Największa i najmniejsza wartość funkcji

Największa wartość funkcji jest największą, najmniejsza wartość jest najmniejszą ze wszystkich jej wartości.

Funkcja może mieć tylko jedną największą i tylko jedną najmniejszą wartość lub może nie mieć żadnej. Znalezienie największych i najmniejszych wartości funkcji ciągłych opiera się na następujących własnościach tych funkcji:

1) Jeżeli w pewnym przedziale (skończonym lub nieskończonym) funkcja y=f(x) jest ciągła i ma tylko jedno ekstremum oraz jeżeli jest to maksimum (minimum), to będzie to największa (najmniejsza) wartość tej funkcji w tym przedziale.

2) Jeśli funkcja f(x) jest ciągła w pewnym segmencie, to koniecznie ma w tym segmencie największą i najmniejszą wartość. Wartości te osiągane są albo w ekstremalnych punktach leżących wewnątrz segmentu, albo na granicach tego segmentu.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość w segmencie, zaleca się skorzystanie z następującego schematu:

1. Znajdź pochodną.

2. Znajdź punkty krytyczne funkcji, w których =0 lub nie istnieje.

3. Znajdź wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach odcinka i wybierz spośród nich największe f max i najmniejsze f max.

Decydując stosowane problemy, w szczególności optymalizacja, ważny mają zadania znalezienia największych i najmniejszych wartości (maksimum globalnego i minimum globalnego) funkcji na przedziale X. Aby rozwiązać takie problemy, należy na podstawie warunku wybrać zmienną niezależną i wyrazić badaną wartość poprzez tę zmienną. Następnie znajdź żądaną największą lub najmniejszą wartość wynikowej funkcji. W tym przypadku przedział zmian zmiennej niezależnej, który może być skończony lub nieskończony, jest również wyznaczany na podstawie warunków problemu.

Przykład. Zbiornik w kształcie otwartego blatu prostokątny równoległościan z kwadratowym dnem należy ocynować wnętrze. Jakie wymiary powinien mieć zbiornik jeżeli jego pojemność wynosi 108 litrów? wodę, żeby koszt jej cynowania był minimalny?

Rozwiązanie. Koszt pokrycia zbiornika cyną będzie minimalny, jeżeli przy danej pojemności jego powierzchnia będzie minimalna. Oznaczmy przez a dm bok podstawy, b dm wysokość zbiornika. Wtedy pole S jego powierzchni jest równe

I

Powstała zależność ustala zależność między polem powierzchni zbiornika S (funkcja) a bokiem podstawy a (argument). Zbadajmy funkcję S dla ekstremum. Znajdźmy pierwszą pochodną, ​​przyrównajmy ją do zera i rozwiążmy powstałe równanie:

Zatem a = 6. (a) > 0 dla a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Przykład. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na przerwie.

Rozwiązanie: Określona funkcja ciągły na całej osi liczbowej. Pochodna funkcji

Pochodna dla i dla . Obliczmy wartości funkcji w tych punktach:

.

Wartości funkcji na końcach danego przedziału są równe. Zatem największa wartość funkcji jest równa at , najmniejsza wartość funkcji jest równa at .

Pytania autotestowe

1. Sformułuj regułę L'Hopitala ujawniania niepewności formy. Lista Różne rodzaje niepewności, dla których można zastosować regułę de l'Hopitala.

2. Formułować znaki funkcji rosnących i malejących.

3. Zdefiniuj maksimum i minimum funkcji.

4. Sformułuj warunek konieczny istnienie ekstremum.

5. Jakie wartości argumentu (które punkty) nazywane są krytycznymi? Jak znaleźć te punkty?

6. Jakie są wystarczające oznaki istnienia ekstremum funkcji? Nakreśl schemat badania funkcji ekstremum przy użyciu pierwszej pochodnej.

7. Nakreśl schemat badania funkcji ekstremum za pomocą drugiej pochodnej.

8. Zdefiniować wypukłość i wklęsłość krzywej.

9. Co nazywa się punktem przegięcia wykresu funkcji? Wskaż metodę znajdowania tych punktów.

10. Sformułuj niezbędne i wystarczające znaki wypukłości i wklęsłości krzywej za ten segment.

11. Zdefiniuj asymptotę krzywej. Jak znaleźć pion, poziom i asymptoty ukośne grafika funkcyjna?

12. Zarys ogólny schemat badanie funkcji i konstruowanie jej wykresu.

13. Sformułuj regułę znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji w danym przedziale.

Aby go rozwiązać, potrzebujesz minimalnej wiedzy na ten temat. Kończy się następny rok akademicki, każdy chce jechać na wakacje i żeby przybliżyć ten moment przejdę od razu do rzeczy:

Zacznijmy od okolicy. Obszar, o którym mowa w warunku to ograniczony Zamknięte zbiór punktów na płaszczyźnie. Na przykład zbiór punktów ograniczony trójkątem, obejmujący CAŁY trójkąt (jeśli z granice„wybić” chociaż jeden punkt, wtedy region nie będzie już zamknięty). W praktyce zdarzają się również obszary prostokątne, okrągłe i nieco większe. złożone kształty. Warto zaznaczyć, że w teorii Analiza matematyczna podano ścisłe definicje ograniczenia, izolacja, granice itp., ale myślę, że każdy jest świadomy tych koncepcji na poziomie intuicyjnym i teraz nic więcej nie jest potrzebne.

Region płaski jest standardowo oznaczany literą i z reguły jest określany analitycznie - kilkoma równaniami (niekoniecznie liniowy); rzadziej nierówności. Typowe powiedzenie: „obszar zamknięty, ograniczone liniami ».

Integralna część Zadanie polega na skonstruowaniu obszaru na rysunku. Jak to zrobić? Musisz narysować wszystkie wymienione linie (w w tym przypadku 3 prosty) i przeanalizuj, co się stało. Przeszukiwany obszar jest zwykle lekko zacieniony, a jego granica zaznaczona jest grubą linią:


Można również ustawić ten sam obszar nierówności liniowe: , które z jakiegoś powodu są często zapisywane jako lista wyliczeniowa, a nie system.
Ponieważ granica należy do regionu, wówczas oczywiście wszystkie nierówności niedbały.

A teraz istota zadania. Wyobraź sobie, że oś wychodzi prosto od początku w twoją stronę. Rozważmy funkcję, która ciągły w każdym punkt obszaru. Wykres tej funkcji przedstawia niektóre powierzchnia, a małe szczęście jest takie, że aby rozwiązać dzisiejszy problem, nie musimy wiedzieć, jak ta powierzchnia wygląda. Może być umieszczony wyżej, niżej, przecinać płaszczyznę - to wszystko nie ma znaczenia. I ważne jest: wg Twierdzenia Weierstrassa, ciągły V ograniczona, zamknięta obszarze funkcja osiąga największą wartość (najwyższy") i najmniej (Najniższy") wartości, które należy znaleźć. Takie wartości osiąga się Lub V punkty stacjonarne, należący do regionuD , Lub w punktach leżących na granicy tego obszaru. Prowadzi to do prostego i przejrzystego algorytmu rozwiązania:

Przykład 1

W ograniczonym teren zamknięty

Rozwiązanie: Przede wszystkim musisz zobrazować obszar na rysunku. Niestety, technicznie trudno jest mi stworzyć interaktywny model problemu, dlatego od razu przedstawię ostateczną ilustrację, która pokazuje wszystkie „podejrzane” punkty wykryte podczas badań. Zwykle są one wymieniane jeden po drugim w miarę ich odkrycia:

Na podstawie preambuły decyzję można wygodnie podzielić na dwa punkty:

I) Znajdź punkty stacjonarne. Jest to standardowa czynność, którą wielokrotnie wykonywaliśmy na zajęciach. o ekstremach kilku zmiennych:

Znaleziono punkt stacjonarny należy obszary: (zaznacz to na rysunku), co oznacza, że ​​powinniśmy obliczyć wartość funkcji w danym punkcie:

- jak w artykule Największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie, ważne wyniki podkreślę pogrubione. Wygodnie jest prześledzić je w notatniku ołówkiem.

Zwróć uwagę na nasze drugie szczęście - nie ma sensu sprawdzać warunek wystarczający na ekstremum. Dlaczego? Nawet jeśli w pewnym momencie funkcja osiągnie np. minimum lokalne, to NIE OZNACZA, że wynikowa wartość będzie taka minimalny w całym regionie (patrz początek lekcji o bezwarunkowych skrajnościach) .

Co zrobić, jeśli punkt stacjonarny NIE należy do obszaru? Prawie nic! Należy to odnotować i przejść do następnego punktu.

II) Badamy granicę regionu.

Ponieważ obramowanie składa się z boków trójkąta, wygodnie jest podzielić badanie na 3 podrozdziały. Ale w każdym razie lepiej tego nie robić. Z mojego punktu widzenia korzystniej jest najpierw rozważyć odcinki równoległe osie współrzędnych, a przede wszystkim te leżące na samych toporach. Aby ogarnąć całą sekwencję i logikę działań, spróbuj przestudiować zakończenie „jednym tchem”:

1) Zajmijmy się dolną stroną trójkąta. Aby to zrobić, podstaw bezpośrednio do funkcji:

Alternatywnie możesz to zrobić w ten sposób:

Geometrycznie to oznacza płaszczyzna współrzędnych (co jest również dane równaniem)„wyrzeźbia” z powierzchnie parabola „przestrzenna”, której wierzchołek natychmiast staje się podejrzany. Dowiedzmy Się gdzie ona się znajduje:

– wynikowa wartość „wpadła” w obszar i może się okazać, że w tym momencie (zaznaczone na rysunku) funkcja osiąga maksimum lub najniższa wartość w całym regionie. Tak czy inaczej, wykonajmy obliczenia:

Pozostali „kandydaci” to oczywiście końce segmentu. Obliczmy wartości funkcji w punktach (zaznaczone na rysunku):

Nawiasem mówiąc, tutaj możesz przeprowadzić mini-kontrolę ustną, korzystając z „okrojonej” wersji:

2) Do badań prawa strona podstawiamy trójkąt do funkcji i „porządkujemy”:

Tutaj natychmiast przeprowadzimy zgrubną kontrolę, „dzwoniąc” już przetworzonego końca segmentu:
, Świetnie.

Sytuacja geometryczna jest powiązana poprzedni punkt:

– otrzymana wartość również „weszła w zakres naszych zainteresowań”, co oznacza, że ​​musimy obliczyć, jaka funkcja w pojawiającym się punkcie jest równa:

Przyjrzyjmy się drugiemu końcowi segmentu:

Korzystanie z funkcji , przeprowadźmy kontrolę kontrolną:

3) Chyba każdy domyśla się jak zbadać pozostałą stronę. Podstawiamy go do funkcji i przeprowadzamy uproszczenia:

Końce segmentu zostały już zbadane, ale w wersji roboczej nadal sprawdzamy, czy poprawnie znaleźliśmy funkcję :
– zbiegło się z wynikiem akapitu pierwszego;
– zbiegło się z wynikiem z akapitu drugiego.

Pozostaje dowiedzieć się, czy w segmencie jest coś interesującego:

- Jest! Podstawiając prostą do równania otrzymujemy rzędną tej „ciekawości”:

Zaznaczamy punkt na rysunku i znajdujemy odpowiednią wartość funkcji:

Sprawdźmy obliczenia w wersji „budżetowej”. :
, zamówienie.

I ostatni krok: UWAŻNIE przeglądamy wszystkie „pogrubione” liczby, polecam początkującym nawet sporządzenie jednej listy:

z których wybieramy największe i najmniejsze wartości. Odpowiedź Zapiszmy w stylu problem znalezienia największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie:

Na wszelki wypadek skomentuję jeszcze raz znaczenie geometryczne wynik:
- tutaj jest najwięcej wysoka temperatura powierzchnie w okolicy;
- tutaj jest najwięcej niski punkt powierzchnie w okolicy.

W analizowanym zadaniu zidentyfikowaliśmy 7 punktów „podejrzanych”, jednak ich liczba różni się w zależności od zadania. W przypadku obszaru trójkątnego minimalny „zestaw badawczy” składa się z trzy punkty. Dzieje się tak, gdy na przykład funkcja określa samolot– jest całkowicie jasne, że nie ma punktów stacjonarnych, a funkcja może osiągać swoje maksimum/najmniejsze wartości jedynie w wierzchołkach trójkąta. Ale jest tylko jeden lub dwa podobne przykłady - zazwyczaj z niektórymi trzeba sobie poradzić powierzchnia II rzędu.

Jeśli spróbujesz trochę rozwiązać takie zadania, trójkąty mogą przyprawić Cię o zawrót głowy i dlatego przygotowałem dla Ciebie niezwykłe przykładyżeby zrobił się kwadratowy :))

Przykład 2

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na zamkniętym obszarze ograniczonym liniami

Przykład 3

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w ograniczonym obszarze zamkniętym.

Specjalna uwaga Zwróć uwagę na racjonalny porządek i technikę badania granicy regionu, a także na łańcuch kontroli pośrednich, który niemal całkowicie pozwoli uniknąć błędów obliczeniowych. Ogólnie rzecz biorąc, możesz to rozwiązać w dowolny sposób, ale w przypadku niektórych problemów, na przykład w przykładzie 2, istnieje duża szansa, że ​​znacznie utrudnisz sobie życie. Przybliżona próbka dokończenie zadań na koniec lekcji.

Usystematyzujmy algorytm rozwiązania, bo inaczej przy mojej pracowitości pająka jakoś zaginął w długim wątku komentarzy do 1-go przykładu:

– W pierwszym kroku budujemy obszar, warto go zacienić i zaznaczyć granicę pogrubioną linią. Podczas rozwiązywania pojawią się punkty, które należy zaznaczyć na rysunku.

– Znajdź punkty stacjonarne i oblicz wartości funkcji tylko w tych z nich które należą do regionu. Wynikowe wartości podkreślamy w tekście (na przykład zakreślamy je ołówkiem). Jeżeli punkt stacjonarny NIE należy do danego regionu, wówczas zaznaczamy ten fakt ikoną lub słownie. Jeśli punkty stacjonarne wcale, wówczas wyciągamy pisemny wniosek, że ich nie ma. W każdym razie tego punktu nie można pominąć!

– Badamy granicę regionu. Po pierwsze, korzystne jest zrozumienie linii prostych, które są równoległe do osi współrzędnych (jeśli w ogóle jakieś są). Wyróżniamy także wartości funkcji obliczone w „podejrzanych” punktach. Wiele powiedziano powyżej o technice rozwiązania, a poniżej zostanie powiedziane coś innego - czytaj, czytaj jeszcze raz, zagłębiaj się w to!

– Spośród wybranych liczb wybierz największą i najmniejszą wartość i podaj odpowiedź. Czasami zdarza się, że funkcja osiąga takie wartości w kilku punktach jednocześnie - w tym przypadku wszystkie te punkty powinny znaleźć odzwierciedlenie w odpowiedzi. Niech np. i okazało się, że jest to najmniejsza wartość. Potem to zapisujemy

Ostatnie przykłady są dedykowane innym przydatne pomysły co przyda się w praktyce:

Przykład 4

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w obszarze zamkniętym .

Zachowałem sformułowanie autora, w którym pole jest podane w postaci podwójnej nierówności. Warunek ten można zapisać za pomocą równoważnego systemu lub w bardziej tradycyjnej formie dla tego problemu:

Przypominam, że z nieliniowy napotkaliśmy nierówności na, a jeśli nie rozumiesz geometrycznego znaczenia zapisu, to nie zwlekaj i wyjaśnij sytuację już teraz ;-)

Rozwiązanie, jak zawsze, zaczyna się od zbudowania obszaru, który reprezentuje rodzaj „podeszwy”:

Hmm, czasem trzeba przeżuć nie tylko granit nauki...

I) Znajdź punkty stacjonarne:

System to marzenie idioty :)

Do obszaru należy punkt stacjonarny, czyli leży na jego granicy.

No cóż, nie ma problemu… lekcja przebiegła pomyślnie – oto co znaczy pić odpowiednią herbatę =)

II) Badamy granicę regionu. Bez zbędnych ceregieli zacznijmy od osi x:

1) Jeśli , to

Ustalmy, gdzie znajduje się wierzchołek paraboli:
– doceniaj takie momenty – „trafiłeś” aż do momentu, w którym wszystko jest już jasne. Ale nadal nie zapominamy o sprawdzeniu:

Obliczmy wartości funkcji na końcach odcinka:

2) C spód Wyznaczmy „dna” „na jednym posiedzeniu” - podstawiamy je do funkcji bez żadnych kompleksów i będziemy zainteresowani tylko segmentem:

Kontrola:

To już wnosi trochę emocji do monotonnej jazdy po radełkowanym torze. Znajdźmy punkty krytyczne:

Zdecydujmy równanie kwadratowe, pamiętasz coś jeszcze na ten temat? ...Jednak pamiętaj, inaczej nie czytałbyś tych linijek =) Jeśli w dwóch poprzednich przykładach obliczenia w miejsca dziesiętne(co, swoją drogą, jest rzadkie), to czekają nas tutaj zwykłe ułamki zwykłe. Znajdujemy pierwiastki „X” i za pomocą równania określamy odpowiednie współrzędne „gry” punktów „kandydatów”:


Obliczmy wartości funkcji w znalezionych punktach:

Sprawdź działanie samodzielnie.

Teraz dokładnie studiujemy zdobyte trofea i zapisujemy odpowiedź:

To są „kandydaci”, to są „kandydaci”!

Aby rozwiązać ten problem samodzielnie:

Przykład 5

Znajdź najmniejszy i najwyższa wartość Funkcje na zamkniętym terenie

Wpis z nawiasami klamrowymi brzmi następująco: „zbiór punktów taki, że”.

Czasami w podobne przykłady używać Metoda mnożnika Lagrange'a, ale jest mało prawdopodobne, aby istniała realna potrzeba jego użycia. Jeśli więc np. dana jest funkcja o tym samym obszarze „de”, to po podstawieniu do niej – z pochodną od bez trudności; Co więcej, wszystko jest narysowane „w jednej linii” (ze znakami) bez konieczności osobnego rozpatrywania górnego i dolnego półkola. Ale oczywiście jest ich więcej złożone przypadki, gdzie bez funkcji Lagrange'a (gdzie na przykład jest to samo równanie okręgu) Trudno się obejść – tak samo jak trudno obejść się bez dobrego wypoczynku!

Życzę wszystkim miłej zabawy i do zobaczenia wkrótce w przyszłym sezonie!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Proces poszukiwania najmniejszych i największych wartości funkcji na odcinku przypomina fascynujący lot helikopterem wokół obiektu (wykresu funkcji), strzelanie w określone punkty z armaty dalekiego zasięgu i wybieranie bardzo specjalne punkty z tych punktów za strzały kontrolne. Punkty dobierane są w określony sposób i wg pewne zasady. Według jakich zasad? Porozmawiamy o tym dalej.

Jeśli funkcja y = F(X) jest ciągła na przedziale [ A, B] , następnie dociera do tego segmentu najmniej I najwyższe wartości . Może się to zdarzyć zarówno w punkty ekstremalne lub na końcach segmentu. Dlatego znaleźć najmniej I największe wartości funkcji , ciągły na przedziale [ A, B], musisz w sumie obliczyć jego wartości punkt krytyczny i na końcach odcinka, a następnie wybierz z nich najmniejszy i największy.

Załóżmy, że chcesz wyznaczyć największą wartość funkcji F(X) w segmencie [ A, B] . Aby to zrobić, musisz znaleźć wszystkie jego punkty krytyczne leżące na [ A, B] .

Punkt krytyczny zwany punktem, w którym zdefiniowana funkcja, i jej pochodna albo równa zeru, albo nie istnieje. Następnie należy obliczyć wartości funkcji w punktach krytycznych. I na koniec należy porównać wartości funkcji w punktach krytycznych i na końcach odcinka ( F(A) I F(B)). Największa z tych liczb będzie największa wartość funkcji w segmencie [A, B] .

Problemy ze znalezieniem najmniejsze wartości funkcji .

Szukamy wspólnie najmniejszych i największych wartości funkcji

Przykład 1. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 2] .

Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji. Przyrównajmy pochodną do zera () i uzyskajmy dwa punkty krytyczne: i . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, wystarczy obliczyć jej wartości na końcach odcinka i w punkcie, ponieważ punkt nie należy do odcinka [-1, 2]. Te wartości funkcji to: , , . Wynika, że najmniejsza wartość funkcji(zaznaczone na czerwono na poniższym wykresie), równe -7, osiąga się na prawym końcu odcinka – w punkcie , oraz największy(również czerwony na wykresie) wynosi 9, - w punkcie krytycznym.

Jeżeli funkcja jest ciągła w pewnym przedziale i przedział ten nie jest segmentem (ale jest np. przedziałem; różnica między przedziałem a odcinkiem: punkty graniczne przedziału nie są wliczane do przedziału, ale punkty graniczne odcinka wchodzą w skład odcinka), to wśród wartości funkcji może nie być najmniejszej i największej. Zatem np. funkcja pokazana na poniższym rysunku jest ciągła w zakresie ]-∞, +∞[ i nie ma największej wartości.

Jednakże dla dowolnego przedziału (zamkniętego, otwartego lub nieskończonego) prawdziwa jest następująca właściwość funkcji ciągłych.

Przykład 4. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie [-1, 3] .

Rozwiązanie. Pochodną tej funkcji znajdujemy jako pochodną ilorazu:

.

Przyrównujemy pochodną do zera, co daje nam jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu [-1, 3] . Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Porównajmy te wartości. Wniosek: równy -5/13, w punkcie i najwyższa wartość równy 1 w punkcie .

Nadal wspólnie szukamy najmniejszych i największych wartości funkcji

Są nauczyciele, którzy na temat znajdowania najmniejszych i największych wartości funkcji nie dają uczniom do rozwiązania przykładów bardziej złożonych niż te właśnie omówione, czyli takich, w których funkcja jest wielomianem lub ułamek, którego licznik i mianownik są wielomianami. Ale nie będziemy ograniczać się do takich przykładów, ponieważ wśród nauczycieli są tacy, którzy lubią zmuszać uczniów do pełnego myślenia (tabela derywatów). Dlatego użyte zostaną logarytm i funkcja trygonometryczna.

Przykład 6. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .

Rozwiązanie. Znajdujemy pochodną tej funkcji jako pochodna produktu :

Przyrównujemy pochodną do zera, co daje jeden punkt krytyczny: . Należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Wynik wszystkich działań: funkcja osiąga wartość minimalną, równy 0, w punkcie i w punkcie i najwyższa wartość, równy mi², w punkcie.

Przykład 7. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na segmencie .

Rozwiązanie. Znajdź pochodną tej funkcji:

Przyrównujemy pochodną do zera:

Jedyny punkt krytyczny należy do segmentu. Aby znaleźć najmniejsze i największe wartości funkcji na danym odcinku, znajdujemy jej wartości na końcach odcinka oraz w znalezionym punkcie krytycznym:

Wniosek: funkcja osiąga wartość minimalną, równe , w punkcie i najwyższa wartość, równy , w punkcie .

W stosowanych problemach ekstremalnych znalezienie najmniejszych (maksymalnych) wartości funkcji z reguły sprowadza się do znalezienia minimum (maksimum). Ale to nie same minima i maksima są bardziej interesujące w praktyce, ale wartości argumentu, przy których są osiągane. Powstaje przy rozwiązywaniu stosowanych problemów dodatkowa trudność- zestawienie funkcji opisujących rozpatrywane zjawisko lub proces.

Przykład 8. Zbiornik o pojemności 4, mający kształt równoległościanu podstawa kwadratowa i otwórz od góry, musisz go ocynować. Jakie powinien mieć wymiary zbiornik aby zmieścił się najmniejsza ilość materiał?

Rozwiązanie. Pozwalać X- strona podstawy, H- wysokość zbiornika, S- jego powierzchnia bez osłony, V- jego objętość. Powierzchnię zbiornika wyraża się wzorem tj. jest funkcją dwóch zmiennych. Wyrazić S jako funkcję jednej zmiennej używamy faktu, że , skąd . Podstawianie znalezionego wyrażenia H do wzoru na S:

Zbadajmy tę funkcję aż do jej ekstremum. Jest zdefiniowany i różniczkowalny wszędzie w ]0, +∞[ i

.

Przyrównujemy pochodną do zera () i znajdujemy punkt krytyczny. Dodatkowo, gdy pochodna nie istnieje, ale wartość ta nie wchodzi w zakres definicji i dlatego nie może być punktem ekstremalnym. Jest to więc jedyny krytyczny punkt. Sprawdźmy to pod kątem obecności ekstremum, korzystając z drugiego znaku wystarczającego. Znajdźmy drugą pochodną. Gdy druga pochodna jest większa od zera (). Oznacza to, że gdy funkcja osiągnie minimum . Od tego minimum jest jedynym ekstremum tej funkcji, jest to jej najmniejsza wartość. Zatem bok podstawy zbiornika powinien wynosić 2 m, a jego wysokość powinna wynosić .

Przykład 9. Z punktu A zlokalizowanej na linii kolejowej, do p Z, położony w pewnej odległości od niego l, ładunek musi zostać przetransportowany. Koszt transportu jednostki masy na jednostkę odległości koleją jest równy , a autostradą równy . Do jakiego momentu M linie kolej żelazna należy zbudować autostradę, z której będzie można transportować ładunki A V Z był najbardziej ekonomiczny (sekcja AB zakłada się, że linia kolejowa jest prosta)?

Standardowy algorytm rozwiązywania takich problemów polega po znalezieniu zer funkcji na wyznaczeniu znaków pochodnej na przedziałach. Następnie obliczenie wartości w znalezionych punktach maksymalnych (lub minimalnych) i na granicy przedziału, w zależności od tego, jakie pytanie znajduje się w warunku.

Radzę ci zrobić wszystko trochę inaczej. Dlaczego? Pisałem o tym.

Sugeruję rozwiązanie takich problemów w następujący sposób:

1. Znajdź pochodną.
2. Znajdź zera pochodnej.
3. Określ, które z nich należą ten interwał.
4. Obliczamy wartości funkcji na granicach przedziału i punktach kroku 3.
5. Wyciągamy wniosek (odpowiadamy na zadane pytanie).

Przy rozwiązywaniu przedstawionych przykładów rozwiązanie nie było szczegółowo rozważane równania kwadratowe, musisz być w stanie to zrobić. Oni też powinni wiedzieć.

Spójrzmy na przykłady:

77422. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 –3x+4 na odcinku [–2;0].

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = –1 należy do przedziału określonego w warunku.

Obliczamy wartości funkcji w punktach –2, –1 i 0:

Największą wartością funkcji jest 6.

Odpowiedź: 6

77425. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 3x 2 + 2 na odcinku.

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Punkt x = 2 należy do przedziału określonego w warunku.

Obliczamy wartości funkcji w punktach 1, 2 i 4:

Najmniejsza wartość funkcji to –2.

Odpowiedź: –2

77426. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 – 6x 2 na odcinku [–3;3].

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej:

Przedział określony w warunku zawiera punkt x = 0.

Obliczamy wartości funkcji w punktach –3, 0 i 3:

Najmniejsza wartość funkcji wynosi 0.

Odpowiedź: 0

77429. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – 2x 2 + x +3 na odcinku.

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Otrzymujemy pierwiastki: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Przedział określony w warunku zawiera tylko x = 1.

Znajdźmy wartości funkcji w punktach 1 i 4:

Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji wynosi 3.

Odpowiedź: 3

77430. Znajdź największą wartość funkcji y = x 3 + 2x 2 + x + 3 na odcinku [– 4; -1].

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Zdobądźmy korzenie:

Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = –1.

Wartości funkcji znajdujemy w punktach –4, –1, –1/3 i 1:

Ustaliliśmy, że największą wartością funkcji jest 3.

Odpowiedź: 3

77433. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y = x 3 – x 2 – 40x +3 na odcinku.

Znajdźmy pochodną danej funkcji:

Znajdźmy zera pochodnej i rozwiążmy równanie kwadratowe:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Zdobądźmy korzenie:

Przedział określony w warunku zawiera pierwiastek x = 4.

Znajdź wartości funkcji w punktach 0 i 4:

Ustaliliśmy, że najmniejsza wartość funkcji to –109.

Odpowiedź: –109

Rozważmy sposób określenia największych i najmniejszych wartości funkcji bez pochodnej. Jeśli tak, możesz zastosować to podejście duże problemy. Zasada jest prosta – podstawiamy do funkcji wszystkie wartości całkowite z przedziału (fakt jest taki, że we wszystkich takich prototypach odpowiedzią jest liczba całkowita).

77437. Znajdź najmniejszą wartość funkcji y=7+12x–x 3 na odcinku [–2;2].

Zastąp punkty od –2 do 2: Zobacz rozwiązanie

77434. Znajdź największą wartość funkcji y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 na odcinku [–2;0].

To wszystko. Powodzenia!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Często w fizyce i matematyce wymagane jest znalezienie najmniejszej wartości funkcji. Teraz powiemy Ci, jak to zrobić.

Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji: instrukcje

1. Aby obliczyć najmniejszą wartość funkcja ciągła na danym segmencie należy postępować według następującego algorytmu:
2. Znajdź pochodną funkcji.
3. Znajdź na danym odcinku punkty, w których pochodna jest równa zeru, a także wszystkie punkty krytyczne. Następnie znajdź wartości funkcji w tych punktach, to znaczy rozwiąż równanie, w którym x jest równe zero. Dowiedz się, która wartość jest najmniejsza.
4. Określ jaką wartość ma ta funkcja punkty końcowe. Wyznacz najmniejszą wartość funkcji w tych punktach.
5. Porównaj uzyskane dane z najniższą wartością. Mniejsza z otrzymanych liczb będzie najmniejszą wartością funkcji.

Należy pamiętać, że jeśli funkcja w segmencie nie ma najmniejsze punkty, oznacza to, że w danym segmencie rośnie lub maleje. Zatem najmniejszą wartość należy obliczyć na skończonych odcinkach funkcji.

We wszystkich pozostałych przypadkach wartość funkcji obliczana jest według określonego algorytmu. W każdym punkcie algorytmu będziesz musiał rozwiązać proste zadanie równanie liniowe z jednym korzeniem. Aby uniknąć błędów, rozwiąż równanie za pomocą obrazka.

Jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji w segmencie półotwartym? W okresie półotwartym lub otwartym funkcji najmniejszą wartość należy znaleźć w następujący sposób. W punktach końcowych wartości funkcji oblicz jednostronną granicę funkcji. Inaczej mówiąc, rozwiąż równanie, w którym punkty tendencji są dane przez wartości a+0 i b+0, gdzie a i b to nazwy punkt krytyczny.

Teraz wiesz, jak znaleźć najmniejszą wartość funkcji. Najważniejsze jest, aby wszystkie obliczenia wykonać poprawnie, dokładnie i bez błędów.