Przedziały numeryczne obejmują półproste, odcinki, odstępy i półprzedziały.
Rodzaje przedziałów numerycznych
| Nazwa | Obraz | Nierówność | Przeznaczenie |
|---|---|---|---|
| Otwarta belka | X > A | (A; +∞) | |
| X < A | (-∞; A) | ||
| Zamknięta belka | X ⩾ A | [A; +∞) | |
| X ⩽ A | (-∞; A] | ||
| Odcinek | A ⩽ X ⩽ B | [A; B] | |
| Interwał | A < X < B | (A; B) | |
| Połowa przerwy | A < X ⩽ B | (A; B] | |
| A ⩽ X < B | [A; B) |
Na stole A I B są punktami granicznymi, oraz X- zmienna, która może przyjąć współrzędną dowolnego punktu należącego do przedziału liczbowego.
Punkt graniczny- jest to punkt wyznaczający granicę przedziału liczbowego. Punkt graniczny może należeć do przedziału liczbowego lub nie. Na rysunkach punkty graniczne, które nie należą do rozpatrywanego przedziału liczbowego, oznaczono otwartym okręgiem, a te, które do nich należą, oznaczono wypełnionym okręgiem.
Belka otwarta i zamknięta
Otwarta belka to zbiór punktów na linii leżącej po jednej stronie punktu granicznego, który nie jest zawarty w tym zbiorze. Promień nazywa się otwartym właśnie ze względu na punkt graniczny, który do niego nie należy.
Rozważmy zbiór punktów na linii współrzędnych, które mają współrzędną większą niż 2, a zatem znajdują się na prawo od punktu 2:
Zbiór taki można zdefiniować poprzez nierówność X> 2. Promienie otwarte oznacza się w nawiasach - (2; +∞), zapis ten brzmi następująco: otwarty promień numeryczny od dwóch do plus nieskończoność.
Zbiór, któremu odpowiada nierówność X < 2, можно обозначить (-∞; 2) или изобразить в виде луча, все точки которого лежат с левой стороны от точки 2:
Zamknięta belka to zbiór punktów na prostej leżącej po jednej stronie punktu granicznego należącego do danego zbioru. Na rysunkach punkty graniczne należące do rozpatrywanego zbioru zaznaczono wypełnionym okręgiem.
Promienie o liczbach zamkniętych są definiowane przez nieścisłe nierówności. Na przykład nierówności X 2 i X 2 można przedstawić w następujący sposób:
Te promienie zamknięte oznacza się następująco: , czyta się to następująco: promień numeryczny od dwa do plus nieskończoność i promień numeryczny od minus nieskończoność do dwa. Nawias kwadratowy w zapisie wskazuje, że punkt 2 należy do przedziału liczbowego.
Odcinek
Odcinek to zbiór punktów na linii leżącej pomiędzy dwoma punktami granicznymi należącymi do danego zbioru. Zbiory takie definiowane są przez podwójne nieścisłe nierówności.
Rozważmy odcinek linii współrzędnych, którego końce znajdują się w punktach -2 i 3:
Zbiór punktów tworzących dany odcinek można określić za pomocą podwójnej nierówności -2 X 3 lub wyznaczyć [-2; 3] taki zapis brzmi następująco: odcinek od minus dwa do trzech.
Interwał i półinterwał
Interwał- jest to zbiór punktów na prostej leżącej pomiędzy dwoma punktami granicznymi, które nie należą do tego zbioru. Zbiory takie definiowane są przez podwójnie ścisłe nierówności.
Rozważmy odcinek linii współrzędnych, którego końce znajdują się w punktach -2 i 3:
Zbiór punktów tworzących dany przedział można określić za pomocą podwójnej nierówności -2< X < 3 или обозначить (-2; 3), такая запись читается так: интервал от минус двух до трёх.
Połowa przerwy to zbiór punktów na linii leżącej pomiędzy dwoma punktami granicznymi, z których jeden należy do zbioru, a drugi nie. Takie zbiory definiują podwójne nierówności:
Te półprzedziały są oznaczone następująco: (-2; 3] i [-2; 3), czyta się to w następujący sposób: półprzedział od minus dwa do trzech, w tym 3, i półprzedział od minus dwa do trzech , w tym minus dwa.
Przedział numeryczny
Interwał, otwarta rozpiętość, interwał- zbiór punktów na osi liczbowej pomiędzy dwiema podanymi liczbami A I B, czyli zbiór liczb X, spełniający warunek: A < X < B . Przedział nie obejmuje końcówek i jest oznaczony przez ( A,B) (Czasami ] A,B[ ), w przeciwieństwie do segmentu [ A,B] (przedział zamknięty), obejmujący końce, czyli składające się z punktów.
W nagraniu ( A,B), liczby A I B nazywane są końcami przedziału. Przedział obejmuje wszystkie liczby rzeczywiste, przedział obejmuje wszystkie liczby mniejsze A i odstęp - wszystkie liczby są duże A .
Termin interwał używane w skomplikowanych terminach:
- po integracji - przedział całkowania,
- przy wyjaśnianiu pierwiastków równania - rozpiętość izolacji
- przy wyznaczaniu zbieżności szeregów potęgowych - przedział zbieżności szeregów potęgowych.
Nawiasem mówiąc, w języku angielskim słowo interwał zwany segmentem. Aby oznaczyć pojęcie interwału, używa się tego terminu przerwa otwarta.
Literatura
- Wygodski M. Ya. Podręcznik wyższej matematyki. M.: „Astrel”, „AST”, 2002
Zobacz też
Spinki do mankietów
Fundacja Wikimedia. 2010.
Zobacz, co oznacza „Przedział liczbowy” w innych słownikach:
z łac. interwałlum interwał, odległość: W muzyce: Interwał to stosunek wysokości dwóch tonów; stosunek częstotliwości dźwiękowych tych tonów. W matematyce: Przedział (geometria) to zbiór punktów na linii zawartej między punktami A i B, ... ... Wikipedia
< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Przedział, przedział otwarty, przedział to zbiór punktów na osi liczbowej zawartych pomiędzy dwiema danymi liczbami a i b, czyli zbiór liczb x spełniających warunek: a< x < b. Промежуток не включает концов и обозначается (a,b)… … Википедия
Przedział, a dokładniej przedział osi liczbowej, to zbiór liczb rzeczywistych, który ma tę właściwość, że wraz z dwoma dowolnymi liczbami zawiera dowolną liczbę leżącą pomiędzy nimi. Używając symboli logicznych, ta definicja... ... Wikipedia
Przypomnijmy definicje niektórych podstawowych podzbiorów liczb rzeczywistych. Jeśli, to zbiór nazywa się odcinkiem rozszerzonej osi liczbowej R i jest oznaczony przez, to znaczy w przypadku odcinka ... Wikipedia
Sekwencja Sekwencja liczb to ciąg elementów w przestrzeni liczbowej. Liczby liczbowe... Wikipedia
MIKROSKOP- (z greckiego mikros small i skopeo patrzę), przyrząd optyczny do badania małych obiektów, które nie są bezpośrednio widoczne gołym okiem. Istnieją proste mikroskopy, czyli szkła powiększające, i złożone mikroskopy, czyli mikroskopy we właściwym znaczeniu tego słowa. Szkło powiększające... ... Wielka encyklopedia medyczna
GOST R 53187-2008: Akustyka. Monitoring hałasu obszarów miejskich- Terminologia GOST R 53187 2008: Akustyka. Monitoring hałasu obszarów miejskich dokument oryginalny: 1 Szacunkowy dzienny poziom dźwięku. 2 Szacunkowy maksymalny poziom dźwięku wieczorem. 3 Szacunkowy poziom ciśnienia akustycznego w nocy... Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej
Segment można nazwać jednym z dwóch powiązanych ze sobą pojęć w geometrii i analizie matematycznej. Segment to zbiór punktów, do… Wikipedii
Współczynnik korelacji- (Współczynnik korelacji) Współczynnik korelacji jest statystycznym wskaźnikiem zależności dwóch zmiennych losowych.Definicja współczynnika korelacji, rodzaje współczynników korelacji, właściwości współczynnika korelacji, obliczanie i zastosowanie... ... Encyklopedia inwestorów
Odpowiedź - Zbiór (-∞;+∞) nazywany jest osią liczbową, a dowolna liczba jest punktem na tej osi. Niech a będzie dowolnym punktem na osi liczbowej oraz δ
Liczba dodatnia. Przedział (a-δ; a+δ) nazywany jest δ-sąsiedztwem punktu a.
Zbiór X jest ograniczony od góry (od dołu), jeśli istnieje liczba c taka, że dla dowolnego x ∈ X zachodzi nierówność x≤с (x≥c). Liczba c w tym przypadku nazywana jest górną (dolną) granicą zbioru X. Zbiór ograniczony zarówno powyżej, jak i poniżej nazywa się ograniczonym. Najmniejsza (największa) z górnych (dolnych) granic zbioru nazywana jest dokładną górną (dolną) granicą tego zbioru.
Przedział liczbowy to spójny zbiór liczb rzeczywistych, to znaczy taki, że jeśli do tego zbioru należą 2 liczby, to wszystkie liczby między nimi również należą do tego zbioru. Istnieje kilka różnych typów niepustych przedziałów liczbowych: linia, półprosta, półprosta zamknięta, odcinek, półprzedział, przedział
Numer linii
Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nazywany jest także osią liczbową. Piszą.
W praktyce nie ma potrzeby rozróżniania pojęcia współrzędnej czy osi liczbowej w sensie geometrycznym od wprowadzonego tą definicją pojęcia osi liczbowej. Dlatego te różne pojęcia są oznaczone tym samym terminem.
Otwarta belka
Zbiór liczb nazywany promieniem liczb otwartych. Piszą 
lub odpowiednio: 
.
Zamknięta belka
Zbiór liczb nazywany zamkniętą osią liczbową. Piszą 
lub odpowiednio:.
Zbiór liczb nazywany jest segmentem liczbowym.
Komentarz. Definicja tego nie określa. Zakłada się, że przypadek jest możliwy. Następnie przedział liczbowy zamienia się w punkt.
Interwał
Zbiór liczb nazywany przedziałem liczbowym.
Komentarz. Zbieżność oznaczeń belki otwartej, linii prostej i odstępu nie jest przypadkowa. Promień otwarty można rozumieć jako przedział, którego jeden koniec jest przesunięty do nieskończoności, a oś liczbową - jako przedział, którego oba końce są przesunięte do nieskończoności.
Połowa przerwy
Zbiór takich liczb nazywany jest liczbowym półprzedziałem.
Piszą lub odpowiednio
3.Funkcja.Wykres funkcji. Metody określania funkcji.
Odpowiedź - Jeżeli podane są dwie zmienne x i y, to mówimy, że zmienna y jest funkcją zmiennej x, jeśli między tymi zmiennymi jest taka zależność, która pozwala, aby każda wartość jednoznacznie określiła wartość y.
Zapis F = y(x) oznacza, że rozważana jest funkcja, która pozwala dowolnej wartości zmiennej niezależnej x (spośród tych, które ogólnie może przyjąć argument x) znaleźć odpowiadającą wartość zmiennej zależnej y.
Metody określania funkcji.
Funkcję można określić za pomocą wzoru, na przykład:
y = 3x2 – 2.
Funkcję można określić za pomocą wykresu. Za pomocą wykresu można określić, która wartość funkcji odpowiada określonej wartości argumentu. Jest to zazwyczaj przybliżona wartość funkcji.
4.Podstawowe cechy funkcji: monotoniczność, parzystość, okresowość.
Odpowiedź - Definicja okresowości. Funkcję f nazywamy okresową, jeżeli istnieje taka liczba 
, że f(x+ 
)=f(x), dla wszystkich x 
D(f). Naturalnie istnieje niezliczona ilość takich liczb. Najmniejsza liczba dodatnia ^ T nazywana jest okresem funkcji. Przykłady. A. y = cos x, T = 2 
. V. y = tg x, T = 
. S. y = (x), T = 1. D. y = 
, funkcja ta nie jest okresowa. Definicja parytetu. Funkcja f jest wywoływana nawet wtedy, gdy właściwość f(-x) = f(x) obowiązuje dla wszystkich x w D(f). Jeśli f(-x) = -f(x), to funkcję nazywamy nieparzystą. Jeżeli żadna ze wskazanych zależności nie jest spełniona, wówczas funkcję nazywamy funkcją ogólną. Przykłady. A. y = cos (x) - parzysty; V. y = tg (x) - nieparzyste; S. y = (x); y=sin(x+1) – funkcje w postaci ogólnej. Definicja monotonia. Funkcję f: X -> R nazywamy rosnącą (malejącą), jeśli istnieje 
warunek jest spełniony: 
Definicja. Funkcję X -> R nazywamy monotoniczną na X, jeśli rośnie lub maleje na X. Jeśli f jest monotoniczne w niektórych podzbiorach X, wówczas nazywa się to monotonią fragmentaryczną. Przykład. y = cos x - funkcja odcinkowo monotoniczna.
B) Oś liczbowa
Rozważ oś liczbową (ryc. 6):
Rozważmy zbiór liczb wymiernych
Każda liczba wymierna jest reprezentowana przez określony punkt na osi liczb. Tak więc liczby są zaznaczone na rysunku.
Udowodnijmy to.
Dowód. Niech będzie ułamek: . Mamy prawo uważać ten ułamek za nieredukowalny. Ponieważ , to - liczba jest parzysta: - nieparzysta. Zastępując jego wyrażenie, znajdujemy: , co oznacza, że jest to liczba parzysta. Otrzymaliśmy sprzeczność potwierdzającą twierdzenie.
Zatem nie wszystkie punkty na osi liczb reprezentują liczby wymierne. Te punkty, które nie reprezentują liczb wymiernych, reprezentują liczby zwane irracjonalny.
Dowolna liczba w postaci , jest albo liczbą całkowitą, albo liczbą niewymierną.
Przedziały numeryczne
Odcinki numeryczne, odstępy, półprzedziały i półproste nazywane są przedziałami numerycznymi.
| Nierówność określająca przedział liczbowy | Wyznaczanie przedziału liczbowego | Nazwa przedziału liczbowego | Brzmi to tak: |
| za ≤ x ≤ b | [A; B] | Odcinek numeryczny | Odcinek od a do b |
| A< x < b | (A; B) | Interwał | Przerwa od a do b |
| a ≤ x< b | [A; B) | Połowa przerwy | Połowa przerwy od A zanim B, w tym A. |
| A< x ≤ b | (A; B] | Połowa przerwy | Połowa przerwy od A zanim B, w tym B. |
| x ≥ a | [A; +∞) | Promień numeryczny | Numer wiązki od A aż do plus nieskończoności |
| x>a | (A; +∞) | Otwórz wiązkę liczbową | Otwórz wiązkę numeryczną z A aż do plus nieskończoności |
| x ≤ a | (- ∞; A] | Promień numeryczny | Promień liczbowy od minus nieskończoności do A |
| X< a | (- ∞; A) | Otwórz wiązkę liczbową | Otwórz promień liczbowy od minus nieskończoności do A |
Przedstawmy liczby na osi współrzędnych A I B, a także numer X między nimi.
Zbiór wszystkich liczb spełniających warunek za ≤ x ≤ b, zwany odcinek numeryczny Lub tylko odcinek. Jest on oznaczony następująco: [ A; B] - Brzmi to tak: odcinek od a do b.
Zbiór liczb spełniających warunek A< x < b , zwany interwał. Jest on oznaczony następująco: ( A; B)
Brzmi to tak: odstęp od a do b.
Zbiory liczb spełniające warunki a ≤ x< b или A<x ≤ b, są nazywane półprzerwy. Oznaczenia:
Ustaw a ≤ x< b обозначается так:[A; B), brzmi następująco: połowa interwału od A zanim B, w tym A.
Pęczek A<x ≤ b jest oznaczony następująco:( A; B] brzmi następująco: połowa interwału od A zanim B, w tym B.
Teraz wyobraźmy sobie Promień z kropką A, po prawej i lewej stronie którego znajduje się zbiór liczb.
A, spełniający warunek x ≥ a, zwany wiązka numeryczna.
Jest on oznaczony następująco: [ A; +∞)-Czyta się tak: promień numeryczny z A do plus nieskończoności.
Zestaw liczb po prawej stronie punktu A, co odpowiada nierówności x>a, zwany otwarta wiązka numeryczna.
Jest on oznaczony następująco: ( A; +∞)-Czyta się tak: otwarty promień numeryczny z A do plus nieskończoności.
A, spełniający warunek x ≤ a, zwany Promień numeryczny od minus nieskończoności doA .
Jest on oznaczony następująco:( - ∞; A]-Czyta się tak: promień numeryczny od minus nieskończoności do A.
Zestaw liczb po lewej stronie punktu A, co odpowiada nierówności X< a , zwany otwarty promień liczbowy od minus nieskończoności doA .
Jest on oznaczony następująco: ( - ∞; A)-Czyta się tak: otwarty promień liczbowy od minus nieskończoności do A.
Zbiór liczb rzeczywistych jest reprezentowany przez całą linię współrzędnych. Jest on nazywany Numer linii. Jest on oznaczony następująco: ( - ∞; + ∞ )
3) Równania i nierówności liniowe z jedną zmienną, ich rozwiązania:
Równanie zawierające zmienną nazywa się równaniem z jedną zmienną lub równaniem z jedną niewiadomą. Na przykład równanie z jedną zmienną to 3(2x+7)=4x-1.
Pierwiastkiem lub rozwiązaniem równania jest wartość zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwą równością liczbową. Na przykład liczba 1 jest rozwiązaniem równania 2x+5=8x-1. Równanie x2+1=0 nie ma rozwiązania, ponieważ lewa strona równania jest zawsze większa od zera. Równanie (x+3)(x-4) =0 ma dwa pierwiastki: x1= -3, x2=4.
Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że pierwiastków nie ma.
Równania nazywamy równoważnymi, jeśli wszystkie pierwiastki pierwszego równania są pierwiastkami drugiego równania i odwrotnie, wszystkie pierwiastki drugiego równania są pierwiastkami pierwszego równania lub jeśli oba równania nie mają pierwiastków. Na przykład równania x-8=2 i x+10=20 są równoważne, ponieważ pierwiastek pierwszego równania x=10 jest także pierwiastkiem drugiego równania, a oba równania mają ten sam pierwiastek.
Podczas rozwiązywania równań wykorzystywane są następujące właściwości:
Jeśli przeniesiemy wyraz w równaniu z jednej części do drugiej, zmieniając jego znak, otrzymamy równanie równoważne danemu.
Jeżeli obie strony równania pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę różną od zera, otrzymamy równanie równoważne podanemu.
Równanie ax=b, gdzie x jest zmienną, a aib to liczby, nazywa się równaniem liniowym z jedną zmienną.
Jeżeli a¹0, to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie.
Jeżeli a=0, b=0, to równanie spełnia dowolna wartość x.
Jeśli a=0, b¹0, to równanie nie ma rozwiązań, ponieważ 0x=b nie jest wykonywane dla żadnej wartości zmiennej.
Przykład 1. Rozwiąż równanie: -8(11-2x)+40=3(5x-4)
Otwórzmy nawiasy po obu stronach równania, przesuńmy wszystkie wyrazy z x na lewą stronę równania, a wyrazy niezawierające x na prawą stronę, otrzymamy:
16x-15x=88-40-12
Przykład 2. Rozwiąż równania:
x3-2x2-98x+18=0;
Równania te nie są liniowe, ale pokażemy, jak można je rozwiązać.
3x2-5x=0; x(3x-5)=0. Iloczyn jest równy zero, jeśli jeden z czynników jest równy zero, otrzymujemy x1=0; x2= .
Odpowiedź: 0; .
Uwzględnij lewą stronę równania:
x2(x-2)-9(x-2)=(x-2)(x2-9)=(x-2)(x-3)(x-3), tj. (x-2)(x-3)(x+3)=0. To pokazuje, że rozwiązaniami tego równania są liczby x1=2, x2=3, x3=-3.
c) Wyobraź sobie 7x jako 3x+4x, wtedy mamy: x2+3x+4x+12=0, x(x+3)+4(x+3)=0, (x+3)(x+4)= 0, stąd x1=-3, x2=-4.
Odpowiedź: -3; - 4.
Przykład 3. Rozwiąż równanie: ½x+1ç+½x-1ç=3.
Przypomnijmy definicję modułu liczby: 
Na przykład: ½3½=3, ½0½=0, ½- 4½= 4.
W tym równaniu pod znakiem modułu znajdują się liczby x-1 i x+1. Jeśli x jest mniejsze niż –1, to liczba x+1 jest ujemna, wtedy ½x+1½=-x-1. A jeśli x>-1, to ½x+1½=x+1. Przy x=-1 ½x+1½=0.
Zatem, 
Podobnie
a) Rozważmy równanie½x+1½+½x-1½=3 dla x £-1, jest ono równoważne równaniu -x-1-x+1=3, -2x=3, x=, liczba ta należy do zbioru x £-1.
b) Niech -1< х £ 1, тогда данное уравнение равносильно уравнению х+1-х+1=3, 2¹3 уравнение не имеет решения на данном множестве.
c) Rozważmy przypadek x>1.
x+1+x-1=3, 2x=3, x= . Liczba ta należy do zbioru x>1.
Odpowiedź: x1=-1,5; x2=1,5.
Przykład 4. Rozwiąż równanie:½x+2½+3½x½=2½x-1½.
Przedstawmy krótki zapis rozwiązania równania, ujawniając znak modułu „po przedziałach”.
x £-2, -(x+2)-3x=-2(x-1), - 4x=4, x=-2О(-¥; -2]
–2<х£0, х+2-3х=-2(х-1), 0=0, хÎ(-2; 0]
0<х£1, х+2+3х=-2(х-1), 6х=0, х=0Ï(0; 1]
x>1, x+2+3x=2(x-1), 2x=- 4, x=-2П(1; +¥)
Odpowiedź: [-2; 0]
Przykład 5. Rozwiąż równanie: (a-1)(a+1)x=(a-1)(a+2), dla wszystkich wartości parametru a.
W tym równaniu są właściwie dwie zmienne, ale przyjmijmy, że x jest niewiadomą, a a parametrem. Należy rozwiązać równanie na zmienną x dla dowolnej wartości parametru a.
Jeżeli a=1, to równanie ma postać 0×x=0, dowolna liczba spełnia to równanie.
Jeśli a=-1, to równanie wygląda jak 0×x=-2; żadna liczba nie spełnia tego równania.
Jeśli a¹1, a¹-1, to równanie ma jednoznaczne rozwiązanie.
Odpowiedź: jeśli a=1, to x jest dowolną liczbą;
jeśli a=-1, to nie ma rozwiązań;
jeśli a¹±1, to .
B) Nierówności liniowe z jedną zmienną.
Jeśli zmiennej x zostanie podana jakakolwiek wartość liczbowa, wówczas otrzymamy nierówność liczbową wyrażającą stwierdzenie prawdziwe lub fałszywe. Niech będzie podana np. nierówność 5x-1>3x+2. Dla x=2 otrzymujemy 5·2-1>3·2+2 – stwierdzenie prawdziwe (prawdziwe stwierdzenie liczbowe); dla x=0 otrzymujemy 5·0-1>3·0+2 – stwierdzenie fałszywe. Rozwiązaniem nierówności nazywa się każdą wartość zmiennej, przy której dana nierówność ze zmienną zamienia się w prawdziwą nierówność liczbową. Rozwiązanie nierówności ze zmienną oznacza znalezienie zbioru wszystkich jej rozwiązań.
Mówi się, że dwie nierówności z tą samą zmienną x są równoważne, jeśli zbiory rozwiązań tych nierówności są zbieżne.
Główna idea rozwiązania nierówności jest następująca: podaną nierówność zastępujemy inną, prostszą, ale równoważną podanej; ponownie zastępujemy powstałą nierówność prostszą nierównością jej równoważną itp.
Zamienników takich dokonuje się na podstawie poniższych stwierdzeń.
Twierdzenie 1. Jeżeli dowolny wyraz nierówności z jedną zmienną przeniesiemy z jednej części nierówności do drugiej o przeciwnym znaku, pozostawiając znak nierówności niezmieniony, to otrzymamy nierówność równoważną podanej.
Twierdzenie 2. Jeśli obie strony nierówności z jedną zmienną pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią, pozostawiając znak nierówności niezmieniony, to otrzymamy nierówność równoważną podanej.
Twierdzenie 3. Jeżeli obie strony nierówności z jedną zmienną pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną, zmieniając znak nierówności na przeciwny, otrzymamy nierówność równoważną podanej.
Nierówność postaci ax+b>0 nazywa się liniową (odpowiednio ax+b<0, ax+b³0, ax+b£0), где а и b – действительные числа, причем а¹0. Решение этих неравенств основано на трех теоремах равносильности изложенных выше.
Przykład 1. Rozwiąż nierówność: 2(x-3)+5(1-x)³3(2x-5).
Otwierając nawiasy otrzymujemy 2x-6+5-5x36x-15,
Przedziały numeryczne. Kontekst. Definicja
Równość (równanie) ma jeden punkt na osi liczbowej (chociaż punkt ten zależy od dokonanych przekształceń i wybranego pierwiastka). Rozwiązaniem samego równania będzie zbiór liczbowy (czasami składający się z pojedynczej liczby). Wszystko to jednak na osi liczbowej (wizualizacja zbioru liczb rzeczywistych) zostanie wyświetlone tylko punktowo, ale zdarzają się też bardziej uogólnione typy zależności między dwiema liczbami - nierówności. W nich oś liczbowa jest podzielona przez określoną liczbę i odcięta jest od niej pewna część - wartości wyrażenia lub przedziału liczbowego.
Logiczne jest omawianie tematu przedziałów liczbowych łącznie z nierównościami, ale nie oznacza to, że jest on związany tylko z nimi. Przedziały numeryczne (przedziały, odcinki, półproste) to zbiór wartości zmiennych, które spełniają pewną nierówność. Oznacza to, że jest to zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej, ograniczony pewnymi ramami. Dlatego temat przedziałów liczbowych jest najściślej powiązany z koncepcją zmienny. Tam, gdzie na osi liczbowej znajduje się zmienna, czyli dowolny punkt x i zostaje ona wykorzystana, powstają także przedziały liczbowe, przedziały - wartości x. Często wartością może być dowolna, ale jest to również przedział liczbowy obejmujący całą oś liczbową.
Przedstawmy koncepcję przedział numeryczny. Wśród zbiorów numerycznych, czyli zbiorów, których obiektami są liczby, wyróżnia się tzw. przedziały numeryczne. Ich wartość polega na tym, że bardzo łatwo jest wyobrazić sobie zbiór odpowiadający określonemu przedziałowi liczbowemu i odwrotnie. Dlatego za ich pomocą wygodnie jest zapisać wiele rozwiązań nierówności. O ile zbiorem rozwiązań równania nie będzie przedział liczbowy, lecz po prostu kilka liczb na osi liczbowej, z nierównościami, czyli innymi słowy, pojawią się jakiekolwiek ograniczenia wartości zmiennej, to pojawią się przedziały liczbowe.
Przedział liczbowy to zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej ograniczony daną liczbą lub liczbami (punktami na osi liczbowej).
Dowolny przedział liczbowy (zbiór wartości x zamkniętych między określonymi liczbami) można zawsze przedstawić za pomocą trzech rodzajów notacji matematycznej: specjalnego zapisu przedziałów, łańcuchów nierówności (nierówność pojedyncza lub nierówność podwójna) lub geometrycznie na liczbie linia. Zasadniczo wszystkie te oznaczenia mają to samo znaczenie. Zapewniają ograniczenie wartości jakiegoś obiektu matematycznego, zmiennej (jakiejś zmiennej, dowolnego wyrażenia ze zmienną, funkcji itp.).
Z powyższego można zrozumieć, że skoro obszar osi liczbowej można ograniczyć na różne sposoby (istnieją różne rodzaje nierówności), to rodzaje przedziałów liczbowych są różne.
Rodzaje przedziałów numerycznych
Każdy typ przedziału liczbowego ma swoją nazwę, specjalne oznaczenie. Aby wskazać odstępy liczbowe, stosuje się nawiasy okrągłe i kwadratowe. Nawias oznacza, że ostatni, wyznaczający granicę punkt na osi liczbowej (koniec) tego nawiasu nie jest zaliczany do zbioru punktów tego przedziału. Nawias kwadratowy oznacza, że koniec pasuje do szczeliny. W przypadku nieskończoności (po tej stronie odstęp nie jest ograniczony) użyj nawiasu. Czasami zamiast nawiasów można zapisać nawiasy kwadratowe obrócone w przeciwnym kierunku: (a;b) ⇔]a;b[
| Rodzaj luki (nazwa) | Obraz geometryczny (na osi liczbowej) | Przeznaczenie | Pisanie przy użyciu nierówności (zawsze połączone łańcuchem dla zwięzłości) |
|---|---|---|---|
| Interwał (otwarty) | (a;b) | A< x < b | |
| Segment (sekcja) | za ≤ x ≤ b | ||
| Połowa interwału (półsegment) | A< x ≤ b | ||
| Promień | x ≤ b | ||
| Otwarta belka | (a;+∞) | x>a | |
| Otwarta belka | (-∞;b) | X< b | |
| Zbiór wszystkich liczb (na osi współrzędnych) | (-∞;+∞) , chociaż tutaj konieczne jest wskazanie konkretnego zbioru nośnika algebry, z którą wykonywana jest praca; przykład: | x ∈(zwykle mówią o zbiorze liczb rzeczywistych; do przedstawienia liczb zespolonych używają płaszczyzny zespolonej, a nie linii prostej) | |
| Równość | lub x=a | x = a(szczególny przypadek nieścisłej nierówności: za ≤ x ≤ za- przedział o długości 1, w którym oba końce pokrywają się - odcinek składający się z jednego punktu) | |
| Pusty zestaw | ∅ | Zbiór pusty jest także przedziałem – zmienna x nie ma wartości (zbiór pusty). Przeznaczenie: x∈∅⇔x∈( ). |
Nazwy interwałów mogą być mylące: istnieje ogromna liczba opcji. Dlatego zawsze lepiej jest je dokładnie wskazać. W literaturze angielskiej używany jest wyłącznie termin interwał ("interwał") - otwarty, zamknięty, półotwarty (półzamknięty). Istnieje wiele odmian.
Przedziały w matematyce służą do oznaczenia bardzo dużej liczby rzeczy: istnieją przedziały izolacji przy rozwiązywaniu równań, przedziały całkowania, przedziały zbieżności szeregów. Podczas badania funkcji przedziały są zawsze używane do określenia jej zakresu wartości i dziedziny definicji. Luki są bardzo ważne, np. są Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego(więcej można dowiedzieć się z Wikipedii).
Układy i zbiory nierówności
Układ nierówności
Zatem zmienną x lub wartość jakiegoś wyrażenia można porównać z jakąś stałą wartością - jest to nierówność, ale to wyrażenie można porównać z kilkoma wielkościami - podwójną nierównością, łańcuchem nierówności itp. Dokładnie o to chodziło pokazany powyżej - jako przedział i odcinek. Obydwa są system nierówności.
Jeśli więc zadaniem jest znalezienie zbioru wspólnych rozwiązań dwóch lub więcej nierówności, to możemy mówić o rozwiązaniu układu nierówności (podobnie jak w przypadku równań - chociaż można powiedzieć, że równania są przypadkiem szczególnym).
Wtedy jest oczywiste, że wartość zmiennej użytej w nierównościach, przy której każda z nich staje się prawdziwa, nazywa się rozwiązaniem układu nierówności.
Wszystkie nierówności zawarte w systemie łączy się nawiasem klamrowym - „(”. Czasami zapisuje się je w postaci podwójna nierówność(jak pokazano powyżej) lub nawet łańcuch nierówności. Przykład typowego wpisu: f x ≤ 30 g x 5 .
Rozwiązanie układów nierówności liniowych z jedną zmienną w ogólnym przypadku sprowadza się do tych 4 typów: x > a x > b (1) x > a x< b (2) x < a x >b(3)x< a x < b (4) . Здесь предполагается, что b > a.
Każdy system można rozwiązać graficznie za pomocą osi liczbowej. Tam, gdzie rozwiązania nierówności tworzących system przecinają się, istnieje rozwiązanie samego systemu.
Przedstawmy rozwiązanie graficzne dla każdego przypadku.
(1) x>b (2) aPonadto systemy nierówności można sklasyfikować jako równoważne, jeśli mają wspólny zestaw rozwiązań. Stąd (jak widać powyżej) wynika, że bardziej złożone systemy można uprościć (na przykład stosując rozwiązanie geometryczne).
Nawias klamrowy można z grubsza mówiąc, z grubsza nazwać odpowiednikiem spójnika „ I„za nierówności
Zbiór nierówności
Istnieją jednak inne przypadki. Zatem oprócz przecięcia zbiorów rozwiązań istnieje ich suma: jeśli zadaniem jest znalezienie zbioru wszystkich takich wartości zmiennej, z których każda jest rozwiązaniem przynajmniej jednej z podanych nierówności, to następnie mówią, że należy rozwiązać zbiór nierówności.
Zatem wszystkie nierówności w agregacie są łączone za pomocą nawiasu zagregowanego „[”. Jeżeli wartość zmiennej spełnia przynajmniej jedną nierówność z populacji, to należy ona do zbioru rozwiązań całej populacji. To samo dotyczy równań (znowu można je nazwać przypadkiem specjalnym).
Jeśli nawias klamrowy jest I, wówczas nawias zbiorczy jest, warunkowo, w uproszczeniu, odpowiednikiem unii „ LUB„ dla nierówności (choć będzie to oczywiście logiczne lub, uwzględniając przypadek spełniający oba warunki).
Zatem rozwiązaniem zbioru nierówności jest wartość zmiennej, przy której przynajmniej jedna nierówność staje się prawdziwa.
Zbiór rozwiązań, zarówno zbiorów, jak i systemów nierówności, można zdefiniować za pomocą dwóch podstawowych operacji binarnych służących do pracy na zbiorach - przecięcia i sumy. Zbiór rozwiązań układu nierówności wynosi skrzyżowanie zbiory rozwiązań nierówności, które ją tworzą. Zbiór rozwiązań zbioru nierówności to Unia zbiory rozwiązań nierówności, które ją tworzą. Można to również zilustrować. Załóżmy, że mamy układ i zbiór dwóch nierówności. Oznaczamy zbiór rozwiązań pierwszego A i oznaczają zbiór rozwiązań drugiego B. Doskonałą ilustracją może być diagram Eulera-Venna.
A ∪ B - rozwiązanie układu nierówności A ∩ B - rozwiązanie zbioru nierówności