Pochodna funkcji pierwotnej tej funkcji jest równa. Warunek wystarczający na ekstremum

Plik do lekcji 29.

Pochodna. Zastosowanie pochodnej. Funkcja pierwotna.

Współczynnik kątowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą x 0 równa pochodnej funkcji w punkcie x 0. .

Te. pochodna funkcji w punkcie x 0 jest równa tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w punkcie (x 0 ; f(x 0)).

Ćwiczenia 1. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie z odciętą X X 0 .

Odpowiedź: 0,25

Ćwiczenia 2. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie z odciętą X 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie X 0. Odpowiedź: 0,6

Ćwiczenia 3. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie z odciętą X 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie X 0. Odpowiedź: -0,25

Ćwiczenia 4. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) oraz styczną do tego wykresu narysowaną w punkcie z odciętą X 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie X 0. Odpowiedź: -0,2.

Znaczenie mechaniczne pochodna.

w ( T 0 ) = x” ( T 0 )

prędkość jest pochodną współrzędnej Przez czas. Podobnie, przyspieszenie jest pochodną prędkości po czasie :

A = v' ( T ).

Ćwiczenia 5 . Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z zasadą x(t)=12 t 2 +4 t+27, gdzie x to odległość od punktu odniesienia w metrach, t to czas w sekundach liczony od momentu rozpoczęcia ruchu. Znajdź jego prędkość (w metrach na sekundę) w czasie t=2 s. Odpowiedź: 52

Zadanie 6. Punkt materialny porusza się prostoliniowo zgodnie z prawemx (t )= 16 t 3 + t 2 - 8 t + 180, Gdzie X- odległość od punktu odniesienia w metrach,T- czas w sekundach mierzony od momentu rozpoczęcia ruchu. W jakim momencie (w sekundach) jego prędkość wynosiła 42 m/s? Odpowiedź 1

Wystarczający znak funkcji rosnącej (malejącej).

1. Jeśli f `(x) w każdym punkcie przedziału (, to funkcja zwiększa się o (.

2. Jeśli f `(x) w każdym punkcie przedziału (, to funkcja maleje o (.

Warunek wstępny ekstremum

Jeśli punkt x 0 jest punktem ekstremalnym funkcji i w tym miejscu występuje pochodna F `( X 0 )=0

Stan wystarczający ekstremum

Jeśli F `( X 0 X 0 wartość pochodnej zmienia wówczas znak z „+” na „-”. X 0 jest maksymalnym punktem funkcji.

Jeśli F `( X 0 ) = 0 i przy przejściu przez punkt X 0 wartość pochodnej zmienia wówczas znak z „-” na „+”. X 0 jest punktem minimalnym funkcji.

Zadanie 7. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji k(x), zdefiniowany na przedziale (-7; 10). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji k(x) na przedziale [−3; 8].

Rozwiązanie. Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z minus na plus. Na odcinku [−3; 8] funkcja ma jeden punkt minimalny X= 4. Zatem taki punkt to 1. Odpowiedź: 1.

Zadanie 8. Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x) i na osi odciętych zaznaczono siedem punktów: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x 7. W ilu z tych punktów pochodna f(x) jest ujemna? Odpowiedź: 3

Zadanie 9. Rysunek przedstawia wykres funkcji różniczkowalnej y=f(x), określonej na przedziale (− 11 ; − 1). Znajdź punkt z odcinka [− 7 ; − 2], gdzie pochodna funkcji f(x) jest równa 0. Odpowiedź: -4

Zadanie 10. Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f′(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (2 ; 13). Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x). Odpowiedź: 9

Zadanie 11. Rysunek przedstawia wykres y=f′(x) pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (− 3; 8). W którym punkcie odcinka [− 2; 3] przyjmuje funkcję f(x). najmniejsza wartość? Odpowiedź: -2

Zadanie 12. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x) - pochodna funkcji f(x), określona na przedziale (− 2 ; 11). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) jest równoległe do osi odciętej lub pokrywa się z jej osią. Odpowiedź: 3

Zadanie 13. Rysunek przedstawia wykres y=f "(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (− 4 ; 6). Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji funkcja y=f(x) jest równoległa do prostej y=3x lub z nią pokrywa się Odpowiedź: 5

Zadanie 14. Na rysunku przedstawiono wykres y=f "(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (− 4 ; 13). Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji y=f(x) jest równoległe do prostej y=− 2x−10 lub jej równe Odpowiedź: 5

Zadanie 15. Prosta y =5x -8 jest styczna do wykresu funkcji 4x 2 -15x +c. Znajdować C. Odpowiedź: 17.

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna F(x) dla funkcji k(x) nazywa się funkcją pochodna co jest równe pierwotnej funkcji. F " ( X )= F ( X ).

Zadanie 16. Rysunek przedstawia wykres y=F (X) jedna z funkcji pierwotnych jakiejś funkcji F(X), zdefiniowanych na przedziale (1;13). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania F (X)=0 w segmencie . Odpowiedź: 4

Zadanie 17. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x), określonej na przedziale (− 7; 8). Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku. Odpowiedź 1

Zadanie 18. Rysunek przedstawia wykres y=F(x) jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x) i na odciętej zaznaczono osiem punktów: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. W ilu z tych punktów funkcja f(x) jest ujemna? Odpowiedź: 3

Zadanie 19. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury. Odpowiedź: 592

Algorytm znajdowania punktów ekstremalnych

Znajdź dziedzinę definicji funkcji.

Znajdź pochodną funkcji F "( X)

Znajdź punkty, w których F "( X) = 0.

Zaznacz na osi liczbowej dziedzinę definicji funkcji i wszystkie zera pochodnej.

Zdefiniuj znak pochodnadla każdego interwału. (Aby to zrobić, zamień „wygodną” wartość X od tego przedziału do F "( X)).

Wyznacz rosnące i malejące obszary funkcji na podstawie znaków pochodnej i wyciągnij wnioski na temat obecności lub braku ekstremum oraz jego natury ( maks Lubmin ) w każdym z tych punktów.

Zadanie 20. Znajdź maksimum funkcji y=(2x−1)cosx−2sinx+5 należące do przedziału (0 ; π/2). Odpowiedź: 0,5

Zadanie 21.Znajdź maksymalny punkt funkcjiy=. Odpowiedź: 6

Znalezienie algorytmu największa i najmniejsza wartość funkcji w segmencie

Zadanie 22. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y =x −6x +1 w segmencie. Odpowiedź: -31

Zadanie 23. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=8cosx+30x/π+19 na przedziale [− 2π/3; 0]. Odpowiedź: -5

Dodatkowo. 1. Znajdź maksymalny punkt funkcji y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Znajdź najwyższa wartość funkcje y=x 5 -5x 3 -20x na odcinku [− 9 ; 1]. Odpowiedź:48

Harmonogram funkcja wykładnicza to zakrzywiona, gładka linia bez załamań, do której można poprowadzić styczną w każdym punkcie, przez który przechodzi. Logiczne jest założenie, że jeśli można narysować styczną, to funkcja będzie różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji.

Będziemy wyświetlać w niektórych osie współrzędnych kilka wykresów funkcji y = x a, Dla a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

W punkcie o współrzędnych (0;1). Kąty tych stycznych będą wynosić odpowiednio około 35, 40, 48 i 51 stopni. Logiczne jest założenie, że w przedziale od 2 do 3 znajduje się liczba, przy której kąt nachylenia stycznej będzie równy 45 stopni.

Podajmy precyzyjne sformułowanie tego stwierdzenia: istnieje liczba większa od 2 i mniejsza od 3, oznaczona literą e, taka, że ​​funkcja wykładnicza y = e x w punkcie 0 ma pochodną równą 1. Czyli: (e ∆x -1) / ∆x dąży do 1, gdy ∆x dąży do zera.

Ten numer mi jest niewymierny i jest zapisywany jako nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

e = 2,7182818284…

Ponieważ e jest dodatnie i niezerowe, istnieje logarytm o podstawie e. Ten logarytm nazywa się naturalny logarytm . Oznaczone przez ln(x) = log e (x).

Pochodna funkcji wykładniczej

Twierdzenie: Funkcja e x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, oraz (e x)’ = e x.

Funkcja wykładnicza a x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, oraz (a x)’ = (a x)*ln(a).
Konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że funkcja wykładnicza jest ciągła w dowolnym punkcie swojej dziedziny definicji.

Przykład: znajdź pochodną funkcji y = 2 x.

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej otrzymujemy:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Odpowiedź: (2 x)*ln(2).

Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej

Dla funkcji wykładniczej a x określonej na zbiorze liczb rzeczywistych funkcją pierwotną będzie funkcja (a x)/(ln(a)).
ln(a) jest pewną stałą, wówczas (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x dla dowolnego x. Udowodniliśmy to twierdzenie.

Rozważmy przykład znalezienia funkcji pierwotnej funkcji wykładniczej.

Przykład: znajdź funkcję pierwotną funkcji f(x) = 5 x. Skorzystajmy ze wzoru podanego powyżej i zasad znajdowania funkcji pierwotnych. Otrzymujemy: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Prosta y=3x+2 jest styczna do wykresu funkcji y=-12x^2+bx-10. Znajdź b, biorąc pod uwagę, że odcięta punktu stycznego jest mniejsza od zera.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Niech x_0 będzie odciętą punktu na wykresie funkcji y=-12x^2+bx-10, przez który przechodzi styczna do tego wykresu.

Wartość pochodnej w punkcie x_0 wynosi nachylenie tangens, czyli y”(x_0)=-24x_0+b=3. Natomiast punkt styczności należy jednocześnie do wykresu funkcji i stycznej, czyli -12x_0^2+bx_0- 10=3x_0+2 Otrzymujemy układ równań \begin(przypadki) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(przypadki)

Rozwiązując ten układ, otrzymujemy x_0^2=1, co oznacza albo x_0=-1, albo x_0=1. Zgodnie z warunkiem odciętej punkty styczne są mniejsze od zera, zatem x_0=-1, wówczas b=3+24x_0=-21.

Odpowiedź

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa powierzchni trapezu krzywoliniowego, ograniczone harmonogramem funkcje y=f(x), linie proste y=0, x=9 i x=5. Zgodnie z harmonogramem ustalamy, że wskazane zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3.

Jego pole jest równe \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu" wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-4; 10). Znajdź przedziały malejącej funkcji f(x). W swojej odpowiedzi: wskaż długość największego z nich.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Jak wiadomo, funkcja f(x) maleje na tych przedziałach, w każdym punkcie, w którym pochodna f”(x) jest mniejsza od zera. Biorąc pod uwagę konieczność znalezienia długości największego z nich, wyznaczamy trzy takie przedziały naturalnie odróżnione od figury: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Długość największego z nich - (5; 9) wynosi 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres y=f"(x) - pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-8; 7). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x), należący do przedziału [-6; -2].

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Z wykresu wynika, że ​​pochodna f”(x) funkcji f(x) zmienia znak z plusa na minus (w takich punktach będzie maksimum) dokładnie w jednym punkcie (pomiędzy -5 a -4) z przedziału [ -6; -2 ] Zatem na przedziale [-6; -2] znajduje się dokładnie jeden punkt maksymalny.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), określonej na przedziale (-2; 8). Wyznacz liczbę punktów, w których pochodna funkcji f(x) jest równa 0.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Równość pochodnej w punkcie do zera oznacza, że ​​styczna do wykresu funkcji narysowanej w tym punkcie jest równoległa do osi Ox. Znajdujemy zatem punkty, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi Wółu. NA ten wykres takie punkty są punktami ekstremalnymi (punktami maksymalnymi lub minimalnymi). Jak widać, istnieje 5 punktów ekstremalnych.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Prosta y=-3x+4 jest równoległa do stycznej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7. Znajdź odciętą punktu stycznego.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Nachylenie prostej do wykresu funkcji y=-x^2+5x-7 cali dowolny punkt x_0 równa się y"(x_0). Ale y"=-2x+5, co oznacza y"(x_0)=-2x_0+5. Nachylenie prostej y=-3x+4 podanej w warunku jest równe -3 Linie równoległe mają te same współczynniki kątowe.Dlatego znajdujemy wartość x_0 taką, że =-2x_0 +5=-3.

Otrzymujemy: x_0 = 4.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x), a na odciętej zaznaczono punkty -6, -1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Ta lekcja jest pierwszą z serii filmów na temat integracji. W nim dowiemy się, co to jest pierwotna funkcja, a także przestudiować elementarne metody obliczania tych samych funkcji pierwotnych.

Tak naprawdę nie ma tu nic skomplikowanego: w zasadzie wszystko sprowadza się do pojęcia pochodnej, które powinieneś już znać. :)

Od razu to zauważę, ponieważ jest to pierwsza lekcja w naszej szkole nowy temat, dzisiaj nie będzie żadnego złożone obliczenia i formuły, ale to, co dzisiaj przestudiujemy, będzie stanowić podstawę do znacznie bardziej złożonych obliczeń i konstrukcji podczas obliczeń całki złożone i kwadraty.

Ponadto, rozpoczynając naukę integracji, a zwłaszcza całek, domyślnie zakładamy, że student zna już przynajmniej pojęcia pochodnych i posiada przynajmniej podstawowe umiejętności ich obliczania. Bez jasnego zrozumienia tego nie ma absolutnie nic do zrobienia w integracji.

Jednak tutaj leży jeden z najczęstszych i podstępnych problemów. Faktem jest, że wielu uczniów, rozpoczynając obliczanie swoich pierwszych funkcji pierwotnych, myli je z pochodnymi. W rezultacie na egzaminach i niezależna praca popełniane są głupie i obraźliwe błędy.

Dlatego teraz nie podam jasnej definicji funkcji pierwotnej. W zamian sugeruję zobaczenie, jak to jest obliczane na prostym konkretnym przykładzie.

Co to jest funkcja pierwotna i jak się ją oblicza?

Znamy ten wzór:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Tę pochodną oblicza się w prosty sposób:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Przyjrzyjmy się uważnie wynikowemu wyrażeniu i wyraźmy $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Ale zgodnie z definicją pochodnej możemy to zapisać w ten sposób:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

A teraz uwaga: to, co właśnie zapisaliśmy, to definicja funkcji pierwotnej. Ale żeby napisać to poprawnie, musisz napisać co następuje:

W ten sam sposób napiszemy następujące wyrażenie:

Jeśli uogólnimy tę regułę, możemy wyprowadzić następujący wzór:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Teraz możemy sformułować jasną definicję.

Funkcja pierwotna funkcji to funkcja, której pochodna jest równa funkcji pierwotnej.

Pytania dotyczące funkcji pierwotnej

Wydawałoby się, że jest to dość prosta i zrozumiała definicja. Jednak po usłyszeniu tego uważny uczeń natychmiast zada kilka pytań:

1. Powiedzmy, OK, ta formuła jest poprawna. Jednak w tym przypadku, gdy $n=1$, mamy problem: w mianowniku pojawia się „zero”, a przez „zero” nie możemy dzielić.
2. Formuła ogranicza się tylko do stopni. Jak obliczyć funkcję pierwotną, na przykład sinusa, cosinusa i dowolnej innej trygonometrii, a także stałe.
3. Pytanie egzystencjalne: czy zawsze można znaleźć funkcję pierwotną? Jeśli tak, to co z funkcją pierwotną sumy, różnicy, iloczynu itp.?

NA ostatnie pytanie Odpowiem od razu. Niestety, funkcja pierwotna, w przeciwieństwie do pochodnej, nie zawsze jest brana pod uwagę. Nie ma czegoś takiego uniwersalna formuła, dzięki czemu z dowolnej konstrukcji początkowej otrzymamy funkcję równą tej podobnej konstrukcji. Jeśli chodzi o potęgi i stałe, porozmawiamy o tym teraz.

Rozwiązywanie problemów z funkcjami potęgowymi

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Jak widzimy, tę formułę dla $((x)^(-1))$ nie działa. Powstaje pytanie: co w takim razie działa? Czy nie możemy policzyć $((x)^(-1))$? Oczywiście możemy. Najpierw zapamiętajmy to:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Teraz pomyślmy: pochodna której funkcji jest równa $\frac(1)(x)$. Oczywiście każdy uczeń, który choć trochę przestudiował ten temat, pamięta, że ​​to wyrażenie jest równe pochodnej logarytmu naturalnego:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Dlatego śmiało możemy napisać, co następuje:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\do \ln x\]

Trzeba znać ten wzór, podobnie jak pochodną funkcji potęgowej.

Zatem co wiemy na razie:

• Dla funkcji potęgowej - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Dla stałej - $=const\to \cdot x$
• Szczególnym przypadkiem funkcji potęgowej jest $\frac(1)(x)\to \ln x$

A jeśli zaczniemy mnożyć i dzielić najprostsze funkcje, jak wówczas możemy obliczyć funkcję pierwotną iloczynu lub ilorazu. Niestety analogie z pochodną iloczynu lub ilorazu nie sprawdzają się tutaj. Każdy standardowa formuła nie istnieje. W niektórych przypadkach istnieją trudne specjalne formuły - zapoznamy się z nimi w przyszłych lekcjach wideo.

Pamiętaj jednak: ogólna formuła, podobny wzór na obliczenie pochodnej ilorazu i iloczynu nie istnieje.

Rozwiązywanie prawdziwych problemów

Zadanie nr 1

Niech każdy funkcje mocy Obliczmy osobno:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Wracając do naszego wyrażenia, piszemy konstrukcję ogólną:

Problem nr 2

Jak już mówiłem, prototypy dzieł i prywatne „od razu” nie są brane pod uwagę. Jednak tutaj możesz wykonać następujące czynności:

Rozbiliśmy ułamek na sumę dwóch ułamków.

Zróbmy matematykę:

Dobra wiadomość jest taka, że ​​znając wzory na obliczanie funkcji pierwotnych, możesz już obliczyć więcej złożone projekty. Pójdźmy jednak dalej i poszerzmy naszą wiedzę jeszcze trochę. Faktem jest, że wiele konstrukcji i wyrażeń, które na pierwszy rzut oka nie mają nic wspólnego z $((x)^(n))$, można przedstawić w postaci potęgi z racjonalny wskaźnik, a mianowicie:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Wszystkie te techniki można i należy łączyć. Wyrażenia mocy Móc

• mnożyć (dodawać stopnie);
• dzielić (odejmować stopnie);
• pomnóż przez stałą;
• itp.

Rozwiązywanie wyrażeń potęgowych z wykładnikiem wymiernym

Przykład 1

Obliczmy każdy pierwiastek osobno:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

W sumie całą naszą konstrukcję można zapisać następująco:

Przykład nr 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Dlatego otrzymujemy:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

W sumie zbierając wszystko w jedno wyrażenie możemy napisać:

Przykład nr 3

Na początek zauważamy, że obliczyliśmy już $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Przepiszmy:

Mam nadzieję, że nikogo nie zaskoczę, jeśli powiem, że tego, czego właśnie się nauczyliśmy, jest po prostu najwięcej proste obliczenia prymitywne, najbardziej elementarne struktury. Przyjrzyjmy się teraz trochę więcej złożone przykłady, w którym oprócz tabelarycznych funkcji pierwotnych będziesz musiał także pamiętać program nauczania, mianowicie skrócone wzory na mnożenie.

Rozwiązywanie bardziej złożonych przykładów

Zadanie nr 1

Przypomnijmy sobie wzór na kwadrat różnicy:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Przepiszmy naszą funkcję:

Musimy teraz znaleźć prototyp takiej funkcji:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Zbierzmy wszystko w jedną wspólną strukturę:

Problem nr 2

W tym przypadku musimy rozwinąć kostkę różnicową. Zapamiętajmy:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Biorąc ten fakt pod uwagę, możemy zapisać to w następujący sposób:

Przekształćmy trochę naszą funkcję:

Liczymy jak zawsze – dla każdego terminu osobno:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\do \ln x\]

Napiszmy powstałą konstrukcję:

Problem nr 3

Na górze mamy kwadrat sumy, rozwińmy go:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\lewo(\sqrt(x) \prawo))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napiszmy ostateczne rozwiązanie:

Teraz uwaga! Bardzo ważna rzecz, z którym jest połączony lwia część błędy i nieporozumienia. Faktem jest, że do tej pory licząc funkcje pierwotne za pomocą pochodnych i dokonując przekształceń, nie zastanawialiśmy się, ile wynosi pochodna stałej. Ale pochodna stałej jest równa „zero”. Oznacza to, że możesz zapisać następujące opcje:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Bardzo ważne jest zrozumienie tego: jeśli pochodna funkcji jest zawsze taka sama, to ta sama funkcja ma nieskończoną liczbę funkcji pierwotnych. Możemy po prostu dodać dowolne liczby stałe do naszych funkcji pierwotnych i otrzymać nowe.

To nie przypadek, że w objaśnieniu problemów, które właśnie rozwiązaliśmy, było napisane: „Zapisz forma ogólna prymitywni.” Te. Już z góry zakłada się, że nie ma jednego z nich, ale całą masę. Ale tak naprawdę różnią się one tylko stałą $C$ na końcu. Dlatego w naszych zadaniach będziemy poprawiać to, czego nie wykonaliśmy.

Jeszcze raz przepisujemy nasze konstrukcje:

W takich przypadkach należy dodać, że $C$ jest stałą - $C=const$.

W drugiej funkcji otrzymujemy następującą konstrukcję:

I ostatni:

I teraz naprawdę otrzymaliśmy to, czego od nas wymagano w pierwotnym stanie problemu.

Rozwiązywanie problemów znajdowania funkcji pierwotnych w zadanym punkcie

Teraz, gdy wiemy o stałych i osobliwościach zapisywania funkcji pierwotnych, jest to całkiem logiczne następny typ problemy, gdy ze zbioru wszystkich funkcji pierwotnych trzeba znaleźć jedną, która przejdzie dany punkt. Jakie jest to zadanie?

Faktem jest, że wszystkie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się tylko tym, że są przesunięte w pionie o określoną liczbę. A to oznacza, że ​​niezależnie od punktu płaszczyzna współrzędnych nie wzięliśmy tego, jedna funkcja pierwotna na pewno przejdzie, a ponadto tylko jedna.

Tak więc sformułowano zadania, które teraz rozwiążemy następująco: nie jest łatwo znaleźć funkcję pierwotną, znając wzór funkcji pierwotnej, ale wybrać dokładnie jedną z nich, która przechodzi przez dany punkt, którego współrzędne zostaną podane w zadaniu.

Przykład 1

Najpierw po prostu policzmy każdy wyraz:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Teraz podstawimy te wyrażenia do naszej konstrukcji:

Funkcja ta musi przechodzić przez punkt $M\left(-1;4 \right)$. Co to znaczy, że przechodzi przez punkt? Oznacza to, że jeśli zamiast $x$ wstawimy wszędzie $-1$, a zamiast $F\left(x \right)$ postawimy $-4$, to powinniśmy otrzymać poprawną równość liczbowa. Zróbmy to:

Widzimy, że mamy równanie na $C$, więc spróbujmy je rozwiązać:

Zapiszmy właśnie rozwiązanie, którego szukaliśmy:

Przykład nr 2

Przede wszystkim konieczne jest ujawnienie kwadratu różnicy za pomocą skróconej formuły mnożenia:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Oryginalna konstrukcja zostanie zapisana w następujący sposób:

Teraz znajdźmy $C$: zamień współrzędne punktu $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Wyrażamy $C$:

Pozostaje wyświetlić końcowe wyrażenie:

Rozwiązywanie problemów trygonometrycznych

Jak ostatni akord Oprócz tego, co właśnie omówiliśmy, proponuję rozważyć jeszcze dwa złożone zadania, które zawierają trygonometrię. W nich w ten sam sposób trzeba będzie znaleźć funkcje pierwotne dla wszystkich funkcji, a następnie wybrać z tego zbioru jedyną, która przechodzi przez punkt $M$ na płaszczyźnie współrzędnych.

Patrząc w przyszłość, chciałbym zauważyć, że technika, której będziemy teraz używać do znajdowania funkcji pierwotnych funkcje trygonometryczne w rzeczywistości jest uniwersalną techniką samotestowania.

Zadanie nr 1

Zapamiętajmy następującą formułę:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na tej podstawie możemy napisać:

Podstawmy współrzędne punktu $M$ do naszego wyrażenia:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Przepiszmy wyrażenie biorąc pod uwagę ten fakt:

Problem nr 2

To będzie trochę trudniejsze. Teraz zobaczysz dlaczego.

Zapamiętajmy tę formułę:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Aby pozbyć się „minusu”, musisz wykonać następujące czynności:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Oto nasz projekt

Podstawmy współrzędne punktu $M$:

W sumie zapisujemy ostateczną konstrukcję:

To wszystko, o czym chciałem wam dzisiaj powiedzieć. Przestudiowaliśmy sam termin funkcje pierwotne i jak je liczyć funkcje elementarne, a także jak znaleźć funkcję pierwotną przechodzącą przez określony punkt na płaszczyźnie współrzędnych.

Mam nadzieję, że ta lekcja choć trochę pomoże Ci to zrozumieć złożony temat. W każdym razie dotyczy to funkcji pierwotnych, które są nieokreślone i Całki nieoznaczone, więc absolutnie konieczne jest ich policzenie. To wszystko dla mnie. Do zobaczenia!

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Treść

Elementy treści

Pochodna, tangens, funkcja pierwotna, wykresy funkcji i pochodne.

Pochodna Niech funkcja \(f(x)\) będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu \(x_0\).

Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) zwany limitem

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

jeśli taki limit istnieje.

Pochodna funkcji w punkcie charakteryzuje szybkość zmian tej funkcji w danym punkcie.

Tabela instrumentów pochodnych

Funkcjonować	Pochodna
\(stała\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\grzech x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\grzech x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Zasady różnicowania\(f\) i \(g\) są funkcjami zależnymi od zmiennej \(x\); \(c\) jest liczbą.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - pochodna funkcji zespolonej

Geometryczne znaczenie pochodnej Równanie prostej- Nie oś równoległa\(Oy\) można zapisać jako \(y=kx+b\). Nazywa się współczynnik \(k\) w tym równaniu nachylenie linii prostej. On równy tangensowi kąt nachylenia tę linię prostą.

Kąt prosty- kąt pomiędzy dodatnim kierunkiem osi \(Ox\) a tą prostą, mierzony w kierunku dodatnich kątów (czyli w kierunku najmniejszego obrotu od osi \(Ox\) do \ (Oy\) oś).

Pochodna funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równa nachyleniu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Jeżeli \(f"(x_0)=0\), to styczna do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\) jest równoległa do osi \(Ox\).

Równanie styczne

Równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)\) w punkcie \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotoniczność funkcji Jeżeli pochodna funkcji jest dodatnia we wszystkich punktach przedziału, to funkcja rośnie w tym przedziale.

Jeżeli pochodna funkcji jest ujemna we wszystkich punktach przedziału, to funkcja maleje w tym przedziale.

Minimum, maksimum i punkty przegięcia pozytywny NA negatywny w tym momencie \(x_0\) jest maksymalnym punktem funkcji \(f\).

Jeżeli funkcja \(f\) jest ciągła w punkcie \(x_0\), a wartość pochodnej tej funkcji \(f"\) zmienia się wraz z negatywny NA pozytywny w tym momencie \(x_0\) jest minimalnym punktem funkcji \(f\).

Nazywa się punkty, w których pochodna \(f"\) jest równa zeru lub nie istnieje punkt krytyczny funkcje \(f\).

Punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji \(f(x)\), w której \(f"(x)=0\) mogą być minimum, maksimum lub punktami przegięcia.

Fizyczne znaczenie pochodnej Jeżeli punkt materialny porusza się prostoliniowo i jego współrzędna zmienia się w zależności od czasu zgodnie z prawem \(x=x(t)\), to prędkość tego punktu jest równa pochodnej współrzędnej po czasie:

Przyśpieszenie punkt materialny równa pochodnej prędkości tego punktu po czasie:

\(a(t)=v"(t).\)