie równości wolny wyraz jest równy 2, a po prawej stronie równości wolny wyraz jest równy $3A+B$, to $3A+B=2$. Mamy więc układ:

$$ \left\(\begin(wyrównane) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Dowód przeprowadzimy metodą indukcji matematycznej. W pierwszym kroku należy sprawdzić, czy udowadniana równość jest prawdziwa $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ dla $n=1$. Wiemy, że $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, ale czy wyrażenie $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ da wartość $\frac( 2 )(15)$, jeśli podstawimy do niego $n=1$? Sprawdźmy:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

Zatem dla $n=1$ równość $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest spełniona. Na tym kończy się pierwszy etap metody indukcji matematycznej.

Załóżmy, że dla $n=k$ równość jest spełniona, tj. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Udowodnimy, że ta sama równość zostanie spełniona dla $n=k+1$. Aby to zrobić, rozważ $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Ponieważ $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, to $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Zgodnie z powyższym założeniem $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ stąd wzór $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ przyjmie postać:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Wniosek: wzór $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest poprawny dla $n=k+1$. Zatem zgodnie z metodą indukcji matematycznej wzór $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ jest prawdziwy dla dowolnego $n\w N$. Udowodniono równość.

Na standardowym kursie matematyki wyższej zadowalają się zazwyczaj „przekreślaniem” terminów unieważniających, nie wymagając żadnego dowodu. Otrzymaliśmy więc wyrażenie na n-tą sumę częściową: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Znajdźmy wartość $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Wniosek: dany szereg jest zbieżny i jego suma wynosi $S=\frac(1)(3)$.

Drugi sposób uproszczenia wzoru na sumę częściową.

Szczerze mówiąc, sam wolę tę metodę :) Zapiszmy częściową kwotę w wersji skróconej:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

Otrzymaliśmy wcześniej, że $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, zatem:

$$ S_n=\suma\limity_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\suma\limity_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

Suma $S_n$ zawiera skończoną liczbę terminów, więc możemy je dowolnie zmieniać. Chcę najpierw dodać wszystkie wyrazy w postaci $\frac(1)(2k+1)$, a dopiero potem przejść do wyrazów w postaci $\frac(1)(2k+3)$. Oznacza to, że kwotę częściową zaprezentujemy następująco:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Oczywiście rozszerzona notacja jest niezwykle niewygodna, więc powyższą równość można zapisać w bardziej zwięzły sposób:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\suma\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Przekształćmy teraz wyrażenia $\frac(1)(2k+1)$ i $\frac(1)(2k+3)$ w jedną formę. Myślę, że wygodniej jest zredukować go do postaci większej frakcji (choć można zastosować mniejszą, to kwestia gustu). Ponieważ $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (im większy mianownik, tym mniejszy ułamek) podamy ułamek $\frac(1)(2k+ 3) $ do postaci $\frac(1)(2k+1)$.

Przedstawię wyrażenie w mianowniku ułamka $\frac(1)(2k+3)$ następująco:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

A sumę $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ można teraz zapisać w następujący sposób:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\suma\limity_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Jeżeli równość $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ nie rodzi żadnych pytań, więc przejdźmy dalej. W razie pytań prosimy o rozwinięcie notatki.

Jak otrzymaliśmy przeliczoną kwotę? Pokaż ukryj

Mieliśmy szereg $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Wprowadźmy nową zmienną zamiast $k+1$ - na przykład $t$. Zatem $t=k+1$.

Jak zmieniła się stara zmienna $k$? I zmieniło się z 1 na $n$. Przekonajmy się, jak zmieni się nowa zmienna $t$. Jeśli $k=1$, to $t=1+1=2$. Jeśli $k=n$, to $t=n+1$. Zatem wyrażenie $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ma teraz postać: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Mamy sumę $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Pytanie: czy ma znaczenie, która litera zostanie użyta w tej kwocie? :) Po prostu wpisując literę $k$ zamiast $t$, otrzymamy co następuje:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

W ten sposób otrzymujemy równość $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Zatem sumę częściową można przedstawić w następujący sposób:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\suma\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). $$

Zauważ, że sumy $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ i $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ różnią się jedynie granicami sumowania. Sprawmy, aby te granice były takie same. „Odbierając” pierwszy element sumy $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ otrzymamy:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Odbierając” ostatni element z sumy $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, otrzymujemy:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\suma\limity_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Wówczas wyrażenie na sumę częściową będzie miało postać:

$$ S_n=\suma\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\suma\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\suma\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\suma\limity_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Jeśli pominiesz wszystkie wyjaśnienia, to proces znajdowania skróconego wzoru na n-tą sumę częściową będzie miał następującą postać:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\suma\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\suma\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Przypomnę, że ułamek $\frac(1)(2k+3)$ zredukowaliśmy do postaci $\frac(1)(2k+1)$. Można oczywiście zrobić odwrotnie, tzn. reprezentują ułamek $\frac(1)(2k+1)$ jako $\frac(1)(2k+3)$. Ostateczne wyrażenie sumy częściowej nie ulegnie zmianie. W tym przypadku proces poszukiwania częściowej kwoty ukryję pod notatką.

Jak znaleźć $ S_n $, jeśli zostanie przekonwertowany na inny ułamek? Pokaż ukryj

$$ S_n =\suma\limity_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\suma\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\suma\limity_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

Zatem $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Znajdź granicę $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Podany szereg jest zbieżny i jego suma $S=\frac(1)(3)$.

Odpowiedź: $S=\frac(1)(3)$.

Kontynuacja tematu znajdowania sumy szeregu zostanie omówiona w części drugiej i trzeciej.

Podstawowe definicje

Definicja. Suma wyrazów nieskończonego ciągu liczbowego nazywana jest szeregiem liczbowym.

W tym przypadku liczby nazwiemy członkami szeregu, a un - wspólnym wyrazem szeregu.

Definicja. Sumy n = 1, 2, ... nazywane są sumami prywatnymi (częściowymi) szeregu.

Można zatem rozważać ciągi sum częściowych szeregu S1, S2, …, Sn, …

Definicja. Szereg nazywa się zbieżnym, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny. Suma szeregu zbieżnego jest granicą ciągu jego sum cząstkowych.

Definicja. Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest rozbieżny, tj. nie ma granicy lub ma granicę nieskończoną, wówczas szereg nazywa się rozbieżnym i nie jest do niego przypisana żadna suma.

Właściwości wiersza

1) Zbieżność lub rozbieżność szeregu nie zostanie naruszona, jeśli zmienisz, odrzucisz lub dodasz skończoną liczbę wyrazów szeregu.

2) Rozważmy dwie serie i, gdzie C jest liczbą stałą.

Twierdzenie. Jeśli szereg jest zbieżny i jego suma jest równa S, to szereg jest również zbieżny i jego suma jest równa CS. (C0)

3) Rozważ dwa wiersze i. Sumę lub różnicę tych szeregów nazwiemy szeregiem, w którym elementy powstają w wyniku dodania (odjęcia) elementów pierwotnych o tych samych liczbach.

Twierdzenie. Jeśli szereg i zbiegają się, a ich sumy są równe S i odpowiednio, to szereg również jest zbieżny, a jego suma jest równa S +.

Różnica dwóch szeregów zbieżnych będzie również szeregiem zbieżnym.

Suma szeregu zbieżnego i rozbieżnego jest szeregiem rozbieżnym.

Nie da się sformułować ogólnego stwierdzenia na temat sumy dwóch rozbieżnych szeregów.

Badając szeregi, rozwiązują głównie dwa problemy: badanie zbieżności i znajdowanie sumy szeregu.

Kryterium Cauchy’ego.

(warunki konieczne i wystarczające zbieżności szeregu)

Aby ciąg był zbieżny, konieczne i wystarczające jest, aby dla dowolnego istniała liczba N taka, że ​​dla n > N i dowolnego p > 0, gdzie p jest liczbą całkowitą, nierówność zachodziłaby:

Dowód. (konieczność)

Niech więc dla dowolnej liczby istnieje taka liczba N, która spełnia nierówność

jest spełniony, gdy n>N. Dla n>N i dowolnej liczby całkowitej p>0 nierówność również zachodzi. Uwzględniając obie nierówności otrzymujemy:

Udowodniono, że istnieje taka potrzeba. Nie będziemy rozważać dowodu wystarczalności.

Sformułujmy kryterium Cauchy'ego dla szeregu.

Aby szereg był zbieżny, konieczne i wystarczające jest, aby dla dowolnego istniała liczba N taka, że ​​dla n>N i dowolnego p>0 nierówność będzie zachowana

Jednak w praktyce bezpośrednie stosowanie kryterium Cauchy’ego nie jest zbyt wygodne. Dlatego z reguły stosuje się prostsze testy zbieżności:

1) Jeżeli szereg jest zbieżny, konieczne jest, aby wspólny wyraz un dążył do zera. Jednakże warunek ten nie jest wystarczający. Można tylko powiedzieć, że jeśli wspólny wyraz nie dąży do zera, to szereg zdecydowanie się rozbiega. Na przykład tak zwany szereg harmoniczny jest rozbieżny, chociaż jego wspólny człon dąży do zera.

Szereg liczbowy to ciąg rozpatrywany łącznie z innym ciągiem (zwany także ciągiem sum częściowych). Podobne koncepcje są stosowane w analizie matematycznej i złożonej.

Sumę serii liczb można łatwo obliczyć w programie Excel za pomocą funkcji SERIA.SUMA. Spójrzmy na przykład działania tej funkcji, a następnie zbuduj wykres funkcji. Nauczmy się, jak w praktyce wykorzystywać szeregi liczbowe przy obliczaniu wzrostu kapitału. Ale najpierw trochę teorii.

Suma szeregów liczbowych

Szereg liczb można traktować jako system przybliżeń liczb. Aby to wyznaczyć, użyj wzoru:

Oto początkowa sekwencja liczb w szeregu i zasada sumowania:

• ∑ - znak matematyczny sumy;
• a i - argument ogólny;
• i jest zmienną, regułą zmiany każdego kolejnego argumentu;
• ∞ to znak nieskończoności, „granica”, do której przeprowadzane jest sumowanie.

Zapis oznacza: sumuje się liczby naturalne od 1 do „plus nieskończoność”. Ponieważ i = 1, obliczanie sumy rozpoczyna się od jedności. Gdyby była tu inna liczba (na przykład 2, 3), to zaczynalibyśmy od niej sumowanie (od 2, 3).

Zgodnie ze zmienną i szereg można zapisać w rozwinięciu:

A 1 + za 2 + za 3 + za 4 + za 5 + ... (aż do „plus nieskończoność”).

Definicja sumy szeregu liczbowego jest podana poprzez „sumy częściowe”. W matematyce oznacza się je Sn. Zapiszmy nasz szereg liczbowy w postaci sum częściowych:

S 2 = za 1 + za 2

S 3 = za 1 + za 2 + za 3

S 4 = za 1 + za 2 + za 3 + za 4

Suma szeregu liczbowego jest granicą sum częściowych S n . Jeżeli granica jest skończona, mówimy o szeregu „zbieżnym”. Nieskończony - o „rozbieżnym”.

Najpierw znajdźmy sumę szeregu liczbowego:

Zbudujmy teraz tabelę wartości członków serii w Excelu:

Ogólny pierwszy argument bierzemy ze wzoru: i=3.

Wszystkie następujące wartości i znajdujemy za pomocą wzoru: =B4+$B$1. Umieść kursor w prawym dolnym rogu komórki B5 i pomnóż formułę.

Znajdźmy wartości. Uaktywnij komórkę C4 i wprowadź formułę: =SUMA(2*B4+1). Skopiuj komórkę C4 do określonego zakresu.

Wartość sumy argumentów uzyskuje się za pomocą funkcji: =SUMA(C4:C11). Kombinacja klawiszy skrótu ALT+„+” (plus na klawiaturze).



Funkcja ROW.SUM w Excelu

Aby znaleźć sumę serii liczb w programie Excel, użyj funkcji matematycznej SERIA.SUMA. Program wykorzystuje następującą formułę:

Argumenty funkcji:

• x – wartość zmiennej;
• n – stopień pierwszego argumentu;
• m jest krokiem, o który zwiększa się stopień w każdym kolejnym okresie;
• a są współczynnikami odpowiednich potęg x.

Ważne warunki działania funkcji:

• wszystkie argumenty są wymagane (tzn. wszystkie muszą zostać wypełnione);
• wszystkie argumenty są wartościami NUMERYCZNYMI;
• wektor współczynników ma stałą długość (granica „nieskończoności” nie będzie działać);
• liczba „współczynników” = liczba argumentów.

Obliczanie sumy szeregu w programie Excel

Ta sama funkcja SERIES.SUM działa z szeregami potęgowymi (jeden z wariantów szeregu funkcyjnego). W przeciwieństwie do liczb, ich argumentami są funkcje.

Serie funkcjonalne są często wykorzystywane w sferze finansowej i ekonomicznej. Można powiedzieć, że to jest ich obszar zastosowań.

Na przykład zdeponowali w banku określoną kwotę pieniędzy (a) na określony czas (n). Mamy roczną płatność w wysokości x procent. Aby obliczyć naliczoną kwotę na koniec pierwszego okresu, stosuje się wzór:

S 1 = za (1 + x).

Pod koniec drugiego i kolejnych okresów forma wyrażeń jest następująca:

S 2 = za (1 + x) 2 ; S 3 = za (1 + x) 2 itd.

Aby znaleźć sumę:

S n = za (1 + x) + za (1 + x) 2 + za (1 + x) 3 + … + za (1 + x) n

Sumy częściowe w programie Excel można znaleźć za pomocą funkcji BS().

Początkowe parametry zadania szkoleniowego:

Używając standardowej funkcji matematycznej, znajdujemy skumulowaną kwotę na końcu terminu. W tym celu w komórce D2 stosujemy formułę: =B2*STOPIEŃ(1+B3;4)

Teraz w komórce D3 rozwiążemy ten sam problem, korzystając z wbudowanej funkcji Excela: =BS(B3;B1;;-B2)

Wyniki są takie same, takie jakie powinny być.

Jak wypełnić argumenty funkcji BS():

1. „Stopa” to stopa procentowa, według której dokonywany jest depozyt. Ponieważ format procentowy jest ustawiony w komórce B3, po prostu podaliśmy link do tej komórki w polu argumentu. Gdyby podano liczbę, byłaby ona zapisywana jako jedna setna (20/100).
2. „Nper” oznacza liczbę okresów spłaty odsetek. W naszym przykładzie – 4 lata.
3. „Plt” – płatności okresowe. W naszym przypadku nie ma ich wcale. Dlatego nie wypełniamy pola argumentu.
4. „Ps” - „wartość bieżąca”, kwota depozytu. Ponieważ rozstajemy się z tymi pieniędzmi na jakiś czas, parametr oznaczamy znakiem „-”.

Zatem funkcja BS pomogła nam znaleźć sumę szeregu funkcyjnego.

Excel ma inne wbudowane funkcje umożliwiające wyszukiwanie różnych parametrów. Zazwyczaj są to funkcje do pracy z projektami inwestycyjnymi, papierami wartościowymi i odpisami amortyzacyjnymi.

Rysowanie funkcji sumy szeregu liczbowego

Zbudujmy wykres funkcji odzwierciedlający wzrost kapitału. W tym celu należy skonstruować wykres funkcji będącej sumą skonstruowanego szeregu. Jako przykład weźmy te same dane na depozycie:

Pierwsza linia pokazuje skumulowaną kwotę po roku. W drugim - w dwóch. I tak dalej.

Stwórzmy kolejną kolumnę, w której odzwierciedlimy zysk:

Tak jak myśleliśmy - na pasku formuły.

Na podstawie uzyskanych danych skonstruujemy wykres funkcji.

Wybierzmy 2 zakresy: A5:A9 i C5:C9. Przejdź do zakładki „Wstaw” - narzędzie „Diagramy”. Wybierz pierwszy wykres:

Sprawmy, aby problem był jeszcze bardziej „stosowany”. W przykładzie zastosowaliśmy odsetki składane. Naliczane są od kwoty naliczonej w poprzednim okresie.

Dla porównania weźmy odsetki proste. Prosta formuła odsetek w Excelu: =$B$2*(1+A6*B6)

Dodajmy uzyskane wartości do wykresu „Wzrost kapitału”.

Wiadomo, jakie wnioski wyciągnie inwestor.

Wzór matematyczny na sumę częściową szeregu funkcyjnego (z odsetkami prostymi): S n = a (1 + x*n), gdzie a to kwota początkowej lokaty, x to odsetki, n to okres.

W celu obliczyć sumę szeregu, wystarczy dodać elementy wiersza określoną liczbę razy. Na przykład:

W powyższym przykładzie zrobiono to bardzo prosto, ponieważ należało je zsumować skończoną liczbę razy. Ale co, jeśli górną granicą sumowania jest nieskończoność? Na przykład, jeśli musimy znaleźć sumę następującego szeregu:

Analogicznie do poprzedniego przykładu kwotę tę możemy zapisać w następujący sposób:

Ale co dalej?! Na tym etapie konieczne jest wprowadzenie koncepcji częściowa suma szeregu. Więc, częściowa suma szeregu(oznaczone jako S n) jest sumą pierwszych n wyrazów szeregu. Te. w naszym przypadku:

Następnie sumę szeregu pierwotnego można obliczyć jako granicę sumy częściowej:

Zatem dla obliczanie sumy szeregu, należy w jakiś sposób znaleźć wyrażenie na sumę częściową szeregu (S n ). W naszym konkretnym przypadku szereg jest malejącym postępem geometrycznym o mianowniku 1/3. Jak wiadomo, sumę pierwszych n elementów ciągu geometrycznego oblicza się ze wzoru:

tutaj b 1 jest pierwszym elementem postępu geometrycznego (w naszym przypadku jest to 1), a q jest mianownikiem postępu (w naszym przypadku 1/3). Dlatego suma częściowa S n dla naszego szeregu jest równa:

Wtedy suma naszego szeregu (S) zgodnie z definicją podaną powyżej jest równa:

Omówione powyżej przykłady są dość proste. Zwykle obliczenie sumy szeregu jest znacznie trudniejsze, a największą trudność stanowi znalezienie sumy częściowej szeregu. Prezentowany poniżej kalkulator internetowy, stworzony w oparciu o system Wolfram Alpha, pozwala na obliczenie sumy dość skomplikowanych szeregów. Co więcej, jeśli kalkulator nie mógł znaleźć sumy szeregu, jest prawdopodobne, że szereg jest rozbieżny (w takim przypadku kalkulator wyświetla komunikat „suma rozbieżna”), tj. Kalkulator ten pomaga również pośrednio zorientować się w zbieżności szeregów.

Aby znaleźć sumę swojego szeregu, musisz podać zmienną szeregu, dolną i górną granicę sumowania, a także wyrażenie na n-ty wyraz szeregu (tj. rzeczywiste wyrażenie na sam szereg) .

Podstawowe definicje.

Definicja. Nazywa się sumą wyrazów nieskończonego ciągu liczbowego seria liczb.

Jednocześnie liczby
nazwiemy ich członkami serii i ty N– zwykły członek serii.

Definicja. Kwoty
,N = 1, 2, … są nazywane kwoty prywatne (częściowe). wiersz.

Można zatem rozważać ciągi sum częściowych szeregu S 1 , S 2 , …, S N , …

Definicja. Wiersz
zwany zbieżny, jeśli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny. Suma szeregów zbieżnych jest granicą ciągu jego sum częściowych.

Definicja. Jeżeli ciąg sum częściowych szeregu jest rozbieżny, tj. nie ma granicy lub ma nieskończoną granicę, wówczas szereg nazywa się rozbieżny i nie jest do niego przypisana żadna kwota.

Właściwości wierszy.

1) Zbieżność lub rozbieżność szeregu nie zostanie naruszona, jeśli zmienisz, odrzucisz lub dodasz skończoną liczbę wyrazów szeregu.

2) Rozważmy dwa rzędy
I
, gdzie C jest liczbą stałą.

Twierdzenie. Jeśli rząd
jest zbieżny i jego suma jest równaS, potem seria
również jest zbieżny, a jego suma jest równa CS. (C  0)

3) Rozważmy dwa rzędy
I
.Kwota Lub różnica z tych szeregów będzie nazywana serią
, gdzie elementy otrzymuje się przez dodanie (odjęcie) oryginalnych elementów o tych samych liczbach.

Twierdzenie. Jeśli rzędy
I
zbiegają się i ich sumy są odpowiednio równeSI , potem seria
również jest zbieżny i jego suma jest równaS +  .

Różnica dwóch szeregów zbieżnych będzie również szeregiem zbieżnym.

Suma szeregu zbieżnego i rozbieżnego jest szeregiem rozbieżnym.

Nie da się sformułować ogólnego stwierdzenia na temat sumy dwóch rozbieżnych szeregów.

Badając szeregi, rozwiązują głównie dwa problemy: badanie zbieżności i znajdowanie sumy szeregu.

Kryterium Cauchy’ego.

(warunki konieczne i wystarczające zbieżności szeregu)

W kolejności
była zbieżna, jest to konieczne i wystarczające dla każdego
był taki numerN, że o godzN > Ni jakikolwiekP> 0, gdzie p jest liczbą całkowitą, zachodziłaby nierówność:

.

Dowód. (konieczność)

Pozwalać
, to dla dowolnej liczby
istnieje liczba N taka, że ​​nierówność

jest spełniony, gdy n>N. Dla n>N i dowolnej liczby całkowitej p>0 nierówność również zachodzi
. Uwzględniając obie nierówności otrzymujemy:

Udowodniono, że istnieje taka potrzeba. Nie będziemy rozważać dowodu wystarczalności.

Sformułujmy kryterium Cauchy'ego dla szeregu.

Aby seria
była zbieżna, jest to konieczne i wystarczające dla każdego
był numerNtaki, że o godzN> Ni jakikolwiekP> 0, nierówność byłaby zachowana

.

Jednak w praktyce bezpośrednie stosowanie kryterium Cauchy’ego nie jest zbyt wygodne. Dlatego z reguły stosuje się prostsze testy zbieżności:

1) Jeśli wiersz
zbiega się, konieczne jest określenie wspólnego terminu ty N dążył do zera. Jednakże warunek ten nie jest wystarczający. Można tylko powiedzieć, że jeśli wspólny wyraz nie dąży do zera, to szereg zdecydowanie się rozbiega. Na przykład tak zwany szereg harmoniczny jest rozbieżny, chociaż jego wspólny termin dąży do zera.

Przykład. Zbadaj zbieżność szeregu

Znajdziemy
- nie jest spełnione niezbędne kryterium zbieżności, co oznacza, że ​​szereg jest rozbieżny.

2) Jeżeli szereg jest zbieżny, to ciąg jego sum cząstkowych jest ograniczony.

Jednak ten znak również nie jest wystarczający.

Na przykład szereg 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… jest rozbieżny, ponieważ kolejność jego sum częściowych jest odmienna ze względu na to, że

Jednak sekwencja sum częściowych jest ograniczona, ponieważ
w ogóle N.

Szeregi z wyrazami nieujemnymi.

Badając szeregi o stałym znaku, ograniczymy się do rozpatrywania szeregów z wyrazami nieujemnymi, ponieważ proste pomnożenie tych szeregów przez –1 może dać szereg z wyrazami ujemnymi.

Twierdzenie. Dla zbieżności szeregu
w przypadku wyrazów nieujemnych konieczne i wystarczające jest ograniczenie sum częściowych szeregu.

Znak do porównywania szeregów z wyrazami nieujemnymi.

Niech zostaną podane dwa rzędy
I
Na ty N , w N  0 .

Twierdzenie. Jeśli ty N  w N w ogóle N, to ze zbieżności szeregu
szereg jest zbieżny
, oraz z rozbieżności szeregu
szereg jest rozbieżny
.

Dowód. Oznaczmy przez S N I  N sumy częściowe szeregów
I
. Ponieważ zgodnie z warunkami twierdzenia, szereg
jest zbieżny, to jego sumy cząstkowe są ograniczone, tj. przed wszystkimi N n  M, gdzie M jest pewną liczbą. Ale ponieważ ty N  w N, To S N   N następnie sumy częściowe szeregu
są również ograniczone i to wystarczy do osiągnięcia konwergencji.

Przykład. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Ponieważ
i szereg harmoniczny jest rozbieżny, to szereg jest rozbieżny
.

Przykład.

Ponieważ
i serial
jest zbieżny (jak malejący postęp geometryczny), to szereg
również się zbiega.

Stosowany jest również następujący znak zbieżności:

Twierdzenie. Jeśli
i jest granica
, GdzieH– liczba różna od zera, następnie seria
I
zachowują się identycznie pod względem zbieżności.

Objaw D'Alemberta.

(Jean Leron d'Alembert (1717 - 1783) - francuski matematyk)

Jeśli dla serii
w przypadku wyrazów dodatnich istnieje taka liczbaQ<1, что для всех достаточно больших Nnierówność zachodzi

potem seria
zbiega się, jeśli dla wszystkich są wystarczająco dużeNwarunek jest spełniony

potem seria
różni się.

Znak ograniczający D'Alemberta.

Kryterium ograniczające D'Alemberta jest konsekwencją powyższego kryterium D'Alemberta.

Jeśli istnieje granica
, wtedy, kiedy < 1 ряд сходится, а при  > 1 – różni się. Jeśli = 1, to nie można odpowiedzieć na pytanie o zbieżność.

Przykład. Wyznacz zbieżność szeregu .

Wniosek: szereg jest zbieżny.

Przykład. Wyznacz zbieżność szeregu

Wniosek: szereg jest zbieżny.

objaw Cauchy’ego. (znak radykalny)

Jeśli dla serii
w przypadku terminów nieujemnych istnieje taka liczbaQ<1, что для всех достаточно больших Nnierówność zachodzi

,

potem seria
zbiega się, jeśli dla wszystkich są wystarczająco dużeNnierówność zachodzi

potem seria
różni się.

Konsekwencja. Jeśli istnieje granica
, wtedy, kiedy<1 ряд сходится, а при >Rząd 1 jest rozbieżny.

Przykład. Wyznacz zbieżność szeregu
.

Wniosek: szereg jest zbieżny.

Przykład. Wyznacz zbieżność szeregu
.

Te. Test Cauchy'ego nie daje odpowiedzi na pytanie o zbieżność szeregu. Sprawdźmy, czy spełnione są niezbędne warunki zbieżności. Jak wspomniano powyżej, jeśli szereg jest zbieżny, wówczas wspólny wyraz szeregu dąży do zera.

,

Zatem warunek konieczny zbieżności nie jest spełniony, co oznacza, że ​​szereg jest rozbieżny.

Całkowy test Cauchy’ego.

Jeśli (x) jest ciągłą funkcją dodatnią malejącą w przedziale I
następnie całki
I
zachowują się identycznie pod względem zbieżności.

Seria naprzemienna.

Naprzemienne rzędy.

Szereg naprzemienny można zapisać jako:

Gdzie

Znak Leibniza.

Jeśli znak rzędu naprzemiennego Wartości bezwzględnety I maleją
a wspólny termin dąży do zera
, to szereg jest zbieżny.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa szeregów.

Rozważmy szeregi naprzemienne (z wyrazami dowolnych znaków).

(1)

oraz szereg złożony z wartości bezwzględnych członków szeregu (1):

(2)

Twierdzenie. Ze zbieżności szeregu (2) wynika zbieżność szeregu (1).

Dowód. Szereg (2) to szereg z wyrazami nieujemnymi. Jeżeli szereg (2) jest zbieżny, to według kryterium Cauchy'ego dla dowolnego >0 istnieje liczba N taka, że ​​dla n>N i dowolnej liczby całkowitej p>0 prawdziwa jest nierówność:

Zgodnie z własnością wartości bezwzględnych:

Czyli zgodnie z kryterium Cauchy'ego ze zbieżności szeregu (2) wynika zbieżność szeregu (1).

Definicja. Wiersz
zwany absolutnie zbieżny, jeśli szereg jest zbieżny
.

Jest oczywiste, że dla szeregów o stałym znaku pojęcia zbieżności i zbieżności absolutnej są zbieżne.

Definicja. Wiersz
zwany warunkowo zbieżny, jeśli jest zbieżny i szereg
różni się.

Testy D'Alemberta i Cauchy'ego dla szeregów przemiennych.

Pozwalać
- serie naprzemienne.

Objaw D'Alemberta. Jeśli istnieje granica
, wtedy, kiedy<1 ряд
będzie absolutnie zbieżny i kiedy>

objaw Cauchy’ego. Jeśli istnieje granica
, wtedy, kiedy<1 ряд
będzie absolutnie zbieżny, a jeśli >1 szereg będzie rozbieżny. Gdy =1 znak nie daje odpowiedzi na temat zbieżności szeregu.

Własności szeregów absolutnie zbieżnych.

1) Twierdzenie. Dla absolutnej zbieżności szeregu
konieczne i wystarczające jest, aby można je było przedstawić jako różnicę dwóch zbieżnych szeregów o wyrazach nieujemnych.

Konsekwencja. Szereg warunkowo zbieżny to różnica dwóch szeregów rozbieżnych, których wyrazy nieujemne dążą do zera.

2) W szeregu zbieżnym każde zgrupowanie wyrazów szeregu, które nie zmienia ich kolejności, zachowuje zbieżność i wielkość szeregu.

3) Jeśli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to szereg otrzymany z niego przez dowolną permutację wyrazów również jest zbieżny bezwzględnie i ma tę samą sumę.

Przestawiając wyrazy szeregu warunkowo zbieżnego, można otrzymać szereg warunkowo zbieżny o dowolnej z góry określonej sumie, a nawet szereg rozbieżny.

4) Twierdzenie. Dla dowolnego zgrupowania członków szeregu absolutnie zbieżnego (w tym przypadku liczba grup może być skończona lub nieskończona, a liczba członków w grupie może być skończona lub nieskończona) otrzymuje się szereg zbieżny, sumę z czego jest równa sumie szeregu pierwotnego.

5) Jeśli wiersze I są zbieżne absolutnie i ich sumy są odpowiednio równe S i , to szereg złożony ze wszystkich iloczynów postaci
wzięty w dowolnej kolejności, również jest zbieżny bezwzględnie, a jego suma jest równa S - iloczyn sum pomnożonego szeregu.

Jeśli pomnożymy szeregi zbieżne warunkowo, w rezultacie otrzymamy szereg rozbieżny.

Sekwencje funkcjonalne.

Definicja. Jeśli członkami szeregu nie są liczby, ale funkcje X, to szereg nazywa się funkcjonalny.

Badanie zbieżności szeregów funkcjonalnych jest bardziej skomplikowane niż badanie szeregów numerycznych. Ten sam szereg funkcjonalny może przy tych samych wartościach zmiennych X zbiegają się, a z innymi - rozchodzą się. Zatem kwestia zbieżności szeregów funkcyjnych sprowadza się do określenia tych wartości zmiennej X, w którym szereg jest zbieżny.

Zbiór takich wartości nazywa się obszar konwergencji.

Ponieważ granicą każdej funkcji wchodzącej w obszar zbieżności szeregu jest pewna liczba, granicą ciągu funkcjonalnego będzie pewna funkcja:

Definicja. Podciąg ( F N (X) } zbiega się funkcjonować F(X) na odcinku, jeśli dla dowolnej liczby >0 i dowolnego punktu X z rozpatrywanego odcinka istnieje liczba N = N(, x), taka, że ​​jest to nierówność

jest spełniony, gdy n>N.

Przy wybranej wartości >0 każdy punkt odcinka ma swój numer i dlatego będzie nieskończona liczba liczb odpowiadających wszystkim punktom odcinka. Jeśli wybierzesz największą z tych wszystkich liczb, to liczba ta będzie odpowiednia dla wszystkich punktów odcinka, tj. będzie wspólne dla wszystkich punktów.

Definicja. Podciąg ( F N (X) } zbiega się równomiernie funkcjonować F(X) na odcinku , jeśli dla dowolnej liczby >0 istnieje liczba N = N() taka, że ​​nierówność

jest spełniony dla n>N dla wszystkich punktów odcinka.

Przykład. Rozważ kolejność

Ciąg ten zbiega się na całej osi liczbowej do funkcji F(X)=0 , ponieważ

Zbudujmy wykresy tej sekwencji:

grzech

Jak widać, wraz ze wzrostem liczby N wykres sekwencji zbliża się do osi X.

Seria funkcjonalna.

Definicja. Kwoty prywatne (częściowe). zakres funkcjonalny
nazywa się funkcje

Definicja. Zakres funkcjonalny
zwany zbieżny W punkcie ( x=x 0 ), jeżeli ciąg jego sum częściowych zbiega się w tym punkcie. Limit sekwencji
zwany kwota wiersz
w tym punkcie X 0 .

Definicja. Zestaw wszystkich wartości X, dla którego szereg jest zbieżny
zwany obszar konwergencji wiersz.

Definicja. Wiersz
zwany jednolicie zbieżny na przedziale, jeśli ciąg sum częściowych tego szeregu zbiega się równomiernie w tym przedziale.

Twierdzenie. (Kryterium Cauchy'ego dla jednostajnej zbieżności szeregów)

Dla jednorodnej zbieżności szeregu
jest to konieczne i wystarczające dla dowolnej liczby >0 taka liczba istniałaN( ), który o godzN> Ni dowolną całośćP> 0 nierówności

obowiązywałoby dla wszystkich x w przedziale [A, B].

Twierdzenie. (Test Weierstrassa na jednolitą zbieżność)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 – 1897) – niemiecki matematyk)

Wiersz
zbiega się równomiernie i bezwzględnie na przedziale [A, B], jeżeli moduły jego wyrazów w tym samym segmencie nie przekraczają odpowiednich wyrazów zbieżnego szeregu liczbowego z wyrazami dodatnimi:

te. istnieje nierówność:

.

Mówią też, że w tym przypadku szereg funkcjonalny
jest specjalizowany seria liczb
.

Przykład. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności
.

Ponieważ
zawsze, to oczywiste
.

Ponadto wiadomo, że ogólny szereg harmoniczny gdy=3>1 jest zbieżny, to zgodnie z testem Weierstrassa badany szereg jest zbieżny jednostajnie i w dodatku w dowolnym przedziale.

Przykład. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności .

Na przedziale [-1,1] zachodzi nierówność
te. zgodnie z kryterium Weierstrassa badany szereg jest zbieżny na tym odcinku, natomiast rozbiega się na przedziałach (-, -1)  (1, ).

Własności szeregów jednostajnie zbieżnych.

1) Twierdzenie o ciągłości sumy szeregu.

Jeśli członkowie serii
- ciągły na odcinku [A, B] i szereg jest zbieżny jednostajnie, to jego sumaS(X) jest funkcją ciągłą na przedziale [A, B].

2) Twierdzenie o całkowaniu szeregu.

Jednolicie zbieżny na odcinku [A, B] szereg z wyrazami ciągłymi można całkować wyraz po wyrazie w tym przedziale, tj. szereg złożony z całek jego wyrazów po segmencie [A, B] zbiega się do całki z sumy szeregu po tym segmencie.

3) Twierdzenie o różniczkowaniu szeregu wyraz po wyrazie.

Jeśli członkowie serii
zbieżny na odcinku [A, B] reprezentują funkcje ciągłe posiadające pochodne ciągłe oraz szereg złożony z tych pochodnych
zbiega się równomiernie na tym odcinku, to szereg ten jest zbieżny równomiernie i można go różnicować wyraz po wyrazie.

Opierając się na fakcie, że suma szeregu jest jakąś funkcją zmiennej X, możesz wykonać operację przedstawienia funkcji w postaci szeregu (rozwinięcie funkcji w szereg), która jest szeroko stosowana w całkowaniu, różniczkowaniu i innych operacjach na funkcjach.

W praktyce często stosuje się rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy.

Seria potęgowa.

Definicja. Seria potęgowa nazywa się szeregiem postaci

.

Do badania zbieżności szeregów potęgowych wygodnie jest zastosować test D'Alemberta.

Przykład. Zbadaj szereg pod kątem zbieżności

Stosujemy znak d'Alemberta:

.

Widzimy, że szereg ten jest zbieżny w punkcie
i różni się w
.

Teraz wyznaczamy zbieżność w punktach granicznych 1 i –1.

Dla x = 1:
Szereg jest zbieżny według kryterium Leibniza (por Znak Leibniza.).

Przy x = -1:
szereg jest rozbieżny (szereg harmoniczny).

Twierdzenia Abela.

(Nils Henrik Abel (1802 – 1829) – norweski matematyk)

Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy
zbiega się o godzX = X 1 , wtedy zbiega się, a ponadto dla absolutnie każdego
.

Dowód. Zgodnie z warunkami twierdzenia, ponieważ wyrazy szeregu są zatem ograniczone

Gdzie k- jakaś stała liczba. Prawdziwa jest następująca nierówność:

Z tej nierówności wynika, że ​​kiedy X< X 1 wartości liczbowe wyrazów naszego szeregu będą mniejsze (przynajmniej nie większe) niż odpowiadające im wyrazy szeregu po prawej stronie zapisanej powyżej nierówności, które tworzą postęp geometryczny. Mianownik tej progresji zgodnie z warunkami twierdzenia jest ona mniejsza niż jeden, zatem postęp ten jest szeregiem zbieżnym.

Zatem na podstawie kryterium porównania stwierdzamy, że szereg
jest zbieżny, co oznacza szereg
zbiega się absolutnie.

Zatem jeśli szereg potęgowy
zbiega się w jednym punkcie X 1 , to zbiega się absolutnie w dowolnym punkcie przedziału o długości 2 wyśrodkowany w jednym punkcie X = 0.

Konsekwencja. Jestem gruby x = x 1 szereg jest rozbieżny, to rozbieżny jest dla wszystkich
.

Zatem dla każdego szeregu potęgowego istnieje liczba dodatnia R taka, że ​​dla wszystkich X takie, że
szereg jest absolutnie zbieżny i dla wszystkich
rząd się różni. W tym przypadku wywoływana jest liczba R promień zbieżności. Nazywa się przedział (-R, R). przedział zbieżności.

Należy pamiętać, że ten przedział może być domknięty z jednej lub obu stron, albo może nie być zamknięty.

Promień zbieżności można wyznaczyć korzystając ze wzoru:

Przykład. Znajdź obszar zbieżności szeregu

Znalezienie promienia zbieżności
.

Zatem szereg ten jest zbieżny dla dowolnej wartości X. Wyraz wspólny tego szeregu dąży do zera.

Twierdzenie. Jeżeli szereg potęgowy
zbiega się dla wartości dodatniej x=x 1 , to zbiega się równomiernie w dowolnym przedziale wewnątrz
.

Działania z szeregami potęgowymi.