zobacz także Graficzne rozwiązywanie problemu programowania liniowego, Kanoniczna postać problemów programowania liniowego
Układ ograniczeń takiego problemu składa się z nierówności dwóch zmiennych:
a funkcja celu ma postać F = C 1 X + C 2 y które należy maksymalizować.
Odpowiedzmy sobie na pytanie: jakie pary liczb ( X; y) czy rozwiązania układu nierówności spełniają jednocześnie każdą z nierówności? Innymi słowy, co to znaczy rozwiązać system graficznie?
Najpierw musisz zrozumieć, jakie jest rozwiązanie jednej nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi.
Rozwiązanie nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich par niewiadomych, dla których zachodzi nierówność.
Na przykład nierówność 3 X
– 5y≥ 42 spełniające pary ( X , y): (100, 2); (3, –10) itd. Zadanie polega na znalezieniu wszystkich takich par.
Rozważmy dwie nierówności: topór
+ przez≤ C, topór + przez≥ C. Prosty topór + przez = C dzieli płaszczyznę na dwie półpłaszczyzny tak, aby współrzędne punktów jednej z nich spełniały nierówność topór + przez >C i druga nierówność topór + +przez <C.
Rzeczywiście, weźmy punkt ze współrzędnymi X = X 0 ; następnie punkt leżący na prostej i mający odciętą X 0, ma współrzędną
Niech będzie pewność A< 0, B>0,
C>0. Wszystkie punkty z odciętą X 0 leżącego powyżej P(na przykład kropka M), Posiadać i M>y 0 i wszystkie punkty poniżej punktu P, z odciętą X 0, mam i N<y 0. Ponieważ X 0 jest dowolnym punktem, wtedy zawsze będą punkty po jednej stronie linii, dla której topór+ przez > C, tworząc półpłaszczyznę, a po drugiej stronie - punkty dla których topór + przez< C.
Obrazek 1
Znak nierówności w półpłaszczyźnie zależy od liczb A, B , C.
Oznacza to następującą metodę graficznego rozwiązywania układów nierówności liniowych dwóch zmiennych. Aby rozwiązać system, potrzebujesz:
- Dla każdej nierówności napisz równanie odpowiadające tej nierówności.
- Konstruuj linie proste będące wykresami funkcji określonych równaniami.
- Dla każdej prostej wyznacz półpłaszczyznę, która wynika z nierówności. Aby to zrobić, weź dowolny punkt, który nie leży na prostej i podstaw jego współrzędne do nierówności. jeżeli nierówność jest prawdziwa, to półpłaszczyzna zawierająca wybrany punkt jest rozwiązaniem pierwotnej nierówności. Jeżeli nierówność jest fałszywa, to półpłaszczyzna po drugiej stronie prostej jest zbiorem rozwiązań tej nierówności.
- Aby rozwiązać układ nierówności, należy znaleźć pole przecięcia wszystkich półpłaszczyzn, które są rozwiązaniem każdej nierówności układu.
Obszar ten może okazać się pusty, wówczas układ nierówności nie ma rozwiązań i jest niespójny. W przeciwnym razie mówi się, że system jest spójny.
Może istnieć skończona liczba lub nieskończona liczba rozwiązań. Obszar może być zamkniętym wielokątem lub nieograniczony.
Przyjrzyjmy się trzem odpowiednim przykładom.
Przykład 1. Rozwiąż układ graficznie:
X + y – 1 ≤ 0;
–2X - 2y + 5 ≤ 0.
- rozważ równania x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 odpowiadające nierównościom;
- Skonstruujmy linie proste określone przez te równania.
Rysunek 2
Zdefiniujmy półpłaszczyzny wyznaczone przez nierówności. Weźmy dowolny punkt, niech (0; 0). Rozważmy X+ y– 1 0 zamień punkt (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Oznacza to, że w półpłaszczyźnie, na której leży punkt (0; 0), X + y –
1 ≤ 0, tj. półpłaszczyzna leżąca poniżej prostej jest rozwiązaniem pierwszej nierówności. Podstawiając ten punkt (0; 0) do drugiego, otrzymujemy: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. w półpłaszczyźnie, w której leży punkt (0; 0), –2 X – 2y+ 5≥ 0 i zapytano nas, gdzie –2 X
– 2y+ 5 ≤ 0 zatem w drugiej półpłaszczyźnie - w tej powyżej prostej.
Znajdźmy przecięcie tych dwóch półpłaszczyzn. Proste są równoległe, więc płaszczyzny nigdzie się nie przecinają, co oznacza, że układ tych nierówności nie ma rozwiązań i jest niespójny.
Przykład 2. Znajdź graficznie rozwiązania układu nierówności: 
Rysunek 3
1. Wypiszmy równania odpowiadające nierównościom i skonstruujmy proste.
X + 2y– 2 = 0
| X | 2 | 0 |
| y | 0 | 1 |
y – X – 1 = 0
| X | 0 | 2 |
| y | 1 | 3 |
y + 2 = 0;
y = –2.
2. Po wybraniu punktu (0; 0) wyznaczamy znaki nierówności w półpłaszczyznach:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. X + 2y– 2 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej prostej;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –X– 1 ≤ 0 w półpłaszczyźnie poniżej prostej;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y+ 2 ≥ 0 w półpłaszczyźnie nad prostą.
3. Przecięciem tych trzech półpłaszczyzn będzie obszar będący trójkątem. Znalezienie wierzchołków obszaru jako punktów przecięcia odpowiednich linii nie jest trudne
Zatem, A(–3; –2), W(0; 1), Z(6; –2).
Rozważmy inny przykład, w którym wynikowa dziedzina rozwiązań systemu nie jest ograniczona.
rozwiązanie nierówności w trybie online rozwiązanie prawie każda dana nierówność online. Matematyczny nierówności w internecie rozwiązać matematykę. Znajdź szybko rozwiązanie nierówności w trybie online. Strona www.site pozwala znaleźć rozwiązanie prawie dowolne algebraiczny, trygonometryczny Lub transcendentalna nierówność w Internecie. Studiując niemal każdą dziedzinę matematyki na różnych etapach, musisz podjąć decyzję nierówności w internecie. Aby uzyskać odpowiedź natychmiast, a co najważniejsze, dokładną, potrzebujesz zasobu, który Ci to umożliwi. Dzięki stronie www.site rozwiązać nierówność online zajmie to kilka minut. Główną zaletą www.site przy rozwiązywaniu zadań matematycznych nierówności w internecie- jest to szybkość i dokładność udzielonej odpowiedzi. Strona jest w stanie rozwiązać każdy nierówności algebraiczne w Internecie, nierówności trygonometryczne w Internecie, Transcendentalne nierówności w Internecie, I nierówności z nieznanymi parametrami w trybie online. Nierówności służyć jako potężny aparat matematyczny rozwiązania problemy praktyczne. Z pomocą nierówności matematyczne możliwe jest wyrażenie faktów i relacji, które na pierwszy rzut oka mogą wydawać się zagmatwane i skomplikowane. Nieznane ilości nierówności można znaleźć, formułując problem w matematyczny język w formie nierówności I decydować otrzymane zadanie w trybie online na stronie internetowej www.site. Każdy nierówność algebraiczna, nierówność trygonometryczna Lub nierówności zawierający nadzmysłowy funkcje, które możesz łatwo decydować online i uzyskaj dokładną odpowiedź. Studiując nauki przyrodnicze, nieuchronnie napotykasz taką potrzebę rozwiązań nierówności. W takim przypadku odpowiedź musi być dokładna i należy ją uzyskać natychmiast w trybie online. Dlatego dla rozwiązuj nierówności matematyczne online polecamy stronę www.site, która stanie się Twoim niezastąpionym kalkulatorem rozwiązywanie nierówności algebraicznych online, nierówności trygonometryczne w Internecie, I Transcendentalne nierówności w Internecie Lub nierówności o nieznanych parametrach. Praktyczne problemy związane ze znalezieniem rozwiązań online różnych problemów nierówności matematyczne zasób www.. Rozwiązywanie nierówności w internecie sam, warto sprawdzić otrzymaną odpowiedź za pomocą internetowe rozwiązanie nierówności na stronie internetowej www.site. Musisz poprawnie zapisać nierówność i natychmiast uzyskać rozwiązanie internetowe, po czym pozostaje tylko porównać odpowiedź z rozwiązaniem nierówności. Sprawdzenie odpowiedzi zajmie nie więcej niż minutę, wystarczy rozwiązać nierówność online i porównaj odpowiedzi. Pomoże to uniknąć błędów w decyzja i popraw odpowiedź w odpowiednim czasie rozwiązywanie nierówności w Internecie albo algebraiczny, trygonometryczny, nadzmysłowy Lub nierówność o nieznanych parametrach.
Nierówności i systemy nierówności są jednym z tematów poruszanych na algebrze w szkole średniej. Pod względem poziomu trudności nie jest ona najtrudniejsza, gdyż ma proste zasady (więcej o nich nieco później). Z reguły uczniowie dość łatwo uczą się rozwiązywania systemów nierówności. Dzieje się tak również dlatego, że nauczyciele po prostu „trenują” swoich uczniów w tym temacie. I nie mogą tego powstrzymać, ponieważ w przyszłości będzie to badane przy użyciu innych wielkości matematycznych, a także będzie sprawdzane na egzaminie Unified State Exam i Unified State Exam. W podręcznikach szkolnych temat nierówności i systemów nierówności jest poruszany bardzo szczegółowo, więc jeśli zamierzasz się go uczyć, najlepiej się do nich sięgnąć. Artykuł ten stanowi jedynie podsumowanie większego materiału i może zawierać pewne pominięcia.
Pojęcie układu nierówności
Jeśli zwrócimy się do języka naukowego, możemy zdefiniować pojęcie „systemu nierówności”. Jest to model matematyczny reprezentujący kilka nierówności. Model ten oczywiście wymaga rozwiązania i będzie to ogólna odpowiedź na wszystkie nierówności układu zaproponowanego w zadaniu (zwykle jest to w nim zapisane, na przykład: „Rozwiąż układ nierówności 4 x + 1 > 2 i 30 - x > 6..."). Zanim jednak przejdziemy do rodzajów i metod rozwiązań, trzeba zrozumieć coś innego.
Układy nierówności i układy równań
Ucząc się nowego tematu, często pojawiają się nieporozumienia. Z jednej strony wszystko jest jasne i chce się jak najszybciej przystąpić do rozwiązywania zadań, z drugiej strony pewne momenty pozostają w „cieniu” i nie są do końca zrozumiałe. Również pewne elementy już zdobytej wiedzy mogą zostać przeplatane z nowymi. W wyniku tego „nałożenia się” często pojawiają się błędy.
Dlatego zanim zaczniemy analizować nasz temat, powinniśmy pamiętać o różnicach między równaniami i nierównościami oraz ich układami. Aby to zrobić, musimy jeszcze raz wyjaśnić, co reprezentują te pojęcia matematyczne. Równanie jest zawsze równością i zawsze jest czemuś równe (w matematyce słowo to oznacza się znakiem „="). Nierówność to model, w którym jedna wartość jest większa lub mniejsza od drugiej lub zawiera stwierdzenie, że nie są one takie same. Zatem w pierwszym przypadku należy mówić o równości, a w drugim, niezależnie od tego, jak oczywiste może to brzmieć na podstawie samej nazwy, o nierówności danych początkowych. Układy równań i nierówności praktycznie nie różnią się od siebie, a metody ich rozwiązywania są takie same. Jedyna różnica polega na tym, że w pierwszym przypadku stosuje się równości, a w drugim nierówności.
Rodzaje nierówności
Istnieją dwa rodzaje nierówności: numeryczne i z nieznaną zmienną. Pierwszy typ reprezentuje podane wielkości (liczby), które są sobie różne, np. 8 > 10. Drugi typ to nierówności zawierające nieznaną zmienną (oznaczoną literą alfabetu łacińskiego, najczęściej X). Trzeba znaleźć tę zmienną. W zależności od tego, ile ich jest, model matematyczny rozróżnia nierówności z jedną (tworzą one system nierówności z jedną zmienną) lub kilkoma zmiennymi (tworzą system nierówności z kilkoma zmiennymi).
Dwa ostatnie typy, ze względu na stopień ich konstrukcji i stopień złożoności rozwiązania, dzielimy na proste i złożone. Proste nazywane są także nierównościami liniowymi. Te z kolei dzielą się na ścisłe i nierygorystyczne. Ścisłe konkretnie „mówią”, że jedna ilość musi koniecznie być mniejsza lub większa, więc jest to czysta nierówność. Można podać kilka przykładów: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 itd. Nieścisłe obejmują również równość. Oznacza to, że jedna wartość może być większa lub równa innej wartości (znak „≥”) lub mniejsza lub równa innej wartości (znak „≤”). Nawet w nierównościach liniowych zmienna nie jest pierwiastkowa, kwadratowa ani podzielna przez nic, dlatego nazywa się je „prostymi”. Złożone obejmują nieznane zmienne, których znalezienie wymaga więcej matematyki. Często znajdują się one w kwadracie, sześcianie lub pod pierwiastkiem, mogą być modułowe, logarytmiczne, ułamkowe itp. Ponieważ jednak naszym zadaniem jest zrozumienie rozwiązania systemów nierówności, porozmawiamy o systemie nierówności liniowych . Zanim jednak to nastąpi, warto powiedzieć kilka słów o ich właściwościach.
Właściwości nierówności
Właściwości nierówności obejmują:
- Znak nierówności zostaje odwrócony, jeśli zostanie zastosowana operacja zmiany kolejności boków (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 2 ≥ t 1).
- Obie strony nierówności pozwalają dodać do siebie tę samą liczbę (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, to t 1 + liczba ≤ t 2 + liczba).
- Dwie lub więcej nierówności ze znakiem skierowanym w tym samym kierunku umożliwiają dodanie ich lewej i prawej strony (np. jeśli t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, to t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
- Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę dodatnią (np. jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
- Dwie lub więcej nierówności, które mają wyrazy dodatnie i znak w tym samym kierunku, można pomnożyć przez siebie (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 wtedy t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
- Obie części nierówności można pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę ujemną, ale w tym przypadku zmienia się znak nierówności (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i liczba ≤ 0, to liczba · t 1 ≥ liczba · t 2).
- Wszystkie nierówności mają właściwość przechodniości (na przykład, jeśli t 1 ≤ t 2 i t 2 ≤ t 3, to t 1 ≤ t 3).
Teraz, po przestudiowaniu podstawowych zasad teorii nierówności, możemy przejść bezpośrednio do rozważenia zasad rozwiązywania ich układów.
Rozwiązywanie układów nierówności. Informacje ogólne. Rozwiązania
Jak wspomniano powyżej, rozwiązaniem są wartości zmiennej, które są odpowiednie dla wszystkich nierówności danego układu. Rozwiązywanie układów nierówności to realizacja operacji matematycznych, które ostatecznie prowadzą do rozwiązania całego układu lub dowodzą, że nie ma on rozwiązań. W tym przypadku mówi się, że zmienna należy do pustego zbioru liczbowego (zapisanego w następujący sposób: litera oznaczająca zmienną∈ (znak „należy”) ø (znak „zbiór pusty”), np. x ∈ ø (czytaj: „Zmienna „x” należy do zbioru pustego”). Istnieje kilka sposobów rozwiązywania układów nierówności: graficzna, algebraiczna, metoda podstawieniowa. Warto zauważyć, że odnoszą się one do tych modeli matematycznych, które mają kilka nieznanych zmiennych. W przypadku, gdy jest tylko jeden, odpowiednia jest metoda interwałowa.
Metoda graficzna
Pozwala rozwiązać układ nierówności z kilkoma nieznanymi wielkościami (od dwóch i więcej). Dzięki tej metodzie układ nierówności liniowych można rozwiązać dość łatwo i szybko, dlatego jest to metoda najpowszechniejsza. Wyjaśnia to fakt, że wykreślenie wykresu zmniejsza ilość zapisywania operacji matematycznych. Szczególnie miło jest zrobić sobie krótką przerwę od pióra, wziąć do ręki ołówek za pomocą linijki i za ich pomocą rozpocząć dalsze działania, gdy jest już dużo pracy i chcesz trochę urozmaicenia. Niektórzy jednak nie lubią tej metody, bo muszą oderwać się od zadania i przenieść swoją aktywność umysłową na rysowanie. Jest to jednak bardzo skuteczna metoda.
Aby rozwiązać układ nierówności metodą graficzną, należy przenieść wszystkie wyrazy każdej nierówności na ich lewą stronę. Znaki zostaną odwrócone, po prawej stronie należy wpisać zero, następnie każdą nierówność należy zapisać osobno. W rezultacie funkcje zostaną otrzymane z nierówności. Następnie możesz wyjąć ołówek i linijkę: teraz musisz narysować wykres każdej uzyskanej funkcji. Cały zbiór liczb, który znajdzie się w przedziale ich przecięcia, będzie rozwiązaniem układu nierówności.
Sposób algebraiczny
Pozwala rozwiązać układ nierówności z dwiema nieznanymi zmiennymi. Ponadto nierówności muszą mieć ten sam znak nierówności (to znaczy muszą zawierać tylko znak „większy niż” lub tylko znak „mniejszy niż” itp.). Pomimo swoich ograniczeń metoda ta jest również bardziej złożona. Nakłada się go w dwóch etapach.
Pierwsza polega na działaniach mających na celu pozbycie się jednej z nieznanych zmiennych. Najpierw musisz go wybrać, a następnie sprawdzić obecność liczb przed tą zmienną. Jeśli ich nie ma (wtedy zmienna będzie wyglądać jak pojedyncza litera), to nic nie zmieniamy, jeśli są (typ zmiennej będzie np. 5y lub 12y), to należy dokonać upewnij się, że w każdej nierówności liczba przed wybraną zmienną jest taka sama. Aby to zrobić, musisz pomnożyć każdy wyraz nierówności przez wspólny współczynnik, na przykład, jeśli w pierwszej nierówności zapisano 3y, a w drugiej 5y, to musisz pomnożyć wszystkie wyrazy pierwszej nierówności przez 5 , a drugi o 3. Dostajesz odpowiednio 15 lat i 15 lat.
Drugi etap rozwiązania. Konieczne jest przeniesienie lewej strony każdej nierówności na prawą stronę, zmianę znaku każdego wyrazu na przeciwny i wpisanie zera po prawej stronie. Potem przychodzi zabawna część: pozbycie się wybranej zmiennej (znanej również jako „redukcja”) podczas dodawania nierówności. Powoduje to nierówność z jedną zmienną, którą należy rozwiązać. Następnie powinieneś zrobić to samo, tylko z inną nieznaną zmienną. Uzyskane wyniki będą rozwiązaniem układu.
Metoda substytucyjna
Pozwala rozwiązać układ nierówności, jeżeli istnieje możliwość wprowadzenia nowej zmiennej. Zazwyczaj metodę tę stosuje się, gdy nieznaną zmienną w jednym wyrazie nierówności podnosi się do czwartej potęgi, a w drugim członie podwyższa do kwadratu. Metoda ta ma zatem na celu zmniejszenie stopnia nierówności w systemie. W ten sposób rozwiązuje się przykładową nierówność x 4 - x 2 - 1 ≤ 0. Wprowadzana jest nowa zmienna, na przykład t. Piszą: „Niech t = x 2”, wówczas model zostaje przepisany w nowej formie. W naszym przypadku otrzymujemy t 2 - t - 1 ≤0. Nierówność tę należy rozwiązać metodą przedziałową (więcej o tym później), następnie wrócić do zmiennej X i zrobić to samo z drugą nierównością. Otrzymane odpowiedzi będą stanowić rozwiązanie systemu.
Metoda interwałowa
Jest to najprostszy sposób rozwiązywania układów nierówności, a jednocześnie uniwersalny i powszechny. Jest stosowany w szkołach średnich, a nawet w szkołach wyższych. Jego istota polega na tym, że uczeń szuka przedziałów nierówności na narysowanej w zeszycie osi liczbowej (nie jest to wykres, a zwykła linia z liczbami). Tam, gdzie przecinają się przedziały nierówności, znajduje się rozwiązanie układu. Aby skorzystać z metody interwałowej, wykonaj następujące kroki:
- Wszystkie wyrazy każdej nierówności są przenoszone na lewą stronę ze zmianą znaku na przeciwny (zero jest zapisane po prawej stronie).
- Nierówności są wypisywane osobno i określane jest rozwiązanie każdej z nich.
- Znaleziono przecięcia nierówności na osi liczbowej. Rozwiązaniem będą wszystkie numery znajdujące się na tych skrzyżowaniach.
Jakiej metody powinienem użyć?
Oczywiście ten, który wydaje się najłatwiejszy i najwygodniejszy, ale zdarzają się przypadki, gdy zadania wymagają określonej metody. Najczęściej mówią, że trzeba rozwiązać albo za pomocą wykresu, albo metodą interwałową. Metoda algebraiczna i podstawienie są stosowane niezwykle rzadko lub wcale, ponieważ są dość złożone i mylące, a poza tym są bardziej używane do rozwiązywania układów równań niż nierówności, dlatego należy uciekać się do rysowania wykresów i przedziałów. Przynoszą przejrzystość, która nie może nie przyczynić się do sprawnego i szybkiego wykonywania operacji matematycznych.
Jeśli coś nie wyjdzie
Ucząc się określonego tematu z algebry, naturalnie mogą pojawić się problemy z jego zrozumieniem. I to jest normalne, bo nasz mózg jest tak skonstruowany, że nie jest w stanie za jednym razem zrozumieć złożonego materiału. Często musisz ponownie przeczytać akapit, skorzystać z pomocy nauczyciela lub poćwiczyć rozwiązywanie standardowych zadań. W naszym przypadku wyglądają one np. tak: „Rozwiąż układ nierówności 3 x + 1 ≥ 0 i 2 x - 1 > 3.” Zatem osobiste pragnienia, pomoc od osób z zewnątrz i praktyka pomagają w zrozumieniu każdego złożonego tematu.
Solver?
Książka z rozwiązaniami jest również bardzo odpowiednia, ale nie do kopiowania zadań domowych, ale do samopomocy. Można w nich znaleźć układy nierówności z rozwiązaniami, przyjrzeć się im (jako szablonom), spróbować dokładnie zrozumieć, jak autor rozwiązania poradził sobie z zadaniem, a następnie spróbować zrobić to samo samodzielnie.
wnioski
Algebra to jeden z najtrudniejszych przedmiotów w szkole. Cóż, co możesz zrobić? Matematyka zawsze taka była: dla niektórych jest łatwa, dla innych trudna. Ale w każdym razie należy pamiętać, że program kształcenia ogólnego jest skonstruowany w taki sposób, aby każdy uczeń mógł sobie z nim poradzić. Poza tym trzeba mieć na uwadze ogromną liczbę asystentów. Niektóre z nich zostały wspomniane powyżej.
Rozwiązywanie nierówności. Istnieją różne rodzaje nierówności i wymagają różnych podejść do ich rozwiązywania. Jeśli nie chcesz tracić czasu i wysiłku na rozwiązywanie nierówności lub samodzielnie rozwiązać nierówność i chcesz sprawdzić, czy otrzymałeś poprawną odpowiedź, sugerujemy rozwiązanie nierówności online i skorzystanie w tym celu z naszego serwisu Math24.su. Rozwiązuje zarówno nierówności liniowe, jak i kwadratowe, w tym nierówności irracjonalne i ułamkowe. Pamiętaj, aby w odpowiednich polach wpisać obie strony nierówności i zaznaczyć znajdujący się między nimi znak nierówności, a następnie kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. Aby zademonstrować, w jaki sposób usługa realizuje rozwiązanie nierówności, możesz wyświetlić różnego rodzaju przykłady i ich rozwiązania (wybrane po prawej stronie przycisku „Rozwiąż”). Usługa udostępnia zarówno przedziały rozwiązań, jak i wartości całkowite. Użytkownicy, którzy odwiedzają Math24.su po raz pierwszy, zachwycają się dużą szybkością usługi, ponieważ nierówności można rozwiązać online w ciągu kilku sekund, a z usługi można korzystać całkowicie bezpłatnie nieograniczoną liczbę razy. Praca serwisu jest zautomatyzowana; obliczeń dokonuje program, a nie osoba. Nie musisz instalować żadnego oprogramowania na swoim komputerze, rejestrować się, podawać danych osobowych ani adresu e-mail. Literówki i błędy w obliczeniach są również wykluczone; uzyskanemu wynikowi można zaufać w 100%. Zalety rozwiązywania nierówności online. Dzięki dużej szybkości i łatwości obsługi serwis Math24.su stał się niezawodnym asystentem dla wielu uczniów i studentów. Nierówności często występują w szkolnych programach nauczania i instytutowych kursach matematyki wyższej, a ci, którzy korzystają z naszych usług online, uzyskują ogromną przewagę nad innymi. Math24.su jest dostępny całą dobę, nie wymaga rejestracji ani opłat za korzystanie, a także jest wielojęzyczny. Usługi online nie powinny zaniedbywać osoby, które samodzielnie szukają rozwiązań nierówności. Przecież Math24.su to doskonała okazja, aby sprawdzić poprawność swoich obliczeń, dowiedzieć się, gdzie popełniono błąd i zobaczyć, jak rozwiązywane są różnego rodzaju nierówności. Innym powodem, dla którego rozwiązywanie nierówności online będzie skuteczniejsze, jest sytuacja, gdy rozwiązywanie nierówności nie jest zadaniem głównym, a jedynie jego częścią. W takim przypadku po prostu nie ma sensu poświęcać dużo czasu i wysiłku na obliczenia i lepiej powierzyć je usłudze online, skupiając się na rozwiązaniu głównego problemu. Jak widać, usługa online do rozwiązywania nierówności przyda się zarówno tym, którzy samodzielnie rozwiązują tego typu problemy matematyczne, jak i tym, którzy nie chcą tracić czasu i wysiłku na długie obliczenia, ale muszą szybko uzyskać odpowiedź. Dlatego, gdy napotkasz nierówności, nie zapomnij skorzystać z naszej usługi, aby rozwiązać wszelkie nierówności online: liniowe, kwadratowe, irracjonalne, trygonometryczne, logarytmiczne. Czym są nierówności i jak się je wyznacza. Nierówność jest odwrotną stroną równości i jako koncepcja wiąże się z porównaniem dwóch obiektów. W zależności od cech porównywanych obiektów mówimy: wyższy, niższy, krótszy, dłuższy, grubszy, cieńszy itp. W matematyce znaczenie nierówności nie zostaje utracone, ale tutaj mówimy o nierównościach obiektów matematycznych: liczbach, wyrażeniach, wartościach wielkości, cyfrach itp. Zwyczajowo używa się kilku znaków nierówności: , ≤, ≥. Wyrażenia matematyczne posiadające takie znaki nazywane są nierównościami. Znak > (większy niż) umieszcza się pomiędzy większymi i mniejszymi obiektami. Znak oznacza ścisłe nierówności. Nieścisłe nierówności opisują sytuację, gdy jedno wyrażenie jest „nie więcej” („nie mniej”) niż inne. „Nie więcej” oznacza mniej lub tyle samo, a „nie mniej” oznacza więcej lub tyle samo.
Układ nierówności Zwyczajowo nazywa się dowolny zbiór dwóch lub więcej nierówności zawierających nieznaną ilość.
Sformułowanie to zostało jasno zilustrowane na przykład w następujący sposób systemy nierówności:
Rozwiązać układ nierówności - oznacza znalezienie wszystkich wartości nieznanej zmiennej, przy których realizowana jest każda nierówność układu, lub uzasadnienie, że takie nie istnieją .
Oznacza to, że dla każdego indywidualnie nierówności systemowe Obliczamy nieznaną zmienną. Następnie z uzyskanych wartości wybierane są tylko te, które są prawdziwe zarówno dla pierwszej, jak i drugiej nierówności. Dlatego przy podstawieniu wybranej wartości obie nierówności układu stają się poprawne.
Przyjrzyjmy się rozwiązaniu kilku nierówności:
Umieśćmy parę osi liczbowych jedna pod drugą; umieść wartość na górze X, dla czego pierwsza nierówność dotycząca ( X> 1) staje się prawdą, a na dole - wartością X, które są rozwiązaniem drugiej nierówności ( X> 4).
Porównując dane dot linie liczbowe, zauważ, że jest to rozwiązanie dla obu nierówności będzie X> 4. Odpowiedź, X> 4.
Przykład 2.
Obliczanie pierwszego nierówność otrzymujemy -3 X< -6, или X> 2, drugie - X> -8 lub X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X, przy którym realizowany jest pierwszy system nierówności, a do dolnej osi liczbowej wszystkie te wartości X, przy czym realizowana jest druga nierówność układu.
Porównując dane, stwierdzamy, że jedno i drugie nierówności zostaną zaimplementowane dla wszystkich wartości X, miejsce od 2 do 8. Zestaw wartości X oznaczać podwójna nierówność 2 < X< 8.
Przykład 3. Znajdziemy