Układ nierówności Zwyczajowo nazywa się dowolny zbiór dwóch lub więcej nierówności zawierających nieznaną ilość.
Sformułowanie to zostało jasno zilustrowane na przykład w następujący sposób systemy nierówności:
Rozwiązać układ nierówności - oznacza znalezienie wszystkich wartości nieznanej zmiennej, przy których realizowana jest każda nierówność układu, lub uzasadnienie, że takie nie istnieją .
Oznacza to, że dla każdego indywidualnie nierówności systemowe Obliczamy nieznaną zmienną. Następnie z uzyskanych wartości wybierane są tylko te, które są prawdziwe zarówno dla pierwszej, jak i drugiej nierówności. Dlatego przy podstawieniu wybranej wartości obie nierówności układu stają się poprawne.
Przyjrzyjmy się rozwiązaniu kilku nierówności:
Umieśćmy parę osi liczbowych jedna pod drugą; umieść wartość na górze X, dla czego pierwsza nierówność dotycząca ( X> 1) staje się prawdą, a na dole - wartością X, które są rozwiązaniem drugiej nierówności ( X> 4).
Porównując dane dot linie liczbowe, zauważ, że jest to rozwiązanie dla obu nierówności będzie X> 4. Odpowiedź, X> 4.
Przykład 2.
Obliczanie pierwszego nierówność otrzymujemy -3 X< -6, или X> 2, drugie - X> -8 lub X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, przy którym realizowany jest pierwszy nierówność systemu, a do dolnej osi liczbowej wszystkie te wartości X, przy czym realizowana jest druga nierówność układu.
Porównując dane, stwierdzamy, że jedno i drugie nierówności zostaną zaimplementowane dla wszystkich wartości X, miejsce od 2 do 8. Zestaw wartości X oznaczać podwójna nierówność 2 < X< 8.
Przykład 3. Znajdziemy
Układ nierówności.
Przykład 1. Znajdź dziedzinę wyrażenia
Rozwiązanie. Pod pierwiastkiem kwadratowym musi znajdować się liczba nieujemna, co oznacza, że muszą być spełnione jednocześnie dwie nierówności: 
Mówią, że w takich przypadkach problem sprowadza się do rozwiązania układu nierówności
Ale takiego modelu matematycznego (systemu nierówności) jeszcze nie spotkaliśmy. Oznacza to, że nie jesteśmy jeszcze w stanie dokończyć rozwiązania przykładu.
Nierówności tworzące układ łączymy nawiasem klamrowym (to samo dotyczy układów równań). Na przykład nagrywaj
oznacza, że nierówności 2x - 1 > 3 i 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.
Czasami układ nierówności zapisuje się w postaci podwójnej nierówności. Na przykład system nierówności
można zapisać jako podwójną nierówność 3<2х-1<11.
Na kursie algebry w klasie 9 będziemy rozważać tylko układy dwóch nierówności.
Rozważmy system nierówności
Możesz wybrać kilka jego konkretnych rozwiązań, na przykład x = 3, x = 4, x = 3,5. Faktycznie, dla x = 3 pierwsza nierówność przyjmuje postać 5 > 3, a druga postać 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.
Jednocześnie wartość x = 5 nie jest rozwiązaniem układu nierówności. Gdy x = 5, pierwsza nierówność przyjmuje postać 9 > 3 - poprawna nierówność liczbowa, a druga postać 13< 11- неверное числовое неравенство .
Rozwiązanie układu nierówności oznacza znalezienie wszystkich jego konkretnych rozwiązań. Jest oczywiste, że zgadywanie zademonstrowane powyżej nie jest metodą rozwiązywania układu nierówności. W poniższym przykładzie pokażemy, w jaki sposób ludzie zwykle rozumują, rozwiązując system nierówności.
Przykład 3. Rozwiąż układ nierówności:
Rozwiązanie.
A) Rozwiązując pierwszą nierówność układu, znajdujemy 2x > 4, x > 2; rozwiązując drugą nierówność układu, znajdujemy 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Rozwiązując pierwszą nierówność układu, znajdujemy x > 2; znajdujemy rozwiązanie drugiej nierówności układu 
Zaznaczmy te przedziały na jednej linii współrzędnych, stosując kreskowanie górne dla pierwszego przedziału, a dolne dla drugiego (rys. 23). Rozwiązaniem układu nierówności będzie przecięcie rozwiązań nierówności układu, tj. odstęp, w którym oba kreskowania pokrywają się. W rozważanym przykładzie otrzymujemy belkę
V) Rozwiązując pierwszą nierówność układu, znajdujemy x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.
Uogólnijmy rozumowanie przeprowadzone w rozpatrywanym przykładzie. Załóżmy, że musimy rozwiązać system nierówności
Niech np. przedział (a, b) będzie rozwiązaniem nierówności fx 2 > g(x), a przedział (c, d) będzie rozwiązaniem nierówności f 2 (x) > s 2 (x ). Zaznaczmy te przedziały na jednej linii współrzędnych, stosując kreskowanie górne dla pierwszego przedziału, a dolne dla drugiego (rys. 25). Rozwiązaniem układu nierówności jest przecięcie rozwiązań nierówności układu, tj. odstęp, w którym oba kreskowania pokrywają się. Na ryc. 25 to przedział (c, b).
Teraz możemy łatwo rozwiązać układ nierówności, który otrzymaliśmy powyżej w przykładzie 1:
Rozwiązując pierwszą nierówność układu, znajdujemy x > 2; rozwiązując drugą nierówność układu, znajdujemy x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.
Oczywiście układ nierówności nie musi koniecznie składać się z nierówności liniowych, jak to miało miejsce dotychczas; Mogą wystąpić wszelkie racjonalne (i nie tylko racjonalne) nierówności. Technicznie rzecz biorąc, praca z systemem racjonalnych nierówności nieliniowych jest oczywiście bardziej skomplikowana, ale nie ma tu nic zasadniczo nowego (w porównaniu z systemami nierówności liniowych).
Przykład 4. Rozwiązać układ nierówności
Rozwiązanie.
1) Rozwiąż nierówność, którą mamy 
Zaznaczmy na osi liczbowej punkty -3 i 3 (ryc. 27). Dzielą linię na trzy przedziały i na każdym przedziale wyrażenie p(x) = (x- 3)(x + 3) zachowuje znak stały - znaki te pokazano na ryc. 27. Nas interesują przedziały, w których zachodzi nierówność p(x) > 0 (zacieniowano je na ryc. 27) oraz punkty, w których zachodzi równość p(x) = 0, tj. punkty x = -3, x = 3 (zaznaczono je na ryc. 2 7 ciemnymi kółkami). Zatem na ryc. Rysunek 27 przedstawia model geometryczny rozwiązania pierwszej nierówności.
2) Rozwiąż nierówność, którą mamy
Zaznaczmy punkty 0 i 5 na osi liczbowej (ryc. 28). Dzielą linię na trzy przedziały i na każdym z nich wyrażenie<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (zacieniony na ryc. 28) oraz punkty, w których spełniona jest równość g (x) - O, tj. punkty x = 0, x = 5 (zaznaczono je na ryc. 28 ciemnymi kółkami). Zatem na ryc. Rysunek 28 przedstawia model geometryczny rozwiązania drugiej nierówności układu.
3)
Znalezione rozwiązania pierwszej i drugiej nierówności układu zaznaczmy na tej samej linii współrzędnych, stosując górne kreskowanie dla rozwiązań pierwszej nierówności i dolne kreskowanie dla rozwiązań drugiej nierówności (rys. 29). Rozwiązaniem układu nierówności będzie przecięcie rozwiązań nierówności układu, tj. odstęp, w którym oba kreskowania pokrywają się. Taki przedział jest segmentem.
Przykład 5. Rozwiąż układ nierówności:
Rozwiązanie:
A) Z pierwszej nierówności znajdujemy x >2. Rozważmy drugą nierówność. Trójmian kwadratowy x 2 + x + 2 nie ma pierwiastków rzeczywistych, a jego współczynnik wiodący (współczynnik x 2) jest dodatni. Oznacza to, że dla każdego x zachodzi nierówność x 2 + x + 2>0, a zatem druga nierówność układu nie ma rozwiązań. Co to oznacza dla systemu nierówności? Oznacza to, że układ nie ma rozwiązań.
B) Z pierwszej nierówności znajdujemy x > 2, a druga nierówność jest spełniona dla dowolnych wartości x. Co to oznacza dla systemu nierówności? Oznacza to, że jego rozwiązanie ma postać x>2, tj. pokrywa się z rozwiązaniem pierwszej nierówności.
Odpowiedź:
a) brak rozwiązań; B) x > 2.
Ten przykład jest ilustracją następujących przydatnych rzeczy
1. Jeżeli w układzie kilku nierówności z jedną zmienną jedna nierówność nie ma rozwiązań, to układ nie ma rozwiązań.
2. Jeżeli w układzie dwóch nierówności z jedną zmienną jedna nierówność jest spełniona dla dowolnych wartości zmiennej, to rozwiązaniem układu jest rozwiązanie drugiej nierówności układu.
Kończąc tę sekcję, wróćmy do podanego na początku problemu zamierzonej liczby i rozwiążmy go, jak to się mówi, zgodnie ze wszystkimi regułami.
Przykład 2(patrz s. 29). Zamierzona jest liczba naturalna. Wiadomo, że jeśli do kwadratu zamierzonej liczby dodamy 13, to suma będzie większa od iloczynu zamierzonej liczby i liczby 14. Jeśli do kwadratu zamierzonej liczby dodamy 45, to suma wyniesie być mniejsza niż iloczyn zamierzonej liczby i liczby 18. Jaka liczba jest zamierzona?
Rozwiązanie.
Pierwszy etap. Opracowanie modelu matematycznego.
Zamierzona liczba x, jak widzieliśmy powyżej, musi spełniać system nierówności
Druga faza. Pracując ze skompilowanym modelem matematycznym, przekształćmy pierwszą nierówność układu do postaci
x2- 14x+ 13 > 0.
Znajdźmy pierwiastki trójmianu x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Korzystając z paraboli y = x 2 - 14x + 13 (ryc. 30) dochodzimy do wniosku, że interesująca nas nierówność to zadowolony w x< 1 или x > 13.
Przekształćmy drugą nierówność układu do postaci x2 - 18 2 + 45< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.
Spójrzmy na przykłady rozwiązywania układu nierówności liniowych.
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Aby rozwiązać system, potrzebujesz każdej z jego nierówności składowych. Dopiero zdecydowano się nie pisać osobno, ale razem, łącząc je nawiasem klamrowym.
W każdej nierówności układu niewiadome przesuwamy w jedną stronę, znane w drugą z przeciwnym znakiem:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Po uproszczeniu obie strony nierówności należy podzielić przez liczbę stojącą przed X. Pierwszą nierówność dzielimy przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia. Drugą nierówność dzielimy przez liczbę ujemną, zatem znak nierówności należy odwrócić:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Rozwiązanie nierówności zaznaczamy na osiach liczbowych:
W odpowiedzi zapisujemy przecięcie rozwiązań, czyli część, w której na obu liniach występuje cieniowanie.
Odpowiedź: x∈[-2;1).
W pierwszej nierówności pozbądźmy się ułamka. Aby to zrobić, mnożymy obie strony wyraz po wyrazie przez najmniejszy wspólny mianownik 2. Po pomnożeniu przez liczbę dodatnią znak nierówności nie zmienia się.
W drugiej nierówności otwieramy nawiasy. Iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń. Po prawej stronie znajduje się kwadrat różnicy między tymi dwoma wyrażeniami.
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Niewiadome przesuwamy na jedną stronę, znane na drugą z przeciwnym znakiem i upraszczamy:
Obie strony nierówności dzielimy przez liczbę stojącą przed X. W pierwszej nierówności dzielimy przez liczbę ujemną, więc znak nierówności zostaje odwrócony. W drugim dzielimy przez liczbę dodatnią, znak nierówności się nie zmienia:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Obie nierówności mają znak „mniejszy niż” (nie ma znaczenia, że jeden znak jest ściśle „mniejszy niż”, drugi luźny, „mniejszy lub równy”). Nie możemy zaznaczyć obu rozwiązań, lecz zastosować zasadę „”. Mniejsza z nich wynosi 1, zatem układ sprowadza się do nierówności
Zaznaczamy jego rozwiązanie na osi liczbowej:
Odpowiedź: x∈(-∞;1].
Otwarcie nawiasów. W pierwszej nierówności - . Jest równa sumie sześcianów tych wyrażeń.
W drugim iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrażeń, który jest równy różnicy kwadratów. Ponieważ tutaj przed nawiasami znajduje się znak minus, lepiej otworzyć je w dwóch etapach: najpierw użyj formuły, a dopiero potem otwórz nawiasy, zmieniając znak każdego terminu na przeciwny.
Niewiadome przesuwamy w jednym kierunku, znane w drugim, z przeciwnym znakiem:
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Obydwa są większe niż znaki. Stosując zasadę „więcej niż więcej” redukujemy układ nierówności do jednej nierówności. Większa z tych dwóch liczb wynosi zatem 5, zatem
Title="Wyrenderowane przez QuickLaTeX.com">!}
Zaznaczamy rozwiązanie nierówności na osi liczbowej i zapisujemy odpowiedź: 
Odpowiedź: x∈(5;∞).
Ponieważ w algebrze układy nierówności liniowych występują nie tylko jako samodzielne zadania, ale także w trakcie rozwiązywania różnego rodzaju równań, nierówności itp., ważne jest, aby opanować ten temat w odpowiednim czasie.
Następnym razem przyjrzymy się przykładom rozwiązywania układów nierówności liniowych w szczególnych przypadkach, gdy jedna z nierówności nie ma rozwiązań lub jej rozwiązaniem jest dowolna liczba.
Kategoria: |jest dowolnym zbiorem dwóch lub więcej nierówności liniowych zawierających tę samą nieznaną wielkość
Oto przykłady takich systemów:
Naszym rozwiązaniem jest odstęp przecięcia dwóch promieni. Zatem rozwiązaniem tej nierówności jest wszystko X znajduje się pomiędzy dwoma a ósmymi.
Odpowiedź: X
Czasami nazywa się wykorzystanie tego typu mapowania do rozwiązania układu nierówności metoda dachowa.
Definicja: Przecięcie dwóch zbiorów A I W nazywa się trzecim zbiorem, który zawiera wszystkie elementy zawarte w A i w W. Takie jest znaczenie przecięcia zbiorów o dowolnym charakterze. Rozważamy teraz szczegółowo zbiory numeryczne, dlatego przy znajdowaniu nierówności liniowych takimi zbiorami są promienie - współkierunkowe, przeciwkierunkowe i tak dalej.
Przekonajmy się na żywo przykłady znajdowanie liniowych układów nierówności, jak wyznaczać przecięcia zbiorów rozwiązań poszczególnych nierówności wchodzących w skład układu.
Obliczmy system nierówności:
Umieśćmy dwie linie sił jedna pod drugą. Na górze nakreślimy te wartości X, które spełniają pierwszą nierówność X>7 , a na dole - które stanowią rozwiązanie drugiej nierówności X>10 Porównajmy wyniki osi liczbowych i przekonajmy się, że obie nierówności zostaną spełnione, kiedy X>10.
Odpowiedź: (10;+∞).
Robimy to analogicznie do pierwszej próbki. Na danej osi liczbowej nanosimy wszystkie te wartości X dla którego istnieje pierwszy nierówność systemu, a na drugiej osi liczbowej, znajdującej się pod pierwszą, wszystkie te wartości X, dla którego spełniona jest druga nierówność układu. Porównajmy te dwa wyniki i ustalmy, że obie nierówności będą jednocześnie spełnione dla wszystkich wartości X znajdujących się pomiędzy 7 a 10, biorąc pod uwagę znaki, otrzymujemy 7<x≤10
Odpowiedź: (7; 10).
W podobny sposób rozwiązuje się następujące problemy. systemy nierówności.