Podstawowe własności dodawania i mnożenia liczb.
Właściwość przemienna dodawania: przestawianie wyrazów nie zmienia wartości sumy. Dla dowolnych liczb aib równość jest prawdziwa
Kombinacyjna właściwość dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej do pierwszej liczby. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Przemienna właściwość mnożenia: przestawianie czynników nie zmienia wartości iloczynu. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Kombinacyjna właściwość mnożenia: aby pomnożyć iloczyn dwóch liczb przez trzecią liczbę, możesz pomnożyć pierwszą liczbę przez iloczyn drugiej i trzeciej.
Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Własność rozdzielcza: Aby pomnożyć liczbę przez sumę, możesz pomnożyć tę liczbę przez każdy wyraz i dodać wyniki. Dla dowolnych liczb a, b i c równość jest prawdziwa
Z przemienności i kombinatywnych właściwości dodawania wynika: w dowolnej sumie możesz dowolnie zmieniać układ wyrazów i dowolnie łączyć je w grupy.
Przykład 1 Obliczmy sumę 1,23+13,5+4,27.
Aby to zrobić, wygodnie jest połączyć pierwszy termin z trzecim. Otrzymujemy:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Z przemienności i kombinacyjności mnożenia wynika: w dowolnym iloczynie można w dowolny sposób przestawiać czynniki i dowolnie łączyć je w grupy.
Przykład 2 Znajdźmy wartość iloczynu 1,8·0,25·64·0,5.
Łącząc pierwszy czynnik z czwartym, a drugi z trzecim, mamy:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Właściwość rozdzielności jest również prawdziwa, gdy liczba jest mnożona przez sumę trzech lub więcej wyrazów.
Na przykład dla dowolnych liczb a, b, c i d równość jest prawdziwa
a(b+c+d)=ab+ac+reklama.
Wiemy, że odejmowanie można zastąpić dodawaniem, dodając do odjemnika przeciwną liczbę odejmowania:
To pozwala wyrażenie numeryczne wpisz a-b uważać za sumę liczb a i -b, wyrażenie liczbowe w postaci a+b-c-d uważać za sumę liczb a, b, -c, -d itd. Rozważane właściwości działań obowiązują również dla takich sum.
Przykład 3 Znajdźmy wartość wyrażenia 3,27-6,5-2,5+1,73.
To wyrażenie jest sumą liczb 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Stosując własności dodawania, otrzymujemy: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Przykład 4 Obliczmy iloczyn 36·().
Mnożnik można traktować jako sumę liczb i -. Korzystając z rozdzielności mnożenia, otrzymujemy:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Tożsamości
Definicja. Dwa wyrażenia, których odpowiadające wartości są równe dla dowolnych wartości zmiennych, nazywane są identycznie równymi.
Definicja. Równość, która jest prawdziwa dla dowolnych wartości zmiennych, nazywa się tożsamością.
Znajdźmy wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y dla x=5, y=4:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3,5+3,4=15+12=27.
Otrzymaliśmy ten sam wynik. Z właściwości dystrybucyjne wynika z tego, że ogólnie dla dowolnych wartości zmiennych odpowiadające im wartości wyrażeń 3(x+y) i 3x+3y są równe.
Rozważmy teraz wyrażenia 2x+y i 2xy. Gdy x=1, y=2 przyjmują równe wartości:
Można jednak określić wartości x i y tak, aby wartości tych wyrażeń nie były równe. Na przykład, jeśli x=3, y=4, to
Wyrażenia 3(x+y) i 3x+3y są identycznie równe, ale wyrażenia 2x+y i 2xy nie są identycznie równe.
Równość 3(x+y)=x+3y, prawdziwa dla dowolnych wartości x i y, jest tożsamością.
Prawdziwe równości liczbowe są również uważane za tożsamości.
Zatem tożsamości są równościami wyrażającymi podstawowe właściwości operacji na liczbach:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Można podać inne przykłady tożsamości:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
Identyczne przekształcenia wyrażeń
Zastąpienie jednego wyrażenia innym, identycznie równym wyrażeniem nazywa się identyczną transformacją lub po prostu transformacją wyrażenia.
Identyczne przekształcenia wyrażeń ze zmiennymi przeprowadza się w oparciu o właściwości operacji na liczbach.
Aby znaleźć wartość wyrażenia xy-xz kiedy dane wartości x, y, z, musisz wykonać trzy akcje. Na przykład przy x=2,3, y=0,8, z=0,2 otrzymujemy:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Wynik ten można uzyskać wykonując tylko dwa kroki, jeśli użyje się wyrażenia x(y-z), które jest identycznie równe wyrażeniu xy-xz:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Uprościliśmy obliczenia, zastępując identycznie wyrażenie xy-xz równa ekspresja x(y-z).
Identyczne przekształcenia wyrażeń są szeroko stosowane przy obliczaniu wartości wyrażeń i rozwiązywaniu innych problemów. Niektóre przemiany tożsamości Musiałem już wykonać np. redukcję wyrazów podobnych i rozwinięcie nawiasów. Przypomnijmy zasady wykonywania tych przekształceń:
aby przynieść podobne terminy, musisz dodać ich współczynniki i pomnożyć wynik przez część wspólną literową;
jeżeli przed nawiasem znajduje się znak plus, to nawiasy można pominąć, zachowując znak każdego terminu ujętego w nawiasy;
Jeżeli przed nawiasami znajduje się znak minus, nawiasy można pominąć, zmieniając znak każdego wyrazu zawartego w nawiasach.
Przykład 1 Przedstawmy wyrazy podobne w sumie 5x+2x-3x.
Skorzystajmy z reguły redukcji wyrazów podobnych:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Transformacja ta opiera się na rozdzielności mnożenia.
Przykład 2 Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu 2a+(b-3c).
Stosowanie zasady otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem plus:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Przeprowadzona transformacja opiera się na kombinacyjnej właściwości dodawania.
Przykład 3 Otwórzmy nawiasy w wyrażeniu a-(4b-c).
Skorzystajmy z reguły otwierania nawiasów poprzedzonych znakiem minus:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Przeprowadzona transformacja opiera się na rozdzielnej właściwości mnożenia i kombinacyjnej właściwości dodawania. Pokażmy to. Wyobraźmy sobie to wyrażenie drugi wyraz -(4b-c) w postaci iloczynu (-1)(4b-c):
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Poprzez zastosowanie określone właściwości działania, otrzymujemy:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
Liczby i wyrażenia tworzące oryginalne wyrażenie można zastąpić identycznymi wyrażeniami. Taka transformacja pierwotnego wyrażenia prowadzi do wyrażenia, które jest mu identyczne.
Na przykład w wyrażeniu 3+x liczbę 3 można zastąpić sumą 1+2, co da w wyniku wyrażenie (1+2)+x, które jest identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Inny przykład: w wyrażeniu 1+a 5 potęgę a 5 można zastąpić identycznie równym iloczynem, na przykład postaci a·a 4. To da nam wyrażenie 1+a·a 4 .
Przekształcenie to ma niewątpliwie charakter sztuczny i stanowi zwykle przygotowanie do dalszych przekształceń. Na przykład w sumie 4 x 3 +2 x 2, biorąc pod uwagę właściwości stopnia, termin 4 x 3 można przedstawić jako iloczyn 2 x 2 2 x. Po tej transformacji oryginalne wyrażenie przyjmie postać 2 x 2 2 x+2 x 2. Oczywiście warunki w otrzymanej sumie mają wspólny mnożnik 2 x 2 , dzięki czemu możemy wykonać następującą transformację - nawias. Po tym dochodzimy do wyrażenia: 2 x 2 (2 x+1) .
Dodawanie i odejmowanie tej samej liczby
Inną sztuczną transformacją wyrażenia jest dodawanie i jednoczesne odejmowanie tej samej liczby lub wyrażenia. Ta transformacja jest identyczna, ponieważ jest zasadniczo równoważna dodaniu zera, a dodanie zera nie zmienia wartości.
Spójrzmy na przykład. Weźmy wyrażenie x 2 +2·x. Jeśli dodasz do tego jeden i odejmiesz jeden, pozwoli ci to w przyszłości wykonać kolejną identyczną transformację - podnieś dwumian do kwadratu: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Bibliografia.
- Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Algebra: podręcznik dla 8 klasy. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. O 14:00 Część 1. Podręcznik dla studentów instytucje edukacyjne/ A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy.
Cele Lekcji:
- Doskonalenie umiejętności zastosowania zdobytej wcześniej wiedzy w przygotowaniu do Egzaminu Państwowego w klasie IX.
- Naucz umiejętności analizowania i kreatywnego podejścia do zadania.
- Kultywować kulturę i efektywność myślenia, zainteresowanie poznawcze do matematyki.
- Pomóż uczniom przygotować się do egzaminu państwowego.
- Systematyzować wiedza teoretyczna studenci.
- Zwiększyć orientacja praktyczna tego tematu w ramach przygotowań do egzaminu państwowego.
- Rozwijaj umiejętność pracy umysłowej – szukania racjonalnych rozwiązań.
Wyposażenie: rzutnik multimedialny, arkusz ćwiczeń, zegar.
Scenariusz lekcji: 1. Moment organizacyjny.
- Aktualizowanie wiedzy.
- Opracowanie materiału teoretycznego.
- Podsumowanie lekcji.
- Praca domowa.
PODCZAS ZAJĘĆ
I. Moment organizacyjny.
1) Pozdrowienia od nauczyciela.
Kryptografia to nauka o sposobach przekształcania (szyfrowania) informacji w celu ochrony ich przed nielegalnymi użytkownikami. Jedna z tych metod nazywa się „siatką”. Jest to jedno ze stosunkowo prostych zadań i jest ściśle powiązane z arytmetyką, ale nie jest nauczane w szkole. Próbka kraty jest przed tobą. Ktoś pomyśli jak to wykorzystać.
- rozwiązanie wiadomości.
„Wszystko, co przestaje działać, przestaje przyciągać”.
Francoisa Larachefoucaulda.
2) Wiadomości dotyczące tematu lekcji, celów lekcji, planu lekcji.
– slajdy w prezentacji.
II. Aktualizowanie wiedzy.
1) Praca ustna.
1. Liczby. Jakie liczby znasz?
– liczby naturalne to liczby 1,2,3,4..., które stosuje się przy liczeniu
– liczbami całkowitymi są liczby…-4,-3,-2,-1,0,1, 2… liczby naturalne, ich przeciwieństwa oraz liczba 0.
– liczby wymierne to liczby całkowite i ułamkowe
– niewymierne – są to nieskończone ułamki dziesiętne nieokresowe
– realne – są racjonalne i irracjonalne.
2. Wyrażenia. Jakie znasz wyrażenia?
– liczbowe to wyrażenia składające się z liczb połączonych symbolami arytmetycznymi.
– alfabetyczne – jest to wyrażenie zawierające pewne zmienne, cyfry i znaki akcji.
– Liczby całkowite to wyrażenia składające się z liczb i zmiennych wykorzystujące operacje dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia przez liczbę.
– ułamkowe to całe wyrażenia wykorzystujące dzielenie przez wyrażenie ze zmienną.
3. Przekształcenia. Jakie są główne właściwości używane podczas wykonywania transformacji?
– przemienne – dla dowolnych liczb a i b prawdą jest: a+b=b+a, ab=va
– łączne – dla dowolnych liczb a, b, c prawdziwe jest: (a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(c)
– rozdzielność – dla dowolnych liczb a, b, c prawdą jest: a(b+c)=av+ac
4. Wykonaj:
– uporządkuj liczby w kolejności rosnącej: 0,0157; 0,105; 0,07
– uporządkuj liczby w kolejności malejącej: 0,0216; 0,12; 0,016
– jeden z punktów zaznaczonych na osi współrzędnych odpowiada liczbie v68. Jaki to jest punkt?
– któremu punktowi odpowiadają liczby?
– na osi współrzędnych zaznaczono liczby a i b. Które z poniższych stwierdzeń jest prawdziwe?
III. Opracowanie materiału teoretycznego.
1. Pracuj w zeszytach, przy tablicy.
Każdy nauczyciel posiada kartę pracy, w której zapisuje zadania do pracy w zeszytach podczas lekcji. W prawej kolumnie tego arkusza znajdują się zadania do pracy na zajęciach, a w lewej kolumnie zadania domowe.
Studenci wychodzą pracować przy tablicy.
Zadanie nr 1. W takim przypadku wyrażenie jest konwertowane na identyczne.
Zadanie nr 3. Rozważ to:
za 3 – av – za 2 do + za 2; x 2 y – x 2 -y + x 3.
2x+ y + y 2 – 4x 2; a – 3c +9c 2 -a 2 .
2. Samodzielna praca.
Na kartach pracy macie samodzielną pracę, poniżej po tekście znajduje się tabelka, w której należy wpisać liczbę pod poprawną odpowiedzią. Wykonanie zadania zajmuje 7 minut.
Przetestuj „Liczby i konwersje”
1. Wpisz 0,00019 w standardowej formie.
1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5
2. Jeden z punktów zaznaczonych na osi współrzędnych odpowiada liczbie
3. O liczbach a i b wiadomo, że a>0, b>0, a>4b. Która z poniższych nierówności jest fałszywa?
1) a-2a>-3b; 2) 2a > 8b; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.
4.Znajdź wartość wyrażenia: (6x – 5y): (3x+y), jeśli x=1,5 i y=0,5.
1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.
5. Które z poniższych wyrażeń można przekształcić na (7 – x)(x – 4)?
1)– (7 – x)(4 – x); 2) (7 – x)(4 – x);
3) – (x – 7)(4 – x); 4) (x – 7)(x-4).
Po zakończeniu pracy kontrola odbywa się za pomocą programu ASUOK (zautomatyzowany system zarządzania szkoleniami i kontrolą). Chłopcy wymieniają się zeszytami ze swoim kolegą z klasy i wspólnie z nauczycielem sprawdzają test.| ćwiczenia | |||||
| Odpowiedź: | 3 | 1 | 1 | 2 | 1 |
6. Podsumowanie lekcji.
Dziś na zajęciach rozwiązaliście zadania wybrane ze zbiorów przygotowujących do Egzaminu Państwowego. To niewielka część tego, co musisz powtarzać, aby doskonale zdać egzamin.
- Lekcja się skończyła. Co przydało ci się na lekcji?
„Ekspert to osoba, która już nie myśli, a wie”. Franka Hubbarda.
7. Praca domowa
Na kartkach znajdują się zadania do wykonania w domu.
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów standardowy widok:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia zawarte w nawiasie są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z pewnymi wyrażeniami w przekształcenia algebraiczne muszą mieć do czynienia częściej niż inni. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy równa sumie kwadratów i podwoić iloczyn.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniejszą rzeczą jest zobaczenie odpowiednich wyrażeń i zrozumienie, w jaki sposób zastępowane są w nich zmienne a i b. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.