Jest oczywiste, że liczby posiadające potęgi można dodawać tak samo, jak inne wielkości , dodając je jeden po drugim wraz z ich znakami.

Zatem suma a 3 i b 2 wynosi a 3 + b 2.
Suma a 3 - b n i h 5 -d 4 to a 3 - b n + h 5 - d 4.

Szanse równe potęgi identycznych zmiennych można dodać lub odjąć.

Zatem suma 2a 2 i 3a 2 jest równa 5a 2.

Jest także oczywiste, że jeśli weźmiemy dwa kwadraty a, trzy kwadraty a lub pięć kwadratów a.

Ale stopnie różne zmienne I różne stopnie identyczne zmienne, należy skomponować poprzez dodanie ich wraz ze znakami.

Zatem suma 2 i 3 jest sumą 2 + 3.

Jest oczywiste, że kwadrat a i sześcian a nie są równe dwukrotności kwadratu a, ale dwukrotności sześcianu a.

Suma a 3 b n i 3a 5 b 6 wynosi a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odejmowanie potęgowanie wykonuje się w taki sam sposób jak dodawanie, z tą różnicą, że należy odpowiednio zmienić znaki odejmowań.

Lub:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Mnożenie potęg

Liczby posiadające potęgę można mnożyć, podobnie jak inne wielkości, wpisując je jedna po drugiej, ze znakiem mnożenia lub bez niego.

Zatem wynikiem pomnożenia a 3 przez b 2 jest a 3 b 2 lub aaabb.

Lub:
x -3 ⋅ za m = za m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
za 2 b 3 y 2 ⋅ za 3 b 2 y = za 2 b 3 y 2 za 3 b 2 r

Wynik w ostatnim przykładzie można uporządkować, dodając identyczne zmienne.
Wyrażenie będzie miało postać: a 5 b 5 y 3.

Porównując kilka liczb (zmiennych) z potęgami, możemy zobaczyć, że jeśli pomnożymy dowolne dwie z nich, to otrzymamy liczbę (zmienną) o potędze równej kwota stopnie terminów.

Zatem a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Tutaj 5 jest potęgą wyniku mnożenia, równą 2 + 3, sumą potęg wyrazów.

Zatem a n .a m = a m+n .

Dla n, a przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi potęga n;

A m przyjmuje się jako współczynnik tyle razy, ile wynosi stopień m;

Dlatego, Potęgi o tej samej podstawie można pomnożyć, dodając wykładniki potęg.

Zatem a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . I x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Lub:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Pomnóż (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpowiedź: x 4 - y 4.
Pomnóż (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Zasada ta dotyczy również liczb, których wykładniki są negatywny.

1. Zatem a -2 .a -3 = a -5 . Można to zapisać jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jeśli a + b zostanie pomnożone przez a - b, wynikiem będzie a 2 - b 2: to znaczy

Wynik pomnożenia sumy lub różnicy dwóch liczb jest równy sumie lub różnicy ich kwadratów.

Jeśli pomnożysz sumę i różnicę dwóch podniesionych liczb kwadrat, wynik będzie równy sumie lub różnicy tych liczb w czwarty stopni.

Zatem (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = za 4 - y 4.
(za 4 - y 4)⋅(za 4 + y 4) = za 8 - y 8.

Podział stopni

Liczby posiadające potęgę można dzielić jak inne liczby, odejmując od dzielnej lub umieszczając je w postaci ułamkowej.

Zatem a 3 b 2 podzielone przez b 2 równa się 3.

Lub:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zapisanie 5 podzielonej przez 3 wygląda jak $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to jest równe 2. W szeregu liczb
za +4 , za +3 ​​, za +2 , za +1 , za 0 , za -1 , za -2 , za -3 , za -4 .
dowolną liczbę można podzielić przez inną, a wykładnik będzie równy różnica wskaźniki liczb podzielnych.

Przy dzieleniu stopni o tej samej podstawie odejmuje się ich wykładniki..

Zatem y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Oznacza to, że $\frac(yyy)(yy) = y$.

Oraz a n+1:a = a n+1-1 = za n . Oznacza to, że $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Lub:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Zasada dotyczy również liczb z negatywny wartości stopni.
Wynikiem podzielenia -5 przez -3 jest -2.
Ponadto $\frac(1)(aaaaa): \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 lub $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Trzeba bardzo dobrze opanować mnożenie i dzielenie potęg, gdyż takie operacje są bardzo szeroko stosowane w algebrze.

Przykłady rozwiązywania przykładów z ułamkami zawierającymi liczby z potęgami

1. Zmniejsz wykładniki o $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpowiedź: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmniejsz wykładniki o $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpowiedź: $\frac(2x)(1)$ lub 2x.

3. Skróć wykładniki a 2 /a 3 i a -3 /a -4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
a 2 .a -4 to -2 pierwszy licznik.
a 3 .a -3 to a 0 = 1, drugi licznik.
a 3 .a -4 to -1 , wspólny licznik.
Po uproszczeniu: a -2 /a -1 i 1/a -1 .

4. Skróć wykładniki 2a 4 /5a 3 i 2 /a 4 i sprowadź do wspólnego mianownika.
Odpowiedź: 2a 3 /5a 7 i 5a 5 /5a 7 lub 2a 3 /5a 2 i 5/5a 2.

5. Pomnóż (a 3 + b)/b 4 przez (a - b)/3.

6. Pomnóż (a 5 + 1)/x 2 przez (b 2 - 1)/(x + a).

7. Pomnóż b 4 /a -2 przez h -3 /x i a n /y -3 .

8. Podziel 4 /y 3 przez 3 /y 2 . Odpowiedź: tak.

9. Podziel (h 3 - 1)/d 4 przez (d n + 1)/h.

Pierwszy poziom

Stopień i jego właściwości. Kompleksowy przewodnik (2019)

Dlaczego potrzebne są stopnie naukowe? Gdzie będą potrzebne? Dlaczego warto poświęcić czas na ich przestudiowanie?

Aby dowiedzieć się wszystkiego o dyplomach, do czego są potrzebne i jak wykorzystać swoją wiedzę w życiu codziennym, przeczytaj ten artykuł.

I oczywiście znajomość stopni przybliży Cię do pomyślnego zdania egzaminu Unified State Exam lub Unified State Exam i wejścia na uniwersytet swoich marzeń.

Chodźmy, chodźmy!)

Ważna uwaga! Jeśli zamiast formuł widzisz Gobbledygook, wyczyść pamięć podręczną. Aby to zrobić, naciśnij CTRL+F5 (w systemie Windows) lub Cmd+R (na komputerze Mac).

PIERWSZY POZIOM

Potęgowanie to operacja matematyczna, taka sama jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie czy dzielenie.

Teraz wyjaśnię wszystko ludzkim językiem na bardzo prostych przykładach. Bądź ostrożny. Przykłady są elementarne, ale wyjaśniają ważne rzeczy.

Zacznijmy od dodawania.

Nie ma tu nic do wyjaśniania. Wiesz już wszystko: jest nas ośmioro. Każdy ma dwie butelki coli. Ile jest tam coli? Zgadza się - 16 butelek.

Teraz mnożenie.

Ten sam przykład z colą można zapisać inaczej: . Matematycy to przebiegli i leniwi ludzie. Najpierw zauważają pewne wzorce, a następnie wymyślają sposób, aby je szybciej „policzyć”. W naszym przypadku zauważyli, że każda z ośmiu osób miała taką samą liczbę butelek coli i wymyślili technikę zwaną mnożeniem. Zgadzam się, jest to uważane za łatwiejsze i szybsze niż.

Aby więc liczyć szybciej, łatwiej i bez błędów, wystarczy pamiętać tabliczka mnożenia. Oczywiście wszystko można robić wolniej, trudniej i z błędami! Ale…

Oto tabliczka mnożenia. Powtarzać.

I jeszcze jeden, piękniejszy:

Jakie inne sprytne sztuczki z liczeniem wymyślają leniwi matematycy? Prawidłowy - podnoszenie liczby do potęgi.

Podnoszenie liczby do potęgi

Jeśli chcesz pomnożyć liczbę pięć razy, matematycy mówią, że musisz podnieść tę liczbę do potęgi piątej. Na przykład, . Matematycy pamiętają, że dwa do potęgi piątej to... A takie problemy rozwiązują w głowie – szybciej, łatwiej i bez błędów.

Wszystko, co musisz zrobić, to pamiętaj, co jest zaznaczone kolorem w tabeli potęg liczb. Uwierz mi, to znacznie ułatwi Ci życie.

Swoją drogą, dlaczego nazywa się to drugim stopniem? kwadrat liczby, a trzeci - sześcian? Co to znaczy? Bardzo dobre pytanie. Teraz będziesz mieć zarówno kwadraty, jak i sześciany.

Przykład z życia wzięty nr 1

Zacznijmy od kwadratu lub drugiej potęgi liczby.

Wyobraź sobie kwadratowy basen o wymiarach jeden metr na jeden metr. Basen jest na twojej daczy. Jest gorąco i bardzo chcę popływać. Ale... basen nie ma dna! Musisz przykryć dno basenu płytkami. Ile płytek potrzebujesz? Aby to ustalić, musisz znać dolny obszar basenu.

Możesz po prostu obliczyć, wskazując palcem, że dno basenu składa się z kostek metr po metrze. Jeśli masz płytki o wymiarach metr na metr, będziesz potrzebować kawałków. To proste... Tylko gdzie widziałeś takie płytki? Płytka najprawdopodobniej będzie miała wymiary cm na cm. A wtedy będziesz torturowany „liczeniem palcem”. Następnie musisz pomnożyć. Zatem po jednej stronie dna basenu ułożymy płytki (kawałki), a po drugiej także płytki. Pomnóż przez, a otrzymasz płytki ().

Czy zauważyłeś, że aby określić powierzchnię dna basenu, pomnożyliśmy tę samą liczbę przez siebie? Co to znaczy? Ponieważ mnożymy tę samą liczbę, możemy zastosować technikę „potęgowania”. (Oczywiście, gdy masz tylko dwie liczby, nadal musisz je pomnożyć lub podnieść do potęgi. Ale jeśli masz ich dużo, to podniesienie ich do potęgi jest znacznie łatwiejsze i jest też mniej błędów w obliczeniach W przypadku egzaminu jednolitego jest to bardzo ważne).
Zatem trzydzieści do potęgi drugiej będzie (). Albo możemy powiedzieć, że będzie to trzydzieści do kwadratu. Innymi słowy, drugą potęgę liczby zawsze można przedstawić w postaci kwadratu. I odwrotnie, jeśli widzisz kwadrat, ZAWSZE jest to druga potęga jakiejś liczby. Kwadrat jest obrazem drugiej potęgi liczby.

Przykład z życia wzięty nr 2

Oto zadanie dla Ciebie: policz, ile kwadratów jest na szachownicy, korzystając z kwadratu liczby... Po jednej stronie komórek i po drugiej. Aby obliczyć ich liczbę, należy pomnożyć osiem przez osiem lub... jeśli zauważysz, że szachownica to kwadrat z bokiem, to możesz podnieść do kwadratu osiem. Dostaniesz komórki. () Więc?

Przykład z życia wzięty nr 3

Teraz sześcian lub trzecia potęga liczby. Ten sam basen. Ale teraz musisz dowiedzieć się, ile wody trzeba będzie wlać do tego basenu. Musisz obliczyć objętość. (Nawiasem mówiąc, objętości i ciecze mierzy się w metrach sześciennych. Nieoczekiwane, prawda?) Narysuj basen: dno ma metr średnicy i metr głębokości i spróbuj obliczyć, ile sześcianów o wymiarach metr na metr zmieści się pasuje do Twojego basenu.

Wystarczy wskazać palcem i liczyć! Raz, dwa, trzy, cztery... dwadzieścia dwa, dwadzieścia trzy... Ile dostałeś? Niestracony? Czy trudno jest liczyć na palcu? Aby! Weź przykład z matematyków. Są leniwi, więc zauważyli, że aby obliczyć objętość basenu, trzeba pomnożyć przez siebie jego długość, szerokość i wysokość. W naszym przypadku objętość basenu będzie równa kostkom... Łatwiej, prawda?

A teraz wyobraźcie sobie, jak leniwi i przebiegli są matematycy, gdyby to także uprościli. Sprowadziliśmy wszystko do jednej akcji. Zauważyli, że długość, szerokość i wysokość są równe i że ta sama liczba jest mnożona przez samą siebie... Co to oznacza? Oznacza to, że możesz skorzystać z dyplomu. Zatem to, co kiedyś liczyłeś palcem, robią w jednej akcji: trzy kostki są równe. Jest napisane tak: .

Jedyne co pozostaje to pamiętaj o tabeli stopni. Chyba że jesteś równie leniwy i przebiegły jak matematycy. Jeśli lubisz ciężko pracować i popełniać błędy, możesz dalej liczyć palcem.

Cóż, aby w końcu przekonać Cię, że stopnie naukowe zostały wymyślone przez rezygnujących i przebiegłych ludzi, aby rozwiązywać swoje problemy życiowe, a nie stwarzać problemy Tobie, oto jeszcze kilka przykładów z życia.

Przykład z życia wzięty nr 4

Masz milion rubli. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz kolejny milion. Oznacza to, że każdy milion, który masz, podwaja się na początku każdego roku. Ile pieniędzy będziesz mieć za lata? Jeśli teraz siedzisz i „liczysz palcem”, to jesteś osobą bardzo pracowitą i… głupią. Ale najprawdopodobniej dasz odpowiedź za kilka sekund, ponieważ jesteś mądry! A więc w pierwszym roku - dwa pomnożone przez dwa... w drugim roku - co się stało, przez kolejne dwa, w trzecim roku... Przestań! Zauważyłeś, że liczba jest mnożona przez samą siebie razy. Zatem dwa do potęgi piątej to milion! A teraz wyobraź sobie, że masz konkurencję i ten, kto najszybciej policzy, zgarnie te miliony... Warto pamiętać o sile liczb, nie sądzisz?

Przykład z życia wzięty nr 5

Masz milion. Na początku każdego roku za każdy zarobiony milion zarabiasz dwa dodatkowe. Świetnie, prawda? Każdy milion jest potrójny. Ile pieniędzy będziesz mieć za rok? Policzmy. Pierwszy rok - pomnóż przez, potem wynik przez kolejny... To już jest nudne, bo już wszystko zrozumiałeś: trzy mnoży się przez siebie razy. Zatem do potęgi czwartej jest to milion. Musisz tylko pamiętać, że trzy do potęgi czwartej to lub.

Teraz już wiesz, że podnosząc liczbę do potęgi, znacznie ułatwisz sobie życie. Przyjrzyjmy się bliżej, co możesz zrobić dzięki stopniom i co musisz o nich wiedzieć.

Terminy i pojęcia... żeby się nie pomylić

Najpierw zdefiniujmy pojęcia. Co myślisz, co to jest wykładnik? To bardzo proste – jest to liczba znajdująca się „na górze” potęgi liczby. Nie naukowe, ale jasne i łatwe do zapamiętania...

A jednocześnie co taka podstawa stopnia? Jeszcze prościej - jest to liczba znajdująca się poniżej, u podstawy.

Oto rysunek na dokładkę.

No cóż, ogólnie rzecz biorąc, aby uogólnić i lepiej zapamiętać... Stopień o podstawie „ ” i wykładniku „ ” czyta się jako „w stopniu” i zapisuje się w następujący sposób:

Potęga liczby z wykładnikiem naturalnym

Prawdopodobnie już zgadłeś: ponieważ wykładnik jest liczbą naturalną. Tak, ale co to jest Liczba naturalna? Podstawowy! Liczby naturalne to liczby używane do liczenia przy wymienianiu obiektów: jeden, dwa, trzy... Kiedy liczymy przedmioty, nie mówimy: „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem”. Nie mówimy też: „jedna trzecia” lub „przecinek zero”. To nie są liczby naturalne. Jak myślisz, jakie to liczby?

Liczby takie jak „minus pięć”, „minus sześć”, „minus siedem” odnoszą się do wszystkie liczby. Ogólnie rzecz biorąc, liczby całkowite obejmują wszystkie liczby naturalne, liczby przeciwne liczbom naturalnym (to znaczy wzięte ze znakiem minus) i liczbę. Zero jest łatwe do zrozumienia – wtedy, gdy nie ma nic. Co oznaczają liczby ujemne („minus”)? Ale zostały wymyślone przede wszystkim po to, aby wskazać długi: jeśli masz saldo na telefonie w rublach, oznacza to, że jesteś winien operatorowi ruble.

Wszystkie ułamki są liczbami wymiernymi. Jak powstały, jak myślisz? Bardzo prosta. Kilka tysięcy lat temu nasi przodkowie odkryli, że nie posiadali liczb naturalnych pozwalających zmierzyć długość, wagę, powierzchnię itp. I wymyślili liczby wymierne... Ciekawe, prawda?

Istnieją również liczby niewymierne. Co to za liczby? Krótko mówiąc, jest to nieskończony ułamek dziesiętny. Na przykład, jeśli podzielisz obwód koła przez jego średnicę, otrzymasz liczbę niewymierną.

Streszczenie:

Zdefiniujmy pojęcie stopnia, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tzn. całkowita i dodatnia).

1. Każda liczba do pierwszej potęgi jest równa sobie:
2. Podniesienie liczby do kwadratu oznacza pomnożenie jej przez samą siebie:
3. Poszerzyć liczbę do sześcianu oznacza pomnożyć ją przez samą siebie trzykrotnie:

Definicja. Podniesienie liczby do potęgi naturalnej oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:
.

Właściwości stopni

Skąd wzięły się te nieruchomości? Pokażę ci teraz.

Zobaczmy: co to jest I ?

Priorytet A:

Ile jest w sumie mnożników?

To bardzo proste: dodaliśmy mnożniki do czynników i otrzymaliśmy mnożniki.

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli: , co należało udowodnić.

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie:

Przykład: Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie: Warto o tym pamiętać w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody!
Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

2. to wszystko potęga liczby

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w sumie:

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać?

Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jaki powinien być wykładnik.

Ale co powinno być podstawą?

W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer. Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet.

Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ? W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez, to zadziała.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Czy udało Ci się?

Oto odpowiedzi: Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni.

No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste!

6 przykładów do ćwiczenia

Analiza rozwiązania 6 przykładów

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów! Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, zasada mogłaby mieć zastosowanie.

Ale jak to zrobić? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach.

Ale ważne jest, aby pamiętać: wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

Cały nazywamy liczby naturalne, ich przeciwieństwa (to znaczy wzięte ze znakiem „ ”) i liczbę.

Dodatnia liczba całkowita i nie różni się niczym od naturalnego, wtedy wszystko wygląda dokładnie tak, jak w poprzedniej sekcji.

Przyjrzyjmy się teraz nowym przypadkom. Zacznijmy od wskaźnika równego.

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden:

Jak zawsze zadajmy sobie pytanie: dlaczego tak jest?

Rozważmy pewien stopień z podstawą. Weźmy na przykład i pomnóżmy przez:

Więc pomnożyliśmy liczbę przez i otrzymaliśmy to samo, co było - . Przez jaką liczbę należy pomnożyć, aby nic się nie zmieniło? Zgadza się, dalej. Oznacza.

To samo możemy zrobić z dowolną liczbą:

Powtórzmy regułę:

Każda liczba do potęgi zerowej jest równa jeden.

Ale są wyjątki od wielu zasad. I tutaj też jest - to jest liczba (jako podstawa).

Z jednej strony musi być równy dowolnemu stopniowi - bez względu na to, ile pomnożysz zero przez samo, nadal otrzymasz zero, to jasne. Ale z drugiej strony, jak każda liczba do potęgi zerowej, musi być równa. Ile w tym prawdy? Matematycy postanowili się nie angażować i odmówili podniesienia zera do potęgi zerowej. Oznacza to, że teraz nie możemy nie tylko podzielić przez zero, ale także podnieść go do potęgi zerowej.

Przejdźmy dalej. Oprócz liczb naturalnych i liczb, liczby całkowite obejmują również liczby ujemne. Aby zrozumieć, czym jest potęga ujemna, zróbmy to samo, co ostatnim razem: pomnóż jakąś liczbę normalną przez tę samą liczbę do potęgi ujemnej:

Stąd łatwo jest wyrazić, czego szukasz:

Rozszerzmy teraz otrzymaną regułę w dowolnym stopniu:

Sformułujmy więc regułę:

Liczba o potędze ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby o potędze dodatniej. Ale w tym samym czasie Podstawa nie może mieć wartości null:(ponieważ nie można dzielić przez).

Podsumujmy:

I. Wyrażenie nie jest w tym przypadku zdefiniowane. Jeśli następnie.

II. Dowolna liczba do potęgi zerowej jest równa jeden: .

III. Liczba różna od zera do potęgi ujemnej jest odwrotnością tej samej liczby do potęgi dodatniej: .

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

Cóż, jak zwykle przykłady niezależnych rozwiązań:

Analiza problemów w celu samodzielnego rozwiązania:

Wiem, wiem, liczby przerażają, ale na Unified State Exam trzeba być przygotowanym na wszystko! Rozwiąż te przykłady lub przeanalizuj ich rozwiązania, jeśli nie mogłeś ich rozwiązać, a na egzaminie nauczysz się łatwo sobie z nimi radzić!

Kontynuujmy poszerzanie zakresu liczb „odpowiednich” jako wykładnik.

Teraz rozważmy liczby wymierne. Jakie liczby nazywamy wymiernymi?

Odpowiedź: wszystko, co można przedstawić jako ułamek, gdzie i są liczbami całkowitymi, i.

Aby zrozumieć, co to jest „stopień ułamkowy”, rozważ ułamek:

Podnieśmy obie strony równania do potęgi:

Przypomnijmy sobie teraz zasadę dot „stopień do stopnia”:

Jaką liczbę należy podnieść do potęgi, aby otrzymać?

To sformułowanie jest definicją pierwiastka stopnia VII.

Przypomnę: pierwiastek z potęgi liczby () to liczba, która podniesiona do potęgi jest równa.

Oznacza to, że pierwiastkiem potęgi th jest odwrotna operacja podniesienia do potęgi: .

Okazało się, że. Oczywiście ten szczególny przypadek można rozszerzyć: .

Teraz dodajemy licznik: co to jest? Odpowiedź jest łatwa do uzyskania, korzystając z reguły mocy do potęgi:

Ale czy podstawa może być dowolną liczbą? W końcu nie można wyodrębnić pierwiastka ze wszystkich liczb.

Nic!

Pamiętajmy o zasadzie: każda liczba podniesiona do potęgi parzystej jest liczbą dodatnią. Oznacza to, że nie da się wyodrębnić pierwiastków parzystych z liczb ujemnych!

Oznacza to, że takich liczb nie można podnieść do potęgi ułamkowej o parzystym mianowniku, to znaczy wyrażenie nie ma sensu.

A co z wyrażeniem?

Ale tutaj pojawia się problem.

Liczbę można przedstawić w postaci innych, redukowalnych ułamków, na przykład lub.

I okazuje się, że istnieje, ale nie istnieje, ale to tylko dwa różne zapisy o tej samej liczbie.

Albo inny przykład: raz, potem możesz to zapisać. Jeśli jednak zapiszemy wskaźnik inaczej, znów wpadniemy w kłopoty: (czyli otrzymaliśmy zupełnie inny wynik!).

Aby uniknąć takich paradoksów, zastanawiamy się tylko dodatni wykładnik podstawowy z wykładnikiem ułamkowym.

Więc jeśli:

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Wymierne wykładniki są bardzo przydatne do przekształcania wyrażeń z pierwiastkami, na przykład:

5 przykładów do przećwiczenia

Analiza 5 przykładów do szkolenia

Cóż, teraz najtrudniejsza część. Teraz się o tym przekonamy stopień z niewymiernym wykładnikiem.

Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem

Przecież z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego, gdzie i są liczbami całkowitymi (tzn. wszystkie liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach.

Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy;

...liczbę do potęgi zerowej- jest to jakby liczba pomnożona raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynikiem jest tylko pewna „pusta liczba” , czyli liczba;

...stopień ujemnej liczby całkowitej- to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą.

Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

GDZIE JESTEŚMY NA PEWNO, ŻE DOJEDZIESZ! (jeśli nauczysz się rozwiązywać takie przykłady :))

Na przykład:

Zdecyduj sam:

Analiza rozwiązań:

1. Zacznijmy od zwykłej zasady podnoszenia potęgi do potęgi:

Teraz spójrz na wskaźnik. Czy on ci niczego nie przypomina? Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie różnicy kwadratów:

W tym przypadku,

Okazało się, że:

Odpowiedź: .

2. Ułamki zwykłe w wykładnikach redukujemy do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy na przykład:

Odpowiedź: 16

3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

POZIOM ZAAWANSOWANY

Określenie stopnia

Stopień jest wyrażeniem postaci: , gdzie:

• — podstawa stopnia;
• - wykładnik.

Stopień ze wskaźnikiem naturalnym (n = 1, 2, 3,...)

Podniesienie liczby do potęgi naturalnej n oznacza pomnożenie liczby przez nią samą razy:

Stopień z wykładnikiem całkowitym (0, ±1, ±2,...)

Jeśli wykładnik jest Dodatnia liczba całkowita numer:

Budowa do stopnia zerowego:

Wyrażenie jest nieokreślone, ponieważ z jednej strony w dowolnym stopniu jest to, a z drugiej strony dowolna liczba do th stopnia jest tym.

Jeśli wykładnik jest ujemna liczba całkowita numer:

(ponieważ nie można dzielić przez).

Jeszcze raz o zerach: wyrażenie nie jest zdefiniowane w przypadku. Jeśli następnie.

Przykłady:

Potęga z wykładnikiem wymiernym

• - Liczba naturalna;
• - liczba całkowita;

Przykłady:

Właściwości stopni

Aby ułatwić rozwiązywanie problemów, spróbujmy zrozumieć: skąd wzięły się te właściwości? Udowodnijmy je.

Zobaczmy: co jest i?

Priorytet A:

Zatem po prawej stronie tego wyrażenia otrzymujemy następujący iloczyn:

Ale z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem, czyli:

co było do okazania

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : .

Przykład : Uprość wyrażenie.

Rozwiązanie : Ważne jest, aby pamiętać, że w naszej regule Koniecznie muszą być te same powody. Dlatego łączymy moce z bazą, ale pozostaje to osobnym czynnikiem:

Kolejna ważna uwaga: ta zasada - tylko dla iloczynu mocy!

W żadnym wypadku nie możesz tak pisać.

Podobnie jak w przypadku poprzedniej własności, przejdźmy do definicji stopnia:

Przegrupujmy tę pracę w następujący sposób:

Okazuje się, że wyrażenie mnoży się przez siebie razy, czyli zgodnie z definicją jest to potęga liczby:

Zasadniczo można to nazwać „wyjęciem wskaźnika z nawiasów”. Ale nigdy nie możesz tego zrobić w całości: !

Przypomnijmy sobie skrócone wzory na mnożenie: ile razy chcieliśmy pisać? Ale to w końcu nieprawda.

Moc o podstawie ujemnej.

Do tego momentu omawialiśmy jedynie, jak to powinno wyglądać indeks stopni. Ale co powinno być podstawą? W uprawnieniach naturalny wskaźnik może być podstawa Jakikolwiek numer .

Rzeczywiście, możemy pomnożyć przez siebie dowolne liczby, niezależnie od tego, czy są one dodatnie, ujemne, czy nawet. Zastanówmy się, które znaki („” lub „”) będą miały stopnie liczb dodatnich i ujemnych?

Na przykład, czy liczba jest dodatnia czy ujemna? A? ?

W przypadku pierwszego wszystko jest jasne: niezależnie od tego, ile liczb dodatnich pomnożymy przez siebie, wynik będzie dodatni.

Ale te negatywne są trochę bardziej interesujące. Pamiętamy prostą zasadę z szóstej klasy: „minus za minus daje plus”. To znaczy, lub. Ale jeśli pomnożymy przez (), otrzymamy - .

I tak w nieskończoność: przy każdym kolejnym mnożeniu znak będzie się zmieniał. Można sformułować następujące proste zasady:

1. nawet stopień, - liczba pozytywny.
2. Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
3. Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
4. Zero do dowolnej potęgi jest równe zero.

Ustal sam, jaki znak będą miały następujące wyrażenia:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Czy udało Ci się? Oto odpowiedzi:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Mam nadzieję, że w pierwszych czterech przykładach wszystko jest jasne? Po prostu patrzymy na podstawę i wykładnik i stosujemy odpowiednią regułę.

W przykładzie 5) wszystko też nie jest tak straszne, jak się wydaje: w końcu nie ma znaczenia, jaka jest podstawa - stopień jest równy, co oznacza, że ​​​​wynik zawsze będzie dodatni. No chyba, że ​​podstawa wynosi zero. Podstawa nie jest równa, prawda? Oczywiście, że nie, ponieważ (ponieważ).

Przykład 6) nie jest już takie proste. Tutaj musisz dowiedzieć się, co jest mniejsze: lub? Jeśli o tym pamiętamy, staje się jasne, co oznacza, że ​​podstawa jest mniejsza od zera. Oznacza to, że stosujemy zasadę 2: wynik będzie ujemny.

I znowu używamy definicji stopnia:

Wszystko jest jak zwykle - zapisujemy definicję stopni i dzielimy je między sobą, dzielimy na pary i otrzymujemy:

Zanim przyjrzymy się ostatniej regule, rozwiążmy kilka przykładów.

Oblicz wyrażenia:

Rozwiązania :

Jeśli zignorujemy potęgę ósmą, co tutaj zobaczymy? Przypomnijmy program dla klasy 7. Pamiętasz? To jest wzór na skrócone mnożenie, czyli różnicę kwadratów!

Otrzymujemy:

Przyjrzyjmy się uważnie mianownikowi. Wygląda bardzo podobnie do jednego z czynników licznikowych, ale co jest nie tak? Kolejność terminów jest niewłaściwa. Gdyby zostały odwrócone, miałaby zastosowanie zasada 3. Ale w jaki sposób? Okazuje się, że jest to bardzo proste: pomaga nam tutaj parzysty stopień mianownika.

Jeśli pomnożysz to przez, nic się nie zmieni, prawda? Ale teraz okazuje się, że jest tak:

W magiczny sposób terminy zmieniły miejsca. To „zjawisko” dotyczy w równym stopniu każdego wyrażenia: łatwo możemy zmienić znaki w nawiasach. Ale ważne jest, aby pamiętać: Wszystkie znaki zmieniają się w tym samym czasie! Nie da się tego zastąpić, zmieniając tylko jedną wadę, która nam się nie podoba!

Wróćmy do przykładu:

I znowu formuła:

A teraz ostatnia zasada:

Jak to udowodnimy? Oczywiście jak zwykle: rozwińmy pojęcie stopnia i uprośćmy je:

Cóż, teraz otwórzmy nawiasy. Ile jest razem liter? razy przez mnożniki – o czym ci to przypomina? To nic innego jak definicja operacji mnożenie: Były tam tylko mnożniki. Oznacza to, że z definicji jest to potęga liczby z wykładnikiem:

Przykład:

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

Oprócz informacji o stopniach dla poziomu średniego przeanalizujemy stopień z irracjonalnym wykładnikiem. Wszystkie zasady i właściwości stopni są tutaj dokładnie takie same, jak w przypadku stopnia z wymiernym wykładnikiem, z wyjątkiem - wszak z definicji liczby niewymierne to liczby, których nie można przedstawić w postaci ułamka, gdzie i są liczbami całkowitymi (czyli , liczby niewymierne są liczbami rzeczywistymi z wyjątkiem liczb wymiernych).

Badając stopnie z wykładnikami naturalnymi, całkowitymi i wymiernymi, za każdym razem tworzyliśmy pewien „obraz”, „analogię” lub opis w bardziej znanych terminach. Na przykład stopień z wykładnikiem naturalnym to liczba pomnożona przez siebie kilka razy; liczba do potęgi zerowej jest jakby liczbą pomnożoną raz przez siebie, to znaczy nie zaczęli jej jeszcze mnożyć, co oznacza, że ​​​​sama liczba jeszcze się nawet nie pojawiła - dlatego wynik jest tylko pewnym „pusta liczba”, czyli liczba; stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym - to tak, jakby nastąpił jakiś „proces odwrotny”, to znaczy liczba nie została pomnożona przez siebie, ale podzielona.

Niezwykle trudno jest wyobrazić sobie stopień z irracjonalnym wykładnikiem (tak jak trudno wyobrazić sobie przestrzeń 4-wymiarową). Jest to raczej obiekt czysto matematyczny, który matematycy stworzyli, aby rozszerzyć pojęcie stopnia na całą przestrzeń liczb.

Nawiasem mówiąc, w nauce często stosuje się stopień ze złożonym wykładnikiem, to znaczy wykładnik nie jest nawet liczbą rzeczywistą. Ale w szkole nie myślimy o takich trudnościach; będziesz miał okazję zrozumieć te nowe koncepcje w instytucie.

Co więc zrobimy, jeśli zobaczymy irracjonalny wykładnik? Robimy wszystko, żeby się tego pozbyć! :)

Na przykład:

Zdecyduj sam:

1)

2)

3)

Odpowiedzi:

1. Pamiętajmy o różnicy we wzorze kwadratów. Odpowiedź: .
2. Sprowadzamy ułamki zwykłe do tej samej postaci: albo oba ułamki dziesiętne, albo oba zwykłe. Otrzymujemy np.: .
3. Nic specjalnego, używamy zwykłych właściwości stopni:

PODSUMOWANIE ROZDZIAŁU I PODSTAWOWE WZORY

Stopień zwane wyrażeniem postaci: , gdzie:

Stopień z wykładnikiem całkowitym

stopień, którego wykładnikiem jest liczba naturalna (tj. liczba całkowita i dodatnia).

Potęga z wykładnikiem wymiernym

stopień, którego wykładnikiem są liczby ujemne i ułamkowe.

Stopień z irracjonalnym wykładnikiem

stopień, którego wykładnikiem jest nieskończony ułamek dziesiętny lub pierwiastek.

Właściwości stopni

Cechy stopni.

• Liczba ujemna podniesiona do nawet stopień, - liczba pozytywny.
• Liczba ujemna podniesiona do dziwne stopień, - liczba negatywny.
• Liczba dodatnia w jakimkolwiek stopniu jest liczbą dodatnią.
• Zero jest równe dowolnej potędze.
• Każda liczba do potęgi zerowej jest równa.

TERAZ MASZ SŁOWO...

Jak podoba Ci się artykuł? Napisz poniżej w komentarzu, czy Ci się podobało, czy nie.

Opowiedz nam o swoich doświadczeniach z używaniem właściwości stopnia.

Być może masz pytania. Lub sugestie.

Napisz w komentarzach.

I powodzenia na egzaminach!

Lekcja na temat: „Zasady mnożenia i dzielenia potęg o tych samych i różnych wykładnikach. Przykłady”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń. Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 7
Podręcznik do podręcznika Yu.N. Podręcznik Makarycheva do podręcznika A.G. Mordkowicz

Cel lekcji: nauczyć się wykonywać operacje na potęgach liczb.

Na początek przypomnijmy sobie pojęcie „potęgi liczby”. Wyrażenie w postaci $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ można przedstawić jako $a^n$.

Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ta równość nazywa się „zapisywaniem stopnia jako iloczynu”. Pomoże nam to określić, jak mnożyć i dzielić potęgi.
Pamiętać:
A– podstawa stopnia.
N– wykładnik.
Jeśli n=1, co oznacza liczbę A wziąłem raz i odpowiednio: $a^n= 1$.
Jeśli n= 0, wtedy $a^0= 1$.

Dlaczego tak się dzieje, dowiemy się, zapoznając się z zasadami mnożenia i dzielenia potęg.

Zasady mnożenia

a) Jeżeli mnoży się potęgi o tej samej podstawie.
Aby otrzymać $a^n * a^m$, zapisujemy stopnie jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m)$.
Rysunek pokazuje, że liczba A wzięli n+m razy, wtedy $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Przykład.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Ta właściwość jest wygodna w użyciu, aby uprościć pracę przy podnoszeniu liczby do wyższej potęgi.
Przykład.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Jeżeli mnoży się stopnie o różnych podstawach, ale tym samym wykładniku.
Aby otrzymać $a^n * b^n$, zapisujemy stopnie jako iloczyn: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m)$.
Jeśli zamienimy czynniki i policzymy powstałe pary, otrzymamy: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Zatem $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Przykład.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Zasady podziału

a) Podstawa stopnia jest taka sama, wskaźniki są różne.
Rozważ podzielenie potęgi o większym wykładniku poprzez podzielenie potęgi o mniejszym wykładniku.

Więc potrzebujemy $\frac(a^n)(a^m)$, Gdzie n>m.

Zapiszmy stopnie jako ułamek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Dla wygody dzielenie zapisujemy jako ułamek prosty.

Teraz skróćmy ułamek.

Okazuje się, że $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
Oznacza, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ta właściwość pomoże wyjaśnić sytuację związaną z podniesieniem liczby do potęgi zerowej. Załóżmy, że n=m, wtedy $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Przykłady.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Podstawy stopnia są różne, wskaźniki są takie same.
Powiedzmy, że $\frac(a^n)( b^n)$ jest konieczne. Zapiszmy potęgi liczb w postaci ułamków:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Dla wygody wyobraźmy sobie.

Korzystając z właściwości ułamków, dzielimy duży ułamek na iloczyn małych, otrzymujemy.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
Odpowiednio: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Przykład.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Wcześniej rozmawialiśmy o tym, czym jest potęga liczby. Ma pewne właściwości przydatne w rozwiązywaniu problemów: przeanalizujemy je i wszystkie możliwe wykładniki w tym artykule. Pokażemy też przejrzyście na przykładach, jak można je udowodnić i poprawnie zastosować w praktyce.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przypomnijmy sformułowane wcześniej pojęcie stopnia z wykładnikiem naturalnym: jest to iloczyn n-tej liczby czynników, z których każdy jest równy a. Musimy także pamiętać, jak poprawnie mnożyć liczby rzeczywiste. Wszystko to pomoże nam sformułować następujące właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym:

Definicja 1

1. Główna właściwość stopnia: a m · a n = a m + n

Można uogólnić na: a n 1 · za n 2 · … · a n k = za n 1 + n 2 + … + n k .

2. Własność ilorazu stopni o tej samej podstawie: a m: a n = a m − n

3. Własność mocy produktu: (a · b) n = a n · b n

Równość można rozszerzyć do: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. Własność ilorazu stopnia naturalnego: (a: b) n = a n: b n

5. Podnieś potęgę do potęgi: (a m) n = a m n ,

Można uogólnić na: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. Porównaj stopień z zerem:

• jeśli a > 0, to dla dowolnej liczby naturalnej n a n będzie większe od zera;
• przy wartości 0, n będzie również równe zero;
• o godz< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
• o godz< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. Równość n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. Nierówność a m > a n będzie prawdziwa pod warunkiem, że m i n są liczbami naturalnymi, m jest większe od n oraz a jest większe od zera i mniejsze od jedności.

W rezultacie otrzymaliśmy kilka równości; jeżeli zostaną spełnione wszystkie powyższe warunki, będą one identyczne. Dla każdej równości, na przykład dla właściwości głównej, możesz zamienić prawą i lewą stronę: a m · a n = a m + n - to samo co a m + n = a m · a n. W tej formie jest często używany do upraszczania wyrażeń.

1. Zacznijmy od podstawowej właściwości stopnia: równość a m · a n = a m + n będzie prawdziwa dla każdego naturalnego m i n oraz rzeczywistego a. Jak udowodnić to stwierdzenie?

Podstawowa definicja potęg z wykładnikami naturalnymi pozwoli nam przekształcić równość w iloczyn czynników. Otrzymamy taki zapis:

Można to skrócić do (pamiętaj o podstawowych właściwościach mnożenia). W rezultacie otrzymaliśmy potęgę liczby a z wykładnikiem naturalnym m + n. Zatem a m + n, co oznacza, że ​​główna właściwość stopnia została udowodniona.

Spójrzmy na konkretny przykład, który to potwierdza.

Przykład 1

Mamy więc dwie potęgi o podstawie 2. Ich naturalne wskaźniki wynoszą odpowiednio 2 i 3. Mamy równość: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Obliczmy wartości, aby sprawdzić ważność tej równości.

Wykonajmy niezbędne działania matematyczne: 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 i 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

W rezultacie otrzymaliśmy: 2 2 · 2 3 = 2 5. Właściwość została udowodniona.

Ze względu na właściwości mnożenia możemy uogólnić właściwość formułując ją w postaci trzech lub więcej potęg, w których wykładnikami są liczby naturalne, a podstawy są takie same. Jeśli oznaczymy liczbę liczb naturalnych n 1, n 2 itd. literą k, otrzymamy poprawną równość:

za n 1 · za n 2 · … · za n k = za n 1 + n 2 + … + n k .

Przykład 2

2. Następnie musimy udowodnić następującą własność, zwaną ilorazem i właściwą potęgom o tych samych podstawach: jest to równość a m: a n = a m − n, która obowiązuje dla dowolnego naturalnego m i n (i m jest większe niż n)) i dowolne niezerowe rzeczywiste a .

Na początek wyjaśnijmy, jakie dokładnie jest znaczenie warunków wymienionych w sformułowaniu. Jeśli przyjmiemy, że równa się zero, to skończymy na dzieleniu przez zero, czego nie możemy zrobić (w końcu 0 n = 0). Warunek, że liczba m musi być większa od n, jest konieczny, abyśmy mogli zmieścić się w granicach wykładników naturalnych: odejmując n od m, otrzymujemy liczbę naturalną. Jeśli warunek nie jest spełniony, otrzymamy liczbę ujemną lub zero i ponownie wyjdziemy poza badanie stopni za pomocą wykładników naturalnych.

Teraz możemy przejść do dowodu. Z tego, co badaliśmy wcześniej, przypomnijmy sobie podstawowe właściwości ułamków i sformułujmy równość w następujący sposób:

za m - n · za n = za (m - n) + n = za m

Z tego możemy wywnioskować: a m − n · a n = a m

Pamiętajmy o związku między dzieleniem i mnożeniem. Wynika z tego, że a m – n jest ilorazem potęg a m i an . Jest to dowód drugiej własności stopnia.

Przykład 3

Dla jasności podstawmy określone liczby do wykładników i oznaczmy podstawę stopnia jako π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3

3. Następnie przeanalizujemy własność potęgi iloczynu: (a · b) n = a n · b n dla dowolnego rzeczywistego a i b oraz naturalnego n.

Zgodnie z podstawową definicją potęgi z wykładnikiem naturalnym, równość możemy przeformułować w następujący sposób:

Przypominając właściwości mnożenia, piszemy: . Oznacza to to samo co a n · b n .

Przykład 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

Jeśli mamy trzy lub więcej czynników, wówczas ta właściwość ma zastosowanie również w tym przypadku. Wprowadźmy zapis k dla liczby czynników i napiszmy:

(za 1 · za 2 · … · a k) n = za 1 n · za 2 n · … · a k n

Przykład 5

Przy określonych liczbach otrzymujemy następującą poprawną równość: (2 · (- 2 , 3) ​​​​· a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) ​​​​7 · a

4. Następnie spróbujemy udowodnić własność ilorazu: (a: b) n = a n: b n dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b, jeśli b nie jest równe 0 i n jest liczbą naturalną.

Aby to udowodnić, możesz skorzystać z poprzedniej właściwości stopni. Jeżeli (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = za n i (a: b) n · b n = a n , to wynika z tego, że (a: b) n jest ilorazem dzielenia an przez b n.

Przykład 6

Obliczmy przykład: 3 1 2: - 0. 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3

Przykład 7

Zacznijmy od razu od przykładu: (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

Sformułujmy teraz łańcuch równości, który udowodni nam, że równość jest prawdziwa:

Jeśli w przykładzie mamy stopnie, to ta właściwość jest również prawdziwa dla nich. Jeśli mamy jakieś liczby naturalne p, q, r, s, to będzie prawdą:

za p q y s = za p q y s

Przykład 8

Dodajmy trochę szczegółów: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 + 2 + 5 = (5 , 2) 10

6. Kolejną właściwością potęg z wykładnikiem naturalnym, którą musimy udowodnić, jest właściwość porównania.

Najpierw porównajmy stopień do zera. Dlaczego a n > 0, pod warunkiem, że a jest większe od 0?

Jeśli pomnożymy jedną liczbę dodatnią przez drugą, również otrzymamy liczbę dodatnią. Znając ten fakt, można powiedzieć, że nie zależy to od liczby czynników – wynikiem pomnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich jest liczba dodatnia. Czym jest stopień, jeśli nie wynikiem pomnożenia liczb? Wtedy dla dowolnej potęgi n o dodatniej podstawie i naturalnym wykładniku będzie to prawdą.

Przykład 9

3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 i 34 9 13 51 > 0

Jest także oczywiste, że potęga o podstawie równej zero sama jest równa zeru. Bez względu na to, do jakiej potęgi podniesiemy zero, ono pozostanie zerem.

Przykład 10

0 3 = 0 i 0 762 = 0

Jeśli podstawą stopnia jest liczba ujemna, dowód jest nieco bardziej skomplikowany, ponieważ ważna staje się koncepcja wykładnika parzystego/nieparzystego. Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy wykładnik jest parzysty i oznaczmy go jako 2 · m, gdzie m jest liczbą naturalną.

Pamiętajmy, jak poprawnie mnożyć liczby ujemne: iloczyn a · a jest równy iloczynowi modułów, a więc będzie to liczba dodatnia. Następnie i stopień a 2 m są również dodatnie.

Przykład 11

Na przykład (- 6) 4 > 0, (- 2, 2) 12 > 0 i - 2 9 6 > 0

A co jeśli wykładnik o podstawie ujemnej jest liczbą nieparzystą? Oznaczmy to 2 · m − 1 .

Następnie

Wszystkie iloczyny a · a, zgodnie z właściwościami mnożenia, są dodatnie, podobnie jak ich iloczyn. Ale jeśli pomnożymy to przez jedyną pozostałą liczbę a, wówczas ostateczny wynik będzie ujemny.

Wtedy otrzymujemy: (− 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

Jak to udowodnić?

jakiś< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

Przykład 12

Przykładowo prawdziwe są następujące nierówności: 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. Musimy tylko udowodnić ostatnią własność: jeśli mamy dwie potęgi, których podstawy są identyczne i dodatnie, a których wykładniki są liczbami naturalnymi, to ta, której wykładnik jest mniejszy, jest większa; a z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach większych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest większy.

Udowodnijmy te twierdzenia.

Najpierw musimy się upewnić, że m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

Weźmy n z nawiasów, po czym nasza różnica przyjmie postać a n · (a m – n – 1) . Jego wynik będzie ujemny (ponieważ wynik pomnożenia liczby dodatniej przez liczbę ujemną jest ujemny). Przecież zgodnie z warunkami początkowymi m − n > 0, to a m − n − 1 jest ujemne, a pierwszy czynnik jest dodatni, jak każda potęga naturalna o dodatniej podstawie.

Okazało się, że a m – a n< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

Pozostaje udowodnić drugą część sformułowanego powyżej twierdzenia: a m > a jest prawdziwe dla m > n i a > 1. Wskażmy różnicę i wstawmy n z nawiasu: (a m – n – 1). Potęga n dla liczby większej niż jeden da wynik dodatni; a sama różnica również okaże się dodatnia ze względu na warunki początkowe, a dla a > 1 stopień a m - n jest większy niż jeden. Okazuje się, że a m − a n > 0 i a m > a n , co musieliśmy udowodnić.

Przykład 13

Przykład z konkretnymi liczbami: 3 7 > 3 2

Podstawowe własności stopni o wykładnikach całkowitych

Dla potęg o wykładnikach całkowitych dodatnich własności będą podobne, gdyż liczby całkowite dodatnie są liczbami naturalnymi, co oznacza, że ​​wszystkie udowodnione powyżej równości są dla nich również prawdziwe. Nadają się również do przypadków, gdy wykładniki są ujemne lub równe zero (pod warunkiem, że podstawa samego stopnia jest różna od zera).

Zatem właściwości potęg są takie same dla dowolnych podstaw a i b (pod warunkiem, że są to liczby rzeczywiste i różne od 0) oraz dla wszystkich wykładników m i n (pod warunkiem, że są liczbami całkowitymi). Zapiszmy je krótko w formie wzorów:

Definicja 2

1. za m · za n = za m + n

2. za m: za n = za m - n

3. (a · b) n = za n · b n

4. (a: b) n = za n: b n

5. (a m) n = za m n

6. n< b n и a − n >b - n z zastrzeżeniem dodatniej liczby całkowitej n, dodatniej aib, a< b

7 rano< a n , при условии целых m и n , m >n i 0< a < 1 , при a >1 w nocy > za n .

Jeżeli podstawą stopnia jest zero, wówczas wpisy a m i a n mają sens tylko w przypadku naturalnych i dodatnich m i n. W rezultacie stwierdzamy, że powyższe formuły nadają się również dla przypadków z potęgą o zerowej podstawie, jeśli spełnione są wszystkie inne warunki.

Dowody tych własności w tym przypadku są proste. Będziemy musieli pamiętać, czym jest stopień z wykładnikiem naturalnym i całkowitym, a także właściwości operacji na liczbach rzeczywistych.

Przyjrzyjmy się własności potęgi i udowodnijmy, że jest ona prawdziwa zarówno w przypadku dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Zacznijmy od udowodnienia równości (a p) q = a p · q, (a − p) q = a (− p) · q, (a p) − q = a p · (− q) i (a − p) − q = za (− p) · (− q)

Warunki: p = 0 lub liczba naturalna; q – podobnie.

Jeśli wartości p i q są większe niż 0, wówczas otrzymujemy (a p) q = a p · q. Podobną równość udowodniliśmy już wcześniej. Jeśli p = 0, to:

(a 0) q = 1 q = 1 za 0 q = za 0 = 1

Zatem (a 0) q = a 0 q

Dla q = 0 wszystko jest dokładnie takie samo:

(a p) 0 = 1 za p 0 = za 0 = 1

Wynik: (a p) 0 = a p · 0 .

Jeśli oba wskaźniki wynoszą zero, to (a 0) 0 = 1 0 = 1 i a 0 · 0 = a 0 = 1, co oznacza (a 0) 0 = a 0 · 0.

Przypomnijmy sobie własność ilorazów w stopniu udowodnionym powyżej i napiszmy:

1 za p q = 1 q za p q

Jeżeli 1 p = 1 1 … 1 = 1 i a p q = a p q, to ​​1 q a p q = 1 a p q

Możemy ten zapis, korzystając z podstawowych zasad mnożenia, przekształcić na a (− p) · q.

Także: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = za p · (- q) .

I (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (- q)

Pozostałe własności stopnia można wykazać w podobny sposób, przekształcając istniejące nierówności. Nie będziemy się nad tym szczegółowo rozwodzić; zwrócimy jedynie uwagę na trudne punkty.

Dowód przedostatniej własności: przypomnijmy, że a - n > b - n jest prawdziwe dla dowolnych ujemnych wartości całkowitych n oraz dowolnych dodatnich aib, pod warunkiem, że a jest mniejsze niż b.

Następnie nierówność można przekształcić w następujący sposób:

1 za n > 1 b n

Zapiszmy prawą i lewą stronę jako różnicę i wykonaj niezbędne przekształcenia:

1 za n - 1 b n = b n - za n za n · b n

Przypomnijmy, że w warunku a jest mniejsze od b, to zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem naturalnym: - a n< b n , в итоге: b n − a n > 0 .

a n · b n staje się liczbą dodatnią, ponieważ jej czynniki są dodatnie. W rezultacie mamy ułamek b n - a n a n · b n, który ostatecznie również daje wynik dodatni. Stąd 1 a n > 1 b n skąd a − n > b − n , co musieliśmy udowodnić.

Ostatnią własność potęg o wykładnikach całkowitych udowadnia się analogicznie do własności potęg o wykładnikach naturalnych.

Podstawowe własności potęg o wykładnikach wymiernych

W poprzednich artykułach sprawdzaliśmy, czym jest stopień z wykładnikiem wymiernym (ułamkowym). Ich właściwości są takie same jak stopnie z wykładnikami całkowitymi. Zapiszmy:

Definicja 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 dla a > 0, a jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 (właściwość produktu stopnie o tej samej podstawie).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, jeśli a > 0 (właściwość ilorazowa).

3. a · b m n = a m n · b m n dla a > 0 i b > 0, a jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 i (lub) b ≥ 0 (właściwość produktu w stopień ułamkowy).

4. a: b m n = a m n: b m n dla a > 0 i b > 0, a jeśli m n > 0, to dla a ≥ 0 i b > 0 (właściwość ilorazu potęgi ułamkowej).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 dla a > 0, a jeśli m 1 n 1 > 0 i m 2 n 2 > 0, to dla a ≥ 0 (właściwość stopnia w stopniach).

6.a s< b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p >0 ; Jeżeli p< 0 - a p >b p (właściwość porównywania potęg o równych wykładnikach wymiernych).

7.a s< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q w 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

Aby udowodnić te twierdzenia, musimy pamiętać, czym jest stopień z wykładnikiem ułamkowym, jakie są właściwości pierwiastka arytmetycznego n-tego stopnia i jakie są właściwości stopnia z wykładnikami całkowitymi. Przyjrzyjmy się każdej właściwości.

Zgodnie z tym, jaki jest stopień z wykładnikiem ułamkowym, otrzymujemy:

za m 1 n 1 = za m 1 n 1 i za m 2 n 2 = za m 2 n 2 zatem za m 1 n 1 · za m 2 n 2 = za m 1 n 1 · za m 2 n 2

Właściwości pierwiastka pozwolą nam wyprowadzić równości:

za m 1 m 2 n 1 n 2 za m 2 m 1 n 2 n 1 = za m 1 n 2 za m 2 n 1 n 1 n 2

Z tego otrzymujemy: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Przekształćmy:

za m 1 · n 2 · za m 2 · n 1 n 1 · n 2 = za m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

Wykładnik można zapisać jako:

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

To jest dowód. Drugą własność udowadnia się dokładnie w ten sam sposób. Napiszmy łańcuch równości:

za m 1 n 1: za m 2 n 2 = za m 1 n 1: za m 2 n 2 = za m 1 n 2: za m 2 n 1 n 1 n 2 = = za m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = za m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = za m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = za m 1 n 1 - m 2 n 2

Dowody pozostałych równości:

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = za m: b m n = = za m n: b m n = za m n: b m n ; za m 1 n 1 m 2 n 2 = za m 1 n 1 m 2 n 2 = za m 1 n 1 m 2 n 2 = = za m 1 m 2 n 1 n 2 = za m 1 m 2 n 1 n 2 = = za m 1 m 2 n 2 n 1 = za m 1 m 2 n 2 n 1 = za m 1 n 1 m 2 n 2

Następna własność: udowodnijmy, że dla dowolnych wartości a i b większych od 0, jeśli a jest mniejsze niż b, spełnione zostanie a p< b p , а для p больше 0 - a p >b s

Przedstawmy liczbę wymierną p jako m n. W tym przypadku m jest liczbą całkowitą, n jest liczbą naturalną. Następnie warunki str< 0 и p >0 będzie rozciągać się na m< 0 и m >0. Dla m > 0 i a< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

Korzystamy z własności pierwiastków i wyniku: a m n< b m n

Biorąc pod uwagę dodatnie wartości a i b, przepisujemy nierówność jako a m n< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

W ten sam sposób dla m< 0 имеем a a m >b m , otrzymujemy a m n > b m n co oznacza a m n > b m n i a p > b p .

Pozostaje nam przedstawić dowód ostatniej właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p > q w punkcie 0< a < 1 a p < a q , а при a >0 będzie prawdą a p > a q .

Liczby wymierne p i q można sprowadzić do wspólnego mianownika i otrzymać ułamki m 1 n i m 2 n

Tutaj m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. Jeśli p > q, to ​​m 1 > m 2 (biorąc pod uwagę zasadę porównywania ułamków). Następnie o godzinie 0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 – nierówność a 1 m > a 2 m.

Można je przepisać w następujący sposób:

a m 1 rz< a m 2 n a m 1 n >a m 2 rz

Następnie możesz dokonać transformacji i otrzymać:

a m 1 rz< a m 2 n a m 1 n >a m 2 rz

Podsumowując: dla p > q i 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q .

Podstawowe własności potęg o wykładnikach niewymiernych

Do tego stopnia można rozszerzyć wszystkie opisane powyżej właściwości, jakie ma stopień z wykładnikami wymiernymi. Wynika to z samej jego definicji, którą podaliśmy w jednym z poprzednich artykułów. Sformułujmy krótko te własności (warunki: a > 0, b > 0, wykładniki p i q są liczbami niewymiernymi):

Definicja 4

1. a p · za q = za p + q

2. za p: za q = za p - q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (a: b) p = za p: b p

5. (a p) q = za p · q

6.a s< b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p >b s

7.a s< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0, następnie a p > a q.

Zatem wszystkie potęgi, których wykładniki p i q są liczbami rzeczywistymi, pod warunkiem a > 0, mają te same właściwości.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Samouczek wideo 2: Stopień z naturalnym wskaźnikiem i jego właściwości

Wykład:

Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Pod stopień jakiś numer "A" z jakimś wskaźnikiem "N" zrozumieć iloczyn liczby "A" na własną rękę "N" raz.

Kiedy mówimy o stopniu z wykładnikiem naturalnym, oznacza to, że jest to liczba "N" musi być liczbą całkowitą, a nie ujemną.

A- podstawa stopnia, która wskazuje, którą liczbę należy pomnożyć przez samą siebie,

N- wykładnik - mówi, ile razy należy pomnożyć podstawę przez samą siebie.

Na przykład:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

W tym przypadku przez podstawę stopnia rozumie się liczbę „8”, wykładnikiem stopnia jest liczba „4”, a wartością stopnia jest liczba „4096”.

Największym i najczęstszym błędem przy obliczaniu stopnia jest mnożenie wykładnika przez podstawę - TO NIE JEST PRAWIDŁOWE!

Kiedy mówimy o stopniu z wykładnikiem naturalnym, mamy na myśli tylko wykładnik (N) musi być liczbą naturalną.

Jako podstawę możesz przyjąć dowolną liczbę z osi liczbowej.

Na przykład,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Operacja matematyczna wykonywana na podstawie i wykładniku nazywa się potęgowaniem.

Dodawanie\odejmowanie to operacja matematyczna pierwszego etapu, mnożenie\dzielenie to akcja drugiego etapu, podnoszenie potęgi to czynność matematyczna trzeciego etapu, czyli jednego z najwyższych.

Ta hierarchia operacji matematycznych określa kolejność obliczeń. Jeśli ta akcja występuje w zadaniach spośród dwóch poprzednich, jest wykonywana jako pierwsza.

Na przykład:

15 + 6 *2 2 = 39

W tym przykładzie musisz najpierw podnieść 2 do potęgi, czyli

następnie pomnóż wynik przez 6, tj

Potęga z wykładnikiem naturalnym służy nie tylko do konkretnych obliczeń, ale także dla wygody zapisywania dużych liczb. W tym przypadku koncepcja jest również używana „standardowa forma liczby”. Zapis ten polega na pomnożeniu pewnej liczby od 1 do 9 przez potęgę równą 10 z pewnym wykładnikiem.

Na przykład, aby zapisać promień Ziemi w standardowej formie, użyj następującej notacji:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

a na przykład masę Ziemi zapisuje się w następujący sposób:

Właściwości stopnia

Dla wygody rozwiązywania przykładów za pomocą stopni musisz znać ich podstawowe właściwości:

1. Jeśli chcesz pomnożyć dwie potęgi o tej samej podstawie, to w tym przypadku podstawę należy pozostawić niezmienioną, a wykładniki dodać.

za n * za m = za n+m

Na przykład:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Jeśli konieczne jest podzielenie dwóch stopni o tej samej podstawie, wówczas w tym przypadku podstawę należy pozostawić niezmienioną, a wykładniki odjąć. Należy pamiętać, że w przypadku operacji na potęgach z wykładnikiem naturalnym wykładnik dzielnej musi być większy niż wykładnik dzielnika. W przeciwnym razie ilorazem tego działania będzie liczba z wykładnikiem ujemnym.

za n / za m = za n-m

Na przykład,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Jeśli konieczne jest podniesienie jednej potęgi do drugiej, podstawą wyniku pozostaje ta sama liczba, a wykładniki są mnożone.

(an) m = a n*m

Na przykład,

4. Jeśli konieczne jest podniesienie iloczynu dowolnych liczb do określonej potęgi, można zastosować pewne prawo rozdzielności, zgodnie z którym otrzymujemy iloczyn różnych podstaw do tej samej potęgi.

(a * b) m = za m * b m

Na przykład,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Podobną właściwość można wykorzystać do dzielenia potęg, innymi słowy do podniesienia zwykłej liczby podwójnej do potęgi.

(a / b) m = a m / b M

6. Każda liczba podniesiona do wykładnika równego jeden jest równa liczbie pierwotnej.

za 1 = za

Na przykład,

7. Podnosząc dowolną liczbę do potęgi z wykładnikiem zerowym, wynikiem tego obliczenia będzie zawsze jeden.

i 0 = 1

Na przykład,