Po otwarciu nawiasów znak zmienia się na przeciwny. Nawiasy rozwijane – Hipermarket Wiedzy

rozwinąć umiejętność otwierania nawiasów, biorąc pod uwagę znak przed nawiasami;

rozwijanie:

rozwijać logiczne myślenie, uwaga, mowa matematyczna, umiejętność analizowania, porównywania, uogólniania, wyciągania wniosków;

wychowywanie:

kształtowanie odpowiedzialności, zainteresowanie poznawcze tematem

Podczas zajęć

I. Moment organizacyjny.

Sprawdź to kolego
Czy jesteś gotowy na zajęcia?
Czy wszystko jest na swoim miejscu? Wszystko w porządku?
Długopis, książka i notatnik.
Czy wszyscy siedzą prawidłowo?
Czy wszyscy uważnie się przyglądają?

Chcę rozpocząć lekcję od pytania do Ciebie:

Jak myślisz, co jest najcenniejszą rzeczą na Ziemi? (Odpowiedzi dzieci.)

To pytanie niepokoi ludzkość od tysięcy lat. Oto odpowiedź udzielona przez słynnego naukowca Al-Biruni: „Wiedza jest najdoskonalszym dobrem. Każdy o to zabiega, ale to nie przychodzi samo.

Niech te słowa staną się mottem naszej lekcji.

II. Aktualizacja dotychczasowej wiedzy, umiejętności i zdolności:

Liczenie werbalne:

1.1. Jaka jest dzisiaj data?

2. Powiedz mi, co wiesz o liczbie 20?

3. Gdzie na osi współrzędnych znajduje się ta liczba?

4. Podaj liczbę przeciwną.

5. Nazwij przeciwną liczbę.

6. Jak nazywa się liczba 20?

7. Jakie liczby nazywane są przeciwieństwami?

8. Jakie liczby nazywane są ujemnymi?

9. Niż moduł jest równy numer 20? - 20?

10. Jaka jest suma liczb przeciwnych?

2. Wyjaśnij następujące wpisy:

a) Genialny starożytny matematyk Archimedes urodził się w roku 0287.

b) Genialny rosyjski matematyk N.I. Łobaczewski urodził się w 1792 r.

Pierwszy Igrzyska Olimpijskie miało miejsce w Grecji w roku 776.

d) Pierwsze Międzynarodowe Igrzyska Olimpijskie odbyły się w 1896 roku.

e) XXII Zimowe Igrzyska Olimpijskie odbyły się w 2014 roku.

3. Dowiedz się, jakie liczby kręcą się na „karuzeli matematycznej” (wszystkie czynności wykonywane są ustnie).

II. Kształtowanie nowej wiedzy, umiejętności i zdolności.

Czy nauczyłeś się występować różne działania z liczbami całkowitymi. Co zrobimy dalej? Jak rozwiążemy przykłady i równania?

Znajdźmy znaczenie tych wyrażeń

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Jaka jest procedura w przykładzie 1? Ile jest w nawiasach? Jaka jest procedura w drugim przykładzie? Wynik pierwszej akcji? Co możesz powiedzieć o tych wyrażeniach?

Oczywiście wyniki pierwszego i drugiego wyrażenia są takie same, co oznacza, że ​​możesz postawić między nimi znak równości: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Co zrobiliśmy z nawiasami? (Opuścili go.)

Jak myślisz, co będziemy dzisiaj robić na zajęciach? (Dzieci formułują temat lekcji.) W naszym przykładzie, jaki znak znajduje się przed nawiasami. (Plus.)

I tak dochodzimy do kolejnej zasady:

Jeśli przed nawiasami znajduje się znak +, możesz pominąć nawiasy i ten znak +, zachowując znaki terminów w nawiasach. Jeżeli pierwszy wyraz w nawiasie jest zapisany bez znaku, wówczas należy go zapisać ze znakiem +.

Ale co, jeśli przed nawiasami znajduje się znak minus?

W takim przypadku musisz rozumować w taki sam sposób, jak przy odejmowaniu: musisz dodać liczbę przeciwną do odejmowanej:

7 – (3 + 4) = -7 + (-7) = -7 + (-3) + (-4) = -7 – 3 – 4 = -14

- Więc otworzyliśmy nawiasy, gdy przed nimi pojawił się znak minus.

Zasadą otwierania nawiasów jest to, że nawiasy są poprzedzone znakiem „-”.

Aby otworzyć nawiasy poprzedzone znakiem -, należy zastąpić ten znak znakiem +, zmieniając znaki wszystkich terminów w nawiasach na przeciwne, a następnie otworzyć nawiasy.

Posłuchajmy zasad otwierania nawiasów w poezji:

Przed nawiasem jest plus.
O tym właśnie mówi
Dlaczego pomijasz nawiasy?
Wypuść wszystkie znaki!
Przed nawiasem minus jest ścisły
Zablokuje nam drogę
Aby usunąć nawiasy
Musimy zmienić znaki!

Tak, chłopaki, znak minus jest bardzo podstępny, jest „stróżem” przy bramie (nawiasy), uwalnia liczby i zmienne tylko wtedy, gdy zmieniają swoje „paszporty”, czyli znaki.

Po co w ogóle otwierać nawiasy? (Gdy są nawiasy, jest moment jakiejś niekompletności, jakiejś tajemnicy. To jak zamknięte drzwi, za którymi kryje się coś ciekawego.) Dziś zgłębiliśmy ten sekret.

Krótka wycieczka do historii:

Nawiasy klamrowe pojawiają się w pismach Viety (1593). Wsporniki zaczęto powszechnie stosować dopiero w pierwszej połowie XVIII wieku za sprawą Leibniza, a jeszcze bardziej Eulera.

Minuta wychowania fizycznego.

III. Utrwalenie nowej wiedzy, umiejętności i zdolności.

Pracuj według podręcznika:

nr 1234 (otwórz nawiasy) – ustnie.

nr 1236 (otwórz nawiasy) – ustnie.

nr 1235 (znajdź znaczenie wyrażenia) – pisemnie.

Nr 1238 (uprościć wyrażenia) – pracujcie w parach.

IV. Podsumowanie lekcji.

1. Oceny są ogłaszane.

2. Dom. ćwiczenia. paragraf 39 nr 1254 (a, b, c), 1255 (a, b, c), 1259.

3. Czego się dzisiaj nauczyliśmy?

Czego nowego się nauczyłeś?

I chcę zakończyć lekcję życzeniami dla każdego z Was:

„W stronę matematyki wykazać zdolności,
Nie bądź leniwy, ale rozwijaj się każdego dnia.
Mnóż, dziel, pracuj, myśl,
Nie zapomnij zaprzyjaźnić się z matematyką.”

Nawiasy służą do wskazania kolejności wykonywania czynności w wyrażeniach numerycznych, dosłownych i zmiennych. Wygodnie jest przejść od wyrażenia w nawiasach do wyrażenia identycznego równe wyrażeniu bez nawiasów. Technika ta nazywa się nawiasami otwierającymi.

Rozszerzanie nawiasów oznacza usuwanie nawiasów z wyrażenia.

Na szczególną uwagę zasługuje jeszcze jedna kwestia, która dotyczy specyfiki zapisywania decyzji podczas otwierania nawiasów. Wyrażenie początkowe możemy zapisać w nawiasach, a wynik uzyskany po otwarciu nawiasów jako równość. Na przykład po rozwinięciu nawiasów zamiast wyrażenia
3−(5−7) otrzymujemy wyrażenie 3−5+7. Obydwa wyrażenia możemy zapisać jako równość 3−(5−7)=3−5+7.

I jeszcze jeden ważny punkt. W matematyce, aby skrócić oznaczenia, zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu lub w nawiasie. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie +7+3, ale po prostu 7+3, mimo że siedem jest również liczbą dodatnią. Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie (5+x) - wiedz, że przed nawiasem znajduje się plus, którego nie zapisuje się, a przed piątką plus +(+5+x).

Zasada otwierania nawiasów podczas dodawania

Otwierając nawiasy, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, to plus ten jest pomijany wraz z nawiasami.

Przykład. Otwórz nawiasy w wyrażeniu 2 + (7 + 3) Przed nawiasami znajduje się plus, co oznacza, że ​​nie zmieniamy znaków przed liczbami w nawiasach.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Zasada otwierania nawiasów podczas odejmowania

Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy znajdujące się w nawiasach zmieniają swój znak na przeciwny. Brak znaku przed pierwszym wyrazem w nawiasie oznacza znak +.

Przykład. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 - (7 + 3)

Przed nawiasami znajduje się minus, co oznacza, że ​​należy zmienić znaki przed liczbami w nawiasach. W nawiasach przed liczbą 7 nie ma znaku, oznacza to, że siedem jest dodatnie, uważa się, że przed nią znajduje się znak +.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Otwierając nawiasy, usuwamy z przykładu minus znajdujący się przed nawiasami, a same nawiasy 2 - (+ 7 + 3) i zmieniamy znaki znajdujące się w nawiasach na przeciwne.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Rozwijanie nawiasów podczas mnożenia

Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak mnożenia, to każda liczba w nawiasie jest mnożona przez współczynnik znajdujący się przed nawiasem. W tym przypadku pomnożenie minusa przez minus daje plus, a pomnożenie minusa przez plus, podobnie jak pomnożenie plusa przez minus, daje minus.

W ten sposób nawiasy w iloczynach są rozwijane zgodnie z rozdzielną właściwością mnożenia.

Przykład. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Kiedy mnożysz nawias przez nawias, każdy wyraz w pierwszym nawiasie jest mnożony przez każdy wyraz w drugim nawiasie.

(2 + 3) · (4 + 5) = 2 · 4 + 2 · 5 + 3 · 4 + 3 · 5

Tak naprawdę nie trzeba pamiętać wszystkich zasad, wystarczy zapamiętać tylko jedną, tę: c(a−b)=ca−cb. Dlaczego? Ponieważ jeśli podstawisz jeden zamiast c, otrzymasz regułę (a-b)=a-b. A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę −(a−b)=−a+b. Cóż, jeśli zastąpisz inny nawias zamiast c, możesz uzyskać ostatnią regułę.

Nawiasy otwierające podczas dzielenia

Jeżeli po nawiasie znajduje się znak dzielenia, to każda liczba w nawiasie jest dzielona przez dzielnik znajdujący się po nawiasie i odwrotnie.

Przykład. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Jak rozwinąć zagnieżdżone nawiasy

Jeśli wyrażenie zawiera zagnieżdżone nawiasy, są one rozwijane w odpowiedniej kolejności, zaczynając od nawiasów zewnętrznych lub wewnętrznych.

W takim przypadku ważne jest, aby otwierając jeden z nawiasów, nie dotykać pozostałych nawiasów, a po prostu przepisać je bez zmian.

Przykład. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

W tym artykule przyjrzymy się szczegółowo podstawowym zasadom takim ważny temat kurs matematyki, jak otwieranie nawiasów. Aby poprawnie rozwiązywać równania, w których się je stosuje, trzeba znać zasady otwierania nawiasów.

Jak poprawnie otwierać nawiasy podczas dodawania

Rozwiń nawiasy poprzedzone znakiem „+”.

Jest to najprostszy przypadek, gdyż jeśli przed nawiasem znajduje się znak dodania, to znajdujące się w nim znaki nie zmieniają się po otwarciu nawiasu. Przykład:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Jak rozwinąć nawiasy poprzedzone znakiem „-”.

W w tym przypadku musisz przepisać wszystkie terminy bez nawiasów, ale jednocześnie zmienić wszystkie znajdujące się w nich znaki na przeciwne. Znaki zmieniają się tylko dla terminów z nawiasów poprzedzonych znakiem „-”. Przykład:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Jak otwierać nawiasy podczas mnożenia

Przed nawiasami znajduje się liczba mnożnika

W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz przez współczynnik i otworzyć nawiasy bez zmiany znaków. Jeśli mnożnik ma znak „-”, to podczas mnożenia znaki wyrazów zostają odwrócone. Przykład:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Jak otworzyć dwa nawiasy ze znakiem mnożenia między nimi

W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Przykład:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Jak otwierać nawiasy w kwadracie

Jeżeli suma lub różnica dwóch wyrazów jest podniesiona do kwadratu, nawiasy należy otworzyć według następującego wzoru:

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

W przypadku minusa w nawiasie wzór nie ulega zmianie. Przykład:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Jak rozwinąć nawiasy do innego stopnia

Jeśli sumę lub różnicę wyrazów podniesiemy na przykład do potęgi trzeciej lub czwartej, wystarczy rozbić potęgę nawiasu na „kwadraty”. Dodaje się potęgi identycznych czynników, a przy dzieleniu odejmuje się potęgę dzielnika od potęgi dzielnej. Przykład:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Jak otworzyć 3 nawiasy

Istnieją równania, w których mnożone są jednocześnie 3 nawiasy. W takim przypadku należy najpierw pomnożyć wyrazy pierwszych dwóch nawiasów przez siebie, a następnie pomnożyć sumę tego mnożenia przez wyrazy trzeciego nawiasu. Przykład:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Te zasady otwierania nawiasów mają zastosowanie zarówno do rozwiązywania równań liniowych, jak i trygonometrycznych.

W V wieku p.n.e. starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:

Załóżmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest o tysiąc kroków za nim. W czasie, jaki potrzebuje Achilles na pokonanie tej odległości, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw czołga się przez kolejne dziesięć kroków i tak dalej. Proces ten będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.

To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich kolejnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób rozważali aporię Zenona. Wstrząs był tak silny, że „ ...dyskusje trwają do dziś, aby dojść do wspólnego stanowiska co do istoty paradoksów społeczność naukowa dotychczas nie było to możliwe... zajmowaliśmy się badaniem tego zagadnienia Analiza matematyczna, teoria mnogości, nowa fizyka i podejścia filozoficzne; żaden z nich nie stał się ogólnie przyjętym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia, „Aporia Zenona”. Każdy rozumie, że daje się oszukać, ale nikt nie rozumie, na czym to oszustwo polega.

Z matematycznego punktu widzenia Zenon w swoich aporiach wyraźnie pokazał przejście od ilości do. To przejście oznacza zastosowanie, a nie trwałe. O ile rozumiem, aparat matematyczny Stosowanie zmiennych jednostek miary albo nie zostało jeszcze opracowane, albo nie zostało zastosowane w aporiach Zenona. Stosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, ze względu na bezwładność myślenia, do wartości odwrotności stosujemy stałe jednostki czasu. Z punkt fizyczny Z perspektywy czasu wygląda to tak, jakby czas zwalniał, aż do całkowitego zatrzymania się w momencie, gdy Achilles dogonił żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie będzie już w stanie przegonić żółwia.

Jeśli odwrócimy naszą zwykłą logikę, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie z stała prędkość. Każdy kolejny odcinek jego ścieżki jest dziesięć razy krótszy od poprzedniego. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji koncepcję „nieskończoności”, wówczas słuszne będzie stwierdzenie: „Achilles nieskończenie szybko dogoni żółwia”.

Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Zostań w środku jednostki stałe pomiary czasu i nie idą do ilości odwrotnych. W języku Zenona wygląda to tak:

W czasie, jaki zajmie Achillesowi przebiegnięcie tysiąca kroków, żółw wykona sto kroków w tym samym kierunku. Dla następnego przedziału czasowego równy pierwszemu, Achilles przebiegnie jeszcze tysiąc kroków, a żółw przeczołga się sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.

Podejście to adekwatnie opisuje rzeczywistość, bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie Problemy. Stwierdzenie Einsteina o nieodpartej prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych liczbach, ale w jednostkach miary.

Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o lecącej strzałce:

Lecąca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ jest w spoczynku w każdej chwili, jest zawsze w spoczynku.

W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony w bardzo prosty sposób - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała znajduje się w spoczynku w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. Należy tutaj zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Na podstawie jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się określić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Aby ustalić, czy samochód się porusza, potrzebne są dwa zdjęcia wykonane z tego samego punktu różne momenty czasu, ale nie można na ich podstawie określić odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebne są dwa zdjęcia różne punkty przestrzeń w jednym momencie, ale nie można na ich podstawie ustalić faktu ruchu (oczywiście do obliczeń nadal potrzebne są dodatkowe dane, trygonometria pomoże). Na co chcę zwrócić uwagę Specjalna uwaga, jest to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości badawcze.

środa, 4 lipca 2018 r

Różnice między zestawem a zestawem wielokrotnym są bardzo dobrze opisane w Wikipedii. Zobaczmy.

Jak widać „w zestawie nie mogą być dwa identyczne elementy”, ale jeśli w zestawie znajdują się identyczne elementy, taki zbiór nazywa się „multizbiorem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją tak absurdalnej logiki. To jest poziom gadające papugi i tresowane małpy, które nie mają inteligencji od słowa „całkowicie”. Matematycy zachowują się jak zwykli trenerzy, wmawiając nam swoje absurdalne pomysły.

Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, pływali łodzią pod mostem podczas testowania mostu. Jeśli most się zawali, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most wytrzymał obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.

Nieważne, jak matematycy ukrywają się za zwrotem „pieprz mnie, jestem w domu”, a raczej „studia matematyczne abstrakcyjne koncepcje", jest jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądz. Zastosuj teoria matematyczna zestawy dla samych matematyków.

Bardzo dobrze uczyliśmy się matematyki, a teraz siedzimy przy kasie i wypłacamy pensje. Tak więc matematyk przychodzi do nas po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy ją na naszym stole w różnych stosach, do których wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i przekazujemy go matematykowi” zestaw matematyczny pensje.” Wyjaśniamy matematyce, że resztę rachunków otrzyma dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tu zaczyna się zabawa.

Przede wszystkim sprawdzi się logika posłów: „Można to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Wtedy zaczną nas uspokajać, że banknoty o tym samym nominale mają różne numery banknotów, a co za tym idzie, nie można ich uważać za te same elementy. OK, policzmy pensje w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk zacznie gorączkowo pamiętać fizykę: na różnych monetach jest różne ilości błoto, struktura krystaliczna a układ atomów w każdej monecie jest wyjątkowy...

A teraz mam ich najwięcej zainteresowanie Zapytaj: gdzie jest linia, poza którą elementy multizbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje – o wszystkim decydują szamani, nauka nawet nie jest bliska kłamstwa.

Popatrz tutaj. Wybieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Pola pól są takie same - co oznacza, że ​​mamy multizbiór. Ale jeśli spojrzymy na nazwy tych samych stadionów, otrzymamy wiele, ponieważ nazwy są różne. Jak widać, ten sam zbiór elementów jest jednocześnie zbiorem i multizbiorem. Który jest poprawny? I tu matematyk-szaman-sostrzysta wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o zestawie, albo o wielokrotności. W każdym razie przekona nas, że ma rację.

Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym różnią się elementy jednego zbioru od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnego „wyobrażalnego jako pojedyncza całość” lub „niewyobrażalnego jako pojedyncza całość”.

Niedziela, 18 marca 2018 r

Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczy się nas znajdować sumę cyfr liczby i posługiwać się nią, ale po to są szamani, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wymrą.

Czy potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma wzoru, za pomocą którego można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu są liczby symbole graficzne, za pomocą którego piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie potrafią rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić z łatwością.

Zastanówmy się, co i jak zrobić, aby znaleźć sumę liczb podany numer. I tak otrzymamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.

1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na graficzny symbol liczbowy. To nie jest operacja matematyczna.

2. Jeden powstały obraz wycinamy na kilka obrazków zawierających indywidualne liczby. Cięcie obrazu nie jest operacją matematyczną.

3. Zamień poszczególne symbole graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.

4. Dodaj powstałe liczby. Teraz to jest matematyka.

Suma cyfr liczby 12345 wynosi 15. Są to „kursy krojenia i szycia”, prowadzone przez szamanów, z których korzystają matematycy. Ale to nie wszystko.

Z matematycznego punktu widzenia nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapiszemy liczbę. Więc w różne systemy W rachunku różniczkowym suma cyfr tej samej liczby będzie inna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z duża liczba 12345 Nie chcę oszukiwać głowy, spójrzmy na liczbę 26 z artykułu o . Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy patrzeć na każdy krok pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.

Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tej samej liczby jest inna. Wynik ten nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby wyznaczając pole prostokąta w metrach i centymetrach, otrzymałbyś zupełnie inne wyniki.

Zero wygląda tak samo we wszystkich systemach liczbowych i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że. Pytanie do matematyków: jak w matematyce oznacza się coś, co nie jest liczbą? Co, dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Mogę na to pozwolić szamanom, ale nie naukowcom. Rzeczywistość to nie tylko liczby.

Uzyskany wynik należy uznać za dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różne jednostki pomiary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą do różnych wyników po ich porównaniu, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.

Czym jest prawdziwa matematyka? To jest, gdy wynik działanie matematyczne nie zależy od wielkości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje czynność.

Znak na drzwiach Otwiera drzwi i mówi:

Oh! Czy to nie jest damska toaleta?
- Młoda kobieta! To laboratorium do badania niedefilicznej świętości dusz podczas ich wznoszenia się do nieba! Aureola na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?

Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół oznaczają mężczyznę.

Jeśli takie dzieło sztuki projektowej przelatuje Ci przed oczami kilka razy dziennie,

Nic więc dziwnego, że nagle w swoim samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:

Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jeden obrazek) (kompozycja kilku obrazków: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie znający się na fizyce. Ona po prostu ma archaiczny stereotyp percepcji obrazy graficzne. A matematycy uczą nas tego cały czas. Oto przykład.

1A nie oznacza „minus cztery stopnie” ani „jeden a”. To jest „kupujący człowiek” lub liczba „dwadzieścia sześć” w zapisie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają cyfrę i literę jako jeden symbol graficzny.

Teraz przejdziemy do otwierania nawiasów w wyrażeniach, w których wyrażenie w nawiasach jest mnożone przez liczbę lub wyrażenie. Sformułujmy zasadę otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem minus: nawiasy wraz ze znakiem minus należy pominąć, a znaki wszystkich wyrazów w nawiasach zastąpić znakami przeciwnymi.

Jednym z rodzajów transformacji wyrażeń jest rozwinięcie nawiasów. numeryczny, wyrażenia dosłowne a wyrażenia ze zmiennymi można składać za pomocą nawiasów, które mogą wskazywać kolejność wykonywania czynności, zawierać liczbę ujemną itp. Załóżmy, że w opisanych powyżej wyrażeniach zamiast liczb i zmiennych mogą znajdować się dowolne wyrażenia.

I zwróćmy uwagę na jeszcze jedną kwestię dotyczącą specyfiki pisania rozwiązania podczas otwierania nawiasów. W poprzednim akapicie zajmowaliśmy się tak zwanymi nawiasami otwierającymi. Aby to zrobić, istnieją zasady otwierania nawiasów, które teraz omówimy. Zasada ta podyktowana jest faktem, że liczby dodatnie Zwyczajowo pisze się bez nawiasów; w tym przypadku nawiasy są niepotrzebne. Wyrażenie (−3,7)−(−2)+4+(−9) można zapisać bez nawiasów jako −3,7+2+4−9.

Wreszcie trzecia część reguły wynika po prostu ze specyfiki zapisywania liczb ujemnych po lewej stronie wyrażenia (o czym wspomnieliśmy w części dotyczącej nawiasów do zapisywania liczb ujemnych). Możesz napotkać wyrażenia składające się z liczby, znaku minus i kilku par nawiasów. Jeśli otworzysz nawiasy, przechodząc od wewnętrznego do zewnętrznego, rozwiązanie będzie następujące: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5 ))=−( 5)=−5.

Jak otwierać nawiasy?

Oto wyjaśnienie: −(−2 x) wynosi +2 x, a ponieważ to wyrażenie jest pierwsze, +2 x można zapisać jako 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 /x i −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Pierwsza część zapisanej reguły otwierania nawiasów wynika bezpośrednio z reguły mnożenia liczb ujemnych. Jego druga część jest konsekwencją reguły mnożenia liczb przez różne znaki. Przejdźmy do przykładów otwierania nawiasów w iloczynach i ilorazach dwóch liczb o różnych znakach.

Nawiasy otwierające: zasady, przykłady, rozwiązania.

Powyższa zasada uwzględnia cały łańcuch tych działań i znacznie przyspiesza proces otwierania nawiasów. Ta sama reguła umożliwia otwieranie nawiasów w wyrażeniach będących iloczynami oraz w wyrażeniach cząstkowych ze znakiem minus, które nie są sumami i różnicami.

Przyjrzyjmy się przykładom zastosowania tej zasady. Podajmy odpowiednią regułę. Powyżej spotkaliśmy się już z wyrażeniami w postaci −(a) i −(−a), które bez nawiasów zapisuje się odpowiednio jako −a i a. Na przykład −(3)=3 i. Są to szczególne przypadki podanej reguły. Przyjrzyjmy się teraz przykładom nawiasów otwierających, gdy zawierają one sumy lub różnice. Pokażmy przykłady wykorzystania tej reguły. Oznaczmy wyrażenie (b1+b2) jako b, po czym skorzystamy z zasady mnożenia nawiasu przez wyrażenie z poprzedniego akapitu, mamy (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Przez indukcję stwierdzenie to można rozszerzyć na dowolną liczbę terminów w każdym nawiasie. Pozostaje otworzyć nawiasy w wynikowym wyrażeniu, korzystając z reguł z poprzednie akapity, w rezultacie otrzymujemy 1,3·x·y−1,2·x·y3−x·3·x·y+x·2·x·y3.

Zasadą w matematyce jest otwieranie nawiasów, jeśli przed nawiasami znajduje się (+) i (-).

To wyrażenie jest iloczynem trzech czynników (2+4), 3 i (5+7,8). Będziesz musiał otwierać nawiasy sekwencyjnie. Teraz używamy reguły mnożenia nawiasu przez liczbę, mamy ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Stopnie, których podstawą są niektóre wyrażenia zapisane w nawiasach, z w naturze można traktować jako iloczyn kilku nawiasów.

Na przykład przekształćmy wyrażenie (a+b+c)2. Najpierw zapisujemy to jako iloczyn dwóch nawiasów (a+b+c)·(a+b+c), teraz mnożymy nawias przez nawias i otrzymujemy a·a+a·b+a·c+ b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Powiedzmy również, że aby podnieść sumy i różnice dwóch liczb w stopień naturalny Wskazane jest stosowanie wzoru dwumianu Newtona. Na przykład (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Nie mniej wygodne jest najpierw zastąpienie dzielenia mnożeniem, a następnie zastosowanie odpowiedniej reguły otwierania nawiasów w iloczynie.

Pozostaje zrozumieć kolejność otwierania nawiasów na przykładach. Weźmy wyrażenie (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7). Podstawiamy te wyniki do pierwotnego wyrażenia: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Pozostaje tylko dokończyć otwieranie nawiasów, w wyniku czego otrzymamy −5+3·2:4+6·7. Oznacza to, że przy przejściu od lewej strony równości do prawej nastąpiło otwarcie nawiasów.

Zauważ, że we wszystkich trzech przykładach po prostu usunęliśmy nawiasy. Najpierw dodaj 445 do 889. Tę czynność można wykonać mentalnie, ale nie jest to zbyt łatwe. Otwórzmy nawiasy i zobaczmy, że zmieniona procedura znacznie uprości obliczenia.

Jak rozwinąć nawiasy do innego stopnia

Ilustrujący przykład i reguła. Spójrzmy na przykład: . Wartość wyrażenia można znaleźć, dodając 2 i 5, a następnie biorąc otrzymaną liczbę z przeciwnym znakiem. Zasada nie zmienia się, jeśli w nawiasach znajdują się nie dwa, ale trzy lub więcej wyrazów. Komentarz. Znaki są odwrócone tylko przed terminami. Aby otworzyć nawiasy, w tym przypadku musimy pamiętać o własności rozdzielności.

Dla pojedynczych liczb w nawiasach

Twój błąd nie leży w znakach, ale w nieprawidłowym posługiwaniu się ułamkami? W szóstej klasie poznaliśmy pozytywne i liczby ujemne. Jak rozwiążemy przykłady i równania?

Ile jest w nawiasach? Co możesz powiedzieć o tych wyrażeniach? Oczywiście wynik pierwszego i drugiego przykładu jest taki sam, co oznacza, że ​​możemy postawić między nimi znak równości: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Co zrobiliśmy z nawiasami?

Pokaz slajdu 6 z zasadami otwierania nawiasów. Zatem zasady otwierania nawiasów pomogą nam rozwiązać przykłady i uprościć wyrażenia. Następnie uczniowie proszeni są o pracę w parach: za pomocą strzałek łączą wyrażenie zawierające nawiasy z odpowiadającym im wyrażeniem bez nawiasów.

Slajd 11 Pewnego razu w Słonecznym Mieście Znayka i Dunno kłócili się, który z nich poprawnie rozwiązał równanie. Następnie uczniowie samodzielnie rozwiązują równanie, korzystając z zasad otwierania nawiasów. Rozwiązywanie równań” Cele zajęć: edukacyjne (ugruntowanie wiedzy na temat: „Otwieranie nawiasów.

Temat lekcji: „Nawiasy otwierające. W takim przypadku należy pomnożyć każdy wyraz z pierwszego nawiasu przez każdy wyraz z drugiego nawiasu, a następnie dodać wyniki. Najpierw brane są dwa pierwsze czynniki, ujęte w jeszcze jeden nawias, a wewnątrz tych nawiasów otwierane są nawiasy zgodnie z jedną ze znanych już zasad.

rawalan.freezeet.ru

Nawiasy otwierające: zasady i przykłady (klasa 7)

Główną funkcją nawiasów jest zmiana kolejności działań przy obliczaniu wartości wyrażenia numeryczne . Na przykład, V liczebnie\(5·3+7\) najpierw zostanie obliczone mnożenie, a potem dodawanie: \(5·3+7 =15+7=22\). Natomiast w wyrażeniu \(5·(3+7)\) najpierw zostanie obliczone dodawanie w nawiasie, a dopiero potem mnożenie: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Jeśli jednak mamy do czynienia z wyrażenie algebraiczne zawierający zmienny- na przykład tak: \(2(x-3)\) - wtedy nie da się obliczyć wartości w nawiasie, przeszkadza zmienna. Dlatego w tym przypadku nawiasy „otwiera się” stosując odpowiednie zasady.

Zasady otwierania nawiasów

Jeśli przed nawiasem znajduje się znak plus, wówczas nawias jest po prostu usuwany, wyrażenie w nim pozostaje niezmienione. Innymi słowy:

W tym miejscu należy wyjaśnić, że w matematyce w celu skrócenia zapisów zwyczajowo nie pisze się znaku plus, jeśli pojawia się on jako pierwszy w wyrażeniu. Na przykład, jeśli dodamy dwie liczby dodatnie, na przykład siedem i trzy, to napiszemy nie \(+7+3\), ale po prostu \(7+3\), mimo że siedem też jest liczbą dodatnią . Podobnie, jeśli widzisz na przykład wyrażenie \((5+x)\) - wiedz o tym przed nawiasem znajduje się plus, który nie jest zapisany.

Przykład . Otwórz wspornik i przynieś podobne terminy: \((x-11)+(2+3x)\).
Rozwiązanie : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Jeśli przed nawiasem znajduje się znak minus, to po usunięciu nawiasu każdy wyraz znajdujący się w wyrażeniu zmienia znak na przeciwny:

W tym miejscu należy wyjaśnić, że gdy a było w nawiasie, był znak plus (po prostu go nie napisali), a po usunięciu nawiasu ten plus zmienił się na minus.

Przykład : Uprość wyrażenie \(2x-(-7+x)\).
Rozwiązanie : wewnątrz nawiasu znajdują się dwa wyrazy: \(-7\) i \(x\), a przed nawiasem minus. Oznacza to, że znaki się zmienią - i siódemka będzie teraz plusem, a x będzie teraz minusem. Otwórz wspornik i prezentujemy podobne terminy .

Przykład. Otwórz nawias i podaj podobne wyrazy \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Rozwiązanie : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Jeśli przed nawiasem znajduje się współczynnik, wówczas każdy element nawiasu jest przez niego mnożony, czyli:

Przykład. Rozwiń nawiasy \(5(3-x)\).
Rozwiązanie : W nawiasie mamy \(3\) i \(-x\), a przed nawiasem jest piątka. Oznacza to, że każdy element nawiasu jest mnożony przez \(5\) - przypominam Znak mnożenia między liczbą a nawiasem nie jest zapisywany w matematyce w celu zmniejszenia rozmiaru wpisów.

Przykład. Rozwiń nawiasy \(-2(-3x+5)\).
Rozwiązanie : Podobnie jak w poprzednim przykładzie, \(-3x\) i \(5\) w nawiasach są mnożone przez \(-2\).

Pozostaje rozważyć ostatnią sytuację.

Podczas mnożenia nawiasu przez nawias każdy wyraz pierwszego nawiasu jest mnożony przez każdy wyraz drugiego nawiasu:

Przykład. Rozwiń nawiasy \((2-x)(3x-1)\).
Rozwiązanie : Mamy produkt w postaci nawiasów, który można od razu rozszerzyć, korzystając z powyższego wzoru. Ale żeby się nie pomylić, zróbmy wszystko krok po kroku.
Krok 1. Usuń pierwszy nawias i pomnóż każdy człon przez drugi nawias:

Krok 2. Rozwiń iloczyny nawiasów i współczynnika jak opisano powyżej:
- Po pierwsze...

Krok 3. Teraz mnożymy i przedstawiamy podobne terminy:

Nie ma potrzeby tak szczegółowo opisywać wszystkich przekształceń, można je od razu pomnożyć. Ale jeśli dopiero uczysz się otwierać nawiasy, pisz szczegółowo, będzie mniejsze ryzyko popełnienia błędów.

Uwaga do całej sekcji. Tak naprawdę nie musisz pamiętać wszystkich czterech zasad, wystarczy zapamiętać jedną, tę: \(c(a-b)=ca-cb\) . Dlaczego? Ponieważ jeśli zastąpisz jeden zamiast c, otrzymasz regułę \((a-b)=a-b\) . A jeśli podstawimy minus jeden, otrzymamy regułę \(-(a-b)=-a+b\) . Cóż, jeśli zastąpisz inny nawias zamiast c, możesz uzyskać ostatnią regułę.

Nawias w nawiasie

Czasami w praktyce występują problemy z nawiasami zagnieżdżonymi w innych nawiasach. Oto przykład takiego zadania: uprość wyrażenie \(7x+2(5-(3x+y))\).

Aby pomyślnie rozwiązać podobne zadania, potrzebować:
- dokładnie zrozumieć zagnieżdżenie nawiasów - który z nich jest w którym;
— otwieraj nawiasy sekwencyjnie, zaczynając np. od najgłębszego.

Jest to ważne przy otwieraniu jednego z nawiasów nie dotykaj reszty wyrażenia, po prostu przepisz to tak, jak jest.
Spójrzmy na zadanie napisane powyżej jako przykład.

Przykład. Otwórz nawiasy i podaj podobne wyrazy \(7x+2(5-(3x+y))\).
Rozwiązanie:

Zacznijmy od otwarcia wspornika wewnętrznego (tego znajdującego się wewnątrz). Rozwijając go, mamy do czynienia tylko z tym, co bezpośrednio się z nim wiąże – jest to sam nawias i znajdujący się przed nim minus (zaznaczony na zielono). Wszystko inne (nie podświetlone) przepisujemy tak samo, jak było.

Rozwiązywanie problemów matematycznych w Internecie

Kalkulator internetowy.
Upraszczanie wielomianu.
Mnożenie wielomianów.

Używając tego program matematyczny możesz uprościć wielomian.
Podczas działania programu:
- mnoży wielomiany
— sumuje jednomiany (daje podobne)
- otwiera nawiasy
- podnosi wielomian do potęgi

Program upraszczający wielomian nie tylko daje odpowiedź na problem, ale daje szczegółowe rozwiązanie z wyjaśnieniami, tj. wyświetla proces rozwiązywania, dzięki czemu możesz sprawdzić swoją wiedzę z matematyki i/lub algebry.

Ten program może być przydatny dla studentów szkoły średnie w przygotowaniach do testy oraz egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed Unified State Exam, aby rodzice mogli kontrolować rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może wynajęcie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz to zrobić jak najszybciej? Praca domowa na matematyce lub algebrze? W tym przypadku możesz także skorzystać z naszych programów ze szczegółowymi rozwiązaniami.

W ten sposób możesz przeprowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie. młodsi bracia czy sióstr, wzrasta natomiast poziom wykształcenia w zakresie rozwiązywanych problemów.

Ponieważ Chętnych do rozwiązania problemu jest wiele, Twoja prośba została umieszczona w kolejce.
Za kilka sekund rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę poczekać chwilę.

Trochę teorii.

Iloczyn jednomianu i wielomianu. Pojęcie wielomianu

Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:

Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.

Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów standardowy widok:

Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:

Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.

Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian ma trzeci stopień, a trójmian drugi.

Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:

Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.

Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:

Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.

Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas wyrazy ujęte w nawiasy zapisuje się znakami przeciwnymi.

Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu

Używając właściwości dystrybucyjne mnożenia można przekształcić (uprościć) na wielomian, iloczyn jednomianu i wielomianu. Na przykład:

Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.

Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.

Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.

Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.

Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów

Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.

Zwykle stosowana jest następująca reguła.

Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.

Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów

Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są u, czyli kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, na przykład jest to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib. Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.

Wyrażenia można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej, w rzeczywistości spotkałeś się już z takim zadaniem przy mnożeniu wielomianów:

Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.

- kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.

— kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.

- różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.

Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniejszą rzeczą jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.

Książki (podręczniki) Streszczenia egzaminów ujednoliconych i Testy OGE Gry online, puzzle Funkcje graficzne słownik ortograficzny Język rosyjski Słownik slangu młodzieżowego Katalog rosyjskich szkół Katalog średnich instytucji edukacyjnych Rosji Katalog rosyjskich uniwersytetów Lista zadań Znajdowanie GCD i LCM Uproszczanie wielomianu (mnożenie wielomianów) Dzielenie wielomianu przez wielomian z kolumną Obliczanie ułamki liczbowe Rozwiązywanie problemów z procentami Liczby zespolone: suma, różnica, iloczyn i iloraz Systemu 2 równania liniowe z dwoma zmienne Rozwiązanie równanie kwadratowe Podnoszenie dwumianu do kwadratu i rozkładanie go na czynniki trójmian kwadratowy Rozwiązywanie nierówności Rozwiązywanie układów nierówności Rysowanie wykresu funkcja kwadratowa Rysowanie wykresu ułamkowa funkcja liniowa Rozwiązywanie zadań arytmetycznych i progresje geometryczne Rozwiązywanie funkcji trygonometrycznych, wykładniczych, równania logarytmiczne Obliczanie granic, pochodna, tangens Całka, Rozwiązanie antypochodne trójkąty Obliczenia oddziaływań za pomocą wektorów Obliczenia oddziaływań za pomocą prostych i płaszczyzn Powierzchnia figury geometryczne Obwód kształtów geometrycznych Objętość ciała geometryczne Pole powierzchni brył geometrycznych
Konstruktor sytuacji drogowych
Pogoda - aktualności - horoskopy

www.mathsolution.ru

Rozwijanie nawiasów

Kontynuujemy naukę podstaw algebry. W tej lekcji nauczymy się rozszerzać nawiasy w wyrażeniach. Rozszerzanie nawiasów oznacza usuwanie nawiasów z wyrażenia.

Aby otworzyć nawiasy, musisz zapamiętać tylko dwie zasady. Dzięki regularnej praktyce możesz otwierać zamki za pomocą zamknięte oczy, a zasady, które należało zapamiętać, można bezpiecznie zapomnieć.

Pierwsza zasada otwierania nawiasów

Rozważ następujące wyrażenie:

Wartość tego wyrażenia wynosi 2 . Otwórzmy nawiasy w tym wyrażeniu. Rozszerzanie nawiasów oznacza ich pozbycie się bez wpływu na znaczenie wyrażenia. Oznacza to, że po pozbyciu się nawiasów wartość wyrażenia 8+(−9+3) nadal powinno być równe dwa.

Pierwsza zasada otwierania nawiasów jest następująca:

Otwierając nawiasy, jeśli przed nawiasami znajduje się plus, to plus ten jest pomijany wraz z nawiasami.

Widzimy to więc w wyrażeniu 8+(−9+3) Przed nawiasami znajduje się znak plus. Plus ten należy pominąć wraz z nawiasami. Innymi słowy, nawiasy znikną wraz z plusem, który stał przed nimi. A to, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:

8−9+3 . To wyrażenie równa się 2 , podobnie jak poprzednie wyrażenie w nawiasach, było równe 2 .

8+(−9+3) I 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Przykład 2. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 3 + (−1 − 4)

Przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że ​​plus ten jest pomijany wraz z nawiasami. To, co było w nawiasach, pozostanie niezmienione:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 + (−1)

W w tym przykładzie otwarcie nawiasów stało się rodzajem odwrotnej operacji zastąpienia odejmowania dodawaniem. Co to znaczy?

W wyrazie 2−1 następuje odejmowanie, ale można je zastąpić dodawaniem. Następnie otrzymujemy wyrażenie 2+(−1) . Ale jeśli w wyrażeniu 2+(−1) otwórz nawiasy, otrzymasz oryginał 2−1 .

Dlatego pierwszą regułę otwierania nawiasów można zastosować do uproszczenia wyrażeń po pewnych przekształceniach. Oznacza to, że pozbędziesz się nawiasów i uprościsz.

Na przykład uprośćmy wyrażenie 2a+a−5b+b .

Aby uprościć to wyrażenie, można podać podobne terminy. Przypomnijmy, że aby zredukować wyrazy podobne, należy dodać współczynniki wyrazów podobnych i wynik pomnożyć przez część wspólną literową:

Mam wyraz 3a+(−4b). Usuńmy nawiasy z tego wyrażenia. Przed nawiasami znajduje się plus, dlatego stosujemy pierwszą zasadę otwierania nawiasów, czyli pomijamy nawiasy wraz z plusem znajdującym się przed tymi nawiasami:

Zatem wyrażenie 2a+a−5b+b upraszcza do 3a-4b .

Po otwarciu niektórych nawiasów możesz po drodze spotkać inne. Stosujemy do nich te same zasady, co do tych pierwszych. Na przykład rozwińmy nawiasy w następującym wyrażeniu:

Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W tym przypadku obowiązuje pierwsza zasada otwierania nawiasów, a mianowicie pomijanie nawiasów wraz ze znakiem plus, który je poprzedza:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 6+(−3)+(−2)

W obu miejscach, w których znajdują się nawiasy, poprzedza się je plusem. Tutaj znowu obowiązuje pierwsza zasada otwierania nawiasów:

Czasami pierwszy termin w nawiasie jest zapisywany bez znaku. Na przykład w wyrażeniu 1+(2+3−4) pierwszy termin w nawiasie 2 napisane bez znaku. Powstaje pytanie, jaki znak pojawi się przed dwójką po pominięciu nawiasów i plusa przed nawiasami? Odpowiedź sama się nasuwa - przed dwójką będzie plus.

Tak naprawdę, nawet będąc w nawiasie, przed dwójką znajduje się plus, ale nie widzimy tego, ponieważ nie jest to zapisane. Powiedzieliśmy już, że wygląda pełny zapis liczb dodatnich +1, +2, +3. Ale zgodnie z tradycją plusów nie zapisuje się, dlatego widzimy znane nam liczby dodatnie 1, 2, 3 .

Dlatego należy rozwinąć nawiasy w wyrażeniu 1+(2+3−4) , jak zwykle, należy pominąć nawiasy wraz ze znakiem plus przed tymi nawiasami, ale pierwsze wyrażenie znajdujące się w nawiasach wpisać ze znakiem plus:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Przykład 4. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −5 + (2 − 3)

Przed nawiasami znajduje się plus, dlatego stosujemy pierwszą zasadę otwierania nawiasów, a mianowicie pomijamy nawiasy wraz z plusem znajdującym się przed tymi nawiasami. Ale pierwszy termin, który zapisujemy w nawiasie ze znakiem plus:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Przykład 5. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu (−5)

Przed nawiasem znajduje się plus, ale nie jest on zapisywany, ponieważ nie było przed nim żadnych innych liczb ani wyrażeń. Naszym zadaniem jest usunięcie nawiasów stosując pierwszą zasadę nawiasów otwierających, czyli pominąć nawiasy wraz z tym plusem (nawet jeśli jest on niewidoczny)

Przykład 6. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2a + (-6a + b)

Przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że ​​plus ten jest pomijany wraz z nawiasami. To, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:

2a + (-6a + b) = 2a -6a + b

Przykład 7. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 5a + (-7b + 6c) + 3a + (-2d)

W tym wyrażeniu są dwa miejsca, w których należy rozwinąć nawiasy. W obu fragmentach przed nawiasem znajduje się plus, co oznacza, że ​​plus ten jest pomijany wraz z nawiasem. To, co było w nawiasach, zostanie zapisane bez zmian:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Druga zasada otwierania nawiasów

Przyjrzyjmy się teraz drugiej zasadzie otwierania nawiasów. Stosuje się go, gdy przed nawiasem znajduje się minus.

Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, to ten minus jest pomijany wraz z nawiasami, ale wyrazy znajdujące się w nawiasach zmieniają swój znak na przeciwny.

Na przykład rozwińmy nawiasy w poniższym wyrażeniu

Widzimy, że przed nawiasami jest minus. Oznacza to, że musisz zastosować drugą zasadę rozwijania, a mianowicie pominąć nawiasy wraz ze znakiem minus przed tymi nawiasami. W takim przypadku wyrazy w nawiasach zmienią swój znak na przeciwny:

Mamy wyrażenie bez nawiasów 5+2+3 . To wyrażenie jest równe 10, tak jak poprzednie wyrażenie w nawiasach było równe 10.

Zatem pomiędzy wyrażeniami 5−(−2−3) I 5+2+3 możesz postawić znak równości, ponieważ są one równe tej samej wartości:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Przykład 2. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 6 − (−2 − 5)

Przed nawiasami znajduje się minus, dlatego stosujemy drugą zasadę otwierania nawiasów, a mianowicie pomijamy nawiasy wraz z minusem znajdującym się przed tymi nawiasami. W tym przypadku zapisujemy terminy w nawiasach z przeciwnymi znakami:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Przykład 3. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2 − (7 + 3)

Przed nawiasami jest minus, dlatego stosujemy drugą zasadę otwierania nawiasów:

Przykład 4. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−3 + 4)

Przykład 5. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W pierwszym przypadku należy zastosować drugą zasadę otwierania nawiasów i jeśli chodzi o wyrażenie +(−9−2) musisz zastosować pierwszą zasadę:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Przykład 6. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(−a − 1)

Przykład 7. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu −(4a + 3)

Przykład 8. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu A − (4b + 3) + 15

Przykład 9. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu 2a + (3b - b) - (3c + 5)

Są dwa miejsca, w których należy otworzyć nawiasy. W pierwszym przypadku należy zastosować pierwszą zasadę otwierania nawiasów i jeśli chodzi o wyrażenie −(3c+5) musisz zastosować drugą zasadę:

2a + (3b - b) - (3c + 5) = 2a + 3b – b – 3c – 5

Przykład 10. Rozwiń nawiasy w wyrażeniu -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Istnieją trzy miejsca, w których należy otworzyć wsporniki. Najpierw musisz zastosować drugą zasadę otwierania nawiasów, potem pierwszą i jeszcze raz drugą:

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a – 6b + 8c – 15

Mechanizm otwierania wspornika

Zasady otwierania nawiasów, które teraz sprawdziliśmy, opierają się na rozdzielnym prawie mnożenia:

W rzeczywistości nawiasy otwierające wywołaj procedurę kiedy wspólny mnożnik pomnożone przez każdy wyraz w nawiasach. W wyniku tego mnożenia nawiasy znikają. Na przykład rozwińmy nawiasy w wyrażeniu 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Dlatego jeśli chcesz pomnożyć liczbę przez wyrażenie w nawiasach (lub pomnożyć wyrażenie w nawiasach przez liczbę), musisz powiedzieć otwórzmy nawiasy.

Ale jak rozdzielne prawo mnożenia jest powiązane z zasadami otwierania nawiasów, które omawialiśmy wcześniej?

Faktem jest, że przed nawiasami znajduje się wspólny czynnik. W przykładzie 3×(4+5) wspólnym czynnikiem jest 3 . I na przykładzie a(b+c) wspólnym czynnikiem jest zmienna A.

Jeśli przed nawiasami nie ma liczb ani zmiennych, wówczas wspólnym czynnikiem jest 1 Lub −1 , w zależności od tego, jaki znak znajduje się przed nawiasami. Jeśli przed nawiasem znajduje się plus, to wspólnym czynnikiem jest 1 . Jeśli przed nawiasami znajduje się minus, wówczas wspólnym czynnikiem jest −1 .

Na przykład rozwińmy nawiasy w wyrażeniu −(3b−1). Przed nawiasami znajduje się znak minus, dlatego przy otwieraniu nawiasów należy zastosować drugą zasadę, czyli pominąć nawiasy wraz ze znakiem minus przed nawiasami. I napisz wyrażenie w nawiasie z przeciwnymi znakami:

Rozszerzyliśmy nawiasy, korzystając z reguły rozszerzania nawiasów. Ale te same nawiasy można otworzyć, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. Aby to zrobić, najpierw napisz przed nawiasami wspólny współczynnik 1, który nie został zapisany:

Znak minus, który poprzednio znajdował się przed nawiasami, odnosił się do tej jednostki. Teraz możesz otworzyć nawiasy, korzystając z rozdzielnego prawa mnożenia. W tym celu wspólny czynnik −1 musisz pomnożyć przez każdy wyraz w nawiasach i dodać wyniki.

Dla wygody różnicę w nawiasach zastępujemy kwotą:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Jak w ostatni raz mamy wyrażenie −3b+1. Wszyscy zgodzą się, że tym razem więcej czasu poświęcono na rozwiązanie tak prostego przykładu. Dlatego rozsądniej jest skorzystać z gotowych zasad otwierania nawiasów, które omówiliśmy w tej lekcji:

Ale nie zaszkodzi wiedzieć, jak działają te zasady.

Na tej lekcji nauczyliśmy się jeszcze jednej rzeczy identyczna transformacja. Wraz z otwieraniem nawiasów, wyjmowaniem z nawiasów ogólnych i wprowadzaniem podobnych terminów, można nieco rozszerzyć zakres problemów do rozwiązania. Na przykład:

Tutaj musisz wykonać dwie czynności - najpierw otwórz nawiasy, a następnie wprowadź podobne terminy. Zatem w kolejności:

1) Otwórz nawiasy:

2) Przedstawiamy podobne terminy:

W wynikowym wyrażeniu −10b+(−1) możesz rozwinąć nawiasy:

Przykład 2. Otwórz nawiasy i dodaj podobne terminy w następującym wyrażeniu:

1) Otwórzmy nawiasy:

2) Przedstawmy podobne terminy. Tym razem, aby zaoszczędzić czas i miejsce, nie będziemy pisać, jak współczynniki są mnożone przez część wspólną literową

Przykład 3. Uprość wyrażenie 8m+3m i znajdź jego wartość przy m=−4

1) Najpierw uprośćmy wyrażenie. Aby uprościć wyrażenie 8m+3m, możesz usunąć z tego wspólny czynnik M poza nawiasami:

2) Znajdź wartość wyrażenia m(8+3) Na m=−4. Aby to zrobić, w wyrażeniu m(8+3) zamiast zmiennej M zastąpić numer −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44