Instrukcje
Znajdź dziedzinę funkcji. Przykładowo funkcja sin(x) jest definiowana na całym przedziale od -∞ do +∞, a funkcja 1/x jest definiowana od -∞ do +∞, z wyjątkiem punktu x = 0.
Identyfikacja obszarów ciągłości i punktów nieciągłości. Zazwyczaj funkcja jest ciągła w tym samym obszarze, w którym jest zdefiniowana. Aby wykryć nieciągłości, należy obliczyć, gdy argument zbliża się do izolowanych punktów w dziedzinie definicji. Na przykład funkcja 1/x dąży do nieskończoności, gdy x → 0+ i do minus nieskończoności, gdy x → 0-. Oznacza to, że w punkcie x = 0 ma nieciągłość drugiego rodzaju.
Jeśli granice w punkcie nieciągłości są skończone, ale nie równe, to jest to nieciągłość pierwszego rodzaju. Jeżeli są one równe, to funkcję uważa się za ciągłą, chociaż nie jest ona zdefiniowana w izolowanym punkcie.
Znajdź asymptoty pionowe, jeśli takie istnieją. Pomogą Ci w tym obliczenia z poprzedniego kroku, ponieważ asymptota pionowa prawie zawsze leży w punkcie nieciągłości drugiego rodzaju. Czasami jednak z dziedziny definicji wyłączone są nie pojedyncze punkty, lecz całe przedziały punktów i wówczas na krawędziach tych przedziałów można zlokalizować asymptoty pionowe.
Sprawdź, czy funkcja ma specjalne właściwości: parzyste, nieparzyste i okresowe.
Funkcja będzie parzysta jeśli dla dowolnego x z dziedziny f(x) = f(-x). Na przykład cos(x) i x^2 - nawet funkcje.
Okresowość to właściwość mówiąca, że istnieje pewna liczba T, zwana okresem, dla dowolnego x f(x) = f(x + T). Na przykład wszystkie główne funkcje trygonometryczne(sinus, cosinus, tangens) - okresowe.
Znajdź punkty. Aby to zrobić, oblicz pochodną dana funkcja i znajdź te wartości x, gdzie staje się zerem. Na przykład funkcja f(x) = x^3 + 9x^2 -15 ma pochodną g(x) = 3x^2 + 18x, która znika przy x = 0 i x = -6.
Aby określić, które ekstrema są maksimami, a które minimami, śledź zmianę znaków pochodnej przy znalezionych zerach. g(x) zmienia znak z plusa w punkcie x = -6, a w punkcie x = 0 z powrotem z minusa na plus. W konsekwencji funkcja f(x) ma minimum w pierwszym punkcie i minimum w drugim.
W ten sposób znalazłeś także obszary monotoniczności: f(x) monotonicznie rośnie w przedziale -∞;-6, monotonicznie maleje na -6;0 i ponownie rośnie na 0;+∞.
Znajdź drugą pochodną. Jej pierwiastki pokażą, gdzie wykres danej funkcji będzie wypukły, a gdzie wklęsły. Na przykład druga pochodna funkcji f(x) będzie wynosić h(x) = 6x + 18. Przy x = -3 dochodzi do zera, zmieniając znak z minus na plus. W konsekwencji wykres f(x) przed tym punktem będzie wypukły, za nim wklęsły, a sam ten punkt będzie punktem przegięcia.
Funkcja może mieć inne asymptoty oprócz pionowych, ale tylko wtedy, gdy jej dziedzina definicji obejmuje . Aby je znaleźć, oblicz granicę f(x), gdy x → ∞ lub x → -∞. Jeśli jest skończony, to znalazłeś asymptotę poziomą.
Asymptota ukośna jest linią prostą w postaci kx + b. Aby znaleźć k, oblicz granicę f(x)/x jako x → ∞. Znalezienie b - granicy (f(x) – kx) dla tego samego x→∞.